SRP om Ikke-Euklidisk Geometri i Matematik og Historie

Side 1

INDHOLDSFORTEGNELSE

Abstract .............................................................................................................................................................................................. 1 Indledning ......................................................................................................................................................................................... 2 Skitsering af forhistorien for ikke-euklidisk geometri. .................................................................................................. 3 Ækvivalente formuleringer af parallelpostulatet......................................................................................................... 4 De tre vigtige personer i opdagelsen af hyperbolske geometrier .............................................................................. 5 Bolyai .............................................................................................................................................................................................. 5 Lobachevski ................................................................................................................................................................................. 6 Gauss ............................................................................................................................................................................................... 6 En behandling af Poincarés cirkelskive model for den hyperbolske plan .............................................................. 7 Postulat 1: gennem to vilkårlige punkter i 𝚽 går der netop én hyperbolsk linje ........................................... 8 Postulat 2: en linje kan forlænges i det uendelige .................................................................................................... 10 Et beregningsvenligt afstandsudtryk. ............................................................................................................................ 12 Sinus bevis ............................................................................................................................................................................ 16 Postulat 3: der kan tegnes en cirkel med et vilkårlig centrum og en vilkårlig radius ................................ 17 Postulat 4: rette vinkler er lige store .............................................................................................................................. 18 Postulat 5 (parallelpostulatet) .......................................................................................................................................... 18 Indflydelsen af den ikke-euklidisk geometris opdagelse på opfattelsen af det fysiske rum ........................ 19 Rationalister og empirister. ............................................................................................................................................... 19 Immanuel Kant ................................................................................................................................................................... 20 Forskellige geometrier ......................................................................................................................................................... 21 Konklusion ..................................................................................................................................................................................... 22 Litteraturliste ................................................................................................................................................................................ 23 Bøger ............................................................................................................................................................................................ 23 Artikler ........................................................................................................................................................................................ 23 Internetsider ............................................................................................................................................................................ 23 Bilag 1 ............................................................................................................................................................................................... 24

Side 2

1

ABSTRACT

This project investigates the unique properties of non-Euclidean geometry. It is shown that in the example of a non-Euclidean geometry, the hyperbolic space, a line has an infinite number of parallels The lives of the important mathematicians in discovering the non-Euclidean geometry are described along with their observations. The construction of a geometry that differs from the Euclidean is thought of, as one of the most profound and interesting intellectual ideas, and therefore it’s still very much relevant to investigate. Through work with Poincaré’s model for the hyperbolic shape it is shown that non-Euclidean geometry is without inner contradictions.

Examinations of the time period in which non-Euclidean geometry was revealed shows the monumental impact it had on the general idea of geometry. Before the discovery scientists thought of only one geometry, but with the new revelation they had to reevaluate the way to think space. The possibility of more than one geometry able to describe space provoked the question of which geometry was most accurate. Arguments on this question from scientists such as, Albert Einstein and Henrí Poincaré, and philosophers René Descartes and Immanuel Kant are displayed in the project.

Lastly it is shown what great effect the development of non-Euclidean geometry has on our way of thinking space.

Side 3

2

INDLEDNING

I over 2000 år blev værket ”Elementer” af matematikeren Euklid (ca. 325-265 f.v.t.) anset som den fornemmeste matematiske lærebog. Euklid var en græsk matematiker, og hans værk ”Elementer” var en opsamling af al den matematik som grækerne besad i år 300 f.v.t. Grækerne kendte kun til én slags geometri, der i dag kaldes den Euklidiske geometri. Denne geometri bygger på 23 definitioner, 5 almindelige begreber og 5 postulater. Euklid definerede postulater og almindelige begreber som selvindlysende sande sætninger, det man i dag kalder aksiomer. Eksempler på Euklids definitioner er fx: ”at et punkt er det, som ikke kan deles” samt at ”parallelle er de rette linjer, som ligger i sammen plan og, når de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne”. Euklids første begreb er: at størrelser, som er lige store med den samme, er indbyrdes lige store.

Det er i midlertidig ikke definitioner og almindelige begreber der er interessante i forhold til opgavens fokus. Derimod er postulaterne relevante i arbejdet med ikke-euklidisk geometri. De 5 postulater Euklid opstillede formulerede han således:

Lad det være forudsat:

1. At man kan trække en ret Linie fra et hvilketsomhelst Punkt til et hvilketsomhelst Punkt.

2. At man kan forlænge en begrænset ret Linie i ret Linje ud i eet

3. At man kan tegne en Cirkel med et hvilketsomhelst Centrum og en hvilkensomhelst Radius

4. At alle rette Vinkler ere ligestore

5. At, naar en ret Linie skærer to rette Linier, og de indvendige Vinkler paa samme Side ere mindre end to rette, saa mødes de to Linier, naar de forlænges ubegrænset, paa den Side,

hvor de to Vinkler ligge, der ere mindre end to rette^{1}

Allerede i år 300 f.v.t skabte postulat 5 (parallelpostulatet) opmærksomhed blandt matematikere. Op gennem tiden prøvede adskillige matematikere at bevise, at postulat 5 var unødvendigt og kunne udledes af de fire første postulater. Til trods for de mange forsøg, blev ingen af beviserne af forskellige årsager generelt accepteret.

Omkring år 1820 kom tre matematikere, C. F. Gauss, N. I. Lobachevsky og J. Bolyai, uafhængigt af hinanden til konklusionen, at parallelpostulatet ikke kan bevises. Tillige fandt alle tre uafhængigt af hinanden en geometri, der opfylder Euklids fire første postulater, men ikke postulat 5. Denne geometri blev kendt som ikke-euklidisk geometri, og omfatter hhv. elliptiske og hyperbolske planer, hvor

1

Heiberg, 1897: 4

Side 4

3 vinkelsummen i en trekant er hhv. større end og mindre end 180 grader. Elliptiske planer kaldes også

                                                    2
sfæriske planer, og illustreres ved fx overfladen på en globus.

Fokus for denne opgave er at skitsere forhistorien for ikke-euklidisk geometri, da denne historiske vinkel vil hjælpe til forståelsen af ikke-euklidisk geometris opståen og betydning. Der vil også kort omtales forskellige ækvivalente formuleringer af parallelpostulatet. Specielt tre matematikere er interessante med henblik på ikke-euklidiske geometri, og derfor vil der kort redegøres for disse tre.

Ydermere vil der arbejdes med Poincarés cirkelskive model for den hyperbolske plan og dens egenskaber. Der redegøres for, at de fire første postulater er gældende i planen. Der indføres et afstandsbegreb og et beregningsvenligt udtryk i planen. Det illustreres, at det femte postulat ikke er gældende i den hyperbolske plan, og derved bryder denne plan med euklidisk geometri. Til sidst vurderes indflydelsen af den ikke-euklidiske geometris opdagelse på opfattelsen af det fysiske rum.

Samtidig vil det vises, at opdagelsen af ikke-euklidisk geometri revolutionerede opfattelsen af det fysiske rum, og principielt gjorde geometrien uafhængig af den fysiske virkelighed.

SKITSERING AF FORHISTORIEN FOR IKKE-EUKLIDISK GEOMETRI.

Kort efter Euklids udgivelse af ”Elementer” blev der fra flere sider sat spørgsmålstegn ved nødvendigheden af parallelpostulatet. Såvel græske, arabisk som europæiske matematikere beskæftigede sig med parallelpostulatet, og prøvede at bevise dette ud fra de fire første postulater.

Beviserne byggede ofte på en ny definition af parallelle linjer som linjer, der har den samme afstand overalt. Ingen af disse beviser var korrekte, da den blotte antagelse af, at der findes parallelle linjer

                                      3
faktisk er ækvivalent med parallelpostulatet.

Det mest berømte angreb på parallelpostulatet kom fra den italienske matematiker Girolamo Saccheri

(f. 1667). Han benyttede sig af en ny tilgang til parallelpostulatet. I stedet for at antage at der findes parallelle linjer prøvede Saccheri at bevise, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader ved brug af de fire første postulater. Hvis Saccheri havde lykkes i hans forhavende, måtte parallelpostulatet forkastes som et postulat, da antagelsen om, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader er ækvivalent med parallelpostulatet (se næste afsnit for uddybning). Saccheri var selv overbevist om, at han havde ført et

korrekt bevis. Dette bevis blev dog aldrig accepteret i matematikkens verden.^{4}

2

Lützen, 2003: 28

3

Lützen, 2003: 28-29

4

Carstensen, 1995: 49-50

Side 5

4

I det følgende beskrives forskellige ækvivalente formuleringer af parallelpostulatet. Idet det vil vises, at Saccheri var korrekt i hans antagelse om, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader er en ækvivalent formulering af parallelpostulatet. Desuden vil Playfairs aksiom beskrives, da denne er den mest berømte ækvivalente formulering.

ÆKVIVALENTE FORMULERINGER AF PARALLELPOSTULATET.

I dette afsnit vil nogle af de ækvivalente formuleringer af parallelpostulatet undersøges. Der vil først redegøres for sætningen som Saccheri prøvede at bevise ud fra de første fire postulater:

Summen af vinklerne i en trekant er summen af to rette vinkler (180^{0})

Det kan nemt vises, at dette er en ækvivalent formulering af parallelpostulatet. Lad linjestykkerne l og m være parallelle i et euklidisk rum. Betragt dernæst trekanten ABC; jf. Figur 1. Det antages, at topvinkler er ens, og det følger så at

𝑣+ 𝑢+ ∠𝐴𝐶𝐵=180

0

Da disse er de samme vinkler som i trekanten, må vinkelsummen i en trekant være 180 grader.

Den mest berømte ækvivalente formulering skyldes den skotske matematiker John Playfair, der i 1795 gav denne formulering:

Til en given linje i planen og et punkt uden for denne, findes der netop én linje gennem

                                5
punktet, der ikke skærer den givne linje

Formuleringen kaldes også Playfairs aksiom. Der redegøres kort for denne. Betragt linjen m i et euklidisk rum, lad P være et punkt uden for m. Så siger formuleringen at der gennem P findes netop én linje, l, der ikke skærer m. Da denne linje ikke skærer m må m og l være parallelle. Nedfæld så

5

Carstensen, 1995: 49

FIGUR 1

Side 6

5

halvlinjen fra P på m, de indvendige vinkler er derved hver 90^{0}, altså er de ikke mindre end to rette

vinkler. Derfor fungerer Playfairs aksiom som en ækvivalent formulering.

DE TRE VIGTIGE PERSONER I OPDAGELSEN AF HYPERBOLSKE

GEOMETRIER

Ikke-euklidisk geometri kaldes også for Bolyai-Lobachevski-geometri, da de to matematikere omkring

1830 uafhængigt af hinanden offentliggjorde deres resultater ved beregning af euklidisk geometri.

Med deres offentliggørelser revolutionerede de opfattelsen af det fysiske rum. I stedet for geometrien, blev det klart, at der eksisterede flere geometrier, der alle kunne beskrive det fysiske rum. Opdagelsen af ikke-euklidisk geometri har sidenhen fascineret mange, og betragtes af adskillig som en af de mest

                                     6
overraskende intellektuelle konstruktioner . Bolyais egen betagelsen for ikke-euklidisk geometri kom

også til udtryk, da han med disse ord beskrev hans opdagelse:

Fra intet har jeg skabt en anden, helt ny verden^{7}

BOLYAI

János Bolyai () var født i byen Kolozsvar i det daværende Ungarn. Byen Kolozsvar er identiske med byen Cluj i nuværende Rumænien. Bolyai var som ung interesseret i matematik, og allerede som 21 årig skrev han til sin far, at han havde frembragt fantastiske opdagelse vedrørende parallelteorien. Hans far, Farkas Bolyai, der også var matematiker, havde længde haft en indgående interessere i spørgsmålet om paralleller. Fadderen havde gennem flere år beskæftiget sig med at undersøge paralleller, og havde tillige en korrespondance med matematikeren Gauss. Da fadderen ikke fandt nogen løsning på problemerne, endte han med at advare hans søn om at beskæftige sig med paralleller. János Bolyai lyttede dog ikke til faderens råd, og publicerede sine opdagelser i 1831 i

6

Carstensen, 1995: 47

7

Kristensen, 1975: VII

FIGUR 2

Side 7

6 bogen: ”Appendix exhibiting the absolutely true science of space, independent of the truth or falsity of

Axiom XI of Euclid, that can never be decided a priori”^{8}. Bogen viser, efter titlen at dømme, den

absolutte sande videnskab om rummet, uafhængig af parallelpostulatet, som aldrig kan anskues a priori.

Som svar på hans publicering skrev Gauss, at han 15 år tidligere havde opdaget netop de samme basale ideer omkring ikke-euklidisk geometri. Det var en stor skuffelse for János Bolyai at erkende, at hans opdagelse ikke var ny. Det stoppede ham ikke i at forsætte undersøgelser omkring ikke-euklidisk

geometri, men han publicerede aldrig flere af hans ideer.^{9}

LOBACHEVSKI

Den russiskfødte Nikolai Ivanovich Lobachevski () var en anden matematiker, der på omtrent sammen tidspunkt som Bolyai begyndte at offentliggøre sine resultater. I en alder af fjorten år vandt Lobachevski et stipendium til Kazan universitet under betingelse af, at han underviste seks år efter sin uddannelse. Allerede i 1816 blev han assisterende professor, og i 1822 blev han i en alder af

30 år professor ved universitetet i Kazan. Lobachevski var i det meste af sit aktive liv tilknyttet Kazan universitet. I en periode som rektor og i andre perioder havde han også andre administrative stillinger.

En ukendt episode i 1846 forsagede, at Lobachevski blev fyret fra universitet, og mistede alle sine øvrige stillinger. De sidste 10 år af hans liv levede Lobachevski under vanskelige kår.

I begyndelsen af hans ophold på universitet var J. Martin Bartels, en ven af Gauss, en stor inspiration for den unge Lobachevski. I 1826 holdt Lobachevski et foredrag om en geometri, hvor en linje havde flere paralleller – altså en ikke-euklidisk geometri. I slutningen af 1820’erne og op gennem 1830’erne publicerede Lobachevski flere tekster, der omhandlede hans geometriske undersøgelser, og det

kulminerede med en opsamling i 1840.^{10}

GAUSS

Selvom ikke-euklidisk geometri også kaldes Bolyai-Lobachevski-geometri, er det rettelig Carl Friedrich Gauss (), der som den første fandt den ikke-euklidiske geometri. Det er generelt accepteret, at Gauss i omkring 1816 udførte beregninger, der påviste eksistensen af en geometri udenfor den

euklidiske^{11}. Gauss begrunder hans manglende publicering af hans tanker omkring ikke-euklidisk

8

Katz, 2009: 699

9

Katz, 2009: 703

10

Katz, 2009: 699

11

Dunnington, 2005: 412

Side 8

7 geometri med argumentet, at de indikationer han havde fundet brød med den generelle ide om geometri i hans samtid. Det var først da Bolyai offentliggjorde sine resultater, at Gauss skrev til ham, at hvis han hyldede Bolyai’s resultater, ville det svare til at hylde sine egne, da han havde tænkt de samme ting år tilbage. Der går mange historier omhandlende Gauss forbløffende intellekt. Han skulle som 3 årig havde rettede en regnskabs fejl i hans far arbejde med økonomi, og som 8 årig angiveligt have været i stand til at summere tallene fra 1 til 100 på sekunder. Selvom sandheden i disse historier er tvivlsom, så er det sikkert, at Gauss intellekt fangede Hertugen af Braunschweig interesse. Hertugen

sendte Gauss til Collegium Carolinum (nu Technische Universität Braunschweig)^{12}. Gauss udviklede

hurtigt sin matematiske sans, og blev en af historiens vigtigste videnskabsmænd, med resultater indenfor numre teori, statistikker, analyse, differentiel geometri, geodæsi, geofysik, elektrostatik, astronomi og lyslære.

Disse tre matematikere opdagede altså alle en geometri, der afviger fra den euklidiske. Der undersøges nu den franske matematiker Poincarés model for den hyperbolske plan. Dette gøres med henblik på at give en mere fysisk fortolkning af ikke-euklidisk geometri, og samtidig vise, at ikke-euklidisk geometri er præcis så gældende som euklidisk geometri.

EN BEHANDLING AF POINCARÉS CIRKELSKIVE MODEL FOR DEN

HYPERBOLSKE PLAN

13

Poincarés model er i et hyperbolsk plan, hvor rummet er inden for randen af en euklidisk cirkelskive kaldet Φ. Linjer i rummet er såkaldte hyperbolske linjer, som er euklidiske cirkelbuer, der skærer randcirklen for Φ under rette vinkler; jf. Figur 3. En fysisk fortolkning af den hyperbolske plan kan opnås ved at tænke på de hyperbolske linjer som cirkler med uendelig stor radius.

12

Dunnington, 2005: 408

13

Afsnittene: ”Postulat 1”, ”Postulat 2” og ”Et beregningsvenlig afstandsudtryk”, bygger på informationer fra Carstensen, 1995: 52-65

FIGUR 3 - CARSTENSEN, 1995: 51

Side 9

8

I de følgende afsnit gennemgås gyldigheden af Euklids fire første postulater. Til sidst i afsnittet redegøres for, at parallelpostulatet ikke er gældende i den hyperbolske plan.

POSTULAT 1: GENNEM TO VILKÅRLIGE PUNKTER I 𝚽 GÅR DER NETOP ÉN

HYPERBOLSK LINJE

For at bevise, at geometrien i Φ opfylder den moderne fortolkning af Euklids postulat 1; at der gennem to vilkårlige punkter i Φ går netop én hyperbolsk linje, bruges begrebet inversion i en cirkel. For at forklare inversion i en cirkel, betragtes cirklen E, med centrum i punktet O og radius r; jf. Figur 4. Lad P

være et vilkårligt punkt i planen, der findes derved et punkt, 𝑃^{∗}, som ligger på halvlinjen fra O gennem

P, som opfylder, at

| 𝑂𝑃 | ∙ | 𝑂𝑃^{∗} | =𝑟^{2}

Dette punkt 𝑃^{∗} kaldes inversionen af P i cirklen E. Samtidig er P inversionen af 𝑃^{∗}.

I det følgende beskrives, hvordan inversionen af P i cirklen E findes. Der oprejses den vinkelrette til halvlinjen fra O gennem P, og der vælges et af de to punkter, hvori den vinkelrette skærer E. Dette

punkt kaldes A, og punktet 𝑃^{∗} ligger nu der, hvor tangenten til E i A skærer halvlinjen fra O gennem P.
At netop 𝑃^{∗} er inversionen af P kommer af, at trekanterne Δ𝑂𝑃𝐴 og Δ𝑂𝐴𝑃^{∗} er ensvinklet, og det gælder

derfor, at

| 𝑂𝑃 | | 𝑂𝐴 |

| 𝑂𝐴 | | 𝑂𝑃^{∗} |

=

| 𝑂𝑃 | ∙ | 𝑂𝑃^{∗} | = | 𝑂𝐴 |^{2}

Det ses, at | 𝑂𝐴 | =𝑟, så derfor gælder

| 𝑂𝑃 | ∙ | 𝑂𝑃^{∗} | =𝑟^{2}

FIGUR 4 - CARSTENSEN, 1995: 52

Side 10

9

Inversion i en cirkel er nu defineret. Næste skridt er at bevise, at Euklids postulat 1 er gældende i den hyperbolske plan. Der betragtes en cirkelskive Φ i euklidisk plan, med centrum O og radius r. Det vides fra sætning 1 (se bilag 1), at en vilkårlig cirkel C skærer randcirklen til Φ under ret vinkel, hvis og kun

hvis C indeholder et vilkårligt punkt P og dets inversion 𝑃^{∗}.

Det antages, at cirklen C skærer randcirklen til Φ under ret vinkel, og der trækkes en halvlinje fra O og

dens skæringspunkter med C betegnes 𝑃 og 𝑃_{1}. For at forudsætningen er gældende, skal punkterne 𝑃
og 𝑃_{1} gensidigt afbildes i hinanden under inversion. Lad A være skæringspunkt mellem C og

randcirklen til Φ. ∠𝑂𝐴𝑃 er en korde-tangent-vinkel i C, da de to cirkler skærer hinanden under ret

vinkel, og derfor spænder over samme buestykke som periferivinklen ∠𝑂𝑃_{1} 𝐴. Da disse spænder over
samme buestykke, er vinklerne lige store, så derfor er trekanterne Δ𝑂𝐴𝑃 og Δ𝑂𝑃_{1} 𝐴 ensvinklet, hvilket

vil sige

| 𝑂𝐴 | | 𝑂𝑃 |

| 𝑂𝑃_{1} | | 𝑂𝐴 |

=

| 𝑂𝑃 | ∙ | 𝑂𝑃_{1} | = | 𝑂𝐴 |^{2}

Det ses, at | 𝑂𝐴 | =𝑟, så derfor gælder

| 𝑂𝑃 | ∙ | 𝑂𝑃_{1} | =𝑟^{2}

Nu kan den moderne fortolkning af postulat 1 bevises (se sætning 2 i bilag 1). Der skal altså bevises, at, i den hyperbolske plan Φ, går der netop én hyperbolsk linje gennem hvert par af indbyrdes forskellige punkter P og Q.

Der betragtes igen Φ med centrum O. Lad P og Q være forskellige punkter i Φ, og lad 𝑃^{∗} være

inversionen af P i Φ. Fra sætning 1 (se bilag 1) vides, at cirkelen C går gennem de tre punkter P, Q og

𝑃^{∗}, og at C skærer randcirklen til Φ under ret vinkel; jf. Figur 5. Derfor er buestykket af C i Φ en

hyperbolsk linje, og fra konstruktionen ses det, at denne indeholder punkter P og Q. Dermed er den moderne fortolkning af postulat 1 bevist.

FIGUR 5 - CARSTENSEN, 1995: 61

Side 11

10

POSTULAT 2: EN LINJE KAN FORLÆNGES I DET UENDELIGE

Det vides nu, at der gennem to punkter i den hyperbolske plan, findes netop én hyperbolske linje, der går gennem begge punkter. For at bevise, at Euklids postulat 2 er gældende i den hyperbolske plan, Φ, må der først indføres et afstandsbegreb. Fra sætning 1 (se bilag 1) vides, at den hyperbolske linje der går gennem de to punkter, er et buestykke af en cirkel C, der skærer randcirklen under ret vinkel i punkterne U og V. Punkterne ligger i rækkefølgen U, P, Q og V; jf. Figur 7. Den hyperbolske afstand fra P til Q defineres ved formlen

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =ln ( ∙)

| 𝑃𝑉 | | 𝑄𝑈 |

| 𝑃𝑈 | | 𝑄𝑉 |

Formlen for afstanden efterprøves nu. Betragt tre punkter A, B og C i rækkefølgen A, B, C på et euklidisk linjestykke. For at der er afstand mellem punkterne, må der gælde, at

𝑑 ( 𝐴,𝐶) =𝑑 ( 𝐴,𝐵) + 𝑑(𝐵,𝐶)

Dette skal også gælde for punkterne i den hyperbolske plan, derfor indføres nu punktet R på ℒ, der ligger mellem P og Q. For at disse skal leve op til kravene for afstanden mellem punkter må gælde, at

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =𝑑 ( 𝑃,𝑅) + 𝑑 ( 𝑅,𝑄)

Afstanden mellem punkterne er defineret således:

FIGUR 6 - CARSTENSEN, 1995: 63

Side 12

11

𝑑 ( 𝑃,𝑅) =ln ( ∙)

| 𝑃𝑉 | | 𝑅𝑈 |

| 𝑃𝑈 | | 𝑅𝑉 |

𝑑 ( 𝑅,𝑄) =ln ( ∙)

| 𝑅𝑉 | | 𝑄𝑈 |

| 𝑅𝑈 | | 𝑄𝑉 |

Det efter prøves nu i formlen 𝑑 ( 𝑃,𝑄) =𝑑 ( 𝑃,𝑅) + 𝑑 ( 𝑅,𝑄)

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =ln ( ∙) + ln ( ∙)

| 𝑃𝑉 | | 𝑅𝑈 | | 𝑅𝑉 | | 𝑄𝑈 |

| 𝑃𝑈 | | 𝑅𝑉 | | 𝑅𝑈 | | 𝑄𝑉 |

=ln ( ∙ + ∙) =ln ( ∙)

| 𝑃𝑉 | | 𝑅𝑈 | | 𝑅𝑉 | | 𝑄𝑈 | | 𝑃𝑉 | | 𝑄𝑈 |

| 𝑃𝑈 | | 𝑅𝑉 | | 𝑅𝑈 | | 𝑄𝑉 | | 𝑃𝑈 | | 𝑄𝑉 |

Det ses, at de to udtryk stemmer overens, derved er P og Q punkter i den hyperbolske plan.

Der afprøves nu forskellige situationer for disse punkter.

Hvis 𝑃=𝑄 bør afstanden mellem disse være lig 0. Det kan nu efterprøves ved at kalde det punkt, hvor

både P og Q befinder sig for x

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =ln ( ∙) =ln () =ln1=0

| 𝑥𝑉 | | 𝑥𝑈 | | 𝑥𝑉 || 𝑥𝑈 |

| 𝑥𝑈 | | 𝑥𝑉 | | 𝑥𝑈 || 𝑥𝑉 |

Det ses, at afstanden så netop er 0 ifølge udtrykket for afstanden.

Hvis 𝑃≠𝑄 bruges regnereglen for den naturlige logaritme:

ln( ∙)=ln() + ln()=ln() + ln(𝑎) − ln ( 𝑏) =ln() − ( ln ( 𝑏) − ln ( 𝑎))

𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑐 𝑐 𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 𝑑 𝑑

=ln() − ln()

𝑐 𝑏 𝑑 𝑎

dvs. at afstanden mellem P og Q når 𝑃≠𝑄 beskrives ved formlen

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =ln − ln

| 𝑄𝑈 | | 𝑃𝑈 |

| 𝑄𝑉 | | 𝑃𝑉 |

Fra figuren ses, at | 𝑄𝑈 | > | 𝑃𝑈 | og | 𝑄𝑉 | < | 𝑃𝑉 |, så

| 𝑄𝑈 | | 𝑃𝑈 |

| 𝑄𝑉 | | 𝑃𝑉 |

>

Derved følger det, at 𝑑 ( 𝑃,𝑄) >0 når 𝑃≠𝑄, altså må der forventes et afstandsbegreb, når afstanden

mellem de to punkter er større end 0. Det gælder således også ved 𝑑(𝑄,𝑃), da punkterne så må

Side 13

12 betragtes i rækkefølgen V, Q, P og U. For opfylde kravene svarende til den morderne fortolkning af Euklids postulat 2, bruges sætning 3(se bilag 1). Fra denne ved vi, at

𝑓 ( 𝑃) =ln () 𝑓𝑜𝑟 𝑃∈ℒ

| 𝑃𝑈 |

| 𝑃𝑉 |

definerer en bijektiv afbildning f: ℒ →ℝ, for hvilken 𝑑 ( 𝑃,𝑄) = | 𝑓 ( 𝑄) − 𝑓(𝑃) |.

For at bevise dette antages det, at P går forud for Q, idet rækkefølgen af punkterne på ℒ er U, P, Q og V.

Deraf følger det at

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =𝑓 ( 𝑄) − 𝑓(𝑃)

Da det fra tidligere vides at

𝑑 ( 𝑃,𝑄) =ln − ln

| 𝑄𝑈 | | 𝑃𝑈 |

| 𝑄𝑉 | | 𝑃𝑉 | og at

𝑓 ( 𝑃) =ln ()

| 𝑃𝑈 |

| 𝑃𝑉 |

𝑓 ( 𝑄) =ln ()

| 𝑄𝑈 |

| 𝑄𝑉 |

Desuden fremgår det, at f: ℒ→ℝ er en voksende afbildning af ℒ på hele ℝ, hvor 𝑓(𝑃) går mod ∞, når P
nærmer sig V, og 𝑓(𝑃) går mod −∞, når P nærmer sig U. Således er den moderne fortolkning af Euklids

postulat 2 bevist.

Det vides nu, at der kan forventes afstande i den hyperbolske plan.

Der indføres nu et beregningsvenligt afstandsudtryk i tilfælde af, at længden fra punkterne P og Q til U og V ikke er kendt. Samtidig bruges det beregningsvenlige afstandsudtryk i argumentationen for, at postulat 3 er gældende i den hyperbolske plan.

ET BEREGNINGSVENLIGT AFSTANDSUDTRYK.

For at beregne afstande i modellen Φ af den hyperbolske plan, vil der findes et beregningsudtryk for funktionen

𝑓=𝑓 ( 𝑃): 𝐿→ℝ

Side 14

13 der fastlægger den hyperbolske afstand langs L. Der betragtes den hyperbolske linje L, der ses at være et buestykke af cirklen C med centrum M. C skærer randcirklen for Φ i punkterne U og V. Bemærk at en rotation for L med centrum O ikke ændrer afstande, og denne er fastlagt af centervinklen ∠𝑈𝑂𝑉; jf.

Figur 7.

For nemheds skyld regnes i radianer. Vi lader N være fodpunktet for den vinkelrette fra V til linjen gennem U og P. Hvis vi fastsætter ∠𝑈𝑂𝑉 til 2v ligger v naturligvis i intervallet

𝑂<𝑣< 𝜋

2

                                                                        𝜋
Det kan vises ved at betragte Δ𝑉𝑁𝑃 med vinkelsum 𝜋. Det ses, at ∠𝑉𝑁𝑃=    , derved følger
                                                                        2

ovenstående interval for v.

Betragt et vilkårligt punkt P på L fastlagt ved vinkel 𝑡=∠𝑃𝑈𝑂, der ligger i intervallet

0<𝑡< − 𝑣

𝜋

2

                                                                   𝜋
Da ∠𝑉𝑈𝑂 er en periferivinkel og en vinkel i Δ𝑂𝑉𝑈 følger det at ∠𝑉𝑈𝑂= − 𝑣, og da ∠𝑃𝑈𝑂 per
                                                                   2

konstruktion er mindre end ∠𝑉𝑈𝑂 gælder ovenstående interval. For at bestemme ∠𝑉𝑃𝑂 betragtes

                         𝜋
∠𝑉𝑃𝑁, og det ses at ∠𝑉𝑃𝑁=  − 𝑣. Desuden vides det ∠𝑁𝑃𝑈=𝜋. Så
                         2

∠𝑉𝑃𝑈=∠𝑁𝑃𝑈 − ∠𝑉𝑃𝑁

dvs.

∠𝑉𝑃𝑈=𝜋 − ( − 𝑣)=𝜋− + 𝑣= + 𝑣

𝜋 𝜋 𝜋

2 2 2

FIGUR 7 - CARSTENSEN, 1995: 64

Side 15

14

Ved at betragte linjestykkerne PV og UV ses, at disse er vinkelrette projektioner ind på hhv.

linjestykkerne UN og NV, heraf udledes ligningerne

( 1) | 𝑃𝑈 | + | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣= | 𝑈𝑉 | ∙ cos( − 𝑣− 𝑡)= | 𝑈𝑉 | ∙ sin ( 𝑣+ 𝑡)

𝜋

2

( 2) | 𝑃𝑉 | ∙ cos𝑣 = | 𝑈𝑉 | ∙ sin( − 𝑣− 𝑡)= | 𝑈𝑉 | ∙ cos ( 𝑣+ 𝑡)

𝜋

2

Disse to ligninger vil herunder gennemarbejdes. Først undersøges betydningen af | 𝑃𝑈 | + | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣

og | 𝑃𝑉 | ∙ cos𝑣. Betragt Δ𝑁𝑃𝑉, da denne er en retvinklet trekant anvendes sinus

sin𝑣=

| 𝑁𝑃 |

| 𝑃𝑉 |

| 𝑁𝑃 | = | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣

Herved følger, at | 𝑃𝑈 | + | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣= | 𝑁𝑈 |

Betragt igen Δ𝑁𝑃𝑉, hvor der anvendes cosinus

cos𝑣 =

| 𝑁𝑉 |

| 𝑃𝑉 |

| 𝑁𝑉 | = | 𝑃𝑉 | ∙ cos𝑣

Dvs. de to ligninger er udtryk for de to kateter NU og NV i den retvinklet trekant NUV.

Vedrørende beregningerne i (1) ses, at der bruges cosinus i den retvinklet trekant NUV. Fra

                                                          𝜋                   𝜋
ovenstående vides, at | 𝑃𝑈 | + | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣= | 𝑁𝑈 | og, at ∠𝑉𝑈𝑁= − 𝑣− 𝑡, da ∠𝑉𝑈𝑂= − 𝑣. Der
                                                          2                   2

anvendes derefter cosinus i Δ𝑁𝑈𝑉

cos( − 𝑣 − 𝑡)=

𝜋 | 𝑁𝑈 |

2 | 𝑈𝑉 |

| 𝑁𝑈 | = | 𝑈𝑉 | ∙ cos( − 𝑣− 𝑡)

𝜋

2

                        𝜋
Beregningen fra | 𝑈𝑉 | ∙ cos( − 𝑣 − 𝑡)= | 𝑈𝑉 | ∙ sin ( 𝑣+ 𝑡 ) kan forklares ved at iagtage graferne for
                        2

                                          𝜋               𝜋
sin𝑥 og cos𝑥; jf. Figur 8. Det skal noteres at cos( − 𝑣− 𝑡)=cos( − ( 𝑣+ 𝑡 ) ). Herved følger det fra
                                           2              2

              𝜋
graferne, at cos( − ( 𝑣+ 𝑡 ) )=sin ( 𝑣+ 𝑡 ) .
              2

Side 16

15

f(x)=sin(x)
f(x)=cos(x)

pi

2/pi

1 2 3 4 5

-1

1

2

3 x y

FIGUR 8 - SIN(X) OG COS(X)

                                                                  𝜋
Betragt nu (2). Fra tidligere vides, at | 𝑃𝑉 | ∙ cos𝑣 = | 𝑁𝑉 | og, at ∠𝑉𝑈𝑁= − 𝑣− 𝑡. Der benyttes
                                                                  2

                                                      𝜋
derefter sinus i Δ𝑉𝑈𝑁, og herved følger, at | 𝑁𝑉 | = | 𝑈𝑉 | ∙ sin( − 𝑣− 𝑡). Den sidste del i (2) følger
                                                      2

samme fremgangsmåde som i (1), da graferne for sin𝑥 og cos𝑥 følger hinanden.

Ved at danne ligningen ( 1) cos𝑣− ( 2) sin𝑣, og derefter anvende en additionsformel udledes

( 3) | 𝑃𝑈 | ∙ cos𝑣= | 𝑈𝑉 | ∙ (sin ( 𝑣+ 𝑡) cos𝑣− cos ( 𝑣+ 𝑡) sin𝑣)= | 𝑈𝑉 | ∙ sin𝑡

Dette vises nu ved beregning

( 1) | 𝑃𝑈 | cos𝑣+ | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣 cos𝑣 = | 𝑈𝑉 | ∙ sin ( 𝑣+ 𝑡) ∙ cos𝑣
( 2) − | 𝑃𝑉 | ∙ cos𝑣∙ sin𝑣 =− | 𝑈𝑉 | ∙ cos ( 𝑣+ 𝑡) ∙ sin𝑣

Nu adderes to formler

| 𝑃𝑈 | cos𝑣+ | 𝑃𝑉 | ∙ sin𝑣 cos𝑣− | 𝑃𝑉 | ∙ cos𝑣∙ sin𝑣
= | 𝑈𝑉 | ∙ sin ( 𝑣+ 𝑡) ∙ cos𝑣− | 𝑈𝑉 | ∙ cos ( 𝑣+ 𝑡) ∙ sin𝑣
| 𝑃𝑈 | cos𝑣 = | 𝑈𝑉 | ∙ ( sin ( 𝑣+ 𝑡) ∙ cos𝑣− cos ( 𝑣+ 𝑡) ∙ sin𝑣)

For at forkorte yderligere, får vi brug for et bevis omhandlende sinus regneregler.

Side 17

16

SINUS BEVIS

Der gælder, at: sin ( 𝑢− 𝑣) =sin𝑢∙ cos𝑣− cos𝑢∙ sin𝑣

Bevis: Betragt enhedscirklen med vektorerne 𝑒 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ = og 𝑒 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ = , disse har netop længden 1; jf.
                                         𝑣          𝑢

cos𝑣 cos𝑢 sin𝑣 sin𝑢

Figur 9.

Vinklen mellem de to vektorer kan bestemmes ved formlen

cos𝑥 =

𝑎⃗∙ 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | | 𝑏 |

⎯ ⃗

Vinklen mellem vektorerne er lig cos ( 𝑢− 𝑣), så

cos ( 𝑢 − 𝑣) = = =

𝑒 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ∙ 𝑒 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗  cos𝑣 cos𝑢 + sin𝑣sin𝑢
 𝑢  𝑣

| 𝑒 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ || 𝑒 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ | 1 ∙ 1 1
  𝑢  𝑣

() ∙ () cos𝑣 cos𝑢 sin𝑣 sin𝑢

=cos𝑣cos𝑢+ sin𝑣 sin𝑢

Erstattes u med^{𝜋}_{2} − 𝑢 fås

cos( − 𝑢 − 𝑣)=cos𝑣 cos( − 𝑢) + sin𝑣 sin( − 𝑢)

𝜋 𝜋 𝜋

2 2 2

                                           𝜋                                𝜋
Fra graferne for sinus og cosinus vides, at cos( − 𝑢)=sin𝑢, og fra tidligere at cos( − 𝑢 − 𝑣)=
                                           2                                2

sin ( 𝑢 + 𝑣), så der fås

sin ( 𝑢+ 𝑣) =cos𝑣 sin𝑢+sin𝑣 cos𝑢

FIGUR 9 - HEBSGAARD, 1998: 79

Side 18

17

Hvis v erstattes med −𝑣, fås den ønskede formel, da cos ( −𝑣) =cos𝑣 og sin ( −𝑣) =−sin𝑣.

sin ( 𝑢− 𝑣) =sin𝑢 ∙ cos𝑣− cos𝑢∙ sin𝑣^{14}

Nu kan der regnes videre på

( 3) | 𝑃𝑈 | cos𝑣= | 𝑈𝑉 | ∙ ( sin ( 𝑣+ 𝑡) ∙ cos𝑣− cos ( 𝑣+ 𝑡) ∙ sin𝑣) = | 𝑈𝑉 | ∙ sin ( 𝑣+ 𝑡 − 𝑣)
= | 𝑈𝑉 | ∙ sin𝑡

Det næste skridt er at dividere ligning (3) med ligning (2)

| 𝑃𝑈 | cos𝑣 | 𝑈𝑉 | ∙ sin𝑡

| 𝑃𝑉 | cos𝑣 | 𝑈𝑉 | ∙ cos ( 𝑣+ 𝑡)

=

| 𝑃𝑈 | sin𝑡

| 𝑃𝑉 | cos ( 𝑣+ 𝑡)

=

                    | 𝑃𝑈
Det vides, at 𝑓 ( 𝑃 ) =ln( ), og herfra følger det, at formlen for at bestemme afstande er:
                    | 𝑃𝑉

|

|

𝑓 ( 𝑃) =𝑓 ( 𝑡) = for 0<𝑡< − 𝑣

sin𝑡 𝜋

cos ( 𝑣+ 𝑡) 2

Udtrykket ovenfor kan bruges som et redskab til at bestemme afstande i den hyperbolske plan.

Udtrykket vil bruges i næste afsnit omhandlende postulat 3.

POSTULAT 3: DER KAN TEGNES EN CIRKEL MED ET VILKÅRLIG CENTRUM OG EN

VILKÅRLIG RADIUS

Den moderne fortolkning af postulat 3, kan ved simpel geometrisk argumentation påvises. Først må der vises, at afstanden for punktet P i den hyperbolske plan kan gå mod uendeligt. Det vil sige, at

𝑓 ( 𝑃) →∞

Ved at betragte Figur 7 (den med v og t) kan det vises, at hvis

𝑡→ − 𝑣

𝜋

2 fås

𝑡+ 𝑣→ − 𝑣+ 𝑣→

𝜋 𝜋

2 2

14

Hebsgaard, 1998: 78-79

Side 19

18

                              𝜋
Det vil betyde at cos ( 𝑣+ 𝑡 ) →cos( )→0, i det tilfælde vil
                              2

sin𝑡

cos ( 𝑣+ 𝑡)

→∞

da 𝑓 ( 𝑃 ) =   vil 𝑓 ( 𝑃 ) →∞. Næste skridt er, at betragte en vilkårlig cirkel i den hyperbolske plan
         cos

sin𝑡

( 𝑣+𝑡) med centrum C og radius r, da er de punkter Q, der opfylder, at

𝑑 ( 𝐶,𝑄) =𝑟

beliggende på cirklen C. Det vides, at

𝑓 ( 𝑄) − 𝑓 ( 𝐶) =𝑟
𝑓 ( 𝑄) =𝑟 + 𝑓(𝐶)

Heraf fremgår det, at r kan være et vilkårligt tal, samt at C kan være beliggende vilkårligt. Derved kan der tegnes en vilkårlig cirkel med en vilkårlig radius

POSTULAT 4: RETTE VINKLER ER LIGE STORE

Postulat 4 gælder naturligvis i den hyperbolske plan, da vinkler i denne plan er euklidiske vinkler, altså vil alle rette vinkler være lige store.

Der er nu redegjort for, at Poincarés cirkelskive model for den hyperbolske plan opfylder de moderne fortolkninger af de fire første postulater som Euklid fremsatte.

I næste afsnit undersøges parallelpostulatet (postulat 5.) og det vil vises, at dette postulat ikke er gældende i den hyperbolske plan.

POSTULAT 5 (PARALLELPOSTULATET)

Det vil nu vises, at parallelpostulatet ikke er gældende i ikke-euklidisk geometri. Lad 𝐸 være den hyperbolske plan, med centrum O, den hyperbolske linje L og punktet P forskellig fra L.

Parallelpostulatet er sandt, hvis og kun hvis der findes netop én linje, der går gennem P og ikke skærer linjen L. Lad M og N være to hyperbolske linjer, der begge går gennem punktet P; jf. Figur 10. Herved følger, at der findes flere linjer til L der går gennem punktet P, men ikke skærer L, derved findes der flere paralleller til linjen L, og således gælder parallelpostulatet ikke i den hyperbolske plan.

Side 20

19

Der er nu vist, at der eksistere en geometri forskellig fra den euklidisk geometri. Der er gjort rede for den hyperbolske plan, der er et eksempel på en ikke-euklidisk geometri. I det følgende afsnit vurderes betydningen af denne nye geometri, og hvilken konsekvenser ikke-euklidisk geometri havde ift. det fysiske rum.

INDFLYDELSEN AF DEN IKKE-EUKLIDISK GEOMETRIS OPDAGELSE PÅ

OPFATTELSEN AF DET FYSISKE RUM

Bevæggrunden bag matematikerenes angreb og arbejde på og med euklidisk geometri er til dels en undersøgelse af geometriens aksiomatiske fundament. Hovedinteressen må nok tilskrives en optagethed af hvilke oplysninger, det var muligt at finde om rummets natur. For at forstå hvilken betydning matematikerenes opdagelse af en geometri der afviger fra den euklidiske havde, må man kigge på deres samtidig erkendelsesteorier. Fra 1600-tallet eksisterede der to forskellige måde hvorpå tidens filosoffer mente man kunne opnå sikker erkendelse. Disse to var rationalisterne og

empiristerne.^{15}

RATIONALISTER OG EMPIRISTER.

Rationalisterne mente, at sikker viden kun kan opnås ved tankens vej, da vores sanser ofte bedrager os. Den mest kendte fortaler for rationalisterne var filosoffen og matematikeren René Descartes (1596

15

Lützen, 2003: 29-31

FIGUR 10

Side 21

20

– 1650), der mente ”I think, therefor I am”^{16} oversat ”Jeg tænker, altså er jeg”. Ræsonnementet bag

sætningen er, at hvis man blot tænker over, om man eksisterer, så eksisterer man, da der er et ”jeg”

der har tænkt.^{17}

Empiristerne stod i modsætning til rationalisterne, da de mente, at al erkendelse måtte baseres på sansning. Den engelske filosof John Locke (1632 – 1704) og den skotske historiker og filosof David Hume (1711 – 1776) repræsenterede denne skole, og afviste derved, at vi blot ved tankens kraft kan opnå viden om verden omkring os. De erkendte dog samtidig, at den viden der opnås ved erfaringer, måske kun er den sansede fænomenverden. De var således opmærksomme på, at sansning ikke kunne

beskrive en fuldstændig alment gældende objektiv verden.^{18}

IMMANUEL KANT

Den mest indflydelsesmæssige filosof på opdagerne af ikke-euklidisk geometri var Immanuel Kant

(1724 – 1804). Kant delte opfattelse med empiristerne, altså at viden om verden opnås ved erfaring, men kun viden for en selv. Han mente dog, at denne sansning var ubrugelig, hvis man ikke havde nogle

’a priori’ (før erfaring) anskuelsesformer, altså nogle antagelse man gik ud fra var sande. Sådanne anskuelsesformer kunne være rum og tid. Kant mente, at geometri der beskriver rummet, er konstrueret i anskuelsen, og derfor er a priori. I Kants samtid blev hans argument for, at geometrien konstrueres a priori læst som en kodificering af nødvendigheden af parallelpostulatet. Det skal dog

nævnes, at Kant og hans samtid kun kendte til euklidisk geometri^{19}. Det kan forklare, at Gauss tøvede

med at offentliggøre hans resultater omkring ikke-euklidisk geometri, da han derved ville bryde med en af de mest respekterede filosoffer i hans samtid. Det var først da Lobachevski og Bolyai offentliggjorde deres tanker om en geometri anderledes end den euklidiske, at Gauss offentliggjorde sine ideer. Det førte til et opgør med Kant, hvor bl.a. Gauss skriver i en brevkorrespondance:

Hvor tallet blot er et produkt af vores tanke har rummet altså en realitet uden for vores

                                                  20
tanke, en realitet hvis love vi ikke kan foreskrive helt a priori

16

http://books.google.com/books?id=IRvIQkLFD60C&printsec=frontcover&dq=cogito+ergo+sum&source=bl&ot
s=scMoREs5Qr&sig=6E9y0RAyCaudUqMtA5fHcp5NJ8k&hl=da&ei=_sAITYWWHcyYOr7jueYE&sa=X&oi=book_re
sult&ct=result&resnum=4&ved=0CCsQ6AEwAw#v=onepage&q&f=false s. 8

17

http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk/rationa
lisme?highlight=rationalisme

18

http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk/empiri
sme?highlight=empirisme

19

Lützen, 2003: 30

20

Matematikkens og Rummets natur s. 30

Side 22

21

Således argumenterer Gauss for en geometrisk virkelighed, der har bestemte love, som er kontinuerte alment gyldig. Dette stod i skarp kontrast til samtidens opfattelse af geometri, som en størrelse der konstrueres i anskuelsen.

FORSKELLIGE GEOMETRIER

For at teste hvilken geometrisk konstruktion der bedst beskriver rummet, målte både Gauss og Lobachevski på meget store trekanter. Ud fra deres erfaringer konkluderede de, at rummet tilsyneladende er euklidisk. Man kan derfor argumentere for, at Gauss og Lobachevski brugte en empirisk metode til at opnå viden om virkeligheden. Samtidig noterede Gauss, at hvis der findes en trekant i virkeligheden, der har en vinkelsum mindre end 180 grader, så må euklidisk geometri

forkastes.^{21}

Den franske matematiker Poincaré var ikke fuldstændig enig med Gauss og Lobachevski. Han mente, at vi vælger at beskrive rummet med euklidisk geometri, idet det er simplere end ikke-euklidisk geometri. Desuden var han også uenig med Gauss’ antagelse om at forkaste euklidisk geometri, hvis der findes en trekant i virkeligheden, der har en vinkelsum mindre end 180 grader. Poincaré argumenterer i stedet for, at målingen af trekanter faktisk er målinger mellem lysstråler, og hvis der måles en trekant med vinkelsum mindre end 180 grader, må der i alle tilfælde konkluderes, at lysstråler ikke bevæger sig langs rette linjer. Albert Einstein (f. 1879) var uenig med Poincaré i, at den euklidiske geometri skulle bevares, på trods af at man fandt modstridende elementer. Einstein argumenterede for en ændring i selve opfattelsen af rummet, og han beskrev det som ikke-euklidisk,

                       22
bl.a. i hans relativitetsteori.

Opdagelsen af ikke-euklidisk geometri ændrede måden, hvorpå man tænker rummet. De forskellige matematikeres argumenter for, hvilken geometri der bedst kunne beskrive rummet, førte til en interessant konklusion. De konkluderede, at rummet kan beskrives med flere forskellige geometrier, og at geometrierne ud fra et rent matematisk synspunkt alle er lige konsistente og værd at regne med.

Opfattelsen af det fysisk rum blev derved ændret fra et euklidisk univers, til et rum der kan beskrives ud fra flere forskellige relevante geometriske modeller.

21

Lützen, 2003: 30

22

Lützen, 2003: 30

Side 23

22

KONKLUSION

Ikke-euklidisk geometri er en konsekvens af en evig søgen efter viden. Lige fra udgivelsen af Euklids ”Elementer” har matematikere søgt svar på, om parallelpostulatet var en nødvendighed, eller om det kunne udlades. Man ville undersøge om parallelpostulatet var et postulat, eller om det kunne bevises.

Der skulle gå over 2000 år inden tre matematikere fandt, at parallelpostulatet ikke kan bevises.

Derved havde Euklid ret i at medtage parallelpostulatet som et postulat. Det mest interessante er dog, at de tre matematikere fandt en anden geometri, hvor de fire første postulater er gældende, men ikke parallelpostulatet. De tre matematikere, der uafhængigt af hinanden skabte den ikke-euklidiske geometri, var Gauss, Lobachevski og Bolyai. En fysisk forståelse af et eksempel på en ikke-euklidisk geometri blev skabt af Poincaré med hans cirkelskive model for den hyperbolske plan. Denne plan har nogle sære egenskaber, bl.a. at vinkelsummen i en trekant altid er mindre end 180 grader, og at der ikke findes ligedannede figurer af forskellige størrelser. Dette betyder, at man ikke kan lave vinkeltro tegninger i reduceret størrelse.

Med opdagelsen af ikke-euklidisk geometri opstod tillige spørgsmålet om, hvilken geometri der bedst beskriver det fysiske rum. Det stod efterfølgende klart, at med ethvert rum ville der være flere geometrier, der beskrev rummet, samt at disse geometrier alle var lige interessante at beskæftige sig med ud fra et rent matematisk synspunkt. Det skabte så at sige en revolution i opfattelsen af det fysiske rum. I dag anvendes den euklidisk geometri fortsat oftest til at beskrive vores verden. Man kan ikke udelukke at med den voksende viden om den fysiske verden, vil der opdages fysiske rum, der bedst beskrives ved ikke-euklidisk geometri.

Side 24

23

LITTERATURLISTE

BØGER

Baktoft, Allan, Matematikkens historie. Natskyggen, 2010. 1. udgave, 1. oplag

Carstensen, Jens og Svend Toft Jensen, Matematiske Essays. Matematiklærerforeningen, 1995

Hebsgaard, Thomas og Hans Sloth, Højniveaumatematik 1. Vejle: Forlaget Trip, 1998. 1. udgave, 1.

oplag

Heiberg, J.L., Euklid Elementer. 1 & 2 bd. Overs. af Thyra Eibe. København: Gyldendal, 1897 Katz, Victor J., A history of mathematics: an introduction. Pearson Addison-Wesley, 09

Kristensen, Erik, Ikke-euklidisk geometri. København: G.E.C. Gads Forlag, 1975

ARTIKLER

Lützen, Jesper, Matematikkens og Rummets natur. Aktuel Naturvidenskab, 5,

Dunnington, G. Waldo, The Sesquicentennial of the Birth of Gauss. Scientific Monthly XXIV, 2005, 402–

414.

INTERNETSIDER

http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtryk
/empirisme set d. 13. dec. 2010

http://www.denstoredanske.dk/Livsstil%2c_sport_og_fritid/Filosofi/Filosofiske_begreber_og_fagudtr
yk/rationalisme set d. 13. dec. 2010

http://books.google.com/books?id=IRvIQkLFD60C&printsec=frontcover&dq=cogito+ergo+sum&sour
ce=bl&ots=scMoREs5Qr&sig=6E9y0RAyCaudUqMtA5fHcp5NJ8k&hl=da&ei=_sAITYWWHcyYOr7jueYE
&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CCsQ6AEwAw#v=onepage&q&f=false set d. 15.

dec. 2010

Side 25

24

BILAG 1

Sætning 1. En vilkårlig euklidisk cirkel C skærer randcirklen til Φ under ret vinkel hvis og kun hvis C

indeholder et par af indbyrdes forskellige punkter P og 𝑃^{∗}, der korresponderer under inversion i

randcirklen til Φ. I givet fald vil C sammen med ethvert punkt P beliggende på C også indeholde

inversion 𝑃^{∗} af P i randcirklen til Φ

Sætning 2. I modelen Φ af den hyperbolske plan går der gennem ethvert par af de indbyrdes forskellige punkter P og Q netop én af modellens hyperbolske linjer.

Sætning 3. Betragt en hyperbolsk linje ℒ, der skærer randcirklen for Φ i punkterne U og V. Så definerer

𝑓 ( 𝑃) =ln () 𝑓𝑜𝑟 𝑃∈ℒ

| 𝑃𝑈 |

| 𝑃𝑉 |

en bijektiv afbildning f: ℒ→ℝ, for hvilken 𝑑 ( 𝑃,𝑄) = | 𝑓 ( 𝑄) − 𝑓(𝑃) | for alle punkter 𝑃,𝑄 ∈ℒ

Bevis. Se ”Ikke-Euklidisk geometri i støbeskeen” af Vagn Lundsgaard Hansen, s. 63-65.