SOP om optimeringsmetoder i Matematik A og VØ A

Side 1

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e Søre ns en 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

2014

Jakob Rohd e Søre ns en – 3.hhc

Studieretningsprojekt

05-12-2014

Optimeringsmetoder

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A

Side 2

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

Abstract

This study examines how mathematical optimization methods can be used in order to solve compa-nies’ economic issues. Such an economic issue could be if a company wanted to find the exact pro-duction, which will create the highest profit. Another economic issue for a company could be to determine the optimal combination of input in the production. The report covers three aspects. First-ly, a thorough account of differential calculus is given. The theory about differential calculus is very important and useful in this report. Secondly, it is explained how functions of one variable can be optimized. Two methods are used in order to optimize a function of one variable – formula for summit of the function and differential calculus. Furthermore, it is explained how companies can use these methods. Finally, it is explained how functions of two variables can be optimized. Linear programming and especially partial differentiation is described. Both methods are used in order to solve an economic issue, which companies might face. The optimization methods are useful tools when companies have to make important decisions. However, the companies have to bring in other factors in the considerations. Factors which might be considered could be environment, employees etc. Furthermore, there is some uncertainty in the models, which has to be included in the consid-erations.

Side 3

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

Indholdsfortegnels͏e͏

1. Indledning ...... 1

2. Differentialregning 2

3. Optimering m e d fu n ktio n e r a f e n v a ria be l .... 5

3.1 Optimering ved hjælp af toppunktsformlen .... 6

3.2 Optimering ved hjælp af differentiering .. 9

4. Optimering med funktioner af to variable .. 12

4.1 Lineær programmering .. 12

4.2 Partiel differentiation .... 15

4.3 Første- og andenordensbetingelser ...... 19

4.4 Cobb-douglas funktioner ....... 21

4.5 Skalaafkast ..... 23

4.6 Optimering ved hjælp af partiel differentiation .... 24

5. Konklusion ... 27

Litteraturliste ... 28

Bilag . 29

1. Bevis for differentialregning .... 29

2. Udregning af optimale valg af kapl og arbejdskraft .... 30

3. Mat B opgave – lineær pro gr ammerin g .. 32

Side 4

1

1. Indledning

Hvordan hænger matematik og økonomi sammen? Hvordan kan en virksomhed bruge matematik-ken til at optimere?

Dette er spørgsmål, der uundgåeligt vil blive besvaret i denne opgave. En virksomhed vil ofte stå overfor optimeringsproblemer, hvor problemstillingen fx kunne være at finde den produktion, der giver det størst mulige overskud. I denne opgave vil der blive undersøgt, hvordan matematikken kan indgå i beslutningen, når sådanne problemstillinger skal løses.

Der vil i denne opgave først blive givet en grundig gennemgang af teorien bag differentialregning, da denne teori skal vise sig at være yderst effektiv i forhold til optimering. Herefter vil der blive belyst, hvordan funktioner af en variabel kan optimeres både ved hjælp af toppunktsformlen og ved hjælp af differentiering. Dernæst vil optimering af funktioner af to variable blive belyst, herunder optimering ved hjælp af lineær programmering og partiel differentiation. Der vil desuden blive givet en redegørelse for Cobb-Douglas funktioner, der ofte bruges til at beskrive en produktionsfunktion, og partielle afledede.

Under hver gennemgang af en optimeringsmetode vil der blive givet eksempler på, hvordan meto-den kan bruges i økonomi til at løse virksomheders problemstillinger. Under disse eksempler forud-sættes det, at virksomhedens variable enhedsomkostninger forløber proportionalt, og at virksomhe-den afsætter alt, der produceres.

I bilag vil der blive placeret længere udregninger, beviser samt opgavetekster, der er benyttet i de konkrete eksempler.

Maple og Graph er blevet benyttet til at illustrere grafer, indskrive formler og udregninger.

Side 5

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

2

2. Differentialregning

Differentialregning vil vise sig at være nyttigt og matematisk uundværligt i de følgende afsnit om-kring optimeringsmetoder. På grund af områdets nytte i de kommende afsnit, er det relevant at star-te ud med en gennemgang af teorien bag differentialregning.

Ved at benytte sig af differentialregning, er det muligt at bestemme en tangents hældningskoeffici-ent i netop det punkt, hvor den rører den oprindelige funktion. Dette punkt kaldes også tangentens røringspunkt. Tangentens hældningskoefficient kaldes også differentialkvotienten. Matematisk bli-ver differentialkvotienten noteret på følgende måde: f’(x) (udtales som f mærke af x)

Bestemmelse af differentialkvotienten:

For at bestemme en tangents hældningskoefficient i et bestemt punkt på et polynomium, der ofte anvendes inden for økonomi, burde man kunne anvende den velkendte formel for en ret linies hældningskoefficient, nemlig f(x) ∆x f(x+∆x) f(x+∆x)-f(x) x x+∆x

Graf 2.1 - Differentialregning

Side 6

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

3

Der opstår imidlertid et problem, da denne formel kræver, at vi kender to punkter på tangentens graf. Dog kender vi kun ét punkt, nemlig røringspunktet med den oprindelige funktion. Derfor ind-sætter vi en sekant, som er den blå linje på illustrationen. Sekanten skærer den oprindelige funktion i to punkter. Disse punkter er (x, f(x)) og (x+∆x,f(x+∆x)), hvor det ene punkt er det samme som tan-gentens røringspunkt, og det andet punkt er et tilfældigt sted på den oprindelige funktions graf.

Hermed kan vi ud fra formlen udregne sekantens hældningskoefficient, der også kaldes differens-kvotienten.

For at komme frem til tangentens hældningskoefficient, lader man nu ∆x 🡪 0. Dette betyder, at det yderste punkt nærmer sig det inderste punkt. Sekanten nærmer sig altså tangenten. Differentialkvo-tienten bestemmes på denne måde og noteres således:

Dette betyder altså, at differenskvotienten går mod differentialkvotienten, når ∆x nærmer sig 0.

Differentialregning er et vigtigt værktøj i forskellige økonomiske optimeringsproblemer, da diffe-

rentialkvotienter fortæller os, om funktionen er voksende, aftagende eller om f’(x) = 0, hvilket be-

tyder, at der må være et maksimum eller et minimum.

Vi kan altså sige følgende:

Hvis f’(x) > 0 er funktionen voksende

Hvis f’(x) < 0 er funktionen aftagende

Hvis f’(x) = 0 findes et maksimum eller et minimum (kan også være vendetangentpunkt, dog enten

maksimum eller minimum ved 2.gradspolynomier)

Side 7

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

4

For at afgøre om punktet på 2.gradspolynomiet er et maksimum eller minimum, kigger vi på for-

tegnsvariationen for f’(x). Er f’(x) < 0 lige inden punktet hvor f’(x) = 0 og f’(x) > 0 efter må der
altså være tale om minimum. Funktionen aftager altså ned til punktet hvor f’(x) = 0 og vokser efter.

Omvendt vil der naturligvis være et maksimum, hvis funktionen vokser før og aftager efter.

Dette kan opstilles i såkaldte monotonilinier.

Eksempel 1: f(x) = x^{2}, minimum i (0,0) Eksempel 2: f(x) = -x, maksimum i (0,0)

2

Det skal hertil nævnes, at hvis fortegnet er det samme på begge sider af punktet, er der tale om et vendetangentpunkt, hvor funktionen skifter fra at være konveks til konkav eller konkav til konveks.

Dette kan forekomme ved fx 3. gradspolynomier.

Der findes flere forskellige regneregler for differentialregning, der kan benyttes, når man skal be-stemme forskriften til den afledte funktion f’(x), der jo findes ved at differentiere den oprindelige funktion f(x).

Herunder ses blot et uddrag af de vigtigste regneregler for differentialregning [1]:

Potensreglen: Produktreglen: Differens af funktioner:

=>

Sum af funktioner: Brøkregel: Konstant faktor:

1

https://matematikb.wikispaces.com/Regneregler+for+differentiation

𝑥 0

𝑓^{′} 𝑥͏ - 0 +

𝑓͏𝑥͏ Minimum 𝑥 0

𝑓^{′} 𝑥͏ + 0 -

𝑓͏𝑥͏ Maksimum

Side 8

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

5

Sammenhængen mellem funktionen f(x) og den afledte funktion f’(x) kan ses på følgende illustrati-on:

Grøn = f(x) = -2x^{3} +2x^{2} +2x-2
Rød = f’(x) = -6x^{2} +4x+2

Der ses altså, at funktionen f har ekstrema i de x-værdier, hvor den afledte funktion har nulpunkter, altså der, hvor den afledte funktion skærer x-aksen.

3. Optimering med funktioner af en variabel

Til at løse en økonomisk problemstilling kan man anvende matematiske optimeringsmetoder. Der findes en række optimeringsmetoder lige fra helt simple til mere komplekse. Disse optimeringsme-toder kan ligeledes indeholde funktioner, der kan variere fra simple funktioner til mere komplekse.

Derfor er det oplagt, at starte med at belyse nogle af de mest enkle optimeringsmetoder, nemlig op-timering med funktioner af en variabel. Dette opbygger en forståelse for optimering og giver der-med forudsætninger for senere at belyse mere komplekse optimeringsmetoder.

I dette afsnit vil der blive behandlet to forskellige måder at optimere med funktioner af en variabel.

Graf 2.2 – Sammenhæng mellem f(x) og fʼ(x)

Side 9

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

6

3.1 Optimering ved hjælp af toppunktsformlen

Det antages, at en virksomhed ønsker at optimere overskuddet. For at gøre dette, skal virksomhed finde ud af, hvilken afsætning, der giver det størst mulige overskud. Dette er altså den økonomiske problemstilling. Det forudsættes, at alt det, der produceres afsættes.

Overskuddet er givet ved følgende formel:

Overskud = indtægter – omkostninger

Indtægterne er bestemt som antal solgte enheder m ganget med salgsprisen pr. stk. p. Dog afhænger prisen af den mængde varer, som virksomheden ønsker at afsætte. I økonomi udtrykkes sammen-hængen mellem pris og mængde derfor ved en efterspørgselsfunktion [2].

I dette tilfælde er efterspørgslen beskrevet ved den lineære funktion

m = 2000 – 16p

En efterspørgselsfunktion har dog følgende begrænsninger: m’(p) < 0

⊆ [0;∞[
⊆ [0;∞[

Den første betingelse beskriver, hvordan den efterspurgte mængde ændres, når prisen ændres. Den angiver altså, at der efterspørges mindre, når priserne stiger.

Den anden betingelse angiver, at definitionsmængden ikke må være negativ, da det ingen mening giver at arbejde med negative priser. Det ville være absurd at en virksomhed gav penge for at kom-me af med sine produkter.

Den tredje betingelse angiver, at efterspørgslen ikke kan være negativ.

I en økonomisk sammenhæng, er det dog relevant at bruge den omvende efterspørgselsfunktion, hvor prisen angives som en funktion af efterspørgslen.

2

Angiver den mængde varer, som virksomheden kan sælge på baggrund af kundernes efterspørgsel som funktion af prisen. ˮMatematik og Økonomiˮ Malchow-Møller s. 12

Side 10

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

7

I dette tilfælde er den omvendte efterspørgselsfunktion givet ved forskriften:

Indtægterne kan altså nu beregnes ved at gange mængden m med prisen p ved denne mængde:

Omkostninger er givet for forskriften:

omkostninger = 40m

Ifølge denne forskrift er omkostningerne ved produktionen lig med det producerede antal enheder ganget med enhedsomkostningerne. Det koster altså 40 kr. at producere én enhed. Det virker dog urealistisk, at der kun er variable omkostninger i forbindelse med produktionen. Der må formodes at

                       3
være kapacitetsomkostninger forbundet med produktionen.

Lad derfor omkostningerne være givet ved forskriften:

Omkostninger = 40m + 1500

Det er nu muligt at opstille et udtryk for overskuddet o(m):

Som nævnt tidligere ønskede virksomheden at finde den mængde m, der skulle produceres og afsæt-tes for at give det størs mulige overskud. Dette kan nu gøres ved at reducere og anvende toppunkts-formlen for et 2.gradspolynomium.

(m ganges ind i parentesen)

(reducerer – trækker 40m fra 125m)

3

Kapacitetsomkostninger er omkostninger, der ikke direkte er bestemt af afsætningens størrelse og sammensætning.

Fx lys, varme, vand, husleje osv.

Side 11

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

8

Overskudfunktionen o(m) er altså et 2.gradspolynomium. For at finde toppunktet skal diskriminan-ten og toppunktsformlen benyttes:

Ud fra denne 2.gradsfunktion kan vi udlede følgende:

=
=

Herved ses, at toppunktet er x = 680.

Vi kan konkludere, at den optimale afsætning er 680 stk., og at denne afsætning vil give det størst mulige overskud, som er på 30.400 kr. Dette beløb kan ligeledes findes ved at indsætte 680 i o(m).

Grunden til, at 2.gradspolynomiumets parabel antager et maksimum i toppunktet er at a < 0. Der-ved ved vi, at parablens toppunkt er et maksimum, da parablens ben vender nedad. f’(x) er altså positiv inden og negativ efter toppunktet.

Side 12

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

9

Grafisk illustration af eksemplet:

Grøn = indtægter
Rød = omkostninger
Lilla = overskud

Overskuddet kunne altså optimeres ved, at finde toppunktet af overskudsfunktionen o(m). Herved fandt man både den optimale afsætning og det størst mulige overskud. Optimeringsproblemet kunne imidlertid også være løst ved hjælp af differentialregning. Dette vil blive vist i det næste eksempel.

3.2 Optimering ved hjælp af differentiering

I dette afsnit vil der blive forsøgt at sammenligne økonomisk optimering ved hjælp af totalmetoden og matematisk optimering ved hjælp af differentiering.

En virksomhed ønsker at finde den salgspris pr. stk., der giver det højest mulige dækningsbidrag.

Virksomheden har ved hjælp af totalmetoden fundet frem til, at en salgspris pr. stk. på 80 kr., hvil-ket giver en afsætning på 4.000 stk. og et dækningsbidrag på 160.000 kr.

Ved hjælp af differentialregning skulle det være muligt at finde mere præcise tal.

Salgspris pr. stk. Afsætning Omsætning Variable om- Dækningsbidrag kostninger

120 0 0 0 0

100 2.000 200.000 90.000 110.000

80 4.000 320.000 160.000 160.000

60 6.000 360.000 210.000 150.000

40 8.000 320.000 288.000 32.000

Tabel 3.2.1 – Tallene er selvopfundne

Graf 3.1.1 – Grafisk illustration af eksemplet

Side 13

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

10

Grafisk illustration af funktionerne:

Hertil skal nævnes, at x-aksen angiver salgsprisen pr. stk.

Funktionerne er lavet ved at indsætte tallene fra tabel 3.2.1 som en punktserie i Graph. Herefter

                                            2
laves der tendensfunktioner ud fra disse punktserier. R

, der er angivet ved funktionernes navne i

                                                                        2
højre hjørne, viser hvor tæt punktserien og funktionerne ligger på hinanden. Jo nærmere R er på 1,

jo mere ligner de hinanden.

For at finde den præcise optimale salgspris pr. stk. og afsætning, der giver det størst mulige dæk-

ningsbidrag, skal det punkt hvor d’(x) = 0, altså d(x)’s maksimum, findes. I netop dette punkt findes

det størst mulige dækningsbidrag.

Afrundes funktionerne fra Graph til overskuelige funktioner fås følgende:

Graf 3.2.2 – Grafisk illustration af funk tio n e rn e

Side 14

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

11

For at finde den optimale salgspris pr. stk. skal dækningsbidragsfunktionen d(x) nu differentieres, hvorefter den afledte funktion d’(x) skal sættes lig 0 for at finde ekstrema. Det vides at dette eks-trema er et maksimum, da funktionen er voksende inden punktet og aftagende efter punktet.

=

Herved ses, at den optimale salgspris pr. stk. er 77,2 kr.

For at finde afsætningen, sættes den fundne salgspris pr. stk. ind i afsætningsfunktionen.

=

Afsætningen ved en salgspris pr. stk. på 77,2 kr. er altså 4280 stk.

For at finde det størst mulige dækningsbidrag, sættes den fundne salgspris pr. stk. ind i dækningsbi-dragsfunktionen.

=

Det størst mulige dækningsbidrag er altså 165.106,62 kr.

Man kan altså konkludere, at der er en forskel på den økonomiske optimering med totalmetoden og den matematiske optimering med differentiering. Forskellen i dækningsbidraget ved de to metoder

er på 165.106,62 – 160.000 = 5106,62 kr. Havde man anvendt større tal, ville forskellen i dæk-

ningsbidraget have været noget større. En sådan forskel i dækningsbidraget kan have stor betydning for en virksomhed. Det er derfor vigtigt for en virksomhed, der står overfor en økonomisk optime-ringsproblemstilling at inddrage begge analyser i overvejelserne. Totalmetoden tager jo netop ikke

Side 15

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

12 udgangspunkt i alle salgspriserne pr. stk., men blot nogle udvalgte. Dette er grunden til, at vi ender med to forskellige dækningsbidrag ved de to metoder.

4. Optimering med funktioner af to variable

Optimering med funktioner af en variabel er nu blevet belyst ved forholdsvis simple optimerings-metoder. Det er nu relevant at gå videre til optimering med funktioner af to variable, der matematisk bliver en anelse mere avanceret. I dette afsnit vil der blive vist, hvordan man kan optimere ved hjælp af hhv. lineær programmering og partiel differentiation.

4.1 Lineær programmering

Teorien bag lineær programmering vil blive belyst ved en gennemgang af et konkret eksempel Det antages, at en virksomhed har en sammensat produktion, hvor virksomheden fremstiller to for-skellige varer, der kæmper om brugen af det faste anlæg. Virksomhedens optimeringsproblem er at finde den kombination af de to produkter, der giver det størst mulige dækningsbidrag.

En virksomhed producerer rustfrie stålborde og reoler. For at fremstille de to produkter skal det indkøbte stål igennem tre arbejdsprocesser – tilskæring og bukning, svejsning og slutteligt efterbe-handling og pakning. I forbindelse med produktionen af de to produkter vil der være flere begræns-ninger. Disse begrænsninger stilles derfor op, når man skal belyse et optimeringsproblem, som i dette tilfælde er et maksimeringsproblem, da vi ønsker at finde det størst mulige dækningsbidrag.

Følgende oplysninger er givet om de to produkter:

Rustfrie stålborde = (x) Rustfrie reoler = (y) Maks. kapacitet

Tilskæring og bukning 1 time 3 timer 30 timer

Svejsning 1½ time 2 timer 30 timer

Efterbehandling og pakning

2 timer 2 timer 38 timer

Dækningsbidrag 150 kr. 300 kr.

Tabel 4.1.1 – Oversigt over begrænsninger og dækningsbidrag. Tallene er fra en Mat B opgave udleveret af Kim Juhl Jørgensen. Se bilag 3

Side 16

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

13

Begrænsningerne omskrives nu til funktioner, så de kan indtegnes i et koordinatsystem.

Tilskæring og bukning: Svejsning: Efterbehandling og pakning

Da det ikke vil være relevant at producere et negativt antal rustfrie stålborde eller reoler, må følgen-de begrænsninger tilføjes: og

Det samlede dækningsbidrag D(x,y) beskrives ved en dækningsbidragsfunktion, der også kaldes kriteriefunktionen. Dækningsbidraget er kriteriet, altså målet for virksomhedens optimering.

I dette tilfælde er kriteriefunktionen:

Begrænsningerne indtegnes nu i et koordinatsystem og danner dermed et polygonområde:

For at se hvordan kriteriefunktionen varierer med produktionen, indtegner man nu en række niveau-linjer. En niveaulinje betegnes N(t), hvor t er et dækningsbidrag. Niveaulinjerne kan altså vise, hvilke produktsammensætninger, der givet et bestemt dækningsbidrag.

Graf 4.1.2 - Polygonområde

Side 17

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

14

Ønskes et dækningsbidrag på 1.500 kr. kan følgende niveaulinje opstilles og isoleres mht. y:

Ønskes et dækningsbidrag på 3.000 kr. kan følgende niveaulinje opstilles og isoleres mht. y:

Niveaulinjerne indsættes nu i polygonområdet:

For at finde det størst mulige dækningsbidrag forskydes niveaulinjerne udad til det yderste punkt, P hvor de to begrænsninger, der danner netop dette punkt, skærer hinanden.

max,

Det optimale antal rustfrie stålborde og reoler findes nu ved at finde skæringspunktet mellem de to begrænsninger, der udgør det yderste punkt.

Herved ses, at den optimale sammensætning af rustfrie stålborde og reoler er 12 rustfrie stålborde og 6 reoler.

Graf 4.1.3 – Polygonområde med niveaulinjer

Side 18

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

15

x og y værdierne indsættes nu i kriteriefunktionen D(x,y) = 150x + 300y for at finde dækningsbi-

draget.

=

Konkluderende kan det altså siges, at den optimale produktionssammensætning, 12 rustfrie stålbor-de og 6 reoler, giver det størst mulige dækningsbidrag, som er på 3.600 kr.

Det er altså nu vist, hvordan en virksomhed kan bruge optimeringsmetoden lineær programmering til at finde præcis den produktsammensætning, der giver det størst mulige dækningsbidrag. Det skal desuden nævnes, at lineær programmering også kan bruges til minimeringsproblemer, fx hvis en virksomhed ønsker at finde den produktsammensætning, der giver mindst mulige omkostninger. I et sådan tilfælde skal niveaulinjerne i stedet forskydes nedad til punktet P hvor omkostningerne er min, mindst. Taget opgavens omfang i betragtning, vil der ikke blive givet en nærmere uddybelse af mi-nimeringsproblemet.

4.2 Partiel differentiation

Når man skal optimere ved hjælp af differentiering, bliver man ved funktioner af to variable nødt til at anvende en anden tilgang end den teori om differentialregning, der er blevet gennemgået hidtil i opgaven. Ved funktioner af to variable anvendes partiel differentiation til at finde de partielle afle-dede. I dette afsnit vil teorien bag partiel differentiation blive gennemgået, for senere at blive an-vendt i et konkret økonomisk eksempel.

Ved en produktionsfunktion af en variabel tolkes den afledede af produktionsfunktionen som den forøgelse, der sker i output, når input øges marginalt. Med produktionsfunktioner af to variable [4] er der imidlertid to typer input. En marginal forøgelse af input kan i dette tilfælde være en forøgelse af ét af de to input eller en forøgelse af begge input. Man anvender her partielle afledede til at finde ud af, hvordan funktionsværdien ændres, når det ene input ændres marginalt, mens det andet holdes konstant. Det samme gøres med det andet input, hvor det første input nu holdes konstant.

4

Produktionsfunktioner genn e m gå s i afsn it 4.4 C ob b Do u glas fu n ktio ne r

Side 19

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

16

Har man en produktionsfunktion, der er givet ved forskriften f(k,a), hvor k er kapital og a er ar-bejdskraft, differentieres der først med hensyn til k, mens a holdes konstant, og derefter med hensyn til a, mens k holdes konstant. Her benyttes de velkendte differentialregningsregler.

De partielle afledede benævnes: eller hvor der her differentieres med hensyn til k eller hvor der er differentieres med hensyn til a

Eksempel 1 på partielle afledede:

Der vil i dette eksempel blive fundet de partielle afledede for produktionsfunktionen:

Partiel afledede med hensyn til k:

Partiel afledede med hensyn til a:

Den afledede med hensyn til k fortæller os, hvordan output ændres, når kapital ændres marginalt og arbejdskraft holdes konstant. Omvendt fortæller den afledede med hensyn a, hvordan output æn-dres, når arbejdskraft ændres marginalt, mens kapital holdes konstant.

Eksempel 2 på partielle afledede:

En funktion af to variable er givet ved

=

=

Side 20

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

17

Der er nu opbygget en grundlæggende forståelse for princippet i partiel differentiation.

Partiel differentiation vil nu blive belyst ved hjælp af en graf for en funktion af to variable.

En funktion af to variable er givet ved:

Der ses her et tredimensionelt koordinatsystem, hvilket skyldes at der arbejdes med en funktion af to variable. En sådan funktion kan umuligt vises i et todimensionelt koordinatsystem, da der her er tale om 3 akser. En akse til hhv. x,y og funktionsværdien.

Grafen har et specielt udseende, hvilket ikke er tilfældigt. Det ses, at grafen former sig som en skål rundt om minimummet, hvor og hvor . Dette skyldes, at funktionen er den venstre side af cirkelligningen.

Cirkelligningen:

Graf 4.2.1 – Funktion af to variable

Side 21

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

18

Netop derfor former grafen sig som en skål rundt om punktet (x,y) = (2,1), som er minimummet, da

de partielle aflede her er lig 0.

Niveaukurverne vil for denne funktion være cirkler på grafen, der bliver mindre og mindre jo nær-mere man kommer på funktionsværdien 0, da det ses, at grafen vokser ud som en skål fra netop det

punkt, hvor funktionsværdien er 0. Dermed må disse cirkler/niveaukurver altså blive større jo funk-

tionsværdien er. Alle kombinationer af x og y, der ligger på en sådan niveaukurve vil give en be-stemt funktionsværdi. Alle kombinationer, der giver en funktionsværdi på fx 4 vil altså ligge på en niveaukurve, der er formet som en cirkel der kører rundt langs ”skålens” sider.

På grafen ses den akkurat samme funktion dog fra et andet perspektiv. Her ses niveaukurverne for-met som cirkler rundt på skålen. Illustrationen supplerer tekstafsnittet omkring niveaukurverne til forståelsen af grafen.

Graf 4.2.3 – Illust ra tio n a f n iv e au k u rv e r

Side 22

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

19

4.3 Første- og andenordensbetingelser

Til at forklare førsteordensbetingelsen tages der udgangspunkt i den omvendte efterspørgselsfunkti-on p(m), omkostningsfunktionen s(m) og overskudsfunktionen o(m). Der kan udledes en nødvendig betingelse for et indre globalt maksimum for overskudsfunktionen, hvis p(m) og s(m) er differenti-able funktioner. Fra tidligere i opgaven vides det, at hvis overskudsfunktionen har et globalt mak-simum i det indre af definitionsmængden, altså ikke i et af endepunkterne, så vil den aflede over-skudsfunktion være nul i dette punkt.

o’(m) = 0

Denne betingelse kaldes en førsteordensbetingelse. Det skal dog nævnes, at man i princippet er nødt til at foretage en fortegnsundersøgelse af o’(m) for med sikkerhed at kunne afgøre, om en værdi af m, der tilfredsstiller den nævne førsteordensbetingelse, er et globalt maksimum eller blot et lokalt maksimum, et minimum eller et vendepunkt.

Til at afgøre om en løsning til førsteordensbetingelserne er et maksimums- eller minimumssted kommer andenordensbetingelser i spil. Lad være en sådan løsning, dvs. og

. Lad desuden og være de partielt aflede af anden orden, som findes ved at differentiere partielt med hensyn til henholdsvis k og a to gange. Lad endeligt være den såkaldte krydsafledede, som findes ved først at differentiere partielt med hensyn til a og derefter partielt med hensyn til k.

Der kan nu opstilles følgende betingelser til at afgøre om en løsning, , til førsteordensbe-tingelserne er et lokalt maksimum, et lokalt minimum eller et saddelpunkt.

a) så er et maksimumssted.

b) , så er et minimumssted.

Side 23

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

20

c) , så er et saddelpunkt

Tages der udgangspunkt i betingelserne for et maksimum, kan de forklares således:

De første to betingelser sørger for, at grafen krummer nedad, hvis man bevæger sig parallelt med henholdsvis k- og a-aksen. Den tredje betingelse sikrer sammen med de to første, at funktionen er generelt konkav, så grafen krummer nedad, uanset hvilket retning man bevæger sig i.

Holder disse betingelser for alle k og a og ikke blot for krummer grafen nedad over hele definitionsområdet. Den er dermed globalt konkav, og et nulpunkt for de partielle aflede vil være et globalt maksimum.

Betingelserne for et minimum sikrer modsat, at grafen krummer opad, uanset hvilken retning man bevæger sig i.

Der findes dog tilfælde, hvor grafen ligner en saddel rundt omkring et såkaldt saddelpunkt. Dette sker, når et nulpunkt hverken er et minimum eller et maksimum, men derimod et saddelpunkt.

Er der tale om en funktion af en variabel, kan man imidlertid hurtigt bestemme om et nulpunkt til den afledede er et maksimum, minimum eller en vendetangent.

Dette gøres ved at finde den anden ordens afledede f’’(x). Denne findes ved at differentiere to gan-ge.

Der kan nu opstilles følgende:

Side 24

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

21

4.4 Cobb-douglas funktioner

Cobb-douglas funktioner er en type af funktioner, der ofte anvendes i økonomi. Funktionerne bliver blandt andet benyttet af Økonomiministeriet i den såkaldte SMEC-model til at vurdere konsekven-serne af forskellige politiske og økonomiske indgreb [5].

En Cobb-douglas produktionsfunktion er givet ved forskriften: hvor a, er positive konstanter

I nogle tilfælde forekommer konstanten a dog ikke.

Grafisk kan en Cobb-douglas funktion illustreres ved hjælp af niveaukurver N(t), som er en måde at illustrere 3-dimensionelle grafer på i to dimensioner. Niveaukurverne består af punkter (x,y) som giver den samme funktionsværdi.

Niveaukurverne bestemmes ved at isolere y:

Ved hjælp af potensreglerne fås nu:

Ved at anvende fås nu:

5

Søren Antonius – Matematik A s. 103

Side 25

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

22

Der tages nu udgangspunkt i produktionsfunktionen . Hvor inputtene k er kapital og a er arbejdskraft. Inputtene giver et antal enheder output m. Niveaukurverne for denne funktion ser således ud:

Der ses på grafen, at det fx er muligt at producere 2 enheder output mange forskellige kombinatio-ner af input. Det kan aflæses at 2 enheder kapital og 2 enheder arbejdskraft vil give et output på 2 enheder. I stedet kan der også anvendes 4 enheder kapital og 1 enhed arbejdskraft til at skabe det samme enheder output. En produktion på 2 enheder output kan altså opretholdes ved at substituere kapital med arbejdskraft eller omvendt.

Parametrene har en betydning for den måde, hvorpå man kan substituere mellem de to typer input i produktionen. Er β relativt højere end α, kan arbejdskraft let substitueres med kapital. Om-vendt kan kapital let substitueres med arbejdskraft, hvis α er relativt højere end β. Den absolutte størrelse af α og β har desuden en betydning for, hvor tæt niveaukurverne ligger på hinanden, altså hvor meget en given mængde input kan producere.

Graf 4.4.1 – Niveaukurver for produktionsfunktionen

m = 1

m = 2

m = 3

Side 26

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

23

4.5 Skalaafkast

Cobb-douglas produktionsfunktionerne kan grupperes efter, hvor følsom produktionen er over for ændringer i input.

Der vil i dette afsnit blive brugt betegnelserne k og a, som i det forrige afsnit, i stedet for x og y.

⮚ Konstant skalaafkast: α + β = 1
− Multiplicerer man de to input med den samme faktor, forøges output også med

denne faktor. Fordobles k- og a-værdierne i forhold til deres oprindelige vær-dier, k

0 0 1 og a

, vil det nye output m være det dobbelte af det oprindelige output m.

0

− Udregning:
− Da

− En fordobling af begge input vil altså give en fordobling af output, idet

⮚ Voksende skalaafkast:

− En fordobling af input fører til mere end en fordobling af output.

− Udregning:
− En fordobling af begge input vil altså give mere end en fordobling af output,

idet

⮚ Aftagende skalaafkast:

− En fordobling af input fører til mindre end en fordobling af output.

− Udregning:
− En fordobling af begge input vil altså give mindre end en fordobling af output,

idet

Side 27

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

24

4.6 Optimering ved hjælp af partiel differentiation

I dette afsnit vil teorien bag partiel differentiation, der blev belyst tidligere i opgaven, blive brugt i et konkret eksempel, hvor en virksomhed står overfor et optimeringsproblem.

En virksomheds overskudsfunktion er givet ved følgende funktion:

=

Indtægterne består af outputprisen p, der er givet ved den omvendte efterspørgselsfunktion p(m), ganget med den producerede mængde m.

Omkostningerne består af prisen på kapital r (r for rente) ganget med kapitalen k og prisen på ar-bejdskraft w (w for wage [6]) ganget med arbejdskraften a.

Indsættes produktionsfunktionen f(k,a) på m’s plads, er overskuddet en funktion af k og a og der-med fås følgende overskudsfunktion:

Det ses, at overskudsfunktionen afhænger af to variable – k og a. Man kan derfor ikke bare sætte den aflede af overskudsfunktionen lig nul og løse den tilhørende værdi for den uafhængige variabel.

I stedet skal partiel differentiation benyttes til at finde de to partielle afledede og sætte disse to lig nul.

Der tages nu udgangspunkt i Cobb-douglas funktionen: k angiver kapital og a angiver arbejdskraft. Dette kan nu indsættes i overskudsfunktionen:

Det antages at prisen p er konstant, og dermed er p(m) = p(f(k,a)) = p.

6

Wage = løn

Side 28

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

25

Det er nu målet at maksimere denne overskudsfunktion ved hjælp af partiel differentiation. Diffe-rentieres der partielt med hensyn til k og a fås følgende:

I den første ligning, med hensyn til k, er –w*a udgået, da disse er konstanter. Herefter er der diffe-

rentieret ved hjælp af regnereglerne for differentiation af en potens: =>
I den anden ligning, med hensyn til a, er –r*k udgået, da disse er konstanter. Herefter er der igen

differentieret ved hjælp af regnereglerne for differentiation af en potens.

Der ønskes nu at finde de optimale valg af kapital k og arbejdskraft a. Disse er angivet ved følgende udtryk:

(udregninger for nedenstående udtryk er placeret i bilag)

Her ses, at det optimale valg af kapital og arbejdskraft er givet som en funktion af priserne på out-put, kapital og arbejdskraft. En virksomhed vil kunne indsætte konkrete priser som værdier for p, r og w og dermed finde de optimale mængder af input under forskellige kombinationer af priser.

Det skal hertil nævnes, at det ikke vides om punktet, der tilfredsstiller førsteordensbetingelserne er et globalt maksimumssted eller blot et lokalt minimumssted, et minimumssted eller et saddelpunkt.

Antages det, at en virksomhed har konkrete værdier for priserne p, r og w kan disse værdier indsæt-tes i funktionerne. Ved hjælp af andenordensbetingelserne, der blev belyst i et tidligere afsnit, kan det afgøres om punktet er et globalt maksimum. Alternativt kunne værdierne sættes ind i overskuds-funktionen for herefter at plotte grafen for overskudsfunktionen. Hermed vil man ligeledes kunne afgøre, om punktet er et globalt maksimum.

Side 29

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

26

Det er hermed vist, hvordan partiel differentiation kan anvendes i en økonomisk sammenhæng, når en virksomhed ønsker at finde den optimale kombination af input.

Side 30

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

27

5. Konklusion

Det er nu blevet belyst, hvordan matematikken fungerer i samspil med økonomien. Der er blevet redegjort for differentialregning, der har vist sig at være nyttigt til både optimering af funktioner af en variabel og funktioner af to variable. For funktioner af en variabel blev differentialregning brugt til at finde overskudsfunktionens maksimum og dermed den produktion, der skabte det størst muli-ge overskud. Desuden blev det vist, hvordan toppunktsformlen ligeledes kunne bruges til at finde overskudsfunktionens maksimum. Dog blev resultatet mere præcist ved brug af differentialregning, da man her ikke kun tog udgangspunkt i nogle udvalgte afsætningsammenhænge. For funktioner af to variable, der antager en større matematisk kompleksitet, blev der vist, hvordan en virksomhed ved hjælp af lineær programmering og niveaulinjer kunne finde den produktionskombination, der skabte det størst mulige overskud. Differentialregning viste sig igen nyttig i forbindelse med partiel differentiation, hvor den optimale kombination af input blev fundet ved at differentiere partielt.

Det kan altså konkluderes, at matematikken og økonomien i samspil fungerer godt. En af grundene til dette er, at begge fag arbejder med tal og funktioner, hvor sammenhænge ud fra disse kan beskri-ves. Det er blevet vist, hvordan en virksomhed kan bruge de forskellige optimeringsmetoder til at løse forskellige problemstillinger.

Det skal dog nævnes, at der forekommer flere usikkerhedsfaktorer i forbindelse med beslutningsta-gen ud fra økonomiske modeller, der er baseret på matematisk teori, ligesom der kan forekomme usikker omkring den økonomiske teori, der ligger grund til modellerne. Nogle af disse usikkerheds-faktorer kunne være efterspørgselsændringer, konkurrenternes reaktion osv. Desuden vil der for mange virksomheder indgå andre overvejelser end blot, hvordan overskuddet kan blive størst, når beslutninger skal tages. Dette kunne fx være hensyn til miljø, medarbejdere osv.

Det kan dermed konkluderes, at man som virksomhed ikke skal træffe beslutninger udelukkende på baggrund af matematiske modeller grundet usikkerhedsfaktorerne. Virksomheden bliver nødt til at inddrage erfaringer og analyser af samfundet. Dog kan modellerne være et nyttigt redskab i overve-jelserne, når beslutningerne skal træffes.

Side 31

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

28

Litteraturliste

Bøger:

Malchow-Møller, Nikolaj og Jens Jakob Nordvig-Rasmussen: Matematik og Økonomi. 1. udg.

Nordisk Forlag, A.S, Copenhagen, 2001. (Bog)

Ditlev Hansen, Mogens: Matematik, Økonomi, Optimering. 2. udg. ABACUS, 1994. (Bog)

Antonius, Søren m.fl.: Matematik A. 1. udg. Systime a/s, 1993. (Bog)

Halling, Sven-Erik og Jens Kjærgaard: Optimering. 1. udg. Systime A/S, 2011. (Bog)

Beltov, Tor m.fl.: Introduktion til produktion, logistik og optimering. 1. udg. Odense Universitets-forlag, 2001. (Bog)

Antonius, Søren m.fl.: Matematik B. 3. udg. Systime A/S, 2011. (Bog)

Hedegaard, Ove: Grundlæggende matematik til virksomhedsøkonomi. 2. udg. Jurist- og Økonom-forbundets forlag, 1998. (Bog)

E-bøger:

Systime Virksomhedsøkonomi A1 iBog – Knud Erik Bang, Henrik Frølich, Jeanette Hassing, Mari-anne Poulsen, Gitte Størup

Systime Virksomhedsøkonomi A2 iBog – Knud Erik Bang, Henrik Frølich, Jeanette Hassing, Mari-anne Poulsen, Gitte Størup

Internetsider:

Regneregler for differentiation. Udgivet af Wikispaces. Internetadresse:

https://matematikb.wikispaces.com/Regneregler+for+differentiation - Besøgt d. (Inter-

net)

Side 32

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

29

Bilag

1. Bevis for differentialregning

Sætning

Hvis så er

Bevis:

Sekantens hældningstal: (bruger ) (y-værdierne findes ved at sætte x-værdierne i an-

den, da funktionen hedder x^2)

(ophæver parentesen ved at sætte begge i anden og plusse det dobbelte produkt)

(reducerer)

(reducerer)

Tangentens hældningstal: når

Side 33

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

30

2. Udregning af optimale valg af kapital og arbejdskraft

Partielle afledede af overskudsfunktionen:

Udregning for det optimale valg af kapital, ved at isolere a i den første ligning:

Hermed er a isoleret i den første ligning. Dette udtryk sættes nu ind i den anden ligning og reduce-res.

Side 34

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

31

Tallene samles:

X'erne samles:

Parentesen ophæves:

Der vendes om på brøkeren og p'erne samles, for at fjerne de negative potenser: k og w divideres nu over på modsatte side:

Hermed er vi kommet frem til funktionen for det optimale valg af kapital. Tilsvarende udregning kunne laves, hvis man ønskede at finde frem til det optimale valg af arbejdskraft. Dog skulle man da starte med at isolere k i stedet for a.

Side 35

Studieretningsprojekt Jakob Rohd e S øre nse n 3.hhc

Matematik A & Virksomhedsøkonomi A IBC Kold in g

32

3. Mat B opgave – lineær programmering