Uendelige rækker

aaaaS aaaS aaS aS Man siger så at lim Sa Men normalt skriver man bare at summen er aaaaaS

Konvergens og divergens

Det interessante, når man arbejder med rækker, er selvfølgelig om den pågældende række konvergerer, dvs. at partialsummerne går mod en grænseværdi for n gående mod uendelig, eller om rækken divergerer, dvs. at rækken ikke konvergerer, men fx går mod uendelig for n gående mod uendeligt. Gennem historien er der fundet mange metoder til at bestemme dette, og jeg vil i dette afsnit redegøre for en del af dem. Men først en matematiske definition af konvergens, som kommer af talfølgers konvergens: Definition: En række konvergerer, hvis der til ethvert > 0 findes et tal N, så der når n > N om rækkens sum S og den n'te partialsum S gælder at |S - S

Kvotientrækker

De første rækker man kender til er som nævnt de geometriske rækker eller kvotientrækker, som de mest bliver kaldt. Det er en familie af rækker, der er forholdsvis lette at regne på. De består af en konstant a , hvorpå der i hvert led bliver ganget en kvotient r. Rækken kommer så til at sådan ud: arararraa Kvotientrækken har den gode egenskab, at det er let at finde ud af, om rækken konvergerer eller divergerer. Det afhænger kun af r. Sætning 1: Hvis |r| < 1 er kvotientrækken konvergent og dens sum er

Konvergenskriterier

Sammenligningstesten

Det er selvfølgelig langt fra alle rækker, der er kvotientrækker. På trods af det kan de alligevel være en hjælp til at bestemme konvergens og divergens af andre rækker. Det kan lade sig gøre ved hjælp af sammenligningstesten der er ganske indlysende. Den siger: Sætning 2: Hvis man har to rækker a og b med positive led, hvor konvergensforholdene for b er kendt. Så gælder at a konvergerer hvis b konvergerer og ba  og a divergerer hvis b divergerer og ba  Denne sætning vil jeg ikke bevise, da jeg mener at den er indlysende. Eksempel: Jeg går ud fra, jeg ved, at n er en divergent række (Dette beviser jeg senere i forbindelse med intgralkriteriet). Så kan man med sikkerhed sige at en række som fx n , som man ikke lige umiddelbart kan se konvergensforholdene for, også divergerer da nn  . Så hvert eneste led bliver større i n end i n da nævnerne i den første række er mindst.

Cauchy´s kriterier

Princippet bag …