Solens diameter og døgnets længde | Rapport i Fysik

Side 1

Solens diameter og døgnets længde

Formålet med forsøget er at bestemme Solens diameter og døgnets længde.

Indledning:

Lige nu befinder vi os på planeten Jorden, som er dannet for 4,6 milliarder år siden og næsten er

kugleformet med en radius på ca. 6371 km^{1}. Vores planet er omgivet af en atmosfære, bestående af ca.
78 % nitrogen, 21 % oxygen, 1 % argon og 0,036 % kuldioxid^{2} (et tal, der er stigende, og i disse dage giver
anledning til en masse debat). Temperaturen på vores klode kan variere med cirka 160-170 °C^{3} – afhængigt

STX 1.g

betingelser har gjort det muligt, at der er opstået liv, og at vi således sidder her og skriver/retter fysik-

rapport i dag.

Rundt om Jorden kredser en Måne, hvis omløbstid om Jorden i øvrigt danner udgangspunkt for inddelingen

i måneder^{4}. Desuden skaber Månens tyngdefelt fænomenet tidevand på Jorden, hvor vandstanden i havene

skiftevis stiger og falder. Vandstandsstigningen betegnes med flod, mens faldet i vandstanden kaldes ebbe.

Selvom Månen er små 400.000 km^{5} væk fra Jorden lykkedes det (eftersigende) amerikaneren, Neil

Armstrong, i 1969 at placere sine fødder på Månens krater-agtige overflade. Planeter kan sagtens have

                                               6
flere måner – således har Jupiter eksempelvis omkring 60.

Længe troede man, at Jorden var placeret i verdens centrum, men i renæssancen fandt en række astronomer (hvoraf Nikolaus Kopernikus var den vigtigste) ud af, at det imidlertid ikke helt var sådan, det forholdt sig. I stedet er Solen i centrum, og denne er omgivet af otte planeter (hvis man ser bort fra dværgplaneter), hvoraf Jorden er én af dem. Tilsammen udgør dette et solsystem. Merkur er den planet, der er nærmest Solen. Herefter kommer Venus, mens Jorden er den 3. planet. Herefter kommer (i nævnt rækkefølge) Mars, Jupiter, Saturn, Uranus og Neptun. Jorden og de øvrige planeter bevæger sig i

                                                           7
ellipseformede baner (jf. Keplers 1. lov) med Solen i det ene brændpunkt . Desuden fremsatte Johannes

Kepler endnu en teori til beskrivelse af planeternes baner omkring Solen. På planetens bane omkring Solen vil forbindelseslinjen mellem planeten og Solen således overstryge lige store arealer i lige store tidsrum.

Dette er illustreret på billedet til højre, hvor princippet er skitseret.

Her er 𝑡₂ − 𝑡₁ = 𝑡₄ − 𝑡₃. Det vil altså sige, at der er tale om lige

store tidsrum. Derfor er det skraverede areal ifølge loven lige stort.

1

Vejen til Fysik C, side 8

2

Kilde: http://viden.jp.dk/galathea/undervisning/temaartikler/default.asp?cid=10018

3

Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Jorden

4

Vejen til Fysik C, side 21

5

Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/M%C3%A5nen

6

Kilde: http://www.netleksikon.dk/j/ju/jupiter__planet_.shtml samt http://www.stjernebasen.dk/jufakta.htm

7

Vejen til Fysik C, side 30-31

Side 2

Som det ses på figuren vil det medføre, at planeten bevæger sig hurtigere i sin bane, når den er tæt på Solen, end når den er længere væk. Det overstrøgne areal er dog det samme. Man siger også, at

                        8
arealhastigheden er konstant .

Endelig er der Keplers 3. lov, som siger, at planetens kvadrerede omløbstid, 𝑇², er proportional med

                             3
storaksens længde i tredje potens, 𝑎

. Det vil sige, at

𝑇^{2}
𝑎^{3}

= 𝑘 ⇔ 𝑇^{2} = 𝑎^{3} ∙ 𝑘 ⇔ 𝑇^{2} ∝ 𝑎^{3}

Regner man med omløbstiden i år, og middelafstanden i astronomiske enheder (dvs. som en form for

                                                                  9
indekstal, hvor der tages udgangspunkt i Jorden) giver proportionalitetsfaktoren 1 .

Vi har altså i det ovenstående bl.a. set, at Jorden bevæger sig rundt om Solen. Samtidig hermed bevæger Jorden sig også om sin egen akse, hvilket skaber nat og dag. Om natten belyses det pågældende område på Jorden ikke af Solen, mens dagen er kendetegnet ved, at Solen er at finde på himlen. Den akse, Jorden drejer rundt om, har en hældning på 23,4 ° i forhold til ekliptikas plan – dvs. planen, Jordens ellipsebane om

Solen danner i rummet^{10}. Denne hældning i forhold til Solen betyder dannelsen af årstider. Solens stråler

vil nemlig kun lyse på halvdelen af jordkloden, og da strålerne ikke rammer vinkelret ind på jordens akse (i og med, at den hælder i forhold til ekliptikas plan) betyder det, at forskellige områder af Jorden belyses mere end andre, når Jorden er et bestemt sted på sin bane omkring Solen. Kigger vi på billedet ser vi altså, at der er sommer i Danmark, når den nordlige halvkugle vender indad mod Solen. Her er det derfor også varmest, og dagene er længere (sommersolhverv er den længste dag), fordi der er en såkaldt lang dagbue. Anderledes er det om vinteren, hvor den nordlige halvkugle vender væk fra Solen. Her er det koldere, og man vil have en tilsvarende kort dagbue (vintersolhverv er den korteste dag). På dette tidspunkt vil de på den sydlige halvkugle opleve den modsatte årstid, nemlig sommer, fordi den sydlige halvkugle nu er nærmest Solen. Endelig betegner forårs- og efterjævndøgn de

                                 11
tidspunkter, hvor nat og dag er lige lange

– døgnets fordeling mellem nat og dag er altså jævn (heraf navnet). Som det ses af illustrationen er forår tiden mellem forårsjævndøgn og sommersolhverv, mens efteråret er perioden mellem efterårsjævndøgn og vintersolhverv. Når Jorden har drejet rundt om Solen én gang, starter årstiderne forfra. En omgang tager Jorden 365 dage, hvilket altså vil sige, at Jorden når at dreje rundt om sig selv 365 gange i dens bane om Solen. Denne tid definerer vi som et år i den gregorianske

kalender^{12}.

Solen består udelukkende af gasarter og er opbygget af 76 % hydrogen og 24 % helium. I Solens indre er

trykket ca. 5 ∙ 10^{9} atmosfære (ved Jorden er tallet 1), mens temperaturen ligger på 15 mio. Kelvin. Denne

ekstremt høje temperatur bevirker, at der ikke består atomer, men i stedet er stoffet en ”suppe” af nuklider og fritsvævende elektroner. Denne tilstandsform kalder man plasma. På denne form vil nukliderne smelte sammen og herved frigøre en masse energi. Det er bl.a. resultatet af disse fusionsprocesser, vi

8

Vejen til Fysik C, side 30

9

Dette så vi i forbindelse med nogle regneopgaver.

10

Vejen til Fysik C, side 17

11

Vejen til Fysik C, side 16-18

12

Kilde:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Astronomi/Kalender_og_tid/den_gregorianske_kalender

Side 3

modtager i form af stråling nede på Jorden^{13}. Solen er i virkeligheden en stjerne, og det ovennævnte er

fælles for disse. Vores Sol er kun én blandt ufatteligt mange andre stjerner. Det anslås, at der er omkring

                              14
200 milliarder stjerner i vores galakse

. En galakse er en samling af stjerner. Mellem disse stjerner findes

                                                15
det såkaldte interstellare rum, som består af gasser og støv

. Vores galakse har form som to sammenlagte,

                                                         16
flade tallerkner. Desuden har man valgt at navngive den ”Mælkevejen”

. Samtidig regner man med, at der findes 100 milliarder andre galakser – et tal, der praktisk talt ikke er til at forholde sig til.

Nutidens kosmologer og kernefysikere er mere eller mindre sikre på, at universet er opstået for ca. 14 milliarder år siden ved en kæmpeeksplosion. Big Bang-teorien, som netop er en teori om universets skabelse, er efterhånden anerkendt, og med denne teori har man været i stand til at bestemme ret præcist,

hvad der er sket helt ned til 10^{−44} sekunder efter eksplosionen. Ifølge teorien har universet bl.a. udvidet sig

                   17
lige siden eksplosionen og gør det til stadighed i dag. Afstanden mellem galakserne bliver altså stadig

større. Dette har man bl.a. konkluderet på baggrund af nogle målinger af hydrogenlinjerne i galaksernes spektre. Ved at holde disse op mod målinger af tilsvarende lys, fremstillet i laboratoriet, har man fundet ud af, at hydrogenlinjerne alle er forskudt en tak mod højre – altså mod rødt i spektret for synligt lys. Man

taler derfor om en rødforskydning^{18}. Bølgelængderne er systematisk længere, og dette forklarer man vha.

dopplereffekten, som ikke bare er gældende for longitudinalbølger, men altså ligeledes for transversalbølger i form af lys. Tager vi udgangspunkt i billedet til højre, kan vi se, at en stillestående lyskilde, vil betyde, at de bølger A og B ser, vil være identiske med hensyn til bølgelængde og frekvens.

Bevæger lyskilden sig derimod i retning af B og væk fra A, vil B modtage elektromagnetisk stråling med en lavere bølgelængde og højere frekvens (jf. bølgeligningen), fordi bølgerne presses sammen. Samtidig vil A nu se lys med en større bølgelængde. Betragter vi derfor lyskilden som en galakse, mens vi her på Jorden er A, kan rødforskydningen altså forklares ved, at lyskilden (dvs. galaksen) bevæger sig væk fra os. Dette er det vigtigste argument for universets ekspansion.

Man har ud fra rødforskydningen ligeledes kunnet konstatere, at galakserne ikke alle bevæger sig med samme fart væk fra os. Jo hurtigere en galakse bevæger sig væk fra Jorden, jo mere udtrukne vil de elektromagnetiske bølger logisk nok blive. Bruger vi igen hydrogens spektrallinjer som eksempel vil disse altså forskydes endnu mere mod højre. I den sammenhæng har den amerikanske astronom, Edwin Hubble, fundet ud af, at galaksernes hastighed væk fra Jorden vokser proportionalt med deres afstand fra os. Dette nåede han frem til efter, at han havde iagttaget og målt på ca. 30 af de nærmeste galakser. Han afbildede

hastigheden (målt i km/s) som funktion af afstanden fra Jorden (målt i

millioner lysår) i et almindeligt koordinatsystem. Dette gav ham en lineær sammenhæng, hvor han så har kunnet bestemme proportionalitetsfaktoren som hældningskoefficienten for tendenslinjen. Dette fik ham til at fremsætte følgende formel, som også kaldes Hubbles lov:

13

Vejen til Fysik C, side 187-188

14

Vejen til Fysik C, side 192

15

Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Galakse

16

Vejen til Fysik C, side 196-197

17

Vejen til Fysik C, side 203

18

Vejen til Fysik C, side 202

Illustrationen viser prin-cippet i dopplereffekten.

Side 4

𝑣 = 𝐻 ∙ 𝑟

Her er v hastigheden (velocity), mens r er afstanden fra Jorden. H er proportionalitetsfaktoren, som man meget passende har valgt at kalde Hubble-konstanten. Denne værdi har svinget lidt gennem årene, men i

dag er der bred enighed om, at 𝐻 = 21,7_{𝑠∙𝑀𝑙𝑦𝑠å𝑟}^{𝑘𝑚}. En galakse, der eksempelvis er 3 millioner lysår væk fra
os, vil altså bevæge sig med 65,1 km/s væk fra Jorden, eftersom:

𝑣 = 21,7 ∙ 3 𝑀𝑙𝑦𝑠å𝑟 = 65,1

𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑠 ∙ 𝑀𝑙𝑦𝑠å𝑟 𝑠

Ved at rykke rundt på formlen kan man også beregne afstanden, hvis hastigheden er kendt. Ydermere har man kunnet bruge Hubbles lov til at – om ikke bestemme universets alder – så i hvert fald til at udregne en omtrentlig værdi af tiden, der er gået siden Big Bang-eksplosionen, idet det antages, at galakserne hele

tiden har bevæget sig med samme hastigheder som nu^{19}.

                                                                             20
Endnu en ting, der taler for Big Bang-teorien, er baggrundsstrålingen. Fysikeren og kosmologen George

Gamow fastslog allerede i 1948, at hvis universet var dannet ved Big Bang, så måtte strålingen fra denne

dannelse stadig være der. Da man i 1965 ved et tilfælde opdagede baggrundsstrålingen^{21}, blev Big Bang-

teorien derfor yderligere underbygget og forstærket.

Teori til forsøget:

Vi står på Jorden og vil bestemme Solens diameter – dvs. d i den trekant, der ses på billedet til højre. Her udnytter vi, at de solstråler, der kommer igennem hullet i plakatrørets ene ende, vil danne en ligebenet trekant, som tilmed er ensvinklet med den store trekant

(som det ses på billede nr. 2). Om ensvinklede trekanter ved vi, at forholdet mellem de parvise sider er lige stort, og derfor gælder der, at 𝑑 𝑅 𝑥 𝑙

=,

hvor x er diameteren af solpletten, R betegner afstanden fra Jorden til Solen, mens l er længden af plakatrøret. Kender vi derfor værdierne af x, R og l, kan vi beregne Solens diameter ud fra følgende formel

(vi isolerer d):

𝑑 = 𝑥 ∙

𝑅 𝑙

Når vi skal bestemme døgnets længde ved vi, at solpletten har flyttet sig stykket y på en cirkel med radius l, svarende til plakatrørets længde (som det ses på billedet til højre). Omkredsen af en cirkel kan findes som to gange pi gange radius, så for denne cirkel må der

19

Hele ”Hubble-afsnittet”: Vejen til Fysik C, side 202-203

20

Kilde: http://en.wikipedia.org/wiki/George_Gamow

21

Vejen til Fysik C, side 208

Side 5

nødvendigvis gælde, at omkredsen svarer til 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑙. Når vi kender hele omkredsen af cirklen, kan vi beregne, hvor stor en brøkdel af omkredsen, y udgør. Denne brøkdel svarer til samme brøkdel, som vinklen w udgør af 360 °. Vi har altså, at 𝑤 𝑦 𝑦

360 °

= ⇔ 𝑤 = ∙ 360 °

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑙

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑙

Heraf får vi altså et udtryk for w. Der kan vi nu beregne, hvor mange grader Solen har flyttet sig på himlen i løbet af tiden, t. Definitionen på et døgn må være, når Jorden har drejet en gang rundt om sig selv – hvilket for os ser ud som om, at Solen har drejet rundt om Jorden. Derfor gælder det om at finde ud af, hvor lang tid det tager, førend Solen har flyttet sig 360 grader på himlen. Dette gøres ved at beregne, hvor mange ”w’er” Solen skal have flyttet sig, før den har bevæget sig 360 grader. Tallet her multipliceres så med tiden:

Døgnets længde = ∙ 𝑡

360 ° 𝑤

Materialer:

Et plakatrør

Et stativ

Millimeterpapir

Lineal

Blyant

Mobiltelefon (som tidtager)

Solen

Udførelsen følger på næste side…

Side 6

Udførelse:

Vi tog et plakatrør, hvor der i rørets ene ende blev tapet millimeterpapir på til at dække hullet. I den anden ende var der et plastiklåg, som der blev prikket et lille hul i, således at Solens stråler kunne komme igennem. Vi tog nu et stativ i hånden og gik ned i gymnasiets grønnegård, hvor plakatrøret blev fastspændt vha. stativet, så enden med hullet pegede op mod Solen. Da Solen kom, dannede strålerne en lille lysplet på millimeterpapiret. Med en blyant tegnede vi omridset af denne solplet og satte samtidig stopuret i gang. Da solpletten havde flyttet sig et måleligt stykke, tegnede vi igen omridset og noterede tiden. Det skal retfærdigvis nævnes, at de nedenstående resultater ikke er vores egne (vi fik kun det første målepunkt), fordi himlen den pågældende dag så ud som vist til højre.

Data:

Vi fik følgende resultater:

𝑙 = 0,75 𝑚 𝑙 = plakatrørets længde
𝑥 = 6 𝑚𝑚 = 6 ∙ 10^{−3} 𝑚 𝑥 = diameter af solplet
𝑅 = 149 600 000 𝑘𝑚^{22} = 1,496 ∙ 10^{11} 𝑚
𝑡 = 480 𝑠 𝑡 = tid for solplettens bevægelse
𝑦 = 26 𝑚𝑚 = 2,6 ∙ 10^{−2} 𝑚 𝑦 = afstand mellem solpletterne

Databehandling:

Databehandlingen foregår i to afdelinger, nemlig beregningen af Solens diameter og af døgnets længde.

Beregning af Solens diameter:

Nu da vi kender både 𝑙, 𝑥 og 𝑅 er 𝑑 (Solens diameter) vores eneste ubekendte i ligningen fra teoriafsnittet: 𝑑 𝑅 𝑥 𝑙

=

Ved at indsætte værdierne for disse (angivet i meter) og isolere d i udtrykket, får vi Solens diameter til:

𝑑 1,496 ∙ 10^{11} 𝑚 1,496 ∙ 10^{11} 𝑚
6 ∙ 10^{−3} 𝑚 0,75 𝑚 0,75 𝑚

= ⇔ 𝑑 = 6 ∙ 10^{−3} 𝑚 ∙ ⇔ 𝑑 = 1,1968 ∙ 10^{9} 𝑚

Den teoretiske værdi for Solens diameter er 1,392 ∙ 10^{9} 𝑚.^{23} Herudfra kan den procentvise afvigelse

beregnes ud fra formlen:

Procentvis afvigelse = ∙ 100 %

𝑑, forsøg – 𝑑, teori 𝑑, teori

Tallene indsættes, og vi får, at

Procentvis afvigelse = ∙ 100 % = 14,02 %

1,1968 ∙ 10^{9} − 1,392 ∙ 10^{9}
1,392 ∙ 10^{9} 𝑚

22

Værdien for R er fundet på internettet. Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Solen

23

Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Solen

𝑅 = afstand fra Jorden til Solen

Solen valgte desværre at gemme sig for os.

Side 7

Den procentvise afvigelse er altså cirka 14 procent. Dette lyder måske som en rimelig stor afvigelse, men det skyldes også de små tegne- og måleunøjagtigheder, der kan have været. Havde vi eksempelvis målt

diameteren af solpletten til 7 mm i stedet for de 6 mm, ville vi have opnået et resultat på 1,396 ∙ 10^{9} 𝑚 - et

resultat svimlende tæt på den teoretiske værdi med en procentvis afvigelse på kun 0,3. Derfor er det i virkeligheden lidt imponerende, at man vha. et plakatrør og et stykke millimeterpapir er i stand til at lave sådanne målinger af et himmellegeme, der er så langt væk.

Beregning af døgnets længde:

Nu beregnes døgnets længde ud fra det stykke, solpletten flyttede sig på millimeterpapiret i løbet af tiden, t:

𝑤 = ∙ 360 ° = 1,9862 °

2,6 ∙ 10^{−2} 𝑚

2 ∙ 𝜋 ∙ 0,75 𝑚

På 480 sekunder (eller 8 minutter) har Solen altså flyttet sig 1,9862 ° på himlen. Derfor vil den flytte sig

360 ° på:

360 °

1,9862 °

∙ 480 𝑠 = 87 000,3 𝑠

Omregnet til timer får vi derfor, at døgnets længde er:

87 000,3 𝑠

60 ∙ 60

= 24,17 ℎ

Normalt regner man med, at døgnets længde er 24 timer (svarende til 86.400 sekunder). Det bør dog indskydes, at der af og til er små afvigelser, som man bl.a. korrigerer for med skudår. Disse afvigelser kan

                               24
ligge i størrelsesordenen 3-4 minutter

, men det er ikke noget, vi vil tage højde for, når vi udregner den procentvise afvigelse i forhold til teorien, som således bliver (der regnes i sekunder for at undgå unøjagtigheder pga. afrundinger):

(87 000,3 − 86 400) 𝑠

86 400 𝑠

∙ 100 % = 0,69 %

Der er altså tale om en relativ lille afvigelse. De 600 sekunders forskel svarer jo til 10 minutter, som altså udgør 0,69 % af et døgn.

Konklusion:

Med vores forsøg har vi bestemt Solens diameter til 1,1968 ∙ 10^{9} 𝑚, hvilket gav os en afvigelse på 14,02 % i

forhold til den teoretiske værdi. Ud fra Solens placering på himlen kunne vi ligeledes bestemme døgnets længde til 24,17 timer. Dette gav os en procentvis afvigelse på 0,69 i forhold til de 24 timer, man normalt regner med som længden af et døgn.

24

Kilde: http://da.wikipedia.org/wiki/Jorden