SRP om arabisk matematik

Side 1

[1]

Indholdsfortegnelse:

Indholdsfortegnelse ......................................................................................................... 1 Abstract ............................................................................................................................ 2 Indledning ........................................................................................................................ 3 Abbaside-Kalifatet (år 754 – 1258) .................................................................................. 4 Visdommens Hus ............................................................................................................. 5 Matematikkens status i Bagdad ...................................................................................... 6 Omar Khayyam ................................................................................................................. 8 Keglesnit ........................................................................................................................... 9 Parabel.............................................................................................................................. 9 Hyperbel ......................................................................................................................... 10 Cirkel ............................................................................................................................... 11 Ellipse.............................................................................................................................. 12 Ellipsens akser og excentricitet ..................................................................................... 13 Ellipsens ligning .............................................................................................................. 14 En terning og sider er lig med et tal .............................................................................. 16 Beregningseksempel ...................................................................................................... 18 Forskellige syn på arabisk kultur og viden .................................................................... 19 Betydningen af den arabiske kulturarv og matematik for europæerne ..................... 22 Konklusion ...................................................................................................................... 24 Litteraturliste ............................................................................................................... 266

Side 2

[2]

Abstract

This study project is written with focus on the subjects of math and history. The study project presents how Arabic math has developed through history.

It is examined what happened in these Arabic countries after Muhammad died and after the Abbasids gained power.

It is examined what happened in these Arabic countries after Muhammed died and after the Abbasids gained power. It is also examined where the Arabs got their inspiration regarding math, philosophy and astronomy. Mathematicians like Al- Khwarizmi and Omar Khayyam caused big progress in the math area which had huge impact on Europe and was very important for the Arabs.

The study analyses different views on Arabic culture and knowledge. It deals with different sources regarding various views on the Arabs and the Arabic culture. In this context the study is source critical, making sure to consider why the views of the writer of the source are the way they are.

In the end, the assignment evaluates the meaning of Arabic culture legacy and math to the Europeans.

Side 3

[3]

Indledning

Denne opgave omhandler arabisk kulturarv og matematik og er konstrueret ved en sammenblanding af fagene historie og matematik.

I redegørelsen vil jeg lægge fokus på, hvad der skete efter Abbaside-kalifatet kom til magten i år 754, og hvilken betydning det har haft for araberne, da Abbasiderne skiftede hovedstaden fra Damaskus til Bagdad. Herefter vil jeg redegøre for matematikkens status i Bagdad på Omar Khayyams tid. Omar Khayyam var en af de personer, der har haft den største indflydelse på den islamiske guldalder under Abbaside kalifatet. Jeg vil i opgaven gennemgå en af hans vigtigste metoder, som gik ud på at løse en tredjegradsligning ved hjælp af keglesnit.

I den undersøgende del af opgaven vil jeg analysere de forskellige syn på arabisk kultur og viden. Her vil jeg bruge mine vedlagte kilder, og jeg vil lave en kildekritisk analyse af de forskellige synspunkter, der enten roste eller kritiserede araberne.

Til sidst vil jeg undersøge, hvilken betydning arabisk kulturarv og matematik har haft for europærerne. Det vil sige i denne del af opgaven, vil jeg komme med en vurdering, og undersøge om den arabiske kulturarv og matematik har været god eller dårlig for Europa.

Side 4

[4]

Abbaside-Kalifatet (år 754 – 1258)

Efter abbaside-dynasiet udryddede umayyadeslægten, ændrede de kalifatets hovedstad i år 762 fra Damaskus i Syrien til Bagdad, som var en tidligere persisk by ved Tigris-floden. Dette symboliserede et magtskifte. I Bagdad blev der oprettet militær, dygtig administration, fælles kultur og fælles sprog (arabisk). Muslimerne erobrede mange områder og sørgede for, at der var ligestilling. Denne ligestilling gik ud på, at ikke-arabiske muslimer skulle ligestilles med arabere. Dette forstærkede forholdet mellem ikke-arabiske og arabiske nationer og forsikrede, at de erobrede områder og lande blev fastholdt. I det efterhånden mægtige imperium blev der, blandt andet på baggrund af disse initiativer, dannet en kosmopolitisk kultur. Denne særlige islamiske kultur var præget af forskellige folkeslag, hvor de arabiske, persiske, syriske og græsk-byzantinske traditioner hovedsageligt var bidragende til det velfungerende samspil.

Bagdad udviklede sig i højere grad end Damaskus til at være et intellektuelt, kulturelt og økonomisk centrum. Bagdad lå centralt placeret i forhold til de vigtigste handelsruter og karavaneveje, heriblandt den vigtigste rute til den førhen persiske by Khorasan. Bagdad blev et ”islamisk Rom”, hvor folk fra forskellige områder som Kina, Indien og den persiske verden mødtes og delte deres kulturelle ideer. Her dyrkede de disse ideer og formidlede dem videre til den øvrige islamiske verden. [1]

Abbasiderne blev påvirket af koranens påbud og hadith: "blækket af en lærd er mere hellig end blodet af en martyr", der understregede værdien af viden. Hadither er overleveringer om, hvad profeten Muhammed gjorde og sagde. [2]

Abbasiderne bevarede troen på, at de tilhørte den samme stamme som profeten Muhammed gjorde, og af den grund betragtede de sig selv som hellige og udnyttede dette som legitimitet.

Under abbaside-kalifatet blev den arabiske verden et intellektuelt center for videnskab, filosofi, medicin og uddannelse. De kæmpede for videnskaben, og af den grund etablerede de ”Visdommens Hus”, som på arabisk hedder Bait-ul-Hikmat. Her forsøgte muslimske og ikke-muslimske lærde at oversætte og samle hele verdens viden

1

Muslimske Imperier (side 29)

2

http://www.denstoredanske.dk/Sprog,_religion_og_filosofi/Religion_og_mystik/Islam/hadith

Side 5

[5] til arabisk. Mange klassiske værker fra oldtiden, der ellers var gået tabt, blev oversat til arabisk og persisk og senere igen oversat til tyrkisk, hebraisk og latin.

Den arabiske verden var i denne periode en samling af kulturer, der var sat sammen og syntetiseret, og havde betydeligt avanceret den viden, de havde fået fra bl.a. romerne, kineserne, inderne, egypterne, grækerne og perserne. Decimalsystemet spredte sig fra Indien til Arabien i løbet af denne tid, og i 900-tallet blev det populariseret i regionen

                                   3
af den persiske matematiker al-Khwarizmi.

Filosoffer som Ibn Rush (Averröes) og Ibn Sina (Avicenna) reddede værker fra den græske filosof Aristoteles, hvis ideer kom til at dominere den ikke-religiøse tænkning af den kristne og muslimske verden. Der blev oversat mange bøger af arabiske filosoffer til latin, men det var hovedsageligt Avicenna og Averröes, der havde størst indflydelse på europæisk tænkning. Hos næsten alle europæiske filosoffer findes der spor af

               4
Avicennas filosofi.

Med hensyn til astronomien brugte araberne astronomiske hjælpemidler og instrumenter som planisfæren og astrolabiet. Disse blev brugt til at observere himmellegemernes positioner, højder og til at bestemme tidspunktet på dagen. På denne måde fik araberne videreudviklet trigonometri i planen og kuglefladen fra de græske og indiske rødder. I trigonometri behandler man relationer mellem sider og vinkler i trekanter. [5] Araberne fandt på nye trigonometriske formler som sinusreglen og

                                 6
nøjagtiggjorde trigonometriske tabeller.

Visdommens Hus

Visdommens Hus var et bibliotek, oversættelsesinstitut og forskningscenter, som blev etableret i Bagdad. Kaliffen Harun al-Rashid grundlagde Visdommens Hus, men dets vigtighed voksede under sønnen al-Mamun, der regerede fra år 813 til 833. Al-Mamun blev krediteret for at bringe mange kendte forskere til Visdommens Hus, hvor de

3

http://en.wikipedia.org/wiki/Islamic_Golden_Age

4

http://www.islamstudie.dk/viden_bidrag.htm

5

http://da.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

6

http://videnskab.dk/kultur-samfund/den-gyldne-tidsalder-hinduerne-og-araberne

Side 6

[6] kunne dele informationer, ideer og kulturer. I det abbasidiske imperium blev mange udenlandske værker oversat til arabisk fra græsk, kinesisk, persisk og syrisk. Denne oversættelse fik stor fart under ledelsen af kaliffen al-Rashid, der ligesom sin forgænger, var personligt interesseret i lærdom og digte. De originale tekster omhandlede primært medicin, matematik og astronomi, men andre discipliner, især filosofi, fulgte snart efter.

Under ledelsen af Al-Mamun blev observatorier sat op, og Visdommens Hus var da et uovertruffen center for studiet af humaniora og naturvidenskab i middelalderens islam, herunder matematik, astronomi, medicin, alkymi og kemi.

Ved hjælp af et nyt og lettere skriftsystem og ved indførelsen af papir blev oplysninger demokratiseret. For første gang i historien blev det muligt, at man kunne leve af blot at skrive og sælge bøger. Ved omkring midten af 900-tallet var Visdommens Hus det største lager af bøger i hele verden. [7]

Matematikkens status i Bagdad

Fra ca. år 750 til 1500 var de islamiske lande et centrum for matematisk forskning. En udbredt tolerance blandt de islamiske, kristne, indiske og jødiske videnskabsmænd gav dem muligheden for at arbejde sammen. Som nævnt tidligere oversatte araberne værker fra Grækenland og Indien i Visdommens Hus og byggede videre på deres matematik. De oversatte gamle værker af bl.a. Euklid, Archimedes og Apollonios. Disse personer var alle græske matematikkere, som araberne fik inspiration fra.

Araberne behandlede matematiske emner som købmandsregning og arveberegning, beregning af geometriske figurer, ligningsteori og trigonometri. [8]

I Visdommens Hus arbejdede den persiske astronom og matematiker Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Al-Khwarizmi opskriver i sin bog Kitab al-jam’wal tafriq bi hisab al- Hindu (om addition og substitution efter Hindu-regning), ni cifre og viser, hvordan de

7

http://en.wikipedia.org/wiki/House_of_Wisdom

8

Kilder og kommentarer til ligningernes historie (side 86-87)

De arabiske folks historie (side 69)

Side 7

[7] anvendes til at skrive et tal. Al-Khwarizmi blev kaldt for algebraens skaber, da han i en af sine bøger systematisk gennemgår ligninger af 1. og 2. orden.

Med hensyn til andengradsligninger havde grækerne fundet en løsning, der var implicit. Desuden havde de heller ikke angivet ligningerne i aritmetisk sprog. Dette byggede al-Khwarizmi videre på og beviser sammenhængen mellem algebraen og geometrien explicit udtrykt.

Algebra kommer fra det arabiske ord al-Jabr, der betyder genforening. I bogen Kitab al- Jabr wa-l-Muqabala introducerer al-Khwarizmi algebra til løsning af ligninger. Dette er et eksempel på, hvordan han løste en ligning ved hjælp af algebra:

3x + 2 = 4 – 2x dvs. 5x + 2 = 4

I dette eksempel bliver 2x genforenet med 3x. [9]

I 1100-tallet blev al-Khwarizmis bog oversat til latin to gange.

En anden matematikker, som var vigtig under denne periode, var egypteren Abu Kamil.

Nogle år efter al-Khwarizmi skrev Abu Kamil bogen Kitab fi’l-jabr wa’l-muqabala, der også omhandlede algebra, hvilket på dansk betyder: ”Lærebog om fuldstændiggørelse og sammenligning”. Kamil fik sine inspirationer fra al-Khwarizmis algebra, hvilket han ofte refererede til. Kamils beviser for formlerne var lidt ligesom al-Khwarizmis, men langt mere detaljeret, og de var forklaret grundigere.

                                                            2
Han betragtede, ligesom al-Khwarizmi, 3 typer af andengradsligninger (ax + c = bx,

ax^{2} + bx = c, ax^{2} = bx +c). Disse andengradsligninger beviste han ved at se på et konkret

eksempel. Derefter besvarede han spørgsmålet om, hvordan man både kan bestemme

x og x^{2}, hvorimod al-Khwarizmi kun angav formler for x og bestemt x^{2} ved kvadrering af
x.^{10} ”At kvadrere” betyder ”at gange et tal med sig selv”. For eksempel: x*x = x^{2}

9

Matematikkens historie (side 41)

10

Kilder og kommentarer til ligningernes historie (side 98-99)

Side 8

[8]

Omar Khayyam

Arabisk matematik blomstrede, da den persiske matematiker Omar Khayyam udviklede teorien for geometrisk løsning af tredjegradsligninger.

Hans fulde navn er Omar ibn Ibrahim al Nisaburi al

Khayyam, men forkortes til Omar Khayyam. Han levede fra ca. år 1040 til omkring 1130 og var astronom, matematiker, filosof og digter. Han var dog mest kendt som filosof og digter.

Khayyam var kendt for hans digtsamling Rubaiyat, som bestod af firelinjede persiske strofer. I digtene udtrykte han sit syn på livet, hvilket var anderledes i forhold til folks tankegang på hans tid og medførte derfor problemer. Visse folk fik en forkert opfattelse af hans digte og opfattede ham derfor som en kætter.

Khayyam digtede om livets gang. I en række af hans digte hyldede han ”det gode liv” og satte samtidig spørgsmålstegn ved Guds eksistens. Alene emnevalget lagde op til konflikt med ortodokse islamiske myndigheder, hvilket stemmer overens med beretningen om, at Khayyam blev påtvunget at drage på pilgrimsfærd til Mekka. [11] Det krævede som astronom, at man kunne en del matematik, men det, som Khayyam opnåede i matematik, var langt højere niveau end det, som astronomi-uddannelsen krævede. Et af de emner, som han tog udgangspunkt i, var uddragning af kvadrat – og højere ordens rødder. I 1070’erne skrev Omar Khayyam bogen Risala fi’l-barahin ’ala masa’il al-jabr wa’l muqabala, der omhandlede ligningsteorien, og det er her, man ser hans overvejelser angående tredjegradsligninger. Bogens titel betyder ”afhandling om bevis for problemer om fuldstændiggørelse og sammenligning”.

Inden for andengradsligninger kunne Khayams teori ikke benyttes, da den næsten var identisk med al-Khwarizmis og Abu Kamils teorier. Til gengæld understregede han, at de geometriske konstruktioner, der var indeholdt i de geometriske beviser for

11

Kilder og kommentarer til ligningernes historie (side 114) og

http://da.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayy%C3%A1m

Side 9

[9] rigtigheden af løsningsprocedurerene, alle var konstruktioner, der kunne foretages med cirkler og linjer. Det vil sige at konstruktionen, der forekommer i Euklids Elementer.

Khayyam mente, at man ikke længere kunne løse tredjegradsligninger ved at kigge på Euklids teori. Han mente derimod, at man skulle benytte Apollonios’ Keglesnitslære. [12] Keglesnit

Et keglesnit er den geometriske kurve, som opstår, hvis man skærer en kegle igennem med et fladt snit. [13] Parabler, hyperbler, cirkler, og ellipser går under navnet keglesnit.

Dette skyldes som nævnt de geometriske kurver, der opstår, når man skærer en kegle igennem med et fladt snit.

Keglesnittene har været nyttige siden oldtiden. Det var den græske matematiker Apollonios, der omkring år 225 f.Kr., opfandt keglesnittene og skrev en systematisk

behandling af dem.^{14}

Parabel

Som billedet illustrerer, skærer man keglen skråt med en plan. Den kurve, som bliver dannet, skærer kegleoverfladen, som viser sig at være en parabel.

En parabel opstår som grafen for en andengradspolynomium, der har formlen:

For at definere en parabel skal man have en linje og et brændpunkt. På billedet nedenunder ser man, at l er linjen, og F er et punkt uden for l. Det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til l som til F, er en parabel med brændpunktet F og

          15
ledelinjen l.

12

Kilder og kommentarer til ligningernes historie (side 116)

13

http://da.wikipedia.org/wiki/Keglesnit

14

GEOMETRI – matematik for mF (side 111)

15

GEOMETRI – matematik for mF (side 114) og http://da.wikipedia.org/wiki/Parabel

Side 10

[10]

På parablen er der et punkt P, som gør at

PQ = PF. Den vinkelrette projektion af P på

l er Q. Den vinkelrette linje på l der går gennem F er symmetriakse for parablen.

Skæringspunktet T er parablens toppunkt, som ligger mellem parablen og symmetriaksen. Linjen AB, som går gennem parablens brændpunkt, er parablens parameter, som er parallel med ledelinjen. [16] Dette er ligningen for en parabel, der har toppunktet (0,0):

Hyperbel

Som man ser på billedet til højre bliver en hyperbel dannet, når en lodret plan går igennem begge keglens grene.

En hyperbel har formlen:

En hyperbel kan defineres ved at vælge to brændpunkter F og F og en linje med længden 2a.

1 2

Afstanden fra P til F og til F har en given positiv

1 2 differens. Den givne differens betegnes med 2a.

Afstanden mellem F og F skal være større end 2a.

1 2

Dvs. at 2a < F F.

1 2

Der gælder derfor:

| 𝑃𝐹_{1} − 𝑃𝐹_{2} | =

17

16

GEOMETRI – matematik for mF (side 114, 119)

17

GEOMETRI – matematik for mF (side 113) og http://www.fysikhistorie.dk/merer/kegmer.html

Side 11

[11]

Cirkel

Skærer man keglen med en vandret plan, bliver der, som billedet viser, dannet en cirkel. Cirklen er defineret ved et centrum 𝐶(𝑎,𝑏) og en radius r.

Har man disse to oplysninger, kan man tegne cirklen. Cirklens ligning beskriver en punktmængde, nemlig den punktmængde, som ligger på cirklen og er markeret blåt.

Man kan tage udgangspunkt i spørgsmålet om, hvad det er, der kræver P, for at det ligger på cirklen? Ved at tage udgangspunkt i spørgsmålet kan man få udtrykt cirklens ligning.

P(x, y) tilhører cirklen, hvis afstanden fra cirklens centrum til punktet P er det samme som cirklens radius. Dvs.:

| 𝐶𝑃 | =

Afstanden CP kan også skrives som vektor CP:

|𝐶𝑃 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Man får nu den ide at sætte begge led i anden, og det er tilladt, da cirkelens radius altid er postiv.

|𝐶𝑃 |

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Man kan nu bestemme vektor 𝐶𝑃, da man har

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ koordinatsætterne (x, y) og (a, b). Så Regneregel: koordinatsættet hedder:

| | 𝑦 𝑏

𝐴𝐵 ( )

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Side 12

[12]

Da venstre side af lighedstegnet har noget med længde at gøre, kan man beytte længdeformlen, pythagoras, som ser således ud:

Så:

( √ ( 𝑥 − 𝑎)^{2} + ( 𝑦 − 𝑏)^{2}) =

Til dette er der brugt regnereglen:

) = |𝐴𝐵 | = √ ( 𝑏

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Hele paranetesen er opløftet i 2, men 2 går ud med kvadratroden, og tilbage har man:

( √ ()

↕

Man har nu udledt cirklens ligning. Ud fra cirklens ligning kan man aflæse dens centrum ved hjælp a og b, som er

                              18
koordinatsættet for cirklens cetrum.

Ellipse:

Billedet til højre viser, hvordan man ved hjælp af en plan og en kegle illustrerer en ellipse.

Man kan denifere en ellipse næsten på samme måde, som man definerer en hyperbel. Igen skal man vælge to brændpunkter F og F og et grønt

1 2 liniestykke med længden 2a. Denne gang skal afstanden mellem F og F være mindre end 2a.

1 2

Tilsammen skal længden af de to linjer, som er vist på figuren, være ligmed længden af den grønne linje som er 2a.

18

Gyldendals Gymnasiematematik – Grundbog A (side 92, 93, 126)

Side 13

[13]

Ellipsens akser og excentricitet

Ellipsen skal lægges ind i et passende koordinatsystem, hvor x-aksen går gennem F og

1

F . Koordinatsystemets y-akse skal have 𝐹 𝐹 som midtnormal. Den konstante
                                  1 2

2

afstandssum PF +PF skal erstattes med 2a i stedet for k. Ellipsen skal have punktet

1 2

O(0, 0) som centrum. Derudover skal den have A, A, B og B som sin

1 2 1 2 skæringspunkter, og de kaldes for ellipsens toppunkter. Ellipsen er nu symmetrisk om begge akser ud fra den måde, den er konstrueret på. Som nævnt tidligere for alle punkter P på ellipsen gælder:

Falder P i A, så har man:

1

A F + A F = 2a

1 1 1 2

Da A F = A F får man:

1 1 2 2

A F + A F = A A = 2a

2 2 1 2 1 2

Den linje, der går fra A til A, kalder man for

1 2 ellipsens storakse, som har længden 2a. Linjen, der går fra B til B, kalder man for

1 2 ellipsens lilleakse, som har længden 2b.

Forholdet mellem afstanden mellem brændpunkterne og storaksens længde kaldes ellipsens excentricitet, der betegnes med e:

Ellipser har forskellige excentriciteter, som er et mål for, hvor fladtyk ellipsen er.

             1 2
Eftersom 𝑒 =   , må 𝐹 𝐹 = 2𝑎𝑒. Derfor er
                     1 2

På den måde bestemmer man koordinater for F og F.

1 2 og

Ud fra billedet på i forrige side ser man, at B ligger på

1 ellipsen. Derfor:

B F + B F = 2a, men da B F = B F, må B F = B F = a

1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

På billedet til højre er der to retvinklede trekanter:

Side 14

[14]

Ud fra disse to trekanter kan man vise sammenhængen mellem a, b og excentriciteten e ved hjælp af Pythagoras:

Ved hjælp af overstående oplysninger kan man nu bestemme en ligning for ellipsen.

Ellipsens ligning

Man lader punktet P (x, y) være et vilkårligt punkt på ellipsen. Man omskriver nu længden PF og PF til f og f.

1 2 1 2

f = PF og f = PF

1 1 2 2

Ved at benytte afstandsformlen kan man bestemme f og f.

1 2

√ (
√ (

Kvadrerer man disse to, får man:

( √ ()

( √ ()

Og dermed:

Dette kan omskrives til:

Men da kan man så omskrive det videre til:

2a går ud med 4xea og tilbage har mange 2ex.

Nu har man to ligninger, som ser således ud:

Ved addition og subtraktion af disse ligninger får man:

Regneregler:

Side 15

[15]

𝑓_{1} = 𝑎+ 𝑒𝑥 𝑜𝑔 𝑓 = 𝑎− 𝑒𝑥

2

Tidligere fandt man ud af at:

𝑓_{1} = √ ( 𝑥 + 𝑒𝑎)^{2} + 𝑦^{2}
𝑓_{2} = √ ( 𝑥 − 𝑒𝑎)^{2} + 𝑦^{2}

Nu erstattes f og f med 𝑎 + 𝑒 𝑔 𝑎 − 𝑒𝑥:

1 2

𝑎+ 𝑒𝑥 = √ ( 𝑥 + 𝑒𝑎)^{2} + 𝑦^{2}
𝑎− 𝑒𝑥 = √ ( 𝑥 − 𝑒𝑎)^{2} + 𝑦^{2}

Man tager nu den første ligning og kvadrerer på begge sider:

( 𝑎+ 𝑒𝑥)^{2} = ( 𝑥 + 𝑒𝑎)^{2} + 𝑦^{2} ↔ 𝑎^{2} + 𝑒^{2} 𝑥^{2} + 2𝑎𝑒𝑥 = 𝑥^{2} + 𝑒^{2} 𝑎^{2} + 2𝑥𝑒𝑎 + 𝑦^{2} ↔
𝑎^{2} + 𝑒^{2} 𝑥^{2} = 𝑥^{2} + 𝑒^{2} 𝑎^{2} + 𝑦^{2} ↔ 𝑦^{2} = 𝑎^{2} − 𝑒^{2} 𝑎^{2} − 𝑥^{2} + 𝑒^{2} 𝑥^{2} ↔
𝑦^{2} = 𝑎^{2} ( 1 − 𝑒^{2}) − 𝑥^{2} ( 1 − 𝑒^{2}) ↔
𝑦^{2} = (1 − 𝑒^{2})(𝑎^{2} − 𝑥^{2})

Der skal nu regnes videre og bevises, at ellipsen med centrum (0, 0) og brændpunkter på x-aksen har følgende ligning:

𝑥^{2} 𝑦^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ = 1

Der gælder:

𝑏^{2} = ( 1 − 𝑒^{2}) 𝑎^{2} ↔ 1 − 𝑒^{2} =

𝑏^{2}
𝑎^{2}

Dette indsættes i ligningen og fås:

𝑦^{2} = ( 1 − 𝑒^{2})( 𝑎^{2} − 𝑥^{2}) ↔ 𝑦 = ( 𝑎^{2} − 𝑥^{2}) ↔ = 1 −

2

𝑏^{2} 𝑦^{2} 𝑥^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑎^{2}

↔ + = 1

𝑥^{2} 𝑦^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}
Man har hermed udledt ligningen for en ellipse.^{19}

19

Geometri og keglesnit (side 61-64)

GEOMETRI – matematik for mF (side 115-116)

http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=645

Side 16

[16]

En terning og sider er lig med et tal

                                                                     3
I dette afsnit vil jeg vise, at en terning og sider er lig med et tal. En terning svarer til x ,

sider er ax og et tal er b. Det vil sige, at jeg skal vise Omar Khayyams løsning af tredjegradsligninger ved hjælp af keglesnit. En tredjegradsligning har formlen:

= 𝑏, hvor a og er positive tal, dvs. a, b > 0
Til at starte med skal der laves substitution af a og b, hvor a = p^{2} og b = p^{2} q

Tredjegradsligningen ser nu således ud:

Ved at kombinere ligningen for en parabel og en cirkel kan man løse ligningen. For at komme frem til denne ligning skal man bestemme skæringen mellem en parabel og en cirkel.

Man starter med at skitsere en cirkel med centrum i (r,0) og radius r. Dette kan gøres ved hjælp af cirklens ligning, som tidligere blev udledt.

Centrum (r,0) og radius r indsættes i cirklens ligning. Herefter skal der vises, at ligningen også kan skrives som: 𝑞𝑥, hvor q er cirklens diameter.

Cirklen har ligningen:

(r, 0) sættes i ligningen:

Ved hjælp af kvadratsætningen reduceres udtrykket til:

Dette reduceres videre til:

-2xr isoleres:

Man ved, at 2r er diameteren på en cirkel. Der blev også oplyst, at cirklens diameter udtrykkes ved q. Ligningen kan nu omskrives til:

Side 17

[17]

Man har nu ligningen for en cirkel. En parabel har ligningen:

For at isolere y omskrives det til:

Ved at kombinere cirklens ligning og parablens ligning kan man skitsere en graf for dem begge to. Ud fra grafen kan man se at parablen og cirklen skærer hinanden i et punkt.

På den måde løser man Omar Khayyams tredjegradligning

Nedestående graf viser, hvor cirklen og parablen skærer hinanden. Skæringspunktet kaldes p og er løsningen til Omar Khayyams tredjegradsligning. [20]

20

Kilder og kommentarer til ligningernes historie (siden 116-117, 120-121)

Side 18

[18]

Beregningseksempel

Ved hjælp af Omar Khayyams metode, vil jeg nu løse ligningen

Jeg bestemmer først en ligning for parablen:

Jeg kan se på ligningen, at a eller p^{2} = 9. Derfor må p være 3.

Parablens ligning er altså:

Nu bestemmer jeg en ligning for cirklen:

Da b = 18, og b = p^{2} q, må q = 2. Cirklens ligning er:

Jeg tegner de to keglesnit i samme koordinatsystem og får en graf, som ser således ud:

Jeg aflæser skæringspunktet, og jeg får x = 1,6.

Jeg tjekker løsningen med maple for en sikkerhedsskyld:

Jeg har nu ved hjælp af Omar Khayyams metode løst ligningen

Side 19

[19]

Forskellige syn på arabisk kultur og viden

Fra ca. år 1258 begyndte det at gå ned ad bakke for araberne. Det arabiske herredømme gik langsomt i opløsning. Mange europæiske lande ønskede at selvstændige igen, og de prøvede at generobre deres områder. Efter at territoriet blev generobret, kaldte man erobringen for Reconquista, som betyder generobring på spansk.

Det lykkedes europæerne og de kristne at overvinde muslimerne og generobre deres områder og land, men arabernes spor forsatte med at bestå. Bygninger, videnskab, kultur og traditioner var stadig tilbage i mange europæiske lande.

En kilde, som er skrevet af en forfatter, der var knyttet til kongehoffet i byen Kastilien i Spanien, beskriver de kristnes beundring af den spanske by Sevilla, efter de havde belejret og erobret Sevilla i år 1248.

I kilden beskriver forfatteren Sevilla som en utrolig smuk by og er begejstret over stedet. Han beskriver en masse positive ting ved byen, og han nævner desuden mange smukke bygninger, som muslimerne havde bygget. Dette er eksemplificeret ved følgende citat:

”Og guldtårnet, som var bygget i vandet, var smukt og storslået konstrueret; hvor meget må det ikke have kostet for den konge, der havde ønsket at bygge det? Og den hellige Maries Tårn var pragtfuld… Byen har megen anden glans og pragt, ud over hvad vi allerede har beskrevet; der er ikke nogen så velbeliggende og harmonisk by i hele

verden, en by som skibene via floden kommer til hver eneste dag… ”^{21}

Som man kan udlede fra citatet, beskriver forfatteren byen Sevilla med nogle meget positive ord, hvilket tyder på, at hans syn på araberne er positivt. Desuden nævner han, at der hver dag sejler masser af skibe fra mange andre lande i verden til byen og bringer varer til landet. Ifølge ham skyldes dette araberne, da det er dem, der har bygget byen og gjort byen så ”pragtfuld”, som forfatteren mener, den er.

Han slutter teksten af med at fortælle, at byens olivenolie forsyner hele verden. Dette kan ses i følgende citat:

21

Korstog og Jihad (side 37-38)

Side 20

[20]

”Alene dens olivenolie forsyner hele verden til havs og til lands, for ikke at nævne alle

de andre varer og rigdomme, man finder dér… ”^{22}

Dette citat beskriver, hvorledes araberne har haft en stor indflydelse på landets økonomi og eksport. Araberne har muligvis dyrket oliven i Sevilla og lavet olivenolie.

Dette har de solgt til mange andre lande og har fået sat gang i byens økonomi på den måde. Men det var ikke kun olivenolie, der havde gjort byen rig, for som man ser i citatet, fortæller forfatteren, at byen er fyldt med andre varer, der ligeledes er skyld i byens rigdom.

Omvendt var der visse kristne, der opfattede muslimerne på en helt anden måde. De så bort fra de gode gerninger, som muslimerne havde gjort og opfattede dem derimod som nogle perverse mennesker, især fordi muslimerne ikke var enige med alt, der stod i Biblen. Muslimerne anerkendte ikke Jesus som guds søn, idét der står i Koranen, at Gud ikke har nogen familie eller børn. Desuden troede muslimerne heller ikke på treenigheden, og dette var de kristne ikke tilfredse med.

På side 43 i bogen ”Korstog og Jihad”, er der et citat, der beskriver hvorledes de kristne så på muslimerne.

”Muslimerne tillod jo flerkoneri, og kristne mente at kunne tolke Koranen på en sådan måde, at muslimerne måtte være seksuelt perverse. Man mente, at man kunne finde vers (sutra) i koranen, som opfordrede til misbrug af drenge, mændene måtte tage kvinderne både forfra og bagfra, og Muhammed selv blev fremstillet som en liderlig,

                        23
seksuelt, perverteret person. ”

Dette citat er et eksempel på, hvordan de kristne så ned på muslimerne, og hvor uvidende de rent faktisk var vedrørende dette emne. Det er sandt, at en muslim må have op til flere koner, og det er også sandt, at Muhammed havde flere koner. Dette er ikke ensbetydende med, at det kun var for begærets skyld. På daværende tidspunkt var der mange kvinder, der blev enker, fordi deres mænd døde under krigen.

Kvinderne kunne ikke forsørge sig selv, da det var mandens opgave at forsørge

22

Korstog oh Jihad (side 38)

23

Korstog og Jihad (side (43)

Side 21

[21] familien. Derfor sagde Muhammed, at hvis man havde råd og overskud skulle man gifte sig med enkerne, så de og deres børn kunne blive forsørget.

I citatet står der i øvrigt, at ifølge Koranen er det tilladt at være pædofil, hvilket heller ikke er rigtigt. På baggrund af tonen i citatet og beskrivelsen af Muhammed som ”en liderlig, seksuelt, perverteret person”, er det muligt, at de kristnes mål var at nedgøre og kaste et dårligt lys over muslimerne. Dette skyldtes muligvis, at de kristne følte, at deres religion var truet af Islam, og derfor prøvede de at beskrive Islam negativt. Det kan også skyldes, at de ærgede sig over, at muslimerne engang havde overtaget deres land.

Afsnittet afsluttes med en beskrivelse af muslimerne som krigeriske. Den hårde beskrivelse er vist i følgende formulering:

”Endvidere blev muslimer opfattet som krigeriske, idet de i deres erobringer havde

                                                            24
benyttet sig af Jihad. Profetens ord lovede ”Paradis i sværdenes skygge”. ”

Dette citat understreger blot, at denne kilde, modsat den første kilde, i høj grad er negativ, idet muslimerne bliver beskrevet med nogle aldeles negative ord.

Muslimerne havde efterladt en masse kulturelle spor, fx i Andalusien. Der blev set meget negativt på den muslimske tidsalder, fx af kristne spaniere. Følgende citat er et eksempel på dette:

”I en meget lang periode blev den muslimske tidsalder enten negligeret eller betragtet som noget meget uheldigt i den stadige proces frem mod en kristen, spansk enhedsstat. Ikke mindst under den højreorienterede diktator, Francisco Franco (1936-

                                                              25
75), var synet på den muslimske indslag i Spaniens historie meget negativt. ”

I citatet er det tydeligt, at kristne ikke ville have den muslimske tidsalder som en del af deres kultur, eftersom de betragtede den muslimske tidsalder for noget meget uheldigt. Andalusien, eller det såkaldte al-Andalus, var et splittet område, før muslimerne erobrede området. Efter området blev erobret, blev det kaldt for al- Andalus.

Ifølge kilden kunne man fra ca. år 1990 se en stor forandring i den spanske selvopfattelse. Spanierne begyndte at se anderledes på perioden og begyndte at

24

Korstog og Jihad (side 43)

25

Korstog og Jihad (side 35)

Side 22

[22] fremstille perioden som et lykkeligt eksempel på kulturblanding. Dette skyldtes muligvis at befolkningen var blevet klogere og mere retfærdige.

Betydningen af den arabiske kulturarv og matematik for europæerne

Formålet med de mange erobringer af lande var for muslimerne at videreføre Islam.

Ud over dette havde de vigtige ressourcer, som de kunne anvende til at danne fremragende samfund i disse erobrede lande. Med hensyn til teknologien var de længere forude end europærerne. Det skyldtes, at europærernes udvikling var gået i stå på daværende tidspunkt. Muslimerne var foran med hensyn til matematik og lægevidenskab, og dette førte de videre til Europa.

Muslimerne er angiveligt stolte over det, som de opnåede, og hvordan europærerne efterlignede dem med hensyn til kunst, litteratur og masser af andre ting. En fordel for muslimerne er, at de fik islamiseret mange lande, og de blev påvirket af arabernes kultur og sprog. Dette betegner sig derfor som succesfuld tidsalder for araberne.

Ulempen var selvfølgelig, at mange mennesker begyndte at hade dem, især fordi de havde overtaget deres lande, og fordi de ikke anerkendte Biblen.

Som nævnt tidligere var nogle kristne imponerede over det, som muslimernes havde efterladt, men spørgsmålet er, om dette var et udbredt synspunkt blandt kristne med hensyn til muslimerne og araberne?

Følgende citat er skrevet af en biskop i 1100 tallet. Citatet beskriver, hvordan biskoppen ærgrer sig over den måde, kristne har taget i mod muslimerne, og hvorledes de er begyndt at efterligne dem:

”Mine medkristne nyder arabernes digte og romancer; de studerer muhamedanske teologers og filosoffers værker, ikke for at imødegå dem, men for at tilegne sig den rette elegante stil. Hvor finder man i dag en lægmand, som kan læse de latinske kommentarer til den hellige skrift? Ak nej, de unge kristne, hvis talenter er så åbenlyse, kender ikke til anden litteratur end den arabiske, de læser og studerer arabise bøger,

Side 23

[23] de bruger formuer på at samle sig arabiske biblioteker og synger overalt lovsange til

              26
arabiske skikke. ”

Citatet præsenterer, hvordan en bestemt dybtroende kristen så på sammenholdet mellem kristne og de muslimske medborgere. I citatet kritiserer biskoppen de kristne og er flov over, at de kristne efterligner muslimerne. Der står ikke direkte i citatet, at han er flov, men jeg mener, at dette tydeligt kan ses i den frustrerede tone, han anvender med fokus rettet mod de unge kristne, som ikke kender til anden litteratur end den arabiske.

Muslimerne var dygtige til arkitektur og kunst, hvilket klart kan ses i Spanien og i nogle byer i Italien. Men vil spaniere og italienere anerkende, at det er muslimerne, der har bygget disse flotte bygninger?

Tidligere skrev jeg, at en spansk forfatter, som var tilknyttet kongehoffet i Kastilien, havde beskrevet byen Sevilla. I hans beskrivelse var det tydeligt, at han var beundret over de flotte bygninger, der var blevet bygget i Sevilla. Han nævner bygninger som Guldtårnet og Den Hellige Maries Tårn, som muslimerne havde bygget, og beskriver dem i rosende vendinger. Der er dog ikke umiddelbart mange, der ved noget om disse historiske emner, og der er derfor ikke mange, der har en holdning til dette i nutiden.

Mange turister, der tager til Sevilla, er formodentlig ikke klar over, at det er muslimerne, der har bygget disse bygninger.

Mange vigtige personer, der var knyttet til Visdommens Hus, huskes stadig for ting, de har gjort eller opfundet til gavn for hele verden. Dette gælder bl.a. personer som Avicenna og Abu Bakr al-Razi, som begge var nogle dygtige læger. Mange af de sygdomme som er blevet registreret og mange mediciner, som man i dag anvender i hele verden, skyldes disse to personer. Det er dog sandsynligvis kun en meget lille procentdel, der kender til dem. Abu Bakr al-Razi var desuden den første, der destillerede alkohol, men er præstationer som dette generelt anerkendt, og spiller det overhovedet en rolle i verdenssamfundet i dag?

26

Se bilag nr. 2. Europa i støtteskeen (side 140)

Side 24

[24]

Det generelt lave bekendtskab til disse historisk utvivlsomt vigtige personer skyldes muligvis, at disse personer var muslimer eller stammede fra de arabiske lande. Det kan tænkes, at der ville være et andet kenskab til dem i dag, hvis de ikke var muslimer, fx som den græske matematiker Pythagoras eller den græske matematiker Archimedes, som begge er hyppigt nævnte navne eksempelvis i folkeskolen og gymnasiet.

I dagligdagen bruger folk mange ord, som normalt stammer fra de arabisktalende lande. Dette gælder ord som algebra, som man bruger inden for matematikken. Ordet algebra kommer fra den arabiske ord al-Jabr, men fordi det er et arabisk ord, blev ordet ændret til algebra, for at give det en mere latinsk udtale. Dette er blot et eksempel på et område inden for matematikken, som bliver nemmere at forholde sig til, hvis det bliver europæiseret. Dette kan sammenlignes med det faktum, at europæiske historikere er bedre kendt end de arabiske historikere på trods af deres store bedrifter.

Konklusion:

Da Abbaside kalifatet skiftede hovedstaden fra Damaskus til Bagdad, skete der en stor forandring. Det var her at muslimerne fik bygget en uforglemmelig historie, da det var her de gjorde en masse ting som har haft en stor betydning både for historien og for videnskaben. Under Abbaside kalifatet blev Visdommens Hus etableret i Bagdad. I visdommens Hus begyndte araberne at oversætte latinske, græske og indiske bøger og byggede videre på deres kunst og videnskab. De byggede videre på den græske og indiske matematik som de havde fået deres inspiration fra og udgav en nyere og bedre udgave

Omar Khayyam, som var en af flere vigtige personer, der var knyttet til Visdommens Hus, byggede videre på Euklid og Apollonios’ matematik og gjorde den lettere at forstå. Det var under Omar Khayyams tid at matematikken blomstrede. Ved at antage at ”en terning og sider er lig med et tal” løste han tredjegradsligninger ved at skære en parabel med en cirkel.

Side 25

[25]

Araberne og muslimerne har haft en stor indflydelse på kulturarv og matematik, selvom de fik deres inspiration fra grækere og indere ved at oversætte deres bøger til arabisk. I Visdommens Hus samledes forskellige matematikere og forskere fra forskellige lande og delte ideer og teorier med andre. På den måde kom araberne langt med hensyn til kunst, litteratur og videnskab.

Araberne erobrede mange områder for at videreføre Islam, men ud over dette spredte de også deres viden, kultur og sprog, som påvirkede mange andre lande og gjorde, at mange begyndte at efterligne dem.

Siden 1100-tallet og indtil nu har der været en masse fordomme omkring muslimerne, hvor mange af disse fordomme har været grundet uvidenhed. Araberne blev dømt og kritiseret, fordi de var muslimer, og fordi de ikke var enige, med alt der stod i Biblen.

Dette er en af de største grunde til, at de bliver hadet eller dømt af andre kristne og hermed andre europæere. Havde det ikke været for arabernes skyld, ville videnskaben og litteraturen ikke have kommet så langt i Europa. Muslimerne haft en stor rolle i udviklingen af teknologien med hensyn til matematik, astronomi, fysik og kemi.

Side 26

[26]

Litteraturliste:

- Skovgaard Nielsen, Henrik : Kortog og jihad?. 1. udg. Gads forlag, 1998.

(Bog)

- Gade, Hans-Kurt m.fl.: Europas vej. 1. udg. Munksgaard, 1994. (Bog)

- Mazanti Sørensen, Kjeld: Muslimske imperier. 1. udg. Columbus, 2009.

(Bog)

- Baktoft, Allan: Matematikkens historie. 1. udg. natskyggen, 2010. (Bog)

- Andersen, Kristi: Kilder og kommentarer til ligningernes historie. 1. udg. Trip forlag, 1986. (Bog)

- Carstensen, Jens: Geometri og keglesnit. 1. udg. Systime, 1996. (Bog)

- Al-Khalili, Jim: The house of wisedom. 1. udg. Penguin Group, 2012. (Bog)

- C.Merzbach, Uta og Carl B. Boyer: A history of mathematics. 3. udg. Wiley,

2010. (Bog)

- Hourani, Albert: De arabiske folks historie. 1. udg. Gyldendals bogklubber,

1994. (Bog)

- Schultz, Johnny : GEOMETRI - matematik for mF. 1. udg. Trip forlag, 1986.

(Bog)

- Vedelsby, Mette og Bjørn Felsager: De centrale keglesnit med GeoMeter. 1.

udg. L&R uddannelse, 2003. (Bog)

- Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals gymnasiematematik. 1. udg.

Gyldendal, 2008. (Bog)

- Østergaard, Kate: Danske verdensreligioner - Islam. 1. udg. Gyldendal,

2007. (Bog)

- Forman, Jens: Muslimernes religion - Tro, praksis, sharia. 1. udg. Systime,

2006. (Bog)

Side 27

[27]

Hjemmesider:

- http://kulturkamp.blogs.berlingske.dk/2011/06/27/er-den-muslimske-civilisation-i-

v%C3%A6kst-eller-forfald/

- http://www.fysikhistorie.dk/merer/kegmer.html

- http://mata3stx.systime.dk/index.php?id=644

- http://www.matematiksider.dk/tredele.html

- http://www.islamstudie.dk/viden_bidrag.htm

- http://videnskab.dk/kultur-samfund/den-gyldne-tidsalder-hinduerne-og-araberne

- http://da.wikipedia.org/wiki/Keglesnit

- http://da.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayy%C3%A1m

- http://en.wikipedia.org/wiki/Islamic_Golden_Age

- http://da.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

- http://en.wikipedia.org/wiki/Baghdad

- http://en.wikipedia.org/wiki/House_of_Wisdom