SRP om RSA og overvågning i Matematik A og Samfundsfag A

Side 1

1

Abstract

This paper examines how data surveillance works in the United States, how it can be prevented and itʼs sociological impact on the American people.

Firstly I will investigate the term “Surveillance societyˮ using Michel Foucaults theory of Panopticism, and thus define the term Internet Panopticism. Secondly, I will explain how citizens can encrypt their own data to prevent being monitored, using the RSA-cryptosystem. I will explain the number theory behind such encryptions and discuss their security.

I will examine the effects of mass surveillance, and estimate whether or not data surveillance is a violation against the American individuals. Lastly I will draw a parallel between my paper and the leaked documents of Edward Snowden.

Side 2

2

Table of Contents

Abstract ....................................................................................................................................... 1 Indledning .................................................................................................................................. 3 Hvordan fungerer den elektroniske overvågning ........................................................ 4 Overvågningssamfundet ................................................................................................................ 4 Panoptisme ........................................................................................................................................................ 5 Internet Pan͏op͏tism͏e͏ ...................................................................................................................................... 7 Hvordan undgår man overvågning .................................................................................... 9 RSA ......................................................................................................................................................... 9 Eulers sætning .................................................................................................................................................. 9 Euklids algoritme ......................................................................................................................................... 12 Bevis for RSA .................................................................................................................................................. 13 Enkryptering og dekryptering af SNOWDEN ................................................................................... 14 PGP ...................................................................................................................................................... 17 Sikkerheden af RSA ........................................................................................................................ 18 Hvad er konsekvenserne af øget overvågning ............................................................ 19 Perspektivering ..................................................................................................................... 22 Konklusion .............................................................................................................................. 23 Bibliografi ............................................................................................................................... 25

Side 3

3

Indledn͏in͏g͏

Internettet har gjort store mængder information tilgængelig for mennesker på et split sekund. Det har åbnet døre for en ny verden hvor vi kan kommunikere med hinanden tværs over kloden. Men over alt hvor vi færdes på nettet efterlader vi os spor, og derfor gør vi det muligt for andre at overvåge os. (Jastrup, 2003) En større og større del af vores kommunikation og hverdag bliver digitaliseret. I de vestlige lande har vi i de seneste år set digitalisering af forvaltningen, sygehusene og uddannelserne. Militæret er godt på vej med digitaliseringen. Krig, sikkerhed, forbrydelse og overvågning i det digitale netværkssamfund handler i dag om digitale aggression og kriminalitetens digitale aspekter. (?)

På grund af digitaliseringen er kryptologien blevet en central del af vores samfund da vi benytter det til at afgrænse hvem der har adgang til vores data.

Den nye teknologi giver os mulighed for at være online hele døgnet, men de udgør også nye trusler med vores privatliv. Der har siden 2012, i EU, været arbejdet for at revidere lovgivningen om databeskyttelse for at sikre, at folk bevarer kontrollen med deres personlige oplysninger i den digitale verden.

Men hvordan fungerer denne elektroniske overvågning? Hvordan undgår man den og hvilke konsekvenser har den? Dette vil jeg undersøge i min opgave.

Problemformulering

Hvordan fungerer den elektroniske overvågning i samfundet, hvordan undgår man den og hvilke konsekvenser afstedkommer den øgede mængde overvågning.

Redegør for de væsentlige karakteristika ved overvågningssamfundet og kom i den sammenhæng ind på begreberne panoptisme og interpanoptisme.

Side 4

4

Der redegøres for RSA krypterings systemet, herunder talteoretiske begreber og sætninger, der udgør grundlaget for dette krypterings system. RSA-systemet er illustreret ved at gennemgå et eksempel på enkryptering og dekryptering af ordet SNOWDEN ud fra et par, jeg selv vælger.

Desuden vurderes sikkerheden af RSA som kryptosystem og i forlængelse heraf vurderes om overvågning er en krænkelse af individet og hvad den øgede overvågning betyder for tilliden i et samfund. Der perspektiveres til Edward Snowdenʼs lækkede dokumenter.

Hvordan fungerer den elektroniske over͏vågning͏

Overvågningssamfundet

Vi har registreret hændelser i vores samfund siden oldtiden. De seneste 200 år har vores kapitalistiske samfund haft profit maksimering som mål. Dette har medført et øget krav til effektivisering og rationalisering. (Fisher, 2007)

Vi har altid registreret men vi har gjort det i papir form. Når vi så har muligheden for at registrere digitalt bliver dette en oplagt mulighed for at øge effektivisering og rationalisering, både indenfor den private sektor men måske i særdeleshed i den offentlige sektor.

Digital registrering er eksempelvis patientjournaler, indkomstforhold, tele- og internetkommunikation, kredit betaling m.v. Følgerne af registrering er at vi bliver mere overvågede.

I den danske ordbog bliver overvågningssamfundet beskrevet som ”Samfund hvor overvågning af borgerne er drevet så vidt at den personlige frihed krænkes”

(DenDanskOrdbog)

Igennem tiderne har forskellige personer prøvet at definere overvågningssamfundet. George Orwell beskriver i sin roman ˮ1984ˮ en undertrykkende, totalitær stat der overvåger og kontrollerer sine borgere i et ekstremt omfang. (Wikipedia)

Side 5

5

Dobson og Fisher udgav i 2007 artikelen ˮThe Pa͏n͏opticonʼs changing geographyˮ hvor de deler overvågningsteknologiens udvikling i tre ryk. Det starter med bygningen Panoptikon hos Jeremy Bentham i 1700-tallet, og i midten af det 20.

Århundrede med George Orwellʼs bog om ˮBig brotherˮ og det sidste ryk er den elektroniske overvågning i dag. De kaldes Panoptikon I, II og III. (Fisher, 2007) Fælles kendetegnet for de tre typer er at͏ ͏de er ”(…) designet til at vedligeholde løbende overvågning, reducere omkostningerne af overvågning, og øge om effektiviteten af overvågning” (Fisher, 2007, p. 311)

Grundlaget for Fisher og Dobsonʼs ide er at de fleste overvågnings institutioner er inspireret af Panoptikon i et eller andet omfang. Men først må vi vide hvad Panoptikon I er for at forstå nutidens Panoptikon III.

Panoptisme

Foucault begynder sit kapitel om Panoptikon med at beskrive ”de forholds regler man ifølge reglementet fra slutningen af det 18. Århundrede skulle tage, når der var konstateret pest i en by.” (Foucault, 1975, s. 211) Han beskriver pesten som noget sammensat, løsagtigt, lovløst, forbudsløst vanvid hvor kroppene blander sig uden respekt, hvor den disciplinære magt er analysen, der adskiller de syge fra de raske.

Pesten er den bagvedliggende frygt for overvågnings institutionen Panoptikon.

I slutningen af 1800-tallet designede Jeremy Bentham ˮPanoptikonˮ der havde til formål at være en overvågnings institution. Panoptikon er en ringformet bygning, opdelt i celler der går tværs af hele bygningen. I centrum er der et tårn med store vinduer. Hver celle har to vinduer, et der vender ind mod tårnet og et andet udadtil der giver lyset mulighed for at gennemtrænge cellen fra ende til anden.

Hvis man placerer en vagt i det centrale tårn kan han observere fangernes silhuetter i hver en celle, på grund af modlyset. Hver fange er isoleret i hver sin celle og

Side 6

6 konstant synlig. Vagten ser alting men bliver aldrig set, i modsætning til fangen som altid er objekt i en observation men aldrig subjekt i en kommunikation.

Det er ud fra denne arkitektoniske form at filosoffen Foucault beskriver den overvågende magts forhold til menneskers dagligdags liv.

ˮ Panoptikon bør ikke forstås som en drømmebygning: den er diagrammet for en magtmekanisme, der føres tilbage til sin ideale formˮ

Magt forstås ofte som noget, nogen har i en given situation eller i et bestemt tidsrum. Denne opfattelse af magt er en modsætning til Foucaults magtopfattelse.

Ifølge Foucault er magten allestedsnærværende og intet individ kan være i fuld besiddelse af den eller fuldt bevidst om den. Magten gennemsyrer alle aspekter af vores adfærd, men eksisterer i det skjulte.

Dette magtforhold genser man i panoptikon, da vagten altid er skjult, og fangen ved aldrig om han bliver overvåget eller ej. Men på grund af at han ved at han altid kan blive overvåget vil magten gennemsyre alle aspekter af hans adfærd. Han vil opføre sig i forhold til det faktum at han bliver overvåget.

Jeremy Bentham designede Panoptikonnet til at være billigere og mere effektivt end andre fængsler sin tid, da man kun har brug for én vagt i tårnet til at overvåge alt. ͏ ”Den der befinder sig i et synsfelt, som er klar over det, tager magtens tvang på sig, han indskriver sig i en magtrelation hvor han selv spiller begge roller”

Egentlig behøves der ikke at være en vagt overhoved, men fangen skal have en fornemmelse af at han konstant kan blive overvåget. Denne skjulte magt vil påvirke hans adfærd, og han vil opføre sig i forhold til det faktum at han bliver overvåget.

Panoptikon automatiserer og afindividualiserer den overvågede magt.

Lasse Meldgaard opstiller fire grundlæggende principper for Panoptikon I som er følgende:

1) Inspektionsprincippet – Inspektionen skal foregå konstant, og hvis det ikke er muligt, skal det give fornemmelsen af en sådan konstant inspektion hos de overvågede.

2) Strukturel adgang – De konkrete, fysiske strukturer skal till͏a͏de ͏ensidig

Side 7

7 overvågning fra et centrum, der har udsyn til alle cellerne.

3) Individualisering – Der skal͏ til enhver tid være mulighed for atiidentificere hvert enkelt subjekt i den enkelte celle.

4) Konstant synlighed – Når mørket falder på, skal lamper lyse cellerne op, således at der ikke er mulighed for at gemme sig fra inspektørens årvågne blik.

(Meldgaard)

Internet Panoptisme

Internettet, i form af World-Wide Web, var i sin tid skabt til kommunikative formål. I begyndelsen forventede man at internettet ville bane vej for den liberale utopi om et fordomsfrit medie, hvor vi kommunikerede uden hensyn til race, køn, alder og så videre.

Selvom styring ikke var intentionen bag skabelsen af internettet, så har dets udvikling skabt et privilegeret rum for den disciplinære magt. (Meldgaard) Over en milliard menneskerdeler deres status opdateringer, billeder og personlige oplysninger med deres venner og bekendte på Facebook. Men de deler ikke kun disse oplysninger med bekendte, men også med Facebook som registrerer al kommunikation og aktivitet.

Udviklingen af datalagring har ekspanderet enormt gennem det seneste årti. Fra

2011 til 2013 dannedes 90% af al verdens eksisterende data. Det er ikke længere dyrt eller besværligt at gemme store mængder data eller logning af internet adfærd.

På grund af at vi kan gemme store mængder data betyder det også at vi kan se historien af personens internet aktivitet. (Meldgaard)

En af de ting der adskiller internet panoptisme fra den traditionelle idé om panoptikon er at fangerne ikke er adskilte af celler, men hele tiden indgår i en kommunikation med hinanden.

Side 8

8

Derfor er det vigtigt at have et relationelt overblik, så man kan kortlægge kommunikationen mellem brugerne, og derfor er det femte princip som Meldgaard opstiller relationelt overblik:

5) Relationelt overblik – Der skal være mulighed for at kortlægge de kommunikative netværk, der opstår, når mennesker anvender Internet til organisering, kommunikation eller informationssøgning.

Modsætningen af WWW er den mest skjulte del af nettet, Tor.

Tor er en del af det såkaldte ˮdark webˮ der anvender sig af det samme offentlige internet. Forskellen er at i dark web er det ͏ikke muligt at søge eller la͏gre data.

Brugerne af Dark web består af små netværk såvel som store som for eksempel

Freenet, 12P og Tor drevet af individer og/eller orga͏n͏isationer.

Man kan kun komme ind på Tor med en speciel software, der gør ens beliggenhed anonym (Money, 2014) og således forhindres overvågningen totalt.

På samme måde som WWW blev Tor oprettet med gode intentioner. Det blev oprettet af ˮus naval research laboratoryˮ i 2002, som en måde at kommunikere anonymt men i de seneste 10 år er denne anonymitet blevet misbrugt til salg af stoffer, ulovligt pornografi og udbud af lejemordere.

I en undersøgelse af Gareth Owen fandt han ud af at det mest efterspurgte indhold på netværket Tor var børneporno, og dernæst sorte markeder. (Wikipedia,

Wikipedia)

Set ud fra Foucaults teori om panoptisme er det uovervågede netværk et eksempel på pesten.

På samme måde er Tor et anarki hvor ingen magt kan registrere, overvåge eller kontrollere den distribution af informationer der finder sted.

Foucault forklarer hvordan pesten skal modsvares af orden, og at den har ˮgivet anledning til nogle disciplinære skemaerˮ (Foucault, 1975)

Side 9

9

Bag ved vores behov for at overvåge og kontrollere, ligger frygten for uorden, terrorisme, smitte af sygdomme og forbrydelserne.

Hvordan undgår man overvågning

RSA

RSA er en meget populær algoritme der bruges af computere til at enkryptere og dekryptere beskeder, sådan så et uønsket tredjeparti ikke kan se dem. Det der kendetegner RSA er et det er et ˮpublic-key systemˮ hvilket vil sige at der er en offentlig og en hemmelig kryptonøgle. Alle kan være i besiddelse af den offentlige nøgle, og dermed vide hvordan man krypterer en besked, men dekrypteringsnøglen holdes hemmelig. Algoritmen er skabt således at man ikke kan finde den hemmelige nøgle ud fra den offentlige.

Dette skyldes at man skaber dekrypterings nøglen ved at gange to store primtal sammen på omkring 100 cifre. Man kan blot finde den hemmelige nøgle d hvis man kan beregne phi af n og hvis n er et stort nok tal vil det tage flere år for selv en super computer.

Det er let nok at gange to store primtal sammen, men det er langt sværere at reversere handlingen og finde de to primtal. Dette skyldes at der endnu ikke eksisterer en hurtigt og effektiv måde at faktorisere store sammensatte tal. (Nissen,

1997)

Eulers funktion

For et helt tal n defineres Eulers funktion som antallet af hele tal blandt tallene

1,2,3…n, som har 1 som største fælles divisor med n, altså er primiske med n.

For eksempel hvis 𝑛͏=͏10 så er 1, 3, 7, 9 primiske med 10, mens 2,4,5,6,8,10 ikke er.
Derfor er 𝜑͏10͏=͏4
For et primtal p er alle tal 1,2…, p - 1 primiske med p, derfor er 𝜑͏𝑝͏=͏𝑝͏−͏1.

Side 10

10

For et primtal p gælder, at

𝜑͏𝑝͏=͏𝑝͏−͏1

For to forskellige primtal p, q gælder, at

𝜑͏𝑝𝑞͏=͏𝑝͏−͏1͏·͏(𝑞͏−͏1)

Produktet af primtallene 𝜑͏𝑝𝑞͏ kalder vi 𝜑͏𝑛͏. At bestemme 𝜑͏𝑛͏, altså at faktorisere produktet, er ekstremt tidskrævende hvis man ikke kender primfaktoropløsningen

𝑚͏=͏𝑝𝑞

For at bestemme 𝜑͏𝑚͏ skal man bestemme alle hele tal mindre end m, der er indbyrdes primisk med m.

Da der findes uendelige mange primtal vi kan gange sammen() kan produktet blive

                                   100
uhyre stort. Hvis vi forestiller os at 𝑚͏=͏10 og at det tager os 1 millionʼte del af et

sekund (10^{−6} sek) at afgøre om et helt tal er primisk med m ville det i alt tage:

10^{100} ·͏10^{−6} 𝑠𝑒𝑘͏=͏10^{94} · å𝑟~3,2͏·͏10^{86} å𝑟͏

1

60͏·͏60͏·͏24͏·͏365

Dette antal år er flere gange universets alder, og derfor er metoden ikke særlig effektiv.

Hvis nogen fandt en metode hvor man kunne udlede tallene direkte uden at kende primfaktorene i n, ville vedkommende blive ˮudødeliggjort i matematikerkredseˮ

(Nissen, 1997)

Det ville også ødelægge sikkerheden for RSA fuldstændig, men det kommer vi mere ind på i diskussionen.

Lad 𝑚͏=͏𝑝͏·͏𝑞 hvor p og q er to forskellige primtal. Tallene mindre end m, der ikke er

primiske med m, er de tal, der har p eller q som primfaktorer, altså de q - 1 tal 𝑝͏·͏1,͏𝑝͏·͏2,͏…͏,͏𝑝͏·͏𝑞͏−͏1͏

Side 11

11 og de p - 1 tal 𝑞͏·͏1,͏𝑞͏·͏2,͏…͏,͏𝑞͏−͏1͏·͏𝑞

Antallet af tal blandt 1,2,…,pq-1, der er primiske med m = pq er derfor
𝑝͏·͏𝑞͏−͏1͏−͏𝑞͏−͏1͏−͏𝑝͏−͏1)͏=͏(𝑝͏−͏1)(𝑞͏−͏1)

Sætningen er nu bevist. (Spalk, 2002, s. 42)

Eulers sætning

Eulers sætning er en generalisering af Fermats lille sætning

Hvis ͏𝑎,͏𝑛͏=͏𝑔æ𝑙𝑑𝑒𝑟,͏𝑎𝑡 𝑎^{𝜑(𝑛)} ≡͏1(𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Hvis a er indbyrdes primisk med n gælder at

Lad

𝑟 ,͏…͏,͏𝑟
 1    𝜑(𝑛)

være et reduceret sæt af rester. Ganger vi disse elementer med a får vi et andet reduceret sæt af rester (lemma 41)

𝑎𝑟 ,͏…͏,͏𝑎𝑟
  1     𝜑(𝑛)

Disse to produkter af elementer er de samme i modulo n

𝑟 ·͏𝑟 …͏,͏𝑟 ≡͏𝑎͏·͏𝑟  ·͏𝑎͏·͏𝑟 …͏𝑎͏·͏𝑟   𝑚𝑜𝑑 𝑛͏→
 1  2    𝜑͏𝑛       1      2       𝜑͏𝑛

𝑟_{1} ·͏𝑟_{2} …͏,͏𝑟_{𝜑͏𝑛} ≡͏𝑎^{𝜑͏𝑛} ·͏𝑟_{1} ·͏𝑟_{2} …͏,͏𝑟_{𝜑͏𝑛} 𝑚𝑜𝑑 𝑛

Da alle r er indbyrdes primiske med n, kan de forkortes ifølge korollar 27 (Spalk, i

2002, s. 33)

𝑎^{𝜑͏𝑛} ≡͏1͏𝑚𝑜𝑑 𝑛͏

Side 12

12

Sætningen er nu bevist. (Spalk, 2002, s. 45)

Euklids algoritme

Euklids algoritme er en process der beregner den største fælles divisor af to sammensatte tal.

𝑎,͏𝑏͏=͏𝑎,͏𝑟͏ hvor r er resten af b ved division med a

𝑎͏=͏𝑞 ·͏𝑏͏+͏𝑟 0͏≤͏𝑟     <͏𝑏
     1     1

1

𝑏͏=͏𝑞_{2} ·͏𝑟_{1} +͏𝑟_{2} 0͏≤͏𝑟 <͏𝑟_{1}

2

𝑟_{1} =͏𝑞_{3} ·͏𝑟_{2} +͏𝑟_{3} 0͏≤͏𝑟 <͏𝑟_{2}

3

...

𝑟_{𝑗−2} =͏𝑞_{𝑗} ·͏𝑟_{𝑗−1} +͏𝑟_{𝑗} 0͏≤͏𝑟_{𝑗} <͏𝑟_{𝑗−1}

𝑟_{𝑗−1} =͏𝑞_{𝑗+1} ·͏𝑟_{𝑗}

Processen er færdig når resten er lig med 0, altså divisionen er gået op. Et eksempel på denne algoritme i anvendelse kan ses i SNOWDEN eksemplet senere.

Processen standser fordi den rest vi får altid er mindre end den rest vi fik inden. Et aftagende følge af positive hele tal vil før eller siden standse

Vi kan nu konkludere at

Side 13

13

𝑎,͏𝑏͏=͏𝑟 ,͏𝑏͏=͏𝑟 ,͏𝑟 =͏𝑟 ,͏𝑟 =͏⋯͏=͏𝑟 ,͏𝑟   =͏𝑟 ,͏0͏=͏𝑟
        1       1 2     3 2         𝑗 𝑗−1     𝑗      𝑗

Så ved vi at den største fælles divisor i a,b er 𝑟_{𝑗} (Spalk, 2002, s. 12)

Bevis for RSA

Vi beviser at RSA-kryptosystemet fungerer.

𝑚͏→͏𝑚^{𝑒} 𝑚𝑜𝑑 𝑛͏→͏𝑚^{𝑒} 𝑚𝑜𝑑 𝑛^{𝑑} 𝑚𝑜𝑑 𝑛͏=͏𝑚^{𝑒𝑑} 𝑚𝑜𝑑 𝑛͏=͏𝑚

Denne ligning betyder blot at vi kan få den samme kode m for klarteksten ud som vi regner ind. Altså at:

𝑚^{𝑒𝑑} 𝑚𝑜𝑑 𝑛͏=͏𝑚

Beviset kan udføres på to måder afhængigt af om ͏𝑚,͏𝑛͏=͏1 eller (𝑚,͏𝑛)͏≠͏1

Jeg vil kun bevise tilfældet ͏𝑚,͏𝑛͏=͏1 da det næste er meget usandsynligt og er ej
hellere tilfælde i vores krypterings. Grunden til at (𝑚,͏𝑛)͏≠͏1 er usandsynligt er
fordi at da 𝑛͏=͏𝑝͏·͏𝑞 vil en fælles divisor i m og n enten være lig med p eller lig med

q, da de begge er primtal. Lad os tælle hvor mange tal mellem 1 og pq der kan divideres med p eller q: p går op i tallene: 𝑝,͏2͏·͏𝑝,͏3͏·͏𝑝,͏…͏,͏𝑞͏−͏1͏·͏𝑝 mellem 1 og pq q går op i tallene: 𝑞,͏2͏·͏𝑞,͏3͏·͏𝑞,͏…͏,͏𝑝͏−͏1͏·͏𝑞 mellem 1 og pq

Det vil sige at der er ͏𝑞͏−͏1͏+͏𝑝͏−͏1͏+͏1͏=͏𝑝͏+͏𝑞͏−͏1 tal mellem 1 og pq hvor
𝑚,͏𝑛͏≠͏1

Side 14

14

Hvis begge p og q har 100 cifre, som i et realistisk datasæt (), kan sandsynligheden

for tal mellem pq hvor ͏𝑚,͏𝑛͏≠͏1 i forhold til hvor mange tal der er mellem 1 og pq

opstilles således:

𝑝͏+͏𝑞͏−͏1 10^{100}
𝑝͏·͏𝑞 10^{200}

≈ =͏10^{−100}

Tilfælde 1

Lad os antage at m og nʼs største fælles divisor er 1. Ifølge Eulerʼs sætning gælder:

𝑚^{𝑒𝑑} (𝑚𝑜𝑑 𝑛)͏≡͏𝑚^{𝑒𝑑͏𝑚𝑜𝑑 𝜑͏𝑛} (𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Da 𝑒͏·͏𝑑͏≡͏1(𝑚𝑜𝑑 𝜑͏𝑛͏) får vi, at sætningen er bevist, hvis ͏𝑚,͏𝑛͏=͏1

Enkryptering og dekryptering af SNOWDEN

a) Vælg primtallene p = 17 , q = 23 og 𝑛͏=͏17͏·͏23͏=͏391

b) Beregn 𝜑͏𝑛͏=͏𝑝͏−͏1͏·͏𝑞͏−͏1͏=͏17͏−͏1͏·͏23͏−͏1͏=͏352

c) Vælg e således at 0͏<͏𝑒͏<͏𝜑͏𝑛͏ og (e, 𝜑͏𝑛͏)͏=͏1

Altså vælg e til at være et tal hvor den største fælles divisor af 352 og e er 1

Jeg har valgt e = 27
0͏<͏27͏<͏352 𝑜𝑔 ͏27,352͏=͏1

d) Beregn d, således at 𝑒𝑑͏≡͏1͏𝑚𝑜𝑑 𝜑͏𝑛͏

Side 15

15

For vilkårlige hele tal m og n med 𝑛͏>͏0 findes entydigt bestemte hele tal q og r, således at

𝑚͏=͏𝑞͏·͏𝑛͏+͏𝑟,͏0͏≤͏𝑟͏<͏𝑛
a = 352 , b og e = 27

Så bruger vi sætning 4.3 division med rest og får q

352

27

=͏13,03704͏=͏𝑞1

352͏−͏13͏·͏27͏=͏1͏=͏𝑟1

352͏=͏13͏·͏27͏+͏1 , 𝑎͏=͏𝑞                   ·͏𝑏͏+͏𝑟
                                                 1

1

𝑏͏=͏𝑞_{2} ·͏𝑟_{1} +͏𝑟_{2}

27͏=͏27͏·͏1͏+͏0

Dette kan benyttes til at skrive en lineær kombination af (352,27)

𝑎,͏𝑏͏=͏𝑠͏·͏𝑎͏+͏𝑡͏·͏𝑏

Ved hjælp af ovenstående udregning ka͏n vi bestemme vores d

𝑠_{1} =͏1 , 𝑡_{1} =͏−𝑞_{1} =͏−13
𝑠_{1} =͏1
𝑠_{2} =͏−𝑠_{1} ·͏𝑞_{2} =͏−1͏·͏27͏=͏−27

𝑡_{2} =͏1͏−͏𝑡_{1} ·͏𝑞_{2} =͏1͏−͏−13͏·͏27͏=͏352

𝑡_{3} =͏𝑡_{1} −͏𝑡_{2} ·͏𝑞_{3} =͏−13͏−͏352͏·͏−1͏=͏339

Side 16

16

͏

c) Benyt funktionen 𝑚͏→͏𝑚^{𝑒} 𝑚𝑜𝑑𝜑͏𝑛͏

Først koder vi bogstaverne til tal ved blot at bruge nummerering af bogstaverne i

alfabetet. For eksempel A=1, B=2 osv.

𝑆 𝑁 𝑂 𝑊 𝐷 𝐸 𝑁

19 14 15 23 4 5 14

Normalt ville man kryptere i større blokke men eftersom vi arbejder med små primtal må vi også arbejde med en bogstav af gangen, da m ikke må være større end n.

19^{27} =͏195(𝑚𝑜𝑑 391)
14^{27} =͏61͏𝑚𝑜𝑑 391͏
15^{27} =͏145(𝑚𝑜𝑑 391)
23^{27} =͏345(𝑚𝑜𝑑 391)
45^{27} =͏114(𝑚𝑜𝑑 391)
14^{27} =͏61(𝑚𝑜𝑑 391)

Siden dekrypterer vi ved at benytte funktionen:

𝑐͏→͏𝑐^{𝑑} 𝑚𝑜𝑑 𝑛͏ (Nissen, 1997, s. 104) = 195^{339} ͏𝑚𝑜𝑑 391͏=͏ 19
61^{339} ͏𝑚𝑜𝑑 391͏=͏ 14
145^{339} 𝑚𝑜𝑑 391͏=͏15
345^{339} 𝑚𝑜𝑑 391͏=͏23
114^{391} 𝑚𝑜𝑑 391͏=͏45
61^{339} ͏𝑚𝑜𝑑 391͏=͏ 14

Siden får vi den samme krypto tekst c vi enkrypterede 191415234514 hvilket betyder SNOWDEN

Side 17

17

PGP

RSA kan bådes anvendes til at beskytte lovlydige borgeres kommunikation med hinanden, men det kan også hjælpe forbrydere og terrorister med at skjule planer fra staten. Meget af denne debat er inspireret af sagen om Phil Zimmermann, hvis forsøg på at gøre RSA let anvendelig til folket udgjorde en trussel mod NSA. (Teuber,

1999)

Phil Zimmermann er kendt som manden der skabte verdens mest udbredte e-mail krypterings software, PGP, et program der var let anvendeligt for normale borgerer i USA.

”Kryptografi plejer at være en obskur videnskab, af beskeden relevans for dagliglivet.

Historisk har den altid haft en speciel rolle i militær og diplomatisk kommunikation.

Men i informationsalderen handler kryptografi om politisk magt, i særdeleshed om magtforholdet mellem en regering og dens folk. Den handler om retten til privatliv, ytringsfrihed, forsamlingsfrihed, pressefrihed, frihed for uretmæssig ransagelse og pågribelse, frihed til at være i fred.” (Teuber, 1999)

Ifølge Zimmermann er kryptograferne pligtige til at opfordre til brug af kryptering og derigennem beskytte individets privatliv:

”Det er tid for kryptografien at træde ud af spionernes og militærets skygger, at gå ud i solskinnet og lade sig omfavne af alle os andre.” (Teuber, 1999)

Da RSA blev opfundet i 1977 kunne det teoretisk opfylde Zimmermannʼs ønske, da alle og enhver kunne skabe deres offentlige og private nøgle. Men praktisk var det et problem fordi RSA-krypteringsprocessen krævede en meget stor computer kraft på daværende tidspunkt. I 1980ʼerne var det kun regeringen, militæret og ͏store forretningsforetagender som var i besiddelse af så kraftige computere.

Zimmermann mente at alle fortjente at kunne enkryptere deres beskeder og siden sikre sit privatliv. Formålet med at skabe PGP var at udvikle et RSA-produkt til

Side 18

18 folket. Han skabte PGP til at være effektivt og økonomisk, således at en almindelig personlig computer kunne anvende det. Systemet skulle også være let anvendeligt for folk selvom de ikke var bekendte med kryptologi.

PGP er en blanding af det asymmetriske RSA kryptosystem men også det traditionelle symmetriske kryptering. Den symmetriske kryptering er hurtigere at udføre og kan være lige så sikker, men problemet er at nøglerne skal transporteres fra afsender til modtager. For at undgå dette problem anvendes RSA til kryptering af den symmetriske nøgle. (Teuber, 1999)

Sikkerheden af RSA

Vi stoler på RSA som en algortime og bruger det til at skjule alle mulige følsomme informationer, som for eksempel vores konto oplysninger. Vi har tidligere talt om matematiske sætninger og regler. Men der findes ingen sætning, ingen absolut vished, om at et kryptosystem aldrig kan brydes af et tredjeparti. Anvendelsen af kryptologi kræver derfor en vis tillid. Hvorfor har samfundet tillid til RSA? Hvorfor anser vi det som sikkert?

Vi har indtil videre kun talt om at lave koder. Men lad os tage den anden hat på og prøve at dekryptere uden den hemmelige nøgle. Ifølge det redegørende afsnit ville vi behøve funktionen

𝑐͏→͏𝑐^{𝑑} 𝑚𝑜𝑑 𝑛͏ (Nissen, 1997, s. 104)

Hvor c er den krypterede blok af bogstaver. ͏Lad os antage at vi er det uønskede tredjeparti som kun har den offentlige nøgle (n, e) Vi ville så blive nød til at finde d som opfylder 𝑒𝑑͏≡͏1͏𝑚𝑜𝑑 𝜑͏𝑛͏ (Nissen, 1997, s. 103)

For at finde d må vi finde 𝜑͏𝑛͏, ͏og ͏dermed ͏p ͏og ͏q ͏som tallet består af. Dette ville kræve ͏at ͏vi ͏faktoriserede ͏n. ͏Problemet ͏er ͏at ͏der ͏endnu ͏ikke ͏findes ͏en ͏hurtig ͏og effektiv måde at faktorisere store tal, andet end bare at prøve sig frem. Dette kan

Side 19

19 tage hundrede år med selv en super computer. Som vi så i det tidligere afsnit om Eulers ͏funktion ͏kan ͏det ͏tage ͏l͏ængere ͏end ͏universets ͏levetid ͏hvis ͏primtallene ͏er store nok. ͏Derfor er den offentlige nøgle som vi er i besiddelse af n og e praktisk talt ubrugelige hvis de er over 100 cifre.

Selv hvis vi skaber en supercomputer der kan primfaktorisere et tal på 100 cifre på meget kort tid, så kan vi blot anvende endnu større primtal og få et produkt på 300 cifre, og kryptereren vil således være tilbage på sit start punkt.

Jo ͏større ͏tallene ͏bliver, ͏jo ͏sværere ͏bliver ͏det ͏at ͏faktorisere ͏i ͏forhold ͏til ͏at multiplisere. (Nissen, 1997)

I en TED Talks blev Edward Snowden spurgt hvad firmaer kan gøre for at beskytte deres brugeres privatliv verden over. Han svarede at alle firmaer burde enkryptere deres ͏browser, ͏således ͏at ͏det ͏blev ͏sværere ͏for ͏NSA ͏at ͏se ͏brugernes ͏ak͏tiviteter.

(Snowden, 2014)

Problemet ͏er ͏at ͏der ͏er ͏et ͏ujævnt ͏magtforhold ͏mellem ͏NSA ͏og ͏de ͏almindelige amerikanske borgerer. NSA har både kryptologerne og økonomien til at producere bedre ͏og ͏mere ͏effektive ͏computere ͏til ͏at ͏løse ͏og ͏skaber ͏koder. ͏I ͏følge ͏Edward Snowdenʼs ͏lækkede ͏dokumenter ͏har ͏NSA ͏computer ͏udstyret ͏til ͏at ͏bryde ͏samtlige RSA koder der anvendes på nettet i dag. Naturligvis udgør dette en vis trussel mod RSA ͏hvis ͏almindelige ͏borgere ͏ønsker ͏at ͏anvende ͏det ͏til ͏fordel ͏for ͏sit ͏privatliv.

(Meldgaard)

Vi ͏har ͏indtil ͏videre ͏set ͏hvordan ͏man ͏kan ͏bruge ͏kryptologi ͏til ͏at ͏værne ͏om ͏sit privatliv. Både Zimmermann og Edward Snowden har beskrevet overvågningen som en ͏krænkelse ͏af ͏individet, ͏og ͏at ͏privatlivet ͏er ͏en ͏rettighed ͏hos ͏individet. ͏Men forholder det sig virkelig sådan at overvågning er en krænkelse ͏af individet?

Hvad er konsekvenserne af øget overvågning

Side 20

20

”Da Googles administrerende direktør, Eric Schmidt, i et interview med CNBC i 2009 blev bedt om en kommentar til offentlighedens bekymring for hans virksomheds praksis med at registrere og gemme brugerdata, gav han dette nu famøse svar:

”Hvis folk har gang i et eller andet, de ikke ønsker, andre skal kende til, skulle de måske lade være med at gøre det”” (Greenwald, 2014, s. 195)

Dette er et glimrende eksempel på det ofte anvendte argument til fordel for overvågning – hvis du ikke har noget at skjule, så har du intet at frygte.

Problemet er bare, at alle mennesker har noget at skjule – eller i hvert fald, ønsker at skjule noget.

Foucault forklarede, ud fra teorien om Panoptikon, hvordan overvågningen i tårnet ville gennemsyre ethvert aspekt af fangernes adfærd. De ville opføre sig i forhold til det faktum, at de blev overvågede.

Et eksempel fra virkeligheden, der beviser denne teori er det britiske sociologiske eksperiment ˮIn the Best Families: Tracking and Relationshipsˮ hvor nogle familier fik sendere på sig og således, at de fik muligheden for at spore, hvor deres andre familiemedlemmer befandt sig. Det gav en større følelse af tryghed til tider, men de blev også meget bevidste om de steder de besøgte, da de til en hver tid kunne blive overvåget. Det var ikke fordi, at de nødvendigvis havde gjort noget forkert, men de frygtede hvordan deres familie medlemmer ville fortolke deres adfærd.

Forsøgspersonerne kunne til enhver tid slukke for sporingsmekanismen og derved skjule deres opholdssted. Dette gjorde dem dog ikke mere trygge, fordi de var bange for, at andre ville opfatte deres undvigelse af overvågning som mistænkelig – ikke fordi de gjorde noget forkert, men kun fordi den slukkede sporingsmekanisme, kunne opfattes som et ønske om at skjule sig. (Greenwald, 2014) Selvom vi gør noget, der ikke er ulovligt på nettet, som for eksempel at besøge porno hjemmesider eller skrive til en elsker, så er det ikke noget vi nødvendigvis ønsker, at andre skal vide. Ønsket om privatliv handler ikke nødvendigvis om at skjule noget ulovligt eller forkert. Ergo vil mennesker stadig føle sig krænket af overvågning, selv om de ikke skjuler noget ulovligt.

Da konsekvensen er, at ændrer vores adfærd, når vi overvåges, ligesom fangerne i

Side 21

21

Panoptikon, så hæmmer overvågning vores adfærd og er dermed en begrænsning af vores ytringsfrihed, af frygt for dem, der overvåger os. Privatlivets fred er en grundlæggende forudsætning for, at vi kan udtrykke os frit.

Men som det er forklaret i tidligere afsnit, kan registrering være en forudsætning for vores velfærd og beskyttelse. Phil Zimmermann mente, at alle skulle have ret til at kryptere deres beskeder, og dermed beskytte privatlivet, men problemet er, at kryptering også kan anvendes til planlægning af mere ondsindede aktivitet, for eksempel et terrorangreb.

Det må derfor konkluderes, at øget overvågning både avler tillid og mistillid.

Når Amerikanske borgere får muligheden for at kryptere sit digitale privatliv giver det dem en tryghed og et rum, hvor de kan udnytte deres ytrings frihed til fulde.

Men det skaber også stor mistillid fra statens side, fordi de ikke kan kortlægge kommunikationen på nettet og således forhindre ulovlige aktiviteter. Tor var et eksempel på et sådant netværk der var fri for overvågning. Som Gareth Owen berettede var børneporno det mest eftertragtede indhold på netværket. Tor er et eksempel på en verden uden nogen form for registrering eller overvågning overhoved. Denne manglende overvågning på Tor der ender med at resultere i anarkistiske tilstande, hvor børneporno distribueres, salg af ulovlige stoffer foregår og lejemordere kan lejes. Et anarkistisk netværk , uden nogen form for overvågning, kan således også udgøre en trussel mod individet, og mere specifikt mod individets sikkerhed.

Da Edward Snowden kom ud med sandheden om NSA skabte han også mistillid mellem borgerne og staten, og han opfordrede folk til at kryptere. Såfremt Snowden´s opfordring om, at WWW fuldkommen krypteres af individer og firmaer, med den følgevirkning, at der ikke kan udøves nogen form for overvågning eller registrering, ville vi i realiteten ende med, at WWW var ligesom netværket Tor.

Behovet for at kryptere og overvåge bliver herved en magtbalance; eller måske

Side 22

22 snarere - en løbende magtkamp, mellem borgerne og staten, hvor balancen mellem åbenhed og kryptering til stadighed ændres, som en konsekvens af gensidig tillid og mistillid mellem borgere og stat.

Perspektivering

Teorien ͏om ͏panoptikon ͏kan ͏perspektiveres ͏til ͏Edward ͏Snowdenʼs ͏lækkede dokumenter.

Som nævnt i det redegørende afsnit kunne ideen om et uovervåget netværk være et eksempel ͏på ͏Foucaults ͏pest. ͏I ͏tilfældet ͏hos ͏NSA ͏og ͏Snowden ͏så ͏begyndte

overvågning ͏at ͏stige ͏massivt ͏i ͏USA ͏efter ͏9/11 ͏da ͏den ͏såkaldte ͏Patriot ͏Act ͏blev

lovgivet. Patriot Act gav den Amerikanske stat større mulighed for at overvåge og indsamle data i terror krigens navn. Frygten for pesten erstattes således af frygten for et lignende terror angreb.

Ifølge Edward Snowden har NSA haft direkte adgang til forskellige store firmaerʼs data som for eksempel Facebook, Google og Yahoo via deres program PRISM:

“I ͏modsætning ͏til ͏BLARNEY, ͏FAIRVIEW, ͏OAKSTAR ͏og ͏STORMBREW, ͏som ͏indsamler kommunikationsdata, når de flyder igennem fiberoptiske kabler og andre former for infrastruktur ͏(såkaldt ͏upstream-overvågning, ͏som ͏det ͏hedder ͏på ͏NSA-jargon), ͏gør PRISM det muligt for NSA at foretage en direkte dataindsamling på serverne hos ni af verdens største internetvirksomheder” (Greenwald, 2014)

De har også anvendt XKEYSCORE til at lagre mere end blot metadata, hvilket består af skriftlige informationer. Med XKEYSCORE kan de lagre videoer fra Skype-opkald, Facetime-opkald og søgehistorikker.

Programmet kræver blot at man kender overvågnings objektets e-mail adresse, og siden kan man lave en søgning i programmet. Dette gør det let at identificere hver enkelt ͏person ͏og ͏analysere ͏hans ͏adfærd, ͏hvilket ͏opfylder ͏panoptismens ͏tredje princip om individualisering.

Side 23

23

Med ͏disse ͏overvågnings ͏redskaber ͏stiller ͏NSA ͏sig ͏i ͏samme ͏position ͏som ͏vagten ͏i Panoptikon ͏tårnet. ͏De ͏har ͏strukturel ͏adgang ͏ved ͏hjælp ͏af ͏PRISM ͏og ͏KEYSCORE, hvilket giver dem et perfekt udsyn til alle overvågnings objekterne, de er i stand til at ͏identificere ͏hver ͏enkelt ͏person ͏og ͏kortlægge ͏deres ͏kommunikation ͏med ͏alle andre ved hjælp af KEYSCORE.

Vigtigts af alt er de ikke selv objekt i en overvågning. Selvom der har været firmaer der har modsat sig NSA gennem retssager så har de alle tabt, fordi disse retssager ikke finder sted i de offentlige domstole. De finder sted i den top hemmelige FISA-

domstol, hvilket har givet NSA en stor frihed siden skandalen i 9/11 (Meldgaard)

Ser ͏vi ͏bort ͏fra ͏panoptikon ͏kunne ͏man ͏også ͏udvide ͏undersøgelsen ͏og ͏hvorl͏edes Edward ͏Snowdens ͏opfordring ͏til ͏øget ͏kryptering ͏kunne ͏være ͏skyld ͏i ͏terror angrebene i Paris.

Konklusion

Opgaven beskriver hvordan den elektroniske overvågning i et samfund fungerer.

Opgaven beskriver også hvordan man undgår den elektroniske overvågning og hvilke konsekvenser afstedkommer den øgede mængde overvågning.

Vi har fundet ud af hvad et elektronisk overvågningssamfund er ud fra Foucaults teori om Panoptikon, og anvendt denne teori på Edward Snowdens lækkede dokumenter for at finde ud af hvordan NSAʼs data overvågning fungerer.

Vi har fundet ud af hvordan overvågning k͏an undgås ved hjælp af RSA kryptosystemet, og hvor sikker en sådan enkryption er. Et eksempel er blevet gennemgået med beskeden SNOWDEN.

Det konkluderes, at øget overvågning både avler tillid og mistillid. Dette fordi når Amerikanske borgere får muligheden for at kryptere sit digitale privatliv, giver det dem en tryghed og et rum, hvor de kan udnytte deres ytrings frihed til fulde. Men

Side 24

24 det skaber også stor mistillid fra statens side, fordi de ikke kan kortlægge kommunikationen på nettet og således forhindre ulovlige aktiviteter.

Der konkluderes, at behovet for at kryptere og overvåge er en magtbalance; eller måske snarere - en løbende magtkamp, mellem borgerne og staten, hvor balancen mellem åbenhed og kryptering til stadighed ændres, som en konsekvens af gensidig tillid og mistillid mellem borgere og stat.

Side 25

25

Bibliografi

DenDanskOrdbog. (u.d.). Overvågningssamfund. Hentede 24. December 2015 fra

ordnet.dk: http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=overv%C3%A5gningssamfund

Fisher, D. (2007). The Panopticon's changing geog͏ra͏phy. The geographical review ,

307-321.

Foucault, M. (1975). OVERVÅGNING OG STRAF - Fængslets fødsel.

Greenwald, G. (2014). Overvåget: En insiderberetning om Edward Snowden, NSA og den Amerikanske overvågningsstat.

Jastrup, M. (2003). IT-privacy skal forbedres. Fra rådet til tinget .

Meldgaard, L. L. Disciplinær magt med lysets hastighed - Overvågning i en digital tidsalder.

Nissen, P. L. (1997). Kryptologi - fra viden til videnskab.

Spalk, J. P. (2002). Algebra og Talteori.

Teuber, J. (1999). Kodebogen. Videnskaben om hemmelige budskaber - fra oldtidens Ægypten til kvantekryptering. København.

Wikipedia. (u.d.). 1984. Hentede 24. december 2015 fra Wikipedia:

https://da.wikipedia.org/wiki/1984_(roman)