Vandtårn - Projektopgave i Matematik

Indledning

Jeg har i dette projekt beskæftiget mig med et nyt anlægsarbejde i Snestrup kommune, hvor man har lagt op til at skulle bygge et vandtårn. Som sædvanlig griber ingeniør Hansen til den letteste løsning, hvor han trækker et gammelt vandtårns projekt op, og beslutter sig hurtigt at det tidligere vandtårn, som var bygget for 35 år siden i Østbyen, med stor sikkerhed er godt nok til Snebakkebydelen. Men der er nogle yngre teknikker, som ser lidt skeptisk overfor Hansens vandtårns dimensioner. Især er det Orla von Thurnundtaxis der mener at dimensionerne ikke passer, fordi enhver ved en gennemsnitborger bruger 200 liter vand i døgnet, og at ingeniør Hansens vandtårn ikke kan rumme Snebakkebydelen vandforbrug engang for to døgn. Derfor går han i gang med anlægsarbejde til sit eget vandtårns projekt. I dette hjælper vi ham med hans beregninger og finder ud af om Orlas vandtårn kan rumme to døgns vandforbrug, hvis ikke, har vi så andre muligheder.

Jeg vil svar disse spørgsmål bedst mulig ved at bruge formler for pyramidestub, omdrejningslegemer osv.

Teori

Integralregning

Integralregning er den modsatte regningsart til differentialregning. Det vil sige at hvis nu man differentierer funktionen 󰇛󰇜 og man derefter har dens differentialkvotient, og så integrerer denne differentialkvotient, er man tilbage hvor man startede, nemlig ved 󰇛󰇜 Man integrerer efter samme principper som man differentierer.

Man har altid et sæt regneregler, som man bruger til at "omskrive" en funktion til en stamfunktion. Dette gøres delvist ved fastlagte regneregler, og delvist ved brug af integration ved substitution, partiel integration og andre brugevenlige regneregler.

Følgende regneregler for ubestemte integraler:  󰇛󰇜󰇛󰇜 hvis og kun hvis 󰇛󰇜󰇛󰇜. Følgende regneregler for bestemte integraler: Regneregler for integraler Jeg har valgt at tage beviset med både for integration ved substitution og partiel integration med, da jeg mener de er rimelig relevante, for mår man står overfor en integrationsopgave, kommer man nemt ud for dem begge dele.

Integration ved substitution Integration ved substitution er en metode til integration af sammensatte funktioner – herved man erstatter eller rettere sagt substituerer den indre funktion.