SRP om den catalanske modernisme og Gaudís arkitektur i Matematik A og Spansk A

Side 1

1

Studieretningsprojekt !!

Opgaveformulering

Lyngby Gymnasium København Nord

STX Lyngby

STX͏3.g

STX͏3.g

Fag: ͏ Vejleder:

Matematik A

*****

Email:

Spansk A

*****

Email:

Område:

Den catalanske modernisme og Gaudís arkitektur.

Opgavetitel:

Opgaveformulering:

Gør rede for den catalanske modernisme med fokus på hvordan den kommer til udtryk i arkitekturen.

Giv en kort redegørelse for Antoni Gaudís byggestil med speciel fokus på de elementer, som Gaudí brugte i sin arkitektur, og forklar herunder hvad han mente med udtrykket: "La originalidad es volver a los orígenes". Citatet findes blandt andet i artik͏len ”Obra, estilo y

técnica de Antonio Gaudí “ på hjemmesiden http://www.modernismo98y14.com/obras-

antoni-gaudi.html

Undersøg, I forlængelse med dette, hvorhenne Gaudí finder sine inspirationskilder, og hvordan de kommer til udtryk i hans værker.

Indfør algebraiske flader af anden orden, med fokus på keglesnitsflader og især hyperbolske paraboloider. Diskuter de hyperbolske paraboloiders matematiske egenskaber med henblik på Gaudí’s brug af dem i La Sagrada Familia og Park Güell.

Diskutér Gaudís originalitet - både konstruktionsteknisk og æstetisk.

"El arquitecto del futuro se basará en la imitación de la naturaleza, porque es la forma más racional, duradera y económica de todos los métodos". (Antoni Gaudí)

Opgavens omfang er 15-20 sider, maks. 48000 anslag (inkl. mellemrum). Dette er eksklusiv indholdsfortegnelse, forside, litteraturliste, litteraturhenvisninger, figurer, abstract og b͏il͏a͏g.

Side 2

2

Elevens kvittering ved aflevering 17. december 2015. Jeg bekræfter samtidig med min aflevering, at hele besvarelsen er udarbejdet af mig og evt. gengivet tekst fra kilder er anført med tydelig markering, samt at opgaven er uploadet i Lectio.

Vejleders kvittering for modtagelse af færdigt studieretningsprojekt den 17. december 2015 kl. 14.00 (elev printer kopi ud hvis kvittering ønskes):

Denne side placeres forrest i hvert eksemplar af studieretningsprojektet

Side 3

3

Den catalanske modernisme og

Gaudís arkitektur

Matematik A og Spansk A

Studieretningsprojekt 2015

Maria Worsøe Løvgreen 3.X

Lyngby Gymnasium

17/12-2015

3

Side 4

4

Abstract

The study examines The Catalan Modernism and Antoni Gaudí’s use of geometric forms in his architecture. The first part of the study is based on an account of The Catalan Modernism, his source of inspiration and how we see the geometric forms in his architecture.

The second part is based on a theoretical in-depth review of quadric surfaces, including the hyperbolic paraboloid. Finally the study discusses his use of hyperbolic paraboloid in La Sagrada Familia and Park Güell and also a discussion about his originality.

Firstly The Catalan Modernism was a reaction of the industrialization and after that, the Catalan architects, including Gaudí,͏ wanted the nature back in the architecture. He found the geometric forms in his natural habitat, which is one of his sources of inspirations.

Secondly the mathematical computations lead us to how you can use the hyperbolic paraboloid in practice, just like Gaudí did. Finally he uses the hyperbolic paraboloid to build the sacristy in La Sagrada Familia and the arcade in Park Güell. Furthermore his interplay of geometric forms, the nature, the inspiration from gothic architecture and his catholic background define his originality. To sum up, Gaudí was a man, who under The Catalan Modernism used all his knowledge and interests to build some of the most famous buildings in the world.

Side 5

5

Indholds͏fo͏rte͏gn͏els͏e

Indledning………………………………………………………………………………………………………6

Den catalanske modernisme og Gaudís arkitektur…………………………………..…..7

”La originalidad es volver a los orígenes” ……………………………………......………7-9

Fra inspirationskilde til mesterværk………………………………………….......………9-11

Geometrien bag Gaudís arkitektur.........................................................................................11 Algebraiske flader af anden orden…………………………………………………………11-12

Keglesnit…………………………..……………………………………………………………….…12-13

Parablen som keglesnit…………………………………………………………………………13-15

Ellipsen som keglesnit…………..………………………………………………………………15-18

Hyperblen som keglesnit………………………………………………………………………18

Keglesnitsflader……………………………………………………………………………………19-20

Den hyperbolske paraboloide………………………………………………………………………20-21

Skæring med planen parallel med xy-planen…………………………………….……21-23

Skæring med planen parallel med yz-planen……………………………………….…24

Skæring med planen parallel med zy-planen……………………………………….…25-26

Beskrivelse ved hjælp af rette linjer………………………………………………………26

Første set frembringere………………..………………………………………………………26-28

Anden set frembringere………………..………………………………………………………28-29

Den vindskæve firkant………..………..………………………………………………………29-33

Den hyperbolske paraboloide i La Sagrada Familia og Park Güell.....................33-34 Brugen af hyperbolske paraboloider i La Sagrada Familia…..………………….34

Brugen af hyperbolske paraboloider i Park Güell………………..………….………35

Den konstruktionsdygtige og stærke figur……………………..…..……….…….……35-36

Gaudís originalitet…………………………………………………………………………….………….36-39

Konklusion…………………………………………………………………………………………….……..39-40

Litteraturliste………………………………………………………………………………………….……40-42

Side 6

6

Indlednin͏g

                                              1
“Nada es arte”, sentenció, “si no viene de la naturaleza”

. Således udtalte den verdensberømte catalanske arkitekt, Antoni Gaudí, sig om kunst. Men kan det virkelig passe, at en af verdens mest anerkendte arkitekter, fandt inspiration i noget så simpelt som naturen? Efter en periode med nytænkning og industrialisering opstod der en kulturstrømning gennem Europa fra Den catalanske modernisme var opstået og Antoni Gaudí, var med sin originalitet og særlige brug af naturlige geometriske former, et af de helt store ikoner inden for arkitekturen.

Denne opgave er udarbejdet i fagene matematik og spansk. Først og fremmest vil jeg gøre rede for den catalanske modernisme og hvordan denne ses i Gaudís arkitektur. Dernæst vil jeg redegøre for Gaudís byggestil og se nærmere på, hvilke elementer han brugte i sin arkitektur.

Hertil vil jeg forklare hvad der menes med citatet ”La originalidad es volver a los orígenes”.

I forbindelse med overstående vil jeg undersøge, hvorfra Gaudí fandt sine inspirationsk͏il͏der og hvordan dette ses på hans bygningsstil.

Derudover vil jeg gennemgå algebraiske flader af anden orden, med fokus på keglesnitsflader og hyperbolske paraboloider. Sidstnævntes matematiske egenskaber vil blive diskuteret med henblik på Gaudís brug af disse i La Sagrada Familia og Park Güell.

Til sidst vil jeg på baggrund af tidligere undersøgelser og viden diskutere Gaudís originalitet – både konstruktionsteknisk og æstetisk ud fra artiklen ”Arquitectura y religión en Gaudí” samt Gaudís eget citat "El arquitecto del futuro se basará en la imitación de la naturaleza, porque es la forma más racional, duradera y económica de todos los métodos".

1

La Sagrada Familia, casi terminada después de 133 años, natgeo.es.

Side 7

7

Den catalanske modernisme og Gaudís arkitektur

I slutningen af 1800 tallet opstod en kulturstrømning gennem det meste af Europa, herunder Catalonien. En ny byggestil indtog Catalonien og med deres helt egen stil udviklede de sig

meget i forhold til de andre lande.^{2} Perioden blev kaldt for ”Art Nouveau” i det meste af

Europa. I Mellemeuropa blev stilen kaldt ”Jugendstil” og i Catalonien blev den nye stil kaldt

”modernisme”.^{3}

Ser man tilbage på den første halvdel af 1800 tallet, var bygningerne præget af en kedelig industristil, som var blevet skabt under industrialiseringen. Det var en helt ny måde at leve på. Det var netop denne stil, som modernismen var en modreaktion på i slutningen af det 19.

århundrede.^{4} Gennem modernismen begyndte man nu, at sætte fokus på udviklingen af en

arkitektur, som var baseret på naturen. I selve arkitekturen brugte man nu naturlige former, som kan ses i bygningerne, på deres facader og i vinduer samt balkoner. Derudover udsmykkede man bygningerne med andre naturlige objekter så som mennesker, dyr, blomster og blade.

Den catalanske modernismen blev skabt af det kunstkære, catalanske folk, som så deres mulighed for at sætte deres fodaftryk og udtrykke deres indre catalanske identitet gennem arkitekturen. Antonio Gaudí var en af dem, som udtrykte naturen i sine bygningsværker. Det skulle vise sig, at netop han på baggrund af sin arkitektur, blev en af de mest velansete

                           5
arkitekter i Cataloniens historie.

”La originalidad es volver a los orígenes”

Det specielle ved Gaudís byggestil er, at den ikke blot var præget af naturens elementer. Han havde en helt særlig evne til, at få de naturlige former integreret i de rumlige elementer i sine

2

Jensen, 2005, s. 76

3

Jakobsen, 2011, s. 18

4

Una ciudad en expansión, casalleomorera.com

5

Jensen, 2005, s. 76

Side 8

8 bygninger. Og det var inspirationen fra naturen, som stadig den dag i dag kendetegner hans

          6
originalitet

                                                                          7
Et af Gaudís meget kendte citater lyder således, ”La originalidad es volver a los orígenes” , som

på dansk betyder ”Originalitet er at vende tilbage til det oprindelige”

Citatet stemmer godt over ens med Gaudís stil. Det er nemlig brugen af naturen i hans bygningsværker, som er med til, at definere hans originalitet. Gaudí mener, at originaliteten er, at vende tilbage til det oprindelige. Med begrebet ”originalitet” refereres der til et veludført

mesterværk, mens der med ”oprindelige” refereres til naturen.^{8} Nogle af de mest geniale idéer

stammer ofte fra meget simple principper, som Gaudí også selv beskriver yderligere i følgende citat:

                                                                      9
”así pues, original es aquello que vuelve a la simplicidad de las primeras soluciones.” – Gaudí

Her går Gaudí ind og beskriver at originaliteten findes i det mest simple. Vi skal i højere grad gå ind og finde inspirationen i naturen, den natur som Gud har givet os. Derudover er Gaudí citeret for at udtale:

”Se på eucalyptustræet. Det vokser. Læg mærke til hvordan stammen udvikler sig i grene og kviste og afsluttes med bladene. Læg godt mærke til det: i disse planer og disse linjer tegner der

sig en geometrisk figur”^{10} – Gaudí

Gaudí blev altså inspireret af de geometriske figurer, som naturen danner. I naturens kaos findes der de geometriske kurver, som man har brug for som arkitekt. Alligevel mener Gaudí, at menneskeheden på daværende tidspunkt gjorde det besværligt for sig selv, idet de fortsat konstruerede lige det modsatte af naturen.

6

Jakobsen, 2011, s. 18

7

Obra, estilo y técnica de Antoni Gaudí

8 jfzuluaga.com, ”La originalidad es volver a los orígenes”

9

Antoni Gaudí Frases y Citas, Akifrases.com

10

Jakobsen, 2011, s. 19

Side 9

9

I citatet kan man også se, at Gaudí er interesseret matematikken. Siden antikken har geometrien spillet en stor rolle i arkitekturen og også Gaudí fandt brugen af matematikken fascinerende. Ifølge Gaudí selv, var geometrien enhver arkitekts sprog og han gjorde selv brug af geometriske flader så som retlinede flader, paraboloider (herunder hyperbolske paraboloider), helikoide, hyperboloide og uendelige frembringere. Derudover gjorde han også

                               11
brug af parabelbuer eller kædelinjer.

Antoni Gaudís hovedelementer i byggestilen var altså naturens geometriske flader og figurer.

Dette gjorde han blandt andet, da han mente at man som arkitekt skulle hente inspiration fra naturen for at få skabt et mesterværk.

Fra inspirationskilde til mesterværk

Først og fremmest blev Antoni Gaudí født i en tid, hvor man længtes efter middelalderen og dens arkitektur. Den catalanske kunst havde nået sit højdepunkt i 1870’erne under La Renaixenca, der ville prøve på at gå tilbage til middelalderens kunst og hente inspiration til en ny storhedstid. Gotikken er en stilart som stammer fra Frankrig i det 13. århundrede. Her gjorde man i høj grad brug af springbuer og stræbepiller, som resulterede i himmellignende hvælvinger og lofter. Gotikken kom først sent til Catalonien, hvor det catalanske folk skabte deres egen variant af denne tid, som kunne ses på de specielle vægflader og ”tungere” byggestil, der fik mange bygninger til at ligne et fæstningsværk. Det var i hans studium af de

gotiske mesterværker, han lærte helt basalt om arkitekturen^{12}. Men det var ikke kun det

arkitektoniske, som fangede Gaudís interesse:

”Ahora bien, la sociedad gótica disponía de una mentalidad religiosa de la que el mundo moderno comenzaba a carecer a finales del siglo XIX y que se basaba en la espiritualidad franciscana, que valoró la Naturaleza hasta el punto de considerarla apta para representar lo sobrenatural. Es precisamente este espíritu religioso naturalista el que

Gaudí trata de recuperar para que el mundo moderno encuentre una vía positiva.”^{13} – Gaudí

11

Jakobsen, 2011, s. 19-20

12

Antoni Gaudí & gotikken, www.kasperchristiansen.dk

13

Armenteros, 1996, s. 130 linje 37-39 samt s. 131 linje 1-3.

Side 10

10

I dette citat ses det, at Gaudí gerne ville have den franske spiritualitet tilbage, hvor naturen og religionen er i centrum. Hans forkærlighed for gotikken ses i La Sagrada Familia, hvor Gaudí blandt andet hentede inspiration fra middelalderkirkerne.

Gotikken var en kæmpe inspiration for Gaudí. Men det er ikke nogen overraskelse, at han havde et helt specielt forhold til matematikken, især geometrien. Det er ikke en evne, som kom ud af den blå luft. I 8 år studerede Gaudí på Barcelonas universitet, hvor af de første 5 år foregik på det naturvidenskabelige fakultet. Han studerede differential og integralregning, mekanik, geometri, kemi, geografi, fysik, naturhistorie, algebra og trigonometri, hvilket blev

                                              14
set som en slags forberedelse til arkitektuddannelsen.

I 1887 blev Gaudí uddannet arkitet

fra Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Barcelona.^{15}

Gaudí havde altså en kæmpe fordel ved, at kunne anvende sin matematiske viden i forbindelse med sine værker. Og havde det ikke været for denne uddannelsesmæssige baggrund, så ville vi nok ikke have set en ligeså stor brug af geometriske flader i hans bygninger.

Som nævnt tidligere var en af Gaudís store inspirationskilder naturen. Han brugte naturen på den måde, at han hentede de geometriske former ud fra naturlige objekter og brugte dem som ”byggesten” i sit arbejde.

Gaudí var en stærkt troende katolik. Dette resulterede i, at han aldrig blev gift og levede mere eller mindre et munkeliv. Religionen var hans et og alt og denne kærlighed til Gud var stor og

Gaudí mente, at naturen og geometrien var ”Guds værk”^{16}

“el hombre sin religión era un hombre disminuido espiritualmente, un hombre mutilado”^{17} -

Gaudí

14

Jakobsen, 2011, s. 30

15

Antoni Gaudí, Wikipedia.es.

16

Jakobsen, 2011, s. 34

17

El amor de Gaudí por la naturaleza nos acerca a Dios.

Side 11

11

Disse elementer fra hans inspirationskilder kan man se i alle hans værker. Man kan f.eks. se på søjlerne i La Sagrada Familia, som er inspireret af træer og menneskets skelet. Et andet eksempel kunne være facaderne på Casa Milàs er inspireret af mudder fra en afrikansk landsby. Dette er ikke den eneste inspiration, som Gaudí har hentet fra naturen. Ved hjælp af et sneglehus har han brugt sneglehusets helikoideform, som afslutning på trappen i Casa Milà.

Det religiøse aspekt kommer for alvor også til syne i La Sagrada Familie, hvor et treenighedssymbol er formet som en hyperbolsk paraboloide. Og disse eksempler er blot få

                                                         18
ud af utallige værker, hvor Gaudí har brugt sine inspirationskilder.

                                                                19
“Para hacer las cosas bien es necesario: primero, el amor, segundo, la técnica”

Gaudí mente altså, at kærligheden, underforstået kærligheden til Gud og naturen, og hans geometriske teknik, var de afgørende faktorer for et mesterværk. Det var altså inspirationen fra gotikken samt hans uddannelsesmæssige baggrund, der sammen med ornamentikken og hans religiøse baggrund, som inspirerede hans karriere.

Geometrien bag Antoni Gaudís arkitektur

På baggrund af Gaudís matematiske uddannelse og dermed hans brug af geometrien, vil en kort gennemgang af de geometriske flader, som han brugte, være på sin plads.

I Gaudís geometriske univers kunne man finde geometriske flader så som retlinede flader, paraboloide (herunder hyperbolsk paraboloide), helikoide, hyperboloide og uendelige frembringere. Fælles for disse er, undtagen helikoden, at de er algebraiske flader af 2. orden.

Algebraiske flader af anden orden

Først og fremmest ser vi på hvad en algebraisk flader er. En flade er et begreb, som tilhører geometrien og er de overflader, der ses på rumlige figurer. En algebraisk flade er dermed en

flade i rummet.^{20} Det er givet, at et polynomium, P(x,y,z) i n^{te} grad.

18

Jakobsen, 2011, s. 33.

19

Frases y Citas, akifrases.com

20

Minilex Matematik, s. 14.

Side 12

12

𝐹͏=͏𝑥,͏𝑦,͏𝑧͏𝑃͏𝑥,͏𝑦,͏𝑧͏=͏0͏

Overstående punktmængde beskriver en algebraisk flade af n^{te} orden. En algebraisk flade kan

være af forskellige ordner, og Gaudí gjorde især brug af algebraiske flader a͏f ͏anden orden i

sine bygningsværker.^{21} Ved algebraiske flader af anden orden indgår der x,y,z flader, som er

opløftet i 2. Potens. Algebraiske flader af 2. orden er rumlige flader, men hvis man laver et snit i dem, bliver det til keglesnitsflader.

De rumlige figurer, f.eks. en kugle eller en ellipsoide, er helt runde. Disse figurer er algebraiske flader af 2. orden. Men skærer man i disse figurer får man en keglesnitsflade, hvilket også er en algebraisk flade af 2. orden. Nu vil jeg gå mere i dybden med keglesnit og keglesnitsflader

Keglesnit

En kegleflade er en flade i rummet, som fås når en ret linje går gennem er bestemt punkt, toppunketet, og bevæger sig så der opstår en skæring mellem ledekurven, som ikke indeholder toppunktet. Vores linje kaldes i denne forbindelse for en frembringer til keglefladen.

Et keglesnit er en geometrisk kurve, som fås når man skærer i en kegle med et plant snit. I et keglesnit har man 2 linjer, som krydser hinanden gennem en vinkelhalveringslinje. Hvis man roterer dem rundt, så får man en

”dobbelt rotationskegle”.

21

Fabricius-Bjerre, 1972, s. 77

Figur 1

Side 13

13

T = toppunktet
𝛼͏=͏𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔𝑠𝑙𝑖𝑛𝑗𝑒𝑛

Man kan skære denne figur i forskellige planer, uanset om den går gennem T eller ej.

Vinklen mellem planen og 𝛼 bestemmer hvilken type kurve du får:

V > 𝛼 = Ellipse
V < 𝛼 = Hyperbel
V = 𝛼 = Parabel^{22}

Parablen som keglesnit

I et plan er der et punkt B og en linje l.

Det gælder, at ͏𝑃| 𝑃𝐵͏=͏𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,͏𝑙)}

Denne formel viser stedet for de punkter, som har samme givne afstand fra vores punkt B til linjen l, men som ikke går gennem punktet.

Det geometriske sted ender med at blive en parabel.

Punktet B kaldes ”brændpunktet” og linjen l kaldes parablens ”ledel͏inje”͏.

22

Axelsen, 1991, s. 91-92.

Figur 2

Side 14

14

Parablens akse er en normal, hvor vores parabel går symetrisk rundt op til linjen om denne akse. Parablens toppunkt vil ligge mellem brændpunktet og aksens skæring med ledelinjen, dette punkt kaldes A. Idet vi har at gøre med en parabel indsættes A og B i et koordinatsystem i planen. A og B befinder sig på y-aksen, mens x-aksen skal befinde sig mellem A og B.

Vi tilføjer nu et andenkoordinat til brændpunktet, som kaldes P.

A’s andenkoordinat vil derfor være –p.

Andenkoorditatet til brændpunktet, B, er med koordinatsættet (x,y) en del af mængden, i det at:

𝑃𝐵͏=͏𝑑𝑖𝑠𝑡͏𝑃,͏𝑙͏ ⇕

   2           2
𝑃𝐵   =͏𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,͏𝑙)                      ⇕

𝑥^{2} +͏(𝑦͏−͏𝑝)^{2} =͏(𝑦͏+͏𝑝)^{2} ⇕
𝑥^{2} +͏𝑦^{2} +͏𝑝^{2} −͏2𝑝𝑦͏=͏𝑦^{2} +͏𝑝^{2} +͏2𝑝𝑦 ⇕
𝑥^{2} =͏4𝑝𝑦 ⇕

𝑦͏= 𝑥^{2}

1

4𝑝

Parablens toppunkt er (0,0). Når afstanden fra brændpunktet til ledelinjen er k͏ort, så er p et lille tal og parablens ben vil være tæt på hinanden. Er afstanden derimod lang, vil p være et større tal og parablens ben vil derved være mere spredte. p kaldes også for parameter til parablen.

En parabel bruges i parabolantenner. Den har en vigtig funktion og det skal vi se nærmere på.

Figur 3

Side 15

15

Vi tager et tilfældigt punkt p͏å grafen og kigger på linjestykkerne, som går til B og l. Det ses at trekant PBC er ligebenet. I denne trekant går der en linje fra punktet P til punktet D, som fungerer som en median og vinkelhalveringslinje i trekanten. Hældningskoefficienten findes således:

1

4𝑝

𝑥^{2} −͏0

𝑥͏− 𝑥

2

=

𝑥

2𝑝

Denne tangenthældning er lig med differentialkvotienten. Dette ser vi ved at differentiere

1

4𝑝

𝑥^{2}.

1 1 𝑥

4𝑝 4𝑝 2𝑝

𝑥^{2} = ∗͏2𝑥͏=

′

Vi kan ud fra dette se, at det er tangenten i P, som halverer vinklen.

For at komme tilbage til parabolantennen, så fungerer parablen godt i antennen, for når en stråle rammer parallelt med aksen, så vil strålen blive reflekteret således at den går gennem

brændpunktet. På den måde får man skabt et stærkt signal.^{23}

Ellipsen som keglesnit

To punkter i planen kaldes F

2 1 1 2 og F

. Vi lægger mærke til punktet, P, hvor længden til F og F til sammen er et bestemt tal for k.

𝑃͏𝑃𝐹_{1} +͏𝑃𝐹_{2} =͏𝑘͏

Vi ser på de steder for punkterne, hvor F

1 2 længden til F er lig med k. Derudover skal k være større end længden mellem F

1 2 og F

. Når punktet P har egenskaben kan man ved hjælp af spejlinger rundt om akserne opnå 3 punkter, som har samme egenskab. Vores punktmængde er defineret som en ellipse og denne fremstår symmetrisk gennem vores F punkter og om

23

Axelsen, 1991, s. 81-83.

Side 16

16 midtnormalen til disse. F og F kaldes for brændpunkterne. Ellipsens centrum er placeret

1 2 imellem midtpunktet og brændpunkterne.

For at bestemme ligningen for ellipsen placerer vi et koordinatsystem i ellipsen, hvorpå vi placerer begyndelsespunktet i centrummet og F og F på x-aksen.

1 2

Punkterne A og A, med

1 2 koordinatsættet (a,0) og (-a,0) er ellipsens skæringspunkter med x-aksen. Denne akse kaldes også for

”storaksen”, hvor længden er 2a.

Punkterne B og B, med

1 2 koordinatsættet (0,B) og (0,-B) er ellipsens skæringspunkter med y-aksen. Denne akse kaldes også for ”lilleaksen” og har længden 2b.

𝐴_{1} 𝐹_{1} +͏𝐴_{1} 𝐹_{2} =͏𝐹_{2} 𝐴_{2} +͏𝐴_{1} 𝐹_{2} =͏𝐴_{1} 𝐴_{2} =͏2𝑎

Da længden har den samme konstante sum, så er ellipsen fastlagt således:

𝑃𝐹_{1} +͏𝑃𝐹_{2} =͏2𝑎

Man finder førstekoordinaten til a ved at gange a med et tal mellem 0-1. Dette kaldes også for exentricitet og bliver betegnet med et e. Koordinaterne til F og F:

1 2

𝐹_{1} 𝑎𝑒,͏0͏ 𝑜𝑔 𝐹_{2} (−𝑎𝑒,͏0)

Figur 4

Side 17

17

B

1 1 2 ligger på ellipsen og afstanden mellem F og F skal give 2a. Ved hjælp af afstandsformlen får vi at:

𝐵_{1} 𝐹_{1} =͏𝑎 ⟺͏ 𝑎^{2} 𝑒^{2} +͏𝑏^{2} =͏𝑎^{2} ⟺͏𝑎^{2} 1͏−͏𝑒^{2} =͏𝑏^{2} ⟺
𝑏^{2}
𝑎^{2}

=͏1͏−͏𝑒^{2}

Vi går ud fra at P(x,y) er et tilfældigt punkt på ellipsen, nu vil vi finde en ligning, som x og y opfylder. Igen bruger vi afstandsformlen:

͏𝑃𝐹 =͏(𝑥,͏𝑎𝑒)^{2} −͏ 𝑦^{2} og

1

2

𝑃𝐹_{2}^{2} =͏(𝑥,͏𝑎𝑒)^{2} +͏ 𝑦^{2}

Ved hjælp af beregninger fra højresiden får vi næsten samme resultat. Ligningerne trækkes fra hinanden og man får:

𝑃𝐹_{2}^{2} −͏𝑃𝐹_{1} =͏4𝑎𝑒𝑥

2

Venstresiden skrives ved hjælp af en kvadratsætningen ”to tals sum gange de samme to tals differens”

𝑃𝐹_{2} +͏𝑃𝐹_{1} ∗͏𝑃𝐹_{2} −͏𝑃𝐹_{1} =͏4𝑎𝑒𝑥 ⟺
2𝑎͏𝑃𝐹_{2} −͏𝑃𝐹_{1} =͏4𝑎𝑒𝑥 ⟺
𝑃𝐹_{2} −͏𝑃𝐹_{1} =͏2𝑒𝑥

𝑃𝐹_{1} +͏𝑃𝐹_{2} =͏2𝑎 lægges sammen med ͏𝑃𝐹_{2} −͏𝑃𝐹_{1} =͏2𝑒𝑥 og får at: ͏𝑃𝐹_{2} =͏𝑎͏+͏𝑒𝑥.
Vi indsætter udtrykket for ͏𝑃𝐹_{2} ind i udtrykket for ͏𝑃𝐹_{2}^{2} og får at:

𝑃𝐹_{2}^{2} =͏(𝑥͏+͏𝑎𝑒)^{2} +͏𝑦^{2} ⇕
𝑥^{2} 𝑦^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =͏1

Side 18

18

Herfra kan vi se, at en ellipse med begyndelsespunkt i centrum og brændpunkterne på x-

                   2   2
                  𝑥   𝑦
aksen har ligningen: +  =͏1
                   2   2
                  𝑎   𝑏

a og b svarer til henholdsvis den halve storakse og den halve lilleakse.^{24}

Hyperblen som keglesnit

Vi skal nu kigge på de punkter, hvor afstanden mellem disse ikke er et bestemt tal.

𝑃𝐹_{2} −͏𝑃𝐹_{1} =͏2𝑎

2a skal være mindre end længden mellem F og F.

1 2

Vi skal nu finde ligning for hyperblen. Vores punktmængde er en hyperbel og brændpunkterne er

F og F. 2a er hyperblens storakse.

1 2

Vi placerer et koordinatsystem i hyperblen, hvor F og F befinder sig

1 2 på x-aksen og y-aksen er midtnormalen til brændpunkterne.

Fremgangsmåden er præcis den samme som ved ellipsen. Derfor vil beregningerne ikke fremgår endnu engang.

En hyperbel med centrum i sit begyndelsespunkt og brændpunkter placeret ved x-aksen har

          2   2
         𝑥   𝑦
ligningen: −   =͏1
          2   2
         𝑎   𝑏

a og b svarer til henholdsvis den halve storeakse og den halve lilleakse.^{25}

24

Axelsen, 1991, s. 84-87

Figur 5

Side 19

19

Keglesnitsflader

En keglesnitsflade er en flade i rummet, som er givet ved en andengradsligning i tre variabler

x,y,z, x^{2} +y^{2} +z^{2} = 9. Her gives det, at kuglefaldens centrum befinder sig i centrum i (0,0,0) og
radiusen er 3 eller z=xy, som er en hyperbolsk paraboloider.

Som nævnt tidligere, er alle snit, der går plant i fladen et keglesnit, som er forudsagt af en ellipse-, hyperbel- eller en parabelkurve.

Keglesnitsflader kaldes også andengradsflader. Grunden til at fladerne kaldes dette er, at deres fremstilling minder om en parabel, hvis ligning er.

𝑦͏=͏𝑎𝑥^{2} +͏𝑏𝑥͏+͏𝑐

Man kan beskrive keglesnitsflader ved hjælp af disse to ligninger.

1. 𝑎𝑥^{2} +͏𝑏𝑦^{2} +͏𝑐𝑧^{2} =͏𝑘
2. 𝑎𝑥^{2} +͏𝑏𝑦^{2} =͏2𝑐𝑧

Ved den første formel vil vi få en ellipsoide eller hyperboloide, med ét eller to net. Ved den

                                                                      26
anden formel vil vi få en elliptisk, en hyperbolsk paraboloide eller en cylinderflade.

Idet vi senere hen skal beskæftige os med hyperbolske paraboloider vil vi kigge nærmere på

den anden ligning, 𝑎𝑥^{2} +͏𝑏𝑦^{2} =͏2𝑐𝑧. Dette er ͏keglesnitsflader uden et centrum, hvilket

indebærer paraboloider.

Her af er det givet, at (A,B) ≠͏0,0͏ og C ≠͏0.^{27}

Ligningen kan omskrives til følgende to ligninger, da vi vil undersøge når konstanterne i ligningerne er forskellige fra 0.

25

Axelsen, 1991, s. 88-90

26

Andengradsflade, Gyldendal.

27

Fabricius-Bjerre, 1972, s. 91.

Side 20

20

𝑥^{2} 𝑦^{2} 2𝑧
𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑐

+ =

𝑥^{2} 𝑦^{2} 2𝑧
𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑐

− =

Den øverste ligning tilhører fladen, elliptiske flader, hvor den nederste tilhører hyperbolske paraboloider. Begge planer indeholder XZ-planen og YZ-planen, hvilket fungere som symmetriplanerne og Z-aksen fungerer som symmetriaksen. Toppunktet (0,0,0) er når Z-

aksen skærer med fladen.^{28}

Den hyperbolske paraboloide

Hyperbolsk paraboloide er en flade i rummet, som er sadelformet. Dette er en særlig type keglesnitsflade.

Grunden til, at den får den sadelformet flade er, at keglesnitsfladen er en algebraisk flade af 2. orden. Det der er specielt ved en hyperbolsk paraboloide er, at den kan fremstilles ud fra kun rette linjer.

En hyperbolsk paraboloide, som er givet ved:

𝑥^{2}
𝑎^{2}

   2
  𝑦   𝑧
−   =
   2
  𝑏   𝑐

a og b er positive konstanter, mens c er en vilkårlig konstant fra 0.

I en hyperbolsk paraboloide skæres ovenstående ligning af XY-planen i to rette linjer, hvor

planerne z for k ≠ 0 vil skærer hyperblens flade.

𝑥 𝑎

±^{𝑦}_{𝑏} =͏0,͏𝑧͏= 0

28

Fabricius-Bjerre, 1972, s.92.

Figur 6

Side 21

21

De fremkommende hyperbler projiceres på XY-planen, hvor linjerne er asymptoter. Bestem af fortegnet for k’s værdier, ligger de enten i samme rum eller i modsatte vinkelrum.

Vores to andre planer, XZ og YZ vil skære den pågældende flade som parabler, som befinder

sig i modsatte side af XY-planen. X = K planerne vil skærer fladen med kongruente parabler.

Den pågældende flade vil ligge både ͏over ͏og under XY-planen og i et bestemt punkt vil man

kunne finde en sadelform.^{29} Nu vil vi gå dybere ned i denne flade og se nærmere på de

hyperbolske paraboloider.

Skæring med planen parallel med xy-planen

Planen er givet ved ligningen z = h.

Først og fremmest går vi ud fra, at h > 0, så skæringsplanen vil ligge højere end xy-planen.

Z = h og derfor sætter vi h ind på z’s pl͏a͏ds i ligningen for paraboloiden (1):

𝑥^{2}
𝑎^{2}

   2
  𝑦   ℎ
−   =
   2
  𝑏   𝑐

Ved at dividere med^{ℎ}_{𝑐} på begge sider fås det at:

𝑐∗𝑥^{2}
ℎ∗𝑎^{2}

    2
  𝑐∗𝑦
−     =͏1 ⬄
    2
  ℎ∗𝑏

𝑥^{2} 𝑦^{2}

ℎ ℎ 𝑐 𝑐

∗͏𝑎 ∗͏𝑏

2 2

− =͏1

29

Fabricius-Bjerre, 1972, s. 94.

Side 22

22

Overstående er ligningen for en hyperbel, som befinder sig i xy-koordinatsystem, hvor

centrummet befinder sig i punktet (0,0).^{ℎ}_{𝑐} ∗͏𝑎 er den halve førsteakse og er parallel med x-

aksen.^{ℎ}_{𝑐} ∗͏𝑏 er den halve andenakse og er parallel med y-aksen.

Figur 7

Vi siger nu, at h < 0, så skæringsplanen vil ligge lavere en xy-planen.

Man indsætter h på z’s plads i ligningen (1), hvorefter man ganger igennem med -1 og derefter

vil vi ved hjælp af division med^{−ℎ}_{𝑐} få:

𝑐∗𝑥^{2}
(−ℎ)∗𝑎^{2}

     2
   𝑐∗𝑦
−       =͏1 ⬄
       2
   −ℎ͏∗𝑏

𝑥^{2} 𝑦^{2}

−ℎ −ℎ 𝑐 𝑐

∗͏𝑎 ∗͏𝑏

2 2

− =͏1

Her ses ligningen for en hyperbel, hvor^{−ℎ}_{𝑐} ∗͏𝑎 er den halve førsteakse og er parallel med x-

aksen.^{−ℎ}_{𝑐} ∗͏𝑏 er den halve andenakse og er parallel med y-aksen.

Side 23

23

Nu siger vi, at h = 0, hvilket vil sige at skæringsplanen ligger sammen med xy-planen.
Når h=0 fås ligningen:
𝑥^{2}
𝑎^{2}

   2
  𝑦
−   =͏0 ⬄
   2
  𝑏

𝑦͏= ∗͏𝑥 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑦͏=͏− ∗͏𝑥

𝑏 𝑏 𝑎 𝑎

Dette giver to rette linjer i xy-planen. Disse linjer er det samme som asymptoterne for alle skæringshyperblerne. Dette er de, fordi asymptoterne er lodrette parallelforskydninger til de

to linjer.^{30}

30

Jakobsen, 2011, s. 48-49.

Figur 8

Side 24

24

Skæring med plan parallel med yz-planen

En yz-plan har ligningen x = k. Vi placerer nu k på x’s plads:

𝑘^{2}
𝑎^{2}

   2
  𝑦   𝑧
−   =  ⬄
   2
  𝑏   𝑐

             2
   𝑐       𝑐𝑘
        2
z =  ∗͏𝑦 +
    2       2
   𝑏       𝑎

Figur 9

I yz-koordinatsystmer befinder der sig skæringskurver, som kaldes kongruente parabler. Det er altså parabler, som er af samme størrelse. Grenene vender ned ad, i det vores koefficient er

−𝑐

𝑏^{2}

samtidig med den fremstår uafhængig fra k. Den vil altid være negativ.

Toppunktet befinder sig på den positive side af andenaksen i det^{𝑐𝑘^{2}}_{𝑎^{2}} er positiv, dog er der en
undtagelse, udsagnet gælder nemlig ikke hvis k = 0, da toppunket ellers vil befinde sig i
punktet (0,0,0).^{31}

31

Jakobsen, 2011, s. 50.

Side 25

25

Skæring med plan parallel med xz-planen

En xz-plan har ligningen y = q. Vi placerer nu q på y’s plads:

𝑥^{2}
𝑎^{2}

   2
  𝑞   𝑧
−   =  ⬄
   2
  𝑏   𝑐

             2
   𝑐       𝑐𝑞
        2
z =  ∗͏𝑥 +
    2       2
   𝑎       𝑏

Figur 10

I xz-koordinatsystmer befinder der sig skæringskurver, som kaldes kongruente parabler.

Grenene vender opad, idet vores koefficient er_{𝑎^{2}}^{𝑐} samtidig med at den fremstår uafhængig fra

q. Den vil altid være positiv.

                                                           2
                                                         𝑐𝑞
Toppunktet befinder sig på den negative side af andenaksen idet − er negativ, dog er der
                                                          2
                                                          𝑎

en undtagelse, udsagnet gælder nemlig ikke hvis q = 0, da toppunket ellers vil befinde ͏sig ͏i

punktet (0,0,0).

Det der beskriver paraboloiden, er de kongruente parabler, som blev omtalt i skæring med plan parallel med yz-planen samt xz-planen.

Side 26

26

                                                                 𝑐
                                                                     2
Parablerne opdeles i centralparabel 1 og 2. Den første centralparabel er z = ∗͏𝑦 , som vi så i
                                                                 2
                                                                𝑏

                                     𝑐
                                          2
yz-planen. Den anden centralparabel er z = ∗͏𝑥 , som vi så i zx planen.
                                      2
                                     𝑎

For, at man kan se om der er tale om hyperbolske paraboloide, skal alle punkter gå gennem både den 1. og 2. centralparabel. Fladen fås, i det 1. Centralparabel parallelforskydes, så vil

den 1. Centralparabels toppunkt nemlig ligge på den 2. Centralparabel.^{32}

Beskrivelse ved hjælp af rette linjer

Vores førstnævnte ligning kan skrives sål͏edes:

𝑥^{2} 𝑥
𝑎^{2} 𝑎

   2
  𝑦   𝑧        𝑦   𝑥   𝑦   𝑧
−   =  ⬄     −   ∗   +   =
   2
  𝑏   𝑐        𝑏   𝑎   𝑏   𝑐

Første sæt frembringere

Man sætter den første parentes lig med k, så ligningen ses på en plan: 𝑥 𝑎

  𝑦
−  =͏𝑘 ⬄ bx-ay=abk
  𝑏

Til k knyttes der planen α, hvorfra planen k har normalvektoren (b, -a, 0). Dette skal forstås sådan, at hver gang k optræder vinkelret på xy-planen og k-værdierne er reelle tal, så vil alle α løbe gennem samtlige k planer, som er parallel med α k.

Når vores plan, α med ligningen bx - ay= 0,

0

32

Jakobsen, 2011, s. 50-52.

Figur 11

Side 27

27

                                        𝑏
vil man kalde dette ledeplanen. Ligningen 𝑦͏= 𝑥 i planen xy-planen skærer med ledeplanen.
                                        𝑎

Vi angiver, at P befinder sig i planen som et vilkårligt punkt på fladen. P befinder sig i α k planen for en af vores k-værdier.

Man skal nu finde skæringskurven mellem α og fladen: k 𝑥 𝑎

                  2   2
  𝑦              𝑥   𝑦    𝑧
−  =͏𝑘 indsættes i −    = :
                  2   2
  𝑏              𝑎   𝑏    𝑐

𝑘͏∗ + =

𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐

Nu skal vi finde parameterfremstillingen for skæringskurven. Denne finde vi ved, at indsætte 𝑥 𝑎

=͏𝑡.

                          𝑦
y ved t udtrykkes således: 𝑡͏− =͏𝑘͏<=>͏𝑦͏=͏𝑏𝑡͏−͏𝑏𝑘.
                          𝑏

                          𝑥    𝑦                     𝑥  𝑦    𝑧
z ved t udtrykkes ved at sætte 𝑡 og =͏𝑡͏−͏𝑘 i ligningen 𝑘͏∗ + = .
                          𝑎    𝑏                     𝑎  𝑏    𝑐

                         2
z bliver derfor: 𝑧͏=͏2𝑘𝑐𝑡͏−͏𝑐𝑘 .

Parameterfremstillingen i rummet ser således ud: 𝑥

𝑦 = +͏𝑡͏∗

𝑧

𝑥_{0} 𝑟_{1}
𝑦_{0} 𝑟_{2}
𝑧_{0} 𝑟_{3}

Vi ved, at vores punkt P, ligger på kurven ved denne parameterfremstilling: 𝑥 𝑎

𝑦 = 𝑏 +͏𝑡͏∗

𝑧 2𝑘𝑐

0

−𝑏𝑘

𝑐𝑘^{2}

Side 28

28

Nu har vi vores rette linje, som kaldes l.

k

Man kan hermed se, at ethvert vilkårligt punkt (P) på fladen, vil befinde sig på l for en af k vores k-værdier. Dog gælder det også, at alle punkter på l befinder sig på fladen.

k

På baggrund af overstående viden kan vi se, at fladen indeholder alle linjer af l, som også k kaldes for ”fladens frembringere”. Disse frembringere ligger vindskævt over for hinanden.

Derudover er de parallelle med ledeplanen. Alt dette kaldes også en retlinet flade.^{33}

Anden sæt frembringere

           𝑥  𝑦    𝑥  𝑦   𝑧
I ligningen −   ∗   +   =  sættes den anden parentes = q.
           𝑎  𝑏    𝑎  𝑏   𝑐

𝑥 𝑦 𝑎 𝑏

+ =͏𝑞 ⇔͏𝑏𝑥͏+͏𝑎𝑦͏=͏𝑎𝑏𝑞

Hver gang et q fremgår kaldes planen 𝛽_{𝑞}.

Planen har tilhørende en nomalvektor

(b,a,0), så 𝛽_{𝑞} for q befinder sig vinkelret på

xy-planen, i det alle q-værdierne gennemløber samtlige reele tal samtidig

med 𝛽_{𝑞} gennemløber alle parallelle planer
med 𝛽_{𝑞}. Ligningen for ledeplanen er

                                   𝑏
𝑏𝑥͏+͏𝑎𝑦͏=͏0. Ved hjælp af ligningen 𝑦͏= 𝑥.
                                   𝑎

På samme måde som ved første sæt frembringere kan vi beskrive et hvilket som helst punkt, P, ligger på en linje, m med parameterfremstillingen: q

33

Jakobsen, 2011, s. 52-53.

Figur 12

Side 29

29 𝑥

𝑦 = 𝑡͏+

𝑧 𝑎 0

−𝑏 𝑏𝑞

2𝑞𝑐

−𝑐𝑞^{2}

Ved at sætte parameterfremstillingen ind i fladens ligning, kan man se alle punkterne på m.

q

På baggrund af overstående viden kan vi se, at fladen indeholder alle linjer af m, som også q kaldes for ”fladens frembringere”. Disse frembringere ligger vindskævt over for hinanden.

Derudover er de parallelle med ledeplanen 𝛽_{𝑞}.^{34}

”Den hyperbolske paraboloide indeholder to systemer af rette linjer. To rette linier af samme

                                                              35
system ligger vindskævt; to rette linier af modsat system skærer hinanden”

En hyperbolsk paraboloide består af 2 frembringersystemer, som danner en retlinet flade.

Derudover er alle frembringere parallelle med ledeplanen og to frembringere inden for selv samme system er vindskæve. Frembringere fra samme system vil altid være vindskæve. Og vil

have skæringspunkt i det andet system.^{36}

Den vindskæve firkant

34

Jakobsen, 2011, s. 54

35

Fabricius-Bjerre, 1972, s. 95

36

Jakobsen, 2011, s. 55

Figur 13

Side 30

30

Der vælges 2 forskellige frembringerlinjerne l

1 2, og l fra det ene system og 2 frembringerlinjer m og m fra det andet system.

1 2 l og l er vindskæve i forhold til hinanden og er parallelle med de planer, som står vinkelret

1 2 på xy-planen. Ligeledes er m

1 2 og m vindskæve. Dog er de parallelle med nogle andre planer, der stadig er vinkelrette på xy-planen.

Denne firkant fremkommer når to frembringere fra hver deres system skærer hinanden og

dermed danner en firkant.^{37}

Figur 14

En firkant er givet ved ABCD. Trækkes A og C lodret op, så de er parallelle fremkommer der en ny firkant, som kaldes EBFD. Det hedder en vindskæv firkant, da alle hjørner ikke ligger på samme plan.

For at bevise, at vindskæve firkanter og hyperbolske paraboloider hænger sammen udledes der nu en ligning for fladen. Et vilkårligt pu͏nk͏t er givet ved:

P(x,y,z)

P er parallel med yz-planen.

Linjen for P forbinder G på DF sammen med H på EB.

Højden, h, befinder sig over xy-planen.

1

Ved højden, h, befinder G sig over xy-planen.

2

37

Jakobsen, 2011, s. 56

Side 31

31

Trekanten CDF beskrives således:

ℎ_{2} 𝑎͏−͏𝑥

ℎ 2𝑎

=

Trekantet ABE beskrives således:

ℎ_{1} 𝑎͏+͏𝑥

ℎ 2𝑎

=

Den grå trekant beskrives således:

𝑧͏−͏ℎ_{2} 𝑎͏+͏𝑦
ℎ_{1} −͏ℎ_{2} 2𝑎

=

Idet man kombinerer ligningen for trekant CDF og ABE fremkommer det at:

ℎ_{1} −͏ℎ_{2} = − =

ℎ͏∗͏𝑎͏+͏𝑥 ℎ͏∗͏𝑎͏−͏𝑥 ℎ𝑥

2𝑎 2𝑎 𝑎

Nu indsætter vi overstående formel i ligningen for den grå trekant og får at:

𝑧͏−͏ℎ_{2} = ∗ = ∗͏𝑥𝑦͏+

ℎ𝑥 𝑎͏+͏𝑦 ℎ ℎ𝑥

𝑎 2𝑎 2𝑎^{2} 𝑎

           ℎ  ℎ𝑥
Og når ℎ =  −   får man, at:
       2
           2  2𝑎

𝑧͏= 𝑥𝑦͏+

ℎ ℎ

2𝑎^{2} 2

                                    ℎ     ℎ
For at bevise at overstående ligning, 𝑧͏= 𝑥𝑦͏+ , er ligningen for en hyperbolsk
                                     2
                                   2𝑎     2

paraboloide, skal vi ændre i koordinatsystemet. Z-aksen forskyder stykket h/2, ved at dreje

det 45˚. Det nye koordinatsystem kaldes nu: (x, y, z).

1 1 1

Enhedsvektorerne for x-aksens retning kaldes i og y-aksens retning kaldes j.

Enhedsvektorerne for x

1 1 1 1 og y akserne vil beskrives ved i og j

. I xy-planen er der et tilfældigt punkt, P, som har en stedvektor, som kaldes for r. Stedvektorens koordinater bliver betegnet med (x,y) og (x, y).

1 1

Side 32

32

Det er givet, at:

𝑖_{1} =͏cos͏45˚͏i͏+͏sin͏45˚͏j
𝑗_{1} =͏−͏sin͏45˚͏i͏+͏cos͏45˚͏j

Det ses at:

𝑟͏=͏𝑥_{1} 𝑖_{1} +͏𝑦_{1} 𝑗_{2}

𝑥 ∗͏cos͏45˚͏i͏+͏sin͏45˚͏j)͏+͏𝑦 ∗͏(−͏sin͏45˚͏i͏+͏cos͏45˚͏j)͏=
 1                        1

(𝑥 ∗͏cos͏45˚͏i͏+͏sin͏45˚͏)͏i͏+͏𝑦 ∗͏(𝑥 −͏sin͏45˚͏+͏𝑦 ∗͏cos͏45˚͏)͏j͏=
  1                        1    1             1

2 2 2 2

2 2 2 2

𝑥_{1} − 𝑦_{1} 𝑖͏+͏ 𝑥_{1} − 𝑦_{1} 𝑗

Koordinaterne til r er derfor:

𝑥͏= 𝑥_{1} ∗͏(𝑥_{1} −͏𝑦_{1})

2

2

𝑦͏= ∗͏(𝑥_{1} +͏𝑦_{1})

2

2

Nu til parallelforskydningen med h/2 opad:

𝑧͏=͏𝑧_{1} +

ℎ

2

                                                                 ℎ      ℎ
Nu har vi fundet vores x,y,z værdier og erstatter dem med ligningerne i 𝑧͏= 𝑥𝑦͏+ .
                                                                  2
                                                                2𝑎      2

𝑧͏= 𝑥𝑦͏+ ⇔͏ 𝑧͏− = 𝑥𝑦͏⟺͏ 𝑧_{1} = 𝑥𝑦

ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ

2𝑎^{2} 2 2 2𝑎^{2} 2𝑎^{2}

Herfra ses det, at:

𝑧_{1} = ∗ ∗͏𝑥_{1} −͏𝑦_{1} ∗ ∗͏𝑥_{1} −͏𝑦_{1} ⇔

ℎ 2 2

2𝑎^{2} 2 2

𝑧_{1} = ∗ ∗͏𝑥_{1}^{2} −͏𝑦_{1}^{2} ⇔

ℎ 1

2𝑎^{2} 2

Side 33

33

𝑧_{1} ℎ
ℎ 4𝑎^{2}

= ∗͏𝑥_{1}^{2} −͏𝑦_{1}^{2} ⇔

𝑧_{1} ℎ 1
ℎ 4𝑎^{2} 4𝑎^{2}

= ∗͏𝑥_{1}^{2} − ∗͏𝑦_{1}^{2} ⟺

𝑧_{1} 𝑥_{1}^{2} 𝑦_{1}^{2}
ℎ (2𝑎)^{2} 2𝑎)^{2}

= − ⇔

Ud fra dette ses det, at punktet opfylder kravene. Ligning, som er fremkommet, er ligningen

for en hyperbolsk paraboloide, der har centrum i (0,0,0) i x, y, z -systemet.^{38}

1 1 1

Den hyperbolske paraboloide er altså en andengradsflade, som er saddelformet. Figuren er fremstillet af rette linjer, hvor en ret linje, som er parallelt med planen, går over 2 andre rette linjer, som ligger vindskævt i forhold til hinanden. Betegnelsen ”hyperbolsk” kommer fra hyperblen, som dannes skæringskurven mellem fladen og det vandrette plan. Betegnelsen ”paraboloide” kommer fra den parabel med grenene nedad, som går over i en anden parablen

der har grenene opad. Disse parabler danner fladen på͏ ͏den hyperbolske paraboloide.^{39}

Den hyperbolske paraboloide i La Sagrada Familia og Park Güell

Man kan tydeligt se Gaudís brug af geometrien, herunder brugen af hyperbolske paraboloider, i hans arkitektur. På daværende tidspunkt lavede han forskellige gipsmodeller, der fungerede som skabelon til hans bygninger. Under den La Guerra Civil Española blev en del af disse beskadiget, men senere hen har man gjort brug af billeder og rester af gipsmodellerne og hans geometriske tankegang til, at genskabe Gaudís idéer, især med henblik på færdiggørelsen af

La Sagrada Familia.^{40}

“El paraboloide es el padre de toda la geometría, pues en él hay la proyección paralela

(ortogonal u obliena) y la radial (polar). El hiperboloide nace haciendo girar las dos generatrices extremas alrededor del cie (...) y haciendo el ángulo constante en lugar de variable

(...); si gira una alrededor de otra del sistema contrario y aquélla se mantiene con inclinación

38

Jakobsen, 2011, s. 57-60

39

Jakobsen, 2011, s. 22

40

Jakobsen, 2011, s. 133

Side 34

34

                            41
constante se obtiene el helicoide. “ – Gaudí

Det ses at matematikken og de geometriske figurer spillede en stor rolle, men især ”el paraboloide”. I dette citat menes det at den hyperbolske paraboloide, er faderen til de andre geometriske former.

Brugen af hyperbolske paraboloider i La Sagrada Familia

Sakristiet i La Sagrada Familia er formet som en kuppel, der består af tolv hyperbolske paraboloider.

Først og fremmest består kuplen af henholdsvis 4 enshyperbolske paraboloider og 8 ens hyperbolske paraboloider.

Men det der er fælles for de 12 hyperbolske paraboloider er, at de alle skærer hinanden langs rumkurven med projektion på grundplanen.

Rumkurverne er kurver af 4. grad, da det er to algebraiske flader af 2. orden, som skærer hinanden.

Derudover er vinduerne i kuplen trekantede. Disse trekanters skrå sider medfører frembringere på den flade, hvor vinduet er placeret. Til sidst kan man også Figur 15 se, at de lige sider følger paraboloidens overflade i form af en parabel.

I de kommende tårne på La Sagrada Familia vil vi ligeledes kunne se brugen af de skærende hyperbolske paraboloider. De er altså konstrueret ligesom vinduerne, bare i en smallere

udgave. Tårnene er som sagt ikke bygget endnu, men kan ses i en af gipsmodellerne.^{42}

41

Armenteros, 1996, s. 133. linje 10-15

42

Jakobsen, 2011, s. 134-136.

Side 35

35

Brugen af hyperbolske paraboloider i Park Güell

I Park Güell finder vi brugen af de hyperbolske paraboloider i buegangen ved de spiralformede søjler.

Her ses hvælvingen formet som en hyperbolsk paraboloide, altså den konstruktion, som danner loftet ved hjælp af støtte fra søjlerne og den anden væg.

Derudover ses, at den hyperbolske paraboloide i buegangen i Park Güell ornamentalt set ligner en hudfold.

Det er netop i en af disse bygninger, hvor man virkelig kan se Gaudís brug af naturen i hans arkitektur, som han selv sagde “Nada es arte”, sentenció, “si no viene de la

naturaleza”^{43}

Den konstruktionsdygtige og stærke figur

Den hyperbolske paraboloidehvælv har flere konstrukstionsmæssige fordele. Den er forholdsvis nem, at bygge i det stenene placeres, så de fungerer som fladens frembringere, som så flyttes når den nye række af sten skal lægges. Fladen vil nu bestå af en masse rette linjer, som ender i en krum flade. Ydemere vil den krumme i to retninger, hvilket medfører at der fremkommer en stabil og ”stiv” flade.

Som nævnt tidligere kan den hyperbolske paraboloide fremstilles ved hjælp af rette linjer ganske enkelt. De rette linjer gør det derfor nemt, at arbejde med denne figur og er derfor

smart konstruktion.^{44}

Den hyperbolske paraboloide er en figur, som indeholder en masse styrke.

“Som tagkonstruktion er denne form interessant, fordi enhver kraft, der påvirker fladen vinkelret, kan optages af trækkræfter i selve fladen. Dermed er det muligt at konstruere et stift

tag med stor spændvidde af en relativt tynd membran og helt uden bærende spær.”^{45}

43

La Sagrada Familia, casi terminada después de 133 años, natgeo.es.

44

Jakobsen, 2011, s. 101-102.

Figur 16

Side 36

36

Ud fra dette citat kan vi se, at den hyperbolske paraboloide er ideel at bruge i forbindelse med tagkonstruktioner, hvilket f.eks. kan ses i buegangen i Park Güell.

Gaudí gjorde altså brug af den hyperbolske paraboloide i sakristiet i La Sagrada familia og i buegangen i Park Güell. Grunden til han netop har brugt denne figur er, da man kan bruge denne figur uden bærende spær. Desuden var den også nem at fremstille, da den hyperbolske paraboloide består af rette linjer, hvilket gør den nem at arbejde med.

Gaudís originalitet

Der er ingen tvivl om, at Gaudí var et geni inden for arkitekturen og bliver den dag i dag set, som en af de mest berømte arkitekter i verden. Der var ingen ligesom Gaudí. Hans unikke matematiske tekniker og brugen af Guds ”mesterværk”, naturen, var det som beskrev hans originalitet.

I artiklen ”Arquitectura y religión en Gaudí”, som er skrevet af Josefa Blanca Armenteros fra Universidad complutense de Madrid, kan man se nærmere på baggrunden for Gaudís originalitet. I denne artikel får vi netop et indblik i hvordan Gaudí blev defineret som arkitekt og hvordan han brugte arkitekturen, religionen og dermed også naturen i sine bygningsværker. Derudover er overstående dokumeteret ved brug af Gaudís egne citater.

Da denne artikel stammer fra Madrid er det værd at bemærke, at forfatteren muligvis har en holdning til Catalonien, på baggrund af problematikken angående Cataloniens ønske om løsrivelse fra Spanien. Forfatterens brug af citater fra Gaudí, medfører dog at han fremstår meget objektiv.

Allerede i Gaudís tidlige år fik han et interesse for det religiøse aspekt og naturen.

”La obra arquitectónica de Gaudí se define en función de su propia experiencia vital que quedará marcada por una infancia vivida intensamente en el seno de una familia humilde donde se

45

Hyperbolsk paraboloide, wikipedia.dk

Side 37

37 respiró un ambiente cordial y alegre, protagonizado por la figura de una madre amable y cuidadosa que trasmite al pequeño Gaudí el amor por la naturaleza y sobre todo «la fe en el

Creador de tales maravilla»”^{46} – Gaudí

Gennem Gaudís opvækst spillede kærligheden til religionen en stor rolle, da hele familien var troende katolikker. Det var Gud, som havde skabt naturen og Gaudí sagde selv, at “Todo sale

                          47
del gran libro de la naturaleza.”

Ligesom hos andre arkitekter på daværende tidspunkt, var naturen et af de helt store temaer i hans arkitektur. Han udtalte ligeledes, at “Nada es arte”,

                                 48
sentenció, “si no viene de la naturaleza”

, hvilket taler for sig selv.

Den catalanske modernisme gjorde op med en årrække med industrialiseringen. Man ville gerne tilbage til det helt natulige og basale. I arkitekturen skulle skabelonerne og byggestenene findes i naturen.

Mange arkitekter brugte naturen i deres værker, men Gaudí tog steppet videre. For han brugte i den grad geometrien til, at skabe disse unikke bygningsværker. Han fandt de geomtriske former rundt omkring i naturen og brugte dem konstruktionen i alle hans værker.

Som nævnt tidligere ville Gaudí gerne tilbage til gotikken, hvor han omtalte denne periode således:

“Las bóvedas góticas son una falsa superficie, pues son dos círculos unidos por una recta; si uno de éstos se sustituye por una elipse, la superficie resultante es un hiperboloide (la reglada de revolución); si hubiesen sido realizadas así ganarían, pues tendrían una ley, ahora son

                   49
superficies bastardas.” – Gaudí

Han mente i bund og grund, at der manglede et geometrisk indspark for at gøre arkitekturens konstruktioner fuldente. Her refererer han selv til, at figurer så som hyperboloiden, ville være ideelle. Gaudí var især kendt for sin brug af rumgeometriske former, hvor man førhen i højere grad kun gjorde brug af 2 dimensionale kurver. Med henblik på den konstruktionsmæssige del, skabte Gaudí sit helt eget system, hvor han gjorde brug af de former, som han fandt i

46

Armenteros, 1996, s. 125 linje 19-24

47

Antoni Gaudí Frases y Citas, Akifrases.com

48

El amor de Gaudí por la naturaleza nos acerca a Dios, National Geografic.

49

Armenteros, 1996, s. 131 linje 12-15

Side 38

38 naturen.

“Los paraboloides, hiperboloides y helicoides, variando constantemente la incidencia de la luz, tienen una riqueza propia de matices, que hacen innecesaria la ornamentación y hasta el

modelaje.”^{50} - Gaudí

Gaudís brug af disse lidt mere utraditionelle former åbnede for utallige konstruktionsmæssige nuancer og muligheder i arkitekturen. Det var derfor ikke nødvendigt med andre naturlige dekorationer, da de naturlige former i konstruktionen var nok i sig selv. Men især én geometrisk form, spiller en stor rolle:

“El paraboloide es el padre de toda la geometría, pues en él hay la proyección paralela

(ortogonal u obliena) y la radial (polar). El hiperboloide nace haciendo girar las dos generatrices extremas alrededor del cie (...) y haciendo el ángulo constante en lugar de variable

(...); si gira una alrededor de otra del sistema contrario y aquélla se mantiene con inclinación

                            51
constante se obtiene el helicoide. “ – Gaudí

Som vi kan se i dette citat udtaler Gaudí selv, at den hyperbolske paraboloide er en af de vigtigeste konstruktionsmæssige faktorer i hans værker, da den er ”byggestenen” for f.eks.

helikoden og hyperboloiden. Altså uden den hyperbolske paraboloide ville man ikke kunne lave helikoden og hypeboloiden.

Den hyperbolske paraboloide har Gaudí brugt til, at udarbejde et treenighedssymbol i La Sagrada Familia.

“El sistema basa sus reglas en tres líneas entrelazadas que Bassegoda identifica con la Santísima Trinidad, al menos en la Sagrada Familia. Padre, Hijo y Espíritu Santo se unen en una sola

persona cuyo carácter es infinito, de la misma manera que lo son las líneas de la arquitectura”^{52}

50

Antoni Gaudí, Wikipedia.es

51

Armenteros, 1996, s. 133 linje 10-15

52

Armenteros, 1996, s. 133 linje 1619

Side 39

39

Her smelter Faderen, Sønnen og Helligånden sammen i en enkelt person, ligesom de på samme måde går fra at være tre forskellige linjer til en samlet linje. Dette understrege i høj grad koblingen mellem de geometriske former, som Gaudí har hentet fra naturen og sin religiøse baggrund.

Det der altså definerer Gaudís originalitet er ͏ha͏ns kreative evne til, at tage ”Guds skabelse”, naturen, og finde dens geometriske former. Gennem hans katolske opvækst blev han inspireret af gotikkens syn på religionen og dens brug af matematiske elementer i arkitekturen. Han ville tilbage til denne storhedstid. Men i forhold til alle andre arkitekter fra samtiden, så tænke Gaudí endnu mere ud af boksen. Han brugte de geometriske former på en helt ny måde, hvor han fandt og ”genbrugte” de naturlige geometriske figurer fra den ornamentale verden. Her var det især den hyperbolske paraboloide, som spillede en stor rolle i hans arkitektur. Gaudí mente, at "El arquitecto del futuro se basará en la imitación de la

naturaleza, porque es la forma más racional, duradera y económica de todos los métodos"^{53} –

Gaudí. Man skulle hente de elementer , som ligger i noget så simpelt som naturen. Det var det mest optimale for arkitekturen, både i hans tid og fremover. Brugen af geometrien, religionen og naturen var altså det, som definerede hans konstruktionsmæssige og æstetiske originalitet i den grad. Og det var især samspillet mellem de særlige geometriske former og det religiøse aspekt, som adskilte ham fra de andre arkitekter.

Konklusion

I denne opgave er der blevet redegjort for den catalanske modernisme, med henblik på hvordan dette påvirkede arkitekturen. Desuden er der blevet redegjort for Gaudís byggestil med fokus på hvilke elementer han brugte i arkitekturen samt udtrykket ”La originalidad es volver a los orígenes”. I den forbindelse er jeg nået frem til, at Antoni Gaudís hovedelementer i byggestilen var naturens geometriske flader og figurer. Dette gjorde han blandt andet, da han mente at man som arkitekt skulle hente inspiration fra naturen for at få skabt et mesterværk.

Og det var også skridtet tilbage til naturen, som er opskriften på den catalanske modernisme.

Dernæst skulle jeg finde ud af, hvor Ga͏u͏dí fandt sin inspiration fra. Her fandt jeg ud af, at Gaudís opvækst var præget af hans katolske familie, men også en kunstneriske periode, hvor

53

Antoni Gaudí Frases y Citas, Akifrases.com

Side 40

40 man hentede inspiration fra gotikken. Han ville have det religiøse og naturl͏ige tilbage i arkitekturen. En anden vigtig inspirationskilde er hans uddannelsesmæssige baggrund. Han var uddannet inden for det matematiske område, hvor i sær de geometriske former fangede hans interesse. Gaudí fandt de geometriske former i naturlige objekter. Som nævnt tidligere var naturen altså en stor inspirationskilde på flere måder.

Derefter skulle jeg indføre algebraiske flader af anden orden, med fokus på keglesnitsflader og især hyperbolske paraboloider. Her gik jeg ind og beskrev baggrundsviden om algebraiske flader af 2. orden og keglesnitsflader. Derudover fortalte jeg ligeledes om hvad et keglesnit var og hvilke typer keglesnit der findes. Al denne baggrundsviden skulle bruges til, at få en bedre forståelse for hvad den hyperbolske paraboloide overhovedet er. Den hyperbolske paraboloide er altså fremstillet af rette linjer, hvor en ret linje, som er parallelt med planen, går over 2 andre rette linjer, som ligger vindskævt i forhold til hinanden. Efter denne redegørelse gik jeg ind og kiggede på Gaudís brug af den hyperbolske paraboloide i både La Sagrada Familia og Park Güell. Her kunne man se, hvor vigtig den hyperbolske paraboloide var i Gaudís arkitektur, da denne figur er genial, både konstruktionsmæssigt og styrkemæssigt. Selve figuren var nem at fremstille, da den bestod af rette linjer.

Til sidst diskuterede jeg med udgangspunktet i artiklen, ”Arquitectura y religión en Gaudí, hvad der definerede Gaudís originalitet konstruktionsmæssigt og æstetisk. Jeg er kommet frem til, at det var samspillet mellem de særlige geometriske former fra naturlige elementer, religionen og den gotiske inspiration, som definerede Gaudís originalitet.

Litteraturliste

Jensen, Anker Leo: Den catalanske modernisme . Jensen, Anker Leo: I: Spanien ¿Anderledes?.

1. udg. Gyldendal, 2005. side 76-76. Internetadresse:

https://books.google.dk/books?id=9ShDSDjiUTYC&printsec=frontcover&hl=da&source=gbs_
ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Besøgt d. (Afsnit i bog)

Axelsen, Ib og Hans Jørgen Schrøder: Vektorer og rumgeometri. Side 81-92. 1. udg. Gjellerup og Gad, 1991. (Bog)

Tafteberg Jakobsen, Ivan: ANTONI GAUDÍ Geometrien bag arkitekturen. Side 13-134. 1. udg.

Sven toft Jensenog Peter Jens Touborg, 2011. (Bog)

Side 41

41

Fabricius-Bjerre, Fr.: I: Lærebog i Geometrien . 3. udg. Gjellerup, 1972. side 77-95. (Afsnit i bog

)

Anales de Historia del Arte: Arquitectura y religión en Gaudí.. Udgivet af Josefa Blanca Armenteros. Sidst opdateret: 1.1.1996. Internetadresse:

http://revistas.ucm.es/index.php/ANHA/article/view/ANHA23A/31637 - Besøgt

d. 9.12.2015 (Internet)

La originalidad consiste en volver al origen.͏ ͏Udgivet af Juan Fernando Zuluaga. Sidst

opdateret: 7.2.2011. Internetadresse: http://jfzuluaga.com/la-originalidad-consiste-en-
volver-al-origen/ - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Andengradsflade. Udgivet af Gyldendal . Sidst opdateret: 4.2.2009. Internetadresse:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analy
tisk_plan-_og_rumgeometri/andengradsflade - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Minilex Matematik . Udgivet af Gyldendal. Internetadresse:

https://books.google.dk/books?id=MOlejifnbI4C&pg=PA16&lpg=PA16&dq=andengradsflade
r&source=bl&ots=jL7Lr5t_yh&sig=mMqM_PeJwC5YXzoCEj2onv80FeU&hl=da&sa=X&ved=0a
hUKEwjoob3vs7rJAhXH-Q4KHZi3An0Q6AEIODAF#v=onepage&q=andengradsflader&f=false -

Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Keglesnit. Udgivet af Wikipedia. Sidst opdateret: 20.6.2015. Internetadresse:

https://da.wikipedia.org/wiki/Keglesnit - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Antoni Gaudí & gotikken. Udgivet af Kasper Christiansen . Internetadresse:

http://www.kasperchristiansen.dk/artikel_gaudi.html - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Hyperbolsk paraboloide. Udgivet af Wikipedia͏. Sidst opdateret: 9.3.2013. Internetadresse:

https://da.wikipedia.org/wiki/Hyperbolsk_paraboloide - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

La Sagrada Familia, casi terminada después de 133 años. Udgivet af National Geografic . Sidst

opdateret: 9.11.2015. Internetadresse: http://www.ngenespanol.com/el-
mundo/hoy/15/11/9/La-catedral-de-Gaudi-sagrada-familia-de-barcelona-casi-terminada/ -

Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Side 42

42

El amor de Gaudí por la naturaleza nos acerca a Dios. Udgivet af Catholic.net. Internetadresse:

http://es.catholic.net/op/articulos/49424/cat/162/el-amor-de-gaudi-por-la-naturaleza-nos-

acerca-a-dios.html - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Frases y Citas Célebres de Antoni Gaudí Frases y Citas - http://akifrases.com. Udgivet af
Akifrases. Internetadresse: http://akifrases.com/autor/antoni-gaud%C3%AD - Besøgt d.

9.12.2015 (Internet)

Antoni Gaudí . Udgivet af Wikipedia. Sidst opdateret: 3.12.2015. Internetadresse:

https://es.wikipedia.org/wiki/Antoni_Gaud%C3%AD - Besøgt d. 9.12.2015 (Internet)

Una ciudad en expansión. Udgivet af Casa Lleó Morera. Internetadresse:

http://www.casalleomorera.com/es/barcelona-y-el-modernismo/el-modernismo/ - Besøgt

d. 9.12.2015 (Internet)

Obra, estilo y técnica de Antoni Gaudí. Udgivet af La Cultura del XIX al XX en España.

Internetadresse: http://www.modernismo98y14.com/obras-antoni-gaudi.html - Besøgt d.

9.12.2015 (Internet)

Kilder til illustrationer

Figur 1 og 3: Axelsen, Ib og Hans Jørgen Schrøder: Vektorer og rumgeometri. Side 81-92. 1.

udg. Gjellerup og Gad, 1991. (Billeder fra bogen)

Figur 2:

http://www.studieportalen.dk/kompendier/matematik/formelsamling/geometri/keglesnit

Figur 4:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Analy
tisk_plan-_og_rumgeometri/ellipse

Figur 5: http://dan.wikitrans.net/Hyperbel

Figur 6, 7, 8 ,9 ,10, 11, 12, 13 , 14 og 15:

http://mimimi.dk/BCN/Ivan/Barcelona_kursus_sept_2010/Gaudi_geometri_09.pdf - Besøgt d.

9.12.2015 (Internet)

Figur 16: https://www.forskerfabrikken.no/tips-til-gravaersdager-i-ferien/