Stående snorbølger - Rapport i Fysik C

Side 1

Stående snorbølger

Formålet med forsøget er at eftervise, at transversalbølger udbreder sig langs en udspændt snor med

farten 𝑣= √^{𝐹}_{µ}, hvor F er snorspændingen, og µ er snorens masse pr. længdeenhed.

Teori:

En stående bølge opstår, når en bølge mellem to ”stoppunkter” (fx en vibrator og en trisse - som vist til højre - eller stolen på en guitar og fingeren på en streng) har en bølgelængde og en frekvens, der gør, at bølgens udslag er 0 lige hvor den rammer ”stoppunktet”. Herved reflekteres bølgen nemlig, og de to bølger vil interferere med hinanden. Der hvor der opstår buge interfererer bølgerne konstruktivt, mens knudepunkterne skyldes destruktiv interferens. Frekvenserne, der giver anledning til stående bølger, kaldes resonansfrekvenserne.

Antallet af knudepunkter og buge kan variere. Der er således flere forskellige svingningstyper. Den svingning, hvor der kun er én bug, kalder man grundsvingningen (eller 1. partialsvingning). Her svarer snorens længde til ½ λ.

1. oversvingning/2. partialsvingning er den, hvor der er to buge. Her er bølgelængden lig snorens længde. 2.

oversvingning har tre buge, og her er snorens længde lig 1½ bølgelængde.

Generelt gælder der, at:

    2∙𝐿
𝜆=     ,
    𝑛−1

hvor L er snorens længde, og n er antallet af knudepunkter.

”Stoppunkterne” er medregnet i antallet af knudepunkter.

Grundsvingningen har altså eksempelvis to knudepunkter.

Vi er interesserede i at finde ud af, hvad der bestemmer farten af de stående bølger. Her gælder

bølgeligningen (𝑣=𝜆∙ 𝑓), da de stående bølger som sagt er transversalbølger. Vi kan bruge vores kendskab

til eksempelvis guitaren til at fremsætte en hypotese:

Fænomenet med stående bølger kender vi nemlig bl.a. fra guitaren. Når man slår en streng an, hører man grundtonen blandet med et antal overtoner. Sætter man sin finger på et bånd, forkorter man

”snorlængden” – og derved bølgelænden af grundtonen. Dette gør blot, at frekvensen bliver højere, og man vil få en højere tone. Der er altså noget, der tyder på, at produktet af bølgelængden og frekvensen er konstant, og derfor afhænger bølgernes fart hverken af bølgelængden eller frekvensen, da de to størrelser vil tilpasse sig hinanden qua deres omvendte proportionalitet – teoretisk set. Vores forsøg vil vise, om denne påstand holder stik.

Fra guitaren ved vi desuden, at E-strengen (den øverste) er dybere end e-strengen (den nederste).

Strengenes længde er dog den samme, så der må være noget andet, der spiller ind; strengens specifikke masse har nemlig en betydning. Således er den øverste streng betydeligt tykkere – og tungere - end den nederste. Man kan altså ændre på tonens frekvens ved at anvende strenge med forskellige specifikke masser. Bølgelængden bliver der dog ikke ændret på, så ved indsættelse i bølgeligningen vil strenge med samme længde, men med forskellige specifikke masser, give os forskellige hastigheder.

Side 2

Desuden har strengens spænding også indflydelse på farten, for når man regulerer på stemmeskruerne på en guitar, ændres tonen nemlig også. Her gør det sig igen gældende, at frekvensen ændres uafhængigt af bølgelængden, så dermed må også denne faktor have en indflydelse på farten.

Hypotesen for forsøget er derfor, at de stående snorbølgers fart hverken afhænger af frekvensen eller af snorens længde, men derimod af snorens spænding og snorens specifikke masse.

Af samme grund består forsøget af tre afdelinger. I den første afdeling vil vi undersøge fartens afhængighed af frekvensen, f. For at opnå variabelkontrol sørger vi for i denne afdeling at holde snorens længde og massen af loddet konstant.

I anden afdeling vil vi undersøge fartens afhængighed af snorlængden, L. Igen sørger vi for kun at undersøge dén ene variabel ved gennem hele forsøget udelukkende at kigge på 2. oversvingning og holde massen af loddet konstant.

Endelig vil vi undersøge fartens afhængighed af snorspændingen, F, som er defineret ved

𝐹=𝑚 ∙ 𝑔,

lod

hvor g er tyngdeaccelerationen på 9,82^{𝑚}_{𝑠²}. Her vil vi altså kun regulere på massen af loddet.

Snorens specifikke masse skal også noteres for at undersøge om formlen, som vi skal eftervise, gælder.

Denne størrelse, µ, beregnes ved

    𝑚hele snoren
µ=

𝐿hele snoren

Materialer:

Til forsøget brugte vi en funktionsgenerator, en frekvenstæller, en vibrator, en trisse, forskellige lodder, en snor, en vægt, et målebånd og en skruetvinge.

Forsøgsopstilling:

Opstillingen til forsøget så ud som illustreret herunder (dog havde vi også tilsluttet en frekvenstæller):

Udførelse:

1. afdeling: v’s afhængighed af f:

Snorens længde var 1 meter, mens massen af loddet gennem hele forsøget var 0,0992 kg. Nu indstillede vi på funktionsgeneratoren, indtil grundsvingningen fremkom. Her noterede vi frekvensen, hvorefter vi på

Side 3

tilsvarende måde fandt 1. oversvingning. Igen noteredes frekvensen, og sådan fortsatte vi, indtil vi havde tallene for de første fire resonansfrekvenser.

2. afdeling: v’s afhængighed af L:

I denne afdeling holdt vi ligeledes massen af loddet konstant, men nu var snorlængden vores uafhængige variabel. Derfor betragtede vi kun 2. oversvingning. Vi fandt således 2. oversvingning for snore på hhv. 0,75 meter, 1,00 meter, 1,25 meter og 1,50 meter ved igen at indstille på funktionsgeneratoren. De forskellige frekvenser blev noteret.

3. afdeling: v’s afhængighed af F:

Fartens afhængighed af snorens spænding blev undersøgt ved at ændre på massen af loddet, idet at snorlængden og svingningstypen gennem hele afdelingen var den samme.

Til sidst målte vi længden af hele vores snor for til sidst at veje den.

Data:

1. afdeling: v’s afhængighed af f:

L (m) m_{lod} (kg) n Svingningstype Bølgelængde λ (meter) f (s^{-1})/(Hz) v (m/s)

1,00 0,0992 2 grundsvingning 2,00 13,40 26,80

1,00 | 0,0992 | 3 | 1. oversvingning | 1,00 | 26,80 | 26,80
1,00 | 0,0992 | 4 | 2. oversvingning | 0,67 | 40,10 | 26,73
1,00 | 0,0992 | 5 | 3. oversvingning | 0,50 | 54,50 | 27,25

2. afdeling: v’s afhængighed af L:

L (m) m_{lod} (kg) n Svingningstype Bølgelængde λ (meter) f (s^{-1})/(Hz) v (m/s)

0,75 | 0,0992 | 4 | 2. oversvingning | 0,50 | 55,80 | 27,90
1,00 | 0,0992 | 4 | 2. oversvingning | 0,67 | 40,10 | 26,73
1,25 | 0,0992 | 4 | 2. oversvingning | 0,83 | 32,50 | 27,08
1,50 | 0,0992 | 4 | 2. oversvingning | 1,00 | 26,70 | 26,70

3. afdeling: v’s afhængighed af F:

L (m) m_{lod} (kg) n Svingningstype Bølgelængde λ (meter) f (s^{-1})/(Hz) v (m/s) F (N)

1,00 | 0,1488 | 3 | 1. oversvingning | 1,00 | 33,20 | 33,20 | 1,461216
1,00 | 0,0992 | 3 | 1. oversvingning | 1,00 | 26,80 | 26,80 | 0,974144
1,00 | 0,0496 | 3 | 1. oversvingning | 1,00 | 19,50 | 19,50 | 0,487072
1,00 | 0,0350 | 3 | 1. oversvingning | 1,00 | 16,40 | 16,40 | 0,343700

1,00 0,0100 3 1. oversvingning 1,00 9,50 9,50 0,098200

Snorens samlede masse: 0,0028 kg

Snorens samlede længde: 2,1000 m

µ= ⇒µ= =0,001333¯

𝑚hele snoren 0,0028 𝑘𝑔 𝑘𝑔

𝐿hele snoren 2,10 𝑚 𝑚

Side 4

Databehandling:

I de første to afdelinger har jeg helt undladt at udregne F, da den er konstant (i og med, at mlod er det).

Bølgelængden er udregnet efter formlen fra teoriafsnittet, mens farten i alle tilfælde er udregnet vha.

bølgeligningen, som vi ved gælder.

I første afdeling ser vi, at når vi ændrer på frekvensen, så ændrer vi også svingningstypen – og derfor ændrer vi altså også på bølgelængden. Farten er derfor nogenlunde konstant, da den ligger i intervallet

[26,73;27,25] m/s for de fire observationer. Der er altså tale om nogle meget små afvigelser, og vi kan

konkludere, at farten er uafhængig af frekvensen.

I anden afdeling ændrede vi kun på snorlængden, mens vi betragtede 2. oversvingning. Vi ændrede altså bølgelængden. Her ser vi igen, at når bølgelængden bliver større, så bliver frekvensen lavere og omvendt.

Produktet af frekvensen og bølgelængden er derfor endnu en gang nogenlunde konstant, men dog med en

lidt større fejlmargin end i afdeling 1. Farten ligger således i intervallet [26,70:27,90] m/s. Vi bliver dog igen

her i afdeling to bekræftet i, at bølgeligningen også gælder for stående bølger. Farten for en stående bølge er derfor uafhængig af snorlængden.

Resultaterne fra tredje afdeling viser med al ønsket tydelighed, at farten ændres, når massen af loddet – og derved snorspændingen – ændres. Jo mere udspændt snoren er, jo hurtigere bevæger bølgerne sig gennem

                                                         𝑘𝑔
den. Da vi samtidig beregnede snorens specifikke masse til 0,001333¯
                                                         𝑚

, kan vi nu undersøge, om formlen

𝑣= √^{𝐹}_{µ} er gyldig. Til det formål har jeg udarbejdet en ( √ 𝐹,𝑣)-graf i Excel:

På grafen ser vi, at sammenhængen mellem farten og kvadratroden af snorspændingen kan beskrives vha.

en lineær funktion. R² er lig 0,9994, så det er en fin en af slagsen. B-værdien er 1,0848, hvilket er så lille et tal, at vi groft sagt kan se bort fra det. Desuden ved vi også, at farten vil være 0, når snorspændingen er 0 Newton. y i vores funktion betegner farten, v, mens x angiver kvadratroden af snorspændingen, F.

Funktionen kan altså omskrives til (hvis vi ser bort fra b-værdien):

𝑣 (m/s)
    √ 𝐹

y = 26,356x + 1,0848
R² = 0,9994

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0 0,5 1 1,5

v (m/s)
Lineær (v (m/s))

Sammenhængen mellem 𝑣 og √ 𝐹

√ 𝐹 (Newton)

√

Side 5

𝑣=26,356 ∙ √ 𝐹

Nu er vi ved at nærme os den formel,som vi skal bevise,nemlig:

𝑣= √

𝐹 µ

Kvadratroden af 1 over µ er lig:

√ ⇒ =27,38612788

1 1 𝑘𝑔 µ 𝑚

√
0,001333¯^{𝑘𝑔}_{𝑚}

Dette tal er meget tæt på hældningskoefficienten fra vores funktion,da den procentuelle afvigelse er

𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑒𝑙 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒= ∙ 100 %=3,9 %

27,38612788 − 26,356

26,356

Med god tilnærmelse kan vi altså erstatte 26,356 med √^{1}_{µ}:

𝑣= √ ∙ √ 𝐹

1 µ

Pga. regnereglen: 𝑎 ∙ √ 𝑏= √ 𝑎∙ 𝑏
√

og fordi, man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet, kan vi nu skrive, at

𝑣= √

𝐹 µ

Q.E.D.

Nu har vi to udtryk for v, nemlig:

𝑣=𝜆∙ 𝑓 (1), = √^{𝐹}_{µ} (2)

Disse to udtryk kan sættes over for hinanden, da de begge er lig v:

𝜆 ∙ 𝑓= √

𝐹 µ

Det smarte ved dette er, at vi kan beregne os frem til en af de fire størrelser ved at kende de tre andre.

Vi kan eksempelvis finde F ved at opløfte til den reciprokke brøk på begge sider og isolere F. Så får vi, at

Side 6

𝜆 ∙ 𝑓=()^{2} ⇔ ( 𝜆 ∙ 𝑓)^{2} =()^{2} ⇔ ( 𝜆 ∙ 𝑓)^{2} = ⇔𝐹= ( 𝜆 ∙ 𝑓)^{2} ∙ µ

𝐹 𝐹^{∙^{2}_{1}} 𝐹

µ µ µ

1 1

Vi kan således ud fra vores efterviste formel fremsætte fire nye, som nødvendigvis også må gælde, nemlig:

𝐹=𝑣^{2} ∙ µ, 𝜆=, 𝑓=, µ=

√^{𝐹}_{µ} √^{𝐹}_{µ}
𝑓 𝜆 𝑣^{2}

𝐹

Jeg har prøvet dem alle af, og de gælder tilnærmelsevis – dog med den samme lille fejlmargin på knap 4 %.

Konklusion:

Med forsøget har vi eftervist, at transversalbølger udbreder sig langs en udspændt snor med farten 𝑣= √^{𝐹}_{µ}.

Vi fik således bekræftet vores hypotese, om at farten er uafhængig af frekvensen og bølgelængden

(dvs. svingningstypen og snorlængden), men derimod afhænger af snorens spænding og specifikke masse.