SRO om geometrisk optik

Side 1

STX 2.g

Geometrisk Optik

Studieretningsopgave 2.g

2x

Side 2

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 2 af 13

Indholdsfortegnelse

Indledning .......................................................................................................................................................... 3 Fermats princip. ................................................................................................................................................. 3 Linser. ................................................................................................................................................................ 4 Linsemagerens formel. ...................................................................................................................................... 5 Brydning. ............................................................................................................................................................ 6 Lysets fart i vand. ............................................................................................................................................... 7 Billeddannelse. .................................................................................................................................................. 9 Sammenhængen mellem afstanden fra en genstand til en samlelinse, afstanden fra linsen til billedet og linsens brændvidde. ........................................................................................................................................ 10 Opgave 19 om Fermats princip. ...................................................................................................................... 11

Side 3

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 3 af 13

Indledning

Lys har ikke altid den samme hastighed. Når lyset rammer f. eks. vand ændres både dets hastighed og retning. Mange gange sker det uden at vi selv tænker over det. Når vi spejler os i vandet og ser vores spejlbillede, så er det faktisk pga. at lyset bliver spejlet eller reflekteret i vandet. Et andet eksempel fra hverdagen er, når man tager et billede. Der fanger linsen inde i kameraet en masse lysstråler, som den danner et billede ud fra. Forskningen inden for optikken har i det hele taget medført mange nyttige opfindelser: Kikkerten, mikroskopet, kontaktlinsen og som før nævnt kameraet. Alle er opfindelser, som stadig bliver forbedret dag for dag.

Fermats princip.

Fermats princip er, at en lysstråle altid vil tage den vej, der tager kortest tid og altså ikke nødvendigvis den korteste vej.

1

Lyset tager denne vej, fordi det bevæger sig hurtigere i luft, end det gør i vand. Man kan sammenligne det med en livredder, som skal ud og redde en, der er ved at drukne. Da han svømmer langsommere end han løber, så vil den hurtigste vej være at løbe inde på land indtil det passer med forholdet mellem hvor hurtigt han svømmer, og hvor hurtigt han løber. Dette illustreres på figur 1, hvor lyset skal fra A til B.

Ifølge spejlingsloven så er indfaldsvinklen mellem den indkommende stråle og indfaldsloddet den samme vinkel som spejlingsvinklen mellem den udgående stråle og indfaldsloddet. Det hænger sammen med, at der er det samme stof på begge sider af indfaldsloddet. Dermed vil den hurtigste vej for lyset være med samme indgangsvinkel som udgangsvinkel [2]. Dermed er spejlingsloven også i overensstemmelse med Fermats princip.

1

http://herdis.com/lys/Fysik/index.php?src=fermat

2

Spektrum 2 side 62

Indfaldslod

Figur 1 Fermats princip

Side 4

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 4 af 13

Linser.

Der findes mange slags linser, men de to mest almindelige er samlelinsen og spredelinsen. De adskilles ved, hvordan de påvirker de parallelle lysstråler, som rammer linsen. Samlelinsen samler, eller fokuserer, lysstrålerne i et punkt på den modsatte side af linsen.

3

Det punkt, hvor lysstrålerne mødes, kaldes for brændpunktet F. Brændpunktets position og linsens styrke afhænger af linsens facon, f.eks. linsens radius, og linsens materiale. Afstanden fra linsen til brændpunktet kaldes for brændvidden f. [4]

Hvis lysstrålerne derimod rammer en spredelinse vil de, efter at have været igennem linsen, spredes.

5

Med en spredelinse er det lidt sværere at finde brændpunktet idet lysstrålerne spredes. For at finde det, må man forestille sig, at strålernes retning på højre side er bevaret tilbage igennem linsen, således at de skærer hinanden på venstre side. Der, hvor de så skærer hinanden, finder man linsens brændpunkt. Da det ligger på venstre side, taler man om en negativ brændvidde. [6]

3

Spektrum 2 side 82

4

Spektrum 2 side 81-82

5

Spektrum 2 side 82

6

Spektrum 2 side 82

Figur 2 Samlelinse

Figur 3 Spredelinse

Side 5

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 5 af 13

Strålegangen igennem linsen er også i overensstemmelse med Fermats princip idet alle lysstrålernes vej til brændpunktet tager lige lang tid. På figur 2 ses det, at de yderste har længst vej til brændpunktet, men til gengæld skal de også igennem en tyndere del af linsen. De midterste lysstråler skal kortest vej, men igennem en tyk del af linsen. Dermed tager det lige så lang tid for de yderste og de midterste at nå brændpunktet.

Linsemagerens formel.

Figur 4 Linsemagerens formel^{7}

Indfaldsvinklen Θ er givet ved:

1

sin𝛩_{1} = =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛 𝑟

Ud fra Snells lov kan Θ beregnes idet n = 1:

2 luft

sin𝛩_{2} = 𝑛 ⋅ sin 𝛩_{1}

Efter strålen har været igennem linsen fortsætter den i en retning med vinklen Θ – Θ i forhold til aksen.

2 1

Skæringspunktet mellem strålen og aksen, brændpunktet, beregnes ved:

𝑡𝑎𝑛 ( 𝛩_{2} – 𝛩_{1}) = =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑓

Måles vinklen x i radian kan det vises at sin𝑥 ≈ 𝑥 idet sin0 er 0 og 𝑓^{′} ( 𝑥) = 1 som er den samme hældning
som 𝑦 = 𝑥. Det samme gælder for tan 𝑥 som også går gennem (0,0). Der gælder altså:

sin𝑥 ≈ tan 𝑥 ≈ 𝑥

Denne tilnærmelse kan kun bruges med små vinkler under 0,2 i radiantal eller under 10° i gradtal. Indsættes tilnærmelsen i de tidligere formler fås: ℎ h 𝑓 r

= tan ( 𝛩_{2} – 𝛩_{1}) ≈ 𝛩_{2} − 𝛩_{1} ≈ 𝑛 ⋅ Θ_{1} − Θ_{1} = ( n − 1) ⋅ Θ_{1} ≈ ( n − 1) ⋅

7

Spektrum 2 side 84

Side 6

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 6 af 13

Forkortes h ud fås:

𝟏 𝟏 𝒇 𝒓

= ( 𝒏 − 𝟏) ⋅

                                                                                  8
Heraf ses det at linsens brændvidde f kun er afhængig af linsens materiale n og linsens facon (radius) r

Brydning.

                        9
Figur 5 Lysestrålers brydning

Når lys rammer grænsefladen mellem to stoffer vil noget af lyset spejles, mens noget af det fortsætter igennem det andet stof. Lysstrålerne ændrer retning i det andet stof, de brydes.

Stoffets brydningsindeks (n) angiver stoffets evne til at ændre lysstrålens retning. Jo større brydningsindeks, desto mindre bliver Θ i forhold til Θ [10].

2 1

                                                                         𝑐
Lysets fart i vakuum (c) er konstant, mens lysets fart igennem stoffet angives ved 𝑐 = hvor n
                                                                   𝑠𝑡𝑜𝑓
                                                                         𝑛

er stoffets brydningsindeks. Ifølge Snells lov gælder formlen 𝑛 ⋅ sin 𝛩 = 𝑛 ⋅ sin 𝛩 , og da lufts
                                                  1      1   2      2

brydningsindeks er 1,0 kan ligningen omskrives, så stof 2’s brydningsindeks kan beregnes ved: [11]

𝑛_{𝑠𝑡𝑜𝑓} =

sin 𝛩_{𝑙𝑢𝑓𝑡}
sin𝛩_{𝑠𝑡𝑜𝑓}

- Forsøg: Måling ud fra Snells lov.

Med en laser lyses ned i en vandfyldt glasbeholder. En vinkelmåler placeres, så vinklerne både over og under vandoverfladen kan aflæses. Det er med denne opstilling muligt at aflæse vinklerne med en usikkerhed på 1°. [12]

Indfaldsvinkel Θ (°) Brydningsvinkel Θ (°) Brydningsindeks for vand

1 2 n vand

±1° ±1° -

28,5 23 1,22

32 | 22 | 1,41
24 | 19 | 1,25
40 | 30 | 1,29

8

Spektrum 2 side 84

9

http://www.toender-gym.dk/mbs/fysik/ntnujava/thickLens/propagation.gif

10

Spektrum 2 side 64

11

Opgavevejledning side 2

12

Opgavevejledning side 2

Side 7

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 7 af 13

52 37 1,31

38 27 1,36

Det gennemsnitlige brydningsindeks er 1,31, hvilket passer godt overens med tabelværdien på 1,331 og alle de beregnede resultater vil kunne ramme 1,3, hvis enten indfaldsvinklen, brydningsvinklen eller begge to ændres med 1°.

Lysets fart i vand.

- Forsøg: Indirekte måling af farten i henholdsvis luft og vand ved hjælp af en laserafstandsmåler.

13

En afstandsmåler^{14} bruges til at måle afstanden fra et punkt til et andet. Afstandsmåleren

                               𝑐⋅𝑡
beregner afstanden ved ligningen 𝑦 = hvor c er lysets hastighed, og t er tiden, det tager
                                2

for lyset at komme frem og tilbage.

En lineær sammenhæng mellem x og y er givet ved

𝑦 = 𝑎𝑥 + ℎ

y er den afstand som vises på afstandsmålerens display. x er vandhøjden. h er den reelle højde fra afstandsmåleren og til bunden. a er givet ved:

𝑎 = − 1 = 𝑛_{𝑣𝑎𝑛𝑑} − 1

𝑐

𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

Den sammenhæng udledes ved:

𝑡 = = + ⟹

𝐴𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑_{𝑚å𝑙𝑡} 𝐴𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑_{𝑙𝑢𝑓𝑡} 𝐴𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑_{𝑣𝑎𝑛𝑑}
𝑐 𝑐 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

13

Opgavevejledning side 7

14

Bilag 1

Figur 6 Afstandsmåling benyttet til måling i kar med vand

Side 8

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 8 af 13

Ganger igennem med c.

𝐴_{𝑚å𝑙𝑡} = 𝐴_{𝑙𝑢𝑓𝑡} + ⋅ 𝑐 = 𝐴_{𝑙𝑢𝑓𝑡} + ⋅ 𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑} 𝑐
𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

Ud fra den kan lysets fart i vand også beregnes:

𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =

𝑐 ⋅ 𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑}
𝐴_{𝑚å𝑙𝑡} − 𝐴_{𝑙𝑢𝑓𝑡}

                                                           𝑐
Tilbage til den oprindelige udledning: Tidligere have vi formlen 𝑛 = hvilket giver:
                                                    𝑠𝑡𝑜𝑓
                                                          𝑐
                                                           𝑠𝑡𝑜𝑓

𝐴_{𝑚å𝑙𝑡} = 𝐴_{𝑙𝑢𝑓𝑡} + 𝑛_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ⋅ 𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

Så har man at x = 𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑} og h = 𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + 𝐴_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ⟹ 𝐴_{𝑙𝑢𝑓𝑡} = ℎ − 𝐴_{𝑣𝑎𝑛𝑑} = ℎ − 𝑥

𝐴_{𝑚å𝑙𝑡} = ℎ − 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑛_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

Sættes x ud foran parentes fås:

𝐴_{𝑚å𝑙𝑡} = 𝑥 ⋅ ( 𝑛_{𝑣𝑎𝑛𝑑} − 1) + ℎ
𝐴_{𝑚å𝑙𝑡} = 𝑦 og ( 𝑛_{𝑣𝑎𝑛𝑑} − 1) = 𝑎 giver det:
𝑦 = 𝑎𝑥 + ℎ

Resultater:

Vandhøjden (cm) Afstand (cm)

0 72,1

22 | 80,3
24 | 80,8
26 | 81,2
28 | 81,7
30 | 82,4
32 | 83,1

Med lineær regression fås følgende graf:

Figur 7 Målte afstand som funktion af vandhøjden

Side 9

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 9 af 13

Grafens ligning er 𝑦 = 𝑎𝑥 + ℎ, hvor hældningen a er 0,2757. Dermed kan lysets fart i vand beregnes da

𝑎 = − 1 ⟹ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} = = = 𝟐𝟑𝟓 ⋅ 𝟏𝟎^{𝟔}

𝑐 𝑐 𝒎

𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} 𝑎 + 1 1,2757 𝒔

299 792 458 𝑚 𝑠

Billeddannelse.

Når en genstand udsender lysstråler vil nogle af dem ramme linse og brydes i den. Billedet dannes, når alle lysstrålerne passerer det samme punkt.

15

Tre stråler kan bruges til at bestemme billeddannelsen. På denne figur er det hhv. den sorte, blå og røde streg.

- Den sorte er parallel med den optiske akse inden den ramme linsen, hvorefter den vil brydes og passere gennem linsens første brændpunkt.

- Den blå linje passerer gennem linsen, uden at den ændrer retning.

- Den røde linje passerer gennem linsens andet brændpunkt allerede inden den bliver brudt i linsen. Efter linsen er den parallel med den optiske akse [16].

Billedet bliver dannet vinkelret på den optiske akse, dog på hoved. Det kendes også fra vores øjne, der i realiteten ser alting på hoved. Hvis afstanden fra linsen til objektet øges vil billedet blive mindre idet den blå linje vil nærme sig den optiske akse.

Der gælder også det med stærkere linser, hvor brændpunkterne ligger tættere på linsen, at billedet vil blive mindre.

15

http://homepage.svendborg-gym.dk/rk/fysik/noter/optik/optik.16.gif

16

Spektrum 2 side 82

Figur 8 Billeddannelse

Side 10

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 10 af 13

Sammenhængen mellem afstanden fra en genstand (g) til en samlelinse, afstanden fra linsen til billedet (b) og linsens brændvidde (f).

Figur 9 sammenhængen mellem afstanden fra en genstand til en samlelinse, afstanden fra linsen til billedet og linsens

brændvidde^{17}

Idet det er ensvinklede trekanter på hver side af linsen gælder: 𝑏−𝑓 𝑔−𝑓

𝐵 𝐺

  𝑓          𝑓
=  og      =
  𝐺          𝐵

Ganges der over fås:

𝐵 𝑏 − 𝑓 𝑓
𝐺 𝑓 𝑔 − 𝑓

= =

Der er det samme som:

( 𝑏 − 𝑓) ⋅ ( 𝑔 − 𝑓) = 𝑓^{2}

Ganges parenteserne ud fås:

𝑏 ⋅ 𝑔 = 𝑏 ⋅ 𝑓 + 𝑔 ⋅ 𝑓

Divideres der med 𝑏 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑓 udledes formlen:

𝟏 𝟏 𝟏 𝒇 𝒈 𝒃

= +

- Forsøg med en linses brændvidde

En linse med kendt brændvidde sættes op, og der lyses igennem den så en glødetråd vises på den anden side af linsen. Med forsøget vil der påvises sammenhængen mellem afstanden fra genstanden til samlelinsen, afstanden fra billedet til samlelinsen og linsens brændvidde.

17

Spektrum 2 side 83

Side 11

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 11 af 13

(0,-1)

(x,0)

(1,h)

V

1

V

2

Θ

1

Θ

2

Afstanden fra genstand til linse g (cm) (cm) (cm)

Afstand fra linsen til billede b

Linsens beregnede brændvidde

39 | 64 | 24,2

30 99,5 23,1

50 | 48 | 24,5
60 | 43 | 25,0

Linsens reelle brændværdi var 25cm. Afvigelsen kan skyldes måleusikkerheden idet vi målte med et målebånd og selv skulle bedømme hvor det præcis var at billedet var skarpest. Vi stod også selv og holdt pladen hvorpå glødetråden blev afbilledet. Dermed kunne det ikke sikres at pladen blev holdt helt stille imens afstanden blev mål. Alle disse kunne godt give en afvigelse på et par centimeter.

Opgave 19 om Fermats princip.

18

                                                              𝑠
Den tid det tager for lyset at tage fra et punkt til et andet udtrykkes ved 𝑡 = hvor s er
                                                              𝑣

strækningen lyset skal bevæge sig og v er hastigheden lyset bevæger sig med. Strækningen kan

beregnes ud fra Pythagoras’ sætning 𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Ud fra den bliver strækningen:

𝑠 = 𝑥 + 1 + √ ( 1 − 𝑥)^{2} + ℎ^{2}

√^{2}

Sættes det ind i ligningen for den tiden får man:

𝑡 = +

√ 𝑥^{2} + 1 √ ( 1 − 𝑥)^{2} + ℎ^{2}
𝑣_{1} 𝑣_{2}

Betingelsen for bestemmelse af x-koordinaten kan opstilles ved hjælp af differentialregning:

18

Spektrum 2 side 77

Side 12

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 12 af 13

𝑓 ( 𝑥) = +

√ 𝑥^{2} + 1 √ ( 1 − 𝑥)^{2} + ℎ^{2}
𝑣_{1} 𝑣_{2}

For at beregne x skal man finde funktionens minimum. Det findes ved 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

𝑓^{′} ( 𝑥) = ⋅ + ⋅ = 0

1 2𝑥 1 2𝑥 − 2
𝑣_{1} 𝑣_{2}
2 √ 𝑥^{2} + 1 2 ⋅ √ ( 1 − 𝑥)^{2} + ℎ^{2}

= ⋅ + ⋅ = 0

1 𝑥 1 𝑥 − 1
𝑣_{1} 𝑣_{2}
√ 𝑥^{2} + 1 √ ( 1 − 𝑥)^{2} + ℎ^{2}

⇒ ⋅ = ⋅

𝟏 𝒙 𝟏 𝟏 − 𝒙
𝒗_{𝟏} 𝒗_{𝟐}
√^{𝟐} √ ( 𝟏 − 𝒙)^{𝟐} + 𝒉^{𝟐}
𝒙 + 𝟏

sin𝛩 =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒

𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛

sin 𝛩_{1} = 𝑜𝑔 sin 𝛩_{2} =

𝑥 1 − 𝑥
√ 𝑥^{2} + 1 √ ( 1 − 𝑥)^{2} + ℎ^{2}

Sættes det ind i ligningen ovenfor fås:

1 1

𝑣_{1} 𝑣_{2}

⋅ sin𝛩_{1} = ⋅ sin𝛩_{2}

Ganges der her igennem med lysets hastighed fås 𝑐 𝑐

𝑣_{1} 𝑣_{2}

⋅ sin𝛩_{1} = ⋅ sin𝛩_{2}

Og da^{𝑐_{𝑣𝑎𝑘𝑢𝑢𝑚}}_{𝑐_{𝑠𝑡𝑜𝑓}} = 𝑛 giver det:

𝑛_{1} ⋅ sin𝛩_{1} = 𝑛_{2} ⋅ sin𝛩_{2}

Hvilket er brydningsloven.

Konklusion.

Når lys skal fra et punkt til et andet vil det altid tage den hurtigste vej. Rammer lyset en grænseflade mellem to stoffer vil noget af lyset spejles, mens resten fortsætter ind i stoffet, hvor det brydes. Stoffets brydningsindeks bestemmer hvor meget vinklen ændrer sig.

En samlelinse samler de parallelle lysstråler, som rammer linsen vinkelret. Punktet hvor lysstrålerne samles efter de har været igennem linsen kaldes for brændpunktet og afstanden fra linsen til brændpunktet kaldes for linsens brændvidde. En spredelinse spreder lysstrålerne og har ikke noget brændpunkt på højre side af linsen, men derimod et på venstre side, hvilket giver en negativ brændvidde.

( 1 − 𝑥)^{2} = 𝑥^{2} − 2𝑥 + 1

Side 13

2x Studieretningsopgave 02-02-10

Matematik – Fysik

Side 13 af 13

Linsemagerens formel viser at en linses brændvidde kun afhænger af linsens materiale og facon.

En billeddannelse kan bestemmes ved hjælp af tre linjer:

- En som skærer linsens højre brændpunkt og som er parallel med den optiske akse på venstre side.

- En som skærer linsens venstre brændpunkt og som er parallel med den optiske akse på højre side.

- En ret linje fra genstandens toppunkt, igennem linsens midte og ned til billedet.

Litteraturliste.

- Claussen, Both og Hartling, Spektrum Fysik 2, Gyldendal, 2004

- Opgavevejledning, Bestemmelse af brydningsindeks n vand for vand på forskellige måder

- http://herdis.com/lys/Fysik/index.php?src=fermat
- http://www.toender-gym.dk/mbs/fysik/ntnujava/thickLens/propagation.gif
- http://homepage.svendborg-gym.dk/rk/fysik/noter/optik/optik.16.gif