Uendelige rækker

Side 1

- 1 -

Indhold

INDHOLD ........................................................................................................................................ 1 INDLEDNING.................................................................................................................................. 2 HISTORIE ........................................................................................................................................ 2 TALFØLGER .................................................................................................................................. 2 RÆKKER ......................................................................................................................................... 3 KONVERGENS OG DIVERGENS ............................................................................................... 4 KVOTIENTRÆKKER ................................................................................................................... 4 KONVERGENSKRITERIER ........................................................................................................ 6 SAMMENLIGNINGSTESTEN .............................................................................................................. 6 CAUCHY´S KRITERIER............................................................................................................... 6 RODKRITERIET ................................................................................................................................ 6 KVOTIENTKRITERIET ....................................................................................................................... 8 INTEGRALKRITERIET................................................................................................................ 9 RESTLED ....................................................................................................................................... 11 π - ET IRRATIONALT TAL ....................................................................................................... 12 KONVERGENSHASTIGHED OG FORBEDRING AF ARCTAN ................................................................ 15 TAYLORRÆKKEN ...................................................................................................................... 16 LITTERATURLISTE ................................................................................................................... 20

Side 2

- 2 -

Uendelige rækker

Indledning

Uendelige rækker er en metode, der bl.a. gør det muligt at beskrive størrelser, der ellers er meget vanskelige at finde. Fx de irrationale tal e og π, som jeg kommer ind på senere. Jeg vil i denne opgave også komme forbi den særlig gren af uendelige rækker, der kaldes Taylorrækker.

Det er en type rækker, der har den egenskab at de kan tilnærme funktioner, så ellers besværlige funktioner som lnx og de trigonometriske funktioner cosx og sinx kan tilnærmes med polynomier.

Ellers vil jeg hovedsageligt arbejde med konvergens og divergens af forskellige rækker. Dvs. hvad der sker med rækken, når man lægger uendeligt mange led sammen.

Historie

1

Ideen om at beskrive størrelser ved hjælp af rækker opstod allerede for næsten 4000 år siden. De første eksempler er fundet i det berømte 'Papyrus Rhind' fra ca. 1650 f.Kr. Der var der eksempler på såkaldte geometriske rækker, som jeg også kommer ind på. Senere har stort set alle historiens store matematikere behandlet emnet. Indtil ca. 1635 havde man kun opereret med endelige rækker som fx [2] skakbrætopgaven fra omkring år 880. Men efter 1635 begyndte folk som Newton, Euler, Fermat og Leibniz at arbejde med uendelige rækker, og netop omkring denne tid udviklede teorien om uendelige rækker sig enormt, for der var god brug for uendelige rækker. Det blev med uendelige rækker relativt simpelt at beregne nogle ting, der før havde været meget komplicerede. Ca. 100 år efter de første uendelige rækker, dukkede Taylorrækkerne op. De kom også til at spille en vigtig rolle, da de lige som de almindelige rækker gjorde udregninger lettere.

Talfølger
3

Definition: En talfølge er en tællelig uendelig række af tal med komma imellem: ssss,...,...,,,

321 n

Eksempler på talfølger

,1,,,...,,...

1 1 1 1

2 3 4 n n,...2,...,10,8,6,4,2

1

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 34-35

2

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 2

3

Talfølger og rækker, s. 19-20

Side 3

- 3 -

Definition: Talfølgen ssss,...,...,,,

321 n er konvergent med grænseværdien s, såfremt der til ethvert lille positivt tal findes et ε nummer N i talfølgen så

><− Nnforss

n ε

Eksempel: Jeg vil vise, at talfølgen

,1 , , ,..., ,...
           2

1 1 1 1

4 9 16 n er konvergent med grænseværdien 0.

Jeg skal altså ifølge definitionen vise at − 0 kan gøres mindre end ε.
                                  2

1 n ε ε εε

1 111

0 >⇔>⇔<⇔<− nn

2

nn^{22}

Hvis fx ε = 0,0001 er 01,0= og som N kan vi bruge 100.

ε

Rækker_{4}_{,}_{5}

For at kunne arbejde med uendelige rækker, bliver man nødt til at få nogle definitioner på plads. Med en uendelig række menes en sum med et uendeligt antal led. Fx denne, der kaldes den harmoniske række:

∑_{n}^{∞}_{=}_{1}^{1}_{n}

1 ++++=...

2 3 4

1 1 1

Men det er et noget svævende udtryk at finde summen af uendelig mange led. Dette problem har man løst ved at indføre partialsummer. Dvs. at man lægger leddene sammen i etaper, så til den uendelige række

∑_{n}^{∞}_{=}_{1} 321

aaaaa +++++= ........
 nn

hører en talfølge af partialsummer

SSSS........,,

321 n hvor

4

Calculus and Analytic Geometry, s. 532

5

Talfølger og rækker, s. 19-20

Side 4

- 4 -

.... ++++= aaaaS
     nn

++= aaaS
  3213

+= aaS
  212

= aS_{11}

321

Man siger så at

∑_{n}^{∞}_{=}_{1} n^{=}

lim Sa .
    n
n ∞→

Men normalt skriver man bare at summen er

aaaaaS +++++== ........
 n

∑_{n}^{∞}_{=}_{1} n 321

Konvergens og divergens

Det interessante, når man arbejder med rækker, er selvfølgelig om den pågældende række konvergerer, dvs. at partialsummerne går mod en grænseværdi for n gående mod uendelig, eller om rækken divergerer, dvs. at rækken ikke konvergerer, men fx går mod uendelig for n gående mod uendeligt. Gennem historien er der fundet mange metoder til at bestemme dette, og jeg vil i dette afsnit redegøre for en del af dem. Men først en matematiske definition af konvergens, som kommer af talfølgers konvergens:

6

Definition: En række konvergerer, hvis der til ethvert ε

> 0 findes et tal N, så der når n > N om rækkens sum S og den n'te partialsum S n n gælder at |S - S

| < ε

.

Kvotientrækker
      7

De første rækker man kender til er som nævnt de geometriske rækker eller kvotientrækker, som de mest bliver kaldt. Det er en familie af rækker, der er forholdsvis lette at regne på. De består af en konstant a

0

, hvorpå der i hvert led bliver ganget en kvotient r. Rækken kommer så til at sådan ud:

00 0 ∑_{n}^{∞}_{=}_{0}^{arararraa}

       n
.... =++++
         00

2 3

Kvotientrækken har den gode egenskab, at det er let at finde ud af, om rækken konvergerer eller divergerer. Det afhænger kun af r.

Sætning 1: Hvis |r| < 1 er kvotientrækken konvergent og dens sum er

6

Calculus and Analytic Geometry, s. 533

7

Calculus and Analytic Geometry, s. 541-542

Side 5

- 5 -

∑_{n}^{∞}_{=}_{0}^{n}^{arS} 0^{==}
1 − r

a_{0}

Hvis |r| 1 og a 0 er rækken divergent

≥

0

≠

Bevis: Jeg ser først på, hvad der sker for r = 1. Da bliver rækken_{000} +++ aaa.... Og det er let at
se, at denne række går mod + eller - uendelig. Kvotientrækken for r = -1 er_{0000} +−+− aaaa....
Her er partialsummerne skiftevis S = a og S = 0, og de har derfor ingen grænseværdi.
n 0 n+1

Givet er så ligningen

1 − r

1 − r^{n}^{+}^{1}

     n
....1 rrr =++++ .

2

I denne ligning ganger jeg med 1- r på begge sider

                nn + 12
( ) ( )      1....11 rrrrr ⇔−=++++−

11 −=− rr^{nn}^{++}^{11}

    nnnn ++ 1122
1........1 rrrrrrrr ⇔−=−−−−−++++

Dvs. at den første ligning også er sand. Jeg omskriver så kvotientrækkens partialsum ved at benytte den netop beviste ligning:

               1        nn ++ 1
            ⎛ 1 − r ⎞ ⎛ 1 r ⎞
    2   n
( )   ....1 =++++= arrraS ⎜ ⎟ = a ⎜ − ⎟ .
           0      0
            ⎜   ⎟  ⎜     ⎟
             1 − r  −  11 −
            ⎝   ⎠  ⎝     ⎠

r r n 0

Jeg finder et udtryk for summen ved at lade n gå imod uendelig:

− r 11 − r − r 11 − r

⎛ 1 r^{n}^{+}^{1} ⎞ 1 a_{0}

= lim aS ⎜ −    ⎟ = a      =
     0              0
  n ∞→

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

da r^{+n}^{1} → 0 for ∞→n når |r| < 1

Endelig lader jeg n gå mod uendeligt i det samme udtryk, bare med |r| > 1. Og vi ser at denne grænseværdi ikke findes, derfor gælder sætning 1. QED.

Eksempel: Jeg vil ved hjælp af min viden om uendelige rækker finde ud af, om følgende række er divergent eller konvergent. Er den konvergent, vil jeg også finde dens sum.

4..._{n} ++++++...
3 3 3^{32} 3

4 4 4 4

                                     1
Dette er en kvotientrække med a = 4 og r = , så rækken er konvergent da r < 1
                                     3

0

Jeg kan så finde rækkens sum med sætning 1:

=S = 6.

   1
1 −
   3

4

Side 6

- 6 -

Konvergenskriterier

Sammenligningstesten

8

Det er selvfølgelig langt fra alle rækker, der er kvotientrækker. På trods af det kan de alligevel være en hjælp til at bestemme konvergens og divergens af andre rækker. Det kan lade sig gøre ved hjælp af sammenligningstesten der er ganske indlysende. Den siger:

Sætning 2: Hvis man har to rækker_{n^{og}} med positive led, hvor konvergensforholdene
∑^{a} ∑^{b} n

for er kendt. Så gælder at

∑^{b} n
∑^{a} n^{konvergerer hvis} ∑^{b} n^{konvergerer og}

ba ≤ ,
 nn

og                                       ba ≥ .
                                          nn

∑^{a} n^{divergerer hvis} ∑^{b} n^{divergerer og}

Denne sætning vil jeg ikke bevise, da jeg mener at den er indlysende.

Eksempel: Jeg går ud fra, jeg ved, at 1 ++++=.... er en divergent række (Dette beviser

2 3 4

1 1 1

∑^{∞}_{=n}_{1}^{1}_{n}

jeg senere i forbindelse med intgralkriteriet). Så kan man med sikkerhed sige at en række som fx

1 ++++=...., som man ikke lige umiddelbart kan se konvergensforholdene for,

2 3 4

1 1 1

∑^{∞}_{=n}_{1}^{1}_{n}

også divergerer da nn <. Så hvert eneste led bliver større i end i da nævnerne i den

∑_{n}^{∞}_{=1}^{1}_{n} ∑_{n}^{∞}_{=1}^{1}_{n}

første række er mindst.

Cauchy´s kriterier
      9

Princippet bag sammenligningstesten - at sammenligne en kendt række med en ukendt - har franske Cauchy () brugt til at formulere to kriterier, der virker lidt mere håndgribelige end sammenligningstesten, da Cauchy ender med at have egentlige formler. Men Cauchy´s kriterier tager i lighed med sammenligningstesten udgangspunkt i kvotientrækker.

Rodkriteriet

Sætning 3: Rækken_{n} med positive led er konvergent, hvis der findes et tal r < 1 og et N ∈ Z så
∑^{a}

+

≥≤ Nnforra.

n n

Og omvendt er rækken divergent, hvis der for uendeligt mange led gælder at

8

Calculus and Analytic Geometry, s. 558-560

9

Matematisk analyse III, s. 184-185

Side 7

- 7 -

a_{n} 1≥.

n

Bevis: Ideen bag denne sætning er at omskrive rækken_{n} så den kan regnes som en
∑^{a}

kvotientrække.

For at gøre det så let som muligt er a = r i denne kvotientrække da a ikke siger noget om

0 0 konvergens og divergens, men kun om summen af rækken. Desuden er 0 < r < 1 da kvotientrækken så konvergerer. Leddene i kvotientrækken er derfor

 n
rrrr +++++ ........

32

Og leddene i rækken_{n^{er}}
∑^{a}

aaaa +++++ ........
 n

321

Vi ved så fra sammenligningstesten at rækken_{n} med sikkerhed konvergerer hvis
∑^{a}

 n
ra ≤

n dvs. hvis

≤ ra for Nn >

n n hvor r < 1

Og divergerer hvis

a_{n} 1> QED.

n

Som hovedregel er rækken konvergent hvis^{n} a_{n} 1<. Men egentlig siger sætning 3 at r skal være

mindre end et tal < 1. Dvs. en rækkes led ikke må have en grænseværdi på 1 da de så bliver større end alle tal < 1.

For at denne sætning skal give mening matematisk siger man at hvis der findes et tal q så

   n
lim    = qa
n ∞→

n

så konvergerer rækken når q < 1, og rækken divergerer når q > 1, og når q = 1 er intet sikkert og

der kræves nærmere undersøgelse af rækken.

Eksempel: Jeg vil finde ud af om følgende række er konvergent eller divergent.

(1) ⎜ ⎟

∑_{n}^{∞}_{=}_{1}_{⎝}^{⎛}^{ln}_{n}

⎠

n ⎞^{n}

Jeg benytter rodkriteriet og får n n

⎛ n ⎞^{n} lnln n

n

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Side 8

- 8 -

Og denne brøk kan aldrig blive > r for r < 1, da funktionen svarende til n, f (x) = x vokser meget
hurtigere end funktionen svarende til ln(n), f (x) = ln(x). Derfor er rækken (1) konvergent.

Kvotientkriteriet

10

Cauchy´s andet kriterium, der kaldes kvotientkriteriet, tager som sagt også udgangspunkt i princippet for sammenligning. Kvotientkriteriet siger

Sætning 4: En række_{n} med positive led er konvergent hvis der findes et tal r < 1 og følgende
∑^{a}

sætning gælder om forholdet mellem et af rækkens led og dets foregående led

≤ r for Nn ≥
a_{n}

a_{n}_{+1}

Bevis: Jeg vil ikke gå i detaljer med dette bevis, da det bygger på de samme ting som rodkriteriet.

Ideen er som i foregående bevis at sammenligne med en kvotientrække.Da

( ) ≥≤⇔≤ Nnraar
a_{n}

a_{n}_{+}_{1}
+ 1 nn

så vil

≤≤≤ raaraaraa ...,,,
    NNNNNN 23121 +++++

Dvs. fra nummer N er leddene i rækken mindre end eller lig med leddene i

kvotientrækken ++ rara..., som konvergerer da r < 1 QED.

2

NN

Som i rodkriteriet er den matematiske konklusion at hvis der findes et tal q så

lim    = q
n ∞→

a_{n}

a_{n}_{+}_{1}

så konvergerer rækken når q < 1, divergerer rækken når q > 1, og når q = 1 er intet sikkert og der

kræves nærmere undersøgelse af rækken.

Eksempel: Jeg vil ved hjælp af kvotientkriteriet bestemme om følgende række er konvergent

+++=...

1 4 27

1! 2 6

∑^{∞}_{=n}_{1}_{n^{n}}^{n}
Jeg finder forholdet mellem det n+1'te led og dets foregående:
a_{n}_{+}_{1} ( ) n +!1 n_{=⋅} ( ) 1 ⋅+ nn^{nn}_{=} n^{n} 1_{⎟} 1 1

  =                    =
       n       n + 1  n           n
                           1 ⎟
                                 1
a  ( )   n ! ( ) ( )     1 +         e
    n + 1   n +    n + 11      ( ) 1 +
                           n ⎠
                                 n

= nfor ∞→→

⎛ ⎞^{n}

⎜

⎜ n ⎝

10

Matematisk analyse III, s. 186-187

Side 9

- 9 -

Jeg ved at nfor ∞→→ jvf. eksemplet på s. 187 i Matematisk analyse - Bind III.

   n
  1
( ) 1 +
  n

e

1 1

= dec)2(37,0

1 e

Fra et vist nummer N at regne vil

   n
  1
( ) 1 +
  n

<− 1,0

1 1 e dvs. at for n > N er < 5,0

a_{n}_{+}_{1}
a_{n}

Heraf følger iflg. sætning 4 at rækken konvergerer.

Integralkriteriet
      11

Den næste metode til at bestemme konvergens og divergens er ved hjælp af integralkriteriet. Det er en metode til at sammenligne en række og en funktion om hvilken der

gælder at     anf =)( .
               n

Sætning 5: Hvis rækken_{n} består af positive led og f er en aftagende, positiv, kontinuert
∑^{a}

funktion for x      1. Hvis     anf =)( for alle hele tal n 1, så gælder om rækken og
                                 n                                       n

≥

≥

∑^{a}
det uegentlige integral_{1}^{∞})( dxxf at de enten begge er divergente eller begge er
∫

konvergente.

Bevis: Først vil jeg bemærke, at ved det uegentlige integral

)( dxxf forstås grænseværdien af det bestemte integral

∫^{∞}

1 dxxf for t gående mod uendelig.

∫^{t}^{)(}

1

Idet f er en aftagende funktion, så må det gælde at

(2)           )(  Sdxxf ≤
                   n

∫^{n}^{+1}

1

Som det også ses på figur 1.

Ud fra figur 2 kan man tilsvarende se, at det må gælde at

                n + 1
(3)          ≤−      )( dxxfaS .
               1

∫

n 1

Af (2) ser jeg at hvis integralet divergerer, dvs.

11

Calculus and Analytic Geometry, s. 549-551

Figur 1

Figur 2

Side 10

- 10 -

)(lim xf ∞=,
∫^{∞}
n ∞→ 1
så vil rækken_{n} også divergere, da dens partialsummer altid er større end det tilsvarende
∑^{a}

integral.

Omvendt ser jeg af (3) at hvis partialsummerne divergerer så må integralet også divergere.

Antag nu at_{1}^{∞})( dxxf konvergerer.
∫

Jeg omformer (3) og får

∫

+≤_{1}^{n})( dxxfaS.

n 1

Dette kan ved at benytte indskudsreglen skrives som

∫∫^{dxxfdxxfaS}

  ∞∞
−+≤ )()( .
  n

n 1

1

         ∞           ∞
Og da  =      )( dxxfI og dxxf )( kun kan være positivt må det gælde at
         1           n

∫ ∫
∫^{n}

)( +≤+≤ IadxxfaS.

n 11

1

Summen S er derfor begrænset opefter af a + I som vist på figur 3.

n 1

S S S..... a + I

1 2 3 1

Figur 3

Derfor konvergerer rækken

Den omvendte konvergens ses tilsvarende af (2).

Hermed har jeg vist, at rækken_{n} og det uegentlige integral_{1}^{∞})( dxnf enten begge konvergerer
∑^{a}
∫

eller begge divergerer. QED.

Eksempel: Jeg kan nu ved hjælp af integralkriteriet vise at den harmoniske række

1.... +++++=....

1 1 1

2 3 nn

∑_{n}^{∞}_{=}_{1}^{1}

er divergent.

Funktionen der svarer til den harmoniske række er xf)( =, som jeg finder integralet til:

x

1

    ∞
= [ ] ln xdx
    1

∫^{∞}^{1}_{x}

1

Jeg finder så grænseværdien for dette uegentlige integral:

Side 11

- 11 -

[ ]_{1}^{b} ( ) lnlim1lnlnlimlnlim bbx ∞==−=
b bb ∞→∞→∞→

Da det uegentlige integral divergerer, divergerer den harmoniske række.

Restled_{12}

På trods af disse forskellige metoder til at se om rækker konvergerer eller divergerer, er det sjældent, at man kan finde den eksakte sum af rækken. Derfor bliver man ved de fleste rækker i praksis nødt til at beregne en partialsum, med den nøjagtighed, man har brug for. Et udtryk for denne nøjagtighed er restleddet. En rækkes restled R n er defineret som forskellen mellem rækkens nøjagtige sum S og den n'te partialsum S n

. Dvs. den fejl man begår ved at benytte den n'te sum.

Restleddet er:

(4)                          aaaSSR +++=−= ....
                               +++ nnnnn 321

                                                        ∞
Sætning 6: Hvis rækken  og dens tilhørende uegentlige integral )( dxxf opfylder
                       n
                                                       1

∑^{∞}_{=1n}^{a}
∫

betingelserne for integralkriteriet, så gælder der om restleddet fra (#) at

∫∫^{dxxfRdxxf )()(}

≤≤_{n}^{∞∞}
n + 1

n

Bevis: Hvis vi har et helt tal k, gælder der om den k'te partialsum a at k

∫∫^{)()(}

≤≤_{k}^{k}_{−}_{1} dxxfadxxf hvor,....2,1 ++= nnk

k + 1

k k

Som det også ses på figur 4.

Restleddet er summen af alle led fra n + 1 til uendeligt,

som det ses i (4). Lige som i beviset af integralkriteriet laver jeg en overvurdering og en undervurdering, hvor restleddet er imellem.

Det overvurderede restled er

∫^{1} ∫

∑^{∞}_{nk}_{+=}_{1}_{k}^{k}^{+}

   ∞
=      )()( dxxfdxxf ,
  n +

1 og det undervurderede restled er

∑^{∞}_{nk}_{+=}_{1}_{k n}^{k}_{−}
∫ ∫

  ∞
=      )()( dxxfdxxf .

1

12

Calculus and Analytic Geometry, s. 552-554

Figur 4

Side 12

- 12 -

                                         ∞            ∞
Hermed har jeg bevist at restleddet ligger mellem dxxf )( og )( dxxf og sætning 6 er
                                        n            n +1

∫ ∫

bevist. QED.

Eksempel: Ved hjælp af denne viden om restled er det så muligt at bestemme det antal led, man skal lægge sammen for at få den ønskede nøjagtighed af en sum.

Jeg ser på rækken

1 +++=...

4 9

1 1

∑^{∞}_{=n}_{1}_{n^{2}}^{1}

og vil så finde ud af hvilken partialsum, der giver en nøjagtighed på to decimaler, dvs. 0,01.

Den tilhørende funktion er xf = )( .
                            2

1 x

Om restleddet ved jeg ifølge sætning 6 at nntxx

      ∞∞
)( dxxfR dx  −==≤   lim −=    lim    +−= =
        2
                    t         t ∞→∞→

∫∫
nn
 x

⎡ 11 ⎤^{∞} ⎡ 1 ⎤^{t} ⎛ ⎞ 111
⎢ ⎥_{n} ⎢ ⎥_{n}

n

⎜ ⎟

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Heraf ses at R er mindre end 0,01 såfremt n

>⇔< n 10001,0

1 n

Så for at opnå den ønskede nøjagtighed skal vi medtage de første 101 led.

π - et irrationalt tal

Det har igennem hele historien været en udfordring for matematikere at finde det irrationale tal π med så mange decimaler som muligt. I starten var det af praktiske grunde, da der var for stor unøjagtighed ved de første værdier. Men efter at man var nået op over nogle få decimaler, spillede nøjagtigheden ikke længere nogen betydende rolle, og det blev mere et

spørgsmål om konkurrence og prestige.^{13} I 1600-tallet dukkede de uendelige rækker op, og de blev

en stor hjælp til beregning af π. Så fx i 1699 blev π beregnet med 71 decimaler, men dette resultat er blevet slået igen og igen. I dag bliver bl.a. uendelige rækker brugt som en målestok for hvor hurtige computere er da udregning af π med mange decimaler kan blive ganske omfattende. Den nuværende rekord er i øjeblikket på imponerende 206 mia. decimaler [14].

13 π, s. 25-26

14

Pi news (internetside)

Side 13

- 13 -

15

Jeg vil i dette afsnit fortælle om rækker der beskriver π, og hvordan man har forbedret dem. Til det vil jeg indføre funktionen arctan (arcustangens) der er den omvendte funktion af

tangens i intervallet_{22} − [;] og kan derfor også kaldes tan^{-1}. Grunden til at bruge arctan er, at den

ππ kan rækkeudvikles og, den kan beskrive π med denne række.

Sætning 7: 1 +−+−=....

4 3 5 7

1 1 1 π

Bevis: Først skal definitionsmængden Dm(arctan) og værdimængden Vm(arctan) findes, og det er

lidt specielt, da tan ikke er injektiv og Vm(tan) = R. Man bliver derfor nødt til kun at kigge på den
i intervallet_{22} − [;], hvor den er injektiv. Da arctan er den omvendte til tan, må der derfor gælde

ππ

at                    RVmDm == (tan)(arctan) og   −== DmVm [;](tan)(arctan)
                                                     22

ππ

Jeg vil nu differentiere arctan, da jeg får brug for dette resultat. Dette kan jeg gøre, da arctan er den omvendte af en differentiabel funktion. Jeg ved også, at en funktions omvendte differentieret er den reciprokke af funktionen differentieret:

        1
 − 1
( ) yf = )(' , når   xfy = )( .
    0                00

xf_{0})('

Af

)arctan()tan( yxxy =⇔=

fås

(5) y)(arctan' == =.
x)(tan' +)(tan1 1 + yx^{22}

1 1 1

Jeg vil så bevise, at arctan kan skrives som den uendelige række

(6))arctan( tt −∈+−+−= t]1;1[,....

753

 753
ttt

Til det laver jeg en funktion)(tf bestemt ved

+−+−= ttttf....1)(

642

Og jeg ser kun på den i intervallet ]-1;1[ da den uden for dette interval divergerer og derfor ikke er interessant.

Jeg ganger med t^{2} på begge sider og får
−+−=⋅ ttttft....)(

6422

Disse to udtryk lægger jeg sammen:

=+−+−+−+−=+⋅ tttttttftft 1....)1(....)()()(.

6426422

15 π, s. 26-29

Side 14

- 14 -

Jeg sætter)(tf uden for parentes og isolerer den:

tfttf)(1)1()( =⇔=+⋅_{2}.

2

1 + t

1

Disse to udtryk for)(tf sætter jeg lig hinanden

 642
ttttf ....1)( =+−+−= .
           2

1 + t

1

Jeg viste ovenfor i (5) at t )(arctan' = . Dvs. at            +−+−= tttt ....1)(arctan' . Arctan fås nu
                                 2

1 + t

1

642 som stamfunktionen.

)arctan( tt ++−+−= .... c

 753
ttt

753

Hvor c er den konstant, der skal lægges til, når man integrerer. Den finder jeg idet jeg ved at

arctan(0) = 0. Af det får jeg

0)0arctan( ==++−+−= cc 0....

3 5 7

0 0 0^{753}

Jeg har så vist at arctan kan beskrives med rækken (6)

Med denne række kan π så beskrives da ( )_{4} = 1tan er_{4} =)1arctan(, dvs.

π π

1 +−+−=.... QED.

4 3 5 7

1 1 1 π

16, 17

Denne række kendte Nilakantha allerede omkring år 1500. Han var en indisk matematiker, som man kender fra hans værk "Videnskabeligt samleværk" fra Men det var Leibniz, der 170 år senere genfandt rækken, som i dag kaldes Leibniz række. Leibniz var aldeles betaget af denne række pga. den enkle måde, hvorpå man kunne beskrive π. Måske af den grund blev det ham, som denne række blev opkaldt efter. På trods af at den er så dejligt enkel, så er den meget dårlig til at beregne π, da leddene hele tiden skifter fortegn og kun langsomt bliver små.

16

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 44

17 π, s. 29

Side 15

- 15 -

Konvergenshastighed og forbedring af arctan

18

Det er dog muligt at få arctan-rækker til at konvergere meget hurtigere end en Leibniz række. Hvis man kigger på arctan-rækken

)arctan( tt −∈+−+−= t]1;1[,....

753

 753
ttt

ses det, at jo mindre |t| er jo hurtigere bliver leddene små, og jo hurtigere vil rækken konvergere.

Så det må være en fordel at kunne udtrykke arctan ved så små værdier af t som muligt.

Eksempel: Jeg vil vise at formlen

             1      1
(7)          ( ) ( ) += arctanarctan2
             3      7

4 π fra bilag A gælder.

Da arctan er den omvendte funktion til tan gælder det

 1      1
( ) tanarctan =⇔= vv
 3      3

Ved at benytte formlen  v )2tan( = finder jeg tan(2v)
                                 2

− tan1 v

tan2 v

       ==
      8
  1
1 − ( )
      9
  3

4

2 ⋅_{3}^{1} 3

)2tan( =v
       2

3

2

Jeg laver følgende omskrivninger:

1      1
( ) ( ) arctanarctan2 ⇔+=
 3     7

v arctan2 ( )_{7}^{1} ⇔+=
v arctan2 ( )_{7}^{1} ⇔=−

      1
( ) 2tan v =−
 4    7

4

4

4 π π π π

18 π, s. 29-33

Side 16

- 16 -

og beregner så ( )_{4} − v2tan ved brug af formlen tan ( ) yx =− fås

π

⋅+ tantan1 yx

− tantan yx

( )_{4} 2tan = v =−

           3
−  ( ) 2tantan v 1 −
           4
       =

              1
              7
           3
( ) ⋅+ ( ) 2tantan1 v 11 ⋅+
 4         4

4 π π π

Da begge dele giver er sætningen (7) bevist.

7

1

Fordelen ved en formel som (7) er, at man ved at medtage fx 10 led af rækkerne for og

( )

3

1 arctan

arctan ( )_{7}^{1} får en væsentlig større nøjagtighed på π end ved ved at beregne de første 10 led at

Leibniz række.

19

              1     1
Formlen      ( ) ( ) −= arctanarctan4 er endnu hurtigere og blev i 1873-74 - længe før
              5     239
      4

π lommeregner og computer - brugt af William Shanks til at beregne π med 707 decimaler.

Taylorrækken

20

Som nævnt i starten er det særlige ved Taylorrækker, at de kan tilnærme funktioner, der ellers kan være svære at regne på. Til dette bruges Taylors formel

xftxf )()( t       t        t   ...       t ++++++=+ ...
 00

!1!2!3 n!

xf )('   xf )(''   xf )('''     xf )(
            2         3             n
          00       0             0

n)( hvor x er den x-værdi man udvikler polynomiet fra.

0

I et specialtilfælde af denne formel er udviklinspunktet x = 0 og hvis t erstattes med x følger

0 denne sætning

Sætning 8: fxf)0()( x x x... x ++++++=...

!1!2!3 n!

                               n )(
f  )0(' f  )0('' f   )0('''  f    )0(
                       32           n

Denne sætning vil jeg bevise med et kort enkelt bevis.

Bevis: Jeg har givet en funktion f

(8) ++++= xaxaxaaxf...)(

2 3

210 3

19 π, s. 33

20

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 111-113

Side 17

- 17 -

For at finde a, a, a, a osv. differentierer jeg i princippet uendeligt mange gange

0 1 2 3 osv...

     3
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= xaxaxaaxf ...232)('''
   6

 3
xaxaxaaxf +⋅+⋅+⋅+= ...5443322)(''

 3
xaxaxaaxf ++++= ...432)('

2

543

432 5

2

321 4

2

Sætter jeg så x = 0 bliver alle led hvor x indgår 0 og a, a, a, a,.... kan derfor let findes

0 1 2 3 osv...

!3 f)0('''

!3)0(''' aaf =⇔⋅=
        33

!2 f)0(''

!2)0('' aaf =⇔⋅=
       22

!1 f)0('

!1)0(' aaf =⇔⋅=
       11

)0( = af_{0}

Jeg indsætter dem i (8) og får netop Taylors formel med udviklingspunkt x = 0. Q.E.D.

0

Eksempel: En af de funktioner, der kan være svære at have med at gøre, er e^{x} pga. irrationaliteten

af e, men det er til gengæld en let funktion at tilnærme med Taylor, som jeg vil vise nu.

                         x
Jeg finder først de afledede til e

, hvilket er det der gør den til en let funktion at tilnærme da

 xx                                         x
ee =)'( så derfor er                       exfxfxfxf ===== ...)(''')('')(')( .

Jeg finder funktionsværdien i udviklingspunktet x = 0.

0

== ef 1)0(

0

Jeg indsætter i Taylors formel

1 x... x ++++++=...

!3!2 n!

1 xxxe... x ++++++=...

!1!2!3 n!

1 1 1_{32} 1_{nx}

32

 n
xxx
   n

Dette er også metoden til at tilnærme e, for da e = e^{1} giver det den smukke og enkle række

Side 18

- 18 -

11 +++++=e....

!2!3!4

1 1 1

Rækken konvergerer relativt hurtigt og ved at medtage blot de første fem led får vi 2,71 (2 dec), tæt på den korrekte værdi 2,72 (2 dec).

Eksempel: [21] En anden funktion jeg gerne vil bestemme taylorrække for er den naturlige logaritme lnx, der kom til at betyde meget i 1700-tallet. Da blev taylorrækken et værdifuldt redskab i tabellægningen af lnx.

Jeg finder Taylorrækken der tilnærmer lnx.

For stadig at benytte udviklingspunkt x = 0 parallelforskyder jeg funktionen 1 til venstre da lnx

0

ikke er defineret i x = 0. Så funktionen bliver ln(1+x)

Ligesom for e^{x} differentierer jeg funktionen.

   − 4)4(
+⋅−= xxf )1(32)(

   − 3
+= xxf )1(2)('''

   − 2
+−= xxf )1()(''

   − 1
+= xxf )1()('        f   =⇒ 1)0('

f^{( )}^{4} −=−=⇒!36)0(

f ==⇒!22)0('''

f −=⇒ 1)0(''

Nu kan jeg lave en generel formel:

( ) n ( ) n

( ) ( ) ( )^{nn} ( ) ( )^{n}^{+−+}^{11} nfxnxf −⋅−=⇒+⋅−⋅−=!11)0(1!11)(

Jeg indsætter i Taylors formel og får at

                      n + 1
1  − 1   !2 − !3    ( ) ( ) n −⋅− !11
               432            n
  ++=+     ++  xxxxx         x + ...

        n + 1
 432
xxx  ( ) − 1
          n
   ...    x

x ++−+−= +...

432 n

!1!2!3!4 n!

0)1ln(... ++

22

Det ses ud fra denne formel, der kaldes logaritmerækken, at jo tættere x er på 0, jo hurtigere konvergerer rækken, da leddene så går hurtigere mod 0 pga. potenserne.

21

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 96

22

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 97

Side 19

- 19 -

Newton var en af dem, der arbejdede med at bestemme logaritmeværdier. Vi kan som eksempel se på, hvordan han bestemte ln(2).

Ved at skrive tallet på følgende måde: 2 =, og dernæst anvende de logaritmiske

⋅ 9,08,0

⋅ 2,12,1 regneregler, kunne han skrive ln(2) som

  ⎛  ⋅ 2,12,1 ⎞
= ln)2ln( +−= ⎜ ⎟ ( )    )9,0ln()8,0ln()2,1ln(2
     ⋅ 9,08,0
  ⎝     ⎠

De tre tal ln(1,2), ln(0,8) og ln(0,9) kan nu bestemmes af logaritmerækken med stor nøjagtighed og relativt hurtigt ved at sætte x til henholdsvis 0,2 , -0,2 og -0,1.

23

At det nu var muligt at kunne bestemme lnx så let som det var tilfældet var en fantastisk ting for matematikken. Det ses fx i Newtons arbejde, at han har været fascineret af muligheden for beregne hidtil næsten ukendte størrelser med et stort antal decimaler. I hans notesbøger har man fundet at han, en af historiens største matematikere, har beregnet ln(1,1) med over 50 decimaler. Og dette kan næppe have haft nogen videnskabelig funktion. Dette er et eksempel på hvilken revolution i regnekunsten, de uendelige rækker var, og hvilken vigtig funktion de kom til at spille i det 17. og

18. århundrede. Det blev fra da af muligt at udføre matematiske beregninger, der indtil da havde været svære, langsomme og upræcise, meget lettere og mere nøjagtige.

23

Uendelige rækker - En historisk fremstilling, s. 96

Side 20

- 20 -

Litteraturliste

Jens Carstensen: Talfølger og rækker, 1. udgave, 1997

Torben Svendsen: π, 1. udgave, 1992

C. H. Edwards, Jr. og David E. Penney: Calculus and analytic geometry, 3. udgave

Lars C. Mejlbo: Uendelige rækker - en historisk fremstilling, Århus Universitet - elementærafdeling nr. 19, 1983

A. F. Andersen, Harald Bohr og Richard Petersen: Matematisk analyse III, 1957

Internet:

Pi news, www.lupi.ch/PiSites/Pi-Rekord.html

Sekundær litteratur:

Jens Carstensen: Numeriske metoder, 1. udgave, 1995

Jens Carstensen: Bogen om e, 1. udgave, 1995