SRP om Egyptens Pyramider og Matematik i Historie og Matematik

Side 1

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 1 of 21

Abstract

This paper explains the early Egyptian math, and shows how they used fractions instead of decimals. It is also explained how they only used unit fractions, and exactly how they calculated

with them. This was done with the 2/n-table, which is thoroughly explained and examined. All the

standard mathematics, like division and subtraction, is also explained to give an idea of the logic of the Egyptian scribes and mathematicians. A brief account of the use of math in the Egyptians daily lives is also given, as it was the scribes who calculated the taxes. The old Egyptian community, mostly The New Empire, the Egyptian time period from B.C., is also carefully explained, with focus on the peasants, who made out 95% of the population. The whole structure of society is analyzed to see why the country was, and still is today, formed the way it was, with the Nile as the foundation of the country. This leads on to an explanation of the agricultural scene of the time, and how the farmers worked at that time. The Nile fluctuations are accounted for, and the paper explains exactly what influence the fluctuations had on the society and on the daily lives of the Egyptians, as the mud from the Nile supplied large amounts of nutrients to the soil.

Side 2

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 2 of 21

Indholdsfortegnelse

Indledning: ........................................................................................................................................... 3 Ægyptisk matematik ............................................................................................................................. 4 Hieroglyffer ...................................................................................................................................... 4 Hieratisk skrift .................................................................................................................................. 5 Regnemetoder .................................................................................................................................. 6 Addition og subtraktion ............................................................................................................... 6 Multiplikation ............................................................................................................................... 7 Division ......................................................................................................................................... 8 Brøkregning .................................................................................................................................. 9 De røde hjælpetal ....................................................................................................................... 10 F-reglen ....................................................................................................................................... 11 n

2

-tabellen ......................................................................................................................................... 11 n

2

-tabellens opløsninger ................................................................................................................ 12 Pesu-opgaver .............................................................................................................................. 14 Landbrug og samfund i Det Ny Rige ................................................................................................... 14 Landbrugets organisering ............................................................................................................... 15 Nilens fluktuationer ........................................................................................................................ 17 Vanding og gødning .................................................................................................................... 18 Dyrkningen .................................................................................................................................. 19 Konklusion .......................................................................................................................................... 20 Bilag

Side 3

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 3 of 21

Indledning:

Jeg har valgt at skrive om emnet ”Pyramiderne i Egypten”, da jeg på den måde kan komme ind på både historiske og matematiske aspekter af det gamle Egypten, mere bestemt Det Nye Rige. I den matematiske del vil jeg redegøre for den Egpyptiske matematiks’ grundsten, såsom deres regning

med brøker og den vigtigste af deres mange tabeller, 2/n-tabellen. Derudover er der mange andre

matematiske metoder egypterne brugte, fx deres metoder til multiplikation, division, addition osv., alle aspekter, som jeg vil uddybe så grundigt som muligt. Ægyptisk matematik har haft en betydelig indflydelse på vor tids forståelse af matematik, hvilket kan ses ved, at de opgaver skolebørn i folkeskolen i dag sidder og løser, er opgaver som kan findes i en eller anden form i Papyrus Rhind.

Papyrus Rhind er det bedst bevarede eksempel på egyptisk matematik [1], og det er derfor dette skrift min matematikdel vil være baseret på. Det er en samling af tabeller og opgaver, som er blevet oversat i det 19. århundrede, og papyrussen består af 84 opgaver. Jeg har valgt udelukkende at bruge mine egne eksempler i opgaven, men de ligner dog PR opgaverne en del. Mange af opgaverne i PR handler om ting som regning med fødevarer og landarealer, og hvor meget øl man kunne få ud af en bestemt mængde korn. [2]

Dette viser meget godt hvad deres motivation til at lære den slags matematik de brugte. Det har simpelthen været en nødvendighed for at udnytte deres resourcer bedst muligt, og der har været flere andre praktiske anvendelser, som fx udregning af løn til ansatte.

Det historiske aspekt vil være i form af en forklaring af det gamle Egyptens samfundsstruktur, og hvordan Nilen og dens fluktuationer har påvirket denne struktur.Fluktuationer betyder i dette tilfælde ændringer i Nilens vandstand. Nilen flyder over sine bredder en gang om året, og dette har naturligvis haft en effekt på måden folket har tilpasset sig samfunds-mæssigt. Samtidig er Nilen Egyptens største kilde til drikkevand og vanding af afgrøder [3], så den har naturligt fået en central rolle i samfundsopbygningen, da samtlige borgere på et eller andet plan var afhængige af den. De har formået at udnytte naturens uforudsigelighed, hvilket giver anledning til at fokusere på datidens landbrug omkring Nilen og dets organisering.

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus - indledning

2

Den Store Danske.dk – Egypten i Oldtiden (videnskab - matematik) l. 6

3

http://www.sahra.arizona.edu/unesco/casestudies/NileDischarge.pdf s. 1

Side 4

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 4 of 21

Ægyptisk matematik

I dette afsnit kommer jeg ind på de forskellige dele af ægyptisk matematik, med henblik på at vise hvordan de har tænkt, og hvordan de har kunne lave deres egne matematiske metoder. Der vil i blandt disse metoder være ting som vi kan genkende fra nutidig matematik, men der er som regel en markant forskel, som formentligt bliver klare i dette afsnit.

Hieroglyffer^{4}^{5}

Hieroglyffer er oldtidens skriftsprog, og dets symboler har derfor også spillet en rolle i matema-tikken. Hieroglyfferne blev første gang fuldstændigt oversat af Jean-Francois Champollion, med hjælp fra den britiske lingvist Thomas Young. [6]

På Rosetta-stenen var der tre ens tekster, skrevet med hhv. hieroglyffer, demotisk skrift og græsk skrift. Ud fra disse tre var man i stand til at oversætte de to navne Ptolemæus og Kleopatra, og med dem som udgangspunkt oversatte de resten, og havde til sidst et større alfabet af hieroglyffer.

Hvis man skal kigge på hieroglyffernes matematiske betydning, er det oplagt at kigge på, hvilke symboler der var for tal, og hvilken logik de Halv-bue: 10 20 30 40 byggede på. Logikken er meget simpel, det eneste problem er det praktiske i deres system, da store tal godt kan komme til at fylde rigtig meget. Hvis man starter med de en-cifrede tal, så er det grundlæggende utrolig simpelt. Et 1-tal er derfor éen streg, et 2-tal er to streger, 3-tallet er tre streger osv. Denne fremgangsmåde bliver også brugt ved de større tal, men med andre symboler. Tallene i 10-tabellen, op til 90, har en halv-bue som symbol, hvor éen halv-bue symboliserer 10, to symboliserer 20 osv. Tabellen ovenfor overskueliggør dette system.

Eksempler på brugen af disse tal:

∩∩= ||||24

Θ

⊥∩∩∩∩= |||143

4

Baseret på Ægyptisk Matematik af Jesper Frandsen (fork. JF) s. 14-15

5

Baseret på Regn med en Skriver af Jens Lund (fork. JL) s. 13-18

6

http://www.freemaninstitute.com/Gallery/rosetta.htm

Tællestav: 1 2 3 4

| || ||| ||||

∩ ∩∩ ∩∩∩

∩∩

∩∩

Lotusblomst: 100 200 300 400

ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ ﻂ

Side 5

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 5 of 21

ΘΘΘ

⊥⊥⊥∩= |311

Θ

⊥ => lotusblomst, da Word ikke har symbolet.

Som det kan ses i eksemplerne ovenfor, læses hieroglyfferne additivt fra højre mod venstre.

Talsystemet kan sammenlignes med vores, da det er et ti-talssystem, dog er der intet tegn for nul.

De havde heller ikke noget positionssystem som vores, de stiller blot de mindste tal mod højre, og de største mod venstre, der er ikke en bestemt plads til 1’ere eller 10’ere. Dette kan delvist forklare hvorfor de ikke har et symbol for nul, da der ikke er brug for det som ”fyld” i positionssystemet.

Hieratisk skrift^{7}^{8}

Hieratisk skrift er mere indviklet end hieroglyffer, på trods af at det er en udvikling af dem, en form for kursivskrift for hieroglyfferne. Årsagen til at de er mere komplicerede er, at i stedet for den meget systematiske logik i hieroglyf-tallene, er der i stedet et symbol til hvert enkelt tal. Et eksempel kan være som følgende:

For at forstå Ægyptisk matematik, er deres anvendelse og skrivemåde for brøker meget vigtig, da deres brug af brøker er meget omfattende, men også meget særpræget.

                                                         1 1  1
Alle deres brøker er stambrøker, hvilket betyder at tælleren er 1, dvs, , , osv.
                                                         2 4  30

•

Metoden de brugte var at skrive nævneren med de rette symboler, og så derefter at tilføje en prik eller en over tallet. Prikken blev brugt i hieratisk skrift, mens cirkel-symbolet er en hieroglyf.

Der er findes dog nogle undtagelser. En er brøken_{3}^{2}, som er den eneste ikke-stambrøk. Derudover

er der nogle bestemte symboler for fire brøker i den hieratiske skrift. Årsagen til at de har deres egne symboler, må antages at være at de bruges hyppigt. De fire ser ud som følgende:

7

JF s. 15-16

8

JL s. 18-28

Side 6

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 6 of 21

2 3 4 3

1 1 1 2

I de kommende afsnit vil jeg for enkelthedens skyld bruge samme metode som ægypterne brugte til

at skrive brøker, og som til tider også bruges i Danmark, så_{n}^{1} = n hvor n er alle naturlige tal, altså:

•

                         2
Nn ∈ . Jeg vil også skrive brøken: som 3 .
                         3

Problemet der opstår nu, er hvordan man så skal skrive alle de andre brøker, som der naturligvis vil blive brug for. Igen bruger ægypterne blot deres stambrøker og

3 til at definere en ikke-stambrøk.

Måden de anvendte stambrøkerne var at addere dem til det rigtige resultat, da de simpelthen ikke

kunne forestille sig en brøk som 3/4. I stedet ville de skrive den:

4 4 4 4 2 4

3 1 1 1 1 1

++= +=

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

Grunden til at de ikke brugte formuleringen i parantes er af praktiske årsager, da brøker med en stor tæller ville tage alt for lang tid at skrive, og den ville fylde alt for meget. Hvis man fx skulle skrive

23/33, ville det skulle skrives som 23 brøker adderet sammen.

Regnemetoder

Addition og subtraktion^{9}^{10}

At lægge til og trække fra har med hieroglyfferne været utrolig simpelt. Som nævnt tidligere er det et titals-system, så der er gået ti af et symbol til éen i næste række, altså ti 1’ere til éen 10’er. Dette har gjort regning med selv store tal forholdsvist simpelt. Når det kommer til subtraktioner, har der ikke været forskel fra addition, da Ægypterne blot omskrev subtraktionen til en addition ved i regnestykket a-b at regne ud, hvad der skal lægges til b for at få a. Det giver samme resultat, og på denne måde havde de kun addition at bekymre sig om. Med hieratisk skrift er det mere indviklet, da der er mange flere symboler. Der er dog meget få fejl i kilderne, så det tyder enten på at skriverne har haft nogle tabeller at gå ud fra, at de har lavet kladderne andetsteds, eller at de har lært regnestykkerne udenad.

9

JL s. 25-26

10

JF s. 19-20

Side 7

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 7 of 21

Multiplikation^{11}^{12}

Multiplikation er lidt mere indviklet end addition, men dog stadig en form for addition, da ethvert multiplikationsstykke kan skrives op som et additionsstykke, det fylder blot mere. Et eksempel er

3*4, som kan skrives 4444*3 ++=. Metodens formål er at simplificere et stort regnestykke ved

at dele stykket op i mindre dele. Det udføres ved at fordoble begge sider til man har det rigtige resultat, men da det er stort set umuligt at forklare med tekst, kommer der nu et eksempel med løbende forklaring af hvert trin. Jeg bruger regnestykket 13 19:

*

/1 19 I venstre kolonne starter man altid med 1, hvorefter man fordobler begge

sider til man kan finde en kombination, der i dette tilfælde giver 13.

2 38 Begge kolonner fordobles, og indtil videre har man kun skulle regne 2*19

ud.

/4 76 Der fordobles endnu en gang, da der endnu ikke kan findes en kombination

med en sum på 13 i venstre kolonne.

/8 152 Nu kan jeg lægge de tre markerede tal sammen. Deres korresponderende tal

i højre kolonne lægges også sammen. Markeringerne laver man først i slutningen for ikke at sætte nogle mærker forkert.

= 247 Nederst får man det rigtige resultat på simplere måde end at lægge 19

sammen 13 gange. Det gælder om at stoppe fordoblingen inden tallet til venstre bliver større end den første faktor i regnestykket, i dette tilfælde 13.

Det kan virke som en speciel måde at regne på, men som nævnt tidligere er det blot en måde at dele stykket op i mindre stykker for at få simplere udregninger at arbejde med. Det er også muligt at

vende regnestykket, så den største faktor står først. I dette tilfælde ville der så stå 19*13. Ændringen

vil ligge i, at der som regel vil komme flere rækker, og man derfor får endnu mindre del-regnestykker. Ægypterne har her antaget, at tallene i venstre kolonne altid kan give summen på den første faktor, hvilket de også havde ret i. Ægypterne kunne dog også skyde genvej, som hvis man fx

skulle udregne 12*60, regnede de først 10*60 og så 2*60. Igen bruger de titals-systemet til deres

egen fordel for at gøre det hele lidt simplere. En anden variation er, hvis samtlige tal i venstre

kolonne skal markeres, som fx 7*7, så udelades markeringerne helt.

11

JF s. 20-22

12

JL s. 26-29

Side 8

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 8 of 21

Division^{13}^{14}

Lige som med subtraktion der blev omskrevet til addition, så blev division skrevet om til et multplikationsstykke. Hvis man skulle dividere 552 med 23 vendte man stykket om, så man i stedet for skulle regne ud hvad man skulle gange 23 med for at få 552. Det kan vises med ligningen

=⇔= xx 55223, hvorefter man kunne multiplicere med 23 og 552 for at finde x. Eks:

23

552

1 23 I denne form for multiplikation skal man fordoble indtil man kan se at man kan finde en kombination på højre side der kan give en sum der er lig med det tal man vil dividere. Man kan følge reglen at det største tal på højre side i dette tilfælde ikke må være større end 552.

2 | 46
4 | 92

/8 184
/16 368
24*23 =552

Denne metode kan modificeres til at man halverer tallet i stedet, hvilket kaldes division med 2 -

følgen. Nedenfor er et eksempel med 100/8, hvor jeg først har lavet en genvej ved at gange med 10,

for at komme hurtigere frem til resultatet. Det er også nødvendigt at halvere 8 éen gang for at få facit. Dette kan gøres flere gange, så man kommer ned i mindre og mindre dele af tallene i venstre kolonne.

En sidste divisionsmetode er division vha. −3

følgen. Metoden går ud på at man kan tage to tredjedele af et tal for at få stykket til at gå op.

Der findes eksempler hvor de to nedenstående metoder ikke virker på multiplikations- og divisionsstykker, men der kommer en forklaring til disse i de senere afsnit. Bl.a. kan redegørelsen af brøkregning og de røde hjælpetal give nogle løsninger.

13

JL s. 26-29

14

JF 23-24

2 -følgen

100/8

1 | 8

/10 80

Side 9

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 9 of 21

Brøkregning^{15}^{16}
Ægypterne brugte kun stambrøker og brøken 2/3. Alle ikke-stambrøker skulle skrives som summen

af flere forskellige stambrøker, de havde ikke positionssystem og der var mange forskellige symboler i hieratisk skrift. Dette gør brøkregning med ægyptiske metoder og symboler besværligt.

Vi bruger dog ikke symbolerne, hvilket hjælper lidt på det, men der er stadig mange forhindringer i udregningerne, som fx hvordan man skal manøvrere sig rundt for at udtrykke brøkerne som

                              2
stambrøker. Det bliver forklaret vha.
                              n

-tabellen i et senere afsnit.

Jeg vil starte med et eksempel på ægypternes brøkregning, da det er lettere at forklare ud fra et konkret eksempel end det er at forklare blot med ord. Jeg har valg regnestykket ( 20312 +⋅):

1 Venstre kolonne skal give kombination med en sum på 12, hvilket er

203 + udgangspunktet der regnes efter. Bagefter fordobler man brøkerne som det er nødvendigt.

2 Begge kolonner fordobles. Indtil videre er der ikke nogen problemer,

1031 ++ og er der ikke nogen komplicerede udregninger.

/4

532 ++

/8

1535 ++

Denne udregning blev lavet vha._{n}^{2} -tabellen som siger:

  1
+=  . Det bliver så lagt sammen med fordoblingen af 3 og 2.
  15

5 3

2 1

= Til sidst lægger man de tal sammen på venstresiden, der i dette tilfælde

532 ++

15

JL s. 29-34

16

JF s. 25-29

/2 16
/ 2

4

12+ 2

100

−3

følgen.

100/6

1 | 6
10 | 60
5 | 30

3

4

16+2/3 100

Side 10

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 10 of 21

+ 1535 ++
= 51538 +++

skal have en sum på 12. Derefter lægger man de korresponderende tal på højresiden sammen, og så skulle man gerne stå med det korrekte resultat.

Eksemplet viser ægypternes afhængighed af_{n}^{2} -tabellen, og hvilket vil blive uddybet senere.

De røde hjælpetal^{17}

I Papyrus Rhind er nogle af tallene i brøkregningen skrevet med rødt. De kaldes de røde hjælpetal, og de har hjulpet med multplikation af brøker. De kan sammenlignes med, at hvis vi skulle gange nogle brøker sammen, vil vi forsøge at sætte tallene på en fælles brøkstreg. For at gøre det må man gange brøkerne op for at finde en fællesnævner, hvilket giver en højere nævner. Det er denne nævner der i Papyrus Rhind er markeret med rødt. Igen er det noget der bedst kan vises med et eksempel. Følgende er opgave 21 i Papyrus Rhind:

Metoden vi ville bruge:      151553 = =+++   1
                                     15

+++ 11310

De røde hjælpetal er i dette tilfælde 10, 3, og 1. Det de gjorde var at skifte enhed, så en sort enhed

svarer til 15 røde enheder. På den måde bliver 2/3 til 10, 1/5 til 3, og 1/15 bliver 1. Denne metode
kan naturligvis tilpasses det enkelte regnestykke. Jeg vil bruge eksemplet ( ) ( ):2030*62 ++

Først laver jeg en fællensnævner. Det betyder at 1 sort → 30 røde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5022*2022*20211*515 =+=+=+++

Denne enhed er i ”røde” tal, så nu skal jeg regne tallet ud i ”sorte”. Nu har jeg det simple

divisionsstykke_{30}^{50} +=⇔= xx 31 hvilket er det endelige resultat. Ægypterne ville til den sidste del have

brugt den førnævnte metode til division.

17

JF s. 25-27

Side 11

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 11 of 21

F-reglen^{18}

F-reglen er en dansk oversættelse af g-rule, som står for generator Gillings. I dette tilfælde betyder generator frembringer, og derfra har man fundet det danske navn til reglen, og ignoreret Gillings.

Reglen står ikke skrevet nogen steder i de gamle kilder, men den er alligevel blevet anvendt.

              Fnn
Reglen lyder:         hvilket betyder, at hvis man skal addere to stambrøker hvor den ene er

F + 1

1

=+

Fn

F større end den anden, bliver summen en stambrøk hvor nævneren er lig med F divideret med F+1.

Forudsætningen er at F/(F+1) er et helt tal. Bevis:

Fnn * FnFn FnFn Fn Fn Fn

1 + 111 *1 F F +)1(*11 F F + F + F 1111

F +)1(*
F + 1 F + 1 F + 1

Fn Fn Fn

Fnn =+ =+⇔ =+⇔ =+⇔ ⇔ +

Et eksempel på at denne formel faktisk virker kan være følgende, hvor F=4

Fn 5*4 20 4

1 1 1 1

F + 1 + 14 5

Fnn =+ 205 =+⇒ ==

F-reglen kan omskrives, efter samme princip forklaret i afsnittet addition og subtraktion, hvis man vil trække to brøker fra hinanden. Eneste ændringer i formlen er, at begge plustegn bliver erstattet af minustegn.

n

2

-tabellen^{19}
2/n-tabellen er den vigtigste af de tabeller ægypterne brugte. I et tidligere afsnit brugte jeg flere
gange 2/n-tabellen til at beskrive en brøk med nævneren 2 vha. nogle mindre stambrøker. Brøkerne
går, ret åbenlyst, efter formlen 2/n, hvor n ikke kan være et lige tal. Årsagen til at n skal være ulige
er, hvis n var lige kunne brøken blot divideres med 2. Eks: 2/8 = ¼. Selve tabellen indeholder

løsningen for samtlige brøker med n fra 3 til 101. Ægypterne har brugt den til at slå op i hver gang

de har haft en brøk som fx 2/55, for at se, hvilken kombination af stambrøker man skulle skrive ned.
I dette tilfælde er kombinationen 33030 +, hvilket ville være svært at skulle regne ud i hovedet.

18

JF s. 27-29

19

Baseret på JF kapitel 4.

Side 12

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 12 of 21

Alle brøkerne i 2/n-tabellen kan opløses på forskellige måder, årsagen til at de står som de gør, skal

findes i nogle regler som tabellen følger. De lettere simplificerede regler er som følger [20]:

1. Små nævnere foretrækkes, og ingen nævner må overstige 1000.

2. Ingen opløsning må bestå af mere en fire stambrøker, jo færre jo bedre.

3. Lige nævnere foretrækkes, og denne regel overtrumfer regel #2.

4. Hvis valget står mellem to opløsninger vælges den, hvor mindste nævner er mindst, medmindre den største nævner kan gøres væsentligt mindre.

n

2

-tabellens opløsninger

Tabellens opløsninger er de løsninger ægypterne har fundet frem til når de skulle definere en brøk.

Hver eneste opløsning har krævet nogle udregner, jo større n blev, jo længere og mere omfattende blev udregningerne. Jeg vil i dette afsnit forsøge at forklare, både med eksempler og med ord, hvordan udregningerne blev lavet.

Brøken_{7}^{2} står i tabellen som 284 +. Dette ser ved første øjekast underligt ud, men går man

gennem udregningerne, så virker det mere logisk. Derfor har sat det op i trinvis rækkefølge. Det skal nævnes at jeg til første del bruger

2

-følgen, som vist og forklaret under afsnittet division, og til anden del har jeg brugt en følge tilpasset eksemplet.

1 7 Resten skal nu findes i en ny 1 7 udregning→ 1

2 3+ 2

7

/ 4 1+ 2 + 4 14 2
Rest: 4 / 28 4

Målet med udregningen er at finde en kombination af tal og brøker i højre kolonne hvis sum giver

2. Man markerer så deres korresponderende tal, og det er disse brøker der udgør opløsningen af 2/n-

brøken. I dette tilfælde har jeg snydt lidt, da jeg allerede vidste hvilke to brøker jeg skulle ramme fra starten. Ægypterne har højst sandsynligt brugt en del mere tid på hver enkelt brøk.

20

Baseret på reglerne i JF s. 30-31

Side 13

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 13 of 21

Hvis vi kigger på udregningerne kan man se, at der i første del er et tal ret tæt på to, nemlig 4 af 7.

Det er dog ikke helt 2, da der er en rest på 4: 2-(1+ 2 + 4)= 4. Denne fjerdedel finder jeg så i

udregningen af højredel af ovenstående tabel.

7 af 7 er naturligvis 1. Dividerer man

7 og 1 med 4, så får man 28 og 4, som er de to korresponderende tal jeg skal bruge. Fjerdedelen udgør nemlig den rest jeg skal bruge. Nu har jeg en kombination af tal der giver 2. De korresponderende i venstre

                              2
kolonne tal giver sammen resultatet: += 284 . Årsagen til at denne metode med division duer er,
                              7

at man finder det tal eller de brøker man skal gange med 7 for at få 2. Det giver mening når man ser

formlen_{7}^{2} ⋅+=⇔+=.

Jeg vil vise endnu et eksempel for at pointere, at der er flere forskellige måder at opløse de

forskellige brøker på, og derefter anvende de førnævnte regler for at finde den bedste løsning. N=9:

Nu har vi de to løsninger for n=2: 1: 186 + og 2: 36129 ++. For at afgøre hvilken løsning der evt.
skal stå i 2/n-tabellen kan vi kigge på reglerne, og se hvilke der har bestemt den rigtige. Som man

kan se består #1 kun af to brøker, hvilket er en fordel, samtidig med at tallene i nævneren er mindre end i #2. Sidst, så er begge brøker lige i #1, mens #2 har det ulige tal 9. Beslutningen er derfor i dette tilfælde meget simpel, og det er løsningen 186 + der står listet i tabellen.

1 9 1 9

3

6

/ 6 1+ 2

3 9

3 1

6 1+ 2 / 18 2
/ 12 2 + 4

2/9 = 186 +
/ 9

1

/ 36

4

2/9= 36129 ++

Side 14

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 14 of 21

Pesu-opgaver^{21}

Skriverne var de intellektuelle i Ægypten, og de havde en høj social status. Uddannelsen af skrivere var lang og hård, fysisk afstraffelse var en fast del af uddannelsen, og de skulle lære over 1000 symboler for at kunne læse. Skrivernes arbejde bestod ofte i at notere forskellige ting i landbruget, som fx bøndernes løn, mængden af brød fra en mængde mel, størrelsen af en høst, skatter osv. Pesu-opgaverne er 10 opgaver der kan findes i Papyrus Rhind, som har lært skriverne at regne med ting fra landbruget. Pesu er et mål for korns udnyttelse, som fandt ved at dividere antallet afbrød eller mængden af øl med mængden af korn. Eftersom korn var den primære ingrediens i ægypternes mad så var det nyttigt at vide hvor godt man kunne udnytte det. [22]

Landbrug og samfund i Det Ny Rige

Det Ny Rige er en periode i Ægyptens historie der strækker sig fra 1550 til omkring 1075 f.kr. [23] Årsagen til at det er denne tid, der er fokus på, er at tiden var præget af en stor økonomisk fremgang. Den økonomiske fremgang kom samtidig med at Ægypten udviklede sig til en militærstormagt. Gennem forskellige krige fik Ægypten held med at tage en masse krigsfanger, og derved have billig eller gratis arbejdskraft ved at bruge dem som slaver. Noget af det der var mest udbytterigt, var de togter æypterne var på til nabolande som Nubien, hvor de plyndrede de store guldminer. [24] Landbrug var på trods af det store militær den vigtigste del af samfundet, da 95% af folket bestod af bønder og forskellige former for håndværkere.

For til en start at danne et overblik over den generelle opbygning af samfundet, før jeg fokuserer på landbruget, vil jeg give en kort forklaring af magtsystemet. Lederen af Ægypten var den såkaldte farao. Han virkede som president eller en konge i landet, mens han havde høvdinge i hver af de mindre områder, kaldet nomer. [25]

Farao blev betragtet som en Gud, [26] og jeg vil komme nærmere ind på kongens rolle senere. Under høvdingene kom borgerne, der som tidligere nævnt udgjorde 95% af den samlede befolkning. De sidste 5% inkluderede, udover hoffet, der var faraoens nærmeste folk, skriverne som stod for den daglige adminstration af landet, soldaterne i den ægyptiske hær, og dem

21

Baseret på: Det Gamle Egypten, Peter Chrisp, s. 10 og http://www.egyptologyonline.com/scribes.htm

22

Det Gamle Egypten, Peter Chrisp, s. 19

23

Holm-Rasmussen, Torben – Politikens Bog om det Gamle Egypten (fork. PGBE) s. 100

24

Det Gamle Egypten, Peter Chrisp, s. 12

25

PGBE, s. 10.

26

http://www.egyptologyonline.com/pharaohs.htm

Side 15

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 15 of 21 der var involverede i den ægyptiske religion, fx præster, og andre former for religiøse ledere. Der var en meget lille elite, og en kæmpe andel af almindelige borgere, og dertil kom de mange slaver.

Landet Ægypten er et ørkenland, med Nilen formet som en lang stilk der skærer ned midt gennem landet, og som slutter med en blomst i den nordlige del ud mod Middelhavet, hvor ”blomsten” er det man kalder Nildeltaet, og ”stilken” er Nildalen. Dertil kommer Fayoum-oasen, en oase der stikker ud fra Nilen som eneste anden større beboelsesvenlige område efter Nildeltaet. Nildeltaet er på størrelse med Danmark, og der bor i dag over 60 millioner mennesker. [27]

Ægypten er derfor i dag knap så landbrugsorienteret som dengang, bl.a. pga. af menneskeskabte ændringer af Nilen, mere

præcist Aswan-dæmningen, bygget i 1971^{28}. En anden stor forskel er de mange mennesker der bor i

Ægypten, der ville ikke være plads til dem hvis så meget af den beboelige del afÆgypten blev optaget af landbrug.

Landbrugets organisering

Pga. landets udformning, med Nilen som eneste vandressource, var Nilen meget central i landbrugets organisering. Som man kan se på satelitfotos [29] så er hele landet éen stor gold ørken, undtagen langs Nilen, hvor der er dækket af grøn bevoksning. Årsagen til at Nilen gør landet så frodigt, udover at den sørger for vanding, skal findes i dens specielle årlige rytme, som forklares i næste afsnit. Den smalle stribe land langs Nilen er et meget gunstigt landbrugsland, hvilket har betydet at lanbruget har samlet sig langs Nilens kyst. Jordforholdene er stadig i dag så gunstige, at

den samme mark kan såes og høstes op til tre gange på et år.^{30} Dette er muligt pga nutidens mange

landbrugshjælpemidler, som fx kunstgødning, og naturligvis også det varme klima. I oldtidens Ægypten såede man en gang om året, og høstede en gang. Høstudbyttet var dog tilstrækkeligt til at fødevarerne kunne holde et helt år, undtagen de gange hvor høsten, som det er uundgåeligt i ethvert landbrug, slog fejl. Nogle kilder siger, at det kun var hvert tredje år at høsten var tilstrækkelig til at Ægypten var selvforsynende. [31] Ægypterne havde dog en omfattende brug af siloer, og sammen med en en årlig minimumshøst på lidt under 300 kg korn pr mand, så var Ægypterne godt rustet til

27

Frederiksen, Steen – Egypten i Dag (fork. ED) s. 8

28

ED s. 40

29

Google Earth – Satelitbilleder af Egypten og PGBE s. 9

30

ED s. 40

31

http://www.reshafim.org.il/ad/egypt/timelines/topics/agriculture.htm - ”Harvest”-afsnittet

Side 16

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 16 of 21 sværere hungersnødsår [32], fordi de kunne spare op i de gode år. Den store kornproduktion og anvendelsen af siloer gjorde derfor at Ægypten blev en af Romerrigets største kornleverandører, . [33] Landbrugsarbejdet var organiseret således, at der var nogle få mennesker og institutioner der ejede jorden, som lod bønderne dyrke den. Farao ejede teknisk set al jorden, men han overdrog det til kirkelige institutioner, godsejere og templer, som skulle stå for styringen af den uddelte jord.

Bønderne var forpligtede til at arbejde for en bestemt godsejer, og de var samtidig forpligtede til at betale 30% af deres høstudbytte i skat. [34]

Hvordan skatten blev udregnet vil blive forklaret i et senere afsnit. Denne form for beskatning viser indirekte hvilken betydning landbruget havde for Ægypten, da alt afhang af høstens udbytte år efter år. De institutioner der havde jorden kunne igen leje den videre. Lejerne var som regel af middelrang i samfundet, og det var folk som soldater, private, præster, håndværkere osv. Bønderne var fæstet til at arbejde på et bestemt stykke jord, så hvis et tempel fx solgte et stykke jord, så var bonden stadig forpligtet til at arbejde på samme sted.

Den førnævnte beskatning var den, som gik til staten. Lejeren af jorden beholdte det meste selv, og bønderne fik kun nok til at overleve og kunne arbejde effektivt.

Bondens løn bestod hovedsagligt af

mad, tøj og andre fornødenheder.^{35}

Dagliglivet som bonde var ikke en dans på roser. [36]

Det er let at få det indtryk, at bønderne levede en god tilværelse, da de som regel var selvforsynende, og fordi de havde Nilen som gav dem vand og god landbrugsjord. Det var ikke tilfældet, i hvert fald ikke ifølge en tekst fra den ægyptiske skolelitteratur: ”Bonden klager mere end en perlehøne ... hans hænder er fulde af betændte, stinkende bylder”. [37] Bonden skulle altså arbejde hårdt for føden, og det samme skulle familien.

Bønderne boede sammen i storfamilier, hvilket betød at 3 generationer kunne bo sammen, og alle skulle hjælpe til med at få det til at løbe rundt. Kvinderne lavede mad og passede det huslige, mens mændene i familien lavede det hårde fysiske arbejde. Disse landbrug var som sagt hovedsagligt selvforsynende, og der blev dyrket alt fra korn til frugter og grøntsager, dog var korn grundstenen i

32

Samme – ”Harvest”-afsnittet

33

http://en.wikipedia.org/wiki/Grain_supply_to_the_city_of_Rome

34

PGBE s. 105-106 og ED s. 40

35

http://www.egyptologyonline.com/Work%20&%20Trade.htm - ”Landowners”

36

Afsnittet baseret på temaboks, PGBE s. 106

37

Samme s. 106

Side 17

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 17 of 21 landbruget. [38] Derudover var det almindeligt at have okser, får, geder og svin. Okserne blev brugt til at pløje, som det ses på væggene i gravene for den afdøde, hvor den dødes liv liv blev afbildet. [39] [40] Tidens beboelse har også været påvirket af Nilen. Man var nødt til at bygge på højere liggende grund, for at undgå at blive ramt af den årlige oversvømmelse. Det har været muligt, og en nødvendighed, at bo tæt op af Nilen, men det har samtidigt været nødvendigt at find så højtliggende terræn som muligt, da det meste af Nildalen blev oversvømmet. [41]

Nilens fluktuationer

Som tidligere nævnt så har man i dag dæmmet Nilen op, så den fluktuationer kan kontrolleres, så det nu er helt op til Ægypterne hvornår den oversvømmer og hvor meget. Før i tiden har Nilen har det været op til regnen i Etiopien hvor meget Nilens vandstand ville stige, og om Ægypterne skulle sulte eller ej. Hele landet har været fuldstændigt afhængigt af Nilen og dens dens årlige rytme.

Årsagen til at oversvømmelserne paradoksalt nok var så vigtige, på trods af at oversvømmelser har en forholdsvis negativ klang, var ikke blot at de stod for vanding af store arealer. En af de vigtigste elementer i landbruget var Nilens bundslam, som hvert år blev skyllet op på bredderne og markerne.

Slammet er så vigtigt, da det har virket som gødning på markerne, og det har gjort, og gør stadigvæk i dag, jorden utroligt frugtbar. De lod vandstanden stå højt i et par uger før det enten fordampede, eller man ledte det væk manuelt. Slammet har også haft en anden funktion, da man har brugt det til fx at bygge huse, hvilket stadig ses i dag. [42]

Fluktuationerne var bestemt af hvordan forårsregnen i det etiopiske højland var, da det er der, Nilen har sit udspring. Det er denne afhængighed man i dag undgår vha. Aswandæmningen, som har skabt en kunstig sø der gør, at sandsynligheden for en tørke pga. for lidt regn i Etiopien mindskes. Effekten af denne dæmning

                                                                   43
gjorde fx at Ægypten ikke blev påvirket specielt meget under tørken i Afrika i 1980. Et problem er

dog, at der ikke bliver skyllet nær så meget slam op som før. Dette løses i dag med store mængder

                                              44
af kunstgødning, som er en kæmpe belastning for miljøet.

Oversvømmelserne er så regelmæssige at ægypterne har været i stand til at konstruere en kalender baseret på Nilens-, stjernernes-, og døgnets rytme. Ægypterne opfattede livet som en gentagelse af hændelser. Dette gjorde de, da de kunne se, at alt omkring dem gentog sig. Folk døde, nye

38

http://www.egyptologyonline.com/Work%20&%20Trade.htm - ”Peasant farmers”

39

PGBE s. 106 - temaboks

40

Bilag med billeder og forklaring

41

(Bilag) http://runeberg.org/salmonsen/2/25/0751.html

42

- Samme, l. 12 fra bunden.

43

ED s. 40

44

ED s. 41

Side 18

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 18 of 21 mennesker kom til, solen stiger op i øst og går ned i vest, osv. Denne slags gentagelser kunne de også observere på en årlig basis. Den ældste ægyptiske kalender var baseret på månens cyklus, og den resulterede i et år på 354 dage. Senere lavede man en ny kalender baseret på sammenhængen mellem stjernen Sirius og Nilens oversvømmelse. Sirius begyndte at kunne ses samme tid som at Nilens vandstand begyndte at stige. Derfor knyttede man de to ting sammen, og fastlagde at det skete på datoen 19. juli i den Julianske kalender. Derefter har de højst sandsynligt blot talt dagene mellem den dato i et år, hvilket gav dem en løsning på et antal måneder et år skulle bestå af. 12 måneder á 30 dage var resultatet af observationer. Det gav, sammen med 5 skuddage i slutningen af året, et år på 365 dage, hvilket er utrolig tæt på vores kalender baseret på et solår. De mangler blot de 6 timer som der skal lægges oven i de 365 dage. Dette har gjort at datoen for Sirius’ opstigning og Nilens oversvømmelse er blevet forskudt 1 hel dag hvert 4. år. At man har været i stand til delvist at basere en kalender på hvordan Nilen opførte sig, viser tydeligt hvordan ægypterne har sat deres lid til den cirkulære proces, der var dens årlige rytme.

Vanding og gødning

Ægypterne var dengang i stand til at udnytte det Nilen gav dem til fulde. For at drage 100% nytte af den årlige oversvømmelse, fandt lokale og regionale ledere i 2100 f.kr. [45] på, at man skulle bygge nogle kanaler vinkelret på Nilen, for at lede vandet og slammet ud på et større areal. Dette skabte Nildeltaet, som efter oversvømmelsen i de lavere områder var en stor sump, [46] hvilket gav en bonden en pause på et par uger, hvis han ikke blev indkaldt til hæren, mens slammet skabte en skorpe oven på jorden. [47] Samtidig byggede de lokale små dæmninger på kanalerne. Man ventede på at vandstanden steg nok til at rende ud i kanalerne og de tilhørende basinner. Der lå vandet så, og man havde nu muligheden for delvist selv at styre mængden af vand og slam der kom ud på markerne.

På denne måde kunne man fordele vand og slam ud på et meget større areal, samtidig med at man havde en vis kontrol. Man skulle dog stadig tage højde for fordampningen af vand i det meget varme land. Fordampningen gjorde det opbevarede vand i bassinerne besk, men ikke mindre nærende af den grund. Man kunne pga. fordampningen ikke gemme vandet i alt for lang tid. [48] Ved at bruge kanaler på denne måde skyllede der også mere af Nilens vigtige slam med vandet. Selve kanalerne blev bygget vha. af en fælles indsats af ægypterne. Hvert år skulle hver bonde afsætte 10 dage til at flytte jord, for både at udbygge og vedligeholde kanalerne. [49] Ved at de lokale

45

Torben Holm-Rasmussen, Ansigt til Ansigt med Egypterne (fork.THR), s. 30

46

(Bilag) http://www.reshafim.org.il/ad/egypt/timelines/topics/agriculture.htm - Toppen af siden

47

http://www.egyptologyonline.com/Work%20&%20Trade.htm – ”Peasant Farmers”

48

Samme

49

Samme

Side 19

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 19 of 21 myndigheder holdte kontrol med arbejdet, var man sikker på at det blev gjort. Samtidig var det også til bondens egen fordel, så de har haft en stor interesse i at få kanalerne effektiviseret. Vigtigheden af vandingssystemerne kan næsten ikke pointeres nok, da Ægypten sjældent får regn. Byen Aswan får fx gennemsnitligt 1 cm regn på 5 år, så der kommer kundet vand som bønderne selv får ledt ud på markerne. Dette gør at, sammen med de meget høje temperaturer, gennemsnitligt over 40⁰C om sommeren, vandingen af markerene er en vital del af hele Ægyptens eksistens.

Dyrkningen

Dyrkningen af jorden foregik ved at bruge en en-mands plov til at bryde den øverste skorpe af slam, og det var ikke nødvendigt at gå særlig dybt i jorden for at finde næringsstofferne til kornet, da slammet som sagt stadig dækkede jorden. I lande som Danmark er det nødvendigt at bruge meget større plove, da næringsstoffer som regel er lagrede længere nede i jorden. [50] Ægypten er på det punkt et optimalt sted for en bonde i den tid, da der som sagt ikke skulle mere end en enkelt mand til at føre en plov. Ploven kan ses på flere forskellige billeder, som regel med en okse spændt for. [51] Derefter såede man korn, grønstager og hvad der ellers var brug for. Dette foregik, ifølge nogle kilder, ved at mændene gik foran med ploven [52], mens kvinderne strøede såsæden på jorden. Igen et eksempel på at alle skulle deltage i arbejdet. [53]

Når tiden kom til at høste markerne blev folk ansat på forskellige hold der skulle sørge for at høsten forløb som den skulle. [54]

Disse hold bestod af folk der skulle gøre det manuelle arbejde, og dem der stod for overvågning af arbejdet, og til sidst dem der stod for bogføring af høstens mængde. Høsten foregik kort inden Nilens oversvømmelse, hvilket betyder at det var i perioden maj til juli. Bogføringen af høsten blev gjort af flere forskellige instanser. Af de førnævnte ”hold” var der både skrivere, tilsynsførende og inspektører noterede hvordan markerne så ud og hvilken høst man kunne forvente. Det var baseret på disse skøn at

                      55
bondens skat blev beregnet.

Farao, samme stilling som en konge, bliver let glemt i alt dette, da meget af styringen af landet foregår på et lokalt eller regionalt plan. Kongen havde dog stadig en betydning for folket. Han blev anset for at være en Gud der levede på jorden. Himmelguden Horus var der en speciel kontakt til, og farao var repræsentant for denne. Det var farao’s opgave at holde orden i livets gang i Ægypten, og det gjorde han vha. en masse ceremonier. Ægypterne troede på, at hvis farao stoppede med at

50

http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%c3%b8/Landbrug_og_havebrug/Jordbehandling/jordbehandling

51

Bilag med billeder og forklaring.

52

Samme

53

http://www.aldokkan.com/science/agriculture.htm - ”Harvest”

54

(Bilag) http://www.reshafim.org.il/ad/egypt/timelines/topics/agriculture.htm - “Harvest”

55

Samme

Side 20

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 20 of 21 udføre ceremonierne, så ville kornet ikke gro, og solen ville ikke stå op, livet ville kort sagt gå i stå.

Farao kan ses på billeder stå på lige fod med guden Horus og give offergaver, et tegn på at farao var en gud. [56] Farao gik ind i denne rolle som ”jordisk manifestation af Horus”, gennem ofringer og

                                                                   57
ceremonier, så meget, at der er meget få konger der har skilt sig ud gennem tiderne.

Konklusion

Det gamle Ægypten var matematisk set et højtudviklet land. De havde deres egne metoder til regning med brøker, og de havde nogle veluddannede folk, skriverne, som varetog alle de job, der krævede matematik. Disse job var der masser af, da Ægypten på samme tid var et meget beaurukratisk land, som det ses ved, at der var flere forskellige insatnser, der skulle vurdere bøndernes korn og udregne hans skat. Ægypterne gik meget op i Det matematiske niveau var højt i forhold til andre lande, eftersom Ægypterne havde deres helt egne metoder til komplicerede udregninger. Deres metode til at lave decimaltal, ved at tilføje stambrøker, kan på éen gang være

både indviklet og bestå af langtrukne udregninger, men også meget nøjagtige. 2/n-tabellen i sig selv

er også et matematisk geni-stykke, da det har været utrolig svært at lave stambrøker med nævnere på flere hundrede, samtidig med at det skulle skrives med hieroglyffer, eller det mere indviklede hieratisk skrift.

Det gamle ægyptiske samfund har ligeledes været højtudviklet for sin tid, idet de har været i stand til at udnytte Nilens muligheder til sit fuldeste. I et land der hovedsagligt består af ørken, har de formået at gøre sig gældende som et af de vigtigste kornforråd i Romerriget. De har på samme tid været et krigerisk folk, da de har plyndret flere af de omkringliggende lande for guld og andre rigdomme. Ægypten var udpræget et landbrugsland, og langt størstedelen af befolkningen var enten bønder, eller på anden måde direkte involveret i landbrug.

Nilens årlige oversvømmelser var forudsætningen for al landbrug i Ægypten. Nilen var på den måde også grundlaget for hele samfundsstrukturen, og den geografiske udformning af Ægypten.

Ægypterne forbedrede landbrugets muligheder yderligere, ved at lave vandingskanaler og basinner til obevaring af vand i perioden efter oversvømmelsen. På den måde havde de vand i en længere tidsperiode, og behøvede ikke at bekymre sig om den meget sparsomme regn.

56

Det Gamle Egypten, Peter Chrisp, s. 10

57

THR, s. 21

Side 21

********* Studieretningsprojekt 18/12 – 2009
3. g Matematik/Historie

Page 21 of 21

Litteraturliste

Bøger:

Peter Chrisp, Det Gamle Egypten, Flachs, 2003

Torben Holm-Rasmussen, Politikens Bog om Det Gamle Egypten, Politikens Forlag, 1. opgave, 1.

oplag, 2003

Steen Frederiksen m.fl., Egypten I Dag, Nordisk Forlag, 1. opgave, 1. oplag, 2002

Torben Holm-Rasmussen, Ansigt til Ansigt med Egypterne, Pantheon, 1. opgave, 1. oplag, 1993 Jens Lund, Regn med en Skriver, Jens Lund og Munksgaard, 1. opgave, 1. oplag, 1997

Jesper Frandsen, Ægyptisk Matematik, Systime, 1996

Hjemmesider (i den rækkefølge de blev brugt):

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus

2. http://www.sahra.arizona.edu/unesco/casestudies/NileDischarge.pdf

3. http://www.newworldencyclopedia.org/entry/Jean-Fran%C3%A7oisChampollion

4. http://www.freemaninstitute.com/Gallery/rosetta.htm

5. http://www.egyptologyonline.com/scribes.htm

6. http://www.egyptologyonline.com/pharaohs.htm

7. http://www.reshafim.org.il/ad/egypt/timelines/topics/agriculture.htm

8. http://en.wikipedia.org/wiki/Grain_supply_to_the_city_of_Rome

9. http://www.egyptologyonline.com/Work%20&%20Trade.htm

10. http://runeberg.org/salmonsen/2/25/0751.html

11. http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%c3%b8/Landbrug_og_havebrug/Jordbehandl
ing/jordbehandling

12. http://www.aldokkan.com/science/agriculture.htm