SOP om Poker og Ludomani i Matematik og Samfundsfag - HTX

Side 1

Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har ikke anvendt tidligere bedømt arbejde uden henvisning hertil, og opgavebesvarelsen er udfærdiget uden anvendelse af uretmæssig hjælp og uden brug af hjælpemidler, der ikke har været tilladt under prø-ven. ______________________________.

Poker og ludomani

Matematik A & Samfundsfag B

[navn fjernet], 3.n, Aarhus Tech

SRP-Opgave i fagene Matematik A & Samfundsfag B

Med vejlederne:

Side 2

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 2 af 24

Abstract

This paper examines problem gambling and poker in the postmodern society. In recent years play-ing poker has grown exponentially, due to gaining a high amount of media attention. This has re-sulted in a lot more people playing poker as well. However, with poker, and with every other game which involves some sort of gambling, come prob lem gamblers. Thus I have chosen to analyze the consequences of being a problem gambler. This has been done through an analysis of the data provided by SFI and other various research sites.

Besides of analyzing the consequences of problem gambling, the study is focused on the work with the mathematics of poker. By using combinatorics and probability theory, the goal of the study is to analyze the probability of a range of hands in poker.

The study indicated that there is a link between problem gambling and suicide. Furthermore, it is indicated by the study, that people who suffer from problem gambling tends to commit crime.

There is a significant relationship between problem gambling and suicides. Roughly half of the

5000 people affected by problem gambling in Denmark have had serious thoughts of attempting suicide. The results also show that 25 % of the problem gamblers have committed crime in order to either keep playing, or pay their debts back.

The mathematical results show that the probability of getting four of a kind on the flop is 0,024 %, and getting a straight is 0,3925 %. The chance of getting a royal flush equals to 0,0925 %, granted that you have three of the cards needed in order to complete a royal flush on the flop. Furthermore it is concluded, that poker requires skill and not luck solely.

Side 3

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 3 af 24

Indholdsfortegnelse

Abstract ................................................................................................................................................ 2 Indledning ............................................................................................................................................ 4 Begrebet ludomani ............................................................................................................................... 4 Erving Goffman & Anthony Giddens .................................................................................................. 5 Erving Goffman ............................................................................................................................... 5 Anthony Giddens ............................................................................................................................. 6 Texas Hold’em ..................................................................................................................................... 7 Spillet ............................................................................................................................................... 7 Sandsynlighed for fire ens og straight som starthånd ...................................................................... 8 Fire ens som starthånd.................................................................................................................. 8 Straight som starthånd .................................................................................................................. 9 Bayes’ formel ..................................................................................................................................... 10 Royal flush ......................................................................................................................................... 12 Ludomaniens konsekvenser ............................................................................................................... 12 Analyse af ludomaniens konsekvenser .......................................................................................... 12 Diskussion af spilafhængighed ...................................................................................................... 14 Perspektivering............................................................................................................................... 15 Konklusion ......................................................................................................................................... 16 Litteraturliste ...................................................................................................................................... 18 Bøger .............................................................................................................................................. 18 Internetmateriale ............................................................................................................................ 18 Bilag ................................................................................................................................................... 20 Bilag 1 – Spilleregler i poker. ........................................................................................................ 20 Bilag 2 – Grundlæggende sandsynlighedsteori .............................................................................. 22 Bilag 3 – Problemspillere med økonomiske problemer ................................................................. 24

Side 4

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 4 af 24

Indledning

I flere årtusinder har spil været en del af menneskeheden. Det er ikke fastslået præcist hvornår men-nesket begyndte at spille, men det anses for sandsynligt, at mennesket i flere tusinde år har spillet om kvinder, rigdom og mad. [1]

De første spil i historien vi kender til, er primært enten væddemål eller terningespil – væddemål der ofte involverede risici for at miste livet eller blive slave. [2] Kigger vi nærmere på hvordan sagerne forholder sig i dag, er der klart sket en udvikling fra de sim-ple væddemål og terningespil. Disse findes dog stadig, og der er da også blevet spillet Hazard – hvilket senere er blevet udviklet til spillet Craps – lige siden det 13. århundrede og frem til i dag. [3] Poker har sammen med andre kortspil vundet popularitet siden begyndelsen af det 20. århundrede [4].

Spil af denne art har desuden medført en lidelse kaldt ludomani, og i det anslås det at der i dag er

5.000 danskere med denne lidelse^{5}.

Hvilke konsekvenser det kan have for samfundet og det enkelte individ, hvis vi ikke gør noget ved ludomani? Hvad vil det sige at være ludoman i det senmoderne samfund, og hvad er matematikken bag poker, et af de mest populære spil hvor der hurtigt bliver omdistribueret penge? Følgende opga-ve vil have til formål at diskutere dette, hvor samfundsanalytiske metoder og sandsynlighedsteori vil have til formål at fordybe sig i en verden af matematik, poker og ludomani. Pokerspillet diskute-ret i opgaven vil være af varianten Texas Hold’em.

I opgaven vil jeg til start gøre kort rede for hvad ludomani er og hvilken betydning den har, efter-fulgt at en redegørelse for Erving Goffmans og Anthony Giddens sociologiske begreber der har relevans til ludomani. Bayes’ formel vil også blive forklaret. Derudover vil jeg redegøre for poker-spillet Texas Hold’em, og analysere diverse sandsynligheder for forskellige udfald i poker. Slutte-ligt vil jeg analysere konsekvenserne af ludomani, diskutere hvilken indflydelse dette har på individ og samfund og perspektivere ud fra en matematisk betragtning til gevinststørrelse og vinderchan-cerne i Texas Hold’em.

Begrebet ludomani

Ludomani er i sin enkleste betragtning, når spil bliver det altafgørende i hverdagen, og alt andet bliver rangeret lavere end spil. [6]

Det kan være familien, vennerne, gamle fritidsinteresser, økono-misk stabilitet og uddannelse som alle kommer i anden række, fordi ludomanen tænker på spil døg-net rundt. Her er definitionen på spil noget, som involverer mere end én spiller, og som involverer penge. Oftest tales der om hasardspil i sammenhæng med ludomani.

I denne tilstand mister penge sin betydning, og er alene fundamentet for at der kan spilles videre.

Der spilles desuden ikke videre for at få den fornemmelse tilbage i kroppen, man havde, da man

1

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 26

2

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 28

3

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 28

4

Bohn's New Handbook of Games

5

skm.dk/presse/pressemeddelelser/ministeren/1.delafludomaniundersoegelseoffentliggjort.html

6

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 79

Side 5

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 5 af 24 startede med at spille. Ludomanen er klar over at hans adfærd ikke er hensigtsmæssig, men er ikke selv i stand til at stoppe den. [7]

Nu spilles der blot for det spinkle håb, at den store formue man har øset væk på spil kan vindes tilbage. [8]

Indsatserne forøges af samme grund, men i stedet for at vinde det tabte tilbage, sker der det samme i de langt de fleste tilfælde: Man taber flere og flere penge.

Samtidig med at man mister flere og flere penge på spil, skal den ludomane også forsøge at holde sin hverdag sammen. Det ender ud i en lang række løgne, til familien og ens omgangskreds for at holde fast i de stumper af sit liv man har tilbage. [9]

Det er et uklart grænseland, hvad definitionen på at være ludoman reelt set er. Dette skyldes blandt andet, at det er forholdsvis nyt at arbejde med spilleafhængighed som en lidelse [10]. For at kunne klargøre dette lidt mere, har forskellige organisationer fremsat nogle forslag, til hvad de mener man kan definere ludomani som. Den anerkendte definition er formuleret af World Health Organization, og lyder:

”Spilleafhængighed er en tilstand, der griber omfattende ind i personens liv på be-

                                                                 11
kostning af sociale, arbejdsmæssige og familiemæssige værdier og forpligtelser”.

Erving Goffman & Anthony Giddens

Erving Goffman

Erving Goffman undersøgte fremkomsten af sin identitet på et mikrointeraktionsniveau. Erving Goffmans teori går på at livet er et skuespil. Det skal ikke forstås således, at livet er noget man skal tage let på, men skal derimod forstås som, at vi alle sammen spiller forskellige roller i forskellige situationer. Hvilke roller vi spiller, og dermed udfører, kommer helt an på det miljø man befinder sig i, og hvilke personer der er til stede, på et givent tidspunkt. Ifølge Erving Goffman, bliver ens identitet dannet ud fra udførselen af de forskellige roller vi påtager os. Dermed nødvendiggør Er-ving Goffman også en sammenhæng, hvori en person kan spille en rolle, for at en person kan have

         12
en identitet.

Der spilles rollespil i alle interaktioner mellem mennesker. Så snart et menneske tager kontakt til et andet menneske, enten ansigt-til-ansigt eller indirekte, så spiller man nogle ganske bestemte roller. [13] Idéen er, at man opfører sig forskelligt, alt efter hvilke situationer man befinder sig i.

Den optræden som en person foretager sig i en sammenhæng med andre mennesker, er dybt af-hængig af hvad personen, og altså den optrædende, prøver at overbevise publikummet om. [14] Samti-dig er publikums rolle også afhængig af hvad den optrædende foretager sig. Dermed bliver begge aktører afhængige af hinanden, og sammen hjælper de hinanden til at opholde hinandens face. Et

7

selvmordsforskning.dk/filecache/9396/92/nr.10.pdf

8

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 86

9

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 85

10

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 74

11

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 75

12

The Presentation of Self in Everyday Life s. 1-9

13

The Presentation of Self in Everyday Life s. 10-13

14

The Presentation of Self in Everyday Life s. 13

Side 6

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 6 af 24 face er det selvbillede man handler i overensstemmelse med, dvs. den rolle man påtager sig i en interaktion. Det, at opretholde hinandens faces kaldes for face-work. Man anerkender at modparten er i rolle og derfor har et face. [15]

Eksempelvis skal en tjener skal opføre sig høfligt overfor gæsterne, og gæsterne forventes at bestille varer med manér. Dette sted, hvor rollerne udøves, kaldes for front-stage, da det er her rollerne udspilles. Men når tjeneren går ud i køkkenet til de andre ansatte, slipper han rollen som tjener, og går back-stage, dvs. der hvor kun de optrædende er til stede. Her behøver tjeneren ikke længere at være høflig over for alt og alle, men kan tage sin ”rigtige” person-

           16
lighed til sig.

Front-stage består grundlæggende af den scene man er i – og man kan derfor ikke udføre sin rolle, hvis man ikke er på den rigtige scene. Det nytter eksempelvis ikke noget for tjeneren at udføre sit arbejde som tjener, hvis han ikke er på sin arbejdsplads dvs. i restauranten. [17] Scenerne bliver der-med alle de forskellige steder man opholder sig igennem dagen, og hvor man risikerer at skulle konvertere med andre mennesker – og dermed risikere at være aktør. Disse scener kunne være på ens arbejdsplads, i hjemmet, i bussen osv.

Anthony Giddens

Anthony Giddens arbejder med to faseovergange til det senmoderne samfund. Det første samfund vi havde, var et traditionelt samfund. I dette samfund var vi i høj grad bundet til de traditionelle livs-former og diverse fællesskaber som familien, lokalsamfundet og samfundsklasserne. Med overgang fra det traditionelle samfund til det første moderne samfund, blev vi befriet fra disse bindinger.

Feudalsamfundet opløstes og industrialisering, retsstaten og kapitalismen indførtes. [18] Videre fra denne modernitet kommer den anden modernitet, som vi kender i dag: senmoderniteten. Senmoder-niteten medførte øget refleksivitet. Refleksivitet vil sige at vi konstant overvejer vores handlinger og adfærd i forhold til ny viden og erfaringer. Men udover at vi, som individer og aktører, får for-øget refleksivitet [19] mht. vores handlinger, så begynder institutionerne også at reflektere over deres egen praksis. Vi får altså et samfund, hvor både individ og institution er reflekterende. [20] Vi har uendelig mange muligheder og valg, som vi kan tage, og som hver især former vores liv.

Små hverdagsting får stor betydning: ”Skal jeg tage bussen eller bilen?” bliver blot et af de mange valg, vi kan tage, ift. identitetsdannelse. Vi danner vores grundlag for disse handlinger ud fra for-nuft og rationalitet i senmoderniteten, og ikke længere vores traditioner, som var grundlaget for de

                                   21
fleste handlinger i det traditionelle samfund.

15

Interaction Ritual: Essays on Face-to-Face behavior s. 5-13

16

The Presentation of Self in Everyday Life s. 69

17

The Presentation of Self in Everyday Life s. 13-14

18

denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Sociologi/Samfund/industrisamfund

19

Modernitet og selvidentitet s. 32

20

Classical and Modern Social Theory s. 384

21

Classical and Modern Social Theory s. 385

Side 7

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 7 af 24

”Earlier, people would get married because it was a natural part of tradition. Today, people still get married, not because tradition says they have to, but more as a part of

                 22
a reflexive process.”

Vi er ikke fastlåst af vores forældres rammer længere. En skomagersøn bliver derfor ikke nødven-digvis skomager, blot fordi hans fader var det. Ny viden og erfaring forandrer hvordan vi ser verden på, og vi reflekterer og genovervejer, om hvilke nye valg vi skal foretage os. Denne øgede refleksi-vitet resulterer i at vores bevidsthed om dagligdagens risici øges, hvilket bl.a. kan ses ud af, at mid-dellevealderen er steget markant [23]. Vi forandrer selv hvem vi vil være, og selvbiografien, eller vores livsprojekt, er derfor under konstant revidering. Vi bliver selv ansvarlige for at få dannet os en iden-

                         24
titet i det senmoderne samfund.

Texas Hold’em

Spillet

Texas Hold’em er den mest populære form for poker-spil^{25}, og dateres helt tilbage til begyndelsen

af 1900-tallet. [26] Texas Hold’em blev dog først populært i 1980’erne, hvor over hundrede mennesker deltog i World Series of Poker 1982, Texas Hold’em – mere end en 10-dobling af antal deltagere ift.

                2728
blot 10 år tidligere. I de senere år har Texas Hold’em nydt godt af mediernes øgede opmærk-

somhed på spillet. Dette skyldes i høj grad, at man begyndte at vise de kort som spillerne har, på direkte TV [29]. Det gjorde det mere interessant for publikum at se med, når spillerne traf deres beslut-ning. I dag bliver spillet både spillet online og på kasino. I Texas Hold’em spilles der med et nor-malt sæt spillekort bestående af 52 kort, dvs. at ingen jokere indgår.

Spillet Texas Hold’em er en pokervariant for 2-10 spillere hvor målet er, at skabe den bedst mulige hånd. Dette gøres ud fra de kort man får tildelt sig til at starte med, sammen med de kort som ligger på bordet. De kort hver enkelt spiller får tildelt hedder hole cards og de kort som ligger på bordet hedder community cards. Det er altså ud fra ens hole cards og community cards, at man skal prøve at opnå den stærkeste mulige hånd. Hole cardsene er ens ”egne”, i den forstand at ingen andre af spillerne ved bordet kender til dem, eller kan bruge dem for at forstærke sin egen hånd. Community cardsene er fælleskort, som alle i spillet kan bruge til at skabe den bedst mulige hånd. Man får hver især 2 hole cards, og undervejs i spillet kommer der 5 community cards. [30]

De forskellige kombinationer man kan fremstille med community og hole cardsene ses nedenfor.

Royal flush er den bedste hånd, straight flush den næstbedste osv. nedefter.

22

Classical and Modern Social Theory s. 385

23

eu-oplysningen.dk/upload/application/pdf/d7a1fe6a/levetid%20okt%202006.pdf

24

Modernitet og selvidentitet s. 21-48

25

pokerstars.com/poker/games/texas-holdem/

26

legis.state.tx.us/tlodocs/80R/billtext/html/HC00109H.htm

27

pokerdb.thehendonmob.com/event.php?a=r&n=8187

28

pokerdb.thehendonmob.com/event.php?a=r&n=8100s

29

hotpokerbonus.com/online_poker_boom.php

30

pokerlistings.com/poker-rules.

Side 8

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 8 af 24

Figur 1 Pokerhænder og rangering. Kilde: pokerlistings.com/poker-rules

Det skal nævnes, at man maksimalt kan kombinere fem kort. Man kan derfor ikke få to gange tre ens mm.

Poker-spillet er bygget op således: Pre-flop, flop, turn, river, showdown – og består derfor af 4 run-der samt fremvisning af kortene (showdown). På flop vendes der tre kort community cards, på turn et kort, og på river ét mere. Vinderen er den med den stærkeste hånd ved showdown, medmindre alle undtagen én spiller er gået ud tidligere i spillet. Da vil den tilbageværende spiller vinde.

Hvis reglerne ønskes uddybet, henvises der til bilag 1.

Sandsynlighed for fire ens og straight som starthånd

I følgende afsnit vil jeg analysere sandsynligheden for at få en straight eller fire ens som starthånd.

Med starthånden menes der hole cardsene og de tre første community cards, altså floppet. Der tages der udgangspunkt i, at et kortspil har 52 kort og det ikke indeholder jokere. Der arbejdes med et symmetrisk sandsynlighedsfelt, dvs. at sandsynligheden for hvert udfald er lige store.

En grundlæggende gennemgang af sandsynlighedsteorien findes i bilag 2.

Fire ens som starthånd

Der ønskes at finde sandsynligheden for at få fire ens som starthånd. Det første der skal gøres er at udregne hvor stort udfaldsrummet er. Det vil sige det antal kombinationer, som kan skabes med 5 kort. Det gør sig gældende i mit arbejde med kombinationer, at rækkefølgen ikke spiller nogen be-tydning. Derfor bruges følgende formel:

        n !
                                                   31
K n r ( ) , , hvor r er antal objekter man kan udvælge af n forskellige objekter. =
       !! −

r n r ( )

Det er lige meget hvilken rækkefølge jeg får fire ens i, så længe udfaldet jeg får er fire ens.

Der er 52 mulige kort at trække, hvoraf vi trækker 5 kort. Dermed bliver antallet af kombinationer : n er lig 52, og r er lig 5.

5! 52 5 !^{=}^{2598960} ( ) −

52!

Hvilket medfører at udfaldsrummet har 2598960 udfald.

Nu kender vi alle de mulige udfald, og skal derefter beregne de gunstige. Eftersom når vi har begge disse tal kan vi udnytte formlen og udregne sandsynligheden.

antal gunstige antal mulige

31

MAT A – s.261-262

Side 9

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 9 af 24

Når man skal have fire ens, er der 13 forskellige muligheder for at danne hånden. Enten med toere,

treere, firere osv. op til esserne. For hver af disse 13 muligheder, er der 52 4 48−= muligheder

( ) for sidekortet – altså det kort ud af de fem, som ikke bruges til at danne de fire ens. Dermed bliver antallet af udfald for fire ens:

13 48 624 ⋅=

Der er altså 624 gunstige udfald.

Sandsynligheden for at få fire ens som starthånd bliver dermed:

− 4

624

=⋅ 2,41537 10 0,024%≈

2598960

Straight som starthånd

Fremgangsmåden for at finde sandsynligheden for straight som starthånd er reelt set den samme, som da jeg udregnede sandsynligheden for de fire ens. Man skal dog fratrække sandsynligheden for at få en royal flush og straight flush fra, da selvom disse er straights, ikke ville tælle som straights i et spil poker.

Først udregnes sandsynligheden for at få en royal flush. Der er 4 forskellige kombinationer, som giver en royal flush. Kravet er jo, at en royal flush er 10-J-Q-K-A i samme kulør, og den kommer i

4 forskellige kulører. Dermed bliver sandsynligheden for at få en royal flush som starthånd:

− 6

4

= ⋅ ≈ 1,,00015%

2598960

Dernæst udregnes sandsynligheden for at få en straight flush eksklusivt royal flush. Antallet af for-skellige straight flushes, udregnes ved at tage den højeste værdi for hhv. den bedste og den dårligste straight og trække dem fra hinanden. Den bedste straight flush har sin højeste værdi konge, hvis repræsentative værdi er 13. Den dårligste straight flush har den højeste værdi 5. Dermed bliver an-tallet af muligheder:

13 5 1 9 − + =

Der lægges 1 til, da vi er interesset i det samlede antal muligheder, og ikke blot "afstanden" mellem den

bedste/dårligste straight flush.

De forskellige mulige straight flush er som følgende:

A 6 7 8

J 8 9 10 J Q

9 10 J Q K

Hver af disse muligheder kommer i fire kul rer, og dermed bliver antallet af de gunstige her: ø

9 4 36 ⋅=

Side 10

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 10 af 24

− 5

36

= ⋅ ≈ 1,,0014%

2598960

Nu kan man endeligt udregne sandsynligheden for at få straight ud. Hvis vi ser samlet på alle stra-ightsene, må der være 10 forskellige kombinationer af straights. Der er nemlig én kombination som vi ikke regnede, med under udregning af straight flushene. Det er den hvor es er den højeste værdi.

Lægger vi den til de 9, får vi 10 forskellige kombinationer. Det ser vi af følgende skema:

A 6 7 8

J 8 9 10 J Q

9 10 J Q K 10 J Q K A

Da kuløren af kortene er underordnet bliver sandsynligheden for at få en straight som starthånd :

1! 4 1 ! ( ) −

5

4!

10 10240 ⋅=

10240

= 0,

2598960

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

( )

−− 56
0,1,,00 − ⋅ − ⋅ ⋅ 0,3925%≈

Der opløftes i 5. da skal bruges 5 kort. Slutteligt blev der i regnestykket trukket sandsynlighederne for royal flush og straight flush fra.

Bayes’ formel

Bayes’ formel udtrykker sammenhængen mellem sandsynligheden for to hændelser og de tilhøren-de betingede sandsynligheder. Lad os forestille os, at en patient tager til lægen, for at finde ud af om han er syg. Lægen udfører en test på ham med 99 % pålidelighed. Dette betyder, at i 99 % af tilfæl-dene tester den de syge patienter positive dvs. syg, og i 99 % af tilfældene tester den de raske pati-enter negative dvs. ikke-syg. Doktoren ved, at kun 1 % i landet er syge. Resultatet fra testen er posi-tiv – hvad er sandsynligheden for at patienten er syg? Dette kan udregnes vha. Bayes’ formel. [32] Lad os bruge eksemplet omkring sygdom nævnt tidligere for at vise fremkosten af Bayes’ formel.

P A B B ( ) | , hvor P 0^{∩} =≠_{PB} ( )

P A B ( )

( )

Lad A være den hændelse, at patienten er syg, og B den hændelse, at testen er positiv. Dermed bli-ver fællesmængden for ( ) AB∩ når patienten er syg og testen er positiv. At spørge ( ) |P A B sva-rer altså til at spørge, hvad sandsynligheden for at patienten er syg, forudsat at testen er positiv.

32

scientificamerican.com/article.cfm?id=what-is-bayess-theorem-an

Side 11

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 11 af 24

Vi kan også spørge omvendt. Hvad er sandsynligheden for at testen er syg, forudsat patienten er syg?

Altså: P B A A | , hvor P 0 =≠.

( ) ( )

P A B ( ) ∩

PA ( )

Sætter vi de to ligninger op mod hinanden, får vi følgende:

Vi isolerer mht. i begge udtryk. P A B ( ) ∩

          ∩
P A B B P A B P A B P B ( ) | , hvor P 0 | = ≠ ⇔ ∩ = ( ) ( ) ( ) ( )
        PB

P A B ( )

( )

          ∩
P B A A P A B P B A A ( ) | , hvor P 0 | P = ≠ ⇔ ∩ = ( ) ( ) ( ) ( )
        PA

P A B ( )

( )

⇒= P A B P B P B A A ( ) ( ) ( ) ( ) | | P

( )

Udtrykkene sætter vi lig hinanden

Hvilket er det samme som at sige, at P er det

AB

∩

P B A A ( ) ( ) | P kan indsættes i det originale betingede sandsynlighedsprinip.

⇒ = ≠ P A B B ( ) | , hvor P 0_{PB}^{|P} ( )

P B A A ( ) ( )

( ) samme, om man ser det fra A's eller B's synspunkt.

Hvilket er Bayes' formel, der beskriver sammenhængen mel lem to hændelser og de tilhørende betingede sandsynligheder.

Vi kan udregne sygeeksemplet fra f r med Bayes’ formel. ø

Syg betyder at personen er syg (A), og her er givet som at testen er positiv (B). +

Da der er en klassedeling af udfaldsrummet B, skal vi bruge fo rmlen for total sandsynlighed.

     n
P B P B A P A ( ) ( ) ( ) = |
           ii

PB ( ) kan ifølge loven for total sandsynlighed udtrykkes som:

P B P Syg P Syg P Ikke s ( ) ( ) ( ) = + + + − || ( ) ( ) yg P Ikke syg −

∑_{i}_{=}_{1}

Klassedelingen består i at enten er man syg, eller også er man ikke syg.

Hvilket indsættes i stedet for P i nedenstående: ( ) B

P Syg ( ) | +=

P Syg P Syg ( ) ( ) + |
P Syg P Syg P Ikke syg P Ikke syg ( ) ( ) ( ) ( ) + + + − − ||

            0,99 0,01
P Syg ( ) | 0,5 50% + = = =

0,99 0,01 0,01 0,99 ⋅ + ⋅

Hvis testen er positiv, er der altså 50% sandsynl

⋅ ighed for at patienten er syg. Dette kan virke over-raskende, da testen er 99% pålidelig. Det skyldes dog, at alle de raske patienter testes syge i 1% af tilfældende. 99% må derfor siges at være en lav pålidelighed.

Side 12

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 12 af 24

Royal flush

Jeg vil her analysere sandsynligheden for at få en royal flush ud fra en starthånd, som ikke er en royal flush, i fjerde og afsluttende runde af spillet.

Jeg vælger selv de tre community cards, og de to hole cards som spilleren har. Man kan ikke få roy-al flush før river i denne situation, da kortene er valgt således, at der mangler to kort i kombinatio-nen. For at dette kan lade sig gøre, skal man have tre af de kort der indgår i royal flushen i starthån-den. Bemærk at beregningerne nedenfor tager udgangspunkt i at der kun er én spiller ved bordet, uanset hvad figuren måtte antyde:

Figur 2 Pokerbord m. royal flush mulighed.

Spilleren er blevet tildelt kortene A♦J♦ og floppet består af Q♦4♠K♣. Spilleren har altså kun muligheden for at få 10♦J♦Q♦K♦A♦ som royal flush. Turn og river skal derfor være 10♦ og K♦. Der er 1 mulighed for at få royal flush.

2! 47 2 !^{=}^{1081} ( ) −

Der er (52-5)=47 forskellige kort vi ikke kender til. Der skal trækkes 2 kort. Antallet af kombinationer

bliver derfor :

47!

Sandsynligheden for royal flush bliver i dette eksempel:

− 4

1

= ⋅ ≈ 9,20352 10 0,0925%

1081

Ludomaniens konsekvenser

Analyse af ludomaniens konsekvenser

For at analysere konsekvenserne af ludomani i det senmoderne samfund, har jeg benyttet mig af kvantitativ metode. Dataene stammer fra en rapport udstedt af SFI (Det Nationale Forskningscenter for Velfærd) d. Rapporten lavet på baggrund af en repræsentativ stikprøve i den danske befolkning i alderen 18-74 år. De relevante data er vedlagt som bilag.

Der findes 5000 ludomaner i Danmark [33], og af disse er 80 % mænd. [34]

8 % af problemspillerne (de ludomane) har haft økonomiske problemer forårsaget af pengespil [35]. Man kan undre sig over, hvor-for disse spillere bliver ved med at spille, når de ved at de har allerede er i økonomiske vanske-ligheder. For nogle handler det om at få suset, men for mange handler det om at få tilbagebetalt de

33

sfi.dk/pressemeddelelser-4599.aspx?Action=1&NewsId=621&currentPage=10&PID=9206

34

gambler.ludomani.dk/fakta-om-ludomani

35

Bilag 3

Side 13

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 13 af 24 penge skylder. [36] Fænomenet kaldes chasing, og betyder at man kommer tilbage til det samme kasi-no for at vinde de tabte penge hjem. At fænomenet chasing opstår, skyldes blandt andet at spillerne ikke bruger sandsynlighedsregning. Deres tankegang er: ”nu har jeg tabt i 1 uge, så nu må det være min tur til at vinde!”. Endvidere husker de kun på succeshistorierne, og de gange de har tabt, bliver skubbet til side. Fænomenet kaldes for selektiv hukommelse.

Når man så er ude i økonomiske vanskeligheder, kan det være svært at overskue situationen. 2 % af problemspillerne har lånt penge for at kunne komme ud af denne situation, i et omfang af 5.000 kr.

til 100.000 kr. [37] Det er imidlertid ikke et enormt problem med problemspillere der låner penge, men ser man relativt på det, er det 25 % af problemspillerne i økonomiske vanskeligheder, som har lånt penge.

Men det er ikke blot lån ludomanerne går efter. Mere end 25 % af alle de som søger behandling for ludomani har begået kriminalitet, for at kunne spille videre, eller komme ud af de økonomiske van-skeligheder. [38] Der er altså en tydelig sammenhæng mellem at være ludoman, og begå kriminalitet.

Kriminalitet fører ofte til fængselsstraffe til den skyldige og erstatningssager for den udsatte. Samti-dig mister vi den arbejdskraft den skyldige kunne have bidraget med, hvis personen ikke sad i fængsel. Det koster endvidere penge at have folk i fængsel. Det er altså et kæmpe økonomisk spild, som kunne have været undgået, hvis blot man havde sat ind i tide.

Det sker dog også, at det ikke er kriminalitet man tyr til. Der er den anden og meget værre faldgrube:

At begå selvmord. Det sker simpelthen, at man ikke længere kan overskue situationen man er hav-net i. Der er en tydelig sammenhæng mellem antal selvmord og ludomani, hvis vi ser på statistikken.

Halvdelen af de 5.000 ludomaner der findes i Danmark har således været i seriøse overvejelser om

selvmord.^{39}

Selvmord er uheldigt både for individet, men også for samfundet. Det er en meget trist skæbne at få, som individ, ikke at kunne se andre udveje end at tage sit eget liv. Problemerne har vokset sig så store, at uden eksperthjælp kan det være meget svært for individet at overskue problemerne. Endvi-dere skal samfundet tage sig af de berørte, og samtidig mister vi potentiel arbejdskraft. I en tid hvor vi sandsynligvis får brug for mere arbejdskraft end nogensinde, grundet at forholdet mellem offent-lig- og private ansatte og antallet af overførselsmodtagere svinger længere over i overførselsmodta-gernes favør [40], er det rigtig uheldigt at miste folk på denne måde. Det er dog en relativ lille gruppe ift. antal indbyggere i Danmark, som overvejer at tage sit eget liv som følge af ludomani, men ikke desto mindre har vi brug for al den arbejdskraft, der er til rådighed. Alt i alt koster ludomani sam-fundet unødvendige penge at skulle tage sig hånd af dette. Havde problemerne været behandlet i tide, havde vi måske ikke mistet disse folk og deres arbejdskraft på arbejdsmarkedet.

36

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 89-90

37

Ludomani i Danmark II s. 58.

38

danskmisbrugsbehandling.dk/blog/ludomani/ludomani-og-kriminalitet/

39

videnskab.dk/kultur-samfund/ludomaner-overvejer-selvmord

40

euo.dk/upload/application/pdf/d7a1fe6a/note%20juli-arb%20kraft.pdf

Side 14

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 14 af 24

”Én procent af bruttoomsætningen fra spilleautomater går til behandling af og forsk-ning i ludomani. Det bliver til omkring 22 millioner kroner i 2008. I øjeblikket (2008)

                                                     41
bliver ingen penge afsat til forebyggelse.” – Center for Ludomani.

Diskussion af spilafhængighed

At være afhængig af spil, også kendt som at være problemspiller eller ludoman, har indflydelse bå-de på samfundet og individet. Kigger vi mikrosociologisk på det, at være spilafhængig kan vi bruge Erving Goffmans teori om facework til at beskrive de situationer en ludoman arbejder med i inter-aktion med andre mennesker. Eksempelvis kan vi se på interaktionen mellem en ludoman familiefar og hans familie. Når han er sammen med sin familie, opretholder han et face. Med sit face prøver han at opretholde en virkelighed, som ikke er sand. Han prøver at overbevise sit publikum, her fa-milien, om at han er en god familiefar. Vi kan kalde denne situation for frontstage, da han indtager en rolle. Man kommer altså som individ til at opretholde hele sin livshistorie på en stor løgn. Man kan så diskutere om dette er en god eller dårlig ting. Er det godt at familien bliver holdt skjult for faderens dobbeltliv? Eller burde man i stedet være åben omkring sit problem.

I det korte løb har familien det sikkert bedst med at være ubekendt med faderens problem. Alting er som det skal være i en lykkelig familie, og ingen aner uråd. De fleste kan sikkert relatere sig til, at de helst vil undgå at leve med en vished om, at de har en dødbringende sygdom, og at de dør inden for de næste par måneder. Det samme gør sig gældende hos ludomanen og hans spil. I længden vil det dog blive sværere for den ludomane at dække over sin livsløgn, og opretholde sit face, efterhån-den som gælden bliver større. [42]

Der er mange ludomaner der tænker på kort sigt, og foretrækker at familien ikke ved noget. De tænker at det er pinligt, at de er havnet i den situation som de er i.

Når man med behandling på lang sigt ville kunne komme ud af ludomani-helvedet, kan det være svært for rationelle mennesker at forstå, hvorfor ludomanerne handler som de gør. ”De burde da bare søge hjælp hurtigst muligt”. Problemet er bare, at mange af dem er fanget i chasing, og bliver ved med at vende tilbage til kasinoerne i håb om at heldet nok skal vende til deres side. Og hvis de bare kunne tilbagebetale den gæld man har, ville de sagtens kunne stoppe med at spille. Dette sker

                               43
naturligvis i langt de færreste tilfælde.

Jeg er selv stor tilhænger af, at ludomanerne får talt ud om deres problem. Det virker som den ene-ste logiske udvej. Det kan godt være at alternativet er ”rart” her og nu, men det fungerer ikke i længden, at opretholde dét face. Den eneste måde at komme ud af livsløgnen på er ved at spille med åbne kort.

Ifølge Anthony Giddens er vi i det senmoderne samfund blevet refleksive over alle vores handlinger, dvs. at de mange muligheder kommer til at spille ind på vores adfærd Det interessante her er, at vi bliver dannet af ny viden og erfaringer. Dermed får alle de indtryk vi får gennem hverdagen, stor indflydelse på hvordan vi skal forholde os til livet. Deriblandt reklamer. Vi ser en reklame på fjern-synet, hvor indholdet er angående poker. Med den nye viden vi har tilegnet os, ved vi nu, at vi kan

41

videnskab.dk/kultur-samfund/ludomaner-overvejer-selvmord

42

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 84

43

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 90

Side 15

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 15 af 24 klikke os ind et sted på nettet, og spille online poker. Vi reflekterer over denne nye mulighed, som er opstået. Spørgsmålet er bare, hvordan vi agerer i forhold til reklamen? Går vi ind og spiller, eller ignorerer vi den. Begge valg vil have indflydelse på vores selvbiografi. Hvis vi vælger at gå ind på hjemmesiden, og begynde at spille poker, risikerer vi i værste tilfælde at blive ludomaner.

Hermed har samfundet påvirket individet, i en vis forstand, til eventuelt at gøre noget der kan føre til ludomani. Samfundets rolle er i form af, om det kan retfærdiggøres, at vi sender denne form for reklamer. Burde de blive ulovliggjort på linje med reklamer for rygning? Der er flere grunde til, at de ikke burde blive ulovliggjort. Det ligger ikke til den danske samfundsfilosofi at forbyde [44]. Vi forbyder jo heller ikke alkoholreklamer, bare fordi en procentdel bliver alkoholikere. Det bør altså ikke være reklamerne man ændrer på, men snarere mere oplysning om emnet til forbrugeren.

Spørgsmålet er også, om man overhovedet kan sammenligne rygning med ludomani. Hvert år dør der 14.000 danskere af rygning [45], mod 2.500 som overvejer at tage deres eget liv som følge af lu-domani. Samtidig skyldes ludomani ikke kun poker, men også spilleautomater mm. Generelt kan man også sige, at poker kræver en vis form for dygtighed, og at der faktisk derfor er en mulighed for at tjene penge på poker mere eller mindre konsekvent [46].

Modsat kan man sige, at det med god sandsynlighed vil reducere mængden af pokerspillere, og dermed også ludomaner, hvis man stoppede med at reklamere for poker i fjernsynet. Vi kan dog ikke vide dette med sikkerhed, for der er ingen undersøgelser som udtaler sig om sammenhængen mellem folk der starter med at spille poker grundet pokerreklamer, og hvor mange af dem, som bli-ver ludomaner. Dette ville dog bl.a. ske, fordi folk ikke længere konstant blev bombarderet med indtryk om at de kan blive den næste ”PokerStar” – og at færre ville blive oplyst om mulighederne for at spille poker online. Jeg mener ikke at sådanne reklamer bør forbydes. Jeg tror det er den for-kerte vej at gå, hvis vi skal have reduceret antallet af ludomaner. Det skyldes, at vi skal sætte ind, før at problemet rammer, da det har vist sig, at være billigere i mange andre tilfælde [47].

Indenrigs- og sundhedsministeriet bevilgede d. mio. kroner til forebyggelse af ludoma-

ni blandt børn og unge i 6. til 10. klasse.^{48} Man kan så overveje, om man mener, at 5 mio. kroner er

i overkanten, når man tænker på, at der ”blot” findes 5000 ludomaner i Danmark. Men hvis det er alt det tager, for at få reduceret mængden af ludomaner, så vil jeg nok mene, at de penge er godt givet ud.

Perspektivering

Texas Hold’em er kendetegnet ved, at det ikke blot er et gamblingspil. I modsætning til et spil som Roulette, hvor kasinoet altid vil vinde i sidste ende, gør det sig ikke nødvendigvis gældende for po-ker [49]. Kasinoet vil dog naturligvis altid vinde, for det er jo slet ikke dem man spiller imod – man spiller jo imod de andre spillere! Kasinoet tjener penge på en række forskellige måder, men rake er

44

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 128

45

liv.dk/fakta/statistik-og-tal/rygning-sygdom-og-doed-i-tal/

46

Ludomani, ikke flere indsatser, tak! s. 68

47

gladtand.dk/forebyg.htm

48

ludomani.dk/wp2011/presse/pressemeddelelser/

49

Ikke flere indsatser, tak! s. 67-68

Side 16

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 16 af 24 helt klart det mest almindelige, når vi snakker om online poker. Rake svarer til, at hver gang der er spillet en runde, så tager kasinoet en procentdel af de penge som er blevet spillet for. [50] Det betyder, at for blot at begynde at få flere penge hjem end man taber, skal man slå kasinoet. Det betyder reelt set, at hvis rake er 5 %, så skal man vinde 5 % udover det man lægger i puljen. På lang sigt vil det betyde, at den gennemsnitlige spiller, som lige præcis vinder så meget de taber, før rake, vil tabe i længden.

I poker er det jo selvfølgelig som med alle andre spil, hvor der er et element af held, at man kan vinde på kort sigt ved blot at være heldig. Det kan være at man første gang man sætter sig ved et bord går all in med 10♠ K♠, og man så får royal flush på floppet. Vi ved fra tidligere udregninger, at sandsynligheden er meget lille for at dette sker. Den er blot 0,00015 %. En af modstanderne sad eventuelt med de stærkeste hole cards, 2 esser [51], hvilket måske giver nybegynderen en følelse af, at man kan slå alle hænder i spillet – hvis blot man har heldet med sig. Derfor spiller han på hver ene-ste hånd han får tildelt. Det viser sig dog på lang sigt at være en elendig plan. Eksempelvis tror spil-leren, at fordi han har fået de første tre kort i sin royal flush på floppet, inklusiv sine hole cards, at så er den jo næsten ved at være der. Derfor satser han hele butikken, i god tro om, at han nok skal få sin royal flush. Han har jo allerede de 3 ud af 5 kort. Virkeligheden viser sig dog at være en anden.

Ifølge de tidligere sandsynlighedsudregninger, er der 0,0925 % sandsynlighed for at få en Royal Flush i denne situation. Eller sagt på en anden måde: Han har ca. 99,9 % sandsynlighed for ikke at få en Royal Flush. Man må tro, at dette er det generelle fænomen hos ludomaner. De bliver fuld-stændig overbevist om at de er lige ved at have den – og glemmer samtidig alt om sandsynligheds-regning. Hvis man kunne sin sandsynlighedsregning, så ville ens vinderchancer være forøget.

Hvis man spiller sådan, kunne man lige så godt spille Blackjack, Roulette eller lignende, for da fjerner man al dygtighed fra spillet. Det eneste der er tilbage, er heldet. De andre spillere vil udnytte det elendige pokerspil til deres egen fordel. Hvis man ved at denne den samme spiller er med i hver runde, så ved man også, at han altid ikke kan have gode kort. Heldet vil med meget stor sandsynlig-hed ikke være spillerens favør hver gang, hvilket i sidste ende resulterer i det uundgåelige tab.

Konklusion

Ud fra denne opgave kan der konkluderes, at chancen for at få royal flush er meget lille, både hvis man allerede har de 3 kort i starthånden, der skal bruges til at fremstille royal flush og også for at få royal flush som starthånd. Sandsynligheden for dette er hhv. 0,0925 % og 0,00015 %. Sandsynlig-heden for at få fire ens og straight som starthånd er tillige også meget små. Sandsynligheden for at få en straight som starthånd er 0,3925 % og sandsynligheden for at have fire ens som starthånd er

0,024 %. Opgaven viser tillige at ludomani er et problem i Danmark, og at der findes 5000 ludoma-ner i landet. Af disse ludomaner har en fjerdedel af dem begået kriminalitet for at kunne fortsætte deres spil, og halvdelen haft seriøse overvejelser om selvmord.

50

pokerstars.com/poker/room/rake/

51

poker4real.com/texas-holdem-hole-cards.html

Side 17

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 17 af 24

Man kan diskutere for og imod hvad ludomaniens årsager er, og hvilken indflydelse spilafhængig-hed har på samfundet såvel som individet. Bruger vi Anthony Giddens kan vi se det som alle de indtryk vi får i hverdagen og reflekterer over. Det er blandt andet reklamer for online poker, der har gjort, at vi er blevet mere opmærksomme på spil. Man kan så mene om disse reklamer skaber for mange problemer i form af ludomani, men uden nogen endegyldig dokumentation, vides det ikke.

Ser vi det som Erving Goffman kan vi se det dobbeltliv som ludomaner lever, og de faces som op-retholdes, for at undgå at deres nærmeste skal opdage det.

Denne opgave konkluderer også, at forebyggelse er vejen at gå, i stedet først at behandle når pro-blemet er opstået. Denne tankegang fulgte den daværende regering også, og bevilligede 5 mio. kr.

til forebyggelse af ludomani.

Ud fra denne opgave kan man også se, at en spiller, der ikke spiller med dygtighed, men blot med held og godtroenhed vil tabe i længden. Havde man kunnet sin sandsynlighedsregning, ville man også have forøget ens vinderchancer.

Side 18

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 18 af 24

Litteraturliste

Bøger

Bond, Henry G. Bohn's New Handbook of Games. Kessinger Publishing, 1850.

Bonke, Jens. Ludomani i Danmark II. SFI, 2007

Giddens, Anthony. Modernitet og selvidentitet. Overs. af Søren Schultz Jørgensen. København: Hans Reitzel, 2004.

Goffman, Erving. The Presentation of Self in Everyday Life. Anchor, 1959.

Goffman, Erving. Interaction Ritual: Essays on Face-to-Face behavior. Anchor, 1967.

Jørsel, Michael Bay. Ludomani, ikke flere indsatser, tak! Gyldendal, 2003.

Kaspersen, Lars Bo & Andersen, Heine. Classical and Modern Social Theory. Wiley-Blackwell, 2000.

Laursen, Jan & Olesen, John Vestergaard. Grundlæggende Sandsynlighedsteori & Beskrivende Statistik. JaVol, 2004.

Needham, Joseph. Science & Civilisation In China: Volume 5. Cambridge University Press, 1985 Bohnstedt Allan, Hansen Bernt, Jensen Michael & Marthinus Klaus. MAT A. Clementstrykkeriet, 2008.

Internetmateriale

Søren Møller.”Ludomani og Selvmordsdfærd”. (2003)

http://www.selvmordsforskning.dk/filecache/9396/92/nr.10.pdf. (dato: )

Denstoredanske.dk. “Industrisamfund”.

http://www.denstoredanske.dk/Samfund,_jura_og_politik/Sociologi/Samfund/industrisamfund. (dato: )

Økonomiens 3. Udvalgssekretariat. “Kraftig stigning I befolkningens levealder” ()

http://www.eu-oplysningen.dk/upload/application/pdf/d7a1fe6a/levetid%20okt%202006.pdf. (dato: )

Pokerstars.com.”Texas Hold'em Poker”.

http://www.pokerstars.com/poker/games/texas-holdem/. (dato: )

Legi.state.tx.us. “House Concurrent resolution”.

http://www.legis.state.tx.us/tlodocs/80R/billtext/html/HC00109H.htm. (dato: )

Pokerdb.thehendonmob.com. “3rd World Series of Poker (WSOP) 1972”.

http://pokerdb.thehendonmob.com/event.php?a=r&n=8187. (dato: )

Pokerdb.thehendonmob.com. “13th World Series of Poker (WSOP) 1982”.

http://pokerdb.thehendonmob.com/event.php?a=r&n=8100s. (dato: )

Pokerlistings.com. “Poker Rules”.

http://www.pokerlistings.com/poker-rules. (dato: )

Pokerrlistings.com. ”Texas Hold'em Rules and Game Play”

http://www.pokerlistings.com/poker-rules-texas-holdem. (dato: )

Side 19

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 19 af 24

Chris Wiggins. “What is Bayes's theorem, and how can it be used to assign probabilities to questions such as the exist-ence of God? What scientific value does it have?“. (4-12-2006)

http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=what-is-bayess-theorem-an (dato: )

Skatteministeriet. ”1. del af ludomaniundersøgelse offentliggjort”.

http://www.skm.dk/presse/pressemeddelelser/ministeren/1.delafludomaniundersoegelseoffentliggjort.html (dato: 19-12-

2011)

Undersøgelse af Dansk MisbrugerBehandling med støtte fra Kriminalforsorgen. ”Ludomani og kriminalitet.”

http://www.danskmisbrugsbehandling.dk/blog/ludomani/ludomani-og-kriminalitet/ (dato: )

Thomas Hoffmann. “Ludomaner overvejer selvmord”. (20-6-2008)

http://videnskab.dk/kultur-samfund/ludomaner-overvejer-selvmord (dato: )

Indenrigs- og Sundhedsministeriet. ”Haarder uddeler fem mio. kr. til at forebygge ludomani blandt unge”. ()

http://ludomani.dk/wp2011/presse/pressemeddelelser/ (dato: )

Louise Wohllebe. ”Rygning, sygdom og død i tal”. ()

http://www.liv.dk/fakta/statistik-og-tal/rygning-sygdom-og-doed-i-tal/ (dato: )

SFI.dk. ”5.000 voksne danskere er ludomaner”. ()

http://www.sfi.dk/pressemeddelelser-4599.aspx?Action=1&NewsId=621¤tPage=10&PID=9206 ()

Gambler.ludomani.dk ”Fakta om ludomani”.

http://gambler.ludomani.dk/fakta-om-ludomani (dato: )

Pokerstars.com. “PokerStars Poker Table Rake”.

http://www.pokerstars.com/poker/room/rake/ (dato: )

Poker4Real.com. “Recommended Hole Cards You Should Play for Texas Hold'em Poker”.

http://www.poker4real.com/texas-holdem-hole-cards.html (dato: )

Hotpokerbonus.com. ” The Hole Card Camera and The Resulting Poker Boom”.

http://www.hotpokerbonus.com/online_poker_boom.php (dato: )

Økonomigruppen.”Analyse af mangel på arbejdskraft i fremtiden” (6-7-2007)

http://www.euo.dk/upload/application/pdf/d7a1fe6a/note%20juli-arb%20kraft.pdf (dato: )

Side 20

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 20 af 24

Bilag

Bilag 1 – Spilleregler i poker.

Spillet Texas Hold’em er en pokervariant for 2-10 spillere, hvor målet er, at skabe den bedste muli-ge hånd. Dette gøres ud fra de kort man får tildelt sig til at starte med, samt med de kort som ligger på bordet. De kort hver enkelt spiller får tildelt sig hedder hole cards og de kort som ligger på bor-det hedder community cards. Det er altså ud fra sine hole cards og community cards, at man skal prøve at opnå den stærkeste mulige hånd. Hole cardsene er sine ”egne”, i den forstand at ingen an-dre af spillerne ved bordet kender til dem, eller kan bruge dem for at forstærke sin egen hånd.

Community cardsene er fælleskort, som alle i spillet kan bruge til at skabe den bedst mulige hånd.

Man får hver især 2 hole cards, og undervejs i spillet kommer der 5 community cards. [52] Spillet kan afgøres på to forskellige måder: Når enten alle undtagen én spiller er gået ud, vinder den tilbageværende spiller. Den anden måde man kan vinde i Texas Hold’em på, er ved det såkaldte showdown. Showdown sker som det allersidste led i spillet, hvor ingen spillere længere har nogen handling at foretage sig. Her sammenlignes de forskellige hænder hver spiller har, og den person som sidder tilbage med den stærkeste hånd, vinder puljen.

Som tidligere benævnt skaber man sin hånd ud fra community cardsene og hole cardsene. Man ska-ber sin hånd ved at kombinere de forskellige kort som ligger på bordet, altså community cardsene, og de kort som man har på hånden, altså hole cardsene. Hvis der på bordet ligger kortene 4-7-9-2-2, og man selv som spiller sidder med hole cardsene 4-5, så har man et par fire. Man kombinerer altså den firer som ligger på bordet sammen med den firer man har på hånden.

Der findes en række forskellige kombinationsmuligheder, som man kan lave med kortene, i Texas Hold’em, og hver af disse kombinationsmuligheder har en rang. Det går fra følgende og op: Højt kort, et par, to par, tre ens, straight, flush, fuldt hus, fire ens, straight flush, royal flush. Man slår altså alle kombinationerne som har en lavere rang end den man selv har, fx slår tre ens: to par, et par og højt kort. Samtidig er der forskellige inddelinger i hvert enkelt kombination, således at det den højeste værdi slår den laveste, fx slår et par 5 et par 4. Med denne liste kan man altså se ved show-down, hvem der vinder puljen. Den dårligste hånd man kan have ved showdown er dermed et højt kort (dvs. man ingen kombinationer har lavet, men blot har et højt kort (trods dets navn er højt kort bare det højeste kort du har til rådighed)), og den bedste er en royal flush. De fleste af kombinatio-nerne giver sig selv, men nogle af dem kræver lidt uddybning. En straight er 5 kort i træk, dvs. man fx har hole cardsene 3-4, og på bordet ligger der 5-6-7-Knægt-Es. Dermed har man 5 kort i træk; 3-

4-5-6-7, og en straight med 7 som den højeste. En flush er fem kort af samme kulør. Man sidder med hånden Knægt♦-4♦, og på bordet ligger der 5♦-9♣-Es♥-10♦-7♦. Man har altså her 5 rudere, hvilket danner en flush. Denne flush har knægt som sin højeste værdi. Fuldt hus er en kombination af tre ens og et par. Eksempelvis sidder man med 5-8, og på bordet ligger der 5-Knægt-5-8-Es. Man har her tre ens femmere, og et par 8’ere, hvilket giver et fuldt hus. Hvis to fulde huse skal sammen-lignes ved showdown, er det de tre ens der betegner hvem der vinder. Personen med den højeste

52

pokerlistings.com/poker-rules.

Side 21

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 21 af 24 værdi af de tre ens vinder, medmindre disse er ens. Da vil det være parret der afgøre det. De sidste to hænder som har brug for en yderligere forklaring er sådan set den samme hånd. Det er straight-og royal flush. Royal flush er grundlæggende bare den ultimative straight flush. Straight flush er en kombination af en flush og en straight. Dvs. man har 5 kort i træk, der også alle sammen er af sam-me kulør. Man sidder med kortene 5♣-6♣ og på bordet ligger der kortene 7♣-10♥-2♥-8♣-9♣. Der-med har man en straight flush fra 5-9. Royal flushen er som sagt det samme princip, men er blot en straight flush med kortene 10-Knægt-Dame-Konge-Es.

Det skal nævnes, at man maksimalt kan kombinere fem kort sammen. Man kan derfor ikke få to gange tre ens mm.

Nu hvor vi ved hvordan man kan vinde spillet, de forskellige rang af hænderne og det grundlæg-gende spil, er det relevant at snakke om betting og de forskellige runder i spillet. Efter at man har fået tildelt sine kort, starter den første betting-runde kaldt pre-flop. I en betting runde har man som spiller tre valg. Enten folder man sine kort, og går dermed ud af runden. Ellers caller man dvs. man betaler det nødvendige beløb for at spille med. Sidste mulighed er at raise. I et spil Texas Hold’em, starter man med at betale de såkaldte blinds. Blinds betales kun i pre-flop og betales af to personer, hvor den ene betaler big blind og den anden betaler small blind. Blinds er ”døde” penge, som går på tur efter hvert spil, og medfører at der altid er penge i puljen at spille om. For at spille med i pre-flop skal man mindst calle, og dermed betale, big blind. Når alle spillere enten har foldet sine kort, og dermed gået ud af spillet, eller called det samme beløb, går spillet videre, og pre-flop afsluttes.

Man kan også raise i pre-flop og dermed forhøje den indsats der er nødvendig for de andre spillere at calle, for at man kan få lov til at spille med. Når spillerne ikke længere raiser den nødvendige indsats som skal indskydes, og alle spillerne har called eller foldet, afsluttes pre-flop, og floppet kan

påbegynde.^{53}

Floppet starter med at der kommer 3 community cards på bordet. Herefter fungerer spillet nogen-lunde som i pre-flop, udover at der ikke skal betales blinds i denne runde. Det medfører en ny mu-lighed for spilleren. Udover at kunne raise, calle og folde kan man også checke, hvilket svarer til at give turen videre, uden at satse nogle penge. Hvis alle spillere i en runde checker, afsluttes runden uden at der satses penge. Bemærk at man bruger terminologien at bette hvis ingen før en selv har indskudt penge, selvom ordet har samme funktion som at raise. Floppet afsluttes på samme måde som pre-floppet, altså når alle spillere er blevet ”enige” om det beløb de vil betale for at spille vide-re.

Efter floppet kommer to tilsvarende runder af floppet. Forskellen her er dog, at der kun kommer 1

community card per runde. Disse to runder hedder turn/river, og fungerer fuldstændigt som floppet.

Ved afslutning af runden river kommer showdown, hvor kortene fremvises, og personen med den bedste hånd vinder spillet.

Poker-spillet er bygget op således: Pre-flop, flop, turn, river, showdown – og består derfor af 4 run-der samt fremvisning af kortene.

53

pokerlistings.com/poker-rules-texas-holdem

Side 22

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 22 af 24

Bilag 2 – Grundlæggende sandsynlighedsteori

Sandsynlighed er arbejdet med eksperimenter, der har mere end ét udfald. Man arbejder med ud-trykket udfald (u) som svarer til en af de mulige observationer i eksperimentet. Mængden af alle de forskellige udfald kaldes for udfaldsrummet. Hvis man fx slår plat eller krone, er udfaldsrummet svarende til de antal mulige observationer der kan forekomme. [54]

Her vil antallet altså være 2, da der er to mulige udfald, plat eller krone. Man skriver udfaldsrummet med S (sample space):

{ , }S plat krone=

Når vi regner med sandsynlighed, er det vigtigt at bemærke, at alle de resultater man udregner, vil ligge mellem 0 og 1. 1 er den sikre hændelse, og betyder altså, at det altid vil blive dette udfald.

Omvendt svarer 0 til den umulige hændelse, da dette udfald aldrig kan forekomme. Hvis vi regnede det i procent i stedet, ville det svare til hhv. 100 % sandsynlighed og 0 % sandsynlighed. Bemærk at man ikke kan have negative sandsynligheder, eller sandsynligheder over 100 %, hvilket også giver

              55
mening intuitivt.

Funktionen P er sandsynlighedsfunktionen, hvis definitionsmængde er S. P beskriver sandsynlighe-den for de forskellige udfald der forekommer i S. Der er to betingelser til P.

0 1, for alle u SPu≤ ≤ ∈ ( ), hvor u er svarende til udfaldene. En hændelse kan, som nævnt tidligere,

altså ikke være negativt eller større end værdien 1, eller ligge uden for udfaldsrummet. En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet, og noteres H. En hændelse beskriver reelt set det samme som et udfald, men kan blot dække over flere udfald. En hændelse kunne fx være mindst at skulle slå en firer med en terning. P(u) beskriver sandsynligheden for et udfald u. I det tidligere eksempel med mønten, vil P(u) for krone være lig 0,5, da der er 50 % sandsynlighed for at dette udfald forekom-mer.

Den anden betingelse til P er at den adderede mængde af alle sandsynlighederne er lig 1 svarende til

100 %:

( ) = 1^{56}
∑_{uS}_{∈}^{Pu}

Man siger at et sandsynlighedsfelt udgøres af (S,P) – altså af udfaldsrummet og sandsynligheds-funktionen. Et eksempel på et sandsynlighedsfelt kunne være et kortspil. Udfaldsrummet vil være:

{2,3,4,5,6,7,8,9,10, , , , }S J Q K A=. Dermed er udfaldsrummet på 13.

I et normalt spil kort med 52 kort hvor der er 4 af hver værdi, vil sandsynligheden for at trække en af værdierne, da der er 13 forskellige udfald som kan forekomme. Adderer vi alle sandsynlighe-

1

13 derne sammen for at trække værdierne, jf. den førnævnte betingelse får vi:

54

Grundlæggende Sandsynlighedsteori & Beskrivende s. 62-63

55

Grundlæggende Sandsynlighedsteori & Beskrivende Statistik s. 64

56

Grundlæggende Sandsynlighedsteori & Beskrivende Statistik s. 62

Side 23

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 23 af 24

∑_{13}_{13}^{1}^{=}

1

Resultatet bliver altså 1, og er i overensstemmelse med den førnævnte betingelse, om at alle sand-synlighederne adderet skal give 1.

Der skelnes mellem symmetriske og asymmetriske sandsynlighedsfelter. I et symmetrisk sandsyn-lighedsfelt er alle sandsynlighederne for at de forskellige udfald lige store. Hvis udfaldsrummet er

på n, vil sandsynligheden for hvert udfald være 1/n. Arbejder man med en hændelse, bliver sand-

synligheden for hændelsen i et symmetrisk sandsynlighedsfelt: [57] antal elementer i H antal gunstige

P H n n n= + + + = = ( ) 1/ 1/ ... 1/

antal elementer i S antal mulige

I et asymmetrisk sandsynlighedsfelt varierer sandsynlighederne for de forskellige udfald mellem mindst to af udfaldende. Eksempelvis har man en skæv terning, som har en større sandsynlighed for at slå 1 end for at slå 6. Denne terning vil have et asymmetrisk sandsynlighedsfelt, da sandsyn-ligheden for de forskellige udfald varierer.

I sandsynlighed snakker man bl.a. om foreningsmængden og fællesmængden. Foreningsmængden mellem to hændelser, er defineret som den hændelse, der består af udfaldene i minimum én af de to hændelser. Dette illustreres bedst ved et Venn diagram. Alt det farvede er foreningsmængden: x

Figur 3 Foreningsmængde

Dette skrives som:

AB∪

Fællesmængden er de udfald mellem to hændelser, hvor udfaldet indtræffer i begge hændelser. Ud-trykt ved et Venn diagram ser det således ud. Det farvede er fællesmængden:

57

Grundlæggende Sandsynlighedsteori & Beskrivende Statistik s. 64

Side 24

[navn fjernet] Matematik & Samfundsfag

Aarhus Tech [navn fjernet] & [navn fjernet] 3.n

Side 24 af 24

Figur 4 Fællesmængden

Dette skrives som:

AB∩

Den betingede sandsynlighed er sandsynligheden for en hændelse, givet at en anden hændelse er indtruffet. Dette skriver man som:

P A B B ( ) | , hvor P 0^{∩} =≠_{PB} ( )

P A B ( )

( )

Med dette menes der sandsynligheden for at A indtræffer forudsat at B er indtruffet. Dette er lig sandsynligheden for fællesmængden af A og B, divideret med sandsynligheden for B, som er alle de

mulige udfald.^{58}

Bilag 3 – Problemspillere med økonomiske problemer

Kilde: SFI

58

Grundlæggende Sandsynlighedsteori & Beskrivende Statistik s. 69