SSO om keglesnit

Side 1

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

1

Større skriftlige opgave 2003: Keglesnit

Indhold:

1. Indledning

2. De tre keglesnit

3. Keglesnit: Definitioner og ligninger

a. Parablen

b. Hyperblen

c. Ellipsen

d. Ledecirklen, en sammenligning af hyperblen og ellipsen

4. Sammenhængen mellem keglesnit og 2.gradsligninger i to variable

a. Drejning af koordinatsystemet

b. Forklaring af drejningsprocessen for en punktmængde

c. Bestemmelse af punktmængde efter drejning

I. 0AB =

II. 0AB >

III. 0AB <

5. Opgaver

     22
a. 3 6 3 2 0x xy y x y− + + − =

b. 10x xy y+ + − =

22

c. 5 1 0xy y y− − + =

2

6. Praktisk anvendelse af parablen

Side 2

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

2

1. Indledning:

Teorien omkring udledning af ligninger for keglesnitskurver vil blive gennemgået, og mht. Ellipsen vil nogle andre egenskaber også vises. For parablen og hyperblen vil kun deres ligninger vises ud fra deres geometriske definition. Herefter vil det vises hvordan

2.gradsligninger med 2 ubekendte danner kurver der kan frembringes ved keglesnit. Til sidst vises nogle praktiske anvendelser af parablens egenskaber. Når noget ikke er forklaret i bevisførelsen ses det tydeligt af tilhørende figur(er). Teorien er skrevet som en ’udpensling’ af den Jens Carstensen gennemgår i ”Geometri og Keglesnit”, hvor de udregninger han har udeladt også gennemgås.

2. De tre keglesnit:

Idéen til at studere keglesnit opstod i det 4. århundrede før vor tidsregning, da grækeren Menaechmus, der studerede terningens fordobling, indså at løsninger til problemet kunne findes ved skæringen mellem hyperbler og parabler og at disse kunne dannes ved snit i kegler:

Når snittet foretages bestemmes hvorvidt der dannes en hyperbel, ellipse eller en parabel af vinklen u som snittet har i forhold til vinklen v som keglen har sin spids. Er

u>v dannes en ellipse, hvis u=v dannes en parabel og hvis u<v dannes en hyperbel.

Desuden kan 2 rette linjer, 1 ret linje eller et punkt frembringes hvis snittet går igennem keglens spids, men disse tilfælde vil ikke blive behandlet.

Side 3

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

3

3. Keglesnit: Definitioner og egenskaber

3.a Parablen

Definition: Det geometriske sted for de punkter, der har samme afstand til et givet punkt og en given linje.

              − p              p
På fig. 2 er l: x = ledelinje og F ( , 0)
               4               4

brændpunkt. Alle punkter ( , )P x y på parablen er lige langt fra brændpunktet F, som fra deres projektion på ledelinjen S.

Når parablen nu er defineret kan en formel udledes for konstruktionen af den. Det er

                                              p
                                                22
givet at PS x=+ og PF er ved afstandsformlen () xy−+ . Når | | | |PF PS= er
                                              4

4 p

22

( ) ( ) ( ) x y x x y x x x y px− + = + ⇔ − + = + ⇔ + + = + − ⇔ =

6 2 p p p p p px p px hvilket så er en ligning for parablen. Isoleres y ses at grafen for parablen er

           2
sammensat: y px y p x= ⇔ = ± . Samtiding ses at en traditionel parabel omkring y-

aksen kan frembringes ved spejling i linjen yx=: x p y x py y = ± ⇔ = ⇔ =.

x^{2}

2 p

Parablens tangenter er, som senere vil vises, vigtige for praktisk anvendelse af parbelkurven. Her vil en formel for ligningen for parabeltangenten i et punkt

( , )P x y på

parablen y p x=± derfor udledes. For nemheds skyld findes tangenten i 1. kvadrant

hvor y p x=  .Tangenten i et bestemt punkt ( , )P x y findes på sædvanlig vis. Først
                                         00

findes den afledede af grafen F i punktet: f x x p f x p ( ) '( ) = ⇔ = =.

1 p

22 xx

                                                       p
Herefter indsættes dette som hældning i linjens ligning: y y x x − = − () .
                                                 00

2 x_{0}

Side 4

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

4

                                                      px
For næste udregnings skyld forlænges brøken med x : y y x x − = − () . y er jo
                                                 00
                                                     2

x_{0}

netop lig px så det substitueres. Vi har nu at

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

        y
y y x x y y y y y − = − ⇔ − = − ⇔ = − + ⇔ = + ()                 . Dette

2 2 2 2 2 2 2 y x y x y x y y x y x x x x x vil blive benyttet senere når praktiske egenskaber ved kurven gennemgås.

3.b Hyperblen

Definition: Det geometriske sted for de punkter P, hvis afstand til to punkter F_{1} og F_{2}

har en given positiv differens.

Differensen betegnes 2a og a er altså afstanden fra

punkterne F_{1} og F_{2} til origo når hyperblen placeres

således i koordinatsystemet at x-aksen går gennem

disse punkter og y-aksen er midtnormal til FF_{12} som på

fig.3. Alle punkter P har så en given afstand til

punkterne F_{1} og F_{2} svarende til deres differens:

| | 2PF PF a−= . Excentriciteten e er forholdet mellem
   12

                              FF
                               12
afstanden FF og differensen 2a: e = .
         12
                               2 a

1 2 1 2 21

| | 2 2PF PF a PF PF a− = ⇔ − = v 2PF PF a−=. Det ses tydeligt af fig.3

at F F PF PF+>. En trekant kan ikke konstrueres så dette er falskt. Det medfører at

1 2 2 1

1 2 1 2

                                                            FF
                                                             12
PF PF F F−>  . Da          2PF PF a−= er 2a F F> og dermed er 1e > da e = .
                   12                12
                                                             2

a

En ligning for hyperblen vil nu udarbejdes. Det er vigtigt for forståelsen at følge med på

        FF
         12
fig.3. e F F ae = ⇔ = 2 . Punkterne F og F ’s koordinater er derfor hhv.
                                  1    2
         2 a

12

1

( , 0)F ae− og_{2} ( ,0)F ae. Nu indføres punktet ( , )P x y på hyperblen. Ligesom ved

parablen antages for nemheds skyld at

P ligger i 1.kvadrant. Vi har derfor at

PF PF>
  12

.

Afstandene PF_{1} og PF_{2} findes nu ved afstandsformlen og deres differens er ifølge

hyperblens definition lig hinanden.

Fig.3

Side 5

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

5

Dette vil resultere i den ønskede ligning: ()PF x ae y= + + og ()PF x ae y= − + .
                                    1                  2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

PF PF x ae y x ae y x ae aex x ae aex y − = + + − − + = + + − + − + = ( ) ( ) 2 ( 2 )
  12

2 2 2 2 2

x ae aex x ae aex y aex + + − − + − = 2 2 4
Vi kalder linjestykkerne PF_{1} for f_{1} og PF_{2} for f_{2} og har dermed at

22

1 2 1 2 1 2

4 ( )( ) 4f f aex f f f f aex− = ⇔ − + = ved kvadratsætningerne._{12} 2f f a−= ved
Hyperblens definition. Dermed er 22 ( ) 4a f f ae fex fx+= =⇔ +. De to røde

1 22 1 ligninger lægges sammen og vi får:

1 2 1 2 1 1

2 2 2 2 2f f f f ex a f ex a f a ex+ + − = + ⇔ = + ⇔ = +. Dette indsættes i den blå

                       2
ligning når det huskes at PF f= :
                       11

       2 2
( ) ( ) 2 2 a ex x ae y a e x aex x a e aex y + = + + ⇔ + + = + + + =

 2
a e x x a e y e x x y a e a x e y + = + + ⇔ − − = − ⇔ − − = ( 1)

2 2 2

ae^{22} ( 1) 1 − ⇔ − =

2 2 2 2 x e y ( 1) − a e a e ( 1) ( 1) −−

Vi definerer nu^{22} ( 1)b a e=− og har dermed_{ab}^{xy^{22}}_{22} −= 1. Desuden vides at nævneren

er positiv da 1e >. Vi har hermed opstillet en ligning for hyperblen.

3.c Ellipsen

Definition: Det geometriske sted for de punkter

P for hvilke summen af aftandene til to

punkter F og F er konstant. Dvs. PF PF k+= .
       1    2                12

Ellipsen er på mange måder det omvendte af en hyperbel. De har mange fællestræk og på de områder de er forskellige er de ofte hinandens modsatte. Vi starter med nogle definitioner og med at udlede en ligning for ellipsen:

Et koordinatsystem placeres så x-aksen går

gennem ellipsens brændpunkter F_{1} og F_{2} og y-

aksen går gennem midtpunktet mellem dem så origo er i ellipsens centrum. Et punkt P placeres på ellipsen og den konstante afstand

PF PF+  kalder vi 2a . Ellipsen har ligesom
  12

hyperblen en excentricitet som er forholdet mellem afstanden FF_{12} og storaksen AA_{12}.

Fig. 4

Side 6

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

6

Placeres P i A_{1} er 2A F A F a+= pr. definition. Da A F A F= er_{12} 2A A a= hvilket

1 1 1 2 1 1 2 2

også tydeligt ses af fig.4. excentriciteten e var jo^{FF_{12}}_{AA_{12}} som nu ses at være^{FF_{12}}_{2}_{a} eller

præcis det samme som i hyperblen nu blot som sum i stedet for differens. Exentriciteten e bestemmer ligesom i hyperblen hvor ’fladtrykt ’ buen er, men krummer en hyperbel

udad med en bestemt excentricitet e_{1} vil en ellipse der krummer tilsvarende indad have
exentricitet_{21} 1ee=−. Hvis vi ser på figuren er 2F F A A a<=.og dermed 01e<<.

1 2 1 2

En ligning for ellipsen vil nu udarbejdes. Vi sætter ||PF f= og ||PF f= og tager et
                                            11        22

punkt

( , )P x y på ellipsen i 1.kvadrant. Ved afstandsformlen har vi så

2 2 2 2 2 2

1

()f x ea y= + + og_{2} ()f x ea y= − +, som vi trækker fra hinanden og får:

2 2 2 2

12

( ) ( ) 2 2 4f f x ea y x ea y x e a xea x e a xea xea− = + + − + − = + + − − + =

      22
eller        ( )( ) 4f f f f f f xea− = + − = . Vi bruger så at ( ) 2f f a+= og får
                                                12

1 2 1 2 1 2

1 22 1

22 ( ) 4a f f xe fea fx−= =⇔ −. Vi trækker nu først den røde fra den blå ligning og
siden omvendt og får så hvv. 22f f f f a ex f a ex− + + = + ⇔ = + og

1 2 1 2 1

1 2 1 2 2

22f f f f a ex f a ex+ − + = − ⇔ = −, som vi kan sætte ind de lilla ligninger for at

få: ( ) ( )a ex x ea y+ = + + og ( ) ( )a ex x ea y− = − +. Begge ligninger kan regnes

2 2 2 2 2 2 om på denne måde:

2 2 2 2 2

( ) ( ) 2 2 a ex x ea y a e x aex x e a xea y a e x + = + + ⇔ + + = + + ⇔ + =
x e a y y e a x + + ⇔ = − − (1 )( )

Hvilket så må være en punktmængde der inkluderer alle punkter på ellipsen. For at tjekke om den skulle inkludere punkter der ikke ligger på ellipsen gør vi som følger.

2

        2
0y ≥ og (1 ) 0e−> da 01e<< så må

2 2 2 2

0a x a x a x a ea ex ea a− ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≤. Dette taget i betragtning og
når 01e<< må 0 (1 )a ae a e a ex< + = − ≤ +. Så 0a ex+> og dermed er

11

0PF f a ex= = + >. På samme måde er 0a ex−> da vi jo har at 0a ex>> og så er

22

0PF f a ex= = − > hvilket umuliggør imaginære løsninger. Brændstrålerne lagt
sammen giver_{12} 2f f a a ex ex a+ = + + − =, hvilket det også skal givet ellipsens

definition.

Side 7

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

7

Dermed har vi vist at alle punkter der passer i ligningen (1 )( )y e a x= − − ligger på

2 2 2 2 ellipsen og at der ingen løsninger til ligningen der ikke beskriver et punkt på ellipsens

position. Meget lig hyperblen sætter vi nu b a e e = − ⇔ − = (1 ) 1 hvilket vi sætter

b^{2}

2 2 2 2

a^{2}

ind i ligningen fra før så vi nu har

 2
b y a b x b a x y

 2
y a x y a b a b x = − ⇔ = − ⇔ + = ⇔ + = ( ) 1                 , hvilket
     2

a b a b a b a a b er den traditionelle måde at opstille ligninger for ellipser. Ligger centrum ikke i origo

                          22
                       −−
ser ligningen således ud:  +=       1 , centrum er så i ( , )C s t .
                        22
                       ab

( ) ( ) x s y t

              xy
                22
Når nu vi har at ( ) ( ) 1 += for alle punkter på ellipsen og vi ved fra trigonometrien
              ab

                                               xy
     22
at sin cos 1vv+= ved vi at punktet med koordinaterne ( , ) ligger på
                                               ab

enhedscirklen. Derfor findes et tal ∈ [0; 2 ]t så_{a}^{x} = ⇔ = cos cos t x a t og

π

= ⇔ = sin sin t y b t. Sådan kan ellipsen ligning skrives som parameterfremstilling.

y b

Vi kan ud fra dette finde en ligning for linjer der tangerer ellipsen. Vi har at

( , ) ( cos , sin )x y a t b t=, så i et bestemt punkt svarende til parameterværdien t har vi

0 0 0 0

( , ) ( cos , sin )x y a t b t=. Vi finder så tangentens hældning på sædvanligvis ved at

                                                           dx   bt cos
                                                                     0
finde funktionernes afledede: ( '( ), '( )) ( sin , cos )x t y t a t b t=− og tager =−
                                                                  sin
                                                                     0

0 0 0 0 dy a t som er hældningen i punktet. Vi indsætter så i linjens ligning og får:

22

bt cos_{0}

0 0 0 0

at sin_{0}
ya t bx t ab t t ya t bx t ab sin cos (cos sin ) sin cos^{22} + = + ⇔ + =

0 0 0 0 0 0

y b t x a t ya t ab t bx t ab t − = − − ⇔ − = − + ⇔ sin ( cos ) sin sin cos cos

                                     22
Disse mellemregninger er for at kunne få (cos sin )tt+ frem. Herefter indsætter vi
                                       00

                 xy
                  00
det før viste cos , sin tt == og har så
              00
                 ab

2 2 2 2

0 0 0 0

ay bx ab a yy b xx a b_{00} + = ⇔ + = ⇔ + = 1, som er en ligning for

22 y x xx yy b a a b ellipsens tangent i P.

Side 8

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

8

3.d Ledecirklen, en sammenligning af hyperblen og ellipsen

Som nævnt nogle gange i 3.c ligner hyperblen og ellipsen meget hinanden og er på mange måder hinandens omvendte, men en egenskab de har helt til fælles er ledecirklen. Ledecirklen er det geometriske sted for spejlbillederne af

hyperblens/ellipsens ene brændpunkt i hyperbel/ellipsetangenterne, som danner en

cirkel med centrum i det andet brændpunkt og radius 2a.

P er røringspunkt for en hyperbeltangent i 1.

kvadrant og S er spejlbilledet af brændpunktet F_{2} i

tangenten. Tangenten halverer vinklen mellem

brændstrålerne (ikke bevist her) ligger S på PF_{1}. Så

12

2PF PF a−= og 2a PF PS F S= − = , så S ligger på
            11

cirklen. Har vi et punkt på cirklen S_{1} vil midtnormalen
til SF_{12} af samme grund være tangent t_{2} til hyperblen,
så S_{1} er F_{1} ’s spejling i den.

4. Sammenhængen mellem keglesnit og andengradsligninger i to variable

Givet en 2.gradsligning med to ubekendte x og y på formen

22

0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =, der ligger skævt i et koordinatsystem, kan man ved at

dreje koordinatsystemet få grafen til at ligge pænt i det ved at lade xy-leddet gå ud.

Grafen for en ligning på denne form vil altid fremstille en parabel, en ellipse (evt.

cirkel), en hyperbel, to rette linjer, en ret linje, et punkt eller intet. De sidste tre tilfælde vil dog ikke behandles.

4.a Drejning af koordinatsystemet

På figuren er tegnet et koordinatsystem med akserne x og y

, samt et nyt drejet

koordinatsystem med akserne x_{1} og y_{1}. Desuden er basisvektorene for begge disse
koordinatsystemer indtegnet som hhv.,ij og_{11},ij og et punkt P er placeret i 1. kvadrant.

Side 9

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

9

Det ses at der er to måder at komme fra

O til

P på afhængigt af hvilket koordinatsystem

der benyttes. I det ene er OP xi y j=+ og i det andet er OP x i y j=+. i_{1} har i det

1 1 1 1

gamle koordinatsystem koordinaterne (cos , sin )vv og_{1} ( sin , cos )j v v=− idet v er

retningsvinkel for x-aksen i det nye system. Dermed kan vi udlede overgangsformlerne:

1 1 1 1 1 1

( , ) ( cos sin , sin cos )P x y x i y j xi y j x v y v x v y v= + = + = − + så:

1

cos sinx x v y v=− og_{1} sin cosy x v y v=+, som vi kan bruge til at flytte et kendt punkt

fra et til et andet koordinatsystem.

4.b Forklaring af drejningsprocessen for en punktmængde

Vi har givet at^{22} 0ax bxy cy dx ey f+ + + + + =, som i det nye koordinatsystem
bliver^{22} 0ax bx y cy dx ey f+ + + + + =. Vi benytter overgangsformlerne og indsætter

1 1 1 1 1 1 de nye punkter udtrykt ved de gamle:

                 2
a x v y v b x v y v x v y v ( cos sin ) ( cos sin )( sin cos ) − + − +

                   2
+ + + − + + + = ⇔ c x v y v d x v y v e x v y v f ( sin cos ) ( cos sin ) ( sin cos ) 0

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

a x v y v x y v ( cos sin 2 cos sin ) + − +
b x v v xy v xy v y v v ( cos sin cos sin sin cos ) + − − +
c x v y v xy v v ( sin cos 2 sin cos ) + + +
dx co s sin sin cos 0 v dy v ex v ey v f − + + + = ⇔

2 2 2 2

  22
bx v v bxy v bxy v by v v cos sin cos sin sin cos + − − +

2 2 2

22

2 2 2 2

x a v b v v c v ( cos + sin cos sin ) ( sin + + ya^{22} v b v v v − + + sin cos cos )^{2}

ax v ay v axy v v cos sin 2 cos sin + − +

cx v cy v xyc v v sin cos 2 sin cos + + +
dx v dy v ex cos sin si − + + n cos 0 v ey v f += ⇔

        22
xy b v b v a v v c v v ( cos sin 2 sin cos 2 sin cos ) − − + +

x d v e v y e v d v f ( cos sin ) ( cos sin ) 0 + + − + =

Vi vil som sagt have xy leddet til at gå ud og det kan vi af ovenstående se vi får ved

     22
b v b v a v v c v v cos sin 2 sin cos 2 sin cos 0 − − + = ⇔

     22
b v v a c v v (cos sin ) ( )2 sin cos 0 − − − =

Hvis ac= derfor (cos sin ) 0 cos sin cos sinb v v v v v v− = ⇔ = ⇔ = ± så 45ºv =

2 2 2 2

Fig.5

Side 10

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

10

Er det ikke tilfældet kan vi bruge at

     22
b v v a c v v b v a c v (cos sin ) ( )2 sin cos 0 cos 2 ( ) sin 2 − − − = ⇔ − − ⇔

sin 2 2 2 v

b v a c v v cos 2 ( ) sin 2 tan 2 = − ⇔ = ⇔ =

cos 2 v a c a c −−

Drejer vi koordinatsystemet med denne vinkel udgår xy leddet som sagt og tilbage har

vi: 0Ax By Dx Ey F+ + + + =. Fremover vil de nye punkter x_{1} og y_{1} betegnes x og y

22

1 1 1 1

4.c Bestemmelse af punktmængde efter drejning

Herfra foretager vi forskellige udregninger afhængigt af koefficienterne A og B. Der er

tre muligheder: 0, 0, 0AB AB AB= > <.
4.c.I: Er 0AB = har vi nu at gøre med en ganske triviel 2.gradsligning på formen

2

0Ax Dx Ey F+ + + = eller^{2} 0By Dx Ey F+ + + =. Udregningerne er naturligvis ens for
begge situationer, vi bruger det sidste. Nu skal hhv. E eller 0D ≠ hvis en

keglesnitskurve skal komme ud af det, så det antager vi. Ligningen omskrives så

          22
− = + + = − ⇔ − = + + ⇔ Dx By Ey F Dx Dx B y y ()

               22
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ E E F E E BF                               − 4
          22

2 2 2 4 B B B B B^{22}

− = + − + ⇔ − = + − Dx B y Dx B y ( ) ( )

EF

BB

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vi sætter 4d E BF=− og får:

2

E d E d_{22}

E d E D d                       −
   22

2

E D d_{2} −

− = + − ⇔ − = + − ⇔ Dx B y Dx B y ( ) ( )

2 4 2 4 B B B B

B y Dx y ( ) ( ) + = − + ⇔ + = + ⇔

2 4 2 4 B B B B B

( ) ( ) yx + = −

24 B B BD

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

                               dE  −
Så dannes en parabel med toppunkt ( , ) . Hvis 0, 0AB=≠ fra start er dens akse
                              42 BD B

parallel med x_{1} -aksen, hvis 0, 0AB≠= er den parallel med y_{1} -aksen.
4.c.II: Er 0AB > kan vi antage de begge er positive idet vi ellers kan forlænge med 1−.
Vi omskriver^{22} 0Ax By Dx Ey F+ + + + = til

Side 11

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

11

22

2 2 2 2

22

D D E E D E^{22}

2 2 2 2

DE^{22}

A x x B y y F A x B y F ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 + + + + = ⇔ + − + + − + = ⇔

A B A A B B 2 4 2 4

A x B y F A x B y ( ) ( ) 0 ( ) ( ) + − + + − + = ⇔ + + + =

2 4 2 4 2 2

+ − = > Fk 0

44 AB

D E D D E E ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

A A B B A B

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vi indfører en konstant 0k >. Hvis ikke det er tilfældet fremstilles ikke en keglesnitskurve og ligningen er dermed irrelevant. Vi antager altså at 0k >. Vi går videre:

DE_{22}
A D B E E_{22}

DE_{22}

22 AB
  22

( ) ( ) xy ++

22 AB

( ) ( ( ) 1 1 x y y + + + + = ⇔ + = ⇔

k A k B B 2 2 2

( ) ( ) xy ++

+= 1

kk

AB kk

AB

Så har vi sat ligningen op jf 3.c og kan altså konstatere den dækker det geometriske sted

                                             −− DE
for en ellipse (evt hvis AB= en cirkel) med centrum i ( , ) .
                                             22 AB

4.c.III Er 0AB < findes k som i 4.c.II. For at ligningens graf nu kommer til at være en

keglesnitskurve skal 0k ≠.Ved præcis de samme regninger som i 4.c.II kommer vi så

frem til at hvis 0k > får vi en hyperbel^{22}^{AB}_{22} −= 1 og hvis 0k < får vi

DE_{22}

( ) ( ) xy ++ kk

AB −

                    22
også en hyperbel: − + =             1

DE_{22}
AB_{22}

( ) ( ) xy ++

− kk

AB

Side 12

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

12

5: Opgaver

      22
5.a: 3 6 3 2 0x xy y x y− + + − =

3, 6, 3, 2, 0, 7a b c d e f= = − = = = = −

Sættes ind i den blå formel fra 4.b :

2 2 2

− 6 y^{2}

         2
2 6 2 x y y x y = − + ⇔ = +

x y x y y x y ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 2 0 − + + + + + + = + − = ⇔

2 2 2 2 2 2

22

2

−

Hvilket er en ”liggende” parabel der peger mod venstre med toppunkt idet vi bruger

                  −− 66
                      2
toppunktsformlen: x y y a b c d = + ⇒ = = = = , 1, 0, 1 .

22

− − − − 1 1 1 1

   bd
T T T ( , ) ( , ) ( , ) ==                 . Dette er dog toppunktet for
  24 aa

−− 12 / 2 24 / 2 6 2 12 2
ligningen spejlet i xy=, for at spejle tilbage bytter vi blot koordinaterne rundt og får

T ( , )^{11}. Brændpunktet findes når vi ved fra 4.a ved at vi fra parablens simple

12 2 6 2

                                                            − 6
                                                                2
ligning har xy ==   og vi i vores ligning har et 2.gradsled der hedder y derfor
             pp

2

1y_{2}

2

  −−                                                              p
er   = ⇔ =  p      . Vi ved at brændpunktet i parablen F har koordinaterne ( , 0)
       p                                                          4

6 1 2

6

2

som dermed gør^{−}_{24}^{2} til F ’s førstekoordinat. Hertil lægges så parablens forskydning

dvs. toppunktet og vi får brændpunktet

  −− 1
F F F ( , ) ( , ) (0, ) + = =                .Ledelinjen findes omvendt ved
   24

2 6 2 6 2

         p                            − p
at trække fra idet den jf.4 har ligningen x = . Så lx : ==    .
         4                            4

24 24 1 +

288 2 6 2

Side 13

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

13

     22
5.b:           10x xy y+ + − =

1, 1, 1, 0, 0, 1a b c d e f= = = = = =

Sættes ind i den blå formel fra 4. :

                                  22
1 1 1 1 1 1 3                    x y x y

2 2 2 2

xy+ + + − + − ⇔ + = ⇔ + = ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1

22

3

Hvilket er en ellipse med centrum i (0, 0)C, storakse^{2}_{3} a = og lilleakse 2b =. Det

blev i 3.c vist, at b i ellipsen defineres således at (1 )b a e=−, men dette gælder kun

2 2 2 når storaksen ligger vandret i koordinatsystemet. I dette tilfælde er storaksen lodret og

dermed gælder det omvendte at a b e e e = − ⇔ = − ⇔ = − = (1 ) 1 1.

a^{2} 12

2 2 2 2

b^{2} 33
Ellipsens brændpunkter findes når vi ved de ligger ae± fra centrum:
(0, 0) (0, 2 2 / 3) (0, 4 / 3)F = ± = ±. Parameterfremstillingen hedder

    2
x t y t== cos , 2 sin .
    3

5.c 5 1 0xy y y− − + =

2

Her er ac≠ og vi må derfor finde en vinkel hvor xy leddet udgår at dreje

                                           b
koordinatsystemet med. Denne findes ved tan 2 v = jf. 4.b Her er vinklen
                                         ac −

           1
altså tan 2 22,5º vv= ⇔ = . Herefter indsættes i den blå formel og vi får:
           1

2 2 2

2 2 2

xx (sin(22, 5º )5 cos(22, 5º ) sin (22, 5º ) (0, 2072...) −=
yy ( sin(22, 5º )5 cos(22, 5º ) cos (22, 5º ) ( 1, 2072...) − − = −
xx (5 sin(22, 5º )) (1,9134...) =
yy (5 cos(22,5º )) (4, 6194) =

Ligningen hedder i det nye koordinatsystem så:

        22
0, 2072 1, 2072 1,9134 4, 6194 1 0x y x y− + + + =

Side 14

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

14

k findes: k = − = 7,8388... k er altså positiv og dermed ved vi jf.

       2
1,9134 4, 6194

4(0, 2072) 4( 1, 2072) −

4.c.III at ligningen er det geometriske sted for en hyperbel på

        xy+−
formen:            −=            1 . Centrum ligger i ( 4, 6194,1,9134)C − .

             22
( 4, 46194) ( 1,9134)

22

37,8492 6, 4939

Exentriciteten findes idet vi ved at i hyperblen er e givet ved

b^{2}

2 2 2

a^{2}

                                          2
                                    6, 4939
b a e e = − ⇔ + = ( 1) 1 . Altså er e = + = 1 1, 414 . En måde at tegne
                                          2
                                    37,8492

hyperblen på er ved parameterfremstilling:

1 1 1 1

x T y T = + = − 37,8492 ( ), 6, 4939 ( ) .
   22           TT

6. Praktisk anvendelse af parablen

Praktisk anvendelse af parablens egenskaber:

At linjers reflektion på parablen går gennem dens brændpunkt bruges i mange sammenhænge.

Lommelygter, billygter satelitmodtagere, teleskoper og mange andre opfindelser gør nytte af det. Her vil satelitmodtageren bruges som eksempel. Vi antager at modtageren er rettet mod satelitten der sender signalet, som derfor er lige over modtageren eller så langt væk fra den at vi i hvert fald kan antage at signalet rammer skålen (næsten) ortogonalt på ledelinjen.

Side 15

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

15

Først konstruerer vi situationen i overensstemmelse med 3.a. Vi bestemmer

                                    p                       − p
koordinaterne til punkterne på figuren. F (0, ) så ledelinjen må være y = .
                                    4                        4

                                                              2
                    1                                        a
                       2
Parablens ligning er yx = , så antager vi at P rammer når xa= må y = . Altså
                    p                                        p

har vi Pa ( , )^{a^{2}}_{p} og Qa ( , )^{−}_{4}^{p}. Midtpunktsformlen giver os M F Q S= ( , ) ( , 0)^{a}_{2}. Parablens

                              12
                                 2
funktionsudtryks afledede er ( ) '( )f x x f x x = ⇔ = . Vi indsætter nu P ’s
                              pp

førstekoordinat a og har så^{2a}_{p}, hvilket vi indsætter i linjens ligning og

      2 aa
får y x a = − + () . Vi sætter så 0y = for at finde tangentens skæringspunkt med x-
      pp

2 aksen og får

2 2 2

                                           2
( ) 0 0 2 0 (2 ) 0 2 0 x a a ax a x a x a x − + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

2 2 2 a a ax a a a p p p p p 2

, hvilket jo netop er S. | | | |FP PQ= pr. definition, hvilket gør FPQ ligbenet. Når

parabeltangenten gennem trekantens kant i

P deler den modsatte side i 2 er

FPS QPS=. Dermed er FPS QPS∠ = ∠, men det vides jo at QPS∠ er lig

indfaldsvinklen, så vi ved nu at FPS∠ er lig indfaldsvinklen. Indfaldsvinklen er altid lig udfaldsvinklen og dermed har vi vist at signalet efter at blive reflekteret i P sendes gennem brændpunktet F. Dette er vist for alle P da vi har regnet generelt. Det har naturligvis ingen indflydelse at skålen har 3 dimensioner, for parablen eksisterer kun i planen og dermed kan signalet ikke ’bøjes’ andre steder hen end brændpunktet. Derfor har en skålen form som en parabel og selve modtageren sidder så i brændpunktet.

Modtages flere signaler på en gang vil de alle være i fase:

Fra sattelitten til korden, som er parallel med ledelinjen, tilbagelægger signalet naturligvis den samme afstand ligemeget hvor på korden signalet rammer. Fra korden til

Side 16

Thorbjørn de Carvalho e [navn fjernet] 3.x

16

ethvert punkt | | | | | | | | | |RP PF RP PQ RQ+ = + = er afstanden ||RP og ||PF er så den
afstand det tilbagelægger efter at have ramt skålen. Imidlertid er | | | |PF PQ= jf.
Parablens definition 3.a og derfor er | | | | | | | | | |RP PF RP PQ RQ+ = + =. Dermed er det

vist at alle signaler der rammer skålen ortogonalt med ledelinjen tilbagelægger næsten den samme afstand fra sattelit til brændpunkt. Da signalet fra en TV-satelit har en bølgelængde på mellem 1 og 10 meter vil der derfor ikke skabes interferens når bare skålen har en radius på højst halvdelen af bølgelængden.

På helt samme måde fungerer mange billygter, bare omvendt. En lysstråle der udgår fra parablens brændpunkt og rammer parablen i et punkt vil i forhold til parabeltangenten i det punkt have samme ind- og udfaldsvinkel hvilket jf. Paraboleksemplet vil rette alle lysstrålerne ortogonalt på ledelinjen.