SRP om Kryptering og RSA-Kryptering i Matematik og Historie

Side 1

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Abstract

The purpose of this assignment is to enlighten encryption. The assignment examines how the German Enigma ciphering machine from World War II worked and affected the German and British priorities respectively. The assignment furthermore includes an investigation of the modern encryption method RSA as well as the demands of a modern code language. In con-clusion the assignment relates to the societal development and the need for making encryp-tions. Through a critical source analysis of an article the influence of Enigma on the German and British priorities in the World War is studied. Then the RSA encryption will be clarified through an examination of the dental theory needed to understand the modern encryption method. Finally, the societal development and the need for encryption will be examined based on the survey conducted by Statistics Denmark.

To summarize, the assignment shows that encryption is useful and a necessity to keep private information confidential for unauthorized persons. The historical information and analysis show that the priorities of both Germany and Great Brittan under World War II were affected by the Enigma machine. Furthermore everything indicates that the RSA encryption is a safe method of encryption as it meets the requirements of a modern code language. The research by Statistics Denmark furthermore shows that personal information passes on, on the internet.

It can thereby be concluded that the society is developing and chancing, increasing the need for encryptions to make sure that no information will be abused.

Side 2

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 2 af 22

Indholdsfortegnelse

Indledning ................................................................................................................................... 3 Slaget om Atlanten ..................................................................................................................... 4 Atlanterhavets vigtighed ..................................................................................................... 4 Forløbet i Slaget om Atlanten ............................................................................................. 5 Den tyske kodemaskine Enigma................................................................................................. 6 Centrale begreber inden for kryptologi ............................................................................... 7 Enigma-maskinens bestanddele og sammensætning .................................................................. 8 Engelske og tyske prioriteringer under 2. Verdenskrig .............................................................. 9 Moderne kodesprog .................................................................................................................. 13 Talteori ..................................................................................................................................... 14 Primtal ............................................................................................................................... 14 Regning med rester............................................................................................................ 15 RSA-kryptering ........................................................................................................................ 17 Dannelsen af nøgler ........................................................................................................... 17 Enkryptering ...................................................................................................................... 18 Dekryptering...................................................................................................................... 18 Kryptering af bogstaver vha. RSA-metoden ..................................................................... 18 Eksempel på kryptering ..................................................................................................... 18 Samfundsmæssig udvikling og behov for sikker internethandel .............................................. 19 Konklusion ............................................................................................................................... 21 Underskrift: ....................................................................................................................... 22

Side 3

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 3 af 22

Indledning

I hvilken krig vil det ikke være en fordel at havde indblik i fjendens planer om angreb og tak-tik? Kendskab til modstandernes planer kan være afgørende for krigens udfald. Planer om angreb, taktik mv. skal kommunikeres ud internt, så alle enheder kender deres rolle og opga-ve. I den forbindelse er der en risiko for, at uvedkommende får adgang til oplysningerne. Af denne årsag har det lige siden tidernes morgen været vigtigt at kunne sende fortrolige medde-lelser, som uvedkommende ikke kunne få indsigt i.

Et eksempel på en krig hvori forsendelsen af fortrolige meddelelser var af afgørende be-tydning, var i Slaget om Atlanten under 2. VK. Her udkæmpede England og Tyskland en krig, hvor udfaldet ville afgøre, hvem der ville få have kontrollen over Atlanterhavet. Således var hemmeligholdelsen af planer om angreb og taktik i den forbindelse meget vigtigt. Det lykke-des dog England at få indsigt i de tyske planer om angreb. Dette fik stor betydning for udfal-det af søkrigen, der endte med, at England vandt slaget [1].

Men hvordan kan det så undgås, at vigtige informationer bliver kendt af de forkerte mennesker? Svaret hertil er kryptering af de fortrolige oplysninger, og kryptering er netop det, der sættes fokus på i denne opgave. Kryptering er ikkun nødvendigt i krig, men også i vor tids IT-samfund, hvor vi deler forskellige data og personlige oplysninger på nettet. Kryptering kan forhindre, at uvedkommende får adgang til hemmelig information – såsom personlige oplys-ninger der anføres på nettet ved fx internethandel. Således er kryptering stadig meget relevant og essentielt i nutiden.

I det følgende vil forløbet i Slaget om Atlanten blive undersøgt vha. en grundig redegø-relse af slagets kendetegn. Herefter følger en uddybning af den kodning, der blev brugt under Slaget om Atlanten, hvor der er fokus på Enigma-maskinens opfindelse samt de centrale be-greber inden for kryptologi. Ydermere vil Enigma-maskinens virkning blive analyseret ud fra en gennemgang af dens sammensætning og bestanddele. Hernæst analyseres Enigmas påvirk-ning af hhv. de tyske og engelske prioriteringer i Slaget om Atlanten, og dette gøres ud fra artiklen ”Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2.

Verdenskrigs forløb?” af Niels Ole Faurholt. Hertil bruges historiefagets metode, hvor der laves en grundig kildekritik af artiklen, inden troværdigheden af den vurderes. Der gennemgås endvidere nogle vigtige krav til et moderne kodesprog, hvorefter den moderne krypteringsme-tode RSA belyses vha. talteori. Herunder anvendes matematikkens metode, da dette afsnit indbefatter nogle vigtige beviser. Afslutningsvis vil der perspektiveres til den samfundsmæs-sige udvikling og behov for kryptering i forbindelse med internethandel.

1

Frandsen, Jesper, m.fl. Enigma – et dilemma. Side 41 og 56.

Side 4

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 4 af 22

Berntson, Lennart, m.fl. Europa Side 302

Slaget om Atlanten

Med starten på Den Anden Verdenskrig i 1939 indledtes samtidig en søkrig på Atlanterhavet, som varede indtil Tysklands kapitulation i 1945. Englands placering i Atlanten betød, at kri-gen på det store hav var én af mange, der skulle udkæmpes, førend den tyske leder Adolf Hit-ler kunne få ét af sine to mål opfyldt - ”(…)at sikre Tyskland herredømmet i Europa og deref-

ter verdensherredømmet”^{2}. Allerede tre år inde i krigen var det lykkedes Tyskland at få indta-

get hele Europa undtagen de neutrale stater og England(se billedet). ”Slaget om Atlanten”, som Winston Churchill døbte det [3], var uundgåeligt for at opnå et tysk herredømme over hele Europa. I sine erindringer udtalte Winston Churchill senere, at ubådene var den største trussel under krigen [4]. Ubådene udgjorde en trussel mod det, englænderne frygtede mest: en blokering af de oversøiske transportruter. Selvom tysker-ne havde talrige sejre i dette slag, lykkedes det dem hverken at lukke transportruterne eller erobre England under 2. VK [5]. Ikke des mindre var den engelske frygt for tysk kontrol over

Atlanterhavet godt begrundet, da englænderne allerede under 1. VK havde oplevet en ubåds-krig, der nær havde besejret England [6].

Atlanterhavets vigtighed

Placeringen af det engelske kontinent var af afgørende betydning, da import og eksport fore-gik af søveje over Atlanterhavet. England var således afhængig af deres handels- og transport-ruter, som bl.a. var mellem England og USA samt de britiske kolonier. Opretholdelsen af ru-terne var en nødvendighed, for at England fortsat kunne blive i krigen som krigsførende, for ved at miste tilførslen af fødevarer og andre livsvigtige varer ville England blive tvunget til at overgive sig. Dette var medvirkende til indførelsen af nogle engelske sikkerhedsforanstaltnin-ger, der blev gjort for at beskytte tonnagen ved transportering af det. Blandt andet kan næv-nes, at det britiske admiralitet samlede de store handelsskibe i konvojer, da et konvojsystem havde vist sig gavnligt i 1. VK. Konvojerne blev endvidere eskorteret af britiske destroyere, som havde til opgave at forsvare handelsskibene ved eventuelle angreb fra tyske ubåde [7]. Sla-get om Atlanten var således kendetegnet ved at være et slag om Englands overlevelse.

2

Møller, Jørgen Ørstrøm. Store slag i Anden Verdenskrig. Side 59.

3

Ibid. Side 140.

4

Churchill, Winston. Erindringer om Den Anden Verdenskrig. Bind 1: Side 443.

5

Bauer, Eddy. Anden Verdenskrig – Slaget om Atlanten. Side 5 + 8.

6

Møller, Jørgen Ørstrøm. Store slag i Anden Verdenskrig. Side 140.

7

Ibid. Side 140-141.

Sort: Aksemagterne

Grå: Satellitstater til A

Stribet: Erobrede

Hvide: Neutrale

Hvide: Allierede

Side 5

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 5 af 22

Forløbet i Slaget om Atlanten

Med forpligtigelsen til Versailles-traktaten fra 1919 var Tysklands militære magt stadig be-skeden i starten af 2. VK. Men på trods af, at tabet af tonnage ikke var alarmerende det første år, gav tyskernes magnetminer alligevel anledning til frustration hos englænderne. Magnetmi-nerne, der blandt andet blev lagt ud vha. ubåde, eksploderede, når et skib passerede dem grundet skibsskrogets magnetisme, men pga. en tysk fejl lykkedes det englænderne at få fat i en mine, og herved kunne de lave sikkerhedsforanstaltninger mod dem. Men til endnu større frustration hos englænderne var indførelsen af tyskeren Karl Dönitzs ”ulvekobbeltaktik”, der bestod i at samle ubådene, så de kunne angribe i flok og opnå større effekt på konvojerne [8].

Den nye taktik viste sig at være særdeles effektiv, og medvirkede til, at de allieredes tabte tonnage steg fra 299.000 ton i 1939 til 5.934.000 ton i 1943 [9].

Endvidere var erobringen af Frankrig i 1940 medvirkende til en forbedret tysk situation.

Dette skyldtes bl.a., at Dönitz kunne flytte sine ubåde til den franske Atlanterhavskyst, og ubådene nu kunne sendes i aktion derfra. Med en placering af ubådene på Frankrigs vestkyst mindskedes ruten for de tyske ubåde med ca. 1000 sømil, da de tyske ubåde førhen var blevet sendt gennem farvandet nord for Orkneyøerne [10]. Udover ubåde og mandskab blev også eks-perter i bl.a. brydning af kodemeddelelser forflyttet til ubådsbasen i Frankrig. Dette gav ty-skerne en fordel – for ved at dechifrere meddelelser fra konvojerne, kunne ubådene nemmere finde dem. Tysklands erobring af Frankrig medførte også, at leveringen af tonnage og trans-porten til Frankrig ophørte, hvilket til gengæld var til fordel for England. Frankrigs fald inde-bar endvidere, at konvojerne mellem USA og England fandt ny vej af en nordligere rute [11].

Samarbejdet ml. de allierede omfattede bl.a. assistance om krigsskibe. I slutningen af 1. VK havde USA produceret adskillige krigsskibe, og dem fik England stor gavn af, da Churchill i

1940 bad Roosevelt om forstærkning – dette blev til en amerikansk låne-leje-lov, der hjalp England, og som samtidig indikerede, at USA ikke var neutrale [12]. Til gengæld tilbød England, at USA kunne oprejse militære holdepunkter på nogle britiske kolonier nær USA [13].

Dönitzs ulvekobler var virkningsfulde i kraft af den kommunikationsform, de anvendte.

Alle tyske meddelelser blev krypteret ved hjælp af den tyske krypteringsmaskine Enigma, før de blev sendt via radiosignaler. Dette betød, at al tysk information vedr. ubådenes positioner og deres planer om angreb kunne holdes hemmeligt, så de allierede ikke fik indsigt i de fortro-lige oplysninger. Den elektriske krypteringsmaskine var i høj grad sikker, hvilket var en stor

8

Bauer, Eddy. Anden Verdenskrig – Slaget om Atlanten. Side 5-6 og side 34.

9

Davies, Normann. Europa i Krig Side 40.

10

Bauer, Eddy. Anden Verdenskrig – Slaget om Atlanten. Side 6.

11

Ibid. Side 33.

12

http://www.denstoredanske.dk/Rejser,_geografi_og_historie/Milit%C3%A6re_forhold_og_krigshistorie/Anden_Verdenskrig/Lend-

Lease_Act
13

Bauer, Eddy. Anden Verdenskrig – Slaget om Atlanten. Side 37.

Side 6

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 6 af 22 fordel for tyskerne. Men på trods af ulvekoblerne og Enigma-maskinen vendte magtbalancen alligevel til Englands fordel i 1943, hvor kulminationen indtraf. Det hang bl.a. sammen med, at englændernes rekognosceringsfly begyndte at have større effekt, hvilket bevirkede, at kon-vojerne i højere grad end tidligere kunne dirigeres udenom ubådene. Dertil kom brydningen af tyskernes kodemaskine Enigma, der også gjorde det muligt at vide, hvor de tyske ubåde ville slå til henne [14]. Trods den sikre tyske kryptering lykkedes det alligevel først polakkerne og dernæst også englænderne at bryde nogle af de tyske koder. Under 1. Verdenskrig havde sig-nalopklaring vist sig formålstjenligt, og det var dermed blevet en stor del af efterretningsar-bejdet. Efterretningsarbejdet, der fandt sted på en kodeskole kaldte Bletchley Park, udviklede sig til et stort projekt, der fik navnet ULTRA [15].

Sammenfattende kan det siges at, trods magtbalancens vendepunkt i 1943 fortsatte Sla-get om Atlanten, som tidligere nævnt, indtil 2. VK sluttede i 1945. Søslaget vendte dog aldrig til tyskernes fordel igen, hvilket tydeligt blev afspejlet i tabet af de allieredes tonnage, der endte på 132.000 ton i 1945, og dette var væsentligt mindre end de tidligere år [16]. Slaget om Atlanten var kendetegnet ved at være en krig om tonnage, hvor udfaldet i sidste ende ville afgøre, hvorvidt England ville blive i krigen eller kapitulere. England var meget afhængige af de oversøiske transportruter, og en tysk kontrol over Atlanten kunne tvinge England til at overgive sig - ergo var kontrollen over Atlanterhavet en magtpåliggende faktor for både Eng-land og Tyskland.

Den tyske kodemaskine Enigma

I det følgende behandles den tyske kodning, der blev brugt under 2. Verdenskrig. Som det tidligere blev nævnt, anvendte tyskerne med stor fordel en elektrisk kodemaskine til at krypte-re al deres information inden, det blev kommunikeret ud. Udviklingen af denne krypterings-maskine var allerede påbegyndt i årene efter 1. Verdenskrig, og det førte til et samarbejde mellem A. Scherbius og R. Ritter. I 1918 startede de to tyske mænd et firma, og samme år blev Enigma-maskinen patenteret. Hensigten med den elektro-mekaniske Enigma-maskine var, at den skulle være foruden de mangler og svagheder, som forhenværende kodemetoder havde haft. Oprindeligt var kodemaskinen tiltænkt forretningslivet, men blev i stedet til stor gavn for det tyske militær, der havde flere forskellige udgaver inden for bl.a. hæren, flåden og

         17
luftvåbenet .

Efterretningsarbejde havde været et vigtigt element i 1. Verdenskrig, og arbejdet fortsat-te i mellemkrigsårene, hvor bl.a. englænderne og polakkerne fulgte den tyske kommunikation

14

Møller, Jørgen Ørstrøm. Store slag i Anden Verdenskrig. Side 143.

15

Kirchhoff, Hans, m.fl. Den 2. Verdenskrig 1939-45. Side 361-362

16

Se bilag 1.

17

Frandsen, Jesper, m.fl. Enigma – et dilemma. Side 7.

Side 7

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 7 af 22 tæt. Især polakkerne var interesseret i at overvåge den tyske kommunikation, da de frygtede en tysk invasion. Polen kom i besiddelse af informationer vedr. Enigma-maskinen, og ud fra disse kunne de bygge en kopi. Men fordelen ved Enigma var, at den ikke afhang af, hvorvidt fjenden ejede en lignende maskine. Derimod var sikkerheden ved den tyske kodemaskine høj blandt andet pga. af nogle kodebøger, der indeholdt information, om hvordan Enigma skulle indstilles. Det lykkedes dog også Polen, at få adgang til nogle af de tyske kodebøger, hvilket resulterede i, at de tyske koder blev knækket. Kort før Polens besættelse blev al viden og in-formation vedr. Enigma givet videre til blandt andet englænderne [18].

Centrale begreber inden for kryptologi

Kryptologi er læren om, hvordan en forståelig tekst kan ændres til en uforståelig tekst. Vigtigt er det, at teksten kun skal være uforståelig for perifere og uvedkommende folk og forståelig for de indviede folk. Således har det været vigtigt for tyskerne, at kun de kunne forstå deres meddelelser. Det har altså været af afgørende betydning for tyskerne, at de uvedkommende – i dette tilfælde de allierede – ikke har været i stand til at forstå deres kommunikation. For at dette kan lade sig gøre, skal de to indviede parter have kendskab til en fælles hemmeligholdt nøgle. Ved Enigma-maskinens tilfælde har den hemmeligholdte nøgle været de tyske kodebø-ger med oplysninger om maskinens indstillinger.

Den forståelige og originale tekst kaldes klarteksten, mens den krypterede og uforståeli-ge tekst kaldes kryptoteksten. Processen fra klartekst til kryptotekst benævnes enkryptering, hvor det modsatte forløb kaldes dekryptering [19]. De nævnte elementer danner sammen et kryp-tosystem, som er afbilledet herunder:

18

Frandsen, Jesper, m.fl. Enigma – et dilemma. Side 53 + 55.

19

Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 12.

Inspiration fra: Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 12

Side 8

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 8 af 22

Figur 1: Enigma-maskine

Enigma-maskinens bestanddele og sammensætning

I forbindelse med udredningen af den tyske kodning under 2. VK er det nærliggende at se nærmere på, hvordan Enigma-maskinen virkede. Kodemaskinen består af et plugboard, tasta-tur, lampebord, en reflektor og i dette tilfælde 3 rotorer (se billede [20]). Da maskinen er tysk, består tastaturet af 26 bogsta-ver, og tilsvarende består lampebordet af 26 lamper, der hver repræsenterer et bogstav i det tyske alfabet. Ved enkryptering indtastes bogstaverne i klarteksten på tastaturet, og bogstaver-ne i kryptoteksten vil lyse op på lampebordet, og den modsatte proces er gældende ved dekryptering [21]. Kun ét bogstav kan krypteres af gangen, og processen for dette er som følgende:

Der indtastes et bogstav på tastaturet fx J, hvorefter et jævn-strømskredsløb aktiveres. Strømmen løber gennem de tre roto-rer og vender ved reflektoren, hvorefter strømmen løber tilbage gennem de tre rotorer. Strømmen ender ved et modtagerhjul, og så lyser en lampe på lampebordet fx P [22].

En stor del af Enigmas sikkerhed ligger i rotorerne, da både rotorernes indstillinger samt deres rækkefølge har indfly-delse på krypteringsprocessen. De tre rotorer i Enigma-

maskinen kan placeres på forskellige positioner, og da der er 3 rotorer, er der 3*2*1=6 for-

skellige måde at sammensætte rotorerne på. I 1938 indførte tyskerne 2 rotorer mere, og der-med havde hver maskine 5 rotorer. Der var stadig kun 3 rotorer, der skulle bruges ad gangen, men indførelsen af de ekstra rotorer øgede sikkerheden, da der nu var flere muligheder for sammensætningen af dem [23]. Hver rotor indeholder et ledningsnet, der holder rotorens 26 kon-taktpunkter på højre side sammen med de 26 kontaktpunkter på venstre side. De indvendige ledninger gør, at rotorens kontaktpunkter på højre og venstre side ikke kan forbindes lige over. Således kan rotorens kontaktpunkt nummer 1 på højre side ikke forbindes med kontakt-punkt nummer 1 på venstre side. Ledningsnettet forbinder endvidere de tre rotorer sammen, og går gennem reflektoren, hvorefter ledningerne går tilbage gennem rotorerne. Ledningsnet-tet bevirker således, at der sker en ombytning af rækkefølgen af bogstaverne – også kaldet en permutation [24]. En rotor har 26 stillinger – én for hvert bogstav i det tyske alfabet. En yderlige-re sikkerhed ved kodemaskinen er, at når ét bogstav er blevet krypteret, vil rotor nr. 1 rykke

20

http://www.andersbeck.dk/?page_id=648 – benævnelserne har jeg selv tilføjet.

21

http://www.matematiksider.dk/enigma.html

22

Frandsen, Jesper, m.fl. Engima – et dilemma. Side 42.

23

Ibid. Side 54.

24

Ibid. Side 43.

Side 9

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 9 af 22 en stilling frem. Dette bevirker, at bogstavet L ikke vil blive krypteret til det samme næste gang, det krypteres. Når rotor nr. 1 har drejet en omgang – altså 26 stillinger – vil rotor nr. 2 rykke én stilling frem. Ligeledes vil rotor nr. 3 rykke én stilling frem, når rotor nr. 2 har drejet en hel omgang [25]. Endnu en styrke ved Enigma er plugboardet, der har 26 stik svarende til de

26 bogstaver i det tyske alfabet. I stikkene kan der indsættes op til 6 ledninger således, at nog-le bogstaver parvist kan byttes om – for eksempel kan et bogstav G ombyttes med et bogstav T.

Afslutningsvis er det vigtigt at nævne, at ved dekryptering af en meddelelse er det nød-vendigt at have kendskab til alle de indstillinger, der er anvendt til at enkryptere klarteksten.

Disse indstillinger er nøglen til at kunne dekryptere, og oplysningerne om indstillingerne har været til at finde i de tyske kodebøger. Kodebøgerne oplyste om, hvordan kodemaskinens indstillinger skulle være den pågældende dag [26].

Engelske og tyske prioriteringer under 2. Verdenskrig

I forlængelse af analysen om Enigma-maskinens bestanddele og sammensætning er det oplagt at gå dybere ind i, hvordan kodemaskinen har påvirket hhv. de tyske og engelske prioriterin-ger under 2. VK. I 1973 blev det offentliggjort, at telegrammerne fra den tyske kodemaskine Enigma var blevet brudt af de allierede under 2. Verdenskrig – projektet, der indebar, at Enigma blev knækket, fik dæknavnet ULTRA [27]. Kendskabet til ULTRA har medført en ræk-ke spørgsmål såsom, hvordan udfaldet af krigen var blevet, hvis koden ikke var blevet knæk-ket. Ydermere er der opstået en fremspirende interesse for, hvordan indsigten i Enigma-koderne har haft indflydelse på englændernes prioriteringer under krigen. Til belysning af hhv. de tyske og engelske prioriteringer under 2. VK, anvendes et artikeluddrag skrevet af Niels Ole Faurholt [28], der først må bearbejdes.

I 2009 udkom et krigshistorisk tidsskrift indeholdende et artikeluddrag af Faurholt. Af uddraget fremgår det, at Niels Ole Faurholt er tidligere major og pensioneret afdelingsleder i Forsvarets Efterretningstjeneste [29]. Artiklen er udkommet 28 år efter offentliggørelsen af UL- TRA, men spørgsmålet om ULTRAs rolle i krigen er stadig interessant den dag i dag. Det skyldes, at svaret stadig er noget, historikere kun kan gisne om. Formålet med Faurholts arti-kel er at behandle, hvilken betydning det har fået for krigens udfald, at de tyske koder er ble-vet brudt af de allierede under 2. VK. Således omhandler artiklen de konsekvenser som hhv.

de tyske og engelske prioriteringer har medført.

25

Frandsen, Jesper, m.fl. Engima – et dilemma. Side 44.

26

Ibid. Side 45.

27

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrig forløb? Side 24.

28

Kilden er vedlagt i bilag 2.

29

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrig forløb? Side 18

Side 10

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 10 af 22

Artiklen er ikke oversat, og det formodes, at artiklen hverken er afskrevet eller afkortet, men på trods af dette er det en sekundær kilde, da den bygger på andre kilder – og disse kil-dehenvisninger er angivet til slut. Inden da giver Faurholt et bud på krigens udfald, hvis ikke koden var blevet knækket, hvortil han siger: ”Jeg vil til sidst forsøge i al ydmyghed at gætte

                                                                      30
på, hvorledes krigen måske kunne være forløbet, hvis Enigma aldrig var blevet brudt” . Før-

ste gang Faurholt har nedskrevet sit bud, må det, trods ydmygheden, anses som værende en primær kilde, da buddet er selvopdigtet og hypotetisk. Denne historiske tilgang, der beskæfti-ger sig med hypoteser, er et eksempel på kontrafaktisk historie, hvilket Faurholt er opmærk-som på: ”Sandheden er naturligvis, at der ikke kan siges noget eksakt om dette. Det er den gren af historieskrivningen, som kaldes kontra-faktuel, eller på almindeligt dansk: ”Hvad nu

hvis?”(…)”^{31}. Her viser Faurholt bevidsthed om, at hans bud ikke er sandheden, hvilket vir-

ker tillidsvækkende for læseren.

Faurholt viser ydermere historisk faglighed, da han er opmærksom på at undgå at begå anakronistiske fejl [32]: ”Mange kryptonet blev aldrig forceret, og det kunne efter krigen konsta-teres, at det var muligt at anvende Enigma med procedurer, som gjorde den umulig at forcere

med datidens midler”^{33}. Her ser Faurholt fortiden på fortidens præmisser, idet han er op-

mærksom på at nævne, at det har været muligt at forcere Enigma med datidens midler. Efter

28 år med teknologisk udvikling vil det højst sandsynligt ikke være svært at knække Enigma-koderne i dag. Anakronistiske fejl kan opstå, når en artikel, ligesom denne, behandler en hæn-delse, der har fundet sted før artiklens tilblivelse – en sådan artikel er skrevet i diakront syn.

Artiklen er således en beretning, der skildrer en tidligere hændelse, samt et levn fra vor tid, hvor efterkommere kan få et indblik i, hvordan vores nutid har set på 2. Verdenskrig.

Siden opfindelsen af den tyske kodemaskine Enigma har det fra tysk side været vigtigt, at koderne ikke kunne brydes. Derfor har det fra opfindernes side været en prioritering at, Enigma ikke kun bygger på matematik: ”Matematikken var ikke nok, man behøvede doku-menter og hardware, som kun kunne skaffes ved at erobre det fra tyske ubåde og andre ski-

be”^{34}. På baggrund af dette har den tyske marine, ifølge Faurholt, anset deres kodemaskine

som værende ubrydelig indtil krigens ende, hvilket tydeliggøres i dette citat: ”(…)der var stadig så mange millioner variable, at tyskerne til krigens slutning var overbevist om, at

Enigma ikke kunne brydes”^{35}. Således må det antages, at den tyske marine har prioriteret ud

fra den opfattelse, at det har været umuligt at bryde Enigma. Men på trods af overbevisningen

30

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrig forløb? Side 18.

31

Ibid. Side 18.

32

En anakronistisk fejl er kendetegnet ved, at fortiden ikke bliver set på fortidens præmisser.

33

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrig forløb? Side 21.

34

Ibid. Side 22.

35

Ibid. Side 21.

Side 11

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 11 af 22 om, at koderne ikke har været mulige at bryde, anføres det i Faurholts artikel, at nogle engel-ske manøvrer har medført, at den tyske ledelse alligevel har betvivlet den ellers pålidelige Enigma-maskine: ”Der var dog i krigens løb mangfoldige situationer, hvor den tyske ledelse, først og fremmest admiral Dönitz og hans stab i ubådshovedkvarteret, følte, at deres krypto-system var brudt, fordi de allierede ikke uden ”in-side” viden kunne havde opereret på den og

den måde”^{36}. Således fremgår det, at tyskerne har været opmærksomme på, hvorvidt koderne

er blevet brudt eller ej, da dette ville svække deres position markant. Man kan så spørge sig selv, hvorfor tyskerne ikke udsendte nogen krypterede telegrammer vedr. en falsk aktion mod nogen engelske konvojer for at afprøve, hvorvidt koderne var blevet brudt af de allierede eller ej. Men hertil kommer Faurholt med et argument: ”(…)det lykkedes hver gang de tyske kryp-toeksperter at overbevise tvivlerne i ubådshovedkvarteret om, at Enigma var umulig at bryde.

De utallige millioner mulige indstillinger gjorde det menneskeligt umuligt at forcere Enigma,

hævede man”^{37}. Således har datidens eksperter konstateret, at det ville være utopisk at tro, at

koderne kunne brydes. Det har således været en prioritering fra marinens side, at stole på eks-perternes udtalelser, men på trods af dette foretog marinen alligevel et nyt tiltag, da de i 1942 indførte en ekstra rotor i maskinen [38].

Enigma har ikke kun påvirket den tyske marines prioriteringer – af Faurholts artikel fremføres det, at Enigma også har haft indvirkning på den tyske privatperson Hans Thilo Schmidts beslutninger: ”Han(Schmidt) var ansat i kryptoafdelingen i det tyske forsvarsmini-sterium, og han tog kontakt til de franske myndigheder og tilbød mod betaling at levere op-lysninger om Enigma (…) Hans Enigma-oplysninger blev købt og betalt af den franske efter-

                 39
retningstjeneste(…)” . Således er Schmidt på baggrund af kendskabet til Enigma blevet på-

virket til at videregive informationer. Disse oplysninger var af afgørende betydning for den efterfølgende efterretningstjeneste foretaget af de allierede, der påbegyndte et forceringsar-bejde: ”Fra de allieredes side satte man et omfattende sikkerhedsapparat på benene, for bedst muligt at forhindre, at tyskerne fik den mindste mistanke om, at Enigmas hemmelighed var

brudt”^{40}. Af citatet fremgår det, at englænderne har lagt vægt på, at arbejdet skulle hemme-

ligholdes, og som grund hertil anfører Faurholt: ”Hvis det blev klart for den tyske ledelse, at Enigma ikke var sikker, ville man som en selvfølge ændre procedurer, modificere Enigma og måske anskaffe andre kryptomaskiner. Dermed ville hele indsatsen mod Enigma være spildt

(…)”^{41}. Hemmeligholdelsen har således været vigtigt, da englænderne har været bekymret

for, at tyskerne ville ændre deres kodningsform. Af det tidligere afsnit: ”Slaget om Atlanten”,

36

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrig forløb? Side 24

37

Ibid. Side 24

38

Ibid. Side 20.

39

Ibid. Side 21.

40

Ibid. Side 21.

41

Ibid. Side 23.

Side 12

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 12 af 22 fremgår det, at England har lidt store tab af tonnage under 2. VK, og de har dermed stået i et dilemma, da de gerne ville drage fordel af kendskabet til tyskernes planer, men samtidig ikke afsløre ULTRA. På baggrund af dette er der blevet taget en vigtig prioritering af englænderne:

”Det blev indskærpet, at man ikke måtte foretage operationer, som alene baserede sig på ULTRA-materiale, men altid skulle sørge for, at der kunne være andre årsager end ULTRA til

             42
dispositionerne” . Således fremfører Faurholt, at englænderne, på baggrund af ULTRA-

oplysningerne, altid har fundet en anden grund til at udøve operationerne.

Af Faurholts artikel fremgår det ydermere, at forceringen af ULTRA har medvirket til større effektivitet ved andre engelske tiltag: ”De allierede havde indsat eskortehangarskibe, så konvojerne fik flydækning, flybårne radarsystemer blev forbedret, nye dybvandsbomber blev indført, og de skibsbårne HF-pejlesystmer blev forbedret. Og ULTRA-informationerne

                              43
fik hele systemet til at virke effektivt”

. Således har England ikke kun lænet sig op ad aktivite-terne på Bletchley Park, men de har også prioriteret at udvikle deres krigsførelse.

Prioritering vedr. krigsførelse findes også i den tyske marine: ”Månederne fra juni til oktober 1940 var den første store succesperiode for tyskerne. Man ændrede taktik og opere-

rede i grupper af flere ubåde”^{44}. I dette citat fremhæver Faurholt, at de tyske prioriteringer

vedr. indførelsen af ulvekobbeltaktikken har været meget succesrige, og som grund for dette fremsætter Faurholt, at: ”Tyskerne havde brudt flere af de engelske kodesystemer, som an-vendtes til styring af konvojerne, og de fortsatte med at læse den trafik indtil 1943, en meget

                                             45
vigtig kilde til disponering af den tyske ubådsindsats”

. Det har dermed været vigtigt for ubådene at have tilgang til den engelske kommunikation, ligesom det har været vigtigt for englænderne, at kunne følge med i tyskernes kommunikation.

Slutteligt kan det nævnes, at Niels Ole Faurholt hele tiden veksler mellem beskrivelse af hhv. det tyske og det engelske arbejde under Den Anden Verdenskrig. Faurholt har anvendt både tyske og engelske kilder til fremstillingen af sin artikel, og således tager han i høj grad stilling til begge parter, der ligeligt bliver repræsenteret. I artiklen anfører Faurholt flere for-skellige eksempler på, hvordan England og Tyskland har prioriteret undervejs i krigen, og hvilke konsekvenser disse prioriteringer har medført. Der opstilles flere årsager og priorite-ringer, der har været medvirkende til, at krigens udfald blev som det gjorde, og dette er med til at tydeliggøre den multikausale forklaringsmodel, der er anvendt. Denne form for forkla-ringsmodel er oftest nuanceret, da der anvendes flere forskellige årsager til hændelsen, lige-som det er gjort i Faurholts artikel. En nuanceret og begrundet forklaring er med til at øge

42

Faurholt, Niels Ole. Hvor stor betydning havde de allieredes brydning af Enigma-telegrammerne for 2. Verdenskrig forløb? Side 23.

43

Ibid. Side 27.

44

Ibid. Side 25.

45

Ibid. Side 25.

Side 13

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 13 af 22 troværdigheden af en kilde. Trods den tidsmæssige forskel ml. hændelsen og nedskrivningen af artiklen, vurderes Faurholts artikel til at være troværdig til at give et billede af hhv. de tyske og engelske prioriteringer under Den Anden Verdenskrig.

Moderne kodesprog

Med definitionen på kryptologi findes det helt basalt, at alle ønsker om kryptering samtidig indeholder et ønske om hemmeligholdelse af information. Med hemmeligholdelse af enkryp-terede meddelelser menes der, at koderne skal være sikre og ikke kunne brydes – sådan som det skete under Slaget om Atlanten, hvor det lykkedes de allierede at bryde tyskernes Enigma-telegrammer. Dette medførte, at England kunne prioritere på baggrund af kendskabet til ty-skernes planer om angreb i krigen, hvilket fik konsekvenser for Tyskland, der endte med at tabe slaget. Dermed kan det på fatale konsekvenser, når enkrypterede oplysninger læses af de forkerte, og på baggrund af historien er det således oplagt at kigge nærmere på hvilke krav, der stilles til et moderne kodesprog. Grundlæggende betragtes følgende som værende krav, der må opfyldes for et sikkert kodesprog: autenticitet, konfidentialitet og integritet, og til be-skrivelse af kravene anvendes Alice, der er afsender, Bob, der er modtager og Eve [46], der lytter

med^{47}.

Autenticitet er et krav om, at Bob skal kunne være sikker på, at Alice i virkeligheden er Alice. Således skal Alice kunne bevise overfor Bob, at det er hende, hvilket gøres vha. identi-fikation. For at Bob ikke skal kunne bruge Alices bevis til selv at udgive sig for at være hen-de, skal Alice endvidere kunne identificeres af Eve. Dette kan ikke opnås ved et konventionelt system, hvor Bob og Alice anvender samme nøgle til en- og dekryptering, da der ikke kan skelnes mellem dem. Således medfører kravet om autenticitet, at Alice og Bob må anvende forskellige nøgler til hhv. en- og dekryptering. Dette kan blandt andet opnås ved digital signa-tur, hvor signaturen ikke kan gengives, og således kan Bob ikke udgive sig for at være Ali-

ce^{48}.

Når kravet om autenticitet og identifikation er opfyldt, kan der kigges nærmere på kra-vet om konfidentialitet. Dette er et krav om en sikker hemmeligholdelse af klarteksten. Såle-des skal Eve, der har kendskab til kryptoteksten, ikke være i stand til at dekryptere den, og

                          49
dermed få adgang til klarteksten .

Til slut er kravet om integritet, der består i, at klarteksten skal blive til den rigtige klar-

                        50
tekst efter en- og dekryptering .

46

Alice, Bob og Eve bliver ofte benyttet ved beskrivelse af kryptering-metoder. Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab.

Side 51.
47

Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 54.

48

Ibid. Side 54.

49

Ibid. Side 55.

50

Ibid. Side 55.

Side 14

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 14 af 22

Afslutningsvis kan det siges, at de tre elementer er nogle nødvendige krav at opfylde, for at et moderne kodesprog er sikkert. De tre krav opfyldes i den moderne krypteringmetode RSA, der vil blive præsenteret efter en gennemgang af den talteori, der er nødvendig for for-ståelsen af RSA-kryptering.

Talteori

Talteorien er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med egenskaberne ved de hele, ℤ, og naturlige, ℕ, tal [51]. Talteorien omfatter bl.a. primtal og regning med rest, som er grundlaget for forståelsen af RSA-kryptering. Disse begreber vil blive behandlet i dette afsnit, hvor alle definitioner og sætninger er formuleret med egne ord – der er angiver henvisninger til, hvor fra kendskabet til definitionerne og sætningerne kommer.

Primtal

En af grundstenene i RSA er, som sagt, primtal, og derfor forekommer det helt essentielt at få indblik i disse. Først må primtal defineres:

                 52
Definition 1: primtal

Et primtal er defineret ved at være et helt tal p > 1, der kun har de trivielle divisorer 1 og p.

Dermed er et helt tal k > 1 ikke et primtal, hvis det har andre divisorer end 1 og k. Tal-let k har dermed også ikke-trivielle divisorer, og kaldes et sammensat tal.

På baggrund af kendskabet til primtal har en stor matematiker, Gauss, udarbejdet og bevist en vigtig sætning omhandlende primfaktorisering. Sætningen, der også er kaldet aritmetikkens fundamentalsætning, er vigtigt at få klarhed over for at blive klog på RSA [53].

                          54
Definition 2: primfaktorisering

Ethvert positivt, helt tal kan entydigt primfaktoriseres.

Ved primfaktorisering omskrives et positivt, helt tal til et produkt af primtal.

Op gennem historien har også andre matematikere, udover Gauss, været fascineret af primtal-lene. Heriblandt kan matematikeren Euklid nævnes - Euklid påviste at ”der er flere primtal

                              55
end ethvert forelagt antal af primtal”

. Dette udsagn er især vigtig for RSA, da denne kode-metode bygger på primtal.

Sætning 3: primtal^{56}

Antallet af primtal er endeløst

51

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Regning,_algebra_og_talteori/talteori

52

Inspiration fra: Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 83, definition 4.21.

53

Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 84.

54

Inspiration fra: Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 84, sætning 4.23.

55

Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 85

56

Inspiration fra: Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 85, sætning 4.25.

Side 15

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 15 af 22

Bevis for sætning 3^{57}

Dette er et modstridsbevis, hvor det antages, at antallet af primtal er endeligt. Ved et endeligt antal primtal, er alle tallene kendte, og det største primtal ville være p. Altså:

Lad p være et primtal, så vil:

𝑛 = 𝑝! + 1

ikke have nogle primdivisorer mindre eller lig med p, og der vil ikke findes noget prim-tal ml. p og n, da p er det største primtal, og tallet n er større end p. Da tallet n ikke har nogle primdivisorer mindre end n, må n altså være et primtal, hvilket strider mod p som det største primtal – deraf modstridsbevis.

Dermed er de vigtigste elementer inden for primtallenes verden gennemgået, og der fortsættes med gennemgang af regning med rester.

Regning med rester

En del af talteorien, der endvidere vurderes som nødvendig for forståelsen af RSA, er regning med rester. For at forstå division med rest findes en repetition af heltalsdivision vigtig:

                       58
Definition 4: heltalsdivision

Et helt tal a siges at være divisibel med et helt tal b ≠ 0, såfremt der eksisterer et helt tal

q, således at:

𝑎 = 𝑞 ∗ 𝑏

Sammenhængen ml. b og a kan skrives b | a. Dette betyder, at b går op i a, når tallet q, kvotienten, er til stede.

Ved division med to hele tal vil divisionen ikke altid gå op, og derfor kan det være en fordel at regne med rester. Division med rest er en simpel udvidelse af heltalsdivision, hvor der ind-føres en rest, r, ved division af a med b:

Sætning 5: division med rest^{59}

For vilkårlige hele tal a og b, b > 0, findes entydigt, bestemte, hele tal q og r, således at:

𝑎 = 𝑞 ∗ 𝑏 + 𝑟
Hvor r kaldes den principale rest såfremt at 0 ≤ r < b.

Med entydigt bestemte tal menes, at der kun er én rest (den principale rest), der lever op til

betingelsen, 0 ≤ r < b, og dermed gør udtrykket sandt. Der indføres en bekvemt definition for

den principale rest:

                          60
Definition 6: den principale rest

Hvis a og b er to hele tal, menes der med notationen

𝑎 $ 𝑏 = 𝑟

At a ved division med b giver den principale rest. (fremover refereres der til denne) Ovenstående skrives også ofte som a (mod b), der læses a modulo b, og er et udtryk for mo-dulær aritmetik, der bygger på regning med rester. Begge notationer er et udtryk for det sam-

57

Inspiration fra: Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 85, sætning 4.25.

58

Ibid. Side 70, definition 4.1.

59

Ibid. Side 71, sætning 4.3.

60

Inspiration fra: Riber, Peter. Kryptologi. Side 29, definition.

Side 16

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 16 af 22 me, og i denne opgave anvendes notationen med $, da dette findes nemmere for forståelsen.

Inden for modulær aritmetik gælder følgende regneregler, der er meget anvendelige i forhold til RSA-kryptering. Det forudsættes at vi har kendskab til potensregneregler, så disse gen-nemgås ikke:

Sætning 7: regneregler inden for modulær aritmetik [61]

For alle a, b ∈ ℤ, n ∈ ℕ gælder:

1. (a * b) $ n = ((a $ n) * (b $ n)) $ n
2. (a^{b}) $ n = (a $ n)^{b} $ n

Bevis for sætning 7^{62}

Første del:

Ifølge sætning 5 kan et vilkårligt tal altid skrives som et positivt heltal q * n + r, således at:
a = q * n + r_{a} og b = q * n + r_{b}

1 2

Disse udtryk indsættes i (1):

(𝑎 ∗ 𝑏) $ 𝑛 = ( ( 𝑞_{1} ∗ 𝑛 + 𝑟_{𝑎}) ∗ ( 𝑞_{2} ∗ 𝑛 + 𝑟_{𝑏})) $ 𝑛
= (𝑞 𝑞_{2} 𝑛^{2} + 𝑞_{1} 𝑛 𝑟_{𝑏} + 𝑟_{𝑎} 𝑞_{2} 𝑛 + 𝑟_{𝑎} 𝑟_{𝑏}) $ 𝑛 Parentesen ganges ud

1

= ( ( 𝑞_{1} 𝑞_{2} 𝑛 + 𝑞_{1} 𝑟_{𝑏} + 𝑟_{𝑎} 𝑞_{2}) 𝑛 + 𝑟_{𝑎} 𝑟_{𝑏}) $ 𝑛 n sættes uden for parentes
Ved division med n kommer der ingen rest fra første faktor ( 𝑞_{1} 𝑞_{2} 𝑛 + 𝑞_{1} 𝑟_{𝑏} + 𝑟_{𝑎} 𝑞_{2}) 𝑛, da divisionen

går op, og dermed er en heltalsdivision. Dette ses også af sætning 4.6, s. 72 i Kryptologi – fra viden til

videnskab: (m + k * n) $ n = m $ n, for alle 𝑘 ∈ ℤ, hvilket også er tilfældet for q. Derfor kommer

resten fra:

= (𝑟_{𝑎} 𝑟_{𝑏}) $ 𝑛

Af definition 6 vides det, hvordan principale rester skrives, og dermed bliver udtrykket:

= (( 𝑎 $ 𝑛) ∗ ((𝑏 $ 𝑛)) $ 𝑛

Dermed er beviset ført!

Anden del:

Dette er et induktionsbevis – beviset føres med b = 2
( 𝑎^{2}) $ 𝑛 = (𝑎 ∗ 𝑎) $ 𝑛 Ifølge potensregneregler
= ((𝑎 $ 𝑛) ∗ (𝑎 $ 𝑛)) $ 𝑛 Ifølge 1. del af denne sætning.
= (𝑎 $ 𝑛) $ 𝑛

2

Antag at ovenstående gælder for a^{n}, dvs. (a^{n}) $ n = (a $ n)^{n} $n
Hvis a^{n} gælder, vil vi nu vise at a gælder:

n + 1

( 𝑎^{𝑛+1}) $ 𝑛 = ( 𝑎^{𝑛} ∗ 𝑎^{1}) $ 𝑛 Ifølge potensregneregler
= ( ( 𝑎^{𝑛} $ 𝑛) ∗ (𝑎^{1} $ 𝑛)) $ 𝑛 Ifølge 1. del af denne sætning.

Pga. antagelsen kan ovenstående nu skrives:

61

Inspiration fra: Riber, Peter. Kryptologi. Side 29, sætning 1 + side 31, sætning 2.

62

Inspiration fra: Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 73+74, bevis for sætning 4.7.

Side 17

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 17 af 22

= ((𝑎 $ 𝑛) ∗ ( 𝑎 $ 𝑛)^{1}) $ 𝑛

𝑛

Dette sammenskrives vha. potensregneregler

= (( 𝑎 $ 𝑛 )) $ 𝑛

𝑛+1
Således gælder beviset for a – altså a^{3}. Da dette gælder, gælder også a – altså a^{4}, osv.

2 + 1 3 + 1

Dermed er bevist ført!

Med kendskabet til den vigtigste talteori er grundlaget for forståelsen af RSA-kryptering nu lagt, og følgelig kan denne krypteringsmetode nu gennemgås.

RSA-kryptering

Til et moderne kodesprog stilles der, som tidligere nævnt, en række krav, som er nødvendige at opfylde for, at kodesproget er sikkert. Et sikkert kodesprog kan ikke opnås ved et konven-tionelt kryptosystem, da en- og dekryptering som sagt foregår med samme nøgle. I det føl-gende gennemgås den sikre krypteringsmetode RSA, der er et eksempel på et public key kryp-tosystem. Sikkerheden i et sådan system bygger på to forskellige nøgler – en offentlig og en hemmelig [63]. Fundamentet for oprettelsen af nøglerne, og dermed RSA, bygger på restregning og primtal, og RSAs klare force er, at primfaktorisering af meget store tal kræver enormt lang tid [64]. I 1977 blev RSA-kryptering udviklet af Rivest, Shamir og Adleman [65].

Inden der kigges nærmere på oprettelsen af de nøgler, der er nødvendige for RSA-kryptering, ses der på kommunikationen mellem Alice og Bob, der anvender RSA-metoden, til kryptering af deres kommunikation. Alice vil kryptere en besked til Bob, og for at det kan lade sig gøre, må hun bede Bob om den nøgle, der skal bruges til at kryptere med. Efter an-modningen fra Alice laver Bob nu et nøglesæt, hvoraf to nøgler, der ikke behøves være hem-melige, sendes Alice. De offentlige nøgler bruger Alice til at enkryptere sin besked med, hvorefter beskeden sendes til Bob. Når Bob modtager beskeden, kan han dekryptere den vha.

den sidste nøgle i nøglesættet – denne nøgle er hemmelig [66].

Dannelsen af nøgler

Et sæt RSA-nøgler består af to offentlige nøgler og en hemmelig, og dannelsen af disse er

som følger^{67}:

1. Vi vælger to store primtal p og q – ud fra dem dannes n og k

a. 𝑛 = 𝑝 ∗ 𝑞
b. 𝑘 = (𝑝 − 1) ∗ (𝑞 – 1)

2. Vi vælger nu et tilfældigt stort primtal, d. Dette skal være mindre end k.

NB! d behøves ikke være et primtal. d og k skal blot være indbyrdes primiske – de må således ikke havde nogen primfaktorer til fælles.

63

Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 56.

64

Riber, Peter. Kryptering. Side 36.

65

Landrock, Peter, m.fl. Kryptologi – fra viden til videnskab. Side 101.

66

Riber, Peter. Kryptering. Side 36-37

67

Ibid. Side 38.

Side 18

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 18 af 22

3. Herefter beregnes e.

a. 𝑒 = 𝑑^{𝑘−1} $ 𝑘

4. Tallet d holdes hemmeligt, mens de to tal n og e offentliggøres.

Enkryptering^{68}

Meddelelsen, der skal krypteres, repræsenteres ved et tal M. Tallet M skal være mindre end n, der blev beregnet under dannelse af nøglesættet. Ved enkryptering beregnes nu:

𝐶 = 𝑀^{𝑒} $ 𝑛

C er her den rest, der fås når M opløftet i den offentlige nøgle e, divideres med den anden of-fentlige nøgle n. Kryptoteksten er nu givet ved C.

Dekryptering^{69}

Den krypterede besked C kan dekrypteres ved følgende beregning:

𝑀 = 𝐶^{𝑑} $ 𝑛

Således er M den rest, der fås når C opløftet i den hemmelige nøgle d, divideres med offentli-ge nøgle n. M er her det samme tal, som blev enkrypteret ovenover.

Kryptering af bogstaver vha. RSA-metoden

I foregående er det blevet gennemgået, hvordan tal kan krypteres vha. RSA, men at sende en meddelelse bestående af bogstaver er også væsentligt, derfor ses der nærmere på det. RSA knytter sig til kryptering af tal, men bogstaver og tegn kan også beskrives ved tal, og dermed kan de krypteres – hvert tegn og bogstav får sit eget tal. Modtager og afsender skal selvfølge-lig være enige om hvilket tal, der repræsentere hvilket tegn – dette kan opstilles i en tabel.

Hvis Alice vil kryptere bogstavet S, undersøger hun hvilket tal, der repræsenterer S – hun kigger i en tabel, og ser fx, at S svarer til tallet 20. Derefter enkrypterer Alice tallet 20, og når Bob dekrypterer kryptoteksten, får han tallet 20. Bob kan nu kigge i tabellen og se, at 20 sva-

              70
rer til bogstavet S .

Ved at tildele alle tegn og bogstaver et nummer kan enhver meddelelse således krypte-res vha. RSA. Ascii-værdier er internationale værdier, der angiver hvilke numre, der repræ-senterer hvilke bogstaver og tegn. Ascii-værdierne er tal ml. 0 og 255, der angiver alle tegn og

bogstaver på computeren^{71}.

Eksempel på kryptering

Vi har nu kendskab til oprettelsen af nøglesæt samt enkryptering og dekryptering, således kan vi se på et eksempel. Eksemplet fra ”Kryptering” af Peter Riber gennemgås.

68

Ibid. Side 39.

69

Ibid. Side 39.

70

Riber, Peter. Kryptering. Side 41.

71

Der er vedlagt en tabel med ascii-værdier i bilag 3.

Side 19

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 19 af 22

Eksemplet tager udgangspunkt i små tal, og vi vil først oprette nøglerne:

1. To primtal vælges: p = 11 og q = 13
a. 𝑛 = 11 ∗ 13 = 143
b. 𝑘 = ( 11 − 1) ∗ ( 13 − 1) = 120

2. Hernæst vælges et tal d, der ingen primfaktorer har til fælles med k.

a. 𝑑 = 77

3. Ud fra ovenstående tal kan nøglen e dannes

a. 𝑒 = 77^{119} $ 120 = 53

Bemærk: Udregningen af nøglen e er ikke vist i Ribers bog, men eftervisning af udregningen er lavet i bilag 5 [72].

Således er nøglesættet dannet, og den hemmelige nøgle d er 77, mens de offentlige nøgler n og e er hhv. 143 og 53. Alice kan nu enkrypterer tallet 8 ved brug af de to offentlige nøgler, hun har modtaget fra Bob:

𝐶 = 8^{53} $ 143 = 138

Bemærk: Udregningen af C er ikke vist i Ribers bog, men eftervisning af udregningen er lavet i bilag 6.

Bob modtager tallet 138, og dette kan han dekryptere ved brug af sin hemmelige nøgle, som er 77:

𝑀 = 138^{77} $ 143 = 8
Dermed får Bob et tal M = 8. Alice startede med at enkryptere tallet 8 vha. de offentlige nøg-

ler, og hun fik 138. Bob dekrypterede 138 vha. sin hemmelige nøgle, og fandt tilbage til det tal, som Alice i første omgang enkrypterede nemlig 8. Det er således vist, at krypteringen er lykkedes.

Sammenfattende kan det siges, at RSA-kryptering er en sikker krypteringsmetode, da den lever op til de krav, der stilles et moderne kodesprog. Ydermere er RSA et eksempel på et public key kryptosystem, der er baseret på en offentlig og hemmelig nøgle.

Samfundsmæssig udvikling og behov for sikker internethandel

I det forrige er den sikre krypteringsmetode RSA gennemgået, og denne er et eksempel på en metode, der opfylder de krav, der stilles til et moderne kodesprog. Efter denne gennemgang af RSA er det nærliggende at lave en perspektivering til den samfundsmæssige udvikling frem til i dag og det behov for sikker kryptering, som udviklingen har medført.

I 2010 har Danmarks Statistik lavet en undersøgelse vedr. danskernes internetvaner, og resultaterne af denne er udformet i en artikel ”Befolkningens brug af internet 2010” [73]. Uden adgang til computer kan internettet ikke anvendes, og derfor undersøges danskernes adgang til

72

Fremgangsmåden hertil findes i bilag 4.

73

http://www.dst.dk/pukora/epub/upload/15239/it.pdf

Side 20

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 20 af 22 computer først. Undersøgelsen viser, at 88 % af de danske familier ejer min. én computer, og af dem er det 86 %, der har adgang til internettet i hjemmet. Det er således en stor del af be-folkningen, der har adgang til internettet, og det fremgår af undersøgelsen, at der er sket en stor udvikling i brugen af internettet de seneste år. Antallet af personer der aldrig bruger in-ternettet, falder fortsat fra år til år, og i Danmark er det 76 %, der næsten dagligt anvender

        74
internettet .

Den stigende udvikling af danskernes internetvaner skildres også i danskernes handel på internettet, hvor der ses en tilvækst af borgere, der benytter sig af muligheden for internethan-del. Tilvæksten kan ses ud fra tal, der er til at finde på Danmarks Statistiks hjemmeside:

Køb via internet efter seneste køb, type og tid^{75}

2008 2009 2010 2011

Inden for de sidste 3 måneder.

I alt 47 50 54 57

Enhed: Pct. af befolkningen

Tabellen viser hvor mange procent af befolkningen, der har benyttet sig af muligheden for internethandel inden for de sidste tre måneder i de sidste fire år. I bilag 7 er, der indsat et diagram, der viser ovenstående udvikling.

Den samfundsmæssige udvikling, hvor der sker en tilvækst i brug af internettet, øger samtidig behovet for en sikker krypteringsmetode. Det skyldes, at flere og flere oplysninger lægges ud på nettet. Ved bl.a. internethandel angiver brugeren fx sin adresse til levering samt kontonummer. Således angiver brugeren nogle personlige oplysninger, der kan misbruges.

Der vil altså altid være en risiko for, at en forkert og uvedkommende person får adgang til de personlige oplysninger. Der er derfor et behov for sikkerhed omkring sådanne oplysninger.

For at mindske de risici der er ved internethandel, er det vigtigt med en sikker krypteringsme-tode. Til hjælp for internetbrugerne er der lavet nogle foranstaltninger, så brugerne ikke behø-ver være i tvivl om, at hjemmesiderne er sikre. Dette gør det lettere for brugerne, da det ikke er op til dem at kontrollere hjemmesidernes sikkerhed.

Således har den samfundsmæssige udvikling og behovet for større sikkerhed omkring bl.a. internethandel medført nogle tiltag, der beskytter brugernes oplysninger og sikre inter-nethandelen. E-mærket er ”den danske mærkningsorden for sikker nethandel” [76]. E-mærket sikre altså en sikker nethandel, og forhandlingssteder på nettet kan søge om at blive ”e-mærket”. Dette kræver både en grundig godkendelsesproces samt en årlig kontrol, og der fo-retages endvidere stikprøver for at kontrollere internetsiderne. Formålet med e-mærket er, at

74

http://www.dst.dk/pukora/epub/upload/15239/it.pdf

75

http://www.statistikbanken.dk/BEBRIT07

76

http://www.emaerket.dk/

Side 21

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 21 af 22 brugerne trygt kan anvende de e-mærkede hjemmesider. Mærket stiller en række krav til hjemmesiderne, og heriblandt kan nævnes krav om, at internetbrugerne skal have klarhed over, hvilke af deres personlige oplysninger der bliver gemt af internetsiden, samt hvad op-lysningerne bliver brugt til. Dermed får internetbrugerne en mere sikker nethandel siden 2000,

                     77
hvor e-mærket blev stiftet .

Sammenfattende kan det siges, at samfundet udvikler sig, og at nethandlen er steget med 10 procentpoint de sidste fire år. Dette øger behovet for større sikkerhed, hvilket bl.a. kan

                                                                     78
klares med foranstaltninger som e-mærket, der ”gør nettet til et sikkert sted at handle” .

Konklusion

Denne opgave centrale fokus er kryptering. Emnet er behandlet ud fra de, i indledningen, an-førte problemstillinger. I redegørelsen blev kendetegnene ved Slaget om Atlanten beskrevet.

Det blev klarlagt, at krigen til søs blev indledt med starten på Den Anden Verdenskrig i 1939, og at krigens slutning først indtraf, da Tyskland kapitulerede i 1945. Atlanterhavskrigen var mellem de allierede og Tyskland, og krigen var karakteriseret ved Englands afhængighed af de oversøiske transportruter. England lå midt i det store hav, og ved en tysk kontrol over At-lanterhavet ville England blive nødt til at kapitulere. Sammenfattende kan det således siges, at Slaget om Atlanten var kendetegnet ved at være af særlig stor vigtighed for både tyskerne og englænderne.

I det efterfølgende blev Enigma-maskinens bestanddele og sammensætning analyseret, og heraf kan det konkluderes, at Enigma-maskinen var et eksempel på et konventionelt kryp-tosystem. Et sådan system er kendetegnet ved, at en- og dekryptering foregår med ens nøgle.

Nøglen til Enigma-krypteringerne, var maskinens indstillinger, som fandtes i nogle kodebø-ger. Ydermere blev Enigmas påvirkning af hhv. de engelske og tyske prioriteringer under kri-gen analyseret. Hertil blev svaret, at Enigma-maskinen havde stor indflydelse på begge par-ters prioriteringer. Tyskerne prioriterede ud fra den overbevisning, at deres krypterede medde-lelser var sikre, og således stolede de på, at England ikke havde adgang til deres planer om angreb. Derimod prioriterede England ud fra kendskabet til de tyske planer. Englænderne stod i et dilemma, da de gerne ville drage fordel af indsigten i tyskernes planer, men samtidig ikke ville røbe hemmeligheden om, at koderne var blevet brudt.

Endvidere blev en nutidig krypteringsmetode, RSA, gennemgået. Efter gennemgang af metoden kan det konkluderes, at denne er langt mere sikker en Enigma-maskinen. RSA lever op til de krav, der stilles det et moderne kodesprog, hvilket øger metodens sikkerhed markant.

77

http://www.emaerket.dk/

78

Ibid.

Side 22

Studieretningsprojekt December 2011

Sct. Knuds Gymnasium Matematik A og historie A Kryptering

Side 22 af 22

Derudover er RSA et eksempel på et public key kryptosystem, hvilket indbefatter, at der både er en offentlig og hemmelig nøgle, der er nødvendige for kryptering.

Afslutningsvis blev der perspektiveret til den samfundsmæssige udvikling og behov for sikker kryptering i forbindelse med handel på internettet. Undersøgelser lavet af Danmarks Statistik viser, at danskernes brug af internethandel er steget de seneste år. Ved internethandel videregives nogle personlige oplysninger som fx kontonummer o.l., og hvis dette falder i de forkerte hænder, kan de misbruges. Således må brugernes personlige oplysninger sikres, og data kan holdes hemmelige vha. kryptering. Det kan hermed konkluderes, at udviklingen medfører et behov for datasikkerhed.

På baggrund af en grundig gennemgang af problemstillingerne må det konkluderes, at kryptering har spillet en væsentlig rolle i afgørelsen af Slaget om Atlanten. Datiden krigsføre-re var opmærksomme på fordelen ved kryptering, men metoderne var alligevel ikke sikre nok.

Blandt andet på baggrund af historien er udviklingen af krypteringsmetoder forsat, da det sta-dig er nyttigt at holde data hemmelige for uvedkommende. Der er endvidere opstillet nogle krav om datasikkerhed som metoderne skal opfylde. Den samfundsmæssige udvikling medfø-rer et stigende behov for sikker kryptering. Samfundet udvikler sig, hvilket bl.a. tydeliggøres ved danskernes internetvaner. Brugen af internet og handel på internettet stiger, og denne ud-vikling medfører et øget behov for sikker kryptering. Flere personlige oplysninger lægges ud på nettet, og der er et ønske om, at disse oplysninger skal sikres, da de kan misbruges. Således må det konkluderes, at kryptering stadig er meget anvendt og nyttigt i dagens Danmark, og dermed er udviklingen af nogle sikre krypteringsmetoder meget vigtig.

Underskrift:

___________________________