SSO om keglesnit

1. Indledning

Teorien omkring udledning af ligninger for keglesnitskurver vil blive gennemgået, og mht. Ellipsen vil nogle andre egenskaber også vises. For parablen og hyperblen vil kun deres ligninger vises ud fra deres geometriske definition. Herefter vil det vises hvordan 2.gradsligninger med 2 ubekendte danner kurver der kan frembringes ved keglesnit. Til sidst vises nogle praktiske anvendelser af parablens egenskaber. Når noget ikke er forklaret i bevisførelsen ses det tydeligt af tilhørende figur(er). Teorien er skrevet som en ’udpensling’ af den Jens Carstensen gennemgår i ”Geometri og Keglesnit”, hvor de udregninger han har udeladt også gennemgås.

2. De tre keglesnit

Idéen til at studere keglesnit opstod i det 4. århundrede før vor tidsregning, da grækeren Menaechmus, der studerede terningens fordobling, indså at løsninger til problemet kunne findes ved skæringen mellem hyperbler og parabler og at disse kunne dannes ved snit i kegler: Når snittet foretages bestemmes hvorvidt der dannes en hyperbel, ellipse eller en parabel af vinklen u som snittet har i forhold til vinklen v som keglen har sin spids. Er u>v dannes en ellipse, hvis u=v dannes en parabel og hvis u<v dannes en hyperbel. Desuden kan 2 rette linjer, 1 ret linje eller et punkt frembringes hvis snittet går igennem keglens spids, men disse tilfælde vil ikke blive behandlet. 3. Keglesnit: Definitioner og egenskaber 3.a Parablen Definition: Det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til et givet punkt og en given linje. På fig. 2 er l: ledelinje og brændpunkt. Alle punkter på parablen er lige langt fra brændpunktet , som fra deres projektion på ledelinjen Når parablen nu er defineret kan en formel udledes for konstruktionen af den. Det er givet at og er ved afstandsformlen . Når er hvilket så er en ligning for parablen. Isoleres ses at grafen for parablen er sammensat: . Samtiding ses at en traditionel parabel omkring yaksen kan frembringes ved spejling i linjen Parablens tangenter er, som senere vil vises, vigtige for praktisk anvendelse af parbelkurven. Her vil en formel for ligningen for parabeltangenten i et punkt på parablen derfor udledes. For nemheds skyld findes tangenten i 1. kvadrant hvor .Tangenten i et bestemt punkt findes på sædvanlig vis. Først findes den afledede af grafen i punktet: Herefter indsættes dette som hældning i linjens ligning: Placeres

i

er pr. definition. Da er hvilket også tydeligt ses af fig.4.