SRP: Enigma-maskinen og Kryptologi under Anden Verdenskrig

Side 1

NMKJTHVDQFFXPYONFJFIEPWICK

CCDMIAGKOVMMCTPQDUFFHEYPIS

WMMFUMWGKHVNMBMGFEEOKWXXXY

LVSEJNLMKXHVUFMIEXHQOTVDLI

QOBMSKMYKVXLBHSETULNHAYSKA

EEGCQBJXWVXSFJKIFZWEVTRPOU

FVTXGTMEWLXRPWCCDYAXMMAWIU

FIUVXVOVMMKDVRFMKEXRRXUFFH

EYPISWMMFUSIQIXRBMKEXHQOTV

DLIXKVCWMFEILVKAZVCURFAEEO

VJENPRSVUKBKGSURLXQNDQBWGJ

EOSMWGWNXICQLIISTEWFPVQPLJ

          Vejleder:
MMTDDZKXLISTBWUSTCBRNXVQOZ

WGKIXYUDWKSSDMJLHKUFMILUST

2. Verdenskrig og kryptering

This paper examines the advantages of a secure encryption of messages during wartime as seen with the Enigma in the beginning of the Second World War, as well as the importance of not relying solely on the encryption being secure, as the

Germans did during the Battle of the Atlantic. The Allied broke the encryption and won the Battle of the Atlantic with their new knowledge. Through examination of various factors such as the combinatorics behind the Enigma and an analysis of how the

Allied used the gathered information to finally win the Battle of the Atlantic, this paper is to explain why the Germans trusted

Enigma to be secure and how the Allied abused this trust to shorten the war with approximately 2-4 years.

3.x - SØNDERBORG STATSSKOLE

Matematik A, Historie A

Side 2

1

Indholdsfortegnelse

Indledning .............................................................................................................................. 2 Kryptosystemets udvikling igennem historien ...................................................................... 3 Begreber og introduktion: .................................................................................................. 3 Monoalfabetisk kryptosystem ............................................................................................ 3 Monoalfabetisk dekryptering ............................................................................................. 4 Polyalfabetisk kryptosystem .............................................................................................. 5 Polyalfabetisk dekryptering - Teori ................................................................................... 7 Measure of Roughness ................................................................................................... 8 Index og Coincidence ..................................................................................................... 9 Polyalfabetisk dekryptering i praksis – Eksempel på dekryptering ................................. 10 Enigma-maskinen – hvordan og hvorfor? ........................................................................... 14 Opbygning og funktionalitet ............................................................................................ 14 Enigmas kombinatorik ..................................................................................................... 15 Slaget ved Atlanten 16

Før USA’s indtræden i krigen i 1941 ............................................................................... 16 Efter USA’s indtræden ..................................................................................................... 17 Krigens udfald – Hvad nu hvis? .......................................................................................... 19 Konklusion ........................................................................................................................... 22 Litteraturliste ........................................................................................................................ 23 Bilag 1 .................................................................................................................................. 25 Bilag 2 .................................................................................................................................. 26 Bilag 3 .................................................................................................................................. 27 Bilag 4 .................................................................................................................................. 28 Bilag 5 .................................................................................................................................. 31 Bilag 6 .................................................................................................................................. 35

Side 3

2

Indledning

Den evige kamp imellem kodemagere og kodebrydere har i flere tilfælde været en vigtig faktor for udfaldet af store, historiske krige. Et eksempel herpå, er tyskernes revolutionerende mekanisering af krypteringen under 2. verdenskrig, ved hjælp af maskinen de kaldte Enigma. Enigma er det græske ord for ’gåde’, og det var præcis denne tanke der lå bag Enigma-maskines funktion. At holde meddelelser af militær relevans hemmelig for de allierede under 2. verdenskrig. Enigmaen var så kraftfuld, datidens teknologi taget i betragtning, at tyskerne regnede den for ubrydelig – men de skulle snart komme på andre tanker.

Jeg har i min opgave tænkt mig kort at belyse krigen mellem kodemagere og kodebrydere op igennem historien, med særlig fokus på mono- og polyalfabetisk kryptering og dekryptering, herunder desuden introduktion til fagtermer for krypteringen i al almindelighed. Dernæst vil jeg give en forklaring på, hvordan tyskerne brugte Enigmaen, samt hvorfor de stolede så blindt på dens sikkerhed. Til sidst vil jeg vurdere hvilken betydning det havde for søkrigen i Atlanterhavet, at Storbritannien fik brudt de tyske koder, samt diskutere betydningen af bruddet af koderne for krigens endelige udfald.

Side 4

3

Kryptosystemets udvikling igennem historien

Begreber og introduktion:

Et af de tidligste og mest simple kryptosystemer er det såkaldte Cæsarsystem.

Cæsarsystemet blev brugt af Julius Cæsar, romersk feltherre, til at gøre meddelelser af militær relevans ulæselige for fjenden under De Galliske Krige (ca. 50-58. f.v.t) [1] Systemet var simpelt, og bestod af et klartekstalfabet, og et kryptoalfabet. I dette system er kryptoalfabetet fremkommet ved at substituere hvert bogstav i klartekstalfabetet med bogstavet tre pladser længere henne, således at alfabetet bliver forskudt tre pladser mod venstre

Klartekstalfabet: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÆØÅ

Kryptoalfabet: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÆØÅABC

Når Cæsar så krypterede en meddelelse, så skrev han meddelelsen med klartekstalfabetet, og udskiftede hvert bogstav med bogstavet i samme position i kryptoalfabetet.

Eksempelvis kunne han omskrive beskeden ”VIANGRIBERIMORGEN” til

”YLDQJULEHULPRUJHQ”. Denne proces kaldes kryptering.

Når dette system kendes, så kan modtageren gå baglæns i processen og finde beskeden ud fra den krypterede besked. Ved at opsøge hvert bogstav i den krypterede besked i kryptoalfabetet, og erstatte dem med bogstavet i samme position i klartekstalfabetet, så vil den oprindelige meddelelse fremkomme. Dette kaldes dekryptering.

Alle der kender klartekstalfabetet såvel som kryptoalfabetet kan dekryptere meddelelsen, og dette skal så vidt muligt forhindres. Derfor skal den del af krypteringen som kaldes nøglen holdes hemmelig. I dette tilfælde er nøglen kryptoalfabetet.

Monoalfabetisk kryptosystem

Substitutionen behøver ikke nødvendigvis være systematisk som det ses i Cæsarsystemet.

Kryptoalfabetet kan således være et alfabet bestående af helt tilfældige substitutioner uden struktur [2]. Nedenfor ses et sådant tilfældigt kryptoalfabet.

1

http://www.forlaget-abacus.dk/art/krypto1/index.htm - d

2

Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi – Fra viden til videnskab, side 22

Side 5

4

Klartekstalfabet: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZÆØÅ

Kryptoalfabet: ÆAFPULØSZEOHVQJYÅGNIWTKMCRXDB

Processen for henholdsvis kryptering og dekryptering er de samme. Hvis den samme besked som tidligere, ”VIANGRIBERIMORGEN”, nu istedet krypteres med det nye alfabet, så fås den krypterede tekst til ”TZÆQØGZAUGZVJGØUQ”.

Hvis kryptoalfabetet udelukkende må bestå af forskydninger af klartekstalfabetet, så findes der, med det danske alfabet på 29 bogstaver, kun 28 mulige kryptoalfabeter. Hvis kryptoalfabetet derimod må bestå af en tilfældig rækkefølge af de 29 bogstaver, så fås

29! = 8,842 ∗10^{30} mulige kryptoalfabeter, hvilket må siges at være en væsentlig forskel.

Dette betyder dog ikke, at det monoalfabetiske kryptosystem er sikkert. Nok er der mange muligheder, men systemet har også svagheder.

Monoalfabetisk dekryptering

Det monoalfabetiske kryptosystems svaghed ligger i sproget og alfabetet. I en gennemsnitlig dansk tekst vil bogstavet ”E” forekomme hyppigere, end for eksempel bogstavet ”X” vil, og dette kan udnyttes. En krypteret meddelelse, krypteret med et monoalfabetisk kryptosystem, er i bund og grund er en normal besked, istedet dog skrevet om med andre bogstaver som repræsentanter for de oprindelige.

                             3
Bogstavfordeling for dansk klartekst

3

Tallene er taget fra bogen: Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 26

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z: Æ: Ø: Å:

Frekvens

Side 6

5

Ovenfor ses en tabel over frekvensfordelingen for det danske alfabets bogstaver. For en monoalfabetisk krypteret meddelelse vil bogstavfordelingen se tilnærmelsesvis ens ud, da meddelelsen som sagt egentlig bare er skrevet med andre repræsentanter for de oprindelige bogstaver. Ved at beregne frekvenserne for samtlige bogstaver i den krypterede tekst, kan frekvenserne sammenlignes med dem i ovenstående tabel. Gode pejlemærker til bestemmelse af repræsentanter er normalt bogstaver som ”E, R, T”, som er de hyppigst forekommende bogstaver. Desuden bruges nogle bogstavkombinationer hyppigere end andre i det danske sprog, f.eks. ses endelsen ”EN” ofte, hvilket også kan bruges til dekryptering. For en tekst, krypteret efter Cærsarsystemet, er dekrypteringen endnu nemmere, da bogstavernes rækkefølge desuden kendes. Man laver ganske enkelt en tilsvarende tabel over frekvensfordelingen for kryptoteksten, og sammenligner de to.

Tabellen for kryptomeddelelsens bogstavfordeling kan så forskydes til højre og venstre indtil de to billeder ligner hinanden mest muligt, og kryptoalfabetet er fundet.

Det monoalfabetiske kryptosystem er blevet udviklet igennem historien. Hyppigt forekommende vendinger er blevet erstattet af forskellige symboler eller usædvanlige bogstavkombinationer, bogstaver erstattet med tociffrede tal, der er blevet brugt flere forskellige repræsentanter for de hyppigst forekommende bogstaver og så videre. Et eksempel på dette er det såkaldte ”Coblenz chiffer” [4]. Coblenz chifferet består af et forskudt alfabet, som det Cæsar brugte. Ydermere blev en række hyppigt anvendte betegnelser erstattet med bogstavkoder, f.eks. blev ”Paris” erstattet med ”rk”. Desuden var der forskellige tociffrede tal som frit kunne vælges som repræsentanter for vokaler Det monoalfabetiske system blev brugt langt op i historien, indtil en fransk diplomat ved et polyalfabetisk krypteringssystem.

Polyalfabetisk kryptosystem

Ideen med at bruge flere alfabeter kan dog spores helt tilbage til 1400-tallet. En florentinsk polyhistor, Leon Battista Alberti, foreslog brugen af eksempelvis to kryptoalfabeter. Disse to kryptoalfabeter skulle så bruges skiftevis til kryptering af meddelelsen. Denne tanke har

4

Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 31-32

Side 7

6 flere bygget videre på op igennem historien, til Blaise de Vigenére endelig kom op med det vi i dag kender som det polyalfabetiske kryptosystem. [5]

Vigenéres system er centreret rundt om Vigenére-kvadratet, som består af 29 kryptoalfabeter, hvert nyt alfabet i rækken er det foregående alfabet, bare forskudt med én position.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å

A A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å

B B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A

C C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B

D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C

E E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D

F F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E

G G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F

H H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G

I I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H

J J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I

K K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J

L L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K

M M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L

N N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M

O O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N

P P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O

Q Q R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P

R R S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q

S S T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

T T U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

U U V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

V V W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

W W X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V

X X Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

Y Y Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

Z Z Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

Æ Æ Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ø Ø Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ

Å Å A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Æ Ø

               6
Vigenére-kvadratet

5

Simon Singh: Kodebogen – Videnskaben om hemmelige budskaber – fra oldtidens til Ægypten til kvantekryptering, side 59-62

6

Simon Singh: Kodebogen – Videnskaben om hemmelige budskaber – fra oldtidens til Ægypten til kvantekryptering, side 62

Side 8

7

Vigenére-kvadratet skal bruges sammen med en nøgle. Nøglen består nu af et kodeord, som kun afsender og modtager kender. Dette kodeord bestemmer, hvilke af de 29 kryptoalfabeter der skal bruges, og i hvilken rækkefølge. Nøglen kunne for eksempel være ”SRP”. Alfabeterne startende med hhv. S, R og P skal således bruges til denne kryptering. Vi siger, at perioden er 3, da der bruges tre alfabeter til krypteringen.

Kryptoteksten skrives op på en lang række, og nedenunder denne skrives gentagelser af nøgleordet, indtil der er lige mange bogstaver i hver række.

Meddelelsen ”VIANGRIBERIMORGEN” skal krypteres ved polyalfabetisk kryptering med nøgleordet ”SRP”. Først skrives meddelelsen på en linje, nedenunder skrives nøgleordet gentaget, indtil der er et bogstav for hvert bogstav i beskeden. Til selve krypteringen opsøges bogstavet i beskeden i Vigenére-kvadratets øverste række, og bogstavet i nøgleordsrækken med den tilsvarende position opsøges i den lodrette række helt til venstre. Bogstavet i positionen hvor de to rækker skærer hinanden, er det krypterede bogstav.

Besked: VIANGRIBERIMORGEN

Nøgleord: SRPSRPSRPSRPSRPSR

Krypteret meddelelse: KZPCXDÆSTGZØDFVWB

Det spændende ved denne mere avancerede type kryptering kan ses i ovenstående eksempel. Beskeden indeholder netop tre forekomster af bogstavet ”R”. I den krypterede meddelelse er disse tre ens bogstaver blevet krypteret til hhv. ”D”, ”G” og ”F”, tre forskellige bogstaver. Dette ville ikke have været tilfældet ved monoalfabetisk kryptering, og frekvensanalysen kan derfor ikke benyttes som tidligere – i hvert fald ikke på samme måde.

Polyalfabetisk dekryptering - Teori

Dekryptering af en polyalfabetisk krypteret meddelelse kan stadig foregå ved simpel frekvensanalyse – så længe der tages højde for de flere alfabeter. William Friedman, en amerikansk kryptolog, kom i 1920’erne op med en metode til dekryptering af dette

system^{7}.

7

Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 43

Side 9

8

Denne metode, også kendt som ”Friedmans test”, arbejder med sandsynlighedsregning som værktøj. Testens teori gennemgås her, mens testen i praksis benyttes og gennemgås

nøje i næste afsnit^{8}.

Først defineres et par størrelser til brug senere. Det danske alfabet noteres efter

standardrækkefølge med tal fra 1 til 29. 𝑝
                                 𝑖

betegner sandsynligheden for at finde det 𝑖’te

bogstav i en vilkårlig position i den krypterede besked, hvor 𝑖 = 1,2, . . ,29

Measure of Roughness

Measure of Roughness (MR) er, som navnet antyder, en konstant baseret på sandsynligheder, som fortæller noget om, hvor jævn bogstavfordelingen i en given tekst er.

Measure of Roughness defineres som

𝑀𝑅 = ∑(𝑝_{𝑖} −)

1^{2}

29

29

𝑖=1

Denne konstant kan omskrives

               1
       29
𝑀𝑅 =  ∑   (𝑝 −  )  =
       𝑖=1  𝑖
               29

2

             2
           1           1
 29   2
∑   (𝑝  + ( ) −2 ∗𝑝   ∗  ) =
 𝑖=1  𝑖             𝑖
          29           29

              1     2
 29  2    29             29
∑   𝑝  + ∑   ( )  −   ∗ ∑  𝑝 =
 𝑖=1 𝑖    𝑖=1            𝑖=1 𝑖
              29    29

2

                2
              1     2
 29  2
                                    29
∑   𝑝  + 29 ∗( )  −   ∗1 =         ∑   𝑝 = 1: sandsynligheden for, at alle
                                    𝑖=1 𝑖
 𝑖=1 𝑖
              29    29

         1
 29  2
∑   𝑝  −
 𝑖=1 𝑖
         29

For den helt jævne bogstavfordeling, alfabetet eksempelvis, hvor hvert bogstav

                                      1
forekommer med samme sandsynlighed, 𝑝 = , da vil vi se, at 𝑀𝑅 = 0
                                  𝑖
                                     29

                         1         1     1
                  29  2
𝑀𝑅 =            ∑    𝑝 −   = 29 ∗(  ) −   = 0
                  𝑖=1 𝑖
                         29       29    29

2

8

Eksemplet er at finde i bogen Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 43-

47

Bemærk: der er ind til flere fejl i eksemplet i bogen, disse er omtalt i litteraturlisten og er selvfølgelig rettet i udregningerne i opgaven

∑^{𝑚}_{𝑥=𝑖} (𝑓 ( 𝑥) + 𝑔 ( 𝑥)) = ∑^{𝑚}_{𝑥=𝑖} 𝑓 ( 𝑥) + ∑^{𝑚}_{𝑥=𝑖} 𝑔(𝑥)

∑^{𝑚}_{𝑥=𝑖} (𝑓 ( 𝑥) −𝑔 ( 𝑥)) = ∑^{𝑚}_{𝑥=𝑖} 𝑓 ( 𝑥) − ∑^{𝑚}_{𝑥=𝑖} 𝑔(𝑥)

∑^{𝑛}_{𝑖=1} 1 = 𝑛

alfabetets bogstaver er at finde i alfabetet er

100% = 1

Side 10

9

𝑝_{𝑖} er som sagt sandsynligheden for at finde det 𝑖’te bogstav i en vilkårlig position i en

              2
krypteret tekst. 𝑝 er derfor sandsynligheden for at finde det 𝑖’te bogstav i to vilkårlige
              𝑖

positioner i teksten. Summen af alle disse sandsynligheder, ∑^{29}_{𝑖=1} 𝑝_{𝑖}^{2}, kan derfor tolkes som

sandsynligheden for, at der i to vilkårlige positioner i teksten, står samme bogstav.

Index og Coincidence

Den ovenfor omtalte værdi, ∑^{29}_{𝑖=1} 𝑝_{𝑖}^{2}, kaldes også for Index of Coincidence (𝐼_{𝑐}) , og kan

estimeres for en given kryptotekst. Lad N være længden af kryptoteksten, og ℎ
                                                               𝑖

hyppigheden af det 𝑖’te bogstav. To tilfældige positioner i kryptoteksten kan vælges på

𝐾(𝑁, 2) måder, og af de 𝐾(𝑁, 2) måder vil 𝐾(ℎ_{𝑖}, 2) indeholde det 𝑖’te bogstav i begge

positioner. Index of Coincidence kan nu defineres:

𝐼_{𝑐} =

∑^{29}_{𝑖=1} 𝐾 ( ℎ_{𝑖}, 2)

𝐾 ( 𝑁, 2)

Hvor ∑^{29}_{𝑖=1} 𝐾 ( ℎ_{𝑖}, 2) er det antal par af positioner, der indeholder det samme bogstav, og

𝐾 ( 𝑁, 2) er det samlede antal af måder, hvorpå to positioner kan vælges. Denne definition

kan omskrives, da det gælder, at 𝐾 ( 𝑁, 2) = ½ ∗𝑁(𝑁 −1) og 𝐾 ( ℎ_{𝑖}, 2) = ½ ∗ℎ_{𝑖} (ℎ_{𝑖} −1)

𝐼_{𝑐} =

∑^{29}_{𝑖=1} ½ ∗ℎ_{𝑖} (ℎ_{𝑖} −1)
½ ∗𝑁(𝑁 −1)

                                               1
Nu kan Measure of Roughness skrives om til 𝑀𝑅 = 𝐼 −
                                           𝑐
                                               29

𝐼_{𝑐} kan med fordel beregnes for en dansk normaltekst, da denne værdi skal bruges til den

egentlige dekryptering. Desuden beregnes 𝑀𝑅 for den danske normaltekst som eksempel.

Der tages udgangspunkt i tallene, som kan ses på Bilag 2^{9}

𝐼_{𝑐} = 0,057^{2} + 0,015^{2} + 0,003^{2} + 0,055^{2} + 0,163^{2} + 0,025^{2} + 0,043^{2} + 0,012^{2}
+ 0,057^{2} + 0,004^{2} + 0,033^{2} + 0,049^{2} + 0,028^{2} + 0,073^{2} + 0,051^{2}
+ 0,024^{2} + 0,087^{2} + 0,053^{2} + 0,078^{2} + 0,023^{2} + 0,032^{2} + 0,001^{2}
+ 0,010^{2} + 0,010^{2} + 0,007^{2} + 0,008^{2} = 0,0701

          1           1
𝑀𝑅 = 𝐼  −   = 0,0701 −  = 0,0356
      𝑐
         29           29

9

Tallene er taget fra bogen Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 26

Side 11

10

Polyalfabetisk dekryptering i praksis – Eksempel på dekryptering

På Bilag 1 ses en krypteret tekst. Der oplyses af vejlederen, at denne er krypteret ved polyalfabetisk kryptering. Teksten er desuden på dansk, og indeholder ingen forekomster af bogstaverne Æ , Ø og Å.

Jeg vil, igennem eksemplet, bruge tal udregnet ved hjælp af hjemmesiden

http://srptest.site90.net/forsog4.php - en hjemmeside jeg selv har lavet til netop dette

formål, denne skal fungere som værktøj. Kildekoden til hjemmesiden ses på Bilag 5 Jeg starter, for en god ordens skyld, ud med at bekræfte, at krypteringen er foregået ved brug af et polyalfabetisk kryptosystem. Først tælles antallet af bogstaver i kryptoteksten, dernæst hyppigheden af hvert enkelt bogstav i det danske alfabet i kryptoteksten

10

Antal bogstaver: 1021

A: 25 G: 37 M: 68 S: 48 Y: 21

B: 37 H: 20 N: 28 T: 31 Z: 38

C: 32 I: 54 O: 37 U: 30 Æ: 0

D: 42 J: 24 P: 21 V: 57 Ø: 0

E: 44 K: 59 Q: 28 W: 65 Å: 0

F: 42 L: 35 R: 39 X: 59

Hvis teksten havde været en monoalfabetisk kryptering, så ville 𝐼 have været tættere på
                                                    𝑐

den for en dansk normaltekst, nemlig 𝐼_{𝑐} = 0,0701. Derimod ligger 𝐼_{𝑐} meget tættere på_{29}^{1}
som den ville have været, hvis alle bogstaver forekom med samme sandsynlighed. Da 𝐼_{𝑐}

ligger tættere på den for en jævn, tilfældig kryptotekst, kan vi konkludere, at systemet der er brugt, ikke er monoalfabetisk.

Jeg kan, på nuværende tidspunkt, absolut intet vide om nøgleordet, men jeg kan, ved hjælp

af 𝐼_{𝑐} og 𝑀𝑅, opstille en formel, som kan fortælle mig hvor godt et gæt for perioden p af

nøgleordet er.

Der gættes først på en værdi for p. Den krypterede tekst deles nu op i p antal rækker med

ca. N/p bogstaver i hver. 𝐼_{𝑐} kan nu beregnes for hver af rækkerne, og jo tættere 𝐼_{𝑐} for hver

10

http://srptest.site90.net/forsog4.php - se kildekode til hjemmesiden i Bilag 5 for udregninger af disse tal

𝐼_{𝑐} = 0,0422

          1           1
𝑀𝑅 = 𝐼  −   = 0,0422 −  = 0,0077
      𝑐
         29           29

Side 12

11

af rækkerne er på 𝐼_{𝑐} for en dansk normaltekst, jo større er sandsynligheden for, at gættet på

periodelængden var rigtigt.

Measure of Roughness blev tidligere brugt til at bestemme, hvor jævn bogstavfordelingen

                                      1
var, i forhold til den jævnest mulige tekst, 𝐼 = . Denne konstant kan dog også bruges til
                                   𝑐
                                      29

bestemmelse af, hvor jævn fordelingen er, i forhold til eksempelvis fordelingen for en

dansk normaltekst, hvor 𝐼 = 0,0701.
                    𝑐

Ved at tage gennemsnittet af 𝐼_{𝑐} -værdierne for alle rækkerne, og bruge det i formlen for 𝑀𝑅

                            1
med 𝐼 = 0,0701 istedet for 𝐼 = , da kan jeg tjekke hvor jævne 𝐼 -værdierne for
     𝑐                  𝑐                             𝑐
                           29

rækkerne er, i forhold til 𝐼 for den danske normaltekst.
                     𝑐

𝐼_{𝑐} 𝑀𝑅 ( 𝑝) = ∑ ( 𝐼_{𝑐} ( 𝑖) −0,0701)^{2}

1^{𝑝}
𝑝_{𝑖=1}

Ovenfor ses en formel udledt til formålet [11]. 𝐼_{𝑐} (𝑖) er 𝐼_{𝑐} af den 𝑖’te række. Gennemsnittet af

𝐼_{𝑐} -værdierne for kryptoteksten holdes, i formlen for 𝑀𝑅, op mod 𝐼_{𝑐} for en dansk
normaltekst. Jo nærmere 0 denne værdi er, jo mere ligner 𝐼_{𝑐} -værdierne for rækkerne den

for en normal dansk tekst, og jo større er sandsynligheden derfor for, at vores gæt på periodelængden var rigtigt.

Jeg konkluderede tidligere, at krypteringen ikke var monoalfabetisk, derfor må perioden

være længere end 1. Jeg prøver nu med 𝑝 = 2:

Kryptoteksten deles op, så hvert andet bogstav står efter hinanden, første bogstav i første række, andet bogstav i anden række, tredje bogstav i første række osv. Der fås to rækker,

og 𝐼_{𝑐} for disse to rækker beregnes, og der fås hhv.

Række 1:

NKTVQFPOFFEWCCDIGOMCPDFHYIWMUWKVMMFEKXXLSJLKHUMEHOVL...

12

𝑅æ𝑘𝑘𝑒 1: 𝐼 = 0,0418

𝑐

Række 2:

MJHDFXYNJIPIKCMAKVMTQUFEPSMFMGHNBGEOWXYVENMXVFIXQTDI...

𝑅æ𝑘𝑘𝑒 2: 𝐼 = 0,0427

𝑐

11

Formelen er taget fra bogen Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 46

12

Bemærk: Kun begyndelsen af hver af de to rækker er i opgaven vist som eksempel på rækkeopdelingen

Side 13

12

Disse indsættes i formlen ovenfor, og 𝐼 𝑀𝑅(𝑝) udregnes
                               𝑐

                      1
𝐼           𝑀𝑅 ( 2 ) = ( ( 0,0418 + 0,0427 ) −0,0701) = 0,000776
                      2

𝑐

2

                                                      13
Dette gør jeg for alle gæt fra 2 til 20, og får følgende 𝐼 𝑀𝑅-værdier :
                                           𝑐

p p p p

2: 0,000776 7: 0,000007 12: 0,000780 17: 0,000716

3: 0,000793 8: 0,000860 13: 0,000753 18: 0,000677

4: 0,000783 9: 0,000737 14: 0,000008 19: 0,000776

5: 0,000796 10: 0,000797 15: 0,000881 20: 0,000761

6: 0,000771 11: 0,000777 16: 0,000862

Jeg har illustreret 𝐼 𝑀𝑅-værdiernes reciprokke værdi, da det er nemmere at få øje på noget
               𝑐

stort, end noget meget småt. Perioden 7 giver umiddelbart den laveste 𝐼 𝑀𝑅-værdi, og det
                                                         𝑐

er derfor med perioden 7, at 𝐼_{𝑐} for hver af rækkerne mest ligner 𝐼_{𝑐} for en almindelig dansk

tekst. Kryptoteksten deles nu igen op i 7 rækker, og hvis formodningerne er rigtige, da er disse rækker alle krypteret med hver sin cæsarforskydning [14]

Ved dekryptering af cæsarforskydninger, kan bogstavfrekvenserne illustreres og blot sammenlignes med illustrationen af bogstavfrekvenserne for en dansk normaltekst. Jeg

                                                                   15
gennemgår nu den første af de 7 rækker, resten af illustrationerne kan ses på Bilag 4

13

Samtlige udregninger ses i Bilag 6

14

Se side 3

15

Bemærk: Der oplyses, at kryptoteksten ikke indeholder Æ , Ø og Å, så disse udelades fra frekvensanalysens illustrationer

0

50000

100000

150000

18 19 20

Reciprokke IcMR-værdier

Side 14

13

Række 1:

NDOPDVDPUNEYLFOOKEYCXZOTPXFVFXPUBOKICOSSDOXSQDSCOYDFCXDKSOKDW

XUKPWSKVUKDCOCDKSDWFQPOZOECFDUODDZDBVDPCOVFBDOFBQNDOWWVRSCXSN

WOCODRSCUOKYWOKKKOVSUFNQ

Antal bogstaver: 146

A: 0 G: 0 M: 0 S: 11 Y: 4

B: 4 H: 0 N: 5 T: 1 Z: 3

C: 11 I: 1 O: 21 U: 7 Æ: 0

D: 19 J: 0 P: 7 V: 7 Ø: 0

E: 3 K: 12 Q: 4 W: 7 Å: 0

F: 9 L: 1 R: 2 X: 7

Hvis samtlige søjler forskydes 10 positioner mod venstre, så stemmer illustrationen med god tilnærmelse overens med den for den danske normaltekst som ses på Bilag 2. Dette betyder, at K er første bogstav i det alfabet der blev brugt til kryptering af denne række, derfor er K ligeledes første bogstav i nøgleordet.

På samme måde behandles de resterende 6 rækker, se bilag 4 for illustrationer. Nøgleordet fås til KIRSTEN. Den fulde dekrypterede tekst kan ses på Bilag 3

0

5

10

15

20

25

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

Række 1

Side 15

14

Enigma-maskinen – hvordan og hvorfor?

Opbygning og funktionalitet

Enigma-maskinen er for polyalfabetiske kryptosystemer, hvad eksempelvis Coblenz chiffer var for monoalfabetiske kryptosystemer – en videreudviklet, mere avanceret

udgave.^{16}

Enigmaen bestod af et tastatur, hvis knapper var forbundet til et plugboard. Plugboardet var forbundet til en serie af 3 rotorer, som endte i en reflektor, hvis job det var, at sende impulsen baglæns igennem systemet, som til sidst var forbundet til lampebordet. [17] Rotorerne var små hjul, med et skjult ledningsnetværk indeni. Hver rotor havde 26 positioner, et for hvert bogstav i det tyske alfabet. Hver gang en tast på tastaturet blev trykket ned, og den elektriske impuls passerede rotorens ledningsnetværk, så rykkede denne én position så en ny ledningsforbindelse blev brugt for hvert tryk. For hver omgang

(26 positioner), så rykkede den næste rotor en position til de til sidst alle tre havde roteret en omgang, hvorefter der startes forfra.

Plugboardet blev først tilføjet, da det tyske militær fik øjnene op for maskinens vitale, praktiske anvendelsesmuligheder [18]. Dog var maskinen ikke helt sikker nok til militær brug, så denne tilføjelses eneste funktion var, at øge sikkerheden igennem mulige indstillingsmuligheder. I plugboardet ombyttes bogstavpar ved ledningsforbindelser, før impulsen sendes videre ind i de tre rotorer, og den betydelige sikkerhedsforøgelse som denne tilføjelse medførte, diskuteres senere i afsnittet.

Reflektoren var kilden til maskinens praktiske egenskaber. I krigstider, hvor flere tusinder beskeder frem og tilbage om dagen ikke er usædvanligt, skal kryptering, såvel som dekryptering, foregå i et praktisk anvendeligt tempo [19]. Den mekaniske kryptering slog igennem, netop fordi dekrypteringen foregik så let som den gjorde. Hvis maskinen havde samme startindstillinger, som da krypteringen blev foretaget, da kunne den krypterede tekst blot indtastes på tastaturet, og den dekrypterede tekst ville lyse op på lampebordet.

16

Billedet er taget fra http://matematiksider.dk/enigma/enigma%20plugboard%20big.jpg – d

17

http://matematiksider.dk/enigma.html - se “Enigmas virkemåde” - d

18

http://matematiksider.dk/enigma.html - se ”Plugboard-indstillinger” - d

19

http://matematiksider.dk/enigma.html - se ”Kort om situationen i kryptologi før Enigma” – d

Side 16

15

Dette skyldes netop reflektoren, hvis rolle det var at sende de elektriske impulser baglæns i systemet.

Enigmas kombinatorik

Ikke nok med, at Enigma var praktisk, kombinationsmulighederne var ligeledes utrolig mange. Rotorerne kan, som udgangspunkt, sættes i 26 forskellige positioner, dette giver i

sig selv 26^{3} = 17576 muligheder. Desuden kunne de tre rotorer sættes i vilkårlig
rækkefølge, hvilket resulterer i yderligere 3! = 6 muligheder. Til sidst er der plugboardet

på maskinens front. Med 26 huller til stik, et for hvert bogstav, kan et forskelligt antal

ledninger p anvendes, 0 ≤ 𝑝 ≤ 13. Antallet af mulige kombinationer S kan beregnes ved
følgende formel^{20}

𝑆_{𝑝} =

26!

( 26 −2𝑝)! ∗𝑝! ∗2^{𝑝}

Den ene ende af første ledning kan stikkes i 26 forskellige huller. Den anden ende af denne ledning kan dernæst stikkes i et af de resterende 25 huller osv, 26!. Dette kan gøres, indtil

alle p ledninger er brugt, der deles derfor med ( 26 −2𝑝)!. Der tages i formlen højde for,

at ledningerne er ens, og permutationen af disse p antal ledninger er ligegyldig, der deles derfor med 𝑝!. Desuden er der ingen praktisk forskel på, hvilken ende af ledningen der sættes i hvilket hul, da ledningernes ender er ens, i teorien kan ledningerne dog stadig

sættes i på to måder, men der tages højde for dette ved at dele med 2^{𝑝}

Følgende skema angiver kombinationsmulighederne S afhængig af antallet af ledninger p brugt i maskinen, beregnet ved formlen ovenfor p Kombinationer p Kombinationer p Kombinationer

0: 1 5: 5,019,589,575 10: 150,738,274,937,250

1: 325 6: 100,391,791,500 11: 205,552,193,096,250

2: 44,850 7: 1,305,093,289,500 12: 102,776,096,548,125

3: 3,453,450 8: 10,767,019,638,375 13: 7,905,853,580,625

4: 164,038,875 9: 53,835,098,191,875

20

Formelen er taget fra http://ed-thelen.org/comp-hist/NSA-Comb.html - d

Side 17

16

Det ses umiddelbart, at 11 ledninger giver flest mulige kombinationer. En Enigma-maskine

med 11 ledninger i plugboardet vil derfor sammenlagt have 𝑆_{11} ∗17576 ∗6 = 2,17 ∗10^{19}

indstillingsmuligheder. Tyskerne behøvede dog ikke nødvendigvis bruge 11 ledninger hver dag, de kunne bruge et vilkårligt antal imellem 0 og 13, hvilket giver plugboardet en total mængde kombinationsmuligheder på

𝑆_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = ∑ = 8 200 576

26!

( 26 −2𝑝)! ∗𝑝! ∗2^{𝑝}

13

𝑝=0

Slaget ved Atlanten

Før USA’s indtræden i krigen i 1941

Slaget ved Atlanten, som Winston Churchill døbte det i 1941^{21}, var en søkrig på

Atlanterhavet, som strækte sig fra 1939 og helt til verdenskrigens ende i 1945. Især i dette slag var Enigmaens fordele, og senere brydningen af den, tydelige årsager til den skiftende dominans i Atlanten. Efter et markant nederlag i 1. verdenskrig havde Tyskland ikke særlig megen økonomisk eller militær magt på grund af Versailles-traktaten. [22]

De havde dog Enigma – en yderst sikker og utrolig praktisk krypteringsteknologi, som gav dem en meget stor kommunikationsfordel. Tyskerne havde nemlig brudt flere af de engelske kryptosystemer, og især dem, som blev brugt til styring af konvojerne med forsyninger fra USA til Storbritannien, var interessante. [23]

Efter sejren over Frankrig i 1940 havde Tyskland stor kontrol over Atlanten, og Tysklands ubåde kunne nu flyttes til baser i Frankrig og bruges mere effektivt til sænkning af de allieredes forsyningskonvojer, da de nu havde en meget bredere rækkevide for ubådskonvojerne, og dermed også flere succesrige sænkninger. De allierede havde nemlig, på dette tidspunkt, intet forsvar mod de tyske ubåde, som lå placeret med 40 mil imellem hinanden. Når så en af ubådene fik kontakt til en konvoj lød ordren, at konvojen skulle følges, men ikke angribes, indtil ubådene alle var samlet og kunne angribe som flok og dominere konvojen. Denne taktik

21

http://da.wikipedia.org/wiki/Slaget_om_Atlanten_() – d

22

http://da.wikipedia.org/wiki/Versailles-freden - d

23

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb? - side 25

Side 18

17

                 24
hed Ulvekobbeltaktik og var kun mulig på grund af den sikre radiokommunikation, i

modsætning til de allieredes som tyskerne læste. Dette i sig selv er nok til at tildele Enigmamaskinen en generel betydningsfuld rolle, da de uden den ikke nær så effektivt kunne have hindret forsyningskonvojerne i at styrke Storbritannien.

I løbet af 1941 fik de allierede dog langsomt medvind på dekrypteringsfronten. Med massiv polsk assistance, og en kapring af en Enigma-maskine samt tilhørende dokumenter

                    25                                26
fra den tyske ubåd U-110 , indledte de allierede operation ULTRA . ULTRA var et

projekt med den hensigt, at indhente information om de tyske koder, forcere maskinen og dekryptere så mange tyske meddelelser som muligt, og ikke mindst hemmelighedsholde hele affæren for tyskerne. Hvis de skulle finde ud af, at deres koder var brudt, ville de stoppe med at bruge dem, de ville finde på noget nyere, og mere kompliceret, og hele den store fordel de allierede havde fået, ville falde til jorden. Flere og flere tyske radiosignaler fra ubådene i Atlanten blev snart dekrypteret, og de allieredes tab blev langsomt mindre og mindre.

Efter USA’s indtræden

Hitler erklærede USA krig i 1941, kort efter et overraskende japansk angreb på Pearl Harbor, en amerikansk stillehavsflåde. Kort herefter beordrede Karl Dönitz [27], leder af den tyske ubådsflåde, et stort antal ubåde helt ind til USA’s kyst, hvor flere handelsskibe effektivt blev skudt i sænk.

28

Samtidig med den effektive ubådsføring fra tysk side, tilføjede de nu endnu en rotor til Enigmaen, der blev brugt i flåden, som nu havde 4 rotorer. Dette skulle vise sig at sætte en stopper for ULTRAs korte succes. Tabene steg igen for de allierede, og hele år 1942 så sort ud. Dönitz beordrede dog ubådene tilbage fra den amerikanske kyst, men de fortsatte beskydning af forsyningskonvojerne som tidligere. Sidst i 1942 fik ULTRA dog hul på de nye komplikationer, som den fjerde rotor havde medført, og der kunne igen navigeres udenom ulvekoblerne, men succesen varede kun kort.

24

Sebastian Dehnhardt, Ricarda Schlosshan: The War of the Century – Death Traps - 15:04 – 16:18

25

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb? - side 26
26

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb? - side 21
27

http://da.wikipedia.org/wiki/Karl_D%C3%B6nitz - d

28

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb? - side 26-27

Side 19

18

Selvom de allierede stadig kunne aflæse ulvekoblernes position og navigere udenom rent teknisk set, så havde Tyskland, omkring marts 1943, efterhånden oprustet med et så stort antal ubåde, at omdirigeringen blev både afslørende og ueffektiv.

Det kom dog ikke til at betyde det helt store, da de allierede allerede to måneder senere, i maj 1943, fik adgang til diverse opgraderinger med hensyn til konvojerne imellem USA og Storbritannien, deriblandt dybvandsbomber, nye radarsystemer og eskortehangarskibe til konvojerne. Ikke nok med at de allierede nu kunne se og forsvare sig imod ubådene, de kunne kæmpe tilbage, og det gjorde de så sandelig.

Tyskerne stolede blindt på sikkerheden bag Enigma-maskinen. Imidlertid skiftede maskinen langsomt rolle. Fra at være en betydningsfuld grund til Tysklands succes under Slaget ved Atlanten, blev denne faktisk en ulempe, i og med den til slut fremskyndede forsyningerne til Storbritannien, samt gav de allierede en kæmpe fordel ved at give dem mulighed for nemt at ramme ubådene med angreb og svække Tyskland yderligere. At angribe ubådene var dog risikabelt for hemmelighedsholdelsen af ULTRA, der blev derfor taget forholdsregler for ikke at afsløre det. Til alt held for de allierede var tyskerne så overbeviste om og så afhængige af, at Enigma var fuldstændig ubrydelig, blandt andet på grund af den tidligere diskuterede kombinatorik bag Enigma. De så sig derfor blinde på de allieredes smarte forholdsregler og fejlvurderede situationen. De var overbeviste om, at de mange flere ubådssænkninger ikke kunne være fordi Enigma var blevet knækket, men derimod måtte være de allieredes nye radarsystem, som så ofte var blevet omtalt af allierede soldater under forhør. [29] Dette radarsystem var dog delvist opspind, som skulle dække over ULTRA, og var bare en af flere smarte forholdsregler.

Nok var det vigtigt for Storbritannien, at de tyske koder blev knækket, men mindst lige så vigtigt var det altså, at tyskerne var så overbeviste om Enigmas sikkerhed, at Storbritannien kunne udnytte deres store indsigt i den tyske kommunikation til det fulde.

Det synes dog givet, at Tyskland aldrig ville have domineret slaget til fulde, da de allierede senere i krigen fik ny teknologi til at støtte dem i kampen mod de tyske ubåde, og Tyskland i forvejen var svækket voldsomt efter 1. verdenskrig, i modsætning til USA.

Storbritanniens brydning af de tyske koder var nok i højere grad betydningsfuld for tabene

29

http://www.cl.cam.ac.uk/research/security/Historical/hinsley.html - d

Side 20

19 under krigen. Hvis ikke Storbritannien og USA havde haft mulighed for at styre deres konvojer udenom ulvekoblerne, så ville slaget nemt havde udviklet sig langt mere blodigt og brutalt kamp end det gjorde. Tyskerne ville fortsat have beskudt de allieredes konvojer, men konvojerne var nu så stærke, at selvom de ikke kunne læse ubådenes nøjagtige positioner, så ville de stadig kunne yde en betydelig modstand. Tyskland ville måske få sænket mere tonnage, hvis de allierede stadig ikke vidste hvor ubådene befandt sig, afhængig af aggresiviteten i den tyske strategi. Dette ville dog være på bekostning af flere mistede ubåde, og det er begrænset hvor lang tid Tyskland havde råd til dette, deres begrænsede økonomi taget i betragtning.

I forhold til de allieredes dristige angreb på ubådene i 1943, hvor tyskerne mistede et stort antal ubåde og fik sænket meget lidt tonnage, så ville slaget have været mere brutalt uden brydningen af Enigma.

Krigens udfald – Hvad nu hvis?

Hvad nu hvis ULTRA ikke havde eksisteret, og tyskernes Enigma-maskine aldrig var blevet dekrypteret af de allierede? Et interessant spørgsmål, som dog kun kan besvares ved formodninger og gætteri.

Kontrafaktisk historie er en gren af historien, som netop beskæftiger sig med besvarelser af spørgsmålet “Hvad nu hvis?” [30]. At udregne et resultat af en historisk begivenhed, hvor visse vigtige faktorer udelades, kan virke uoverkommeligt, endda umuligt med de uendeligt mange faktorer der har spillet ind og ført til, at historien forløb netop som den gjorde.

Sir Harry Hinsley, en anerkendt historiker som under 2. verdenskrig arbejdede i Bletchley Park [31], har forsøgt sig med en sådan kontrafaktisk analyse af netop ULTRA’s betydning for krigens udfald. Med særlig henblik på de episoder af krigen, hvor flere historikere mener, at ULTRA har haft den største indflydelse på historiens gang, især Slaget ved Atlanten, konkluderer han følgende:

30

Hvad nu hvis – historien havde taget en anden drejning? - Illustreret videnskab nr. 7/2006

31

Bletchley Park var stedet, hvor dekrypteringen af Enigma foregik, og projekt ULTRA havde hjemme

Side 21

20

”My own conclusion is that it shortened the war by not less that two years and probably by

                                                             32
four years - that is the war in the Atlantic, the Mediterranean and Europe.”

Som baggrund for denne konklusion ligger overvejelser om blandt andet en eventuel tysk sejr. Dette virker dog usandsynligt under alle omstændigheder, og det synes givet, at de allierede ville vinde krigen, selv uden ULTRA, da briterne trods alt overlevede de første år af krigen uden særlig nytte af den smule viden de fik ud af ULTRA. Desuden overlevede Sovjet en tysk invasion omtrent samtidig med, at USA gik ind i krigen.

Bag de to til fire år, som han mener krigen kunne forkortes med, ligger en kontrafaktisk historisk analyse af især fordelene ved informationerne som ULTRA gav, og de allieredes håndtering af den vitale hemmelighedsholdelse for tyskerne. Fordelene ved informationen var selvfølgelig mange, men de allierede skulle hele tiden sørge for, at de havde andre kilder end udelukkende ULTRA, til at begrunde deres handlinger. Tyskerne fik indsat flere og flere ubåde i Atlanten, og hvis dette skete samtidig med, at færre af de allieredes konvojer blev spottet uden nogen videre logisk forklaring, så ville ULTRA højest sandsynligt være blevet afsløret. Dette greb de an på snedig vis, ved blandt andet at instruere piloter til at beskrive et fantastisk, imaginært radarsystem under tyske afhøringer, som skulle kunne se ubådene selv ved meget store dybder. Desuden sørgede de altid for at sende et fly eller andet til ubådens position, velvidende at ubåden lå der, udelukkende for at kunne sende et signal tilbage om, at ubåden var blevet spottet. Dette ville tyskerne så opsnappe og læse, uden den mindste idé om, at Enigma var blevet knækket. Tyskerne konkluderede desuden, som resultat af denne geniale krigsførelse fra de allieredes side, at den allieredes hær omkring Atlanten var meget større end den egentlig var. Vigtigt var det desuden for denne taktik, at tyskerne faktisk troede på de falske spor, og med deres evige tro på Enigmas ubrydelighed og enorme sikkerhed, så fungerede taktikken optimalt for de allierede.

Niels Ole Faurholt deler i sit tidsskrift [33] overordnet set synspunkt med Sir Harry Hinsley.

Han mener også, at det var ret tydeligt, at Tyskland ikke ville vinde krigen uanset.

32

http://www.cl.cam.ac.uk/research/security/Historical/hinsley.html - d

33

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb?

Side 22

21

”Men jeg tror på, at meget ville være gået anderledes, selv om det synes givet, at Tyskland var blevet besejret til sidst under alle omstændigheder.” [34]

Desuden deler han Sir Harry Hinsleys vurdering af krigens udfald, hvis ULTRA aldrig havde eksisteret.

”Var den tyske ubådskrig lykkedes bedre i 1941-43, og havde de allierede ikke vundet slaget om Atlanten midt i 1943, ville opbygningen af invasionsstyrkerne ikke være fuldført

til juni 1944^{35} ”

Her gives igen udtryk for enighed. Hvis de allierede ikke havde haft mulighed for at styre konvojerne udenom ulvekoblerne, så ville tabene have været større, og oprustningen ville naturligvis have taget længere tid.

Der er dog stadig et utal af mulige resultater. En anden åbenlys, og dog nævneværdig, mulighed er for eksempel atombomben. Hvis Tyskland havde vundet Slaget ved Atlanten istedet for de allierede, kunne atombomben så være taget i brug imod Tyskland istedet? I og med at bomben blev brugt senere i krigen imod Japan, så står muligheden for nedkastning over Tyskland også åben, og dermed også en helt anden slutning på krigen end den vi kender.

ULTRA gjorde altså ikke udfaldet af krigen, de allieredes mange ressourcer spillede en større rolle, især efter USA’s indtræden i krigen. Men det har uden tvivl haft en betydning for længden, især tiden det tog Storbritannien at opruste til senere invasioner og operationer har ULTRA påvirket.

34

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb? – side 31
35

Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma−telegrammerne for 2.

verdenskrigs forløb? – side 31-32

Side 23

22

Konklusion

Krigen imellem kodemagere og kodebrydere skulle endnu engang vise sig at være vigtig for 2. verdenskrig, især under Slaget ved Atlanten. Her stolede tyskerne trygt på Enigma, på grund af dens komplekse opbygning og sikkerheden i maskinens kombinatorik.

Enigmaen sørgede for en effektiv tysk kommunikation imellem ubådene på Atlanten, og Tyskland fik effektivt bremset forsyningerne fra USA til Storbritannien. De allierede fik dog – trods tyskernes høje tiltro til maskinens sikkerhed – alligevel knækket de tyske koder, og denne viden skulle senere vise sig vigtig i slaget. De allierede gjorde meget ud af, at holde brydningen af Enigma hemmelig for tyskerne, alt imens de udnyttede denne viden til at vinde slaget.

Krigens endelige udfald afhang dog ikke alene af brydningen af Enigma, men en hel række faktorer, især blandt andet de allieredes ressourcer. Dog kan det ikke benægtes, at denne brydning har haft en vis betydning for især længden af 2. verdenskrig, som er blevet vurderet til 2-4 år kortere pga. denne brydning.

Side 24

23

Litteraturliste

Bøger og artikler:

Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, Forlaget Abacus, 1.

udgave, 1997

Bemærk: følgende fejl er at finde i bogen:

                        1           1
               29  2
Side 44:     ∑   (𝑝  −(  )  −2 ∗𝑝  ∗  ) skal rettes til
               𝑖=1 𝑖              𝑖
                        29          29

2

             2
           1           1
 29   2
∑   (𝑝  + ( )  −2 ∗𝑝  ∗  )
 𝑖=1  𝑖              𝑖
           29          29

Denne fortegnsfejl går igen igennem hele udregningen, men starter her

Side 44: ∑^{29}_{𝑖=1} 𝑝_{𝑖}^{2} −0,0356 skal rettes til ∑^{29}_{𝑖=1} 𝑝_{𝑖}^{2} −0,0345

Simon Singh: Kodebogen – Videnskaben om hemmelige budskaber – fra oldtidens til Ægypten til kvantekryptering, Gyldendahl, 1. udgave, 2005

Krigshistorisk tidsskrift: Faurholt, Niels Ole: Hvor stor betydning havde de allieredes

brydning af Enigma−telegrammerne for 2. verdenskrigs forløb? 2009 Årg. 45, nr. 2 (2009)
S. 18−32

Illustreret videnskab nr. 7/2006: Hvad nu hvis – historien havde taget en anden drejning? –
artiklen kan frit hentes på http://illvid.dk/kultur-historie/hvad-nu-hvis-historien-havde-

taget-en-anden-drejning - taget d

Hjemmesider:

http://www.forlaget-abacus.dk/art/krypto1/index.htm - taget d

http://noether.uoregon.edu/~cphan/math252spring05/summation.pdf - taget d

http://matematiksider.dk/enigma.html - taget d

http://www.codesandciphers.org.uk/enigma/steckercount.htm - taget d

http://ed-thelen.org/comp-hist/NSA-Comb.html - taget d

http://da.wikipedia.org/wiki/Bletchley_Park - taget d

Side 25

24

http://da.wikipedia.org/wiki/Slaget_om_Atlanten_() – taget d

http://da.wikipedia.org/wiki/Versailles-freden - taget d

http://da.wikipedia.org/wiki/Karl_D%C3%B6nitz - taget d

http://www.cl.cam.ac.uk/research/security/Historical/hinsley.html - taget d

Billeder:

http://www.enigma-replica.com/LampPanel/NewLampFilmEnigma6Web.jpg - taget d 16.

11.2010

http://matematiksider.dk/enigma/enigma%20plugboard%20big.jpg – taget d

http://matematiksider.dk/enigma/enigma%20plugboard%20big.jpg – taget d

Video:

Sebastian Dehnhardt, Ricarda Schlosshan: The War of the Century – Death Traps,

dokumentar 2001, ZDF/History Channel

Værktøjer:

http://srptest.site90.net/forsog4.php - Min egen hjemmeside, kildekoden til scriptet er at

finde i Bilag 5

Hjemmesiden er i opgaven blevet brugt til bogstavoptælling samt opdeling i rækker

bestemt af perioden p, og udregning af 𝐼_{𝑐}
http://sharkysoft.com/misc/vigenere/ - Brugt den

Side 26

25

Bilag 1

Dekrypter nedenstående kryptotekst. Du skal i besvarelsen nøje beskrive din fremgangsmåde, når du dekrypterer teksten.

Som en hjælp oplyses, at klarteksten er på dansk. Det oplyses yderligere at bogstaverne æ, ø og å ikke indgår.

NMKJTHVDQFFXPYONFJFIEPWICKCCDMIAGKOVMMCTPQDUFFHEYPIS

WMMFUMWGKHVNMBMGFEEOKWXXXYLVSEJNLMKXHVUFMIEXHQOTVDLI

QOBMSKMYKVXLBHSETULNHAYSKAEEGCQBJXWVXSFJKIFZWEVTRPOU

FVTXGTMEWLXRPWCCDYAXMMAWIUFIUVXVOVMMKDVRFMKEXRRXUFFH

EYPISWMMFUSIQIXRBMKEXHQOTVDLIXKVCWMFEILVKAZVCURFAEEO

VJENPRSVUKBKGSURLXQNDQBWGJEOSMWGWNXICQLIISTEWFPVQPLJ

MMTDDZKXLISTBWUSTCBRNXVQOZWGKIXYUDWKSSDMJLHKUFMILUST

CBRNBHRXSFVXHRDMBKMWIKZVJCSGSTEWMSCOBSGZWGKDZCEEEDMB

KMIAWMUNBHRXWDZOMYUMSGZWGKDVJWIEPWIWDSZWMIZRTCSOJLBI

AKTDAGHRVQXVTRFUBVCLXXKVDSGPRDOVFGIZCSLWDSQOVUWMZVCM

IKBKNDMKEHRBKTWSUIGSABCKCCDWJQLXRWQBCXKVFMIGLRBQMEXH

VZPWIKBOXOZYWWSTZZFTEIZOBVJGEGEZCAZZVCIKWMKVFMKTHKFD

IMAWIAUZPHMIEOLVLXOFDAMSKIEDQCFXXBZMKTHKFDIMADPNBBVC

LXNVNRTXXRDMEZOIEPWIWDSZCBRXYSEOSJWFTRVJFYLXNFMKPLZN

BMILBPRDWXKTQZOJFYLXNFQUWGSCBQEVXPVQMKWDWGNMKWKRRDWG

VXXGOLVJZZEWMKGWIAWMXWMJIVAFEFIQRMEKRRGSTJLTXVCBZKDI

NXOIWULISAMAZEENMIWKSFWWUVXXGOIEYKIOCSRDOMQOAZYGIRDA

PKMIZRDFJXXTSDVLUSTCBRNYVNUZPHMSGOSJLXRXKVWJXQXYUDWY

VNWMIWXRQOBSGZWGKDWJTOYKZKWDWGKTWSUIGOBMALONVVRLNVYS

OMALWVUZVGLEGFQBSGOBNMKAEFNQMZYXR

Side 27

26

Bilag 2

Statistikken er taget fra bogen: Peter Landrock og Knud Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab, side 26. Statistikken er foretaget over bogstavfordelingen i en samling danske tekster, i alt ca. 50.000 bogstaver

A: 0,057 F: 0,025 K: 0,033 P: 0,024 U: 0,023 Z: 0,000

B: 0,015 G: 0,043 L: 0,049 Q: 0,000 V: 0,032 Æ: 0,010

C: 0,003 H: 0,012 M: 0,028 R: 0,087 W: 0,001 Ø: 0,007

D: 0,055 I: 0,057 N: 0,073 S: 0,053 X: 0,000 Å: 0,008

E: 0,163 J: 0,004 O: 0,051 T: 0,078 Y: 0,010

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z: Æ: Ø: Å:

Frekvens

Bogstavfordeling for dansk klartekst

Side 28

27

Bilag 3

Nøgleord: KIRSTEN

DE TRADITIONELLE FORMER FOR KRYPTERING BLEV KALDT

MONOALFABETISKE FORDI DE KUN BRUGTE ET KODEALFABET FOR HVER

MEDDELELSE DET VAR I LANG TID FULDT UD NOK TIL AT SIKRE SIN

KORRESPONDANCE MOD AT TJENESTEFOLK KUNNE VIDE HVAD DER BLEV

SKREVET MEN EN MONOALFABETISK KRYPTERET MEDDELELSE KAN LET

BRYDES HVIS MAN HAR EN SMULE INDSIGT I MATEMATIK EN

FREKVENSANALYSE VIL NEMLIG HURTIGT VISE HVILKE BOGSTAVER DER

FOREKOMMER OFTEST OG HVERT BOGSTAV I DEN KODEDE TEKST SVARER

JO TIL NETOP ET BOGSTAV I KLARTEKSTEN MED VIDEN OM HVILKE

BOGSTAVER DER FOREKOMMER HYPPIGST I EN ALMINDELIG DANSK TEKST

KAN MAN LET GENNEMSKUE KODEN DET VISER SIG AT ET

MONOALFABETISK KRYPTOSYSTEM IKKE GIVER OS NOGEN FORM FOR

SIKKERHED OG PROBLEMET ER NATURLIGVIS AT ET GIVET BOGSTAV I

DEN KRYPTEREDE TEKST SVARER TIL NETOP ET BOGSTAV I

KLARTEKSTALFABETET ENHVER FOREKOMST AF FOR EKSEMPEL BOGSTAVET

X SVARER TIL ET OG SAMME BOGSTAV I DEN OPRINDELIGE TEKST DET

ER NETOP DETTE DER GVR METODEN MEGET FVLSOM MED HENSYN TIL

STATISTISKE ANGREB HVIS VI GARDERER OS MOD DETTE ANGREB SKAL

VI DESIGNE ET SYSTEM HVOR ET GIVET BOGSTAV FRA KRYPTOTEKSTEN

KAN FREMKOMME FRA MERE END ET BOGSTAV FRA KLARTEKSTALFABETET

VI SKAL NATURLIGVIS SIKRE OS AT VI KAN KODE TILBAGE IGEN

Da nøgleordet var kendt, fik jeg maskinhjælp til den sidste del af dekrypteringen på hjemmesiden:

http://sharkysoft.com/misc/vigenere/ - Brugt den

Side 29

28

Bilag 4

0

5

10

15

20

25

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

K

0

5

10

15

20

25

30

35

40

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

I

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

R

Side 30

29

0

5

10

15

20

25

30

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

S

0

5

10

15

20

25

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

T

Side 31

30

0

5

10

15

20

25

30

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

E

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

N

Side 32

31

Bilag 5

Bemærk: kryptoteksten skal skrives med blokbogstaver

<html>

<form action="forsog4.php" method="post">

Krypteret tekst:

</br>
<textarea rows="10" cols="30" name="krypt"></textarea>
</br>
Periode: <input type="text" name="periode" />
<input type="submit" />
</form>

</br>
</br>

<?php

$krypt = $_POST["krypt"];
$array1 = str_split($_POST["krypt"]);
$p = $_POST["periode"];

$start = 0;
$row = 1;

$A = substr_count($krypt,"A"); $A1 = ($A-1);
$B = substr_count($krypt,"B"); $B1 = ($B-1);
$C = substr_count($krypt,"C"); $C1 = ($C-1);
$D = substr_count($krypt,"D"); $D1 = ($D-1);
$E = substr_count($krypt,"E"); $E1 = ($E-1);
$F = substr_count($krypt,"F"); $F1 = ($F-1);
$G = substr_count($krypt,"G"); $G1 = ($G-1);
$H = substr_count($krypt,"H"); $H1 = ($H-1);
$I = substr_count($krypt,"I"); $I1 = ($I-1);
$J = substr_count($krypt,"J"); $J1 = ($J-1);
$K = substr_count($krypt,"K"); $K1 = ($K-1);
$L = substr_count($krypt,"L"); $L1 = ($L-1);
$M = substr_count($krypt,"M"); $M1 = ($M-1);
$N = substr_count($krypt,"N"); $N1 = ($N-1);
$O = substr_count($krypt,"O"); $O1 = ($O-1);
$P = substr_count($krypt,"P"); $P1 = ($P-1);
$Q = substr_count($krypt,"Q"); $Q1 = ($Q-1);
$R = substr_count($krypt,"R"); $R1 = ($R-1);
$S = substr_count($krypt,"S"); $S1 = ($S-1);
$T = substr_count($krypt,"T"); $T1 = ($T-1);
$U = substr_count($krypt,"U"); $U1 = ($U-1);
$V = substr_count($krypt,"V"); $V1 = ($V-1);
$W = substr_count($krypt,"W"); $W1 = ($W-1);

Side 33

32

$X = substr_count($krypt,"X"); $X1 = ($X-1);
$Y = substr_count($krypt,"Y"); $Y1 = ($Y-1);
$Z = substr_count($krypt,"Z"); $Z1 = ($Z-1);
$Æ = substr_count($krypt,"Æ"); $Æ1 = ($Æ-1);
$Ø = substr_count($krypt,"Ø"); $Ø1 = ($Ø-1);
$Å = substr_count($krypt,"Å"); $Å1 = ($Å-1);

$IC_N = strlen($krypt)*(strlen($krypt)-1);

if(isset($krypt)){

echo "Krypteret tekst:</br>";
echo '<textarea rows="10" cols="30">'.$krypt.'</textarea></br>';
echo "<i>Antal bogstaver: ".strlen($krypt)."</i></br></br>";

} if(isset($krypt)){ echo'

<table border="0">

<tr>

<td>A:</td>
<td width="30">'.$A.'</td>
<td>G:</td>
<td width="30">'.$G.'</td>
<td>M:</td>
<td width="30">'.$M.'</td>
<td>S:</td>
<td width="30">'.$S.'</td>
<td>Y:</td>
<td width="30">'.$Y.'</td>
</tr>

<tr>

<td>B:</td>
<td>'.$B.'</td>
<td>H:</td>
<td>'.$H.'</td>
<td>N:</td>
<td>'.$N.'</td>
<td>T:</td>
<td>'.$T.'</td>
<td>Z:</td>
<td>'.$Z.'</td>
</tr>

<tr>

<td>C:</td>
<td>'.$C.'</td>
<td>I:</td>
<td>'.$I.'</td>
<td>O:</td>

Side 34

33

<td>'.$O.'</td>
<td>U:</td>
<td>'.$U.'</td>
<td>Æ:</td>
<td>'.$Æ.'</td>
</tr>

<tr>

<td>D:</td>
<td>'.$D.'</td>
<td>J:</td>
<td>'.$J.'</td>
<td>P:</td>
<td>'.$P.'</td>
<td>V:</td>
<td>'.$V.'</td>
<td>Ø:</td>
<td>'.$Ø.'</td>
</tr>

<tr>

<td>E:</td>
<td>'.$E.'</td>
<td>K:</td>
<td>'.$K.'</td>
<td>Q:</td>
<td>'.$Q.'</td>
<td>W:</td>
<td>'.$W.'</td>
<td>Å:</td>
<td>'.$Å.'</td>
</tr>

<tr>

<td>F:</td>
<td>'.$F.'</td>
<td>L:</td>
<td>'.$L.'</td>
<td>R:</td>
<td>'.$R.'</td>
<td>X:</td>
<td>'.$X.'</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</table>

</br>
<img src="Ic.GIF"/>
</br>

Side 35

34

I<sub>c</sub> = '.$IC = ($A * $A1 + $B * $B1 + $C * $C1 + $D * $D1 + $E * $E1 + $F
* $F1 + $G * $G1 + $H * $H1 + $I * $I1 + $J * $J1 + $K * $K1 + $L * $L1 + $M * $M1
+ $N * $N1 + $O * $O1 + $P * $P1 + $Q * $Q1 + $R * $R1 + $S * $S1 + $T * $T1 + $U
* $U1 + $V * $V1 + $W * $W1 + $X * $X1 + $Y * $Y1 + $Z * $Z1 + $Æ * $Æ1 + $Ø *
$Ø1 + $Å * $Å1)/$IC_N.'</br></br></br>';

} if(isset($_POST["periode"]))

{ while($p>$start)

{

echo "Række ".$row.":</br>";
echo '<textarea rows="2" cols="50">';
for ($i = $start; $i < count($array1);
$i += $p)

echo $array1[$i];

$start++;

$row++;

echo '</textarea></br>';

}

}

?>

</html>

Side 36

35

Bilag 6

                      1
𝑝 = 1 𝐼     𝑀𝑅 ( 1 ) = ( ( 0,0422 ) −0,0701) = 0,000778
                      1

𝑐

2

                      1
𝑝 = 2 𝐼     𝑀𝑅 ( 2 ) = ( ( 0,0418 + 0,0427 ) −0,0701) = 0,000776
                      2

𝑐

2

                      1
𝑝 = 3 𝐼     𝑀𝑅 ( 3 ) = ( ( 0,0422 + 0,0410 + 0,0426 ) −0,0701) = 0,000793
                      3

𝑐

2

                      1
p = 4 𝐼     𝑀𝑅 ( 4 ) = ( ( 0,0392 + 0,0421 + 0,0432 + 0,0440 ) −0,0701) =
                      4

𝑐

2

0,000783

                      1
𝑝 = 5 𝐼     𝑀𝑅 ( 5 ) = ( ( 0,0423 + 0,0408 + 0,0438 + 0,0402 + 0,0423 ) −
                      5

𝑐

0,0701) = 0,000796

2

                      1
𝑝 = 6 𝐼     𝑀𝑅 ( 6 ) = ( ( 0,0418 + 0,0415 + 0,0425 + 0,0413 + 0,0434 +
                      6

𝑐

0,0435) −0,0701) = 0,000771

2

                      1
𝑝 = 7 𝐼     𝑀𝑅 ( 7 ) = ( ( 0,0692 + 0,1006 + 0,0616 + 0,0731 + 0,0679 +
                      7

𝑐

0,0715 + 0,0652) −0,0701) = 0,000007

2

                      1
𝑝 = 8 𝐼     𝑀𝑅 ( 8 ) = ( ( 0,0372 + 0,0438 + 0,0413 + 0,0411 + 0,0386 +
                      8

𝑐

0,0385 + 0,0430 + 0,0427) −0,0701) = 0,000860

2

                      1
𝑝 = 9 𝐼     𝑀𝑅 ( 9 ) = ( ( 0,0424 + 0,0455 + 0,0408 + 0,0460 + 0,0395 +
                      9

𝑐

0,0409 + 0,0420 + 0,0393 + 0,0501) −0,0701) = 0,000737

2

                       1
𝑝 = 10 𝐼    𝑀𝑅 ( 10 ) = ( ( 0,0423 + 0,0365 + 0,0431 + 0,0351 + 0,0402 +
                       10

𝑐

0,0433 + 0,0421 + 0,0443 + 0,0447 + 0,0470) −0,0701) = 0,000797

2

Side 37

36

                       1
𝑝 = 11 𝐼    𝑀𝑅 ( 11 ) = ( ( 0,0360 + 0,0421 + 0,0397 + 0,0503 + 0,0367 +
                       11

𝑐

0,0365 + 0,0449 + 0,0435 + 0,0460 + 0,0432 + 0,0456) −0,0701) = 0,000777

2

                       1
𝑝 = 12 𝐼    𝑀𝑅 ( 12 ) = ( ( 0,0397 + 0,0479 + 0,0389 + 0,0381 + 0,0392 +
                       12

𝑐

0,0364 + 0,0440 + 0,0395 + 0,0431 + 0,0392 + 0,0504 + 0,0496) −0,0701) =

2

0,000780

                       1
𝑝 = 13 𝐼    𝑀𝑅 ( 13 ) = ( ( 0,0409 + 0,0493 + 0,0445 + 0,0419 + 0,0422 +
                       13

𝑐

0,0435 + 0,0451 + 0,0443 + 0,0383 + 0,0410 + 0,0436 + 0,0433 + 0,0366) −

0,0701) = 0,000753

2

                       1
𝑝 = 14 𝐼    𝑀𝑅 ( 14 ) = ( ( 0,0601 + 0,1100 + 0,0594 + 0,0616 + 0,0662 +
                       14

𝑐

0,0788 + 0,0696 + 0,0807 + 0,0875 + 0,0674 + 0,0784 + 0,0780 + 0,0616 +

0,0614) −0,0701) = 0,000008

2

                       1
𝑝 = 15 𝐼    𝑀𝑅 ( 15 ) = ( ( 0,0337 + 0,0386 + 0,0404 + 0,0549 + 0,0470 +
                       15

𝑐

0,0373 + 0,0391 + 0,0399 + 0,0382 + 0,0342 + 0,0452 + 0,0369 + 0,0457 +

0,0334 + 0,0417) −0,0701) = 0,000881

2

                       1
𝑝 = 16 𝐼    𝑀𝑅 ( 16 ) = ( ( 0,0352 + 0,0392 + 0,0471 + 0,0377 + 0,0491 +
                       16

𝑐

0,0352 + 0,0496 + 0,0422 + 0,0347 + 0,0441 + 0,0392 + 0,0441 + 0,0327 +

0,0420 + 0,0353 + 0,0445) −0,0701) = 0,000862

2

                       1
𝑝 = 17 𝐼    𝑀𝑅 ( 17 ) = ( ( 0,0355 + 0,0441 + 0,0350 + 0,0520 + 0,0356 +
                       17

𝑐

0,0373 + 0,0424 + 0,0520 + 0,0333 + 0,0424 + 0,0452 + 0,046 + 0,0554 +

0,0452 + 0,0333 + 0,0520 + 0,0514) −0,07001) = 0,000716

2

Side 38

37

                       1
𝑝 = 18 𝐼    𝑀𝑅 ( 18 ) = ( ( 0,0508 + 0,0514 + 0,0382 + 0,0551 + 0,0457 +
                       18

𝑐

0,0401 + 0,0388 + 0,0395 + 0,0508 + 0,0370 + 0,0382 + 0,0470 + 0,0401 +

0,0455 + 0,0396 + 0,0390 + 0,0494 + 0,0474) −0,0701) = 0,000677

2

                       1
𝑝 = 19 𝐼    𝑀𝑅 ( 19 ) = ( ( 0,0678 + 0,0314 + 0,0412 + 0,0377 + 0,0384 +
                       19

𝑐

0,0475 + 0,0384 + 0,0356 + 0,0384 + 0,0398 + 0,0391 + 0,0440 + 0,0384 +

0,0370 + 0,0588 + 0,0406 + 0,0406 + 0,0457 + 0,0421) −0,0701) = 0,000776

2

                       1
𝑝 = 20 𝐼    𝑀𝑅 ( 20 ) = ( ( 0,0422 + 0,0353 + 0,0416 + 0,0376 + 0,0392 +
                       20

𝑐

0,0471 + 0,0345 + 0,0369 + 0,0345 + 0,0408 + 0,0424 + 0,0298 + 0,0494 +

0,0369 + 0,0478 + 0,0400 + 0,0424 + 0,0486 + 0,0518 + 0,0714) −0,0701) =

2

0,000761