SOP om Value at Risk | Matematik A og Samfundsfag B

Side 1

Value at Risk

L y n g b y T e k n i s k e G y m n a s i u m

S t u d i e r e t n i n g s p r o j e k t

F a g : M a t e m a t i k A o g

S a m f u n d s f a g B

V e j l e d e r 1 : P e r S k a f t e H a n s e n

V e j l e d e r 2 : S ø r e n L u n d s g a a r d

Alexander Kauffmann Vener 3.A

Side 2

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

1 | Side

Indholdsfortegnelse

Abstract: ............................................................................................................................................................ 1

1. Indledning ...................................................................................................................................................... 2

2. Hvad er Value at Risk (VaR) ........................................................................................................................... 2

3. Anvendelse af Value at Risk ........................................................................................................................... 3

4. Beregning af VaR ........................................................................................................................................... 3

4.1 Delprocesser ............................................................................................................................................ 4

4.1.1 Sandsynlighedsfordeling ................................................................................................................... 4

4.1.2 Estimering af volatilitet..................................................................................................................... 7

4.1.3 Korrelation ........................................................................................................................................ 8

4.2 Matematiske modeller ............................................................................................................................ 9

5. VaR i større sammenhænge ........................................................................................................................ 10

5.1 Det økonomiske system ........................................................................................................................ 11

5.2 Beregning af VaR ................................................................................................................................... 14

5.2.1 step 1-6: .......................................................................................................................................... 14

7. Konklusion og vurdering af VaR ................................................................................................................... 16

7. Litteraturliste ............................................................................................................................................... 18

7.1 Bøger...................................................................................................................................................... 18

7.2 Internetsider .......................................................................................................................................... 18 Abstract:

This paper examines the use of the method Value at Risk, both as an investor tool and as a governance tool.

This will be done through an analysis of VaR as an investor tool, and all the necessary assumption and calculations, and an analysis in which the necessary modifications of the investor tool are reviewed. This paper will also examine the financial system and analysis how it growth.

The result of this analysis showed that only part of the investor tool can be used to calculate the risk in the entire financial system, and to use this tool its necessary to describe the growth in the financial system as stochastic process, also factors at inflation and unemployment need to be described.

Over all VaR as a governance tool, works fine, but it has some of the problems as the investor tool, because of the use of historical data. The result of this is a false picture of the real risk, because of the assumption that, the historical data describes the future.

Side 3

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

2 | Side

1. Indledning

I alverdens økonomier er ofte behov for og/eller ønske om tidsmæssigt at kunne adskille indkomst fra

forbrug, gældende for både husholdninger, som ønsker at spare eller låne, til større globale virksomhed, som ønsker at tiltrække fremmedkapital eller blot ønsker at placere overskudslikviditet andetsteds. Lige præcis denne rolle spiller de finansielle markeder, da de tilbyder et bredt udbud af forskellige såkaldte finansielle fordringer og instrumenter, hvoraf de mest almindelige er obligationer og aktier.

Kurser på sådanne fordringer er dog fleksible, det vil sige, at kurserne til hver en tid kan ændres, hvilket kan føre til både positive og negative afkast på de gældende aktiver. Sådanne ændringer kan skyldes en lang række bevægelser i det økonomiskessystem, hvilket skaber en usikkerhed på det finansielle marked. Denne usikkerhed beskrives som risiko, da disse svingninger i kurserne kan give anledning til tab, og af denne grund gøres der ofte brug af forskellige risiko værktøjer, deriblandt risikoværktøjet Value at Risk, et værktøj som fortæller noget om sandsynligheden for det maksimale tab i den følgende tid.

Value at risk bruges af denne grund som investorværktøj i en lang række sammenhænge, men Value at Risk kan også bruges i større sammenhænge, på blandt andet nationaløkonomisk niveau. Dette kræver dog, at Value at Risk som investorværktøj modificeres. Dette vil blive diskuteret i følgende opgave, hvor en gennemgang af de nødvendige modifikationer af Value at Risk værktøjet, samt betingelser og beregninger vil blive beskrevet.

For at opnå fyldestgørende svar på overstående, vil Value at Risk, som investorværktøj, blive undersøgt vha. af en grundig redegørelse for dets anvendelses områder, samt dets begrænsninger og mangler.

Herefter vil der følge en analyse af de enkelte led i beregningen af risikoen, samt en perspektivering til de matematiske modeller til bestemmelse VaR, herindunder en vurdering af disse.

For at give læseren en dybere forståelse for anledningen til risiko, vil der i opgaven også være en kobling til bevægelserne i det økonomiske system. Opgaven vil i forbindelse med dette bevæge sig ind på områder som følgende; Konjunkturer, stagnation, stagflation, inflation, bobleøkonomi, kriser og forskellige økonomier.

2. Hvad er Value at Risk (VaR)

Value at risk (VaR) stammer tilbage 1990’ernes økonomiske kriser, som nedlagde en lang række selvskaber

                                     1
deriblandt Orange County, Barings og Daiwa,

alle beviser på konsekvenserne ved manglende markedsrisici vurdering. Netop dette har ligget til grund for sammensætningen af en lang række risikoværktøjer, deriblandt VaR, som er defineret som følgende:

”The worst expected loss over a given horizon, under normal markets conditions

and at a given confidence level”^{2}

1

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 23

2

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 23

Side 4

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

3 | Side

Det vil sige, at Value at Risk er et mål, som angiver det maksimale tab, over en given tidsperiode, indenfor et bestemt konfidensinterval, under normale markedsforhold.

Et eksempel på Value at Risk kunne derfor f.eks. være en hvilken som helst finansiel institution med et VaR på 35 mio. DKK, med en horisont på 14 dage og et konfidensinterval på 99 %, hvilket vil sige at institutionen med 99 % sandsynlighed ikke vil tabe mere end 35 mio. DKK indenfor de næste 14 dage, og med 1 % sandsynlighed vil institutionen tabe mere end 35 mio. DKK inden for de næste 14 dage.

Et sådan mål er en nødvendighed for en lang række finansielle institutioner, som er afhængige af forskellige fordringer og risikofaktorer på det finansielle marked, som f.eks. renten, aktiekurser, obligationer eller lignende.

3. Anvendelse af Value at Risk

Overordnet kan risiko defineres som risikoen for tab, men for at bruge VaR som et mål for risiko, er det nødvendigt at identificere sin risiko, dvs. specificere den. Et eksempel på dette kun f.eks. være variation på råvarepriser, ændringer af renten eller afkastets variation på en portefølje.

Renterisiko for eksempel risikoen for, at værdien af en portefølje af rentebærende værdipapirer ændres,

ved ændring af renteniveauet^{3}. VaR til beregning af renterisikoen vil derfor ofte være tilegnet indehavere af

obligationer eller lignende aktiver, som er afhængige af renteniveauet.

I overstående eksempel bruges VaR altså som et risikovurderings værktøj, ved at angive et mål for risikoen, men VaR kan også bruges som et værktøj til risikostyring. Når VaR bruges til styring af risikoen, beregner VaR den position i porteføljen, som har den største indflydelse på den samlede risiko. Dette giver mulighed for at ændre på denne position og derved mindske den samlede VaR.

VaR bruges dog også i langt større sammenhænge på nationaløkonomiskniveau. Her bruges VaR i

                                      4
forbindelse med administration af ressourcer.

I modsætning til VaR, som investorværktøj, angiver denne form for VaR ikke det maksimale tab, men derimod det maksimale acceptable tab i form af f.eks. reduceret produktions niveau. I forbindelse med beregning af VaR på nationalt økonomisk plan, er det ligeledes nødvendigt at identificere sin risiko, men da risikoen i det samlede økonomiske system kommer af en lang række forskellige faktorer. Dette kræver dog en række ændringer i de traditionelle VaR modeller, mere herom senere.

4. Beregning af VaR

Overordnet findes der to måder hvorved VaR kan bestemmes, Local-valuation og Full-valuation.^{5} Local-

valuation adskiller sig fra Full-valuation i det den indeholder antagelser om statistisk sandsynligheds-

3

http://www.banktorvet.dk/oekonomi/renterisiko/

4

http://en.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk (Best pratice in governance)

5

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 206

Side 5

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

4 | Side

                                                              6
fordeling, og estimerer parametre som middelværdi og standardafvigelse. Ved brugen af Full-valuation,

gøres der brug af historisk data til prissætning af hele porteføljen, hvilket gøres ved at simulere en række forskellige scenarier for enten aktivet eller risikofaktoren via den mængde historisk data for den pågældende variable.

4.1 Delprocesser

Fælles for disse måder at bestemme VaR er dog, at de begge indeholder en række delberegninger og antagelser om risikofaktorens bevægelser. I dette afsnit vil disse beregninger og antagelser blive gennemgået.

4.1.1 Sandsynlighedsfordeling

For kunne vurdere risikoen ved hjælp af Full-/Local-valuation, er det nødvendigt at estimere en statistisk

sandsynlighedsfordeling for variationen i enten afkastet for de pågældende aktiver eller for risikofaktoren.

En sandsynlighedsfordeling angiver sandsynligheden for, at en given stokastisk variable X tilhører en given delmængde A af reelle tal. Dette skrives rent matematisk som følgende:

𝑃_{𝑋} (𝐴)=𝑃(𝑋∈𝐴)

7

Aksiom 1: En stokastisk variable er en funktion X fra sandsynlighedsrummet Ω til de

                      8
reelle tal i udfaldsrummet E

I forbindelse sandsynlighedsfordelinger eksisterer der to overordnet typer, diskrete og kontinuerte. En diskret variable kan kun antage de mulige værdier, et eksempel på dette kun være en terning, her vil den diskrete variabel kun kunne antage tallene 1,2,3,4,5,6. Den kontinuerte kan derimod antage alle værdier, hvilket f.eks. er tilfældet for aktiver. Til beregning af VaR skal der derfor gøres brug af en kontinuer sandsynlighedsfordeling.

Dernæst bestemmes sandsynlighedsfordelingen via tæthedsfunktionen og fordelingsfunktion.

Tæthedsfunktionen angiver sandsynligheden for at en stokastisk variable er lig et punkt 𝑥∈ℝ.

Fordelingsfunktionen derimod angiver sandsynligheden for at X højst er lige punktet x. Derfor gælder følgende:

𝑡æ𝑡ℎ𝑒𝑑=𝑃 ( 𝑋=𝑋) 𝑜𝑔 𝑓𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑖𝑛𝑔=𝑃 ( 𝑋≤𝑥)^{9}

I forbindelse bestemmelse VaR ved hjælp Local-valuation er overstående dog ikke relevant, da det i Local-valuation antages, at aktiverne følger en normalfordeling, og derved er tæthedsfunktion og

6

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 206

7

Denstoredanske.dk - Sandsynlighedfordeling

8

Kolmogorov aksiomer – Denstoredanske.dk

9

Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – s. 84

Side 6

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

5 | Side fordelingsfunktionen allerede givet. I Full-valuation estimeres sandsynlighedsfordeling dog ved hjælp af en stokastisk proces hvilket gør overstående relevant, herom senere.

At der i Local-valuation antages, at de finansielle aktiver følger en normalfordeling skyldes, at man gennem en række forskellige beregninger har vurderet, at disse aktiver i størstedelen af tilfældene følger denne fordeling.

Navnet normal kommer af, at denne fordeling kan bruges i en lang række sammenhænge, dette skyldes at

den gør brug af ”central limit theorem”^{10} hvilket betyder at variablerne går mod en normalfordeling når

antallet øges, dette skaber også den klokkeformet form som normalfordeling har. En normalfordeling har

                                              2
to parametre, middelværdien µ, og standardafvigelsen 𝜎

, så hvis en stokastisk variable X er normal fordelt skrives den derfor op som følgende:

𝑋~𝑁(𝜇,𝜎^{2})

For en normalfordeling gælder det dog også at middelværdien µ, er lig 0 og standardafvigelsen/variansen
𝜎^{2}, er lig 1, men da dette sjældent er gældende for finansielle aktiver bruges en standardiseret

normalfordeling. Dette gøres ved at lave en omregning mellem variablen X og en ny standardiseret variable Z, dette gøres ved følgende formel:

𝑍= ⇔𝑍=

𝑋− 𝐸(𝑋) 𝑋− 𝜇_{11}
√ 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

𝜎^{2}

For at beregne Z er som vist i formlen nødvendigt at kende middelværdien og variansen. Middelværdien er dog ligeledes afhængig af hvor vidt det er en diskret eller kontinuert fordeling, for en diskret fordeling er middelværdien defineret som følgende:

𝜇=𝐸 ( 𝑋) =∑𝑥 ∗ 𝑓(𝑥_{𝑖})

𝑖 𝑛

𝑖=1

Hvorimod den kontinuerte er defineret som følgende:

𝜇=𝐸 ( 𝑋) =∫ 𝑥_{𝑖} ∗ 𝑓(𝑥_{𝑖})

𝑏 𝑎

Ud fra middelværdien kan varians dernæst bestemmes, variansen er defineret som følgende:

𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸((𝑋− 𝜇)^{2}) men kan dog reduceres til 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸(𝑋^{2}) − 𝜇^{2}. For at bevise det er det dog

nødvendigt at gøre brug af følgende aksiomer:

Aksiomer 2-4: (U,p) er et sandsynlighedsfelt hvor tre stokastiske variabler er tilknyttet,

X, Y, Z. Til U hører observationer 𝒖_{𝟏} …𝒖_{𝒏} og derudover er det givet af 𝒁 ( 𝒖_{𝒏}) =𝒂 som

er konstant:

2. 𝑬 ( 𝒂) =𝑬 ( 𝒁) =𝒂. 3. 𝑬 ( 𝑿 + 𝒀) =𝑬 ( 𝑿) + 𝑬(𝒀) 4. 𝑬 ( 𝒂𝑿) =𝒂𝑬(𝑿)^{12}

10

Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – s. 116

11

Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – s. 116

12

Statistik I – L. Brøndum – Side. 62 – (beviser for disse findes i bilag)

Side 7

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

6 | Side

Ved hjælp af disse kan definitionen nu bevises således:

𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸 (( 𝑋− 𝜇)^{2}) ⟺ 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸(𝑋^{2} + 𝜇^{2} − 2𝜇𝑋)

⏞

𝐵𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔

⇔ 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸 ( 𝑋^{2}) + 𝐸 ( 𝜇^{2}) + 𝐸 ( −2𝜇𝑋) ⇔ 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸 ( 𝑋^{2}) + 𝜇^{2} − 2𝜇𝐸(𝑋)

⏞ ⏞ 𝑏𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 3 𝑏𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 2&4

⟺ 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸 ( 𝑋^{2}) + 𝜇^{2} − 2𝜇 ⇔ 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =𝐸 ( 𝑋^{2}) − 𝜇^{2}

⏞ ⏞

𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑒𝑟𝑒𝑟 𝐸 ( 𝑋) 𝑚𝑒𝑑 𝜇 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑟𝑒𝑟

Derfor kan det endelig udtryk for Z, skrives op som følgende:

𝑍= ⇔ 𝑍=

𝑋 − 𝜇 𝑋− 𝐸 ( 𝑋)
𝜎^{2} 𝐸 ( 𝑋^{2}) − 𝜇^{2}

Efter at have dannet den nye standardiseret variable Z, kan normalfordeling for denne indtegnes som en graf, med den givende varians og middelværdi. Til dette skal tæthedsfunktionen for en normalfordeling bruges. Denne er givet vedfølgende:

𝑓 ( 𝑥) = ∗ 𝑒^{(−}^{2∗𝜎^{2}}

1

√2𝜋 ∗ 𝜎^{2}

( 𝑥−𝜇)^{2}
)_{13}

Dernæst vil sandsynligheden være lige arealet i det givende konfidensinterval undergrafen.

Værdien for Z er dog ikke nødvendig at beregne, da den kan slås op i en tabel over z værdier i en normalfordeling, og da man i beregning VaR ofte gør brug af konfidensintervallerne 95 % og 99 %, vil Z henholdsvis have værdierne (2.326) og

(1.645)^{14}

Ulempen ved at gøre brug af en normalfordeling er, at dens haler er tyndere, og undervurdere derfor tabet i de 1-5 % tilfælde som VaR han angivet. Det vil sige at der i tilfælde at krak eller lignende vil opstå større tab end forventet.

Derfor gøres der ofte brug af en student t-fordeling. Dette skyldes at student t-fordeling har federe haler end normalfordeling derved

undgås det tabet undervurderes^{15}

13

Statistik for civiløkonomer – side. 116

14

http://dirac.ruc.dk/~jl/statistikkursus/E2007/tabeller.pdf

15

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 91

Figur 4.1; I overstående figur ses det hvordan normalfordelinger fordeler sig, for fire forskellige variabler med forskellige varianser, og en middelværdi på 0. Den gule linje har den laveste varians på 0,5, den røde på 0,75, den grønne på 2, og den blå på 5. Hvilket også kan ses på grafen.

Side 8

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

7 | Side

4.1.2 Estimering af volatilitet

Hvis man kigger tilbage på definitionen på risiko, ses det en af definitionerne er volatilitet af afkastet på finansielle aktiver, af denne grund må det også gælde, at hvis volatiliteten stiger, vil VaR ligeledes stige.

Derfor jo højere volatilitet, desto højere risiko. Volatiliteten af afkastet på et aktiv, kan også beskrives som variansen på en stokastisk variable, som der i sidste afsnit blev vist var givet ved følgende:

Det er dog svært at estimere en præcis volatilitet for et aktiv, da volatiliteten estimeres ud fra historisk information, hvilket sjældent giver et korrekt billede at fremtidens volatilitet, da fortidens volatilitet ofte er

                                              16
bygget på tidligere usikkerhed på det finansielle marked

. En sådan usikkerhed på det finansielle marked vil ofte påvirke risikofaktoren hvorved afkastet på aktivet vil ændres.

Af denne grund er der blevet konstrueret en række forskellige modeller til estimering af volatiliteten. Disse modeller, deriblandt den mest udbredte GARCH modellen, er designet til at lægge større vægt på nyere information. Volatiliteten af afkastet på et aktiv, kan dog også beskrives som variansen på en stokastisk variable, som der i sidste afsnit blev vist var givet ved følgende:

𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝐸 ( 𝑋^{2}) − 𝜇^{2}

I beregning af volatilitet i forbindelse med VaR gøres der ofte brug af et glidende gennemsnit for variansen, dette gøres ved at erstatte ældre data med ny data, og dernæst beregne den gennemsnitlige varians.

Derfor divideres der med parameteren n, som angiver et forudbestemt interval, f.eks. 20 dvs. er

                                                                        17
beregningen indeholder data for en periode af 20 dage, og derfor ser formlen således ud:

𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) = ⇒𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =

̅ ̅

𝐸 ( 𝑋^{2}) − 𝜇^{2} 𝐸 ( 𝑋^{2}) − 𝜇^{2}

𝑛 20

⇔ 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) = ⇒𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) =

̅ ̅

 𝑛    2    2             𝑛=20  2     2
∑ (  𝑋 ) − 𝜇            ∑    (𝑋 ) − 𝜇
 𝑖=1                     𝑖=1

𝑛 20

Overstående formlen kan nu omskrives således, at den kan bruges i et økonomisk perspektiv, dette gøres ved at indsætte afkastet på aktivet i tiden t, som den stokastiske variable, dernæst erstattes middelværdien

med 𝑟_{𝑖}, således at variansen er afhængig det faktiske afkast og ikke det forventede afkast, årsagen til dette

                                                                              18
er, at der i de fleste finansielle serier er en utrolig lille forskel i det forventede afkast altså E(r) . Formlen

for det gennemsnitlig varians over perioden M ser derfor således ud:

𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋) = ⟺𝑉𝑎𝑟 ( 𝑟_{𝑡}) =𝜎_{𝑡}^{2} = (4.1)^{19}

̅

 𝑛    2    2                    𝑀          2
∑ (  𝑋 ) − 𝜇                   ∑   ( ( 𝑟 − 𝑟 ) )
 𝑖=1                            𝑖=1  𝑡   𝑖

𝑛 𝑀

Problemet ved denne måde at bestemme variationen på er, at hver gang ny date kommer med i

beregningen, vil gammel data (M + 1) blive slettet, dette vil give store variationer i volatiliteten, hvis

antallet af dage M er lavt, for at opretholde et stabilt niveau er det derfor nødvendigt med en større

16

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 186

17

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 186

18

Valie at Risk – Phillippe Jorion – s. 186

19

Valie at Risk – Phillippe Jorion – s. 186

Side 9

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

8 | Side mængde data. Dette giver dog anledning til et nyt problem da det er blevet bevist af volatiliteten ikke er

stabil men variere over tid.^{20} Derudover ses at de enkelte dages data vægtes lige meget (1/M), men da

gammel data sjældent repræsenterer fremtidens udvikling, vil dette ligeledes give en forkert volatilitet.

Derfor bruger man i stedet GARCH modellen, der i modsætning til det glidende gennemsnit tager udgangspunkt i, at dataet vægter forskelligt, dvs. er den nyeste data vægter mest.

GARCH (1.1) er givet ved følgende:

𝜎_{𝑡}^{2} =𝛼_{0} + 𝑎_{1} ∗ 𝑟_{𝑡−1}^{2} + 𝛽𝜎_{𝑡−1}^{2}

                                       2                                          2
Her ses det hvordan den betingede volatilitet 𝜎 , er afhængig af den tidligere periodes volatilitet 𝜎 , og
                                                                                  𝑡−1

den forrige periodes afkast 𝑟_{𝑡−1}. Dette vil betyde, at hvis den forrige periodes volatilitet var høj, vil den

følgende periodes volatilitet ligeledes være høj. I denne formel er der yderligere to parametre 𝛼 𝑜𝑔 𝛽, som skal estimeres. Det er dog vigtigt at have for øje at disse modeller ikke kun bruges til at bestemme volatiliteten for afkastet på et aktiv, derimod også til at bestemme volatitliteten på risikofaktoren.

4.1.3 Korrelation

I en lang række sammenhænge vil det være tydeligt hvordan forskellige variabler er mere eller mindre afhængige af hinanden, det kunne f.eks. være højden X og vægten Y hos en person, da vil disse to variabler være positivt korrelaterede, da de har en lineær sammenhæng, hvis den en variable reduceres, ville den anden variabel ligeledes falde grundet deres korrelation

Definition: Korrelation er i statistik et mål for den lineære sammenhæng mellem to

                                                        21
stokastiske variabler, jo større korrelation desto større sammenhæng.

Korrelationen kan variere intervallet -1;1, og beskriver derved hvor vidt variabler er modsatrettede, uafhængige eller ensrettede, to stokastiske variabler med en korrelation på 0 vil altså være uafhængige, hvorimod to variabler med en korrelation på -1 vil stige når den ene falder. I forbindelse med portefølje sammensætning er det derfor oplagt at sammensætte negativ korrelaterede aktiver, da dette vil mindske risikoen for tab, dog vil dette ligeledes medfører et begrænset afkast, da der jo vil være tab på den ene aktiv når er der en positivt afkast på det andet. Korrelationen er givet ved:

𝐶𝑜𝑟𝑟 ( 𝑋,𝑌) =

𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)

√ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ∗ √ 𝑉𝑎𝑟(𝑌)

22

Her ses det at korrelationen er afhængig af standardafvigelsen, samt kovariansen for de variabler, altså afhængigheden mellem de to variabler. Kovariansen er givet som følgende:

𝐶𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌) =𝐸( ( 𝑋− 𝜇_{𝑋}) ∗ ( 𝑌− 𝜇_{𝑌}))^{23} men kan dog også udtrykkes som 𝐶𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌) =𝐸(𝑋𝑌− 𝐸 ( 𝑋) 𝐸(𝑌))

Dette kan bevis ved følgende:

20

Value At Risk – Philippe Jorion – s. 117

21

Denstoredanske.dk - Korrelation

22

Statistik for civiløkonomer – side. 144

23

Statistik for civiløkonomer – side. 143

Side 10

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

9 | Side

𝐶𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌) =𝐸 ( ( 𝑋− 𝜇_{𝑋}) ∗ ( 𝑌− 𝜇_{𝑌})) ⇔ =𝐸 ( 𝑋𝑌− 𝜇_{𝑋} 𝑌− 𝑋𝜇_{𝑌} + 𝜇_{𝑋} 𝜇_{𝑌})

⏞ 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟 𝑠𝑎𝑚𝑚𝑒𝑛

⇔ =𝐸 ( 𝑋𝑌) − 𝐸 ( 𝑌) 𝜇_{𝑋} − 𝐸 ( 𝑋) + 𝜇_{𝑋} 𝜇_{𝑌} ⇔ =𝐸 ( 𝑋𝑌) − 𝐸 ( 𝑋) 𝐸(𝑌)

⏞ ⏞

𝐺ø𝑟 𝑏𝑟𝑢𝑔 𝑎𝑓 3.𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑟𝑒𝑟

Derudover kan Var(Y) beregnes som 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑌) =𝑎^{2} ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) dette skyldes at det gælder at Y = a*X +b.^{24}

Dette kan også bevises ved følgende:

𝒂𝒌𝒔𝒊𝒐𝒎: 𝑽𝒂𝒓 ( 𝒀) =𝑽𝒂𝒓(𝒂 ∗ 𝑿 + 𝒃)^{25}

𝑉𝑎𝑟 ( 𝑌) =𝑉𝑎𝑟 ( 𝑎∗ 𝑋 + 𝑏) ⇔ =𝐸 (( 𝑎𝑋+ 𝑏)^{2}) − 𝐸 ( 𝑎𝑋+ 𝑏)^{2}

⏞

𝐵𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑙𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑣æ𝑟𝑑𝑖 𝑎𝑓 𝑋

⇔ =𝐸 ( 𝑎^{2} 𝑋^{2} + 2𝑎𝑏𝑋 + 𝑏^{2}) − 𝐸 ( 𝑎𝑋+ 𝑏)^{2}

⏞ 𝑏𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛

⇔ =𝐸 ( 𝑎^{2} 𝑋^{2}) + 2𝑎𝑏𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑏^{2}) − 𝐸 ( 𝑎𝑋)^{2} + 𝐸(𝑏)^{2} ⇔ =𝐸 ( 𝑎^{2} 𝑋^{2}) − 𝐸 ( 𝑎𝑋)^{2}

⏞ ⏞ 𝑏𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚 3 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑟𝑒𝑟

⇔ =𝑎^{2} ( 𝐸 ( 𝑋^{2}) − 𝐸 ( 𝑋)^{2}) ⇔ =𝑎^{2} ∗ 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

⏞ ⏞ 𝑏𝑟𝑢𝑔𝑒𝑟 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑜𝑚 3

𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑡𝑡𝑒𝑟 𝐸 ( 𝑋^{2}) −𝐸 ( 𝑋)^{2} 𝑚𝑒𝑑 𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋)

Derfor kan udtrykket for korrelationen nu skrives op som følgende:

𝐶𝑜𝑟𝑟 ( 𝑋,𝑌) = ⇔

𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌) 𝐸(𝑋𝑌− 𝐸 ( 𝑋) 𝐸(𝑌))
√ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ∗ √ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) √ 𝐸 ( (𝑋^{2}) − 𝜇^{2}) ∗ √ 𝑎^{2} ∗ 𝐸 ( (𝑋^{2}) − 𝜇^{2})

Overstående formlen kan nu bruges således, at sammenhængen mellem en risikofaktor og et aktiv kan bestemmes. Et eksempel på dette kunne f.eks. være renten som risikofaktoren og en obligation eller portefølje som den anden variable, her ville korrelationen angive ændringen af obligationens værdi, som funktion af ændringen af renten, dvs. at renten i dette tilfælde vil være den underliggende risikofaktor.

4.2 Matematiske modeller

Som beskrevet i starten af afsnittet kan VaR overordnet bestemmes på to forskellige måder, Full-valuationen og Local-valuation. Hvis VaR bestemmes via Local-valuation gøres der som regel brug af modellen Delta-normal, som angiver ændringen i aktivets værdi, som funktion af ændringen af risikofaktoren, dvs. korrelationen.

Ved brugen af delta-normal bruger man dog i stedet for korrelation begrebet modified duration, som angiver hvor mange procent kursen på aktivet eller porteføljen vil ændre sig, når risikofaktoren eller sig med en procent. Ændringen i kursen, altså delta(V) er derfor givet ved følgende:

24

Mat A – mat.systime.dk – s. 266

25

Mat A – mat.systime.dk – s. 266

Side 11

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

10 | Side

△ 𝑉=−𝐷∗△ 𝑌∗ 𝑉

26

I overstående formel er ændringen aktivets værdi, altså givet ved den modified duration, multipliceret med ændringen i risikofaktoren, multipliceret med aktivets nuværende værdi. I overstående formel ses det også at der i tilfælde af en negativ ændring i renten vil forekomme en tilvækst i aktivets værdi.

Risikoen derimod, dvs. VaR, er dog ikke givet ved overstående, da overstående, som beskrevet, beskriver ændringen af kursen. VaR er som tidligere beskrevet givet ved, det værst mulige tab, over en given periode, inden for et forudbestemt konfidensinterval. VaR er derfor givet ved følgende:

𝑉𝑎𝑅=(𝐷∗ 𝑉) × (𝛼∗ 𝜎_{△𝑌})^{27}

I overstående formel ses det at VaR, er afhængig af den modified duration, samt konfidensintervallet 𝛼 og standardafvigelsen på ændringen af risikofaktoren. I forbindelse med denne formel er det dog vigtigt at huske at det antages standardafvigelsen på risikofaktoren er normalfordelt. Overstående formel kan dog ved hjælp af de forrige afsnit omskrives til følgende, når det samtidig antages at den modified duration kan beskrives som en korrelation, som må forventes at være negativ, da afkastet og risikofaktoren er modsatrettet, derudover bruges GARCH modellen til at bestemme variansen, dvs. volatiliteten:

𝑉𝑎𝑅=( 𝐶𝑜𝑟𝑟 ( 𝑉,𝑌) ∗ 𝑉) × (𝑍∗ √ 𝑉𝑎𝑅 ( △ 𝑦)

⇔ ∗ 𝑉 × ( 𝑍 ∗ √ 𝛼_{0𝑦} + 𝑎_{1𝑦} ∗ 𝑦_{𝑡−1}^{2} + 𝛽𝜎_{𝑡−1}^{2})

⎝ ⎠

⎛ ⎞

𝐸(𝑋𝑌− 𝐸 ( 𝑋) 𝐸(𝑌))

√𝛼_{0𝑥} + 𝑎_{1𝑥} ∗ 𝑟_{𝑡−1}^{2} + 𝛽𝜎_{𝑡−1}^{2} ∗ √ 𝛼_{0𝑦} + 𝑎_{1𝑦} ∗ 𝑦_{𝑡−1}^{2} + 𝛽𝜎_{𝑡−1}^{2}

Og da man i VaR ofte arbejder i konfidensintervallerne 95 % og 99 % kan Z erstattes med værdierne (2.326)

og (1.645)^{28} som angiver værdierne for konfidensintervallerne i en normalfordeling.

Overstående er dog også den model største ulempe, da der grundet antagelsen om normalfordeling ikke tages højde for federe haler i fordelingen, og derved undervurderes risikoen for ekstreme variationer i risikofaktoren, og derved undervurderes det maksimale tab.

Af denne årsag er Full-valuation metoderne blevet udviklet, disse gør ikke brug af antagelser om normalfordeling, men beskriver i stedet risikofaktorens bevægelse som en stokastisk proces. Denne model vil blive beskrevet yderligere i afsnittet om VaR i større sammenhænge

5. VaR i større sammenhænge

Efter brugen af VaR er blevet mere og mere populær som investorværktøj, er man i den seneste tid begyndt at bruge VaR på nationaløkonomisk plan, dette kræver dog, som tidligere beskrevet, en modificering af de traditionelle VaR modeller. Før VaR kan bruges er det dog som tidligere beskrevet

26

Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 207

27

Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 207

28

http://dirac.ruc.dk/~jl/statistikkursus/E2007/tabeller.pdf

Side 12

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

11 | Side nødvendigt at identificere sine risikofaktorer, derfor vil det følgende afsnit være en gennemgang af det økonomiske system.

På nationaløkonomisk plan vil VaR ofte blive brugt til at beregne det maksimalt acceptable tab, f.eks. i form sænket produktion, som resultat af svækket konkurrenceevne, inflation, stagflation, bobler, eller lignende.

Efter en mulig afsløring af en sådan tendens, er den muligt f.eks. at hæve renten, da dette vil begrænse inflationen. I denne sammenhæng fungere VaR altså som risikostyringsværktøj.

5.1 Det økonomiske system

Væksten i det økonomiske samfund er defineret som en stigning i den samlede samfundsproduktion.

Denne produktion består af en række processer, som alle skaber en økonomisk tilvækst, dette kunne f.eks.

være produktionen af en række f.eks. række varer, eller forskellige tjenester/ydelser produceret af

samfundet. Overordnet bliver væksten skabt ved hjælp af tre produktionsfaktorer; Realkapital, arbejdskraft, og råstoffer, hvor realkapital udgør ressourcerne, som f.eks. maskiner og lignende, som indgår i produktion af det aktuelle produkt. I tilfælde af en vækst i samfundsproduktion, vil der i de tre overstående faktorer altså ligeledes være vækst. Væksten er sig selv styret af efterspørgslen på markedet, såfremt at der er ubegrænset ressourcer, efterspørgslen styres dernæst af en række forskellige aktører, det private, det offentlige og eksport til udlandet. Dog begrænser import efterspørgslen fra det private og offentlige.

Overordnet set kan man dog sige at væksten i samfundsproduktionen kan defineres som en trend, det vil

                                                        29
sige en gennemsnitlig tilvækst i BNP, denne ligger som regel på 2 %,

dog forekommer der ofte afvigelser fra denne trend i form af svingninger, disse svingninger kaldes for konjunkturer og afspejler den økonomiske tilstand på markedet. Konjunkturerne kan deles op i to typer, høj- og lavkonjunktur, og er afhængige er række f.eks. variabler i makroøkonomien, hvor af de mest vigtige er arbejdsløshed, tilvækst og inflation.

Ved lavkonjunktur vil der typisk opleves en vigende produktion, dette skyldes ofte en begrænset efterspørgsel, hvilket resulterer i reducering i produktionen. I det produktionen reduceres vil efterspørgslen på arbejdskraft ligeledes falde, hvilket vil betyde at arbejdsløsheden vil stige. Når man i samfundet derfor oplever kortvarende kriser kan disse derfor beskrives som konjunkturkriser, hvis der derimod tegner sig en

trend for denne krise, vil samfundet opleve en så kaldt vækstkrise^{30} Lavkonjunkturer karakteriseres dog

typisk

I tilfælde af højkonjunktur vil man opleve en tilvækst i produktionen og salget. Dette medfører et øget pres på arbejdskraften og af denne grund øges beskæftigelsen, hvorved arbejdsløshed falder. Karakteristisk for højkonjunktur er derfor en øget tilvækst i samfundsproduktion, dvs. en vækst i realkapitalen og arbejdskraften. Under højkonjunkturer vil der som resultat af det øgede salg, ofte opleves en inflation, som både betyder prisstigninger og lønstigninger. Dette medfører dog en række konsekvenser som bekræfter

29

Krise eller ej – Peter Denick – s. 8

30

Krise eller ej – Peter Denick – s. 7

Side 13

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

12 | Side keynesiansk stagflationsteori, som indfører begrebet konkurrenceevne. Keynesiansk stagflationsteori

                                                               31
beskriver hvordan inflationen i samfundet svækker landets konkurrenceevne.

Definition: Konkurrenceevnen betegner den evne, som et lands produktion har til at fastholde eller udvide markedsandele i konkurrence med andre landes produktion –

                                                32
enten på eksportmarkederne eller på indenlandske marked.

Et lands konkurrenceevne må antages at være afhængige af dets egenskab til at sælge varer billigere end hvad andre lande kan udbyde varerne til, hvis et land altså ikke er i besiddelse af denne egenskab betyder det altså, at konkurrence evnen svækkes, hvilket indebærer to ting; For det første medfører det, at den danske eksportvirksomhed ikke får afsat deres produkter, hvilket resulterer i en lavere produktion. For det andet vil det betyde at firmaer, som producere produkter til hjemmemarkedet, vil komme i større konkurrence med udenlandske producenter, hvorved deres produktion vil reduceres.

En svækkelse af et lands konkurrence evne vil derfor resultere i en reducering af produktionen, både til hjemmemarkedet og til eksport, hvilket vil betyde et fald i beskæftigelsen, og dermed en voksende

            33
arbejdsløshed.

En af de steder hvor overstående kan få store konsekvenser er for landes offentlige budgetsaldoer, som er givet ved forskellen mellem indtægterne og udgifterne for landet. Dette skyldes at udgifterne i tilfælde af overstående øges, da flere penge skal bruge til bistand og lignende grundet den voksende arbejdsløshed.

En anden følge virkning ved højkonjunktur, og inflation er en illusionen af velstand, også kaldet en markedsboble. En sådan boble fører ofte til, at der spekuleres i priser på aktiver ejendomme osv. Hvilket resulterer i, at renterne sænkes, og flere låner penge, derudover vil kurserne stige på aktiver, samt prisen på boliger stige. Problemet ved dette fænomen opstår i det sekund hvor korrektionen indtræffer, og pengemængden korregere til den aktuelle værdi, dvs. langt under spekulationsværdien. Når en sådan boble

                                                           34
springer kan det i værste fald føre til konkrette krak, og finansielle kriser.

Et eksempel på dette kan f.eks. findes i den nuværende finanskrise, som er gået fra at være en globalkrise i USA, til en verdensomspændende finanskrise. Her startede det hele i USA, som gennem i perioden 2001-

31

Krise eller ej – Peter Denick – s. 42

32

Krise eller ej – Peter Denick – s. 42

33

Krise eller ej – Peter Denick – s. 42

34

http://da.wikipedia.org/wiki/%C3%98konomisk_boble

Højkonjunktur Inflation Lønstigninger Prisstigninger

Svækket konkurrenceevne

Nedgang i produktion

Arbejdsløshed

Side 14

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

13 | Side

2005 oplevede større inflation på huspriserne, dette medførte, at kreditinstitutterne gennem 2003 og

2004, lavede et rekordhøjt antal suprimelån med utrolig lave renter til en værdi af 100 mia. dollars, dvs. lån

                                                                        35
til folk med lav kreditværdighed, som satte deres lån i boliger, med helt op 97 % belåning.

Dette var der som sådan intet problem så længe opsvinget fortsatte, men som tidligere beskrevet forsætter højkonjunkturer sjældent, hvilket også var tilfælde for boligmarkedet i USA i 2005. I 2006 stoppede stigningerne på boligmarkedet endeligt, hvilket så medførte at flere og flere satte deres belånte hus til salg, men henblik på at tilbage betale lån, og stadig have penge til gode. Men da flere og flere satte huse til salg begyndte ejendomspriser at dykke, og som resultat af dette steg renten. I 2007 stod nu så galt til på det

                                                                36
Amerikanske boligmarked, at folk solgte deres huse til under deres gældsbyrde.

                                                                           35
Dette skabte et totalt gældsramt amerikansk marked, som sendte aktie kurserne i frit fald. Som verdens

største økonomi betød dette også at resten af verdens aktiekurser flyttede med. I Juli 2007 satte det danske aktie marked rekord, med en totalværdi på 1640 mia. kr., men blot 18 måneder senere var det danske aktiemarked faldet til næsten det halve, nemlig 840 mia. kr. som reaktion på det amerikanske

aktiemarked.^{37} Efterfølgende har en lang række fulgt trop, men på den anden side af nedturen findes også.

Kina.

Kina har i de seneste år på trods af den nuværende finanskrise oplevet så store opsving at man siden 2007, kun har sagt det var et spørgsmål om tid før boblen ville sprænge. Mens Danmarks BNP i gennemsnit

vokser med 2 % årligt vokser Kinas med hele 11,9 % pr. kvartal i 2010.^{38} Dette bevidner om en økonomi som

for alvor er i vækst. Hvilket også har ført til at Kina nu er verdens anden største økonomi, med en BNP på

1.337.000 mia. dollars. Men spørgsmålet er derfor nu hvor vidt boblen egentlig vil sprænge? Dette er dog svært at svare på, da Kina i storedele af 2010, har brugt enorme ressourcer på at reducere pengemængden som var i omløb, blandt andet ved at øge kapitalkravet for landets banker, hvilket har betydet, at bankerne har beholdt større dele af kundernes indlån. Priserne på det kinesiske boligmarked og aktiemarked er dog stadig langt over den egentlige indre værdi, og står derfor stadig overfor muligheden for sammen skæbne

som USA’s boligmarked oplevede^{39}. Kina har dog den fordel ikke at være nært så afhængige af deres
eksport, da 2/3 af væksten dækkes af hjemmeforbruget.^{40} Lige præcis dette er også forskellen fra den

amerikanske økonomi, for i modsætning kan Kina’s hjemmemarked trække væksten, hvilket gør dem uafhængige af udenlandske investeringer.

Ud fra dette afsnit kan det altså konkluderes at for at opretholde økonomisk stabilitet, er det nødvendigt at begrænse konjunktur udsvingene, og dermed også inflationen, arbejdsløsheden, og for stor tilvækst til BNP, da dette ligeledes er tegn på økonomiske bobler som giver anledning til ustabilitet, og i værste tilfælde krak.

For at opnå en krisevækst er derfor en række betingelser som skal opfyldes ifølge den marxistiske kriseteori. For det første skal den samlede producerede merværdi realiseres, hvilket vil sige at

35

http://npinvestor.dk/nyheder/baggrund-subprime-laan-som-ringe-i-vandet-155562.aspx

36

Finanskrisen – forblændelse, forglemmelse og forgældelse - Søren Ellemose - s. 18-19

37

Finanskrisen – forblændelse, forglemmelse og forgældelse - Søren Ellemose - s. 9

38

http://www.berlingske.dk/verden/kinas-oekonomi-vokser-med-naesten-12-procent

39

http://borsen.dk/nyheder/oekonomi/artikel/1/176523/kina_frygter_bobler_paa_aktie-_og_boligmarkedet.html

40

http://www.business.dk/oekonomi/usa-tager-fejl-kinas-vaekst-skyldes-kinesisk-forbrug

Side 15

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

14 | Side efterspørgslen fra forbrug og investering skal modsvare værdien af den samlede produktion. Dernæst kommer en betingelse om, at produktionen sammensætning f.eks. med hensyn til fordelingen på forbrugs-og investeringsvarer rent faktisk modsvarer sammensætningen af efterspørgslen. Den vigtigste betingelse, som muliggør dette i en kapitalistisk økonomi er, at kapitalisterne opnår en tilfredsstillende profitrate, når de sammenholder den realiserede merværdi med den samlede udlagte kapital i produktionssektoren.

Specielt flere af overstående faktorer kan dog vride denne balance, blandt andet lavkonjunktur, og faldende profitrate, men også en styrket position i arbejdskraften vil kunne skævvride balancen. Derfor er

                                   41
disse betingelser tæt på umulige af opfylde.

5.2 Beregning af VaR

I afsnittet om beregning af VaR blev Local-valuation gennemgået, og det blev beskrevet hvordan denne metode brugte antagelser om normalfordeling. Det vil i forbindelse med beregning af VaR i denne sammenhæng skabe en række problemer, hvilket skyldes at risikofaktorerne for et helt landsøkonomi ikke er normalfordelte.

Derfor vil i stedet brugen af Full-valuation være oplagt, og mere specifikt monte carlo simulationen, som beskriver risikofaktorenes bevægelse som en stokastisk proces, dvs. f.eks. en proces som beskriver arbejdsløsheden, eller BNP tilvæksten.

Som tidligere beskrevet er det i alle tilfælde nødvendigt at definere sin risiko og sine risikofaktorer, i forrige afsnit blev det økonomiske system beskrevet, samt hvilke risikofaktorer der er, her blev det konkluderet at specielt konjunktur udsving, i form af inflation, arbejdsløshed, tilvækst og bobler var de vigtigste risikofaktorer, med indflydelse på den offentlige budgetsaldo.

                                                                  42
For at beregne VaR ved hjælp af Monte Carlo metoden gennemgås følgende step:

1. Bestem risikofaktorer

2. Opstil stokastisk model, for risikofaktorens bevægelse.

3. Vælg driftfaktor, samt relevante parametre som f.eks.

volatilitet af arbejdsløsheden, vækst i BNP og inflationen.

4. Simuler produktionens varians for alle risikofaktorerne

5. Estimer fordeling, og beregn VaR ud fra det mest relevante fraktil.

Men for at denne metode kan bruges i denne sammenhæng, må det maksimale acceptable tab angives.

6. det maksimale acceptable tab angives

5.2.1 step 1-6:

1. Bestem risikofaktorer

41

Krise eller ej – Peter Denick – s.

42

Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 247

Side 16

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

15 | Side

I samfundsanalysen blev det konkluderet at inflation, og enorm vækst i BNP da dette kan fører til bobler, disse var de største risikofaktor, som vil medføre den største risiko for tab i form af f.eks. nedsat produktion hvilket fører til en lavet budgetsaldo.

Dog er det her vigtigt at huske at arbejdsløsheden også kunne være definitionen på risikoen, da stigende arbejdsløshed ligeledes giver anledning til laver budgetsaldo.

2. Opstil stokastisk model for risikofaktorerne

Dette punkt kan ikke direkte udføres, da det kræver dybere indsigt i markedet og faktorenes bevægelser. En stokastisk proces for f.eks. renten kunne dog se således ud:

𝑑𝑟_{𝑡} =𝑘 ( 𝜃 − 𝑟_{𝑡}) ∗ 𝑑𝑡+ 𝜎𝑟_{𝑡}^{𝑌} ∗ 𝑑𝑡_{𝑧}^{43}

3. Vælg drift faktor, samt relevante parametre

Den relevante driffaktorer, vil i denne sammenhæng være efterspørgslen, da produktionen drives af denne. Blandt de væsentlige parametre er der blandt andet volatiliteten på arbejdsløsheden, volatilitet i BNP, men også korrelationen med overstående er væsentlig

Dette kan som tidligere vist gøres ved hjælp af GARCH modellen, som kan beskrive variansen, og dernæst kan følgende formel bruges til beskrivelse af korrelationen:

𝐶𝑜𝑟𝑟 ( 𝑋,𝑌) =

𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)

√ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) ∗ √ 𝑉𝑎𝑟(𝑌)

Her ville produktion ofte være den ene variable, og risikofaktoren som en den anden stokastiske …….

…….variable, dog kunne man også forestille sig en korrelation mellem risikofaktorerne, hvilket ligeledes ville

…….kunne bestemmes ud fra formlen om korrelation.

4. Simuler produktionens varians for alle risikofaktorerne

Dette gøres ved hjælp af simulation, hvorved de stokastiske modeller for risikofaktorerne, samt parametrene inddrages

5. Estimer fordeling, og bestem VaR ud fra den relevante fraktil

Her er det nødvendigt at estimere en tæthedsfunktion og fordelingsfunktionen og dernæst estimeres fordelingen ud fra tætheds- og fordelingsfunktionen, hvorved VaR kan udregnes på den relevante fraktil.

6. Det maksimale acceptable tab angives

Når det maksimal tab er angivet er det muligt at kontrollere hvor vidt risikoen for tab, som resultat af nedsat produktion overstiger det maksimal acceptable tab, og i tilfælde af e f.eks. renten sættes op for at forhindre stigende inflation. Ligeledes kan kravene om skærpelse af bankernes kapitalkrav bruges til forhindring af dette, netop som Kina har gjort det.

43

Value at Risk – Phillippe Jorion – s. 250

Side 17

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

16 | Side

Hvis man dog vælger at ignorerer problemer vedrørende antagelsen om normalfordeling i Local-valuation vil man kunne bruge modified duration metoden til at opsætte følgende ligning for denne sammenhæng:

𝑉𝑎𝑅= ( 𝐷∗ 𝑉) × ( 𝛼∗ 𝜎_{△𝑌})

Her vil modified duration angive sammenhængen mellem faldet arbejdsløshed og risikofaktoren, f.eks.

nedsat efterspørgsel, inflation eller nedsat produktion, V vil angive arbedjsløsheden, 𝛼 vil angive det

acceptable konfidensinterval, og 𝜎 vil f.eks. angive volatiliteten i produktionen. Den ligning vil dog give et
                            △𝑌

forkert billede af risikoen, da denne normalfordeling vil undervurdere risikoen, på grund af dens tynde haler.

7. Konklusion og vurdering af VaR

VaR er som investorværktøj et utrolig brugbart redskab, og kan nemt ved hjælp af delta-normal bestemmes på daglig basis. VaR har dog flere problemer, som mindsker dets brugbarhed. VaR angiver, som tidligere beskrevet, maksimale tab over en given tidsperiode, inden for et bestemt konfidensinterval, dvs. at VaR f.eks. fortæller hvad tabet vil være under i 99 % af tilfældene, men i 1 % af tilfældene vides det blot at tabet er større end det acceptable, det er ikke givet om tabet er på 1 kr. over det acceptable eller 100 mio. kr over det acceptable. Dette vil for nogen være forskellen med videre overlevelse og konkurs, og lige præcis det er VaR største svaghed.

Dernæst kommer blandt andet antagelsen om normalfordeling, som vist i afsnittet om normalfordeling, undervurderer en sådan fordeling risikoen for ekstreme tab, hvilket i kombination med det overstående giver en forkert tryghed. VaR vil af disse grunde ofte føre til strategier som typisk føre til større afkast i de

99 % af tilfældene, men i 1 % vil der være sandsynlighed for et meget stort tab. Derfor vil VaR give et dårligt billede af risikoen.

Dernæst kommer VaR manglende evne til at vurdere risikoen under unormale markedsforhold, i tilfælde af dette vil VaR ligeledes undervurderer risikoen, da forværrede markedsforhold ofte vil øge risikoen for tab.

Derudover forudsætter VaR at korrelationen er konstant, hvilket sjældent er tilfældet under unormale markedsforhold, da korrelationen under krisetider vil ændre sig enormt.

I beregning af VaR er der flere kritiske punkter, vigtigst er dog VaR’s antagelse om at det historiske data afspejler fremtiden, hvilket må siges at være en mistolkning. Det historiske data kan til en hvis grad bruges til at beskrive fremtiden, men som tidligere beskrevet, er disse data ligeledes påvirket af endnu ældre historisk data, og usikkerhed på markedet.

Hvis man i stedet kigger på VaR i større sammenhængen, er der en række andre problemer. Når Monte Carlo metoden bruges, forudsætter den, som beskrevet, at risikofaktoren følger en stokastisk proces, for at opnå en god VaR estimering kræver det derfor en korrekt beskrivelse af bevægelsen, hvilket kan være svært at danne for visse risikofaktorer, da nogle også styres af ikke forudsigelse faktorer, som politik.

Som investorværktøjet, forudsætter VaR i denne sammenhæng også at det historiske data repræsenterer den fremtidige udvikling, hvilket udgør endnu en svaghed, da dette ligeledes vil give et mindre korrekt

Side 18

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

17 | Side billede af risikoen. VaR forudsigelser kan derfor på visse punkter sammenlignes med post factums, men har dog den fordel at de stokastiske processer beskriver de eksisterende bevægelser, hvorimod postfactums udelukkende gør brug årsagerne fra f.eks. tidligere krak, til at beskrive muligheden for fremtidige krak.

Et eksempel på netop dette findes i den kinesiske økonomi, hvor økonomer på baggrund af postfactum forudsiger at boblen vil sprænge, men grundet de enorme bevægelser på det kinesiske hjemmemarked kan denne økonomiske boble opretholdes.

I analysen af det økonomiske system, blev det konkluderet, at der er en række faktorer som er afgørende for vækstens tilstand i landet, specielt konjunktursvingningerne, som dog er styret af en række underliggende faktorer, som inflation, konkurrenceevne, tilvækst, stagflation og efterspørgslen. I visse tilfælde kan disse faktorer fører til økonomiske bobler, som før eller siden kan springe. Det er det amerikanske boligmarked, som beskrevet, et eksempel, hvorimod Kina på nuværende tidspunkt har haft tilstrækkelig vækst på hjemmemarkedet til at opretholde deres boble. Dette er også hvad der adskiller den amerikanske og kinesiske økonomi, da USA i modsætning til kina var afhængig af investeringer for at opretholde likviditet på markedet.

Disse faktorer er derudover med til at forhindre betingelse for en krise fri vækst, som marxistiske kriseteori beskrev. Årsagen til dette var, at konjunktur svingninger forhindre den betingelse som sikre kapitalisterne en konstant acceptabel profitrate, og derfor er det næsten umuligt at undgå konjunkturkriser i økonomien.

Samlet vurderer jeg VaR til at være et brugbart redskab på nationaløkonomisk niveau, såfremt at der opstilles stokastiske processer som beskriver faktorernes bevægelse. VaR vil være i stand til at spotte en række forskellige tendenser, som f.eks. konjunkturkriser, som der i visse tilfælde vil overskride den acceptable VaR, hvorved regeringen vil have mulighed for at ændre deres position og derved begrænse risikoen for tab, blandt andet ved at begrænse risikofaktoren. VaR fungerer derfor efter formålet, som risikostyringsværktøj i denne sammenhæng.

Side 19

Studieretningsprojekt: Value at Risk 2010 Alexander Kauffmann Vener

18 | Side

7. Litteraturliste

I dette afsnit vil der være en liste over den brugte litteratur.

7.1 Bøger

- Value At Risk – The New Benchmark for managing Financial Risk – Philippe Jorion – 2007

- Statistik for civiløkonomer – Akademisk forlag – 2005

- Statistik I – L. Brøndum – 2000

- Mat A – mat.systime.dk – 2010

- Krise eller ej - Peter Denick – samfundsfagsnyt

- Finanskrisen – forblændelse, forglemmelse og forgældelse - Søren Ellemose

7.2 Internetsider

- http://www.banktorvet.dk/oekonomi/renterisiko/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk

- Denstoredanske.dk – Sandsynlighed fordeling, Stokastisk variable, Kolmogorov aksiomer, korrelation

- http://dirac.ruc.dk/~jl/statistikkursus/E2007/tabeller.pdf
- http://da.wikipedia.org/wiki/%C3%98konomisk_boble
- http://www.berlingske.dk/verden/kinas-oekonomi-vokser-med-naesten-12-procent
- http://borsen.dk/nyheder/oekonomi/artikel/1/176523/kina_frygter_bobler_paa_aktie-

_og_boligmarkedet.html

- http://www.business.dk/oekonomi/usa-tager-fejl-kinas-vaekst-skyldes-kinesisk-forbrug
- http://npinvestor.dk/nyheder/baggrund-subprime-laan-som-ringe-i-vandet-155562.aspx