SRP om olie som begrænset ressource i Naturgeografi B og Matematik A

Side 1

STX 3.g

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

1

Studieretningsprojekt

3f

STX 3.g

Fag: Vejleder:

Naturgeografi B

Matematik A

Opgaveformulering:

Foretag en geofaglig behandling af emnet olie.

Der ønskes en redegørelse for den matematiske teori bag Hubbert’s Peak. Redegørelsen skal indeholde en behandling af den logistiske differentialligning og teorien bag lineær regression.

Relevante dele af den matematiske teori ønskes anvendt på autentiske data fra olieindustrien.

Diskuter, hvorvidt der vil være olie nok i fremtiden. I diskussionen skal inddrages udvalgte lande/regioner

som konkrete eksempler.

Side 2

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

2

Abstract

This paper studys a geographic process of oil, in which oil formation and how extracted oil. There will also be a mathematics theory, whit regression and logistic differential equation. Hubbert’ clock curve, where is also an explanation of, which faults and imperfections Hubbert’ curve has. But to the still frames exactly, even if there are some errors on his time, that does not take into account some factors and thereby allows fluctuations in Hubbert's theory about when oil will run out.

Eventually there will be a discussion on which oil enough in the future that will be involved U.S. oil production that will be compared with Hubbert's theory, when u. S would reach peak oil. After what we have seen, could look as though there is enough oil, but because it cannot retrieve all oil up in the oil fields, there won't be enough oil, but justified new clean and renewable energy, it will replace some of the oil, so oil consumption will fall and thereby gets in a mixture of oil and other energy sources.

Indholdsfortegnelsen

Abstract ................................................................................................................................................ 2 Indledning ............................................................................................................................................ 3 Geofaglig behandling af Olie ............................................................................................................... 3 Olie dannelse .................................................................................................................................... 4 Reserver ........................................................................................................................................... 6 Skifergas........................................................................................................................................... 7 Hubbert’s Peak ..................................................................................................................................... 9 Matematik .......................................................................................................................................... 10 Kvadratsummer .............................................................................................................................. 10 Mindste kvadraters metode ............................................................................................................ 12 Differentialligninger....................................................................................................................... 15 Stamfunktioner. .............................................................................................................................. 15 Separation....................................................................................................................................... 16 Den logistiske ligning .................................................................................................................... 17 Beviserne og Hubbert’s metoder.................................................................................................... 20 Er der olie nok? .................................................................................................................................. 25 Konklusion: ........................................................................................................................................ 29 Litteraturliste ...................................................................................................................................... 30 Bilag ................................................................................................................................................... 31 Bilag 1 ............................................................................................................................................ 31

Side 3

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

3

Bliag2 ............................................................................................................................................. 31 Bilag 3 ............................................................................................................................................ 31 Bliag 4 ...................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

Indledning

I denne opgave bliver der præsenterer en geofaglig behandling af emnet olie, hvor i der indgår, hvilken rolle spiller olien for os i dag. Hvordan dannelsen af olie undergrunden forgår og hvor olien befinder sig i undergrunden i de forskellige bjergarter, hvorfor nogle elementer der skal til, før der kan findes olie i undergrunden og er der kommet nye teknologier til, der har gjort olien er nemmer at indvinde, eller har man opdaget en ny energikilde, alle disse elementer har indflydelse på, hvor meget olie der kan indvindes. Der vil også være en redegørelse, af den matematiske teori bag Hubbert’s Peak. Redegørelsen vil indeholde en behandling af lineær regression og den logistiske differentialligning teori og teorien bag Hubbert’s ligning, ud fra teorien vil den blive anvendt på autentiske date fra olieindustrien i U.S. I diskussionen vil der bliver diskuteret, om der vil være nok olie i fremtiden, der vil blive inddraget noget fra den geofaglige behandling og Hubbert’s matematik for U.S, derved vil jeg inddrage grafer for U.S olie produktionen og om der er nye energikilder der kan overtage oliens forbrug, eller de nye energikilder er med til, at hjælpe med at sænke olie forbruget i verden.

Geofaglig behandling af Olie

Olie har været og er fundamentet for vores levevilkår. Hvis vi ikke havde olie, ville vi ikke kunne leve som vi gør nu, vi ville fx ikke have biler, skibe, fly, opvarmning af hustande og kæmpe produktioner. Siden 1960’erne hvor udviklingen begyndte, steg olie forbruget merkant, der kom væsentligt flere og flere ting, der skulle bruge olie til drift. Der ved steg olie forbruget merkant, der var ikke nogen der tænke på, hvilken konsekvenser det ville have for verden, man havde ingen ide om, at en dag ville olien slippe op. Dette så folk da U.S nåede peak oil i 1971. Dette gjorde der kom

Side 4

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

4 oliekrise, folk indså nu, at der ikke var uanede mænger af olie i undergrunden. Fra ca.

var der oliekrise i verden, man sætte der ved olie forbruget ned. det ses også på nedstående figur.

Hvor vi ser et faldt i olie forbruget, fra 1970, hvor efter den stiger igen, til ca. 1978 og falder igen til

1985, her har der været oliekriser der har ændret olie forbruget, da der har været mangel på olie.

(Jimmy Mangelsen, 2011) figur3.1

I 1965, blev der brugt 30.000 olietønder pr. dag verden over. I 2005 er den på ca. 85.000 olietønder pr. dag dette er næsten en tre dobling af olieforbruget i verden.

Men før alt dette kan ske, skal der være dannet olie og vi skal have pumpet det op af undergrunde.

Olie dannelse

For at der kan dannes olie, skal der en række faktorer til, disse faktorer er alt afgørende om der kan dannes olie eller ikke, vi skal huske det tager flere millioner år før olien bliver dannet, det er derfor der kommer efterspørgsels på olie, da vi ikke selv kan lave det, selv om man forsker i om det kan lade sig gøre, har forskerne ikke knækket denne kode.

- Organisk materiale

- Aflejring under iltfire forhold (anearobt proces)

- Tid

- Temperatur

- Tryk

Alt dette skal være til sted for, at der kan dannes olie i undergrunden. Det organiske materiale er fx døde dyr og planter, for det kan dannes til olie. skal det aflejres et sted, hvor der ikke er ilt til stede

fx havbunden (anearobt proces), ellers ville det organiske materiale forrådne og omdannes til 𝐶𝑂
                                                                              2

og 𝐻_{2} 𝑂. Hvordan kan man så finde olie i undergrunde på landoverflader? Det er fordi, de fleste

landområde har været dækket af havbunden på et tidpunkt, i de flere millioner af år jorden har eksisteret og hvor der har været levende organismer til steder, derved kan man finde olie på land.

Men man skal da huske, det er først da der er kommet organiske materiale (liv) tilstede på jorden, der har kunne dannes olie i undergrunden. Des stører aflejringerne er af plankton og dyr fra havet, des større er sandsynlighederne for, at der bliver dannet olie. På landoverfladen, hvor planter og dyr bliver aflejret, er der større sandsynlighed for naturgas i undergrunden.

Side 5

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

5

Tid, tryk og temperatur hænger sammen, det organiske materiale, skal have et hvis tryk og temperatur før det bliver dannet til olie. Oliedannelsen starter ved ca. 60℃ og slutter ved ca. 150℃ Dette kaldes for olievinduet. Når temperaturen når over ca. 130℃ bliver der dannet gas.

Temperaturen i undergrunden stiger med dybden, temperaturen stiger ca. med 1℃ pr. 30 𝑚

30𝑚 · 60℃ = 1800𝑚 når det organiske materiale når 1800m, ned i undergrunden, er der ca. 60℃

så ved 1800m dybde begynder olie dannelsen, men hvor langt skal det organiske materiale ned i

undergrunden, for omdannelse til olie er færdig. 30𝑚 · 150℃ ≈ 4500𝑚, vi skal ned omkring 3km

- 5km dybde for, at finde olie, da olie dannelse kan slutte ved 130℃ da det er hyppigst gas der bliver dannet over 130℃. Nu er olien dannet, men hvordan får man den så hente op af undergrunden.

Olysninger på tal, info er fundet i denne bog (Jimmy Mangelsen, 2011) s.60-78

Olie i undergrunden

Man skal ikke tænke olie ligger som en sø for sig selv i undergrunden, det ligger inde i forskellige bjergarter, olien bevæger sig altid op mod overfladen, men det er ikke alle bjergarter den kan trække sig igennem, til sidst vil den møde en bjergart på veje op, som er for tæt, og der kan olien ikke trække sig igennem den, der vil olie felter dannes.

(Jimmy Mangelsen, 2011) figur.3,6

Vi har 3 bjergarter der har betydningen for, hvor der kan findes olie felter. Kiledebjergart er det lag, der består af kalksten, lersten og skifer, det og også det lag der ideholder organiske materiale ca. 2-

5%. Begrund af det øget tryk i undergrunden, vil gas, olie og vand blive trykket op, først vil gassen blive trykket op, da det har den laveste masse fylde, derefter olie også vand til sidst, hvor olie og vand ikke flyder sammen, er fordi, olie og vand er forskelige, vand har både positive og negative elektroner, hvor olie kun har positiv elekroner, derved vil olien lægge sig øverst og ikke blive sammen med vandet.

Det næste lag kaldes for reservoirbjergart det er det lag, hvor gas, olie og vand bliver stoppet af

                      1
laget hen over, seglbjergart . I reservoirbjergart findes der kalk og sandsten begge er to bjergarter

1

Seglbjergarten bliver beskrevet i næste af snit.

Side 6

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

6 der har kendetegn for, at have en høj porøsitet [2] og en høj permeabilitet [3], kalk har dog en lav permeabilitet grundet kalkens små porestørrelser. I kalklagene vil olien bevæge sig langsomt, igennem men indeholder store mænger af olie.

Seglbjergarten er den bjergart der stopper olien fordi, bjergarten har en meget lav porøsitet og permeabilitet, de bjergarter er fx saltlag, lersten og kan være kalk med meget lav permeabilitet. Så inde i disse bjergarter kan der findes olie, hvis alle ting er gået til som de skulle. Dette medføre olien er ulig fordelt over verden, og nogle lande er rige på olie og andre er ikke.

For at kunne finde ud af, hvor olien muligvis er, bruger man seismiske undersøgelser af havbunden og undergrunden. Man sender ultralyd ud i vandet, derefter reflekteres lyden tilbage af de forskelige bjergarter, dette opfanger hydrofonen, (bilag1) nu kan man få et form, for ultralydsbillede af bjergarterne i undergrunden. Dette kan være med til, at skabe et billede af, hvor olien kan være i undergrunden, men for at finde ud af om der olie, er man nød til, at tage en prøvebording før man ved der olie i undergrunde.

Oplysninger er fundet i bogen (Jimmy Mangelsen, 2011) s.60-78

Reserver

http://www.geologi.dk/oliegas/p2A.png (Gas, 2014)

Her ses hvordan oliereserver og gasreserver er fordelt i 2014. Hvad betyder reserver? Reserver er forudsætning på det opgjorte olie og gas, som kan udvindes under de økonomiske forhold der er, det vil sige, at det olie der er for dyrt at indvinde, ikke er med i denne figur. Da oliefirmaer ikke er, insereret i at hente olie op, når olie prisen lav og derfor ikke kan betale sig med den økonomiske profit. Dette kan også have betydning på, at olieproduktionen stopper da det økonomisk set ikke giver nok profit.

2

Stor andel af hulrum i bjergarten, så det er plads til gas, olie og vand.

3

God gennemstrømning af gas, olie og vand

Side 7

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

7

Mellemøsten har de største reserver, dette har betydningen for olie prisen i verden, hvis der sker noget i Mellemøsten der påvirker olie produktionen kan det hurtigt påvirker prisen på olie.

(Gas, 2014)

Oliebordinger

Vi har nu fundet olie i en prøvebordingerne, reservoirbjergarten består hyppigst af kalk. Der er en primær metode og en sekundære metode til indvinding af olie. Den primær metode er den traditionelle boring, hvor man border lodret ned til olien, ved denne metode kan der indvindes ca.5% af olien der presses op, grundet trykke nedefra, men fordi kalken har en lav permeabilitet, bevæger olien sig langsomt. Der ved har man fundet en metode, der kan presse olien op, derved kan man udvinde ca. 20 procent mere. (Jimmy Mangelsen, 2011) Denne metode er kaldes Fracking.

Fracking er, hvor man presser en væske ned i brønden, med et højt tryk, dette givet et højt pres på olien og derved kan man skubbe olien op i brønden, og derved øges olie indvindingen. (Holm,

2012)

Den sekundære boring, er en opfindelse af Maersk, hvor man laver en horisontal boring i olie feltet, men hvordan kan man borehorisontal? Dette gøres, at man bruger længere rør og man drejer langsomt med borehovdet og til sidst borde man horisontalt. Denne borde teknik giver en gennemsnitlig indvindingsgrad på omkring 12% fordi, brønden får et stører overfalde areal inde i olie feltet, hvor olien kan komme ind i oliebrønden. (Holm, 2012) Ved brug af fracking i en horisontal bording, kan der udvindes ca. 25% af oliereservoiret [4]. I USA bruger man injektion af

𝐶𝑂_{2}, hvor man pumper det ned til olien, dette medfører olien bliver tynder og flyder lettet igennem

kalken, derved kan man opnå en gennemsnitlig indvindingsgrad på ca. 30% Sener i opgaven i diskussionen om der er olie nok vil jeg, beskrive de sidste 70% i oliereservoiret som ikke er blevet hentet op.

(Jimmy Mangelsen, 2011) (Holm, 2012)

Skifergas

(S.Deffeyes, 2006; Adminstration Eia U.S Energy Information, 2012)

Skifergas er en nylig energikilde, man fandt omkring 2005, men det er først omkring 2010 man er begyndt at indvinde skifergas. Mange mener skifergas er en god forsikring, da det kan erstatte noget

4

Se bilag2 for figur på horisontal boring og traditionel bording

Side 8

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

8 af olie forbruget, og derved forlænge tiden til oil peak. I min diskussion vil jeg komme ind på, hvor meget skifergas har på virket et lands økonomi og om det er svaret på verdens olie mangel.

Skifer er gammelhavbund men, hvordan kan det være? Som nævnt tidligere, hvordan olie og gas er dannet, det samme sker når skifer skal dannes. Skifergas befinder sig i bjergarten skifer, skifer har en meget lav permeabilitet, så skifergasen kan kun pumpes op ved fracking. Som der ses på billede nedenunder, kan man se skifergas bevæger sig ikke opad, men er fanget i bjergarten skifer, skifer lægger omkring 4 km nede, skifergas bliver dannaet sammen med olie, men skifergas, er den gas og olie der blev dannet i skiferbjergarten og derved ikke fulgte med gassen og olien. (Nordsøfonden, u.d.)

http://www.skifergasnejtak.dk/media/cms_page_media/3/skifergasdkillustration.jpg

(Nordsøfonden, u.d.)

I et skifergasfelt er indholdet af skifer ikke så højt, som konventionelle gas felter. Derfor skal der en del boringer til, i forhold til de konventionelle gas felter, for at opretholde en stabil produktion af skifer gas, derfor krævers der en del flere boringer, fx i Barnett Field i Texas, er det boret ca. 20.000 brønde. (Geus, 2015) Fordi produktion fra en brønd er særdeles laver end konventionelle gasfelter.

Derved er det tidskravende at pumpe skifergas op, men det stadig en billiger energikilde end olie.

Men skifer gas er ikke svaret på oliens problem, for skifer med fører også en del miljøproblemer med sig. Skifer indvinding er blevet forbudt eller takket nej tak i flere lande, grundet de miljøproblemer skifer kan medføre, de søstre problem er, at drikkevandet kan forurenes af skifergas indvinding, da det der bliver anvendt kemikalier til fracking processen, dette kan forurene vandlagene og drikkevandreservoirerne ved borehullet, men man kan der også bruge vand, men der har også konsekvenser. Når der bruges store mængder vand, kan dette medfører til at vandstanden i grundvandsreservoirerne falder og det vand der bruges til fracking af skifergas, kan også blive forurenet af gassen og andreting i undergrunden. Skifer gas er også med til, at påvirker drivhuseffekten og derved øges klima problemerne også af skifergas, dog er det mere miljøvenligt

end olie, da skifer ikke udleder så meget 𝐶𝑂_{2} som olie gør. (vedvarendeenergi, u.d.)

Side 9

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

9

Hubbert’s Peak

Hubbert var en såkaldt pessimist, han mente ikke olien var bæredygtigt, og han beregnede sig frem til, hvornår der ville komme mangel på olie, i U.S. og i verden. Han lavede en kurve der blev kaldt klokken. Klokken viser produktion fra et oliefelt, produktion stiger hurtigt og når et stabilt niveau, hvor det maksimale olie hentes op fra oliefeltet. Når oliefeltet er ved, at være tømt vil produktion falde brat, som ses på kurven neden under.

(Jimmy Mangelsen, 2011) Figur. 3.12A

Dette vil ske for alle olie felter, selv om det bliver fundet nye olie felter, vil olieproduktion toppe på et tidspunkt, dette kaldes for peak oil.

I 1956 forudså Hubbert ud fra hans beregninger, at olieproduktion i U.S ville ramme i 1970. Dette skete ikke og alle oliebrancherne hængte ham ud for, at være en hykler. Men i 1971 toppede olieproduktion og der fik alle øjne op for Hubbert’s teori. Hubbert havde vurderet, at verden ville ramme peak oil i år 2000, dette skete, men i Danmark nåede vi peak oil i 2004, og mange mener, at peak oil for verden blev passeret i år 2005. (Poul Osmundsent, 2011). En af grunde til, at Hubbert ikke har ramt de rigtige årstal, kan skyldes hans model, for den ikke tager hensyn til udsving i olieproduktionen, i de forskellige lande. (Se bilag 3) her ses Iraks olieproduktion i tusind tønder pr.

dag fra I år 1980 falder produktion drastisk på få år, fra en produktion på over 3.500 tusind tønder pr. dag til næsten en produktion på 0. det samme sker i år 1990 hvor produktion stopper helt, når en olieproduktion stopper, vil det sige man skubber peak oil, længere ud i fremtiden, da man ikke har en konstant olieproduktion hvert år. Dette betyder Hubbert’s klokke kurve, kun kan bruge på olie felter der lægger i lande og områder, hvor der er stabil politisk forhold, så oliebranchen ikke udsættes for politiske svingerne fra år til år, der kan eksempelvis komme naturkatastrofer eller tekniske problemer, som kan påvirker olieproduktionen i længere tid og derved ændre olieproduktionen for de enkle oliefelter. Alt dette påvirker peak oil, da olieproduktion ikke er jævn hvert år, dette er så med til, at Hubbert’s teorier ikke holdte, men det er utroligt, at en mand i 1956 kunne forudsig så mange år ud fremtiden og verdens olie forbrug.

Side 10

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

10

Peak oil bevægelse er ikke bekymret for hvornår olien slipper op, det deres bekymringer går på, er hvornår peak oil rammer verden og når olie produktionen falder, fordi vores forbrug stiger og stiger, men fordi olie produktionen falder er det ikke ensbetydende med, at vi sænker vores forbrug af olie.

Men dog kan vores olie forbrug, sænkes fordi olien vil blive så dyr, at ens økonomi ikke har råd til, at bruge alt den olie som der bliver brugt i dag. Så på et tidspunkt må, grafen for forbrug og olie produktionen krydse hinanden, dette er illustreret på figur 3.4 neden under.

(Jimmy Mangelsen, 2011)

Når dette sker vil det med følge en række konsekvenser for hele verden. Verden vil være i energi mangel, hvis man ikke finder en ny energi kilde inden dette sker. Olie prissen ville stige merkant og dette er et tegn på, at udbuddet ikke kan følge med efterspørgsel. (Jimmy Mangelsen, 2011) derfor regner man med, at en række nye energi kilder, har nået at hjælpe med at sænke olieforbruget, så vi ikke vil ende i denne onde cirkel.

(Jimmy Mangelsen, 2011) (S.Deffeyes, 2006)

Matematik

Kvadratsummer

Vi følger beviset i (Jens Carstensen, 2006) s. 273-274

Vi skal huske et nogle ting igennem beviserne.

Dette ses her hvor olie forbrug og olieprodu ktionen skær hinanden

Side 11

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

11

𝑦_{𝑛} n’et det står for ∞ ålser et tal fra 0 − ∞ det kan ikke være minus det der er antallet af punkter

man har og man ikke kan have minus punkter.

𝑦̅ 𝑜𝑔 𝑥̅ = 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡 𝑎𝑓 𝑦^{′} 𝑒𝑟𝑛𝑒 𝑜𝑔 𝑥′𝑒𝑟𝑛𝑒

    1
𝑦̅ = (𝑦 + 𝑦  +······· +𝑦 )
       1   2         𝑛
    𝑛

Vi har valgt 𝑛 = 3. nu er der forlagt 3 tal og ved formel hen over kan men beregner deres middeltal

    1
𝑦̅ = (𝑦 + 𝑦 + 𝑦 )                             (1)
       1   2   3
    3

⇕

𝑦_{1} + 𝑦_{2} + 𝑦_{3} = 3𝑦̅

Det ville se ud i almindligheden 𝑦_{1} + 𝑦_{2} +····· +𝑦_{𝑛} = 𝑛𝑦̅

Definition af kvadratsum:

𝑞 ( 𝑐) = ( 𝑦_{1} − 𝑐)^{2} + ( 𝑦_{2} − 𝑐)^{2} + ( 𝑦_{𝑛} − 𝑐)^{2}

𝑐 = kvadraternes afvigelse mellem y’erne

Vi får angivet nogle y’er og c’er 𝑦_{1} = 2, 𝑦_{2} = 7, 𝑦_{3} = 9 𝑐 = 8, 𝑐 = 4, 𝑐 = 5

Nu skal vi regne 𝑞 ( 8),𝑞 ( 4), 𝑜𝑔 𝑞(5)

𝑞 ( 𝑐) = ( 2 − 𝑐)^{2} + ( 7 − 𝑐)^{2} + ( 9 − 𝑐)^{2}

𝑞 ( 8) = ( 2 − 8)^{2} + ( 7 − 8)^{2} + ( 9 − 8)^{2} = 36 + 1 + 1 = 38

𝑞 ( 4) = ( 2 − 4)^{2} + ( 7 − 4)^{2} + ( 9 − 4)^{2} = 4 + 9 + 25 = 38

𝑞 ( 5) = ( 2 − 5)^{2} + ( 7 − 5)^{2} + ( 9 − 5)^{2} = 9 + 4 + 16 = 29

                                                        −𝑟
𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑟𝑥 + 𝑠 Når 𝑝 > 0 kan vi antage mindste værdigen, når 𝑥 = dette er toppunkts
                                                        2𝑝

           −𝑏
formlen 𝑥 =
           2𝑎

𝑞 ( 𝑐) = ( 𝑦_{1} − 𝑐)^{2} + ( 𝑦_{2} − 𝑐)^{2} + ( 𝑦_{3} − 𝑐)^{2}

⇕

= 𝑦_{1}^{2} + 𝑐^{2} − 2𝑐𝑦_{1} + 𝑦_{2}^{2} + 𝑐^{2} − 2𝑐𝑦_{2} + 𝑦_{3}^{2} + 𝑐^{2} − 2𝑐𝑦_{3}

⇕ nu samles alle led sammen

Side 12

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

12

= 3𝑐^{2} − 2𝑐 ( 𝑦_{1} + 𝑦_{2} + 𝑦_{3}) + 𝑦_{1}^{2} + 𝑦_{2}^{2} + 𝑦_{3}^{2}

Hvis c er et fast tal og 𝑦_{1},𝑦_{2} …….𝑦_{𝑛} er et given tal, får man det mindste kvadratsum, hvis 𝑐 = 𝑦̅

Mindste kvadraters metode

Vi følger beviset i (Jens Carstensen, 2006) s. 274-277

Vi skal illustrer at vi har en tabel af x og y’er, dette giver en række punkter i et koordinatsystem.

Vi har lært at tage regressionslinjen i cas/wordmat. Ved given ligning 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 også kendt som
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Hvis 𝑥̅ er middeltallet af 𝑥 ,𝑥 𝑜𝑔 𝑥 nu kan vi skrive ligningen sådan her.
                     1  2    𝑛

𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 <=> 𝑦 = 𝑝𝑥 − 𝑝𝑥̅ + 𝑞 + 𝑝𝑥̅ <=> 𝑞 + 𝑝𝑥̅ + 𝑝(𝑥 − 𝑥̅)

Vi sætter nu 𝑏 = 𝑞 + 𝑝𝑥̅ og 𝑝 = 𝑎 nu kan vi skrive formlen sådan. 𝑦 = 𝑏 + 𝑎(𝑥 − 𝑥̅)

Vi skal finde regressionslinjen ved, at bestemme summen af kvadratet på de lodrette afstande i mellem punkterne og linje er mindst mulige. Kvadraterne er

𝑑_{1}^{2} = (𝑦_{1} − 𝑏 − 𝑎(𝑥_{1} − 𝑥̅) , 𝑑_{2}^{2} = (𝑦_{2} − 𝑏 − 𝑎(𝑥_{2} − 𝑥̅) ,………., 𝑑_{𝑛}^{2} = (𝑦_{𝑛} − 𝑏 − 𝑎(𝑥_{𝑛} − 𝑥̅)

Vi har de lodrette linjer 𝑑 ,𝑑 𝑜𝑔 𝑑 der går fra punktet til linjen.
                    1  2    𝑛

(𝑥_{1},𝑦_{1}) ( 𝑥_{2},𝑦_{2}) …….(𝑥_{𝑛},𝑦_{𝑛}) 𝑥_{𝑛},𝑦_{𝑛} er antal punkter i kordinatsystemet

𝑏 + 𝑎(𝑥 − 𝑥̅) Dette er linjens hældning

Man skal have 3 punkter for at kunne lave linjens ligning derfor skal vi have op til

(𝑥_{3},𝑦_{3})

𝑥_{1}

𝑏 + 𝑎(𝑥_{1} − 𝑥̅)

𝑦_{1}

( 𝑥_{1},𝑦_{1})

𝑑_{1}
𝑦_{2}

𝑥_{2}

(𝑥_{2},𝑦_{2})
𝑑_{2}

Side 13

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

13

𝑑_{1},𝑑_{2} 𝑜𝑔 𝑑_{𝑛} Dette er afstande mellem punktet og linjen på figuren.

Vi skal vælge så a og b bliver mindst mulig, da det er de mindste kvadraters metode vi beregner.

Nu kan vi regne kvadratsummen afstandene:

𝑠 = (𝑦_{1} − 𝑏 − 𝑎 ( 𝑥_{1} − 𝑥̅))^{2} + (𝑦_{2} − 𝑏 − 𝑎 ( 𝑥_{2} − 𝑥̅))^{2} + (𝑦_{3} − 𝑏 − 𝑎 ( 𝑥_{3} − 𝑥̅))^{2}

Hvis vi ser på en parentes skal det ses som to led: ( ( 𝑦_{1} − 𝑏) − 𝑎 ( 𝑥_{1} − 𝑥̅))^{2}

Vi betragter første led i s:

( ( 𝑦_{1} − 𝑏) − 𝑎 ( 𝑥_{1} − 𝑥̅))^{2} = ( 𝑦_{1} − 𝑏)^{2} + 𝑎^{2} ( 𝑥_{1} − 𝑥̅)^{2} − 2(𝑦_{1} − 𝑏) · 𝑎(𝑥_{1} − 𝑥̅)

Dette gøres også ved de to andre led

( 𝑦_{2} − 𝑏)^{2} + 𝑎^{2} ( 𝑥_{2} − 𝑥̅)^{2} − 2(𝑦_{2} − 𝑏) · 𝑎(𝑥_{2} − 𝑥̅)

( 𝑦_{3} − 𝑏)^{2} + 𝑎^{2} ( 𝑥_{3} − 𝑥̅)^{2} − 2(𝑦_{3} − 𝑏) · 𝑎(𝑥_{3} − 𝑥̅)

Nu samles alle led og sættes i roden.

𝑠 = ( 𝑦_{1} − 𝑏)^{2} + ( 𝑦_{2} − 𝑏)^{2} + ( 𝑦_{3} − 𝑏)^{2} + 𝑎^{2} (( 𝑥_{1} − 𝑥̅)^{2} + ( 𝑥_{2} − 𝑥̅)^{2} + ( 𝑥_{3} − 𝑥̅)^{2}) −
2𝑎( ( 𝑦_{1} − 𝑏) · ( 𝑥_{1} − 𝑥̅) + ( 𝑦_{2} − 𝑏) · ( 𝑥_{2} − 𝑥̅) + ( 𝑦_{3} − 𝑏) · ( 𝑥_{3} − 𝑥̅))

Nu betragters det ”sidste” led, koefficienten til -2a

( 𝑦_{1} − 𝑏) · ( 𝑥_{1} − 𝑥̅) + ( 𝑦_{2} − 𝑏) · ( 𝑥_{2} − 𝑥̅) + (𝑦_{3} − 𝑏) · (𝑥_{3} − 𝑥̅)

Nu udregnes parenteserne

= 𝑥_{1} 𝑦_{1} + 𝑥̅𝑦_{1} − 𝑏𝑥_{1} − 𝑏𝑥̅ + 𝑥_{2} 𝑦_{2} + 𝑥̅𝑦_{2} − 𝑏𝑥_{2} − 𝑏𝑥̅ + 𝑥_{3} 𝑦_{3} + 𝑥̅𝑦_{3} − 𝑏𝑥_{3} − 𝑏𝑥̅

⇕

= 𝑥_{1} 𝑦_{1} + 𝑥_{2} 𝑦_{2} + 𝑥_{3} 𝑦_{3} + 𝑥̅ ( −𝑦_{1} + 𝑏 − 𝑦_{2} + 𝑏 − 𝑦_{3} + 𝑏) − 𝑏(𝑥_{1} + 𝑥_{2} + 𝑥_{3})

Side 14

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

14

⇕ nu samler vi det vi kan og vi skal huske 𝑦_{1},𝑦_{2} 𝑜𝑔 𝑦_{3} = 𝑦̅ det samme med x

= 𝑥_{1} 𝑦_{1} + 𝑥_{2} 𝑦_{2} + 𝑥_{3} 𝑦_{3} + 𝑥̅ ( 3𝑏 − 3𝑦̅) − 𝑏 · 3𝑥̅

⇕

= 𝑥_{1} 𝑦_{1} + 𝑥_{2} 𝑦_{2} + 𝑥_{3} 𝑦_{3} + 3𝑏𝑥̅ − 3𝑦̅𝑥̅ − 3𝑏𝑥̅

⇕

= 𝑥_{1} 𝑦_{1} + 𝑥_{2} 𝑦_{2} + 𝑥_{3} 𝑦_{3} − 3𝑦̅𝑥̅

                                          2
Nu betragters det ”midterste” led, koefficienten til 𝑎

(( 𝑥_{1} − 𝑥̅)^{2} + ( 𝑥_{2} − 𝑥̅)^{2} + ( 𝑥_{3} − 𝑥̅)^{2})

⇕

= 𝑥_{1}^{2} − 𝑥̅^{2} − 2𝑥_{1} 𝑥̅ + 𝑥_{2}^{2} − 𝑥̅^{2} − 2𝑥_{2} 𝑥̅ + 𝑥_{3}^{2} − 𝑥̅^{2} − 2𝑥_{3} 𝑥̅

⇕

= 𝑥_{1}^{2} + 𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2} − 3𝑥̅^{2} − 2(𝑥_{1} 𝑥̅ + 𝑥_{2} 𝑥̅ + 𝑥_{3} 𝑥̅) ¨

⇕

= 𝑥_{1}^{2} + 𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2} − 3𝑥̅^{2}

Nu skal vi findes b’s værdig så de 3 midterste led bliver mindst muligt, vi skal bemærke at de første

3 led er en kvadratsum i sætning 1. her skal b vælges som 𝑦̅ så det er 𝑏 = 𝑦̅

Nu skal vi vælge a så S bliver mindst mulig

Vi sætter 𝑦 ̅ind på b’s plads

𝑠 = ( 𝑦_{1} − 𝑦 ̅)^{2} + ( 𝑦_{2} − 𝑦 ̅)^{2} + ( 𝑦_{3} − 𝑦 ̅)^{2} + 𝑎^{2} (( 𝑥_{1} − 𝑥̅)^{2} + ( 𝑥_{2} − 𝑥̅)^{2} + ( 𝑥_{3} − 𝑥̅)^{2}) −
2𝑎( ( 𝑦_{1} − 𝑦 ̅) · ( 𝑥_{1} − 𝑥̅) + ( 𝑦_{2} − 𝑦 ̅) · ( 𝑥_{2} − 𝑥̅) + ( 𝑦_{3} − 𝑦 ̅) · ( 𝑥_{3} − 𝑥̅))

Nu skal vi vælge så a bliver mindst mulig.

Læg mærke til at S er et 2.gradspolynomium i a så nu kan vi sige:

Et 2. gradspolynomium 𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Nu sætter vi a ind på x plads og andre lille a til stor A

Side 15

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

15

𝑆 = 𝐴 · 𝑎^{2} + 𝑏 · 𝑎 + 𝑐

𝐴 = ( 𝑥_{1}^{2} + 𝑥_{2}^{2} + 𝑥_{3}^{2} − 3𝑥̅) > 0

𝑏 = −2(𝑥_{1} 𝑦_{1} + 𝑥_{2} 𝑦_{2} + 𝑥_{3} 𝑦_{3} − 3𝑦̅𝑥̅)

𝑐 = ( 𝑦_{1} − 𝑦̅) ………(𝑦_{𝑛} − 𝑦̅)

Nu skal vi bruge toppunktformlen fra tidliger

     𝑏
𝑎 =
    −2𝐴

    −2(𝑥
       1
𝑎 =

𝑦_{1} +𝑥_{2} 𝑦_{2} +𝑥_{3} 𝑦_{3} −3𝑦 ̅ 𝑥 ̅)
−2 ( 𝑥_{1}^{2} +𝑥_{2}^{2} +𝑥_{3}^{2} −3𝑥 ̅)

-2 går ud med hinanden

    (𝑥
     1
𝑎 =

𝑦_{1} +𝑥_{2} 𝑦_{2} +𝑥_{3} 𝑦_{3} −3𝑦 ̅ 𝑥 ̅)
( 𝑥_{1}^{2} +𝑥_{2}^{2} +𝑥_{3}^{2} −3𝑥 ̅)

?

Nu kan vi lave ligningen om da vi har fundet b 𝑦 = 𝑏 + 𝑎(𝑥 − 𝑥̅) den vil nu hedde

𝑦 = 𝑦̅ + 𝑎(𝑥 − 𝑥̅).

(Jens Carstensen, 2006)

Differentialligninger

Stamfunktioner.

Jeg følger beviset i (Fogh, 2013) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑔 ( 𝑥) 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑦^{′} = 𝑔(𝑥)

Side 16

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

16

Dette har den fuldstændige løsning

𝑦 = ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐

Bevis for dette

Hvis 𝐺 ( 𝑥) er en stamfunktion til 𝑔(𝑥) så er

𝐺^{′} ( 𝑥) = 𝑔 ( 𝑥), 𝐺 ( 𝑥) = ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 dette er så = ( ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥) = 𝑔(𝑥)

𝑦^{′} = ( ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐)^{′} = ( ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥)^{′} + 0 = 𝑔(𝑥)

Antag at 𝑦 = 𝐺_{1} ( 𝑥) også er en løsning

𝑦^{′} = 𝐺_{1}^{′} ( 𝑥) = 𝑔(𝑥)

( 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 − 𝐺_{1} ( 𝑥))^{′} = 𝑔 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥) = 0
∫

⇕

∫ 𝑔

( 𝑥) 𝑑𝑥 − 𝐺_{1} ( 𝑥) = 𝑐

𝑦^{′} = 𝑔(𝑥)

Separation

Jeg følger beviset i (Fogh, 2013) s. 245- 246 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑔(𝑦) · ℎ(𝑥) og ∫_{𝑔(𝑦)}^{1} 𝑑𝑦 = ∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 er lig med hinanden

Hvis h er kontinuert interval med I, g er kontinuert interval med J og 𝑔(𝑦) ≠ 0 har den samme
løsning som ligningen ovenfor 𝑦 = 𝑓(𝑥)

∫_{𝑔(𝑦)}^{1} 𝑑𝑦 = ∫ ℎ

( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐

Nu vil jeg lavet beviset for separation, ud fra dette, vi skal sørge for at x’erne og y’erne er samlet på vær sin side.

Da ℎ(𝑥) er kontinuert, har den en stamfunktion:

𝐻 ( 𝑥) = ∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐻^{′} ( 𝑥) = ℎ(𝑥)

Vi har tidligere lært at 𝐹^{′} ( 𝑥) = 𝑓(𝑥) se sætning 2.1 s.206 (Fogh, 2013)

Side 17

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

17

Vi ved at 𝑔(𝑦) er forskellig fra 0, derved kan vi dividere med 𝑔(𝑦) dette danner så funktionen_{𝑔(𝑦)}^{1}
vil skal huske 𝑔(𝑦) er kontinuert og derved vil_{𝑔}_{(}^{1}_{𝑦}_{)} også være kontinuert og derfor har den også en

stamfunktion

         1
                    ′
𝐺 ( 𝑦 ) =   𝑑𝑦 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐺 ( 𝑦 ) =
       ∫
        𝑔(𝑦)              𝑔(𝑦)

1

Efter disse indledende formidling vil vi nu bevise 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑔(𝑦) · ℎ(𝑥) Der bliver divideret med 𝑔(𝑦) og vi lærte oven over at det giver_{𝑔(𝑦)}^{1}

1 𝑑𝑦 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥

                        𝑑𝑦
                              ′
= ℎ(𝑥) vi ved at 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) = = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑦′(𝑥) så vi indsætter 𝑓(𝑥) på y plads og
                        𝑑𝑥

indsætter 𝑓^{′} ( 𝑥) på^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} plads da det er det samme

1 𝑔 ( 𝑓 ( 𝑥))

· 𝑓^{′} ( 𝑥) = ℎ(𝑥) vi definere G og H

Vi har lært på s.86 sætning 4.9 at (𝑓(𝑔 ( 𝑥))) = 𝑓^{′} (𝑔 ( 𝑥)) · 𝑔′(𝑥) dvs.

       ′
                   ′
𝑔(𝑓 ( 𝑥 ) ) = 𝐺′(𝑓 ( 𝑥 ) · 𝑓 ( 𝑥 ) = · 𝑓′(𝑥)
                         𝑔

1

( 𝑓 ( 𝑥))

𝐺^{′} (𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝐻′(𝑥) Vi flytter nu 𝐻′(𝑥) over på anden side

𝐺^{′} (𝑓 ( 𝑥))^{′} − 𝐻^{′} ( 𝑥) = 0 Nu samles højre side i en parentes

(𝐺(𝑓 ( 𝑥)) − 𝐻 ( 𝑥)) = 0 Vi bruger nu monofomissætningen og 0 er en konstant og derved kan den

′ laves om til c

𝐺(𝑓 ( 𝑥)) − 𝐻 ( 𝑥) = 𝑐 Nu indsættes 𝑦 = 𝑓(𝑥) og vi flytter 𝐻(𝑥) over igen

𝐺 ( 𝑦) = 𝐻 ( 𝑥) + 𝑐

Vi ved at 𝐺 ( 𝑦) = ∫_{𝑔(𝑦)}^{1} 𝑑𝑦 og 𝐻 ( 𝑥) = ∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥 så dette sætter vi ind

∫_{𝑔(𝑦)}^{1} 𝑑𝑦 = ∫ ℎ

( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 Hermed er sætningen bevist

Den logistiske ligning

Jeg følger beviset i (Fogh, 2013) s.254-256

Side 18

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

18

                                   𝑑𝑦
Dette er et bevis på, den logistiske ligning: = 𝑎𝑦(𝑀 − 𝑦)
                                   𝑑𝑥

              𝑑𝑦
Vi skal bevise at = 𝑎𝑦 ( 𝑀 − 𝑦 ) er 𝑦 =
                                      −𝑎𝑀𝑥
              𝑑𝑥                  1+𝑐·𝑒

𝑀

Vi skal bruge det vi lærte sidst Separation til den første del 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑎𝑦(𝑀 − 𝑦)

⇕ Jeg ganger nu M, derved får jeg y’erne på den ene side og x’erne på den anden side

1 𝑦(𝑀−𝑦)

𝑑𝑦 = 𝑎𝑀𝑑𝑥

⇕

∫_{𝑦(𝑀−𝑦)} 𝑑𝑦 = ∫ 𝑎𝑀𝑑𝑥

𝑀

Jeg vil lave et lille trick, for at komme videre.

𝑀 1 𝑦(𝑀−𝑦)

  1
=  +
  𝑦  𝑀−𝑦

Dette vil jeg bevise er rigtigt

1 1 𝑦

+    dette beregnes ligesom en brøk, ganger over kors
  𝑀−𝑦

1 1 ( 𝑀−𝑦) +1·𝑦 𝑀

𝑦 𝑦(𝑀−𝑦)

        1·
+     =          =
  𝑀−𝑦              𝑦(𝑀−𝑦)

Så nu kan vi sætte dette ind på højre side

   1   1
∫ ( +    )𝑑𝑦 = ∫ 𝑎𝑀𝑑𝑥
   𝑦  𝑀−𝑦

Jeg vil nu finde stamfunktionerne. Vi skal huske 0 < 𝑦 < 𝑀 derved skal y og M være +

        1
     ′
( ln𝑦 ) =
        𝑦

                           −1
          ′
( ln ( 𝑀 − 𝑦 )) = · ( −1 ) =
              (𝑀−𝑦)       𝑀−𝑦

1

Dette kan vi nu sætte ind på højre siden.

ln ( 𝑦) − ln ( 𝑀 − 𝑦) = 𝑎𝑀𝑥 + 𝑘 Vi ved at ln() = ln ( 𝑎) − ln (𝑏)

𝑎 𝑏

    𝑦
ln(   ) = 𝑎𝑀𝑥 + 𝑘
   𝑀−𝑦

Side 19

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

19

Vi ganger med e på hver side, for så fosvinder ln 𝑦

(𝑀−𝑦)

= 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘}

𝑦 = (𝑀 − 𝑦) · 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘}

Vi ganger parentesen ud

𝑦 = 𝑀 · 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘} − 𝑦 · 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘}

𝑦 + 𝑦 · 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘} = 𝑀 · 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘}

Vi kan omskrive højre side da 𝑦𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘} har fortegnet y og 𝑦 · 1 = 𝑦

𝑦 · ( 1 + 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘}) = 𝑀 · 𝑒^{𝑎𝑀𝑥+𝑘}

Nu isoleres y

      𝑎𝑀𝑥+𝑘
    𝑀·𝑒
𝑦 =
      𝑎𝑀𝑥+𝑘
    1+𝑒

Jeg ganger nu med 𝑒^{−(𝑎𝑀𝑥+𝑘)}

      𝑎𝑀𝑥+𝑘  −(𝑎𝑀𝑥+𝑘)
    𝑀·𝑒     𝑒
𝑦 =        ·
      𝑎𝑀𝑥+𝑘  −(𝑎𝑀𝑥+𝑘)
    1+𝑒     𝑒

Vi forkorter hvad vi kan forkorte vi skal huske 𝑒^{0} = 1

                                 −𝑘    −𝑎𝑀𝑥−𝑘
𝑦 =         𝑒                  · 𝑒  = 𝑒
      −𝑎𝑀𝑥−𝑘
    1+𝑒

𝑀

−𝑎𝑀𝑥

𝑦 =
      −𝑎𝑀𝑥
    1+𝑒

𝑀

·𝑒^{−𝑘}
Da 𝑒^{−𝑘} er konstant kan vi skifte det ud med c

𝑦 =
        −𝑎𝑀𝑥
    1+𝑐·𝑒

𝑀

Beviset er nu frem ført

Side 20

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

20

Beviserne og Hubbert’s metoder

                                                              𝑝       𝑎
Ud fra (S.Deffeyes, 2006) på s. 56-58 er der blevet fundet Hubbert’s ligning = 𝑎 − ( ) · 𝑄
                                                              𝑄       𝑄
                                                                       𝑡

(S.Deffeyes, 2006)

𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑄 = 𝑄𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣

𝑄_{𝑡} = 𝑄𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

                   𝑝       𝑎
Jeg vil bevise hvorfor = 𝑎 − ( ) · 𝑄 er en logisk ligning
                  𝑄       𝑄
                           𝑡

                               𝑝       ∝
I Hubbert’s ligning laver vi a om til ∝ =∝ −( ) · 𝑄
                               𝑄       𝑄
                                        𝑡

𝑦^{′} = 𝑎𝑦(𝑀 − 𝑦)

Jeg dividere med y på begge sider og ganger så a ind i parentesen.

𝑦′ 𝑦

= ( 𝑎 · 𝑀 − 𝑎𝑦)

Nu kan vi se

Side 21

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

21

𝑦^{′} = 𝑝

𝑦 = 𝑄
1978 1 3178,216 3,178216 121,3 0,026201_{𝑦′}

1979 2 3121,31 3,12131 124,4 0,025091 𝑦

= ( 𝑎𝑀 − 𝑎𝑦)

Vi kan se 𝑎 · 𝑀 =∝ og vi
ved vores 𝑦 = 𝑄

Nu kan vi se, at Hubbert’s formel er en logisk ligning

 𝑎·𝑀
(   ) = 𝑎
  𝑄
   𝑡

𝑎 · 𝑀 = 𝑎 · 𝑄_{𝑡}

A’erne går ud med hinanden

𝑀 = 𝑄_{𝑡}

Nu kan vi lave den logiske ligning om.

𝑦 =        <=> =
        −𝑎𝑀𝑡
    1+𝑐·𝑒

𝑀 𝑄_{𝑡}
1+𝑐·𝑒^{−∝·𝑡}

Dette vil bruges på tallene neden under, hvor der vil blive lavet en regression først og derefter bruge den logiske ligning som lige er blevet bevist

Year År efter 1977 Q årlig

produktion = P
P/Q

i tusind tønder i millioner tønder

1977 | 0 | 3009,265 | 3,009265 | 118,1 | 0,025481

1980 | 3

3146,365 | 3,146365 | 127,5 | 0,024677

1981 | 4

3128,624 | 3,128624 | 130,7 | 0,023937

1982 | 5

3156,715 | 3,156715 | 133,8 | 0,023593

1983 6 3170,999 3,170999 137 0,023146

1984 | 7 | 3249,696 | 3,249696 | 140,2 | 0,023179
1985 | 8 | 3274,553 | 3,274553 | 143,5 | 0,022819

1986 | 9

3168,252 | 3,168252 | 146,7 | 0,021597

Side 22

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

22

Talende er fra (Administration, 2015) (Adminstration Eia U.S Energy Information, www.eia.gov,

2012)

1987 | 10

3047,377 | 3,047377 | 149,7 | 0,020357

1988 | 11

2979,126 2,979126 152,7 0,01951

1989 | 12

2778,772 2,778772 155,5 0,01787

1990 13 2684,689 2,684689 158,2 0,01697

1991 | 14 | 2707,039 | 2,707039 | 160,9 | 0,016824
1992 | 15 | 2624,631 | 2,624631 | 163,5 | 0,016053

1993 | 16

2499,033 | 2,499033 | 166 | 0,015054

1994 | 17

2431,476 | 2,431476 | 168,4 | 0,014439

1995 | 18

2394,269 | 2,394269 | 170,8 | 0,014018

1996 | 19 | 2366,016 | 2,366016 | 173,2 | 0,013661

1997 20 2354,831 2,354831 175,6 0,01341

1998 21 2281,92 2,28192 177,8 0,012834

1999 | 22

2146,732 | 2,146732 | 180 | 0,011926

2000 | 23

2130,706 | 2,130706 | 182,1 | 0,011701

2001 | 24

2117,512 | 2,117512 | 184,2 | 0,011496

2002 | 25 | 2096,588 | 2,096588 | 186,3 | 0,011254
2003 | 26 | 2061,994 | 2,061994 | 188,4 | 0,010945
2004 | 27 | 1991,394 | 1,991394 | 190,4 | 0,010459

2005 | 28

1892,096 | 1,892096 | 192,3 | 0,009839

2006 | 29

1856,608 | 1,856608 | 194,1 | 0,009565

2007 | 30

1853,243 | 1,853243 | 196 | 0,009455

2008 | 31 | 1830,415 | 1,830415 | 197,8 | 0,009254
2009 | 32 | 1954,241 | 1,954241 | 199,8 | 0,009781
2010 | 33 | 1998,583 | 1,998583 | 201,8 | 0,009904

Side 23

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

23

Jeg vil nu lave regression på år efter 1977 og Q, fordi vi ikke bruge , og bruger 0-33 i stedet er fordi det giver et pænere resultalt.

𝑦 = −0,0002249073𝑄 + 0,05333057

𝑃

𝑄

= −0,0002249𝑄 + 0,05331

∝

𝑄_{𝑡}

= 0,0002249

∝= 0,05331

0,05331

𝑄_{𝑡}

= 0,0002249

Side 24

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

24

⇕ Ligningen løses for Q_t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑄_{𝑡} = 237,0387

𝑡 = 0 ~ 1977

𝑡 = 2 ~ 1979

Vi bruger 1979 fordi det punkt ligger på linjen.

𝑡 = ( 2) = 124,4

𝑦(𝑡) =
          −∝·𝑡
      1+𝑐·𝑒

𝑄_{𝑡}

124,4 =

237,0387

1 + 𝑐 · 𝑒^{−0,053331·2}

⇕ Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑐 = 1,007372

(Fogh, 2013)

𝑦 ( 𝑡 ) :=
                −0,053331·𝑡
       1+1,007372·𝑒

237,0387

Side 25

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

25

0 160 180

100

200)(tQ

300 t/år

Q/mio tønder

Q_{total}

𝑄_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} er den maksimale olie der kan hentes, i de reserver vi har.

𝑄(𝑡) er den kumulative frekvens for olie indvinding.

Er der olie nok?

Diskussion om der olie nok går verden rundt, for hvad sker der når olien slipper op? kan man finde andre energikilder? eller vil der altid være olie nok, dette er nogle af de mange problemer vi står over for, jeg vil diskutere nogle af, disse problemer.

Som jeg nævnte tidligere, kan man kun indvinde 25%-30% ved de nyeste teknologiske metoder. I Mellemøsten er de fleste olieboringer traditionelle og ikke horisontale, dette har så betydning for, at de kun kan indvinde ca.12%, derved kan man lave en horisontal boring og derved kan indvinde dobbelt så meget olie og vi så tidligere, at Mellemøsten havde ca. 48% af oliereserverne i hele verden. Hvis de brugte de nyeste teknologiske metoder. Hvert år bliver der brugt, uanede mængder ressourcer på, at finde nye metoder, der kan hjælpe med, at indvinde endnu mere, det kan godt være

Side 26

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

26 indvindingen kun øges med 2-3%, hvis man indvinder ca. 1% mere for felterne i Nordsøen ville det give en indtjening på ca. 50 milliarder kr. (Jimmy Mangelsen, 2011) Dette viser bare, hvor meget

1% ekstra kan gøre, og hvis hele verden kunne øge indvindingen af olie i alle olie felter, ville man

også skubbe oil peak, da man så øger 𝑄_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}.

(Jimmy Mangelsen, 2011) figur. 3,16 s.77

På figur 3.16 ser vi produktion og reservebidrag, det grønlige er efterforskning og teknologibidrag.

Dette illustrere, at vi kan forlænge oil peak, med forskning og teknologi. Men selv vi ville have olie nok i verden, så ville man stadig finde nye løsninger på andre energikilder, det er grundet den forurening olie skaber når der afbrændes, dette giver klimaforandringer, fx temperaturen stiger og klimaet ændres verden over, dette er også et stort problem som følger med olie forbruget.

Når man skal pumpe olie op, har de økonomiske omkostninger også en rolle, fordi når et olie felt lægger længer nede end 5km i undergrunden, ville man ikke få nok omsætning, derved er disse olie felter ikke interessante for olie firmaerne. Vi forstiller os, at olien er ved at slippe op, derved stiger priserne og olie firmaerne får flere penge pr. Liter olie de henter op, derved kan det nu økonomisk lade sig gøre, at hente olien op fra de olie felter, som har flere omkostninger grundet transport eller lægger steder det er svært komme til, at bore.

Grafen som ses neden under, illustrere U.S olie produktion, som Hubbert har lavet. Toppunktet er i

1970, hvor Hubbert forudså at der ville U.S ramme oil peak, dette skete dog ikke, derved fik han en del modstander der mente, at der var olie nok og det ikke ville være et problem, men da oil peak ramte i 1971 fik folk øjne op for problemet man stod over for. I Straten 1970’erne kunne man mærke olie krisen her hjemme i Danmark, hvor man lavede bilfri søndag for, at spare på olien, hvis dette ville ske i dag, ville det have store konsekvenser, da mange mennesker lavet meget om søndagen i forhold til i 70’erne, hvor folk slappede af i weekender, så dette ville blive et problem i dag, hvis der blev dage hvor man ikke kunne køre i bil.

(S.Deffeyes, 2006) s. 56-58

(Poul Osmundsent, 2011)

Side 27

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

27

Hvis vi sammenligner Hubbert’s model, med virkeligheden kan man hurtigt se peak oil skete i

1971, og deres olie produktion daler lidt for hvert år, men i 2010 sker der noget ved olie produktionen i U.S, derved stiger deres olie produktion til 289,040 tusind tønder i august. (Poul Osmundsent, 2011) Derved kan man sige Hubbert’s teori var forkert, da de har fundet nyt olie og

derved har rykket peak oil igen og får forlænget 𝑄_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}, selv om de havde ramt peak oil i 1971, dette

viser også det er svært at datere, hvor meget olie der tilbage i undergrunden. Men hvad er det U.S har fundet der har givet så meget olie?

U.S har fundet så store mængder skiferolie og skifergas, at den kan få en storbetydning for verdensøkonomien. Skifer er derved blevet en billig energikilde i U.S, hvis skifer spreder sig til hele verden, kan det blive en revolution inde for det globale energimarked, man vil få rykket peak oil og

𝑄_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙}, da det vil skabe en mere langsigtet sikkerhed inden for energi, i forhold til det vi ser i dag,

hvor olien er ved at slippe op. PricewaterhouseCooers (PwC) har lavet en analyse for skifer olie og ud fra den har de vurderet, at skifer har potentiale til, at produktionen i 2035 vil nå op på 14 mio.

tdr. i døgnet (Pedersen, 2013) dette er ca. svarende på 12% af olie produktionen. Dette vil dog have en stor betydningen for olie prisen, prisen ville bliver reduceret drastisk, (PwC) analyser siger 25-

40% reducering af olie prisen. Denne reducering af olie prisen vil have store betydning for mange lande, der er olie producenter. I 2012 kostede en tønde olie 133 dollars. (Poul Osmundsent, 2011) Hvis prisen så falde de 25-40% ville en tønde olie koste 88-110 dollars. Da vil deres BNP falde 4-

10% dette vil typisk være landeende i Mellemøsten, der eksportere store mængder olie. Det med olie priser er svært at vurdere, hvordan prisen hænger sammen, fordi mange lande giver statsstøtte til olie, kul og gas (fossilbrændstof), disse energikilder skader klimaet, derfor er det svært for andre, firmaer som vil producere energi som er vedvarende og ikke er skadeligt for klimaet, fx vind, sol og bølge energi, vi skal dog huske, at vindmøller, solceller og bølgebryder skal produceres og derved

også udleder 𝐶0_{2}, dog minimalt forhold til fossilbrændstof.

I 2010 udgjorde skifergas 23% af U.S.A gasproduktion, der forventes at i 2035, ville skifergas udgøre ca.50% af gasproduktionen. (Geus, 2015) Som nævnt tidligere, var skifergas en billig energikilde, derved er skifergas marginalt økonomisk, men en langvarig energi forsikring og også politisk, da olie spiller en stor rolle ind for politik.

Side 28

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

28

Som deres ses er U.S et eksemplar på, at der olie og gas nok i verden, selv om de nåede oil peak i

1971 og måtte importere store mængder olie og nu eksportere de store mængder skifergas. Dette har gjort, at U.S.A økonomi har fået et stort skub.

Efter det vi har set med U.S, kan vi se at der kan være olie nok i verden, men jeg vil sige nej til, at der olie nok, selv om der kun kan indvindes 30% af olie felterne, og i Mellemøsten har de ikke de nyeste teknologier og bruger stadig traditionelle boringer. Hvis vi tager et ex. Et hjul kan først dreje når der bliver tilført energi, det er så olie der har drevet dette hjul i mange år, men grundet oliens klima forandringer og olien er ved, at slippe op, er man begyndt at finde ny rene og vedvarende energikilder, når der bliver fundet nye energikilder, kan man sige de også giver energi til hjulet, disse nye energikilder, skal være med til at af belaste olie forbruget, der bliver brugt flere miliareder om året, på at forske i ren og vedvarende energi, i denne tv udsendelse (Geographic, 2014) så, vi et anlæg det lavede tornadoer, ud fra spildevarme og kulde, dette kunne så skabe ren energi, dog var det kun under proces. En kæmpe gruppe forsker, forskede i fusions energi, dette gjorde de ved, at de havde hydrogen molekyler, de skød med 192 laser direkte mod den, i kort tid blev den 500 gradervarmer end solen, og i et af deres forsøg, havde det lavet mere energi end der blev tilført, men vi snakker i hundrededel af et sekund, men alle disse teknologier, er med til at af belaste menneskeheden afhængelighed af olie. Men før forbruger vil omlægge sig, skal det kunne betale sig, at skifte fx fra en benzinbil til en elbil, man havde forventet, at elbiler blev det der skulle stoppe, de store benzin slugende biler, dette skete ikke fordi elbilerne kunne ikke følge med benzin bilerne, grundet en elbil model Tesla kun, kan køre ca. 445km på en ladning (Bernth, 2014), hvorimod en gennemsnitlig benzin bil, kan køre 500-700km på en tank, når en elbil og benzinbil kan køre lige langt, vil man se støre blanding af elbiler og benzin biler på vejene.

Dog har kan nye ren og vedvarende energi give politiske problemer, hvis nu få lande kan producere energi nok til hele verden, grundet nye teknologier. Kan det medføre politiske problemer, hvis nu der komme splid i mellem lande, kan det land med energikilden bare stoppe salget af energi til det land, så før man kan opfinde kæmpe energikilder der kan, give energi til det meste af verden, skal verden være i harmoni så der ikke kommer kamp om energien. Menneskeheden har altid løst det problem vi har mødt på vejen, så hvorfor skulle vi ikke også kunne klare denne forhindring.

Side 29

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

29

Konklusion:

Ud fra denne opgave kan der konkluderes at, oliens fremkosten har gjort kæmpe fremskridt for menneskeheden, vi har kunne opfinde motorer der kørere på olie og det har været med til at gøre verden mindre, da man nu kunne rejse længer på korter tid end før og været med til, at forøge produktionen med maskine der kører på olie, men der kan også konkluderes ud fra den geofaglig behandling af olie, at olien er et produkt der er svær at frem skaffe, men begrund af nye teknologier, har det på virket olie industrien, som der blev fundet ud af i den geofaglige behandling kunne der blive indvundet ca.30% i olie felterne og har store omkostninger som fx datering af bjergarterne i undergrunden og prøve boringerne koste omkring 3 millioner.kr og det er ikke sikker der olie der, hvor man laver boringen derfor skal der måske mange boringer til og derved kan der kommer store omkostninger før man har fundet olien.

Der var ikke nogle bekymringer om mangel på olie, før Hubbert kom med sine teorier om olie i U.S ville slippe op i 1970, denne teori kom han med i 1956. (Jimmy Mangelsen, 2011). Men der var en række ting som Hubbert’s teori ikke tog hensyn til, som det blev skrevet i teorien om Hubbert metode. I den matematiske teori så vi, hvilken matematik teori Hubbert havde brugt, for at kunne lave sine grafer og teori om, hvornår U.S olie produktion ville ramme peak oil. Derefter så at Hubbert’s matematik hang sammen frem til 2010, hvor U.S olie produktion steg markant, grundet

de fandt skifergas i undergrunden. Dette med førte at 𝑄
                                            𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

bliver flyttet længer ud i fremtiden.

Men selv om olie er et fremragende produkt, prøvede stadig at finde andre energikilder der kan

erstatte olien, fordi olie medfølger 𝑐𝑜 og 𝑐𝑜 er med til, at forøge drivhus effekten. Fordi forbruget
                              2     2

af olie, forårsager klimaforandring vil man gerne finde anden energikilde også fordi spørgsmålet er om der olie nok i fremtiden? Dette spørges er omtalt af mange forsker, men er et svært spørgsmål at besvare, men efter U.S har fundet skifergas, har det ændret synet på, at der muligvis er olie nok i verden, men grundet nye teknologisk energikilder, kan det sænke olieforbruget, og derved kan det være vi aldrig løber tør for olie, fordi andre energikilder måske kommer til, at fylde mere end olie, men dette lægger længer ude i fremtiden og er svært, at sige noget om.

Side 30

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

30

Litteraturliste

Administration, U. E. (31. augst 2015). Eia. Hentet fra Eia:

http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n=PET&s=MCRFPUS1&f=M

Adminstration Eia U.S Energy Information. (09 2012). Annual Energi Rewiew 2011. Hentet 29. 11

2015 fra www.eia.gov: http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/pdf/aer.pdf

Bernth, M. (). Tesla forbedrer rækkevidde og fart i ny superbil. Hentet fra Ingeniøren:

http://ing.dk/artikel/tesla-forbedrer-raekkevidde-og-fart-i-ny-superbil-171512

Fogh, K. E. (2013). Vejen til Matematik A2. I K. E. Fogh, Vejen til Matematik A2 (s. 240-257).

Silkeborg : Silkeborg Bogtrykkeri A/S.
Gas, O. o. (2014). Olie og Gas. Hentet fra Olie og Gas: http://www.geologi.dk/oliegas/d2.htm

Geographic, N. (Instruktør). (2014). BREAKTHROUGH [Film].

Geus. (01. Januar 2015). www.geologi.dk/oliegas/e2/d25. Hentet fra Olie og gas:
www.geologi.dk/oliegas/e2/d25
Holm, E. (25. juni 2012). Ingeniøren . Hentet fra Ingeniøren : http://ing.dk/artikel/40-ar-i-nordsoen-

avanceret-boreteknologi-og-fracking-skabte-dansk-olieeventyr-130357

Jens Carstensen, J. F. (2006). Kvadratsummer, mindste kvadraters metode . I J. F. Jens Carstensen, Mat A2 (s. 272-277). Vibrog: Systime.

Jimmy Mangelsen, A. N. (2011). Naturgeografi - vores verden. Danmark: Geografforlaget.

Nordsøfonden. (u.d.). Nordsøfonden. Hentet fra http://www.skifergas.dk/teknisk-overblik/hvad-er-

skifergas.aspx

Pedersen, K. L. (21. Februar 2013). En gigantisk kickstart eller. Jyllands-postens, s. 14.

Poul Osmundsent. (). infomedia. Hentet fra infomedia:

http://infomedia.skoda.emu.dk/ms3/ShowArticle.aspx?outputFormat=Full&Duid=e2d6fe98

S.Deffeyes, K. (2006). Byyond oil The wiew from hubbert's peak. I K. S.Deffeyes, Byyond oil The wiew from hubbert's peak (s. 57-71). United States of America: Hill and Wang.

vedvarendeenergi. (u.d.). vedvarendeenergi. Hentet fra http://www.ve.dk/hvad-er-de-

miljomaessige-risici-ved-skifergas

Side 31

Nordfyns Gymnasium 3.F

Naturgeografi B og Matematik A

Dato.

31

Bilag

Bilag 1

(Jimmy Mangelsen, 2011) figur 3.7b

Bliag2

(Jimmy Mangelsen, 2011) figur 3.15

Bilag 3

(Jimmy Mangelsen, 2011) 3.13