SOP om romanen Flatland i Engelsk A og Matematik A

Side 1

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

1

Opgaveformulering

Side 2

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

2

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................. 3 Indledning .......................................................................................................................................................... 4 Romanen Flatland: a Romance of Many Dimensions ........................................................................................ 5 Analyse af Flatland ........................................................................................................................................ 5 Verdenen Flatland ..................................................................................................................................... 5 Klassesamfundet Flatland .......................................................................................................................... 5 Skolerne i Flatland ..................................................................................................................................... 6 Kvinder i Flatland ....................................................................................................................................... 7 Fortolkning..................................................................................................................................................... 8 Kvinderne ................................................................................................................................................... 8 Skolerne ..................................................................................................................................................... 8 Klasserne .................................................................................................................................................... 9 Perspektivering .............................................................................................................................................. 9 Keglesnit, kuglesnit og Miquels sætning ......................................................................................................... 11 Kuglesnit i Flatland ...................................................................................................................................... 11 Keglesnit ...................................................................................................................................................... 13 Den rette, cirkulære kegle ....................................................................................................................... 13 Parablens Brændpunkt og ledelinje ........................................................................................................ 13 Parablen som keglesnit................................................................................................................................ 14 Ellipsen som keglesnit ................................................................................................................................. 16 Definitionen af en ellipse ......................................................................................................................... 16 Ellipsen som keglesnit.............................................................................................................................. 16 Hyperblen som keglesnit ............................................................................................................................. 18 Definitionen af en hyperbel ..................................................................................................................... 18 Hyperblen som keglesnit ......................................................................................................................... 18 Miquels sætning .............................................................................................................................................. 19 Periferivinkler og centervinkler ............................................................................................................... 19

Side 3

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

3

Indskrivelige firkanter .............................................................................................................................. 19 Miquels sætning bevis ................................................................................................................................. 21 Miqueltrekanter ...................................................................................................................................... 23 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 25 Bøger ........................................................................................................................................................... 25 Internetsider ................................................................................................................................................ 25 Abstract

                                           th
This thesis looks at the Victorian society in the late 19

century, with a main focus on the class society that existed, and the conditions of women in the society. Also this project examines a range of mathematical terms, mainly conic section and the theorems of Miquel. Based on the book Flatland – a Romance of Many Dimensions by Edwin Abbott Abbott, this paper investigates the similarities between the world presented to us by Abbott in Flatland and norms of the society that Abbotts was a part of when he wrote the book in

1884. The analysis of the book is mainly focused on two things: the role of women in the world of Flatland contra the role of women in the Victorian society and class society that dominated the Victorian England, which is also portrayed in Flatland. The connection between the mathematical section of the study and the analysis of the book is found within the book. The mathematical subjects, which are processed in the study, are linked together with the math, that Abbott introduces us to in his book. Flatland is about a world in two dimensions instead of three, which means that the life in Flatland is a lot different from the life we know.

This is where Abbott uses math as a tool to help explain the world of Flatland. When working with conic section, the book ‘Geometri og keglesnit’ by Jens Carstensen, that goes through this subject and the theorems of Miquel, was used as a main source. The information on the Victorian society, which was needed, was found through various educational webpages. The study includes an analysis, an interpretation and a perspective on the book Flatland. In addition it includes a section that explains the term conic section and proofs of the creation of various shapes through conic section as well as an examination of Miquels theorems about triangles.

The study indicates that Abbott wrote his book Flatland as a satiric book that at the same time was a critic aimed against the society that he was part of. The view on women presented in the book, where women are simple lines, is a depiction of the role that women had in the Victorian society, or rather the role that they didn’t have. Also the different social classes presented in Flatland, and their role in the society is a direct parallel to the Victorian England, where the lower classes had no power and no rights. Through geometry, the creation of parabolas, ellipsis and hyperbolas is proved and the proofs of the theorems of Miquel are accounted for.

It is concluded that when analyzed the book turns out to be a very socially critical piece of literature, which expresses Abbotts own views of the society that he was a part of. He opposed the suppression of women that was present and lack of equal opportunities among different social classes, and his frustrations are expressed through what he writes in the book.

Side 4

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

4

Indledning

Min opgaveformulering giver anledning til en opgave I to dele; en engelsk del og en matematisk del. I Engelskdelen af min opgave analyseres, fortolkes og perspektiveres romanen Flatland. Her lægges særligt vægt på sammenhængen mellem de geometriske figurer i bogen og det victorianske klassesamfund, og hvorledes romanen afspejler kvinders forhold i det victorianske samfund.

I anden del af min opgave, redegør jeg for de 2-dimensionelle figurer der opstår ved kegle- og kuglesnit og forklarer desuden Miquels sætning.

En diskussion af hvorledes kompleksiteten af de geometriske figurer modsvarer hierarkiet i det samfund, der beskrives i Flatland, vil fremgå som en naturlig del af analysen af teksten i den første den af opgaven.

Jeg kom frem til den konklusion, at denne disponering vil give mest mening, da et selvstændigt afsnit omkring de geometriske figurer i Flatland enten vil blive for tyndt, eller vil være gentagelser af hvad der allerede fremgår af analysen.

Side 5

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

5

Romanen Flatland: a Romance of Many Dimensions

Romanen er en alternativ science fiction roman skrevet I 1884 af den engelske forfatter, præst og underviser Edwin Abbott Abbott.

Analyse af Flatland

Romanen Flatland bliver fortalt til os af hovedpersonen i bogen, en firkant ved navn A. Square. Den første halvdel af bogen, This World, går med at A. Square beskriver den verden han lever i for os, og i anden halvdel af bogen, Other Worlds, beskriver han hvordan han i en drøm besøgte landet Lineland, og hvordan han fik besøg af Sphere fra landet Spaceland. Jeg vil i særlig grad fokusere på hvordan Flatlands opbygning afspejler det victorianske samfund som A. Abbott levede i da han skrev bogen, og som bogen på mange måder er en kritik af.

Verdenen Flatland

Verdenen Flatland er en verden i to dimensioner, hvor højde er ikkeeksisterende. Det er naturligvis utrolig svært at forholde sig til, da man altid inde i sit hoved vil forestille sig at noget har en højde, da det ellers vil være fuldstændig usynligt set fra siden af. Abbott bruger den første halvdel af bogen på, igennem A.

Square, at overbevise os læsere om, at hans verden er realistisk, ved detaljeret at beskrive hvordan beboerne af Flatland lever, og hvilke normer der hersker i verdenen.

Klassesamfundet Flatland

Flatland er udelukkende beboet af geometriske figurer. Disse figurer har mange menneskelige egenskaber:

De tænker, de taler, de bevæger sig, de går i krig med hinanden og på flere punkter er deres adfærd identisk med menneskers. Det der karakteriserer beboerne af Flatland er antallet af sider. Jo flere sider en beboer af Flatland har, jo højere social status har han. Desuden er det i Flatland sådan, at de mest intelligente individer er dem med flest sider, og de klogeste beboere af Flatland er cirkler, eller tilnærmelser på cirkler. En perfekt cirkel vil aldrig forekomme, da det vil kræve at en figur skal bestå af uendelig mange sider. Hvis man sammenligner to trekanter, kan man måle deres status og intelligens på, hvor ensvinklede de er. Da en ensvinklet trekants vinkler er 60°, er de klogeste trekanter altså dem hvis vinkler kommer tætteste på 60°. Det udtrykkes meget tydeligt, da A. Square omtaler sin tipoldefar med følgende ord: ”…a

respectable Working Man with an angle or brain of 59°30'.”^{1} Med disse ord præsenteres vi for en direkte

sammenhæng mellem hjernekapacitet og gradtallet for indbyggernes vinkler. Modsat er de figurer med færrest sider, og dermed de spidseste vinkler, de stærkeste krigere i Flatland, da de har deres spidse vinkler, som de kan stange med. Som en følge af sammenhængen mellem hjernestørrelse og vinkler, er de bedste soldater de mest spidsvinklede trekanter, da disse trekanter kan gøre mest skade med deres spidse vinkel og samtidig har den mindste hjerne. Denne sammenhæng er en af de naturlove, der er med til at opretholde det meget fastlåste klassesamfund der hersker i Flatland. Den lave intelligens hos de laveste samfundsklasser, som er trekanterne, betyder nemlig at de nemt lader sig undertrykke af de mangesidede figurer, som repræsenterer de højere samfundsklasser i Flatland; de adelige og præsterne. Klassesystemet i Flatland er dog ikke helt fastlåst, da hver ny generation vil være en klasse højere end den foregående – altså have en side mere. Dette gælder dog ikke for trekanter, hvor hver ny generation kun kommer en halv grad tættere på at de 60°, som det kræver for at være ligesidet. Mange tænker nok at der i sidste ende kun

1

A. Abbott, Flatland, side 16, linje 18-19

Side 6

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

6 vil være mangesidede figurer tilbage, men dette er ikke tilfældet, da frugtbarheden falder i takt med at sidetallet stiger, hvilket medfører at en fødsel af en cirkel er en yderst sjælden begivenhed.

I Flatland er det primære formål med tilværelsen at opnå højere status. Det vigtigste for forældre i Flatland er, at deres børn er af en højere status end dem selv og at de er regelmæssige. Ønsket om succesfulde børn er så ekstremt, at forældre til børn i overklassen går med til at lade deres børn undergå operationer med det formål at forøge antallet af sider eller gøre børnenes vinkler ensartede. Og dette selvom disse operationer kun ender i et succesfuldt resultat i 1 ud af 10 tilfælde, hvor de 9 andre børn dør under operationen. Desuden er der strenge regler for hvor store uregelmæssigheder individer i Flatland må besidde, og hvis et individ er for uregelmæssigt, og denne uregelmæssighed ikke kan fjernes ved en operation, bliver individet uden videre destrueret.

Skolerne i Flatland

Skolerne i Flatland spiller en stor rolle i fastholdelsen af det herskende klassesamfund i Flatland. For at kunne forstå det, er det nødvendigt, at man kender de sociale koder i Flatland. Ligesom i vores verden er visse handlinger socialt accepteret og andre findes meget upassende. En stor del af livet i Flatland handler om at kunne identificere andre figurer, da det langt fra er en simpel ting i en verden, hvor alt umiddelbart ligner lige linjer med forskellige bredder. Det første skridt man tager, når man vil identificere et andet individ i Flatland er gennem hørelsen, men dette er langt fra nok til at fastslå hvilken social klasse individet man interagere med er af. Blandt alle kvinder i Flatland og blandt de laveste sociale klasser er at føle den gængse måde at identificere andre individer. Det virker umiddelbart som en nem løsning, men i Flatland er den både besværlig, til tider farligt og blandt de højere samfundslag, upassende. Et eksempel på dette gives da A. Square forklare hvordan hans tipoldefar, som havde gigt, blev følt af en et højerestående individ og var så uheldig at lave en ukontrolleret bevægelse, der forvoldt skade på den følende. Dette tilfælde resulterede i at hans tipoldefar blev sat i fængsel og bragte så meget skam over familien, at den næste generation der fødtes havde en vinkel – eller hjerne, der var 1,5° lavere end den foregående. Der skulle gå 5 generationer før det tidligere gradtal var opnået.

Skolesystemet i Flatland er opdelt i skoler for underklassen og skoler for middelklassen og de højere klasselag. Forskellen på disse skoler er den måde at identificere på, som der undervises i. I de offentlige folkeskoler undervises der i føling. Blandt de højere klasser tages der afstand fra denne metode, og børnene af disse klasser bliver sendt til hvad der svarer til privatskoler, hvor der undervises i ”sight

                                                                2
recognition” altså identifikation ved hjælp af synet. Som det udtrykkes i bogen:

Det nævnes også, at et tilfælde af føling på universiteterne i Flatland, kan medfører bortvisning. Det forholder sig sådan i Flatland, at den eneste måde et individ kan mestre arten sight recognition, er ved udelukkende at have kendskab til denne metode. Der er derfor et forbud mod at føle blandt overklassens børn. Evnen til at kunne identificere geometriske figurer udelukkende ved hjælp af syn er en evne, som det tager mange år om at mestre. Det betyder at overklassens børn får en lang uddannelse i forhold til underklassen, som kun undervises i føling. Dette medfører naturligvis, at overklassens børn er overlegne i forhold til underklassen, hvilket igen fastholder det klassesamfund der hersker.

2

A. Abbott, Flatland, side 21, linje 33-34

Side 7

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

7

I folkeskolerne i Flatland bliver der som sagt undervist i føling. Til dette formål bruger underviserne individer fra de laveste klasselag som eksemplarer i stil med udstoppede dyr i naturvidenskabelige fag i folkeskolerne som vi kender dem. De individer som bliver brugt i undervisningen kommer fra den kriminelle samfundsklasse, som er de trekanter, hvis spidse vinkel er under 10°, hvilket betyder at deres intelligens er utrolig lav. Der udvælges eksemplarer hvis vinkler er præcise gradtal i hele og halve tal, fx 1,5° eller 9,0°, og disse eksemplarer bliver fikseret på en sådan måde, at er ude af stand til at gøre skade på deres omgivelser.

Det bliver forklaret i bogen, at man i nogle lande holder liv i disse skabninger ved at fodre dem, men i de mest udviklede lande er man kommet frem til den løsning, at det er nemmere og billigere at udskifte dem jævnligt. I undervisningen bliver disse uskadeliggjorte kriminelle benyttet på den måde, at børnene får lov at føle deres vinkler, og derved lærer hvordan fx en vinkel 9,0° føles. på Denne tilfangetagelse af uintelligente spidsvinklede trekanter har en primær funktion som hjælpemiddel i undervisningen, men samtidig er det en proces, der er med til at tynde ud i mængden af kriminelle i Flatland, da de efter brug bliver destrueret.

Skolerne i Flatland er forbeholdt mænd, da samtlige kvinder i Flatland er dummere end den mest uintelligente spidsvinklede trekant, da kvinder i Flatland er udgjort af lige streget og dermed har en vinkel, og dermed hjerne, der er næsten ikke eksisterende. Dette bringer mig til mit næste emne, kvinderne.

Kvinder i Flatland

Kvinder i Flatland er udgjort af en lige streg. Det giver dem en række ulemper. De besidder i høj grad samme egenskaber som spidsvinklede trekanter – soldater. De har en yderst lav intelligens. Det nævnes at deres hukommelse højst strækker sig et par minutter tilbage i tiden. De er yderst farlige, selv den mindste kontakt med en kvindes spidse ende kan være dødeligt. De har et højt temperament, hvilket betyder at mændene bør være yderst påpasselige, når de omgås deres kvinder, og sørge for aldrig at sige noget, der kan ildne dem op, da det kan få katastrofale følger. For at undgå dette taler man i Flatland til kvinder på et simpelt babyagtigt sprog, som er meget anderledes end det videnskabelige sprog, som mænd kan kommunikere indbyrdes med. Hovedpersonen A. Square giver udtryk for at denne løsning med to forskellige sprog er en god løsning.

For kvinder gælder nogle regler, som er nødvendige for at gøre det nogenlunde sikkert, at færdes i deres nærhver. Hvert hus skal være forsynet med en østvendt indgang, som kvinder skal benytte, da det vil udgøre en stor fare for mændene, hvis kvinderne benytter den samme vestvendte dør, som de bruger.

Enhver kvinde der færdes i det offentlige rum skal konstant opretholde et såkaldt ”peace-cry”, som er en tone de konstant skal nynne for at gøre opmærksom på deres tilstedeværelse. Overtrædelse af dette påbud straffes med døden. Desuden vil alle kvinder, der af en hvilken som helst årsag oplever ufrivillige bevægelser, øjeblikkeligt blive destrueret. En kvinde med tendens til at blive forkølet, vil man derfor blive nødsaget til at destruerer. En kvinde skal ligeledes også konstant vrikke fra side til side. Disse to ting, deres nynnen og konstante vrikken fra side til side, er de to ting hvorved man kan kende kvinder fra forskellige klasser fra hinanden. En kone af en cirkel vil have en langt mere harmonisk nynnen og en pænere vrikken end en kone af en trekant. En anden lovgivning siger, at ethvert hus i Flatland skal have værelser indrettet specielt til kvinder. Disse værelser er indrettet på en sådan måde, at når kvinden er placeret i værelset, er hun ude af stand til at gøre skade på sine omgivelser. Det forventes af kvinder i de fine familier, at de altid har deres ansigter vendt mod manden i huset og hans mandlige gæster. Dette er ikke tilfældet blandt den

Side 8

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

8 lavere middelklasse og underklassen, da kvinderne her bliver nød til at tage sig af huslige gøremål på grund af fraværet af tjenestefolk.

Kvinder er desuden også med til at tynde ud i underklassens mænd, da disse med deres lave intelligens oftere kommer til at tirre deres koner, end de langt mere intelligente mænd fra overklassen. Det ender ofte i massakre, hvor hele husstande bliver nedslagtet af en ophidset kvinde.

For at undgå at tirre kvinder, taler man i Flatland et simpelt børnesprog i kvinders nærhver. Det intellektuelle sprog, som mænd taler indbyrdes, holdes hemmeligt for kvinder.

Fortolkning

Flatland kan i store træk fortolkes som en satire på det victorianske samfund, med fokus på de store klasseforskelle der herskede og kvinders rolle i samfundet.

Kvinderne

                                              3
A. Abbott var en fortaler for kvinders rettigheder i sin tid

, hvilket tydeligt kommer til udtryk i Flatland, hvor kvindernes rolle afspejler den rolle kvinder spillede, hovedsageligt blandt overklassen, i det victorianske England på Abbotts tid. Kvinder i Flatland har den egenskab, at de er usynlige set fra en bestemt vinkel, hvilket er taget direkte ud af den tids forventninger til en anstænding kvinde. Det forventedes af en kvinde i det victorianske England, at hun ikke blandede sig i mændenes sager og holdt sig i baggrunden. Hos middel-og underklassen indebar det, at hun tog sig af de huslige pligter, og i overklassehjem forventedes det af kvinden, at hun lydigt lyttede til hvad mændene havde at sige. Dette er også tilfældet i Flatland, hvor det forventes at kvinderne altid har deres ansigt vendt mod manden i huset og hans mandlige gæster:

4

Det afspejler Abbotts frustration over det gængse kvindesyn under den victorianske æra, hvor mange nærmest ignorerede kvinders eksistens, og hvor man ikke mente, at kvinder besad nok intelligens til at

                                5
uddannelse af kvinder kunne betale sig.

Det simple sprog som i Flatland bruges når man omgås kvinder og hemmeligholdensen af mændenes sprog, leder tankerne hen på forbuddet mod at lære slaver at læse, som

                        6
herskede i tidligere samfund.

Skolerne

De to typer skoler der findes i Flatland repræsenterer skolerne i det victorianske England, hvor middel- og underklassens børn lærte at læse og skrive Engelsk, hvilket i Flatland svarer til føling, mens det foretrukne sprog blandt overklassen var fransk, som kan sammenlignes med sight recognition i Flatland. A. Abbott var i sin tid en social reformator. Han var en stor forkæmper for ligestilling mellem rig og fattig på

                                                                7
uddannelsesområdet og ikke mindst en fortaler for kvinders ret til uddannelse.

Med dette i baghovedet er uddannelsessystemet i Flatland en kritik af det herskende uddannelsessystem på Abbotts tid.

3

http://www.sciencenews.org/view/generic/id/48/title/A_Stranger_from_Spaceland (20/12/2011)

4

A. Abbott, Flatland, side 13, linje 20-21

5

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html (20/12/2011)

6

http://www.pbs.org/wnet/slavery/timeline/1829.html (20/12/2011)

7

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html (20/12/2011)

Side 9

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

9

Princippet med at udstille individer fra de laveste klassetrin til offentlig skue kan igen ses som en kritik af det victorianske samfunds behandling af dem, der var anderledes end normen, ofte de handikappede. I det victorianske England havde man asylcentre, hvor man anbragte handicappede for at holde dem væk fra samfundet, som var forbeholdt de ’normale’. En vis fascination af det anderledes resulterede dog i at disse centre ofte var indrettet, så det var muligt under sikre forhold at observere disse individer og de uregelmæssigheder, som deres handicap bestod af. Dette er meget lig den måde eleverne i Flatland får lov

                                  8
at røre de kriminelle, mens de er fikseret.

Klasserne

Sammenhængen mellem uregelmæssigheder i individers opbygning og deres kriminelle tendenser er også noget, som Abbott har taget direkte ud af det samfund, han selv levede i. I det victorianske samfund herskede der teorier om, at der var en direkte sammenhæng mellem uregelmæssigheder i kraniet og ens tendens til at begå kriminalitet, hvilket afspejles direkte i Abbotts beskrivelse af de mest uregelmæssige

                                     9
trekanter som værende den kriminelle klasse.

Perspektivering

Verdenen Flatland har mange ligheder med den orden der senere i 1930’erne og 1940’erne kom til at herske under Hitlers naziregime i Tyskland. Beboerne i Flatlands afsky for individer med anormaliteter er meget lig med de tendenser der herskede i Nazityskland, hvor handicappede, på lige fod med jøder, blev betragtet som en byrde for samfundet. Naziregimets håndtering af handicappede eskalerede under Hitlers styre og i slutningen af nazitiden førtes der en politik overfor handicappede på lige fod med den politik, der

                                                                                      10
føres overfor uregelmæssige individer i Flatland, hvilket inkluderer destruktion/aflivning af handicappede.

Flatland er skrevet i en tid, hvor begrebet Social Darwinism, Socialdarwinisme, opstod i England og USA.

Socialdarwinisme er en samfundsteori, hvor man ser samfundets udvikling, som en biologisk evolutionær udvikling. Det betyder, at man tager Darwins begreber som mutation, variation og selektion og overfører dem til den kulturelle og samfundsmæssige udvikling.

11

Dette citat beskriver hvordan nogle i 1870erne mente, at de sociale klasser var i konstant konkurrence med hinanden præcist som det er tilfældet i dyreriget, hvor Darwins kendte begreb ’survival of the fittest’, den bedst-tilpassedes overlevelse, er hvad afgør hvilke racer der overlever og hvilke der uddør. Der er en direkte sammenhæng mellem disse teorier, der herskede i samfundet på A. Abbotts tid, og den måde verdenen Flatland fungerer på. I Flatland er den en sammenhæng mellem den sociale status som dets beboerne besidder og deres intelligens. I Flatland er hver social klasse nærmest en race for sig, og generationsskifter i Flatland kan, på samme måde som mutation i dyreriget, føre til forbedrede egenskaber

8

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html (20/12/2011)

9

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html (20/12/2011)

10

http://www.ushmm.org/museum/exhibit/focus/disabilities/ (20/12/2011)

11

http://en.wikipedia.org/wiki/Social_Darwinism (21/12/2011)

Side 10

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

10 og bedre overlevelseschancer, da hver generation i Flatland er en social klasse højere end den foregående.

Hitlers ønske om racerenhed og de tiltag der blev gjort i Nazityskland er et tydeligt eksempel på socialdarwinisme. De rædsler der udspillede sig i Europa i 30erne og 40erne er hovedårsagen til at langt de fleste i dag tager stor afstand til socialdarwinisme. I 1870erne var ideen om perfektionering af mennesker og udryddelse af de anderledes en ide der fascinerede mange mennesker og socialdarwinisme var socialt accepteret. Abbotts roman portrætterer et samfund hvor socialdarwinisme ikke er en teori, men hvor det er en realitet. Hovedpersonen i Flatland, som ellers er en ganske fornuftig person, tager på ingen måde afstand fra den klassedeling der hersker i samfundet. Destruktion af individer med for store uregelmæssigheder bliver set som en nødvendig del af samfundet, ligesom det var tilfældet i Nazityskland. I Flatland bliver alle rangeret efter hvilke vinkler de har og hvor mange sider de har, og deres personlighed har intet at skulle have sagt. Der er i store træk det samme, der gjorde sig gældende i Nazityskland, hvor man kun blev accepteret som en del af fællesskabet hvis man havde de rette gener.

Side 11

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

11

Keglesnit, kuglesnit og Miquels sætning

Kuglesnit i Flatland

Begreberne keglesnit og kuglesnit støder vi på i romanen Flatland A Romance of Many Dimensions af Edwin A. Abbott. Begreberne forekommer i bogen da hovedpersonen A. Square, som lever i den 2-dimensionelle verden Flatland, får besøg af et væsen fra en anden dimension. A. Squares uventede gæst er en sfære fra landet Spaceland, altså en kugle, ved navn Sphere. Spaceland er, hvad A. Square kalder den verden i tre dimensioner, som vi lever i. Da A. Square ikke kender til eksistensen af den tredje dimension – højden, opfatter han ikke Sphere som værende en kugle. Han ser pludselig en cirkel komme frem ud af ingenting midt i hans hjem, hvilket skyldes at Sphere er steget ned fra et højere sted, som er utilgængeligt for A.

Square, og nu skærer ned igennem Flatlands overflade. Cirklen som A. Square kan se bliver større og større mens Sphere bevæger sig ned igennem Flatland, og så halvvejs begynder den at bliver mindre igen for til sidst at forsvinde i et punkt.

Det begreb som A. Abbott præsenterer os for her er kuglesnit. I Det følgende afsnit vil jeg arbejde med begrebet kuglesnit, men i høj grad også begrebet keglesnit.

Til venstre ses hvordan kuglen fra Spaceland har placeret sig så noget af hans krop er under Flatland og noget af hans krop er over Flatland. Ud fra grundlæggende trekantsberegninger kan man bevise at det A. Square i

Flatland ser når Sphere bevæger sig igennem Flatland er en cirkel, hvis størrelse afhænger af, hvor langt over eller under Flatland midten af hans krop befinder sig.

Bredden af den cirkel som A. Square ser, når Sphere befinder sig på en given position i forhold til Flatland, vil jeg nu beskrive:

Jeg vil beskrive bredden VH som funktion af OF. r er Spheres radius og har naturligvis en fast værdi: VF FH =

Da F er en projektion af Spheres origo O på VH, som er en korde til Sphere

VF FH VH FH VH + = ⇔ = 2

∠ FOH = Cos^{−}^{1}

Sin FOH FH Sin FOH r ( ) ( ) ∠ = ⇔ = ∠ ⋅ ⇔^{FH}_{r}

FH Sin Cos r^{−}^{1} =⋅

− 1
VH FH Sin Cos r = = ⋅ ⋅ 22

⎛⎞ OF r

⎛⎞ ⎛⎞ OF r

⎛⎞ ⎛⎞ OF r

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

⎝⎠

Side 12

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

12

Altså har vi nu et udtryk, der beskriver bredden af den cirkel A. Square ser i Flatland ud fra Spheres radius og den lodrette afstand OF, der er fra Spheres origo til Flatlands overflade. For at kunne demonstrere denne funktion, har jeg som det ses på grafen til venstre givet Sphere en radius på 2. På x-aksen aflæses Spheres centrums afstand til Flatlands overflade og på y-aksen aflæses bredden af den cirkel, som er synlig for A. Square. Som det ses er cirklen størst, når afstanden mellem Flatland og origo for Sphere er lig 0. Her er bredden lig 2r. Forskriften for grafen:

VH OF Sin Cos ( ) = ⋅ ⋅^{⎛⎞}_{⎜⎟}_{⎝⎠} 22^{⎛⎞}_{⎝⎠}

− 1

2

⎛⎞ OF

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Side 13

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

13

Keglesnit

Den rette, cirkulære kegle

Den kegle som jeg her vil arbejde med, er kaldt en ret, cirkulær kegle. En sådan kegle skabes ud fra en cirkel i en plan og et punkt udenfor planen, hvor dette punkt er placeret, så dets projektion på planen er placeret i cirklens centrum. Hvis man herefter forbinder punktet med uendelig mange punkter på cirklens periferi med rette linjestykker, har man da en ret, cirkulær kegle. Hver af de uendelig mange linjer, som udgør keglens krumme overflade kaldes frembringere. Cirklen er keglens grundflade og linjestykket fra cirklens

                                        12
centrum til keglens toppunkt kaldes keglens akse.

Parablens Brændpunkt og ledelinje

Som bevis for at udkommet af et snit af en ret cirkulær kegle kan være en parabel bruges begreberne brændpunkt og ledelinje. Jeg vil kortfattet opsummere hvad disse begreber dækker over.

Til enhver parabel kan findes et brændpunkt og en ledelinje. Brændpunktet og ledelinjen har de egenskaber, at et hvert punkt på parablen har den samme afstand til brændpunktet, som dets lodrette afstand til ledelinjen. Med kendskab til dette forhold kan vi ved at bevise, at en sådan linje og et sådant

punkt eksistere, bevise at den pågældende kurve må være en parabel.^{13}

12

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 58

13

Bob Jensen, MAT B2 htx, side 39

Side 14

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

14

Parablen som keglesnit^{14}

For at et keglesnit skal tage form af en parabel, skæres kegle parallelt med en af dens frembringere. Jeg vil under hele beviset henvise til de to billeder til venstre, hvor de forskellige skridt er illustreret. Det første, der er gjort, er at man har skåret keglen med planen E, som er parallel med en af keglens frembringere. Nu anbringer vi en kugle inde i keglen, som tangerer planen E og samtidig rører keglen langs en cirkel i planen

E Dette ses på det lille billede til venstre, hvor keglen ses fra siden (den striblede linje er planen E ). Nu
 1.                                                                            1

tager vi et vilkårligt punkt på snitkurve og kalder det P. For nemhedens skyld placerer vi punktet på periferien for keglens grundflade (nederst i venstre hjørne af parablen). P forbindes nu med keglens

toppunkt, og denne forbindelseslinje skærer cirklen i planen E
                                                  1

i et punkt vi kalder G. Gennem P lægger vi

nu en plan parallel med E_{1}. Da vi placerede P på grundfladens periferi, ligger denne plan i samme plan som

cirklens grundflade, som vi derfor benytter os af. Nu trækkes en linje fra keglens toppunkt parallelt med

planen E, hvilket betyder at denne linje også er en frembringer for keglen. Denne linje skærer E i punktet H
                                                                             1

og grundfladen i punktet Q. Planerne E og E_{1} skærer hinanden i en linje og projektionen af P på denne

skæringslinje kalder vi A. Herefter følger en række sammenhænge:

14

Det følgende, følger i store træk udledningen i Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, side 58-59.

Side 15

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

15

Linjerne PF og PG er begge tangenter til kuglen vi placerede i keglen og starter begge i punktet P, og er derfor lige lange:

PF PG=

PG og QH er begge frembringere i keglen og går mellem to parallelle planer, som begge er vinkelrette på keglens akse og derfor er:

PG QH=

Da linjestykkerne QH og PA er parallelle og går mellem to parallelle planer er:

QH PA=

Disse udledninger leder os til vores konklusion:

PF PA=

P har samme afstand til punktet F og til skæringslinjen mellem planerne E og E1, som gennemløber punktet A. Derfor er skæringslinjen mellem planerne ledelinje og F er brændpunkt for parablen som blev dannet ved skæring mellem keglen og planen E, og som punktet P er placeret på.

Side 16

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

16

Ellipsen som keglesnit^{15}

Definitionen af en ellipse

For at kunne bevise fremkomsten af en ellipse ved keglesnit vil det være på sin plads at få defineret hvad en

ellipse egentlig er. En ellipse skabes ud fra to punkter F og F . En ellipse består af alle de punkter P, som
                                            1    2

besidder den egenskab at summen af deres afstand til punktet F_{1} og afstanden til punktet F_{2} er lig med K,
som er en konstant der gælder for alle punkter i den pågældende ellipse.^{16} Det kan beskrives således:

FP F P K+=
 12

Ellipsen som keglesnit

Vi skærer keglen, som igen er en ret, cirkulær kugle, med planen E. Planen E skærer kun det ene af den dobbelte rotationskegles net. Den dobbelte rotationskegle er den figur, der vil fremkomme, hvis man placerede en ret, cirkulær kegle ovenpå keglen, og de to kegler delte samme toppunkt og akse. Keglens net er det net, der dannes af de uendelige mange frembringere, som keglens krumme overflade består af. Vi anbringer nu to kugler inde i keglen. Den ene kugle over planen E og den anden kugle under planen E.

Fælles for disse kugler er, at de tangere planen E og tangere keglen indvendigt i to cirkler, som befinder sig i

to planer som vi kalder E_{1} og E_{2}. Vi skal nu bevise at skæringskurven mellem E og kegleoverfladen danner en

ellipse. Til dette formål lader vi punktet P være et vilkårligt punkt på skæringskurven. Nu placeres en linje

igennem punktet P og keglens toppunkt. Denne linje skærer de to cirkler i planerne E_{1} og E_{2} i punkterne A_{1}
og A_{2}.

15

Det følgende, følger i store træk udledningen i Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, side 72-73.

16

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 60

Side 17

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

17

Da PF1 og PA1 begge er tangenter til den øverste kugle er:

PF PA=
  11

Det samme gælder for PF2 og PA2 og den nederste kugle:

PF PA=
  22

Med denne viden kan vi opskrive følgende:

1 2 1 2 1 2

PF PF PA PA A A+ = + =

Denne sum er den samme for ethvert punkt P på skæringskurven, da skæringskurven er placeret på keglens overflade og afstanden A1A2 er konstant, da den er afskåret af de to planer E1 og E2, som begge er vinkelrette på keglens akse.

1 2 1 2 1 2

PF PF PA PA A A+ = + =

Vi kan altså konkludere at alle punkter på skæringskurven opfylder

FP F P K+=
 12

og ingen punkter udenfor skæringskurven besidder denne egenskab for netop de to punkter F1 og F2, dermed er skæringskurven en ellipse med brændpunkterne F1 og F2.

Side 18

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

18

Hyperblen som keglesnit^{17}

Definitionen af en hyperbel

En hyperbel kan dannes ud fra to givne punkter F_{1} og F_{2}. Hyperblen udgøres af den mængde punkter P, som

besidder den egenskab at differencen af deres afstande til helholdsvis F og F har en konstant positiv
                                                          1   2

     18
værdi:

||PF PF k−=
   12

Hyperblen som keglesnit

Som det ses benytter vi til dette bevis en dobbelt rotationskegle. Keglen skæres af en plan, der går gennem begge net. Nu anbringes i hver af de to dele af dobbeltkeglen en kugle, der tangerer snitplanen og samtidig

tangerer keglen langs en cirkel. Punkterne hvor kuglen tangerer snitplanen kalder vi helholdsvis F og F . Nu
                                                                               1   2

tager vi et vilkårligt punkt på snitkurven, og en linje trækkes gennem punktet P og dobbeltkeglens toppunkt. Denne linje skærer de to cirkler, som dannedes der hvor kuglerne rører keglens inderside i

punkterne D og E. Linjestykkerne PE og PF_{1} tangerer den nederste kugle, heraf følger:

PE PF=
       1

Det samme gælder for PD og PF2 og den øverste kugle:

PD PF=
       2

Hermed følger:

PF PF PD PE ED− = − =
  21

ED er konstant, da den er udgjort af en frembringer, der er afskåret af de to parallelle cirkler, som dannedes hvor kuglerne tangerede keglens inderside. Dette medfører at forskellen mellem afstandene fra P til

punkterne F_{1} og F_{2} er konstant, ergo ligger P på en hyperbel.

17

Det følgende, følger i store træk udledningen i Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, side 86.

18

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 74

Side 19

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

19

Miquels sætning

Miquels sætning siger i bund og grund, at hvis man afsætter tre punkter, et på hver af en trekants sider, og derefter indtegner tre cirkel, hvis periferi går gennem et af trekantens hjørner og de to tilfældigt placerede

                                                                       19
punkter på de to hosliggende sider, vil disse tre cirkler skære hinanden i et fælles punkt . Af denne viden

kan man udlede en række interessante sammenhænge, som jeg vil komme nærmere ind på.

For at kunne forstå og forklare beviset for denne sætning kræver det, at man har et forhåndskendskab til en række geometriske sammenhænge. Det kræver bl.a. at man kender til forholdet mellem cirklers centervinkler og de tilsvarende periferivinkler. Et andet begreb som man bør kende til for at forstå beviset for Miquels sætning er indskrivelige firkanter.

Periferivinkler og centervinkler

En centervinkel er en vinkel i en cirkel med toppunkt i cirklens centrum. Vinklens gradtal er af en størrelse svarende til gradtallet for den cirkelbue vinklen spænder over.

En periferi vinkel er en vinkel med toppunkt på et vilkårligt sted på cirklens periferi. Denne vinkeltype spænder også over en cirkelbue, men dens gradtal er halvt så stort som gradtallet for den cirkelbue den spænder over.

Indskrivelige firkanter

I modsætning til trekanter, er det ikke alle firkanter, der har en omskrevet cirkel. De firkanter der har en omskrevet cirkel kaldes for indskrivelige firkanter. Der findes et kriterium, som skal være opfyld, hvis en firkant skal være indskrivelig og jeg vil her gennemgå beviser for, hvorfor en firkant er indskrivelig, hvis netop dette kriterium er opfyldt.

                              20
Sætningen for indskrivelige firkanter:

19

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 27

20

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 12

Side 20

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

20

Jeg vil nu bevise hvorfor denne sætning gør sig gældende.^{21}

Først går vi ud fra at finkanten ABCD er indskrivelig. Nu betegner vi de cirkelbuer, som firkantens vinkelspidser deler cirklen i x, y, u og v. Som det ses på figuren er alle fire vinkler periferivinkler. Vi tager udgangspunkt i to modstående vinkler, vinklerne A og C. Vinkel A spænder over cirklenbuerne x og y, og vinkel C spænder over cirkelbuerne u og v. Med vores viden om forholdet mellem størrelsen af periferivikler og størrelsen af de cirkelbuer de spænder over, kan vi nu udlede følgene om størrelsen af A og C:

x y u v x y u v + + + + + ° 360
AC + = + = = = ° 180

2 2 2 2

To modstående vinkler danner altså to periferivinkler, der til sammen spænder over hele cirkelperiferien, og da vi ved at en periferivinkel er halvt så står som den cirkelbue den spænder over, kan vi udlede at to modstående vinkler i en indskreven firkant må være 180°.

Nu går vi den anden vej og forudsætter at modstående vinkler i vores firkant har vinkelsummen 180°. Først tegner vi den omskrevne cirkel for den vilkårlige trekant ABC. Vi ved at den cirkelbue som A spænder over er dobbelt så stor som vinkel A og kan derfor passende angive den som 2A. Det samme gælder for C.

21

Det følgende, følger i store træk udledningen i Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, side 12-13.

Vi ser at

2 2 360 2 A C B + = ° −

fordi

A B C A C B A C B + + = ° ⇔ + = ° − ⇔ + = ° − 360 2

Vi kan desuden se at vinklen D spænder over cirkelbuen ABC med værdien 2 2 og vi ved at D har en værdi svarende til AC + det halve af den cirk elbue som den spænder over

2 2 2 D A C =+

Vi kan nu sammenholde de to udtryk

D A C B D B B D = + = °− ⇔ = °− ⇔ + = ° 0

D A C =+

Side 21

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

21

Hermed har vi bevist, at når to modstående vinkler i en firkant har vinkelsummen 180°, vil vinkelspidserne ligge på den omskrevne cirkel for enhver trekant udgjort af 3 ud af de 4 vinkelspidser i firkanten. Med andre ord er en firkant indskrivelig, hvis et modstående vinkelpar har vinkelsummen 180°, da det andet vinkelpar da også vil have vinkelsummen 180°.

Miquels sætning bevis^{22}

Nu er vi klar til at se på Miguels sætning. Ovenfor ses en illustration af Miquels sætning. Punktet P kaldes

Miquelpunktet for punkterne P_{1}, P_{2} og P_{3} i forhold til trekanten ABC, og cirklerne kaldes for Miquelcirkler.

Beviset for Miquels sætning tager udgangspunkt i figuren til højre på billedet. Som det fremgår af figuren, er den vinkel, som linjerne fra P til de tre sider i trekanten danner, af samme størrelse.

I en vilkårlig trekant ABC, tegner vi cirklerne gennem A og B, der skærer hinanden i punktet P og i P. Som
                                                                           3

det ses på figuren, dannes der en firkant AP_{3} PP_{2} inde i cirklen der skærer A. Da denne firkant er indskrivelig

gælder følgende:

3 2 2

180APP AP P CP P∠ = °−∠ = ∠

Det samme gælder for Firkanten BP3PP1, der er placeret indskrevet i cirklen der skærer B:

3 1 1

180BPP BPP CPP∠ = °−∠ = ∠

Da

33

180APP BPP∠ + ∠ = °

Fås

21

180CP P CPP∠ + ∠ = °

Da vi nu ved, at to værdien af to modstående vinkler i firkanten CP_{2} PP_{1} er 180°, ved vi at firkanten er
indskrivelig og dermed at en cirkel gennem P_{1}, C og P_{2} også vil skærer P.

                                                                             23
Der gælder følgende sætning for den trekant, som dannes af centrene for de tre Miquelcirkler:

Beviset herfor følger:

22

Det følgende, følger i store træk udledningen i Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, side 27-30.

23

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 29

Side 22

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

22

Vi betegner nu de tre centre K, L og M, som vist på billedet til venstre. Siderne i trekanten KLM er også

centerlinjer i cirklerne og er derfor vinkelrette på korderne PP , PP og PP .
                                                  1   2    3

Da firkanten AP3PP2 er indskrivelig, gælder det:

32

180PPP A∠ = °−∠

Vi Kigger nu på firkanten KDPE. Vi ved at vinklerne KDP og KEP er rette, da de er vinkler mellem centerlinjer og korder. Når vi sammenholder denne information med ovenstående får vi:

∠ = ° − °− °− °− ∠ DKE A 80 ( )

∠ = ° − − − DKE KDP KEP DPE 360

∠ = ° − °− °− ° + ∠ DKE A 80
∠ = ∠ DKE A

Altså har vi bevist at trekanten KLM er ensvinklet med trekanten ABC.

Side 23

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

23

Miqueltrekanter

Miqueltrekanter er de trekanter, der udgøres af punkterne P , P og P altså de tre punkter, hvor
                                                 1  2   3

Miquelcirklerne skærer trekanten ABCs sider. Til et punkt P kan findes uendelige mange Miqueltrekanter, som hver er karakteriseret ved den vinkel som forbindelseslinjerne fra P til siderne i trekanten danner med

                                                                     24
trekantens sider. Følgende sætningen gælder for Miqueltrekanter i en given trekant:

Jeg vil nu gennemgå beviset for denne påstand:

På den øverste figur til venstre er indtegnet Miqueltrekanterne P P P og Q Q Q ud fra punktet P, hvilket
                                                     1 2 3   1 2 3

indebærer at alle tre linjer fra P til hjørnerne af hver af de to trekanter danner samme vinkel med trekanten ABCs sider, som de andre to linjer i den pågældende trekant. Vi udregner nu en af vinklerne i trekanten

P_{1} P_{2} P_{3}, som det fremgår øverst til venstre:

3 1 2 3 1 1 2

PPP P PP PPP∠ = ∠ + ∠

Vi ved at firkanten BP_{1} PP_{3} er indskrevet i en miquelcirkel, og vi kan derfor udlede følgende:

3 1 3

PPP PBP∠ = ∠

Da de to vinkler er periferivinkler i miquelcirkler, som set nederst på billedet til venstre, spænder de over

den samme cirkelbue. Præcist det samme gælder for de to vinkler i firkanten CP_{1} PP_{2}:

1 2 2

PPP PCP∠ = ∠

Herefter følger en længere udredning:

24

Jens Carstensen, Geometri og keglesnit, Side 29

Side 24

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

24

P PP P BP PCP B PBP C PCP B C PBP PCP∠ = ∠ + ∠ = ∠ − ∠ + ∠ −∠ = ∠ + ∠ − ∠ + ∠ ( ) ( ) ( )

1

Da vinklerne PBP1 og PCP1 udgør 2 ud af 3 af vinkerne i trekanten BPC følger:

( ) ( ) 180 180B C BPC B C BPC BPC A∠ +∠ − °−∠ = ∠ +∠ − ° +∠ = ∠ −∠

Vinklerne i trekant P1P2P3 afhænger derfor kun af hvor punktet P er placeret. Derfor ved vi nu at samtlige Miqueltrekanter tilhørende samme punkt P er ensvinklede.

Side 25

SRP – Flatland: a Romance of Many Dimensions

25

Litteraturliste

Bøger

• Abbott, Edwin Abbott, Flatland – A Romance of Many Dimensions, Dover Thrift Edition 1992 af

Dover Publications Inc. Oprindelses år: 1884

• Carstensen, Jens, Geometri og keglesnit, 1. oplag 1996 af forlaget Systime

• Jensen, Bob, MAT B2 htx, 2009 af forlaget Systime

Internetsider

• Ivar peterson. ”A Stranger from Spaceland”.

http://www.sciencenews.org/view/generic/id/48/title/A_Stranger_from_Spaceland (20/12/2011)

• www.mathaware.org. ”Social Satire in Flatland”.

http://www.mathaware.org/mam/00/master/people/abbott/satire.html (20/12/2011)

• www.pbs.org. ”Slavery and the Making of America”.

http://www.pbs.org/wnet/slavery/timeline/1829.html (20/12/2011)

• www.ushmm.org. “Nazi Persecution of the Disabled: Murder of “The Unfit””.

http://www.ushmm.org/museum/exhibit/focus/disabilities/ (20/12/2011)

• www.en.wikipedia.org. ”Social Darwinism”.

http://en.wikipedia.org/wiki/Social_Darwinism (21/12/2011)