SRP om Lanchester modellerne

Side 1

Abstract

This ͏paper ͏examines ͏the ͏Lanchester ͏equations, ͏and ͏how ͏these ͏mathematical ͏formulas ͏are able to describe, sketch and calculate the outcome of a military battle between two armies. Of particular interest is the square law, which w͏ork͏s for the type of combat called “aimed fireˮ, which is mainly a battle between infantry: 𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏−𝑎͏⋅͏𝐵,͏𝐴͏0͏=͏𝐴_{0},͏𝐴͏>͏0

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝑏͏⋅͏𝐴,͏𝐵͏0͏=͏𝐵_{0},͏𝐵͏>͏0

These equations are based on the hypothesis that the attrition of each army is proportional to the amount ͏of units ͏left in ͏the other ͏army. Both ͏models consist ͏of a ͏system of ͏homogenous ODEʼs (ordinary differential equation). An attempt to apply the square model to the Battle of

Omaha beach on the 6^{th} of June 1944, will serve as an example. The equations will be solved

analytically by transforming them into a single second order differential͏ equation. Following, a discussion of the models will use the inferred factors, from a source criticism-based analysis of qualified sources, as the point of departure for the assessment of the Lanchester equationsʼ abilities. The equations are, to a ͏limited extent, capable of describing, as well as predicting the outcome of a military engagement.

Side 2

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

2

Indholdsforte͏gn͏e͏ls͏e

1. ͏INDLED͏N͏IN͏G͏ ͏3

2. ͏D-DAY: LANDSÆTNINGEN I NORMANDIET 1944 ͏4

2.1 ͏OMSTÆNDIGHEDERNE ͏4

2.2 ͏STYRKERNE PÅ OMAHASTRANDEN ͏5

3. ͏LANCHESTERS MODELLER ͏6

3.1 ͏DEN LINEÆRE MODEL ͏7

3.2 ͏DEN KVADRATISKE MODEL ͏8

4. ͏KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER: LANCHESTERS KVADRATISKE MODEL ͏8

4.1 ͏DIFFE͏RE͏N͏T͏IAL͏L͏IG͏NIN͏G͏E͏R͏ ͏AF 2. ORDEN ͏8

4.2 ͏LINJEEL͏EMENTER OG FA͏S͏EPLOT ͏9

4.3 ͏KOBLEDE DIFFERENTIALLIGNINGER ͏10

5. ͏ANVENDELSE AF LANCHESTERS KVADRATISKE MODEL: SLAGET VED OMAHA ͏11

5.1 ͏NEDSLIDNINGSKOEFFICIENTERNE ͏11

5.2 ͏FASEPLO͏T, VIA ANALYTISK LØSNING ͏12

6. ͏ANDRE FAKTORER DER SPILLER IND SLAGETS UDFALD ͏14

6.1 ͏ROBERT EDLIN – 2ND RANGER BATALJON: EN BERETNING OM LANDGANGEN D. 6 JUNI 1944 ͏15

6.2 ͏INTERVIEW AF SERGIO MOIRANO ͏16

6.3 ͏ANTONY BEVO͏OR, D-DAY – KAMPEN OM NORMANDIET: KAP. 7. OMAHA ͏17

6.4 ͏OPSUMMERING: HVILKE FAKTORER SPILLEDE EN ROLLE FOR SLAGETS UDFALD? ͏18

7. ͏LANCHESTER MODELLERN͏ES EGENSKABER ͏19

7.1 ͏MODELLERNES EGENSKABER SOM FORUDSIGENDE REDSKAB ͏19

7.2 ͏MODELLERNES EGENSKABER SOM ANALYSERENDE REDSKAB ͏20

7.3 ͏VIDER͏E͏UD͏V͏IK͏L͏IN͏G͏ER͏ A͏F LANCHESTERS KVADRATISKE MODEL ͏20

8. ͏KONKLUSION ͏22

9. ͏LITTERATUR ͏23

9.1 ͏BØGER ͏23

9.2 ͏HJEM͏M͏E͏SID͏E͏R MED FORFATTER ͏23

9.3 ͏HJEM͏M͏E͏SID͏E͏R U͏D͏E͏N͏ FO͏R͏FATTER ͏24

10. ͏BILAG ͏26

10.1 ͏BILAG͏ (1) ͏26

10.2 ͏BILAG͏ (2) ͏27

10.3 ͏BILAG͏ (3) ͏28

͏

Side 3

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

3

1.͏Indle͏d͏n͏in͏g

Kl. ͏6:30 ͏d. ͏6 ͏Juni ͏1944 ͏sker ͏en ͏af ͏de ͏største ͏militære ͏operationer ͏nogensinde. ͏De ͏allierede forsøger at landsætte ca. 155.000 landtropper på 5 strande ved Normandiets nordlige kyst. De

155.000 ͏la͏ndt͏ropper ͏er ͏foruden ͏de ͏ca. ͏13.000 ͏faldskærmstropper, ͏der ͏tidligere ͏på ͏natten

lander bag de tyske forsvarsværker.^{1} Aktionen har navnet ˮOperation Overlordˮ og er ledet af

den amerikanske general Dwight D. Eisenhower.͏ Operation Overlord var et længe ventet svar på Stalins krav om at åbne en front i vest for at aflaste de russiske styrker, der led enorme tab i ͏kampen ͏mod ͏nazisterne ͏på ͏østfronten. ͏Kampen ͏mellem ͏tyskerne ͏og ͏de ͏allierede ͏på Omahastranden består mest af infanteri, altså fodsoldater. Frederik W. Lanchester, en britisk matematikfanatiker ͏og ͏ingeniør, ͏udvikler ͏allerede ͏under ͏1. ͏verdenskrig ͏to ͏forskellige modeller ͏med ͏det ͏formål ͏at ͏kunne ͏beskrive ͏et ͏slag ͏mellem ͏to ͏hærenheder. ͏Den ͏ene ͏af modellerne, ͏Lanchesters ͏kvadratisk ͏model, ͏beskriver ͏kamp ͏mellem ͏infanteri, ͏mens ͏den anden, Lanchesters lineære model, beskriver kamp mellem hærenheder med tungere artilleri.

Ved hjælp af Lanchesters kvadratiske model skulle det være muligt at analysere et af de givne slag, der fandt sted d. 6. juni 1944. Lanchesters modeller fungerer begge ud fra et princip om at mængden af hærenheder er den faktor, der ͏a͏fgør hvilken side, der vinder slaget. Dog under hensyntagen ͏til ͏en ͏såkaldt ͏effektivitetskoefficient, ͏der ͏beskriver ͏de ͏to ͏siders ͏effektivitet ͏på͏ slagmarken. ͏Denne ͏koefficient ͏kan ͏dog ͏kun ͏udregnes ͏nøjagtigt, ͏hvis ͏man ͏medtager ͏et ͏stort antal ͏komplekse ͏faktorer, ͏og ͏derfor ͏vælger ͏jeg ͏at ͏komme ͏med ͏et ͏estimat ͏af ͏styrkernes effektivitet ud fra forholdet mellem deres størrelse og det antal af fjendtlige hærenheder de har ͏uskadeliggjort. ͏Da ͏det ͏ville ͏blive ͏for ͏omfattende ͏både ͏at ͏demonstrere ͏de ͏matematiske metoder ͏i ͏redegørelsen ͏og ͏i ͏anvendelsen, ͏indgår ͏der ͏kun ͏udregnede ͏eksempler ͏ved anvendelsen ͏af modellen, og de redegørende afsnit er derfor så vidt muligt holdt på et mindre konkret plan.

Opgaven ͏her ͏vil ͏altså ͏tage ͏udgangspunkt ͏i ͏slaget ͏på ͏Omahastranden, ͏og ͏ved ͏hjælp ͏af ͏en analyse ͏af ͏nødvendige ͏historiske ͏kilder, ͏der ͏alle ͏i ͏et ͏vist ͏omfang ͏kan ͏informere ͏om ͏hvilke faktorer, ͏der ͏indvirkede ͏på ͏slagets ͏udfald, ͏lægge ͏op ͏til ͏en ͏diskussion ͏af

Lanchestermodellernes ͏anvendelighed. ͏En ͏diskussion ͏med ͏udgangspunkt ͏i

Lanchestermodellernes, tæt på, urealistiske antagelser.

1

Se bilag (2)

2

Se bilag (2)

3

Inter (1) - Andersen, Michael: http://www.mhweb.dk/d-dag/temaer/t_overlord.htm

Side 4

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

4

2.͏D͏-Day: Landsætningen i Normandiet 1944

2.1 Omstændighederne

Målet for Operation Overlords første 24 timer var at skabe et brohoved i Normandiet, samt at besætte et stort landområde, der bl.a. dækker over Caen, Normandiets største by, og strækker

                                   2
sig fra Quinéville i vest t͏il͏ Cabourg i øst

. I det lange løb var det endelige mål, sammen med

USSR ͏på ͏den ͏modsatte ͏front, ͏at ͏nedkæmpe ͏nazisterne, ͏befri ͏det ͏nazi-besatte ͏Europa, ͏og

                                     3
derved ͏stå ͏som ͏vindere ͏af ͏2. ͏verdenskrig

. ͏Det ͏overvældende ͏antal ͏infanteri ͏var ͏som ͏sagt fordelt på 5 kyststrækninger. Fra vest mod øst har strækningerne henholdsvis kodenavnene:

Utah-, Omaha-, Gold-, Juno- og Swordstranden^{2}. Hitler͏ havde på dette tidspunkt fået opstillet

Atlanterhavsvolden, en befæstning der langt fra levede op til͏ propagandaens fremstilling. Men efter ͏en ͏omfattende ͏forstærkning ͏igangsat ͏af ͏Erwin ͏Rommel, ͏bestod ͏Atlanterhavsvolden ͏af miner, forhindringer og bunkers med tungt artilleri, som strakte sig helt fra Norge i nord til Pyrenæerne i syd. Tyskerne var klar over, at et forsøg på en invasion var i vente, men de var overbeviste om, at den ville finde sted i Pas-de-Calais regionen. Tyskerne blev således ledt på

vildspor ͏af ͏en ͏større ͏afledningsmanøvre ͏med ͏kodenavnet ͏ˮOperation ͏Bodyguardˮ.^{4} Den

berygtede ͏tyske ͏hærfører, ͏Erwin ͏Rommel, ͏var ͏udpeget ͏direkte ͏af ͏Hitler ͏selv ͏som ͏leder ͏af invasionsforsvaret ͏i ͏Normandiet. ͏Rommel ͏blev ͏hurtigt ͏klar ͏over ͏tyskernes ͏svage modstandsevne, ͏og ͏var ͏med ͏det ͏samme ͏overbevist ͏om, ͏at ͏hvis ͏en ͏eventuel ͏invasion ͏skulle

stoppes, ͏måtte det ske allerede i strandkanten^{5}. ͏Den største del af den tyske hær kæmpede på

østfronten, og de tropper der befandt sig i Vesteuropa var få og generelt de allierede styrker underlegne. ͏Samtidig ͏havde ͏tyskerne ͏koncentreret ͏en ͏st͏or ͏del ͏af ͏forsvarsstyrkerne ͏i Calais, hvilket senere viste sig at være en gruelig fejl. Operationen lykkedes i det omfang, at der efter blot ͏24 ͏timer ͏var ͏skabt ͏et ͏brohoved, ͏og ͏at ͏ingen ͏af ͏landsætningerne ͏mislykkedes, ͏hvilket resulterede ͏i ͏en ͏landsæ͏tning ͏af ͏mere ͏end ͏130.000 ͏landtropper ͏og ͏med ͏færre ͏end ͏10.000

dræbte eller tilskadekomne på de allieredes side^{6}. Dog var det først d. 20. juni muligt at tage

2

Se bilag (2)

3

Inter (1) - Andersen, Michael: http://www.mhweb.dk/d-dag/temaer/t_overlord.htm

4

Klein, Christopher: http://www.history.com/news/fooling-hitler-the-elaborate-ruse-

behind-d-day

5

Inter (1) - Andersen Michael: http://www.mhweb.dk/d-dag/temaer/t_overlord.htm

6

Inter (9) ITV-report: http://www.itv.com/news/2014-06-06/d-day-in-numbers-the-

remarkable-statistics-behind-the-largest-seaborne-invasion-in-history/

Side 5

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

5

                                                                               7
kontrol ͏over ͏Caen, ͏hvilket ͏havde ͏været ͏målet ͏for ͏landsætningen ͏allerede ͏d. ͏6. ͏juli .

Landsætningen ͏på ͏Omahastranden ͏var ͏både ͏den ͏vanskeligste, ͏blodigste ͏og ͏største ͏med ͏op

                                                                            8
mod 3000 ͏tilskadekomne ͏eller dræbt͏e ͏på ͏de første ͏24 ͏timer, blot ͏på ͏de allieredes ͏side . Da

landsætningerne ͏havde ͏forskellige ͏indbyrdes ͏målsætninger ͏og ͏strategier, ͏vil ͏fokus ͏i ͏denne opgave ͏indkredses ͏til ͏at ͏behandle ͏kampen ͏på ͏Omahastranden, ͏eftersom ͏det ͏var ͏her ͏de

invaderende styrker ͏mødte den største modstand^{8}. Opgaven vil tage udgangspunkt i de første

24 timer efter H-tid kl. 6:30.

2.2 Styrkerne på Omahastranden

De allieredes styrker^{9} på Omahastranden bestod hovedsageligt af den amerikanske 1. og 29.

Infanteridivision. ͏Dertil ͏kom ͏bl.a. ͏en ͏specielstyrke, ͏mandskabet ͏til ͏de ͏32 ͏kampvogne ͏i ͏741.

kampvognsbataljon, mændene i 121. ingeniørbataljon, samt flere grupper af sanitetssoldater.

Landgangen skete i bøl͏ger, og efter 24 timer var omtrent 34.000 amerikanske soldater sat i

land på Omahastranden^{10}. De allierede ͏havde tilmed en større mængde tungt artilleri i form af

krigsskibene ͏på ͏havet. ͏Efter ͏24 ͏timer ͏havde ͏de ͏allierede ͏som ͏sagt ͏ca. ͏3.000 ͏ukampdygtige hærenheder.

De tyske styrker^{9} på Omahastranden er sværere at være nøjagtig omkring. Det er sikkert, at

716. ͏Infanteridivision ͏og ͏ca. ͏3 ͏bataljoner ͏fra ͏352. ͏Infanteridivision ͏var ͏stationeret ͏ved Omahastranden. 716. Infanteridivision inkluderede 3 OST(øst) bataljoner, der primært bestod af fanger fra den røde hær, altså krigsfanger fra østfronten, som var tvunget til at kæmpe på tysk ͏side. ͏Divisionen ͏var ͏derfor ͏ingen ͏imponerende ͏kampenhed. ͏352. ͏Infanteridivision derimod, var trænede tropper med erfaringer fra østen. Resten af denne division var spredt over ͏et ͏647 ͏kvadratkilometer ͏stort ͏område, ͏der ͏strækker ͏sig ͏fra ͏Vires ͏munding ͏i ͏vest ͏til Arromanches ͏i ͏øst. ͏Det ͏er ͏derfor ͏tænkeligt, ͏at ͏dele ͏af ͏denne ͏division ͏har ͏kunnet ͏komme tropperne ͏ved ͏Omaha ͏til ͏undsætningen ͏inden ͏for ͏et ͏døgns ͏tid. ͏En ͏Wikipedia ͏artikel ͏om

Omahastranden anslår at ͏de tyske styrker ͏på Omaha var ͏på 7.800 ͏landtropper^{11}. Et estimat

foretaget vha. de allerede ͏præsenterede informationer og informationerne på bilag (2), anslår en ͏samlet ͏tysk ͏styrke ͏på ͏mellem 5300 ͏og ͏8000 landtropper. ͏Da ͏det ͏ikke vil ͏være ͏muligt at

7

Bog (3) - Fracois, Dominique (s. 219 ll. 2)

8

Inter (1) - Andersen Michael: http://www.mhweb.dk/d-dag/b_omaha.htm

9

Bog (1) - Beevor, Antony (informationerne er fordelt på s. 110-114)

10

Inter (1) - Andersen Michael: (s. 120) http://www.mhweb.dk/d-dag/b_omaha.htm

11

Inter (14) - https://en.wikipedia.org/wiki/Omaha_Beach

Side 6

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

6 finde et præcist tal, og vores eget estimat svarer nogenlunde til Wikipedias informationer, vil vi ͏godtage, ͏at ͏der ͏har ͏været ͏omkring ͏7.800 ͏tyske ͏soldater. ͏Ifølge ͏historikeren ͏Joseph

                                      12
Balkowski ͏havde ͏tyskerne ͏et ͏tab ͏på ͏1200.

Tyskerne ͏havde ͏selvfølgelig ͏som ͏forsvarende styrke også en større mængde artilleri.

Til anvendelsen af Lanchesters kvadratiske model vil det være nødvendigt at kende antallet af tropper ved slagets start for begge ͏sider. Derfor opsummeres de to siders ͏styrker i tabellen nedenfor. ͏Disse ͏tal ͏er ͏naturlig͏vis ͏ikke ͏præcise, ͏hvilket ͏er ͏uundgåeligt ͏i ͏betragtning ͏af ͏at

                                           13
tyskernes ͏divisioner ͏ofte ͏varierede ͏i ͏størrelsen,

og ͏at ͏de ͏allieredes ͏styrker ͏blev ͏landsat løbende. Der har altså ikke været 34.000 amerikanske soldater på Omahastranden kl. 06:30, men der har i løbet af det første døgn været en samlet kampdygtig styrke på 34.000 mænd.

Nazityskland De allierede

Oprindeligt antal hærenheder 7.800 34.000

Uskadeliggjorte hærenheder efter 24 timer 1.200 3.000

3.͏Lanchesters m͏odeller

Frederik William Lanchester(1868-1946) forsøgte under 1. Verdenskrig som en af de første, at ͏anvende ͏matematiske ͏formler ͏af ͏højere ͏matematik ͏på ͏krigsførelse. ͏Det ͏resulterede ͏i ͏to modeller, ͏der ͏hver ͏især ͏består ͏af ͏to ͏koblede ͏1. ͏ordens ͏differentialligninger. ͏Disse ͏modeller beskriver hver sin kampform. Vi har at gøre med den kvadratiske model, der fungerer for et slag af typen ˮAimed fireˮ, og den lineære model, der fungerer for et slag af typen ˮUnaimed fireˮ. ͏I ͏begge ͏modeller ͏beskriver ͏ligningernes ͏venstreside ͏antallet ͏af ͏kampdygtige hærenheder, som funktion af ͏tiden t. Da systemerne ͏består af to koblede ligninger, vil disse

være et mål for den ene og ͏den anden hær, fremover kaldt hær A og hær B.^{14} Når Lanchesters

modeller ͏anvendes ͏vil ͏de ͏enten ͏kunne ͏bruges ͏til ͏at ͏forudsige ͏resultatet ͏af ͏et ͏slag, ͏eller ͏til efterfølgende at ͏analysere dette. Begge modeller bygger ͏på en ͏del antagelser. For ͏det første

12

Inter (16) - D-Day museum (l. 80): http://www.ddaymuseum.co.uk/d-day/d-day-and-the-

battle-of-normandy-your-questions-answered

13

Se bilag (1) (l. 41)

14

Inter (8) - Washburn, Alan (s. 6-8):

http://faculty.nps.edu/awashburn/Files/Notes/Lanchester.pdf

Side 7

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

7 antager de at ͏et slag ͏er vundet, når ͏samtlige fjendske ͏hærenheder er uskadeliggjort, ͏hvilket sjældent er tilfældet i virkeligheden, hvor fjenden som oftest overgiver sig eller foretager et tilbagetog, ͏når ͏en ͏sejr ͏synes ͏at ͏være ͏urealistisk. ͏For ͏det ͏andet ͏antager ͏modellerne ͏at ͏alle hærenheder er aktive i kampen til ethvert tidspunkt, hvilket heller ikke altid er tilfældet. Som nævnt landsatte de allierede deres tropper i bølger.

3.1 Den lineære model

Den ͏lineære ͏model ͏er ͏oprindeligt ͏baseret ͏på ͏et ͏ønske ͏om ͏at ͏kunne ͏beskrive ͏gammeldags krigsførelse, ͏f.eks. ͏sværdkamp, ͏altså ͏kamp ͏hvor ͏en ͏soldat ͏kun ͏kan ͏gøre ͏skade ͏på ͏é͏n ͏anden soldat ͏ad ͏gangen. ͏Det ͏viser ͏sig ͏at ͏denne ͏model ͏også ͏fungerer ͏for ͏krig, ͏hvor ͏tungt ͏artilleri, mortérer, luftangreb osv. benyttes til at angribe et område, hvor fjenden befinder sig. Deraf

ˮunaimed fireˮ da f.eks. granater fra en mortér ikke nødvendigvis skyder direkte på en synlig fjende. ͏Modellen ͏bygger ͏på ͏antagelsen ͏om, ͏at ͏hvis ͏angreb ͏fra ͏et ͏antal ͏kampdygtige hærenheder Aʼ er sendt af sted mod et område, hvor de forsvarende hærenheder Bʼ opholder sig ͏i ͏stedet ͏for ͏at sigte ͏efter ͏en ͏specifik ͏hærenhed, ͏så vil ͏nedslidningsraten ͏for hær ͏B ͏være proportional ͏med ͏B ͏og ͏A, ͏fordi ͏et ͏større ͏antal ͏af ͏hærenheder ͏Bʼ ͏vil ͏øge ͏muligheden ͏for ͏en

                                                          14
ødelæggede ͏effekt, ͏ligesom ͏et ͏større ͏antal ͏af ͏hærenheder ͏Aʼ ͏vil. ͏Dette ͏princip ͏fungerer

selvfølgelig også den anden vej rundt, heraf kan den lineære model opstilles således: 𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏−𝑎͏⋅͏𝐵͏⋅͏𝐴,͏𝐴͏0͏=͏𝐴_{0},͏𝐴͏>͏0

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝑏͏⋅͏𝐴͏⋅͏𝐵,͏𝐵͏0͏=͏𝐵_{0},͏𝐵͏>͏0

Her er –a og –b koefficienter kaldet nedslidningskonstanten. Denne konstant er et udtryk for͏, hvor ͏effektive ͏henholdsvis ͏hær ͏A ͏og ͏hær ͏B ͏er ͏i ͏deres ͏angreb. ͏A ͏og ͏B ͏vil ͏være ͏antal

0 0

hærenheder ͏ved ͏tiden ͏t=0. ͏Betingelserne 𝐴͏>͏0 og 𝐵͏>͏0 giver ͏sig ͏selv, ͏da ͏man ͏kun ͏kan
kæmpe med et positivt antal soldater.^{15}

15

Inter. (8) Washburn, Alan (s. 8):

http://faculty.nps.edu/awashburn/Files/Notes/Lanchester.pdf

Side 8

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

8

3.2 Den kvadratiske model

Den Kvadra͏tiske model er baseret på et ønske om at kunne beskrive kamp mel͏lem infanteri.

En hærenhed, i dette tilfælde bare en soldat, vil her sigte direkte på en fjendtlig hærenhed og dermed ͏kun ͏kunne ͏uskadeliggøre ͏1 ͏fjendtlig ͏enhed ͏ad ͏gangen, ͏deraf ͏ˮaimed ͏fireˮ. ͏Modellen bygger ͏på ͏antagelsen ͏om, ͏at ͏nedslidningen ͏af ͏kampdygtige ͏hærenheder ͏Aʼ ͏er ͏proportional med antallet af kampdygtige hærenheder Bʼ, og omvendt. Modellen opstilles således: 𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏−𝑎͏⋅͏𝐵,͏𝐴͏0͏=͏𝐴_{0},͏𝐴͏>͏0

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝑏͏⋅͏𝐴,͏𝐵͏0͏=͏𝐵_{0},͏𝐵͏>͏0

Her er –a og –b igen koefficienter kaldet nedslidningskonstanten, og resten af variablerne er udtryk for det samme som i den lineære model. Den kvadratiske model er den model, der er oftest anvendt, ͏og den ͏vil også ͏være omdrejningspunktet i ͏denne opgave, ͏da man ͏vil kunne argumentere for, at artilleriets præcision var så god, og fjenderne så synlige, at de ikke ville kunne leve op til kravene for ˮunaimed fireˮ.

4. Koblede differentialligninger: Lancheste͏rs k͏va͏d͏rat͏iske͏ model

                             16
4.1 Differentialligninger af 2. orden

Det ͏vil ͏senere, ͏ved løsning af to ͏kobl͏ede ͏1. ͏ordens ͏differentialligninger, ͏være ͏nødvendigt ͏at være ͏bekendt ͏med ͏differentialligninger ͏af ͏2. ͏orden. ͏Det ͏vil ͏kun ͏være ͏relevant ͏at ͏se ͏på ͏de lineære homogene differentialligninger af anden orden. Det vil sige ligninger af formen:

𝑔͏𝑡͏=͏𝑦^{′′} +͏𝑓_{1} (𝑥)𝑦^{′} +͏𝑓_{2} 𝑥͏𝑦,͏𝑔͏𝑡͏=͏0

Ligningen ovenfor kaldes homogen, fordi g(t) er lig nul. Hvis g(t) er forskell͏ig fra nul, kaldes ligningen inhomogen. Det vil kun være nødvendigt at se på tilfælde hvor f(x)-koefficienterne er konstanter og ikke reelle funktioner. Ligningerne kaldes differentialligninger a͏f 2. orden, da der ͏indgår ͏yʼʼ, ͏al͏t͏så ͏en ͏to ͏gange ͏differentieret ͏funktion. ͏Der ͏findes ͏her ͏ikke ͏formler ͏til ͏at

16

Bog (4) - Kristensen, Erik – Differentialligninger (s. 83)

Side 9

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

9

angive de fuldstændige løsninger på samme måde som med 1. ordens differentialligninger^{17},

ˮ2. ordens ͏differentialligninger ͏er ofte ͏meget svære at ͏løse, og ͏i ͏mange tilfælde ͏kan ͏det slet

ikke lade sig gøre.ˮ^{18} Løsningen er dog ligesom med 1. ordens differentialligninger givet ved

de funktioner, der får udtrykket til at være ͏sa͏ndt.

4.2 Linjeelementer og faseplot

Et ͏linjeelement bruges til ͏visuelt ͏at ͏kortlægge ͏mulige ͏løsninger ͏til ͏en ͏differentialligning ͏i ͏et koordinatsystem og dermed løse ligningen numerisk. Linjeelementet består af tre størrelser:

x, y og a og opskrives således: (𝑥_{0},͏𝑦_{0};͏ 𝑎). Her udgør x og y et punkt: (x, y), og a er udtryk

0 0 0 0 0 0 for en hældning i det punkt. Et linjeelement er et lille tangentstykke, der viser hældningen i det ͏givne ͏punkt ͏for ͏en ͏løsningskurve, ͏der ͏netop ͏går ͏gennem ͏det ͏punkt. ͏Udregner ͏man ͏alle linjeelementer ͏i ͏et ͏bestemt ͏interval ͏inden ͏for et ͏grafvindue, ͏vil ͏man ͏kunne se ͏hældninger ͏i forskellige punkter til alle de mulige løsninger inden for det givne grafvindue. Dette kaldes et hældningsfelt. ͏Herunder ͏følger ͏et ͏eksempel ͏på ͏udregning ͏af ͏et ͏enkelt ͏linjeelement ͏for ligningen: 𝑑𝑦 1 𝑑𝑡 2

=͏− ⋅͏𝑡͏⋅͏𝑦

Vi kan lade højre side af ligningen k͏alde s(t, y), altså en funktion s, der afhænger af t og y.

𝑑𝑦 𝑑𝑡

=͏𝑠(𝑡,͏𝑦)

Hvis ͏en ͏løsning ͏til ͏differentialligningen ͏går ͏igennem ͏punktet ͏(t

0 0

,y

), ͏vil͏ ͏tangenten ͏til ͏denne

løsningskurve i det givne punk͏t͏ have hældningskoefficienten a=s(t,y), da^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} er et udtryk for

0 0 tangenthældningen. Vi finder et linjeelement i punktet (2,2):

𝑎͏= =͏− ⋅͏2͏⋅͏2͏=͏−2

𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 2

17

Bog (4) - Kristensen, Erik – Differentialligninger (s. 83, l. 21)

18

Bog (7) - Niels H. Larsen - Gads matematik (s. 69 l. 11)

Side 10

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

10

Selve ͏linjeelementet ͏er ͏altså: (2,2;͏−2). ͏I ͏regnemaskinen ͏TI-Nspire ͏er ͏det ͏muligt ͏at ͏lave ͏et

hældningsfelt, og tilmed få en numerisk løsning gennem punktet (2,2):

De mange linjeelementer, der er plottet med et interval på ca. 2 i koordinatsystemet, giver et godt visuelt ͏billede af, hvordan ͏de uendeligt ͏mange løsningskurver ͏ser ud ͏for de ͏forskellige startbetingelser. ͏Når ͏man ͏løser ͏en ͏differentialligning ͏med ͏startbetingelser, ͏finder ͏man nøjagtig ͏den ͏løsning, ͏der ͏går ͏gennem ͏det ͏punkt, ͏som ͏startbetingelsen ͏anslår, ͏altså ͏en

                                                            𝑑𝑦    1
partikulær ͏løsning. ͏Den ͏røde ͏graf ͏viser ͏den ͏løsning ͏til ͏ligningen ͏ =͏− ⋅͏𝑡͏⋅͏𝑦 , ͏der ͏går
                                                            𝑑𝑡    2

gennem ͏punktet ͏(2,2). ͏Når ͏man ͏har ͏med ͏koblede ͏differentialligninger ͏at ͏gøre, ͏såsom Lanchesters modeller, vil det være muligt at lave et hældningsfelt for de to funktioner A(t) og B(t). Dette vil give et overblik over løsningerne for de koblede differentialligninger. Et sådant hældningsfelt kaldes et faseplot.͏ Man kan imidlertid udskifte tangenten i linjeelementet med vektorer, ͏hvilket ͏giver ͏en ͏bedre ͏forståelse ͏for, ͏hvilken ͏retning ͏grafen ͏bevæger ͏sig, ͏når ͏t ændres. Faseplottet demonstreret i 5.2.

4.3 Koblede differentialligninger

Begrebet ͏koblede ͏differentialligninger ͏betegner ͏ligningssystemer, ͏hvor ͏der ͏indgår ͏et afhængighedsforhold mellem ͏de variable ͏størrelser. Disse ͏to koblede ͏differentialligninger af første orden, kan altså ikke løses hver for sig, fordi de har noget med hinanden at gøre. Vi ser igen her på Lanchesters kvadratiske model som eksempel:

Figur 1 - Viser et hældningsfelt, altså en numerisk løsning. Den røde graf viser en partikulær løsning igennem punktet (2,2)

Side 11

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

11 𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏−𝑏͏⋅͏𝐵,͏𝐴͏0͏=͏𝐴_{0}

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝑎͏⋅͏𝐴,͏𝐵͏0͏=͏𝐵_{0},

Her ses det, at ligningen for A indeholder B differentieret og omvendt. Ligningerne indeholder da ͏hver ͏især ͏hinandens ͏differentierede ͏funktion. ͏De ͏er ͏altså ͏sammenkoblede. ͏Grundet sammenkoblingen ͏er ͏ligningerne ͏en ͏smule ͏mere ͏komplekse ͏at ͏l͏øse ͏end ͏de ͏almindelige differentialligninger ͏af ͏1. ͏orden. ͏Den ͏fuldstændige ͏løsning ͏er ͏givet ͏ved ͏at ͏finde ͏frem ͏til funktionerne ͏for ͏A(t) ͏og ͏B(t). ͏Samtidig ͏er ͏en ͏partikulæ͏r ͏løsning ͏endnu ͏engang ͏givet ͏ved løsningen gennem et specifikt punkt. Det er her ͏også muligt at tegne et faseplot for de koblede ligninger ͏tilsammen, ͏altså ͏et ͏hældningsfelt ͏med ͏A(t) ͏på ͏x-aksen ͏og ͏B(t) ͏på ͏y-aksen. ͏I ͏et faseplot ͏for ͏den ͏kvadratiske ͏model ͏vil ͏det ͏være ͏muligt ͏at ͏aflæse ͏slagets ͏vinder, ͏antal uskadeliggjorte hærenheder, når slaget er slut og hvor mange soldater den tabende hær skulle have haft for at vinde.

5. Anvendelse af Lanchesters kvadratiske model: slaget ved Omaha

5.1 Nedslidningskoefficienterne

Nedslidningskoefficienterne skal ͏være et ͏udtryk for ͏den effektivitet ͏de to styrke yder. Disse har selvfølgelig stor indflydelse på udfaldet af ͏undersøgelsen. Der findes ingen officiel metode til at udregne dem. En af de få tilgængelige ͏metoder kræver ͏et mægtigt arbejde, der består i at analysere samtlige hærenheder, lave en subjektiv vurdering af deres styrke for så at rangere

dem i et scoresystem^{19}. Jeg har derfor valgt at estimere nogle nedslidnings-koefficienter ud fra

forholdet mellem styrkernes størrelse ved slagets start og deres tab efter 24 timer. Vi husker på tabellen:

Nazityskland De allierede

Oprindeligt antal hærenheder 7.800 34.000

Uskadeliggjorte hærenheder efter 24 timer 1.200 3.000

19

Inter (7) - Lee, Ying-chu (s. 45)

Side 12

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

12

Heraf findes et udtryk for gennemsnittet af en enkel hærenheds effektivitet:

               1200
De allierede (A):  =͏0.0359
              34000

               3000
Nazityskland (B):  =͏0.3846
               7800

                                    0.3849
Og herefter findes forholdet mellem dem: =͏10.7131
                                    0.0359

De ͏tyske ͏solda͏ter ͏har ͏altså, ͏ifølge ͏denne ͏primitive ͏metode, ͏en ͏ca. ͏ti ͏gange ͏så ͏stor kampeffektivitet ͏som ͏de ͏allierede ͏har, ͏hvilket ͏lyder ͏fornuftigt ͏eftersom ͏forsvarende ͏tyske styrker var i besiddelse af maskingeværer og samtidig kunne søge ly i bunkersne.

5.2 Faseplot, via analytisk løsning

Vi er nu bekendte med alle nødvendige værdier til ligningen for slaget ved Omaha: 𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏−10͏⋅͏𝐵(𝑡͏),͏𝐴͏0͏=͏34000

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝐴(𝑡),͏𝐵͏0͏=͏7800

Regnemaskinen ti-Nspire kan ikke umiddelbart løse to koblede differentialligninger. Den kan derimod ͏godt ͏løse ͏en ͏differentialligning ͏af ͏anden ͏orden, ͏hvis ͏der ͏er ͏tilstrækkeligt ͏med startbetingelser. ͏Derfor vil ͏jeg nu forsøge at omskrive de to koblede differentialligninger til en differentialligning af anden orden. Vi ser først på, hvad der ville ske hvis vi differentierede Aʼ: 𝑑 𝑑𝐴 𝑑𝑡

𝑑𝑡 𝑑𝑡^{2}

=

𝑑^{2} 𝐴

Vi får altså A differentieret to gange. Og A differentieret kender vi godt: 𝐴′͏=͏−10͏⋅͏𝐵(𝑡). Hvis

                                                              20
vi ͏skal ͏differentiere ͏dette ͏udtryk, ͏kan ͏vi ͏gøre ͏b͏rug ͏af ͏konstantreglen : 𝑔͏𝑥͏=͏𝑘͏⋅͏𝑓͏𝑥͏ →

𝑔^{′} 𝑥͏=͏𝑘͏⋅͏𝑓′(𝑥). Man kan altså bare lade konstanten stå, og differentiere funktionen:

20

Inter (17) – Webmatematik (l. 16): http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-
b/differentialregning/regneregler-for-differentialkvotiente

Side 13

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

13

𝑑^{2} 𝐴
𝑑𝑡^{2}

=͏′͏=͏−10͏⋅͏𝐵′(𝑡)

Bʼ kender vi også i forvejen: 𝐵^{′} =͏−𝐴(𝑡). Ved at indsætte dette i ligningen får vi en 2. ordens

differentialligning:

𝑑^{2} 𝐴 𝑑^{2} 𝐴
𝑑𝑡^{2} 𝑑𝑡^{2}

=͏−10͏⋅͏−𝐴͏𝑡͏ →͏ =͏10͏⋅͏𝐴͏𝑡͏

Vha. ti-Nspire løses differentialligningen og A(t) findes:

Den samme proces gennemgås med B(t) og derved har vi begge løsninger:

Ved ͏at ͏afsætte ͏A(t) ͏på ͏x-aksen ͏og B(t) ͏på ͏y-aksen ͏vil ͏det altså, ͏igen ͏i ͏regnemaskinen, ͏være muligt ͏at ͏få ͏tegnet ͏et ͏faseplot. ͏Punktet ͏(7800,34000) ͏repræsentere ͏slagets ͏start. ͏Den numeriske løsning for netop disse startbetingelser er det ikke muligt at få Nspire til at lave.

Jeg ͏har ͏derfor ͏efterfølgende ͏manipuleret ͏den ͏røde ͏graf ͏ind, ͏for ͏netop ͏at ͏visualisere ͏den numeriske løsning:

Side 14

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

14

Faseplottet ͏viser ͏altså ͏slaget͏s ͏gang. ͏Det ͏kan ͏aflæses ͏at ͏alle ͏tyske ͏hærenheder ͏er uskadeliggjort, ͏siden ͏disse ͏er ͏repræsenteret ͏ved ͏x-aksen. ͏Samtidig ͏kan ͏det ͏aflæses ͏at ͏de allierede ͏mister, ͏hvad ͏der ͏ser ͏ud ͏som ͏en ͏ubetydelig ͏lille ͏mængde ͏hærenheder. ͏Faseplottet vises ͏dog ͏inden ͏for ͏et ͏grafvindue ͏af ͏størrelsen ͏[-1000;40000] ͏x ͏[-2000;10000], ͏hvilket ͏er grunden til at tabet ser så småt ud. Vi ved dog at tabene ligger omkring de 3000, hvilket den numeriske løsningsgraf faktisk skitserer nogenlunde.

6. Andre faktorer der spiller ind slagets udfald

Historiefaget forsøger (groft sagt) ͏at besvare spørgsmålene: ˮHvad skete der?ˮ, ˮhvorfor skete

det?ˮ og ˮhvor ved vi det fra?͏ˮ.^{21} Vi ved fra tidligere, hvad der skete på ͏Omahastranden: Det

21

Bog (6) - Sohn, Mikkel: (l. 15)

Side 15

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

15 lykkedes de allierede at fastholde et brohoved og landsætte et mægtigt antal tropper, men på bekostning af ca. 3000 enten døde eller sårede soldater. I ͏følgende afsnit vil ͏fokus derfor være på ͏de ͏to ͏sidste ͏spørgsmål. ͏Vha. ͏et ͏større ͏antal ͏kilder ͏har ͏det ͏været ͏muligt ͏at ͏udrede ͏en mængde faktorer, der alle havde en indvirkning på slagets udfald. Til netop dette formål kan de valgte kilder med fordel bruges som beretning og kun sjældent som levn. Herunder er tre kilder ͏fremhævet: ͏En ͏beretning ͏af ͏Robert ͏Edlin ͏(på ͏skrift), ͏endnu ͏en ͏beretning ͏af ͏Sergio Moirano (på video) samt Antony Beevors bog, ˮD-Day Kampen om Normandietˮ.

6.1 Robert Edlin – 2nd Ranger Bataljon: En beretning om landgangen d. 6 juni 1944^{22}

Officer ͏Robert ͏Edlid ͏hørte ͏til ͏2. ͏Ranger ͏bataljon ͏og ͏blev ͏derfor ͏landsat ͏på ͏Omahastranden sammen ͏med ͏resten ͏af ͏styrkerne ͏i ͏1. ͏Bølge; ͏kilden ͏er ͏altså ͏en ͏førstehåndsberetning.

Ophavssituationen såvel som formatet er ikke til at gøre rede for, da det ikke fremgår noget

                                      23
sted ͏på ͏den ͏platform ͏kilden ͏er ͏hentet ͏fra

. ͏Beretningen ͏kan ͏altså ͏enten ͏være ͏fortalt ͏og herefter ͏transskriberet ͏eller ͏nedskrevet ͏af ͏Edlin ͏selv. ͏Citationstegnene ͏i ͏begyndelsen ͏og slutningen gør dog, at det formodentlig er en genpart. Går vi ud fra at kil͏den er transsk͏riberet, er ͏ikke ͏blot ͏ophavssituationen, ͏men ͏også ͏forfatteren ͏fraværende. ͏Når ͏man ͏hverken ͏er bekendt ͏med ͏ophavssituationen ͏eller ͏forfatteren ͏bevirker ͏det ͏selvfølgelig, ͏at ͏kildens troværdighed falder. Kilden henter dog sin troværdighed i det faktum, at alle de faktorer der fremlægges ͏også ͏er ͏at ͏finde ͏i ͏andre ͏kilder, ͏kilder ͏der ͏selvfølgelig ͏er ͏komplet ͏uafhængige ͏af Edlids beretning.

Af beretningen udledes ͏tre ͏væsentlige ͏faktorer: ͏Invasionen ͏fandt sted ͏ved ͏lavvande, ͏hvilket

                                                       24
gjorde, ͏at ͏talrige landsætningsfartøjer ͏gik ͏på ͏grund ͏i ͏revlerne.

Det ͏betød ͏at ͏mændene ͏var tvunget til at vade en betydeligt længere afstand fra landsætningsfartøjerne til strandkanten

under heftig beskydning. Det nævnes også, at Edlid befinder sig i den første angrebsbølge.^{25} At

de ͏allierede ͏vælger ͏at ͏angribe ͏i ͏bølger ͏er ͏også ͏en ͏faktor, ͏da ͏slaget ͏uden ͏tvivl ͏ville ͏have udspillet sig anderledes, hvis de allierede havde grebet situationen anderledes an. F.eks. ville et større antal mænd i første angrebsbølge, sandsynligvis have mindsket eller øget tabene på de ͏allieredes ͏side. ͏En ͏mulig ͏tredje ͏faktor ͏er ͏mændenes ͏frustration. ͏Mændene ͏har ͏med ͏høj sandsynlighed ͏været ͏frustrerede, ͏både ͏over ͏det ͏faktum ͏at ͏et ͏ganske ͏stort ͏antal

22

Genparten er vedlagt som bilag (3).

23

http://www.eyewitnesstohistory.com/pfdday2.htm

24

Bilag (3) - (l. 1) samt Bevoor Antony (s.xx)

25

Bilag (3) - (kildens introduktion)

Side 16

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

16

                                                                        26
landsætningsfartøjer ͏havnede ͏flere ͏kilometer ͏ved ͏siden ͏af ͏de ͏fastsatte ͏områder og ͏den

manglende ͏virkning ͏af ͏de ͏massive ͏bombardementer, ͏der ͏forinden ͏skulle ͏have ͏mindsket tyskerenes forsvarsstyrke: ˮThere were mines and obstacles all up and down the beach. The air corps had missed it entirely. There were no shell holes in which to take cover. The mines had not been detonated. Absolutely nothing that had been planned for that part of the beach

had worked.ˮ^{27} Sandheden omkring bombeangrebene er at piloterne var bange for at ramme

deres ͏egne ͏mænd ͏på jorden, ͏og derfor ͏tøvede med ͏at ͏kaste ͏bomberne. Det ͏resulterede i ͏at

bombardementets effekt var yderst ringe.^{28}

6.2 Interview med Sergio M͏oirano

Sergio ͏Moirano ͏tjente ͏i ͏90. ͏Infanteri ͏division, ͏men ͏blev ͏lånt ͏ud ͏til ͏1. ͏Infanteri ͏division ͏blot

timer før afgang fra Bristol kanalen, hvor de amerikanske styrker samledes.^{29} Moirano blev i

2010 ͏interviewet ͏på ͏den ͏amerikanske ͏ambassade ͏i ͏Belgien ͏i ͏forbindelse ͏med ͏årsdagen ͏for invasionen i 1944. Kilden er altså͏ en førstehå͏ndsberetning og samtidig en primær kilde, idet Moiranos beretning ikke afhænger af andre kilder end hans hukommelse. Det eneste, der vil͏l͏e kunne sætte spørgsmålstegn ved ͏troværdigheden, er hans alder. Moirano døde d. 28͏. juli 2016 i en alder af 92 år, hvilket vil sige at ͏han er omkring 86, da kilden opstår. Alderen kan gøre meget ved bevidstheden, og det kan derfor true kildens troværdighed.

Af ͏beretningen ͏kan ͏udledes ͏en ͏væsentlig ͏faktor: ͏ˮWe ͏were ͏not ͏the ͏first ͏ones, ͏there ͏were plenty of bodies all over the place. […] And when I got down off of the ramp, I jumped to the right. And it was opposite to the order, but I kept going right, cause I didnʼt want to stay with the bunch. I wanted to be by myself, maybe thatʼs what͏ saved me. […] And I got to the shore.

Iʼd just lie down, thinking I ainʼt going any further. I was scared. (pause) It is hard. It is hard to

explainˮ^{30}. ͏Frustrationen ͏hos ͏mændene ͏var ͏én ͏ting, ͏men ͏af ͏en ͏anden ͏kaliber ͏var ͏angsten.

Frygten ͏for ͏at ͏blive ͏slået ͏ihjel, ͏der ͏opstod ͏ved ͏synet ͏af ͏ligene ͏og ͏lyden ͏af ͏krydsilden, ͏der svirpede om ørene på en. Moirano spillede altså død. En ting Lanchesters modeller ikke tager højde ͏for, ͏er ͏at ͏ikke ͏alle ͏overlevende ͏enheder ͏nødvendigvis ͏var ͏kampdygtige, ͏heller ͏ikke nødvendigvis de, ͏der ikke er sårede. Angsten, og altså ikke fjendtlige enheder, gjorde Moirano

26

Bog (5) - Rothberg, Abraham - Øjenvidner til 2. verdenskrig (s.17 l. 19)

27

Bilag (3) (l. 20)

28

Bog (5) - Rothberg, Abraham - Øjenvidner til 2. verdenskrig (s. 18 l. 5)

29

Inter. (11) - Interview af Sergio Moirano: Tidskode: (1:34)

30

Inter. (11) - Interview af Sergio Moirano: Tidskode: (4:20)

Side 17

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

17 midlertidigt ukampdygtig. I klippet ses en bedrøvet og sorgfuld Moirano, der må tage pau͏ser for at kunne fortsætte sin beretning. Troværdighedsaspektet ͏i vurdering af en kilde består i en

skønsvurdering ͏af ͏kilden ͏som ͏helhed^{31}. ͏Følgende ͏faktorer ͏vil ͏derfor ͏tale ͏for ͏kildens

troværdighed: den tydelige sorg, der i nogen grad vidner om en velfungerende bevidsthed, de mange detaljer og følelser, ha͏n ͏kan genkalde sig, der vidner om god hukommelse, samt den åbenlyse ærlighed. Vi har selvfølgelig igen flere andre kilder der b͏eretter om lignende tilfælde, hvilket ͏øger ͏kildens ͏troværdighed, ͏f.eks. ͏i ͏Edl͏ids ͏beretning: ˮI ͏kept ͏screaming ͏at ͏them, ʼyou have ͏to ͏get ͏up ͏and ͏go, ͏you ͏gotta ͏get up ͏and ͏go!ʼ. ͏But ͏they ͏didnʼt. ͏They were ͏worn ͏out, ͏and

                  32
defeated completely.ˮ

6.3 Antony Bevoor, D-Day – kampen om Normandiet: Kap. 7. Omaha

Antony Bevoor er en anerkendt historiker og forfatter af flere bøger, der alle skildre krigens virkeligheden, i et enormt detaljeret omfang. ˮD-Day - kampen om Normandietˮ er et af disse værker. Selvom bogens som kilde er både en andenhåndsberetninger og en sekundære kilde, kan der næsten ikke stilles spørgsmålstegn ved troværdigheden. Bogens kapitel 7 omhandler landgangen ͏på ͏Omahastranden, ͏og ͏nærved ͏enhver ͏pointe ͏eller ͏påstand ͏har ͏tilhørende fodnote, ͏med ͏henvisning ͏til ͏den ͏pågældende ͏kilde. ͏Bogen ͏som ͏kilde ͏lader ͏ikke ͏til ͏at ͏være præget af ͏nogen tendens, tværtimod ͏virker det som om et klart mål med udgivelsen ͏har været at ͏fremstille ͏slaget ͏og ͏dets ͏hændelser ͏så ͏obj͏ektivt ͏som ͏muligt, ͏hvilket ͏som ͏bekendt kendetegner kompetent historiefagligt arbejde.

I kapitel 7: ˮOmahaˮ, findes en lang række af de faktorer der formede slagets gang. En af de mest ͏væsentlige ͏faktorer ͏var ͏den ͏enormt ͏tunge ͏oppakning. ͏Nogle ͏af ͏de ͏soldater, ͏hvis landgangsfartøjer ͏ikke ͏formåede ͏at ͏komme ͏helt ͏ind ͏til ͏kysten ͏druknede ͏pga͏. ͏vægten ͏fra͏ oppakningen. ͏Og ͏de, ͏der ͏ikke ͏druknede, ͏var ͏ikke ͏i ͏stand ͏til ͏at ͏bevæge ͏sig ͏hurtigt, ͏fordi oppakningen og det våde tøj va͏r sådan en stor byrde, at kampen for at nå land havde udmattet dem betydeligt. ˮAlt syntes at foregå i slow͏motion, måden mændene bevægedes sig på med alt

                                 33
deres ͏udstyr. ͏Så ͏overlæssede ͏var ͏vi.ˮ

En ͏anden ͏faktor ͏var ͏den ͏manglende ͏beskyttelse. ͏De tyske forsvarsværker bestod primært af bunkers, der ydede stor beskyttelse. De amerikanske soldater ͏havde ͏forventet ͏at ͏få ͏en ͏hvis beskyttelse ͏i ͏form ͏af ͏de ͏32 ͏medbragte ͏DD-shermans,

31

Bog (6) - Sohn, Mikkel: (l. 57)

32

Bilag (3) (l. 17)

33

Bog (1) - Beevor, Antony (s. 117 l. 25)

Side 18

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

18 men kun fem af disse panservogne nåede strandbredden. Resten var sat i vandet for langt fra kysten ͏og ͏forliste ͏derfor. ͏En ͏soldat citeres ͏også ͏for ͏et ͏udsagn ͏om, hvorfor ͏det ͏netop ͏var så vanskeligt ͏at ͏besvare ͏ilden: ͏ˮMindst ͏80 ͏procent ͏af ͏vores ͏våben ͏fungerede ͏ikke ͏på ͏grund ͏af sand ͏og ͏havvandˮ. ͏80 ͏procent ͏er ͏med ͏stor ͏sandsynlighed ͏en ͏overdrivelse, ͏men ͏det ͏er selvfølgelig ͏ganske ͏tænkeligt, ͏at ͏der ͏var ͏store ͏problemer ͏med ͏våbnene ͏pga. ͏sand ͏og ͏vand.

Allerede før landgangsfartøjerne ͏sænk͏ede rampen, sendte de tyske maskingeværer en massiv regn ͏af ͏kugler ͏koncentreret ͏mod ͏de ͏lukkede ͏landgangsramper. ͏Således ͏blev ͏mange ͏af gruppelederne, der stod forrest i fartøjet, dræbt i det sekund rampen faldt. Fraværet af ͏ledere og ͏mænd ͏med ͏ansvar, ͏øgede ͏givetvis ͏forvirringen ͏blandt ͏mændene. ͏Artilleriet, ͏både ͏fra krigsskibene ͏på ͏havet ͏og ͏panservognene ͏på ͏stranden, ͏omtales ͏i ͏flere ͏kilder ͏som ͏den afgørende faktor. Det beskrives, hvordan kampvogne, der løb tør for ammunition, i stedet for at ͏beskyde ͏fjenden ͏begyndte ͏at ͏køre ͏op ͏og ͏n͏ed ͏ad ͏stranden ͏med ͏det ͏formål ͏at ͏eskortere

infanteriet ͏i ͏sikkerhed.^{34} De ͏fleste ͏soldaterne ͏fandt ͏i ͏øvrigt ͏sikkerhed ͏bag

pindsvinestillingerne (hedgehogs) eller ved det lave stendige 60-70 meter oppe ad stranden.

6.4 Opsummering: Hvilke faktorer spillede en rolle for slage͏ts͏ u͏df͏a͏ld?͏

De ͏allierede ͏havde ͏i ͏første ͏omgang ͏undervurderet ͏de ͏tyske ͏styrker ͏på ͏Omahastranden, ͏og bombardementerne ͏var ͏tilmed ͏på ͏ingen ͏måde ͏effektive. ͏Samtidig ͏måtte ͏mange landgangsfartøjer, ͏fordi ͏de ͏stødte ͏på ͏grund, ͏sætte ͏mændene ͏af ͏langt ͏ude ͏i ͏vandet. ͏Det ͏gav anledning til, at mange soldater omkom på grund af deres alt for tunge udstyr, enten ved at drukne ͏eller ͏fordi ͏de ͏ikke ͏kunne ͏bevæge ͏sig ͏hurtigt ͏nok. ͏Det ͏manglende ͏bombardement gjorde også, ͏at ͏infanteriet ͏manglede ͏kratere ͏at gemme sig ͏i. ͏At ͏angrebet ͏fandt ͏sted ͏ad flere omgange (bølger), kan også regnes som en væsentlig faktor, idet Lanchestermodellerne ikke tager ͏højde ͏for ͏dette. ͏Endnu ͏en ͏hændelse, ͏der ͏var ͏til ͏ugunst ͏for ͏de ͏allierede, ͏var ͏at ͏talrige geværer, ikke fungerede pga. vand og sand, der åbenlyst ødelægger mekanismerne. En sidste faktor var, ͏at ͏mændene selvfølgelig ͏var ba͏nge. ͏De ͏var altså ͏ikke nødvendigvis kampdygtige, selvom de hverken var sårede eller døde.

34

Bog (1) - Beevor, Antony (s. 122, l. 9)

Side 19

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

19

7.͏Lanchester m͏odellernes egenskaber

7.1 Modellernes egenskaber som forudsigende redskab

Med ʼforudsigende egenskaberʼ forstås modellens evner til at kunne forudsige udfaldet af et slag, ͏der ͏ikke ͏har ͏fundet ͏sted ͏endnu. ͏De ͏øverste ͏militære ͏ledere ͏ville ͏kunne ͏bruge resultaterne ͏af ͏en ͏sådan ͏udregning ͏til ͏planlægning ͏af ͏f.eks. ͏en ͏invasion. ͏Det ͏kan ͏dog ͏ikke komme bag på nogen, at det vil være tæt på umuligt at finde frem til en formel, der kan tage højde ͏for ͏alle ͏forbehold. ͏For ͏det ͏første ͏vil ͏det ͏ikke ͏være ͏muligt ͏at ͏tage ͏højde ͏for ͏alle ͏de tilfældigheder, der indt͏ræffer. Med tilfældigheder menes de uforudsete faktorer, såsom sand i geværerne, forliste panserenheder og et ineffektivt͏ luftangreb. Disse faktorer vil være tæt på umulige ͏at ͏inkorporere ͏i ͏udregningerne, ͏siden ͏de ͏som ͏bekendt ͏er ͏svære ͏at ͏forudse. ͏Dertil kommer også de faktorer, der netop kan forudses. Eksempelvis var det selvfølgelig bevidst at de allierede valgte at lade angrebene komme i bølger, og hvis Lanchesters model skulle kunne give ͏et ͏realistisk ͏billede ͏af ͏udfaldet, ͏skulle ͏der ͏selvfølgelig ͏tages ͏højde ͏for ͏dette. ͏Derudover var ͏tilstedeværelsen ͏af ͏artilleri, ͏både ͏på ͏stranden ͏og ͏på ͏havet, ͏med ͏stor ͏sandsynlighed ͏den afgørende faktor, hvilket slet ikke tages i betragtning i modellen. For slag af samme type som kampen på Omaha vil det derfor måske være optimalt med en kombineret model. En model der ͏både ͏tager ͏forbehold ͏for ͏infanteri- ͏og ͏artillerikamp. ͏Spørgsmålet ͏er ͏så ͏bare, ͏hvorvidt artilleriet ͏i ͏dette ͏tilfælde ͏lever ͏op ͏til ͏kravet ͏for ͏den ͏lineære ͏model. ͏Den ͏lineære ͏model forudsætter ͏nemlig, ͏at ͏der ͏ikke ͏skydes ͏efter ͏en ͏direkte ͏synlig ͏fjende, ͏men ͏efter ͏et ͏område hvorpå fjenden befinder sig. De allieredes artilleri på havet var temmelig præcist og tyskernes bunkers ͏var ͏samtidig ͏synlige. ͏Tyskerne ͏havde ͏også udsigt ͏til ͏hele ͏stranden, men ͏f.eks. ͏med mortéer, ͏kan ͏det ͏være ͏ganske ͏vanskeligt ͏at ͏ramme ͏præcist. ͏Det ͏kan ͏derfor ͏diskuteres, hvorvidt den lineære model bør tages i betragtning. Alligevel vil Lanchesters modeller være et anvendeligt ͏redskab ͏til ͏at ͏forudsige ͏udfaldet ͏af ͏et ͏slag, ͏hvis ͏man ͏er ͏overbevist ͏om sammenhængen ͏mellem ͏størrelse ͏og ͏nedslidning. ͏Dog ͏kræver ͏det ͏nødvendigvis, ͏at undersøgelsen ͏foretages ͏af ͏kompetente ͏analytikere, ͏der ͏har ͏indsigt ͏i ͏modellernes ͏mangler.

Det ͏vil ͏nok ͏sjældent ͏være ͏forsvarligt ͏at ͏tilrettelægge ͏en ͏invasion ͏kun ͏med ͏baggrund ͏i resultater fra Lanchesters modeller, men de vil uden tvivl kunne give et ͏indt͏ryk af de to hæres indbyrdes styrkeforhold.

Side 20

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

20

7.2 Modellernes egenskaber som analyserende redskab

Med ʼde analyserende egenskaberʼ forstås modellens evner til at kunne fortælle noget om et givent ͏slag, ͏efter ͏slaget ͏har ͏fundet ͏sted. ͏Altså ͏vil ͏undersøgelsen ͏gå ͏ud ͏på ͏at ͏få ͏den ͏valgte model til at͏ passe på et historisk slag. Hvad resultaterne kan bruges til, afhænger af formålet med undersøgelsen. Det skal altså være defineret, hvad formålet med at anvende modellerne er. Grunden til at det gav mening at manipulere med nedslidningskoefficienten i denne opgave er, at formålet netop kun var at anvende modellen for at ende ud i en vurdering af modellens styrker og svagheder. Bruges modellen omvendt som forudsigende redskab ville det altså ikke være ͏muligt ͏på ͏samme ͏måde ͏at ͏tilpasse ͏koefficienterne, ͏men ͏det ͏ville ͏være ͏nødvendigt ͏at beregne ͏sig ͏frem ͏til ͏dem ͏via ͏den ͏komplekse ͏metode. ͏Men ͏det ͏er ͏altså ͏muligt, ͏når ͏man anvender modellerne analyserende, at inkorporere de tidligere nævnte faktorer i beregningen vha. ͏nedslidsningskonstanterne. ͏Dette ͏gøres ͏lettest ͏med ͏den ͏metode ͏der ͏tidl͏igere ͏blev anvendt, ͏hvor ͏nedslidningskoefficienterne ͏udelukkende ͏afhang ͏af ͏forholdet ͏mellem hærstørrelsen og antal uskadeliggjorte fjendtlige hærenheder. Det ͏er dog sjældent at formålet ligefrem ͏vil ͏være ͏at ͏opnå ͏lighed ͏mellem ͏modellens ͏resultater ͏og ͏virkeligheden. ͏I ͏nogle

værker^{35} har ͏anvendelsen ͏af ͏Lanchesters ͏modeller ͏haft ͏det ͏simple ͏formål ͏at ͏teste ͏de

antagelser modellen bygger på. Altså proportionaliteten mellem hærens størrelse og fjendens nedslidning. Et andet formål kunne være et ønske om at arbejde kontrafaktisk med et bestemt slag. ͏Hvis ͏der ͏under ͏sl͏a͏get͏ ͏opstår ͏nogle ͏faktorer ͏der ͏ændre ͏udfaldet ͏markant, ͏f.eks ͏et epidemiudbrud ͏bland ͏tropperne ͏i ͏den ͏ene ͏hær, ͏ville ͏det ͏vha. ͏Lanchesters ͏modeller ͏være muligt ͏at ͏give ͏et ͏bud ͏på ͏slagets ͏udfald, ͏hvis ͏ikke ͏epidemien ͏var ͏opstået. ͏Alt i ͏alt ͏findes ͏der altså en del ͏muligheder for at anvende Lanchesters ͏modeller som analyserende ͏redskab, og det er derfor yderst nødvendigt at have et klart formål med undersøgelsen.

7.3 Videreudviklinger af Lanchesters kvadratiske model

Lanchesters ͏kvadratiske ͏model ͏kan ͏udvikles, ͏og ͏på ͏den ͏måde ͏komme ͏til ͏at ͏tage ͏højde ͏for nogle faktorer der ikke før var mulige at inkorporere. Tidligere blev det nævnt at Lanchesters kvadratiske model, for at give et realistisk billede af slagets udfald, måtte kunne tage højde for at ͏angrebene ͏kom ͏i ͏bølger. ͏Det ͏blev ͏også ͏nævnt, ͏at ͏anvendelsen ͏af ͏Lanchesters ͏modeller ͏i nogle ͏værker ͏har ͏til ͏formål ͏at ͏be- ͏eller ͏afkræ͏fte ͏sandhedsværdien ͏af ͏den ͏underliggende

35

Inter. (4) - Johnson, Ronald L (s. 22)

Side 21

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

21

påstand. J. H. Engel forsøger i afhandlingen ˮA Verification of Lanchesters Lawˮ^{36} at bekræfte

Lanchesters antag͏el͏ser ved at anvende den ͏kvadratiske model på slaget, der fandt sted på Iwo Jima i 1945. På Iwo Jima bekæmpede de amerikanske soldater en mindre styrke af japanske hærenheder. ͏Slaget ͏på ͏Iwo ͏Jima ͏minder ͏om ͏slaget ͏på ͏Omahastranden ͏på ͏den ͏måde, ͏at amerikanerne løbende fik landsat forstærkninger. På samme måde som invasionsstyrken på

Omaha ankom i bølger. I Engels version af den kvadratiske model, findes et nyt led i den ene af ͏ligningerne, ͏og ͏dette ͏led ͏fungerer ͏som ͏udtryk ͏for ͏de ͏vedvarende ͏forstærkninger ͏af ͏den amerikanske styrke: 𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏𝑅(𝑡)͏−͏𝑎͏⋅͏𝐵,͏𝐴͏0͏=͏𝐴_{0},͏𝐴͏>͏0

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝑏͏⋅͏𝐴,͏𝐵͏0͏=͏𝐵_{0},͏𝐵͏>͏0

R(t) ͏er ͏altså ͏en ͏funktion, ͏der ͏angiver, ͏hvor ͏regelmæssigt ͏de ͏amerikanske ͏forstærkninger bliver ͏landsat. ͏Denne ͏ˮEngel-modelˮ ͏ville ͏med ͏stor ͏sandsynlighed ͏have ͏været ͏bedre ͏at anvende ͏på ͏slaget ͏ved ͏Omaha ͏end ͏den ͏oprindelige ͏Lanchestermodel. ͏Endnu ͏en ͏omformet Lanchestermodel ͏er ͏en ͏nyere version ͏af den ͏lineære model. ͏Den ͏har ͏samme ͏form som ͏den

                                              37
lineære, men kaldes imidlertid for guerilla-modellen.

Det skyldes at koefficienterne a ͏og b, der i ͏den ͏lineære ͏model ͏kaldes ͏nedslidningskonstanterne, nu ͏angiver ͏detektionsraten, ͏altså hvor ofte guerilla-soldaterne bliver opdaget af fjenden.

𝑑𝐴 𝑑𝑡

=͏−𝑎͏⋅͏𝐵͏⋅͏𝐴,͏𝐴͏0͏=͏𝐴_{0},͏𝐴͏>͏0

𝑑𝐵 𝑑𝑡

=͏−𝑏͏⋅͏𝐴͏⋅͏𝐵,͏𝐵͏0͏=͏𝐵_{0},͏𝐵͏>͏0

Modellen har altså ikke ændret sig, men betydningen af inputs har. Det faktum at disse to versioner af krigs-modeller begge tager udgangspunkt i den kvadratiske lov, vidner om, at den antagelse som modellerne bygger på, i tilstrækkelig grad er sand, og antagelsen verificerer altså den faktor som antagelsen tager afsæt i, som en af de mest essentielle.

͏

36

Inter. (8.5) – Engel, J. H. (s. 163, l. 1)

37

Inter. (3) - Clausen Svend: Warfare Can Be Calculat͏ed (s.222)

Side 22

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

22

8.͏Konklusion

På D-Day lykkedes det altså de allierede at penetrere atlanterhavsvolden og dermed skabe et brohoved ͏i ͏Nordfrankrig. ͏Særligt ͏på ͏Omahastranden ͏gik ͏det ͏blodigt ͏for ͏sig, ͏og ͏antallet ͏af tilskadekomne ͏eller ͏dræbte ͏lå ͏på ͏omkring ͏de ͏4.500, ͏blot ͏i ͏løbet ͏af ͏de ͏første ͏24 ͏timer.

Lanchesters ͏modeller, ͏der ͏begge ͏består ͏af ͏et ͏sæt ͏koblede ͏førsteordens ͏differentialligninger, kan ͏bruges ͏til ͏at ͏analysere ͏eller ͏forudsige ͏et ͏givent ͏slag ͏ud ͏fra ͏en ͏antagelse ͏om, ͏at nedslidningen af en hæ͏rst͏yrke vil være proportionel med størrelsen af den modsatte styrke.

De ͏koblede ͏differentialligninger ͏er ͏et ͏system ͏af ͏differentialligninger, ͏hvor ͏de ͏uafhængige variabler ͏afhænger ͏af ͏hinanden. ͏Ved ͏en ͏analytisk ͏løsning ͏af ͏ligningerne, ͏er ͏det ͏muligt ͏at omskrive ͏disse ͏til ͏en ͏differentialligning ͏af ͏anden ͏orden, ͏og ͏siden ͏startbetingelserne ͏er tilstrækkelige, kan to løsninger findes med regnemaskinen ti-Nspire. De to løsningsligninger giver ͏anledning ͏til ͏at ͏få ͏tegnet ͏et ͏faseplot ͏og ͏senere ͏en ͏partikulær ͏løsning ͏for ͏netop ͏de omstændigheder, der gør sig gældende på Omahastranden d. 6. juni 1944. Der var imidlertid andre ͏faktorer, ͏end ͏blot ͏størrelsen ͏af ͏hærstyrk͏erne, ͏der ͏sp͏il͏lede ͏en rolle ͏for ͏slagets udfald.

Ved ͏en ͏kildekritisk ͏analyse ͏af ͏to ͏primære ͏kilder, ͏en ͏sekundær ͏kilde, ͏samt ͏en ͏håndfuld

ˮstøttekilderˮ ͏kunne disse faktorer udledes. Faktorer som bl.a.: soldaternes angst, manglen på lederskab, sand og vand i riflerne og for tung udrustning havde indvirkning på slagets udfald.

Og det er altså dermed tydeliggjort, at Lanchesters modeller som forudsigende redskab, kun i ringe grad ͏kan tage højde for disse ͏uforudsigelige faktorer. Det betyder dog ikke nødvendigvis at ͏modellerne ͏er ͏ubrugelige, ͏men ͏at ͏de ͏kan ͏bruges ͏som ͏hvad ͏de ͏er, ͏altså ͏matematiske modeller, ͏der ͏uden ͏at ͏være ͏fuldstændig ͏præcise, ͏giver ͏en ͏teoretisk ͏forudsigelse ͏af ͏slagets udfald. Som analyserende redskab kan modellerne anvendes til at skitsere krigens forløb via f.eks. faseplot, samt give et udgangspunkt for et͏ kontrafaktisk arbejde med et givent slag. De videreudviklede ͏modeller, ͏giver ͏til ͏sidst ͏en ͏forståelse ͏for, ͏hvordan ͏det ͏er ͏muligt, ͏med udgangspunkt i Lanchesters kvadratiske model, ͏at udforme modeller der kan tage ͏højde for nogle ͏af ͏de ͏faktorer ͏den ͏kvadratiske ͏model ͏ikke ͏kan ͏inkorporere. ͏På ͏samme ͏måde ͏som ͏de vidner ͏om ͏at ͏Lanchesters ͏antagelse, ͏til ͏en ͏hvis ͏grad, ͏er ͏sand. Lanchesters ͏modeller ͏er ͏altså med de nævnte forbehold et udmærket redskab til krigsanalyse.

Side 23

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

23

9. Litteratur

9.1 Bøger

Bog (1) - Beevor, Antony – D-DAG Kampen om Normandiet – 1. Udg. 2. Oplag. (2009)

Bog (2) - Clausen, Flemming mfl.: Gyldendals Gymnasiematematik A – 1. Udg. 1. Oplag.

Bog (3) - Fracois, Dominique: Normandy: From D-Day to the Breakout: June 6-July 31, 1944 Bog (4) - Kristensen, Erik: Differentialligninger – 2. Udgave (1973)

Bog (5) - Rothberg, Abraham: Øjenvidner til 2. Verdenskrig

Bog (6) - Sohn, Mikkel: Håndbog til historiefaget (2014)

Bog (7) - Larsen, Niels, mfl.: Gads Matematik: Integralregning og differentialligninger (1990) Bog (8) - Hebsgaard, Thomas: Højniveaumatematik 2 – 1. Udg. 1. Oplag (1999)

9.2 Hjemmesider med forfatter

Inter. (1) - Andersen Michael – Guide til D-Day og Operation Overlord:

http://www.mhweb.dk/d-dag/temaer/t_overlord.htm set d. 14/12-2016

Inter. (2) - Choi, Jacob: Combat evolved: Lanchester Models in Combat::

http://dra.american.edu/islandora/object/0809capstones%3A18/datastream/PDF/view
set d. 9/12-2016

Inter. (3) - Clausen Svend: Warfare Can Be Calculat͏ed:

www.springer.com/.../9783764316341-c11.pdf?...0...p2322058 set d. 19/12-2016

Side 24

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

24

Inter. (4) - Jacobsen, Lærke Bang – Youtube video: Analytisk løsning af koblede

differentialligninger: https://www.youtube.com/watch?v=Q32tYqthZQc&t=82s set d. 10/12-

2016

Inter. (5) - Johnson, Ronald L. - Lanchesters square law in theory and practise:

http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a225484.pdf set d. 9/12-2016

Inter. (6) - Lee, Ying-chu – The estimation of Lanchester attrition rate coefficients for an aggregated combat model:

https://archive.org/stream/estimationoflanc00leeypdf/estimationoflanc00leey#page/n0/m
ode/2up set d. 17/12-2016

Inter. (7) - Nissen, Knud mf. - Numerisk/grafisk løsning af differentialligninger med ti-Nspire
cas 1.7: https://education.ti.com/sites/DANMARK/downloads/pdf/NUMERI-1.PDF set d.
10/12-2016

Inter. (8) - Washburn, Alan: Lanchester systems:

http://faculty.nps.edu/awashburn/Files/Notes/Lanchester.pdf set d. 9/12-2016

Inter. (8.5) – J. H. Engel: A verification of Lanchesterʼs laws:

http://www2.kenyon.edu/Depts/Math/Paquin/LanchesterVerification.pdf set d. 20/12-2016

9.3 Hjemmesider uden forfatter

Inter. (9) – D-Day in numbers: http://www.itv.com/news/2014-06-06/d-day-in-numbers-
the-remarkable-statistics-behind-the-largest-seaborne-invasion-in-history/ set d. 20/12-

2016

Inter. (10) - Eyewitnesstohistory.com: Invasion of Normandy, June 6, 1944: On the Beach"

EyeWitness to History, (2010): http://www.eyewitnesstohistory.com/pfdday2.htm set d.
17/12-2016

Side 25

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

25

Inter. (11) - Moirano, Sergio. Interview Foretaget af den amerikanske ambassade i Belgien.

Mr. Sergio Moirano; D-Day veteran. https://www.youtube.com/watch?v=XGBAt4egoK set d.
17/12-2016

Inter. (12) - Undervisnings ministeriet: Matematik A studentereksamen -

Forberedelsesmateriale til digital eksamen:

http://hyl.fi/~mrahikka/itk15/StxA2014internetpreparationmaterial.pdf set d. 9/12-2016

Inter. (13) - Youtube video: forklaring: Differentialligningssystemer.

https://www.youtube.com/watch?v=doiA-7nzsU4 Set d. 7/12-2016

Inter. (14) - Webmatematik – Differentialligninger:

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/differentialligninger/hvad-er-
differentialligninger set d. 11/12-2016

Inter. (15) Wikipedia: Omaha Beach: https://en.wikipedia.org/wiki/Omaha_Beach set d.
16/12-2016.

Inter. (16) WWW.ddaymuseum.uk: D-Day and the battle of normandy:

http://www.ddaymuseum.co.uk/d-day/d-day-and-the-battle-of-normandy-your-questions-
answered set d. 19/12-2016.

Inter. (17) – WWW.Webmatematik.dk: Differentialligninger:

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/regneregler-for-
differentialkvotiente set d. 19/12-2016

Side 26

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

26

10.͏Bilag

10.1 Bilag (1)^{38}

Oversigt over størrelsen af militære enheder, for netop landgangen d. 6 juni 1944.

38

Beevor, Antony (s. 14-15)

Side 27

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

27

10.2 Bilag (2)^{39}

Kort over invasionsplanen. Bl.a. hele kysstrækningen samt tyske og allierede styrker er skitseret. (Zoom for tydeligt billede).

39

Beevor, Antony. (kortet er aftegnet på omslagets inderside.)

Side 28

Studieretningsprojekt: ˮLanchester modellerneˮ

Viktor Lindegren Jakobsen, 3.g

28

10.3 Bilag (3)

Her følger et uddrag fra en beretning af Robert Edlin:

Fundet på: http://www.eyewitnesstohistory.com/pfdday2.htm