Et eksempel fra STX 3.g
SRP om Antoni Gaudí i Spansk og Matematik
Brug materialet til at undersøge opbygning, metode og faglige valg.
Lær af eksemplet på 15 minutter
Læs med de tre spørgsmål herunder, og skriv et kort svar på hvert, gerne med et sidetal. Så har du noget konkret at tage med over i din egen opgave.
- 4 min
Find problemformuleringen. Hvilket spørgsmål lover opgaven at svare på, og står svaret i konklusionen?
- 4 min
Find det afsnit, hvor de to fag arbejder sammen. Hvilket resultat fra det ene fag bliver brugt i det andet?
- 4 min
Hvilken metode bruger opgaven i hvert fag, og hvor står det? Skriv metoden ned med dine egne ord.
- 3 min
Din egen opgave: Kan du pege på det sted i din SRP, hvor fagene mødes, og skrive i én sætning, hvad det ene fag giver det andet?
Skal du selv skrive SRP? Metoden står her: SRP i matematik
Om opgaven
Ophavet er ikke dokumenteret for denne post. Katalogoplysninger: STX 3.g, SRP, Matematik A, Spansk A, 30 sider. Brug materialet til at se, hvordan teksten er bygget op, og hvilke faglige valg der er truffet.
Skal du selv skrive en SRP? Læs, hvad censor lægger vægt på, og hvordan du bygger den op: SRP, set med censorblik.
Læs, hvilke metoder matematik giver dig, og hvad du kan skrive en stor opgave om: Matematik i gymnasiet.
Hele opgavens tekst
Se originaldokumentetLæs teksten direkte her på siden. Figurer og den præcise opsætning af tabeller og formler finder du i originaldokumentet.
Gå til en side
Side 1
3
Abstract
This paper examines Antoni Gaudí and his architecture. It gives an account of where Gaudí gets his inspiration for his spectacular structures. By the analysis of different quotes this paper explains the parallels between Gaudi’s work and nature and religion. Furthermore, it illustrates the importance of mathematics and how this makes Gaudí’s constructions possible. The analysis of these three factors shows that all three of them is of very big importance in Gaudís architecture. Beyond this, the analysis shows that Gaudi’s outstanding style arises when the three factors play together. As an example of this, the paper takes a closer look at the hyperbolic paraboloid which is a three-dimensional geometrical figure. It can illustrate a crown of a tree and as well the Trinity. The paper investigates how the hyperbolic paraboloid can be generated by a set of straight lines. By the execution of two mathematical proofs the paper illustrates how a hyperbolic paraboloid is build up by two sets of straight lines. It is well proved that the lines in both sets are warped compared to each other. The influence Gaudí had on his contemporary period is also discussed, by the analysis of different quotes and reactions to his architecture. It is found that not everybody takes a pleasure in his new methods, which comprise of shapes of nature and inspiration from his faith.
Even experts are doubtful of Gaudí’s constructions and their durability. This does not stop Gaudí from inspiring the people around him to welcome nature into their architecture, whereby Gaudí leads his contemporaries time into the Catalan Modernism, of which Gaudí is a great pioneer for.
Side 2
4
Indholdsforte͏g͏ne͏lse͏
Indledning …………………………………………………………………………….……………………………………….. s. 5
Hvor finder Gaudí sin inspiration? …………….………………….……………………….………….……………. s. 6
Den styrkende religion…………………………………………………………………………………………. s. 6
Naturen – Guds værk………………………………………………………….………………………………… s. 7
Matematikken som gør det hele muligt……………………………………………………………….. s. 9
Den hyperbolske paraboloide ……………………………………………………………….……………………... s. 11
Beskrivelse ved hjælp af rette linjer………………………………………………….………………… s. 12
Første sæt frembringer…….………………………………………………………………………………... s. 13
Andet sæt frembringer……………………………………………………………………………….……… s. 17
Hvordan bruger Gaudí matematikken til at genskabe naturens former?.....……..... s. 21
Hvordan har Gaudí inspireret og påvirket sin samtid? ……………………………..…………..………. s. 22
Nye metoder tages i brug…………………………………………………………………………………… s. 23
Ny stilretning……………………………………………………………………………………………………… s. 23
Foregående historiske perioder……………………………………………………………..…………… s. 24
Inspirerer til nye metoder…………………………………………………………………………………… s. 25
Industrialismen…………………………………………………………………………………………………… s. 26
Idiot eller geni? …………………………………………………………………………………………………… s.28
͏
Konklusion ………………………………………………………………………………………………………..…….……. s. 29
Side 3
5
Indledning
Hvis man sætter en børnehaveklasse til at tegne et hus, vil det typiske hus bestå af en firkant med
1 en trekant på toppen, og selvfølgelig er dette udfaldet – det er jo sådan alle tegner huse. I 1852
fødes undtagelsen, som bekræfter reglen. Han hedder Antoni Gaudí. Gaudí er ikke det største vidunderbarn i skolen, og det eneste fag der nogensinde fanger ham er geometri. Dette får han til gengæld godt tag om. Beder man Gaudí på seks år om at tegne et hus, vil det uden tvivl ikke blive en firkant med en trekant ovenpå.
Efter et afslag lykkes det Gaudí at komme ind på arkitektskolen i Barcelona. Her uddanner han sig til arkitekt og i takt med at tiden går, bliver han en mere anderkendt arkitekt. Nytænkende og banebrydende bliver ord der ofte forbindes med Gaudí. Hans værker bliver anderledes end de andres og han skaber sin egen stilart, som senere bliver kendt som den catalanske modernisme.
Men hvordan opnår Gaudí denne succes?
Dette undersøges nærmere i opgaven. Hertil bruges fagene spansk og matematik. For at åbne ballet vil vi redegøre for, hvor Gaudí finder sin inspiration. Her undersøger vi, hvilken rolle religion og arkitektur spiller i Gaudís inspiration og hvordan Gaudís matematiske kunnen støtter op om dette. Hertil bruges blandt andet teksten Arquitectura y religión en Gaudí. Heraf følger en matematisk gennemgang af den hyperbolske paraboloide – en geometrisk form Gaudí flere gange gør brug af. Her vil vi gå i dybden, med hvordan denne kan frembringes ved et sæt af rette linjer, også kaldet frembringer. Endvidere ses eksempler på hvordan Gaudí i sin arkitektur bruger de geometriske figurer til at genskabe naturens former. Til slut diskuteres det hvordan Gaudí har påvirket og inspireret sin samtid. Dette gøres ved at tage hans metoder, dannet fra hans inspirationskilder og hans matematiske kunnen, op til vurdering i forhold til hans tidsperioden. Til denne diskussion vil vi endvidere se nærmere på forskellige reaktioner på hans arkitektur.
1
https://da.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%AD
Side 4
6
Hvor finder Gaudí sin inspiratio͏n͏?
Antoni Gaudí er en af de hidtil mest indflydelsesrige arkitekter. Hans rolle i udviklingen af Catalonien i den modernistiske tid er stor. Han formår at tænke nyt og derved at konstruere bygningsværker som ingen før. Men hvordan får han sin inspiration til dette?
Den styrkende religion
Gaudí voksede op i en ydmyg familie, hvor midlerne var få. Hans familie var troende katolikker.
Troen på at religionen kæmper for en retfærdig og socialt lige verden var gennemgående. Herved voksede Gaudís tro på religion.
”La vida es una batalla; para combatir necesita fuerza y la fuerza es la virtud y ésta sólo se sostiene
2 y aumenta con el cultivo espiritual, eso es, con las prácticas reiligiosas.”
I ovenstående citat omtaler Gaudí livet som en kamp. Ifølge Gaudí, er styrke det nødvendige våben til at kæmpe denne kamp. Denne styrke opretholdes og stiger gennem religiøs praksis, herunder åndelig dyrkning. Altså ser Gaudí religion som et livsnødvendigt middel. Et middel som han gør stor brug af.
Gaudí var fra barnsben plaget af gigt, hvilket resulterede i at han ikke kunne lege med de andre børn. Derfor måtte han finde sine kald andetsteds fra. Herunder hører natur og religion. I første omgang ligger vi naturen til side, og bearbejder hans holdning til religion.
Grundet familiens gennemgående overbevisning på at troen vil føre dem til et mere lige og retfærdigt liv, havde Gaudí et vist bånd til troen. Den var der altid, i modsætning til børnene han ikke havde mulighed for at lege med. Altså blev troen et støtte- og tilflugtssted for Gaudí.
Han vier herfor størstedelen af sit liv til at opbygge et pragtigt tempel for at prise og udøve
3 religionen. Han påbegynder konstruktionsarbejdet af la Sagrada Família i 1883. Det er Gaudís
spartanske og begyndende munkelige levevej som giver inspirationen hertil. For Gaudí er
konstruktionen af templet en protest mod tabet af de moralske værdier.^{4} Her henviser han til de2
Blanca Amenteros, s. 126
3
http://www.storbyinfo.dk/sagrada-familia-barcelona/
4
Blanca Armenteros, s. 127
Side 5
7 religiøse værdier om lighed, som bliver truet, når oplysningstidens filosoffer og religionskritikere begynder at se skævt på troen og udøvelsen heraf.
Han ønsker, at templet påvirker befolkning til at drive tilbage mod de traditionelle moraler, som i tidligere dage ikke var til diskussion.
”Los asuntos religiosos requieren el uso de todos los medios en su grado mas alto.
EI templo ha de inspirar el sentimiento de la Divinidad con sus infinitas cualidades y sus infinitos
5 atributos.”
Her ses det hvordan Gaudí, ved hjælp af arkitekturen, vil forme templet således at det bliver inspirerende. Det religiøse tempel er et sted man besøger i søgen om svar på diverse religiøse spørgsmål. Derfor er det en nødvendighed, at det styrker følelsen af guddom. En følelse som ellers kan være svær at finde uden for templets mure. Denne følelse skal, ifølge Gaudí, opbygges af de egenskaber og kvaliteter, som arkitekturen kan frembringe. I Gaudís konstruktion af La Sagrada Família ses det eksempelvis gennem hans idé om, at tårnene skal repræsentere forskellige bibelske figurer. 12 af tårnene repræsenterer de 12 apostle, fire af tårnene repræsenterer
6 evangelisterne og yderligere repræsentere to tårne, de to højeste, Jesus og Jomfru Maria.
Altså er en blanding af tro og arkitektur, ifølge Gaudí, en god cocktail for at genopbygge og inspirere til de ellers religiøse truede forhold og standpunkter.
Naturen - Guds værk
Som tidligere nævnt søgte Gaudí ud i naturen allerede fra barnsben. Her observerede han alle naturens finurlige dele. Dette fører til stor inspiration, som pirrer hans nysgerrighed og fantasi.
Dette viser sig at have stor betydning for hans kommende værker, hvori naturens geometriske former bliver brugt som byggesten. Et eksempel herpå er søjlerne og hvælvingen i La Sagrada Família, som er bygget op af hyperbolske paraboloider. Disse er at sammenligne med en trætop, hvor træets stamme splitter sig i flere grene. Endvidere ser Gaudí hvælvingerne som et storslået symbol på den Hellige Treenighed, idet der dannes to rette og uendelige frembringere og en
5
Blanca Armenteros, s. 127
6
http://www.spanskstil.dk/article.135.html
Side 6
8 frembringer som også er ret og uendelig, som drejer på de to andre:
Faderen og Sønnen, forende af Helligånden, hvor alle tre er
uendelige.^{7} Altså ses her et eksempel på hvordan religion, natur oggeometri alle har spillet sammen og inspireret Gaudí i et af sine store værker.
Den hyperbolske paraboloide går vi i dybden med senere.
Et andet argument for brugen af naturen er, at naturen, ifølge Gaudí, er Guds værk, og at man ærer Gud bedst, ved at lade sine bygninger
8 udspringe af inspirationer fra dette værk.
"El gran libro, siempre abierto y que conviene esforzarse en leer, es el de la Naturaleza; los demás libros han salido de éste y tienen además las interpretaciones y equívocos de los hombres. Hay dos revelaciones: una, doctrinaria de la Moral y de la Religión, y otra guiadora a través de los hechos
9 que es la del gran libro de la Naturaleza.”
I citatet ses det, hvordan Gaudí ligestiller betydningen af naturen med betydningen af religionen.
Det ses, at det organiske og naturinspirerede spiller en helt central rolle for Gaudís opfattelse af hvordan arkitektur bør være. Han mener, at den vigtigste lære er naturen og da naturens store bog altid er åben, skal man bestræbe sig efter at læse den. Dette vil styrke individet. I bogen vil man ikke kunne finde fejlfortolkninger og misforståelser, som ellers er at finde andre steder. Altså er den en sikker vej til læring.
”Procedencia de la naturaleza para la estructura según la función que desempeña cada uno de los
10 organos del cuerpo de la construcción.”
Her ses det, hvordan Gaudí billedeligt taler om konstruktionen som en krop med kropsdele og organer. Med dette menes, at en konstruktion skal opbygges således, at hver del har deres funktion. Selvfølgelig vil nogle dele have langt større betydning end andre, men hermed ikke sagt
7
Idee per l’architettura, s. 248
8
http://natgeo.dk/teknologi/arkitektur/gaudis-mestervaerk
9
Blanca Amenteros, s. 128
10
Gaudí, s. 77
Figur 1
Side 7
9 at selv de mindste dele er til at undvære. Akkurat som i kroppen, opnås det optimale ved at alle kroppens organer og kropsdele udfylder deres områdebehov. Det vil altså ikke give mening, hvis alle dele var sat i verden til samme formål. Et eksempel på et af konstruktionens og kroppens fællestræk er den indre solide opbygning. I kroppen er dette knoglerne. Disse er utrolig vigtige, men hvis led bliver erstattet af knogler, vil kroppens overordnede funktion gå tabt. Sådan er det også med en konstruktionen. Her er det også nødvendigt med nogle afbøjere, da en helt stiv bygning er mere tilbøjelig til at brase sammen, eksempelvis under jordskælv. Citatet kan altså anses som et slags manifest, der begrunder de mange organiske former i Gaudís bygninger.
Matematikken som gør det hele muligt
Gaudí opfatter geometri og naturen som to sider af Guds skabelsesværk^{11}, og forbindelsen mellemde to er tydelige. Gaudí kan hurtigt konkludere ud fra sine betragtninger af naturen, at den er fyldt med bløde og ikke rette linjer. Endvidere danner han hurtigt paralleller mellem naturen og geometrien.
Det er dog ikke alle dele af geometrien, som Gaudí finder attraktiv. Han er angiveligt stor
12 modstander af rette linjer og stram matematisk symmetri.
Der skal i stedet være plads til fantasiens udfoldelse i naturens mere finurlige og buede former. Hertil kan der lyde kritik af konstruktionernes holdbarhed. Dette falsificerer Gaudí dog i nogle beregninger, han foretager ved hjælp af grafisk statik. Disse beregninger fortæller, at de naturlige trætoppeformer er de mest hensigtsmæssige for bygningens konstruktion, da man ved disse former opnår, at tryklinjerne følger søjlerne og deres forgreninger. Dette mindsker problemer med udadgående horisontale kræfter, hvorved risiciene for revner og sprækker i konstruktionen formindskes. Herved kan
13 støttepiller og stræbebuer, som blev brugt flittigt i gotikken, undlades. Dette medfører et lettere
bygningsværk, både ment i konkret forstand og i den abstrakte forstand, hvor øjet syn på bygningen bliver lettere og ikke føles så tungt og indfangende.
”Si nos cautivan las agujas ojivales hemos de comprender que son hijas de una estructura que las requiere para distribuir el peso en sitios determinados; si en los ángulos y cresta del frontón hay
11
Jakobsen, s. 34
12
http://www.kristendom.dk/indføring/sagrada-familia-en-moderne-middelalderkirke
13
Jakobsen, s. 127
Side 8
10 objectos, las piedras o bloques los requieren para su estabilidad; todo tiene su razón positiva, y si una línea repugna a nuestra intuicon es que realmente no está bien, ni obramos al trazarla en
14 virtud de poderosas razones.”
I ovenstående citat omtaler Gaudí spidsbuerne, og hvorfor vi kan lide dem, da de fordeler vægten i konstruktionen og gør bygningen lettere at se på. Dette er også gældende med andre former. Han fortæller endvidere, hvordan vi rent intuitivt foretrækker former, som bidrager til en bygnings stabilitet. Alle dele i konstruktionen har hver deres relevante grund til at være der, og hvis man ser en linje der derimod, ved førstehåndsindskydelse, ikke gavner noget formål i konstruktionen, vil man ikke bryde sig om den, da det modsiger vores sunde fornuft og intuition.
Gaudís beregninger af den hyperbolske paraboloide, er blot ét eksempel af mange, hvor Gaudí viser sig fra sin matematiske kloge side. Dette er ikke uden grund. I 1869 begynder Gaudí på Barcelonas universitet. Her bruger han otte år, hvoraf han bruger de første fem på det naturvidenskabelige fakultet. Han fordyber sig blandt andet med differential- og integralregning, algebra, trigonometri og sidst, men ikke mindst, geometri. Herved opbygges en stabil matematisk
15 viden, hvorved Gaudís forudsætninger for at anvende sin viden i praksis bliver forøget. Herved
kommer matematik og ikke mindst geometri til at spille en enorm rolle i Gaudís arkitektur.
Alt i alt formår Gaudí at skabe levende, men stadig stabile konstruktioner, som inspirerer det troende menneske med guddom. Dette gør han gennem inspiration fra religion, natur og matematik. Herved får han skabt en gennembrydende arkitektur, som appellerer til alle menneskets hjerne- og hjertekamre.
16 “Para hacer las cosas bien es necesario: primero, el amor, segundo, la técnica”.
Her ses det afslutningsvist, hvordan Gaudí ser kærligheden som det primære redskab til konstruktionsarbejde. Herunder hører kærligheden til religion, natur og matematik. Derimod
14
Gaudí, s. 82
15
Jakobsen, s. 30
16
http://www.cosasdearquitectos.com/2012/10/para-hacer-las-cosas-bien-es-necesario-primero-
el-amor-segundo-la-tecnica-gaudi/
Side 9
11 kommer den tekniske udførelse ind som det sekundære redskab. Herudfra kan det konkluderes, at Gaudí vægter de følelser man danner gennem religion, natur og matematik højere end det tekniske arbejde.
Den hyperbolske paraboloide
Vi vil nu, med matematiske briller, kigge nærmere på den hyperbolske paraboloide, da den som tidligere nævnt, har spillet en central rolle i Gaudís arkitektur.
En hyperbolsk paraboloide, som er illustreret på figuren til højre, er en geometrisk saddelformet figur.
Den hyperbolske paraboloide er en flade i rummet. Altså er den en algebraisk flade. Ved at lægge et koordinatsystem passende ned over fladen vil den hyperbolske paraboloide opfylde følgende ligning:
𝑥^{2} 𝑦^{2} 𝑧
𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑐− =
Her er a og b positive konstanter og c er ≠0.^{17} I vores gennemgang af den hyperbolskeparaboloide regner vi med at c>0.
Man kan både beskrive den hyperbolske paraboloide ved hjælp af parabler, hvor man kan undersøge fladens skæringskurver med planer parallelle med de tre hovedplaner, altså xy-planen, xz-planen og yz-planen. Derudover kan man beskrive den hyperbolske paraboloide ved hjælp af et sæt af rette linjer. Det er denne måde vi fokuserer at beskrive den hyperbolske paraboloide på.
17
Jakobsen, s. 47
Figur 2
Side 10
12
Beskrivelse ved hjælp af et sæt af rette linjer
På figuren til højre er den hyperbolske paraboloide dannet ud fra en masse udspændte snore, altså rette linjer. En flade som denne, der kan fremkaldes af rette linjer, har tilnavnet en retlinet flade. Dette er altså er en flade, hvor der på hvert eneste punkt går en ret linje igennem som ligger på fladen selv. For at være præcise, ser vi i dette tilfælde en dobbelt retlinet flade, idet at der gennem hver eneste punkt på fladen, går to rette linjer som ligger på fladen. De rette linjer som fremkalder fladen kaldes fremkaldere, og det er disse vi nu vil bruge til at beskrive Figur 3 den hyperbolske paraboloide.
Vi vender nu tilbage til den første ligning, altså:
𝑥^{2} 𝑦^{2} 𝑧
𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑐− =
Denne omskriver vi, så vi kan arbejde med den i de to følgende bevis:
𝑦 𝑧 𝑎
↔ − = - vi anvender potensregnereglen =
𝑏 𝑐 𝑏𝑥 𝑎^{𝑛}
𝑎 𝑏^{𝑛}2 2 𝑛
𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
2
↔ − ⋅͏( + )͏= - vi anvender kvadratsætningen 𝑎 −͏𝑏 =
𝑏 𝑎 𝑏 𝑐𝑥 𝑎
2
𝑥 𝑦
𝑎͏−͏𝑏͏𝑎͏+͏𝑏͏, hvor a= og b= .
𝑎 𝑏Vi vil nu dele frembringerne op i et første og et andet sæt. Her vil vi bevise at fladen netop består af netop den gruppe af frembringere vi kigger på.
Side 11
13
Første sæt frembringere
Det første sæt frembringere er illustreret med blå rette linjer på figuren til højre.
For at beskrive frembringerne, vil vi gennemgå et bevis på tre dele. Først vil vi bevise, at et vilkårligt punkt P på fladen ligger på en ret linje l k for et eller andet k. Derefter vil vi bevise at ethvert punkt på l k ligger på fladen. Til slut vil vi vise at vores første sæt frembringere ligger vindskævt i forhold til hinanden.
1. For at beskrive dette sæt af frembringe holder vi første parentes i sidstnævnte formel konstant, altså gælder: 𝑥 𝑎
𝑦 − =͏𝑘 𝑏
𝑦
↔ − ⋅͏𝑎͏⋅͏𝑏͏=͏𝑎͏⋅͏𝑏͏⋅͏𝑘 - vi ganger med a og b på begge sider
𝑏𝑥 𝑎
𝑎⋅𝑦
↔ − ⋅͏𝑎͏⋅͏𝑏͏=͏𝑎͏⋅͏𝑏͏⋅͏𝑘 - vi sætter brøkerne over en fælles nævner
𝑎⋅𝑏𝑏⋅𝑥 𝑎⋅𝑏
↔͏𝑏͏⋅͏𝑥͏−͏𝑎͏⋅͏𝑦͏=͏𝑎͏⋅͏𝑏͏⋅͏𝑘 - vi ganger ind i parentesen
Planen der fremkommer for ethvert k kaldes 𝛼_{𝑘}. Denne plan har normalvektoren (b,-a,0). Det vil
derfor sige at 𝛼_{𝑘} altid er vinkelret på xy-planen, hvilket også vil sige at når k gennemløber allereelle tal, gennemløber 𝛼 alle planer parallelle med planen 𝛼 .
𝑘 0Vi indfører nu ledeplanen. Ledeplanen er planen 𝛼_{0} der har ligningen
𝑏͏⋅͏𝑥͏−͏𝑎͏⋅͏𝑦͏=͏0 .Vi isolerer for y i denne ligning:
↔͏𝑏͏⋅͏𝑥͏=͏𝑎͏⋅͏𝑦͏↔͏𝑦͏= ⋅͏𝑥
𝑏 𝑎
𝑏
Altså skærer ledeplanen xy-planen i linjen med ligningen 𝑦͏= ⋅͏𝑥.
𝑎Figur 4
Side 12
14
Vi indfører nu punktet P, som vi lader være et vilkårligt punkt på fladen. Altså må P’s koordinater opfylde: 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐
− ⋅͏( +)͏=
Dette må også betyde at P ligger på planen 𝛼_{𝑘} for et eller andet k.
Vi vil nu bestemme skæringskurven mellem 𝛼_{𝑘} og fladen. Derfor indsætter vi vores ligning for 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
vores plan, − =͏𝑘, i vores første omskrevne ligning, − ⋅͏( + )͏= :
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐𝑘͏⋅͏( +)͏=
𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐
𝑥 𝑥 𝑟
0 1
𝑦 𝑦 𝑟
0 2
Vi vil nu finde parameterfremstillingen = +͏𝑡͏⋅ for skæringskurven:
𝑧 𝑧 𝑟
0 3 𝑥 𝑦
Ved brug af vores ligning for planen, − =͏𝑘, kan vi udtrykke y ved t, ved at forsøge at sætte
𝑎 𝑏𝑥 𝑎
=͏𝑡: 𝑡͏− =͏𝑘
𝑦 𝑏
Heri isolerer vi for y:
↔^{𝑦}_{𝑏} =͏𝑡͏−͏𝑘 - ligges til og k trækkes fra på begge sider𝑦 𝑏
↔͏𝑦͏=͏𝑡͏−͏𝑘͏⋅͏𝑏 - b ganges på begge sider
↔͏𝑦͏=͏𝑏͏⋅͏𝑡͏−͏𝑏͏⋅͏𝑘 -b ganges ind i parentesen
Altså er y udtrykt ved t lig y=͏𝑏͏⋅͏𝑡͏−͏𝑏͏⋅͏𝑘.
𝑥 𝑦 𝑦
Vi vil nu udtrykke z ved t. Dette gør vi ved at indsætte =͏𝑡 og 𝑡͏− =͏𝑘͏↔ =͏𝑡͏−͏𝑘 i
𝑎 𝑏 𝑏𝑥 𝑦 𝑧 𝑘͏⋅͏( + )͏= : 𝑎 𝑏 𝑐
𝑧
𝑘͏⋅͏𝑡͏+͏𝑡͏−͏𝑘͏=
𝑐 𝑧
↔͏𝑘͏⋅͏2͏⋅͏𝑡͏−͏𝑘͏=
𝑐 𝑧
2
↔͏2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑡͏−͏𝑘 = - vi ganger k ind i parentesen
𝑐2 ↔͏2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡͏−͏𝑐͏⋅͏𝑘 =͏𝑧 - vi ganger med c over på begge led
2 Altså er z udtrykt ved t lig z=2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡͏−͏𝑐͏⋅͏𝑘
Side 13
15 x udtrykt ved t findes ud fra følgende formel: 𝑥 𝑎
=͏𝑡͏↔͏𝑥͏=͏𝑎͏⋅͏𝑡
Altså er x udtrykt ved t lig 𝑥͏=͏𝑎͏⋅͏𝑡
Herudfra kan vi sige at punktet P ligger på en kurve med følgende parameterfremstilling: 𝑥 𝑎 0 𝑦 𝑏
𝑧 2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑐 −𝑐͏⋅͏𝑘^{2}−𝑏⋅𝑘 = ⋅͏𝑡͏+
Her er t sat uden for parentesen, da den indgår i alle tre udtryk.
Her ses altså en parameterfremstilling for den linje vi kalder l.
k
Hermed har vi bevist at et vilkårligt punkt P på fladen ligger på en ret linje l k
, for et eller andet k.
2. Vi vil nu bevise at ethvert punkt på l ligger på fladen.
k
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
Dette gør vi ved at indsætte − ⋅͏( + )͏= i vores parameterfremstilling, for at se om højre
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐og venstre side er lig hinanden:
Venstre side: 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎͏⋅͏𝑡͏+͏0 𝑏͏⋅͏𝑡͏−͏𝑏͏⋅͏𝑘 𝑎͏⋅͏𝑡͏+͏0 𝑏͏⋅͏𝑡͏−͏𝑏͏⋅͏𝑘 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
− ⋅ + = − ⋅ +
=͏𝑡͏−͏𝑡͏+͏𝑘͏⋅͏𝑡͏+͏𝑡͏−͏𝑘͏=͏𝑘͏⋅͏2͏⋅͏𝑡͏−͏𝑘
2 =͏2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑡͏−͏𝑘 - vi ganger k ind i parentesen
2 Altså er venstre side lig 2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑡͏−͏𝑘
Højre side:
2 𝑧 2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡͏−͏𝑐͏⋅͏𝑘
𝑐 𝑐
2 = =͏2͏⋅͏𝑘͏⋅͏𝑡͏−͏𝑘
Her ses det at højre og venstre side er ens, hvilket vil sige at vi har bevist at ethvert punkt l ligger k på falden.
Da l per definition ligger i planen 𝛼 , vil det sige at l er parallel med ledeplanen 𝛼 for ethvert k.
𝑘 0k k
Side 14
16
3. Vi vil nu vise at når k ≠͏𝑘_{2} vil de to linjer 𝑙_{𝑘1} og 𝑙_{𝑘2}, altså to frembringere, ligge vindskævt i1 forhold til hinanden.
At linjerne ligger vindskævt i forhold til hinanden vil sige at de hverken er parallelle eller skærer
hinanden.^{18}Argumentet for at de skærer hinanden er, at 𝑙 og 𝑙 ligger i de to parallelle planer 𝛼 og 𝛼 ,
𝑘1 𝑘2 𝑘1 𝑘2hvilket vil sige, at det ikke er muligt for dem at have nogle fælles skæringspunkter.
Argumentet for at de ikke er parallelle, findes ved at finde krydsproduktet af deres retningsvektorer. Krydsproduktet vil se ud som følger:
𝑎,͏𝑏,͏𝑐𝑘 𝑥͏𝑎,͏𝑏,͏𝑐𝑘 =͏𝑏͏⋅͏𝑐͏𝑘 −͏𝑘 ,͏𝑎͏⋅͏𝑐͏𝑘 −͏𝑘 ,͏𝑎͏⋅͏𝑏͏−͏𝑏͏⋅͏𝑎
1 2 2 1 1 2=͏𝑏͏⋅͏𝑐͏𝑘 −͏𝑘 ,͏𝑎͏⋅͏𝑐͏𝑘 −͏𝑘 ,͏0
2 1 1 2Grundet at a, b og c alle per definition er forskellige fra nul og at k ≠͏𝑘_{2} vil krydsproduktet af1
deres retningsvektorer altid være ≠0. Da det gælder, at linjerne a og b er parallelle når deres
krydsprodukt er lig 0, kan vi altså konkludere at at 𝑙 og 𝑙 ikke kan være parallelle.
𝑘1 𝑘2Da de hverken er parallelle eller har fælles skæringspunkter, må de være vindskæve.
Konkluderende kan vi nu sige, at fladen består af et sæt af samtlige linjer l, altså frembringerne.
k
Endvidere gælder det, at disse frembringere er parallelle med ledeplanen 𝛼 og at de ligger
019 vindskævt i forhold til hinanden.
QED
18
http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analytisk_plan -_og_rumgeometri/vindskæve_linjer
19
Jakobsen, s. 52-53
Side 15
17
Andet sæt frembringere
Det andet sæt frembringere er illustreret med røde rette linjer på figuren til højre.
For at beskrive frembringerne, vil vi igen gå gennem et bevis med de tre samme dele som ved det første sæt frembringere, hvor vi først beviser at et vilkårligt punkt P på fladen ligger på en ret linje m q for et eller andet q.
Derefter vil vi bevise at ethvert punkt på m q ligger på fladen. Til slut vil vi vise, at vores andet sæt frembringere ligger vindskævt i forhold til hinanden.
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
1. Hvor vi før holdte første parentes konstant i − ⋅͏( + )͏= , holder vi nu anden parentes
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐konstant. Denne konstant kalder vi nu for q. Herved gælder: 𝑥 𝑎
𝑦 + =͏𝑞 𝑏
𝑦
↔ + ⋅͏𝑎͏⋅͏𝑏͏=͏𝑎͏⋅͏𝑏͏⋅͏𝑞 - vi ganger med a og b på begge sider
𝑏𝑥 𝑎
𝑎⋅𝑦
↔ + ⋅͏𝑎͏⋅͏𝑏͏=͏𝑎͏⋅͏𝑏͏⋅͏𝑞 - vi sætter brøkerne over en fælles nævner
𝑎⋅𝑏𝑏⋅𝑥 𝑎⋅𝑏
↔͏𝑏͏⋅͏𝑥͏+͏𝑎͏⋅͏𝑦͏=͏𝑎͏⋅͏𝑏͏⋅͏𝑞 - vi ganger ind i parentesen
Planen der fremkommer for ethvert q kaldes 𝛽_{𝑞}. Denne plan har normalvektoren (b,a,0). Det vil
derfor sige at 𝛽_{𝑞} altid er vinkelret på xy-planen, hvilket også vil sige at når q gennemløber allereelle tal, gennemløber 𝛽 alle planer parallelle med planen 𝛽 .
𝑞 0Ledeplanen er nu planen 𝛽_{0} der har ligningen
𝑏͏⋅͏𝑥͏+͏𝑎͏⋅͏𝑦͏=͏0 .Figur 5
Side 16
18
Vi isolerer for y i denne ligning:
↔͏𝑏͏⋅͏𝑥͏=͏−𝑎͏⋅͏𝑦͏↔͏𝑦͏=͏− ⋅͏𝑥
𝑏 𝑎
𝑏
Altså skærer ledeplanen xy-planen i linjen med ligningen 𝑦͏=͏− ⋅͏𝑥.
𝑎Vi indfører nu punktet P, som vi lader være et vilkårligt punkt på fladen. Altså må P’s koordinater opfylde 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐
− ⋅͏( +)͏=
Dette må også betyde, at P ligger på planen 𝛽_{𝑞} for et eller andet q.
Vi vil nu bestemme skæringskurven mellem 𝐵_{𝑞} og fladen. Derfor indsætter vi vores ligning for 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
vores plan, + =͏𝑞, i vores første omskrevne ligning, − ⋅͏( + )͏= :
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐
− ⋅͏𝑞͏=
𝑥 𝑥 𝑟
0 1
𝑦 𝑦 𝑟
0 2
Vi vil nu finde parameterfremstillingen = +͏𝑡͏⋅ for skæringskurven:
𝑧 𝑧 𝑟
0 3 𝑥 𝑦
Ved brug af vores ligning for planen, + =͏𝑞, kan vi udtrykke y ved t, ved at forsøge at sætte
𝑎 𝑏𝑥 𝑎
=͏𝑡: 𝑡͏+ =͏𝑞
𝑦 𝑏
Heri isolerer vi for y:
↔^{𝑦}_{𝑏} =͏𝑞͏−͏𝑡 - t trækkes fra på begge sider↔͏𝑦͏=͏𝑞͏−͏𝑡͏⋅͏𝑏 - b ganges på begge sider
↔͏𝑦͏=͏−𝑏͏⋅͏𝑡͏+͏𝑏͏⋅͏𝑞 -b ganges ind i parentesen
Altså er y udtrykt ved t lig y=͏−𝑏͏⋅͏𝑡͏+͏𝑏͏⋅͏𝑞.
𝑥 𝑦 𝑦
Vi vil nu udtrykke z ved t. Dette gør vi ved at indsætte =͏𝑡 og 𝑡͏+ =͏𝑞͏↔ =͏𝑞͏−͏𝑡 i
𝑎 𝑏 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧
𝑞͏⋅ − = :
𝑎 𝑏 𝑐 𝑧
𝑞͏⋅͏𝑡͏−͏(𝑞͏−͏𝑡)͏=
𝑐 𝑧
↔͏𝑞͏⋅͏𝑡͏−͏(𝑞͏⋅͏𝑞͏−͏𝑞͏⋅͏𝑡)͏= - vi ganger q ind i parentesen
𝑐 𝑧
2
↔͏𝑞͏⋅͏𝑡 –͏(𝑞 −͏𝑞͏⋅͏𝑡)͏=
𝑐Side 17
19
2 ↔͏ 𝑞͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡 –͏(𝑐͏⋅͏𝑞 −͏𝑞͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡)͏=͏𝑧 - vi ganger med c på begge sider
2 ↔͏2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡͏−͏𝑐͏⋅͏𝑞 =͏𝑧 - vi bruger regnereglen om at fortegnet i
parentes ændres, når der ganges ind i en minusparentes
2 Altså er z udtrykt ved t lig z=2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡͏−͏𝑐͏⋅͏𝑞
x udtrykt ved t findes ud fra følgende formel: 𝑥 𝑎
=͏𝑡͏↔͏𝑥͏=͏𝑎͏⋅͏𝑡
Altså er x udtrykt ved t lig 𝑥͏=͏𝑎͏⋅͏𝑡
Herudfra kan vi sige, at punktet P ligger på en kurve med følgende parameterfremstilling: 𝑥 𝑎 𝑦 −𝑏 𝑧 2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑐
𝑏⋅𝑞 = ⋅͏𝑡͏+
0
−𝑐͏⋅͏𝑞^{2}Her er t sat uden for parentesen, da den indgår i alle tre udtryk.
Her ses altså en parameterfremstilling for den linje vi kalder m.
q
Hermed har vi bevist, at et vilkårligt punkt P på fladen ligger på en ret linje m q
, for et eller andet q.
2. Vi vil nu bevise, at ethvert punkt på m ligger på fladen.
q
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
Dette gør vi ved at indsætte − ⋅͏( + )͏= i vores parameterfremstilling, for at se om højre
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐og venstre side er lig hinanden:
Venstre side: 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎͏⋅͏𝑡͏+͏0 −𝑏͏⋅͏𝑡͏+͏𝑏͏⋅͏𝑞 𝑎͏⋅͏𝑡͏+͏0 −𝑏͏⋅͏𝑡͏+͏𝑏͏⋅͏𝑞 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
− ⋅ + = − ⋅ +
=͏𝑡—͏(−𝑡͏−͏𝑞)͏⋅͏(𝑡͏−͏𝑡͏+͏𝑞)
=͏2͏⋅͏𝑡͏−͏𝑞͏⋅͏𝑞
2 =͏2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑡͏−͏𝑞 - q ganges ind i parentesen
2 Altså er venstre side lig 2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑡͏+͏𝑞
Side 18
20
Højre side:
2 𝑧 2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑐͏⋅͏𝑡͏−͏𝑐͏⋅͏𝑞
𝑐 𝑐
2 = =͏2͏⋅͏𝑞͏⋅͏𝑡͏−͏𝑞
Her ses det at højre og venstre side er ens, hvilket vil sige, at vi har bevist at ethvert punkt m q ligger på falden.
Da l per definition ligger i planen 𝛽 , vil det sige at m er parallel med ledeplanen 𝛼 for ethvert q.
𝑞 0k q
3. Vi vil nu vise at når q ≠͏𝑞_{2} vil de to linjer 𝑚_{𝑞1} og 𝑚_{𝑞2}, altså to frembringere, ligge vindskævt i1 forhold til hinanden.
Argumentet for at de skærer hinanden, er at 𝑚 og 𝑚 ligger i de to parallelle planer 𝛽 og 𝛽 ,
𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2hvilket vil sige, at det ikke er muligt for dem at have nogle fælles skæringspunkter.
Argumentet for at de ikke er parallelle, findes ved at finde krydsproduktet af deres retningsvektorer. Krydsproduktet vil se ud som følger:
𝑎,͏𝑏,͏𝑐𝑞 𝑥͏𝑎,͏𝑏,͏𝑐𝑞 =͏𝑏͏⋅͏𝑐͏𝑞 −͏𝑞 ,͏𝑎͏⋅͏𝑐͏𝑞 −͏𝑞 ,͏𝑎͏⋅͏𝑏͏−͏𝑏͏⋅͏𝑎
1 2 2 1 1 2=͏𝑏͏⋅͏𝑐͏𝑞 −͏𝑞 ,͏𝑎͏⋅͏𝑐͏𝑞 −͏𝑞 ,͏0
2 1 1 2Grundet at a, b og c alle per definition er forskellige fra nul og at q ≠͏𝑞_{2}, vil krydsproduktet af1
deres retningsvektorer altid være ≠0. Da det gælder at linjerne a og b er parallelle når deres
krydsprodukt er lig 0, kan vi altså konkludere, at 𝑚 og 𝑚 ikke kan være parallelle.
𝑞1 𝑞2Da de hverken er parallelle eller har fælles skæringspunkter, må de være vindskæve.
Konkluderende kan vi nu sige, at fladen består af et sæt af samtlige linjer m, altså frembringerne. Endvidere gælder det, at disse q
frembringere er parallelle med ledeplanen 𝛽 og at de ligger
020 vindskævt i forhold til hinanden.
Vi har nu bevist, at den hyperbolske paraboloide kan beskrives ved to sæt frembringere. Figuren til højre viser begge sæt frembringere på samme figur, og hvordan der derved dannes en hyperbolsk paraboloide. QED
20
Jakobsen, s. 54
Figur 6
Side 19
21
Hvordan bruger Gaudí matematikken til at genskabe naturens former?
Som tidligere nævnt bruger Gaudí den hyperbolske paraboloide, til at bringe trætoppene med ind i La Sagrada Famílias hvælvinger.
Endvidere bruger han den hyperbolske paraboloide i kirkens to sakristier. Gaudís originale gipsmodel ses til venstre. Sakristierne er bygget op således, at de består af 12 stykker af hyperbolske paraboloider. Heriblandt er der to forskellige typer, hvoraf de otte, som er ens, er bredere end de resterende fire som også er
21 ens. Disse skærer hinanden langs rumkurver. Dette resulterer i,
at bygningen består af bløde og ikke rette linjer, akkurat som naturen.
Dette er dog ikke første gang Gaudí bruger den hyperbolske paraboloide til at genskabe naturens former.
Første gang han bruger den hyperbolske paraboloide er i Colónia
Güel,l som han konstruerer i 1908 - til ære for politikeren Eusebi Güell og hans far Joan Güell. På billedet til højre ses loftet på Colónia Güell. Her ses det igen, hvordan den saddelformede figur udfolder sig i loftet og giver et livligt trætopsudseende.
21
Jakobsen, s. 134
Figur 7
Figur 8
Side 20
22
Den hyperbolske paraboloide er langt fra den eneste figur, Gaudí bruger til at genskabe naturens former. Et eksempel blandt mange findes ved vinduespartierne fra Casa Batlló.
Her bruger Gaudí hyperboloiden, hvis form kan afspejles i en fodknogle. Ovenstående illustrerer vinduespartierne, hvor der er sat en figur af en hyperboloide ind over.
2 2
𝑥 𝑦 𝑧
Den hyperbolske paraboloide er altså en algebraisk saddelformet flade, som følger − =
2 2
𝑎 𝑏 𝑐hvor a og b er positive konstanter og c er ≠0. Vi har bevist den ene ud af to måder at beskrive den
på, nemlig ved to sæt af frembringere, hvor vi beviste at fladen består af samtlige frembringere i begge sæt. Disse matematiske forhold, blandt andre, har vi ført over på Gaudís konstruktioner, for at skabe et billede af, at matematik og geometri har spillet en stor rolle for Gaudí og hans udformning af naturens former i sine konstruktioner.
Hvordan har Gaudí påvirket og inspireret sin samtid?
Som tidligere angivet, gør Gaudí brug af en levende, organisk og fantasifuld tilgang, når nye konstruktioner laves. Årene efter Gaudís død bliver han hurtigt anset, som en af de mest revolutionerende arkitekter nogensinde. Som de fleste er klar over, kommer man ikke sovende til en sådan omtale. På vejen dertil har han stået ansigt til ansigt med store kritikere af hans arkitektur. Men hvordan kan det være, at Gaudí mødte denne modstand? Svaret hertil findes blandt andet i, at manges grundvold blev rystet, da Gaudís arkitektur var så speciel. Når det fysiske miljø omkring folk ændrer sig, vil også deres tryghed forsvinde. Vi vil i det følgende se på, hvad der gør Gaudís arkitektur så speciel og hvordan det påvirker samtiden.
Figur 9
Side 21
23
Nye metoder tages i brug
Da Gaudí får sit arkitektoniske indtog i og omkring Barcelona, er det gennemgående rester fra gotikken som præger området. Gotikken er en arkitektonisk stilart, som har fokus på kirken og udviklingen heraf. Gotikken har til formål at vende folks blikke opad - mod himlen. Dette kan siges at følge Gaudís troende tankegang og hans overbevisning om, at kirker skal inspirere til guddommen. Selvom Gaudí i flere sammenhænge forbindes med Gotikken, er de modstridende poler, mellem Gotikkens og Gaudís stil, tydelige at se i de gennemgående former de gør brug af.
22 Gotikken er kendetegnet ved at være spids, skarp og kantet,
hvilket ligger mil væk fra Gaudís runde og bløde udformninger.
”Las bóvedas góticas son una falsa superficie, pues son dos círculos unidos por una recta; si uno de éstos se sustituye por una elipse, la superficie resultante es un hiperboloide (la reglada de revolución); si hubiesen sido realizadas así ganarían, pues tendrían una ley, ahora son superficies
23 bastardas”.
I ovenstående citat ses Gaudís syn på de gotiske hvælvinger. Han viser sig fra en kritisk side, når han omtaler dem og bruger sågar det nedladende adjektiv ”falsa” for at understrege hans pointe.
Hans påstand er, at de geometriske figurer fra gotikken ikke er tilstrækkelige, og derfor har godt af et frisk geometrisk pust. Han søger væk fra de todimensionelle figurer og ønsker i stedet at indføre de tredimensionelle figurer, som kan afspejle naturens former. Herfor referer han i ovenstående citat til hyperboloiden, som han mener er et værktøj, der vil bringe mere værdi til arkitekturen.
Ny stilretning
Gaudí forsøger at inspirere folk omkring ham, til at indføre naturen i deres konstruktioner, hvorved han bliver forbundet med den helt nye stilperiode, jugendstil også kaldet art nouveau, som er et formsprog, der arbejder med de kurvede figurer, inspireret af naturens former, netop som også Gaudí gør det. Stilperioden er dateret til at have sin gang i Europa mellem 1896 og
1910.^{24} Bygningsarbejdet af La Sagrada Família påbegynder i 1882, og året efter bliver Gaudí den22
https://da.wikipedia.org/wiki/Gotik
23
Blanca Amenteros, s. 131
24
https://da.wikipedia.org/wiki/Stilperiode
Side 22
24
25 hovedansvarlige arkitekt. Her laver Gaudí drastiske ændringer i de oprindelige tegninger og det
er her, han får lagt en masse af naturinspirerede geometriske former ind. Dette er altså noget han gør før jugendstils endelige indtog i Europa. Herfor siges han, at være en forgangsmand, som inspirerer folket og leder dem mod den næste store stilperiode. Da han er så nytænkende, kan han vise sider af arkitekturen og ikke mindst, sider af kunsten, som folket aldrig har set før. Ved at vise naturens integration i sine bygningsværker, viser han samtidsfolket vejen til nogle mere modernistiske konstruktioner.
Forgående historiske perioder
Gaudí forholder sig dog ikke neutralt til arkitekturens fortid. Han forsøger at tænke arkitekturhistorie og foregående traditioner ind i sine konstruktioner. I følgende citat omtaler Gaudí middelalderen og renæssancen.
”Una y otra tienen elementos muy digos de conservacion, y de los cuales no podemos prescindir
desde el momento que nosotros somos herederos de las tradiciones de una y otra edad.”^{26}Her er det tydeligt, hvordan Gaudí ser nogle vigtige arkitektoniske elementer i de foregående tidsperioder. Herudfra fastlægger han, at dette er nogle elementer, vi hverken bør eller kan se bort fra. Dette forsøger han blandt andet at overbevise om, ved at sætte sig selv og resten af folket som arvinger af de foregående tidsperioders traditioner. Nogle af de prægtigheder han ser dem som værende arvinger af, er blandt andet den enestående kuppelkonstruktion fra
renæssancen.^{27}Gaudí er dog stærkt opmærksom på de fordele og ulemper, der er ved kombinationen af renæssance- og middelalderarkitekturen.
25
http://www.storbyinfo.dk/sagrada-familia-barcelona/
26
Gaudí, s. 129
27
Gaudí, s. 129
Side 23
25
”En la Antigüedad, el estado social de la esclavitud permitía una perfectísima ejecución en todos las partes de una construcción. Entonces eran posibles los grandes sillares y las juntas en seco
(…)”^{28}Her ses det, hvordan Gaudí påskønner, at den udbredte brug af slaver, der fandtes i gamle dage, gjorde det tunge arbejde lettere og billigere. Her var prisen for at fremføre nogle enorme og perfekte bygninger meget lille, i kontrast til Gaudís tid. Grunden til dette findes i, at slaveriet i Europa ebbede ud i slutningen af middelalderen, hvorefter det kun var nogle få af samfundets
29 nederste klasser, der ikke kunne se sig frie. I 1800-tallet blev slavehandel endelig forbudt og
hermed var billig, næsten gratis, arbejdskraft langt sværere at finde. Dette gør naturligt Gaudís ønske om storslåede templer mere komplicerede. Dog er Gaudí opmærksom på de økonomiske begrænsninger, han er bundet af. Dette kan siges, at være det første skridt i den rigtige retning, hvormed nye metoder kunne udtænkes. Han ville altså ikke lade sig begrænse af økonomisk trængsel.
Inspirerer til nye metoder
Gaudí udformer metoder som bringer naturen, religion og matematikken sammen. Dette medfører mærkværdige og enestående bygningsværker, som ikke behøver at være enorme og perfektionistiske for at samle og inspirere folk.
Det viser sig dog, at ikke alle folk fra Gaudís samtid tør springe ud i de nye metoder med bind for øjnene. I flere biografier af Gaudí er det beskrevet, hvordan han tager sine håndværkere med ud i naturen, for at lade naturen inspirere dem. Eksempelvis viser han nogen af håndværkerne, hvor langt et træ kan læne sig ud over en flod. Dette gør han for at overbevise dem om, at ikke alle konstruktioner behøver den støtte, som ingeniører ellers vil postulere er nødvendigt. Gang på gang forsøger Gaudí, at falsificere ingeniørernes påstande om overdådig støtte, ved at vise hvordan naturen udfolder sig. Ofte måtte han tage til takke med kommentarer som ”Det her er
28
Gaudí, s. 129
29
http://historienet.dk/kultur/hvornaar-stoppede-slaveriet-i-europa
Side 24
26
30 umuligt, det kan ikke holde.”
Det bliver hermed Gaudís opgave, at bevise at det faktisk godt kan holde. Det lykkes, hvilket nutiden er et bevis på. Alle Gaudís konstruktioner står her endnu.
Alt i alt forsøger Gaudí at bringe mennesket og naturen tættere sammen, da mennesket har en hel del at lære af naturen og dens udformninger. Ifølge Gaudí, er det at betragte naturen, inspirerende for mennesket til at tænke mere frit og give sine tanker lov til at lege. Slutresultatet herved er at man ikke lader sig begrænse, heriblandt af ingeniørers påstande.
Industrialismen
Hele denne tankegang om at bringe naturen ind i arkitekturen og at agere mere frisindet, møder dog noget modstand. Grunden til denne modstand findes i industrialismen, som blomstrede i Barcelona i Gaudís tid. Spanien havde hidtil været kendt for landbrug, men efter at industrialiseringen begyndte i England i 1700-tallet, blev Europa mere og mere industrialiseret.
Spanien er et af de lande, der sidst bliver ramt af denne bølge, men ramt, det bliver de.^{31}I det 19. århundrede bliver den urbane ekspansion enorm. Befolkningsvæksten stiger og dette er uløseligt forbundet med stærk økonomisk vækst i hele anden halvdel af århundredet. Tekstil-, metal-, og kemiindustrien blomstrer kraftigt op i Barcelona. Dette er de første afgørende fremskridt for Barcelona og området omkring. Området bliver gennemsyret af den moderne
32 teknologi. Dette medfører en kraftig stigning i handel og investering.
Også andre steder i Europa vokser industrialismen, hvoraf modernismen følger. Her er det ofte tanken om enkelthed som er i højsædet, hvorved de karakteristiske træk er de rene former, lige linjer og funktionalitet.
Dekorationer og udsmykninger bliver hermed skrottet til fordel for den stringente funktionalitet.
Arkitekturen skal alt i alt afspejle det moderne samfund og den industrielle tidsalder og hver
bygning skal tjene et formål.^{33}30
http://netspirit.dk/new/?page=818
31
http://denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Spanien,_Portugal_og_Andorra/Spanien_gener
elt/Spanien_-_geografi/Spanien_(Geografi_-_Erhverv) 32
Gaudí and modernism, s. 4
33
http://www.dac.dk/da/dac-learning/netundervisning/arksite-kanon/om-arkitektur/stil-og- perioder/modernisme/
Side 25
27
Gaudí var enig i at bygningen skulle tjene sit formål, præcis som kroppens organer skal tjene hver deres formål.
”Las casas consistoriales, por ejemplo, son la administración municipal como lugar de cumplimiento de las necesidades; la entidad historíca y perpetua, como representación, y el sitio en
que los ciudadanos se les protegen sus derechos y se les imponen sus deberes.”^{34}I ovenstående citat omtaler Gaudí rådhuset, som eksempel på en bygning der skal tjene et formål.
Her skal man som borger have mulighed for at komme og finde historie, da den i rådhuset skal være foreviget. Endvidere er det her, borgerne altid skal kunne finde deres rettigheder, repræsenteret og beskyttet. Rådhuset skal altså fungere som det sted i byen, hvor borgere kan finde tryghed og sandhed.
Forskellene mellem modernismen i resten af Europa og Gaudís forestillinger om modernismen, findes i den måde funktionaliteten frembringes. Hvor der andre steder hersker en klar idé om, at den stringente stramme konstruktion er den mest funktionelle, er det hos Gaudí, som tidligere nævnt, i stedet en idé om, at naturens former ville inspirere folket. Altså kan det siges, at Gaudí ser mere abstrakt på begrebet funktionalitet.
Dette resulterer i, at Gaudí forsøger at lede sin samtids folk i retning mod modernismen, dog med et tydeligere strejf af frisind end andre steder i Europa. Han ønsker ikke, at den catalanske modernisme blot skal følge med strømmen og bryder derfor igennem med de runde naturlige former.
”El Templo de la Sagrada Família representará el futuro de la Cataluña moderna.”
Her ses det, hvordan Gaudí ser La Sagrada Família som repræsentant for den catalanske modernisme, hvilket også vil sige, at han sætter sig i forgangsmandens sæde for den catalanske modernisme. Han inspirerer Cataloniens folk, til at gå end anden vej end resten af Europa. Dette
34
Gaudí, s. 77
Side 26
28 resulterer i, at kendetegnene ved den catalanske modernisme bliver noget anderledes end set andre steder.
Gal eller genial?
Det står klart, at Gaudí har spillet en enorm rolle i den catalanske modernisme. Det står på samme tid lige så klart, at vejen dertil ikke er lejende let. Modstand og kritik kommer fra alle sider, selv fra hans nærmere bekendte.
“Aún no estoy seguro de haberle concedido el diploma a un loco o a un genio”.^{35}Sådan udtaler direktøren for den arkitektskole Gaudí gik på, da han overrækker Gaudí hans eksamensbevis. Dette er altså blot endnu ét eksempel ud af mange, på hvordan selv eksperter modsiger Gaudí, men at han ikke lader sig stoppe. Det lykkes ham altid at kæmpe videre og fortsætte sin kamp om at inspirere folket, til at byde naturen velkommen i den industrielle verden, så det ikke blot bliver rå og stringent funktionalitet der bliver hærgende. Dette resulterer i, at Gaudí skaber den catalanske modernisme.
35
http://noticiasvenezuela.info/2016/11/gaudi-y-la-catedral-del-siglo-xxi/
Side 27
29
Konklusion
Gaudí fandt sine store inspiration i naturen og religionen. Det synes naturligt, at religionen spiller en stor del i hans arkitektur, når man kigger på hans familiebaggrund. Her ses en katolsk familie.
Troen på religion og at det var en brik i spillet om et mere retfærdigt liv, spillede en stor rolle for hele familien inkluderet Gaudí. Herfor vier Gaudí flere årtier af sit liv til at konstruere La Sagrada Família, for at takke katolicismen. La Sagrada Família skal inspirere de folk, der søger hen til den og endvidere skal den styrke følelsen af guddom.
Også naturen spillede en stor rolle for Gaudís inspiration. Han så naturen som en del af Guds værk, og den har igennem hele Gaudís liv inspireret og pirret ham. Konstruktionen skal, ifølge Gaudí, være bygget op som kroppen, hvor hver en del har deres egen funktionalitet. Endvidere finder Gaudí, gennem sine mange observationer, at naturen er fyldt med runde og bløde former, hvilke han bliver stor tilhænger af.
Hertil bliver hans matematiske kunnen krymlet på toppen. Den hjælper med at muligøre hans konstruktioner og underbygger hans ideer, da de tredimensionelle geometriske figurer støtter op om de former Gaudí vil efterligne fra naturen.
Et eksempel på en blanding af alle disse tre er den hyperbolske paraboloide, som er en geometrisk tredimensionel figur. Denne er blandt andet brugt i hvælvingerne i La Sagrada Família, hvor den er at sammenligne med en trætop og på samme tid, ifølge Gaudí, er et symbol på treenigheden.
2 2
𝑥 𝑦 𝑧
Denne algebraisk flade i rummet beskrives ved ligningen − = . Den hyperbolske
2 2
𝑎 𝑏 𝑐paraboloide kan både beskrives som parabler og som et sæt af rette linjer. Vi fokuserede på, hvordan den kunne beskrives vha. et sæt af rette linjer. Her beviste vi, at to sæt af rette linjer, også kaldet frembringere, kan danne den hyperbolske paraboloide. Vi viste endvidere at frembringerne i hvert sæt hverken er parallelle eller har fælles skæringspunkter, hvorved vi kunne konkludere, at de er vindskæve. Herefter så vi eksempler på, hvordan Gaudí har brugt geometriske figurer til at fremkalde naturens former. Et af eksemplerne er hyperboloiden, som afspejler en fodknogle. Denne er blandt andet brugt i Casa Batlló.
Til sidst så vi, hvordan Gaudí skabte den catalanske modernisme, ved at inspirere folket til at invitere naturen og dens former ind i deres konstruktion. De nye metoder, som Gaudí bruger, fører til kritik, herunder kritik fra eksperter. Dette lader Gaudí sig ikke slå ud af og bliver i stedet ved med at kæmpe for, at rette linjer og stringente former skal udgå af arkitekturen.
Side 28
30
Litteraturliste
Bøger:
Blanca Armenteros, Josefa: Arquitecture y religión en Gaudí. Universidad Complutense de Madrid,
1996. Kaldes Blanca Armenteros i fodnoter.
Gaudí, Antoni: Escritos y documentos. Redigeret af Mercader, Laura. El acantilado, 2002. Kaldes Gaudí i fodnoter.
Tolosa, Lluis: Barcelona. Gaudí and Modernism. Oversat til engelsk af Paul, Harry. Kliczkowski.
2001. Kaldes Gaudí and Modernism i fodnoter.
Tafteberg Jakobsen, Ivan: ANTONI GAUDÌ Geometrien bag arkitekturen. Toft Jensen, Sven og Touborg, Jens Peter. 2011 Kaldes Jakobsen i fodnoter.
Gaudí, Antoni: Idee per l’architettura. Sacci di architettura, 1995. Kaldes Idee per lárchitettura i fodnoter.
Internetressourcer:
Sánchez Blasco, Luis: Para hacer las cosas bien es necesario: primero, el amor, segundo, la técinica- Gaudí. COSAS de ARQUITECTOS.
http://www.cosasdearquitectos.com/2012/10/para-hacer-las-cosas-bien-es-necesario-primero-el-
amor-segundo-la-tecnica-gaudi/
Aaris, Malene og Aaris, Lars: Spanien – geografi (Erhverv). Den store danske.
http://denstoredanske.dk/Geografi_og_historie/Spanien,_Portugal_og_Andorra/Spanien_generelt /Spanien_-_geografi/Spanien_(Geografi_-_Erhverv)
Smith, Anders: Vindskæve linjer. Den store danske.
http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analytisk_plan- _og_rumgeometri/vindskæve_linjer
Birkedal Nielsen, Sine: Sagrada Familia en moderne middelalderkirke. Kristendom.dk.
Side 29
31
http://www.kristendom.dk/indføring/sagrada-familia-en-moderne-middelalderkirke
Antoni Gaudí. Wikipedia.
https://da.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%AD
Sagrada Família – Den ufuldendte kirke i Barcelona. Storbyinfo.
http://www.storbyinfo.dk/sagrada-familia-barcelona/
La Sagrada Familia. Spanskstil.
http://www.spanskstil.dk/article.135.html
Gaudís mesterværk. National Geographic Danmark.
http://natgeo.dk/teknologi/arkitektur/gaudis-mestervaerk
Gotik. Wikipedia.
https://da.wikipedia.org/wiki/Gotik
Stilperiode. Wikipedia.
https://da.wikipedia.org/wiki/Stilperiode
Hvornår stoppede slaveriet i Europa? Historienet.
http://historienet.dk/kultur/hvornaar-stoppede-slaveriet-i-europa
Antoni Gaudi. Netspirit.
http://netspirit.dk/new/?page=818
Modernisme. DAC and learning.
http://www.dac.dk/da/dac-learning/netundervisning/arksite-kanon/om-arkitektur/stil-og- perioder/modernisme/
Side 30
32
Gaudí y la catedral del siglo XXI. Noticias Venezuela.
http://noticiasvenezuela.info/2016/11/gaudi-y-la-catedral-del-siglo-xxi/
Figurer:
Figur 1: http://barcelona-home.com/blog/da/la-sagrada-familia/ Figur 2: https://www.colourbox.dk/billede/foraar-og-sommer-med-dansk-boegeskov-med-
traekrone-og-blade-i-lysegroenne-farver-og-hoeje-traestammer-som-rager-op-i-himlen-billede-
4114643
Figur 3: Jakobsen, s. 47
Figur 4: http://szymanskispil.dk/MatFys%20z%20Keglesnit%20og%20banekurver.pdf, s.33
Figur 4, 5 og 6: Jakobsen - udkast til bog, s. 21
Figur 7: Jakobsen, s. 134
Figur 8: http://www.culturaltravelguide.com/gaudi-intriguing-secret-near-barcelona Figur 9: http://tourism-spot.com/casa-batllo-barcelona-the-house-of-bones/ og http://math.arizona.edu/~dclark/
Alle internetressourcer er seneste besøgt d. 14. december 2016.
Se opgaven i originaldokumentet eller gå til tekstens begyndelse.
Materialet
Fuld skærmOpgaven åbner, når du ruller ned til den.