Vektorregning | SSO | Matematik A

Side 1

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

HF 2. år

1

Indhold

Du skal forklare, hvad en vektor er, og hvordan den kan angives med en pil eller et koordinatsæt. .............. 2 I. Grundbegreberne .................................................................................................................................. 2 Du skal vise, hvordan man regner med vektorer: addition, subtraktion og multiplikation med et tal ............. 4 I. Addition ................................................................................................................................................. 4 II. Eksempel på addition mellem to vektorer ............................................................................................ 5 III. Subtraktion ........................................................................................................................................ 6 IV. Eksempel på subtraktion ................................................................................................................... 7 V. Multiplikation med et tal. ...................................................................................................................... 8 VI. Regneregler for regning med vektorer .............................................................................................. 8 Skalarprodukt .................................................................................................................................................. 10 I. Definitionen af emnet ......................................................................................................................... 10 II. Eksempel på skalarprodukt ................................................................................................................. 10 III. Regneregler for skalarproduktet ..................................................................................................... 11 IV. Vinkler med skalarprodukt .............................................................................................................. 12 V. Eksempel med vinkler med skalarprodukt .......................................................................................... 14 VI. Eksempel 2 på vinkler med skalarprodukt ...................................................................................... 16 VII. Formlen for vektor Projektion ......................................................................................................... 19 VIII. Eksempel på projektion ................................................................................................................... 20 Vektorfunktioner ............................................................................................................................................. 21 I. Stedvektoren ....................................................................................................................................... 21 II. Hastighedvektoren .............................................................................................................................. 22 III. Accelerationsvektoren ..................................................................................................................... 22 Pålagte opgaver ............................................................................................................................................... 23 I. Opgave 1 .............................................................................................................................................. 23

a) Beregn 32ab⋅ − ⋅.......................................................................................................................... 23

b) Beregn vinklen mellem a og b ......................................................................................................... 24

c) Beregn projektion b_{a} HF 2. år

Opgave 2 ...................................................................................................................................................... 26

a) Bestem t så c og d er ortogonale ..................................................................................................... 26

b) Bestem t så c og b er parallelle ........................................................................................................ 26

Side 2

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

2

Opgave 3 ...................................................................................................................................................... 28 English summary:............................................................................................................................................. 31 Kildeliste .......................................................................................................................................................... 32 Underskrift ....................................................................................................................................................... 32 Indledning

I min opgave vil jeg forklare omkring hvad en vektor er. Samt hvordan man angiver den en pil eller et koordinatsæt. Ud over det vil jeg vise, hvordan man regner med vektorer, herunder addition, subtraktion og multiplikation med et tal. Endvidere vil jeg forklare om sammenhængen mellem skalarproduktet og vinklen mellem vektorer. Der under vil jeg også gøre rede for formlen for projektion, af en vektor på en egentlig vektor. Til sidst vil jeg forklare om vektor funktioner, herunder stedvektor, koordinatfunktioner, hastighedsvektor og accelerationvektor. Under alle emnerne vil jeg illustrerer de metoder jeg benytter mig af og give eksempler på dem.

Du skal forklare, hvad en vektor er, og hvordan den kan angives med en pil eller et koordinatsæt.

I. Grundbegreberne

Som udgangspunkt vil jeg benytte mig af parallelforskydning til behandling af vektor i min opgave. En parallelforskydning vises med en pil i et koordinat system, som viser retning og længde af parallelforskydningen. Hvis pilene har samme parallelforskydning vil man sige at de er ækvivalente, som betyder at de bliver forskudt lige langt.

Dette kan vises således →

Fælles betegnelsen for alle de pile der har samme parallelforskydning, er vektor. Hermed bliver en vektor et matematisk objekt, som har en retning og en længde. Dog er der ikke grund til at tale om bestemmelse af et begyndelsespunkt for en vektor. Når man skal vise en vektor kan man tegne en pil i et hvilket som helst begyndelsespunkt, denne pil kaldes for en repræsentant for den givende vektor. Når man skal bruge

en betegnelse for en vektor, benytter man sig ofte af et lille bogstav med_{v GP=}

en pil hen over, som a, u eller v

. Men bruger dog en anden betegnelse hvis det er for to punkter, den ligner dog den anden, hvis man for eksempel har punkterne G og P vil betegnelsen se således ud, som jeg også vil illustrerer i figuren til højre.

G

P

Side 3

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

3

Hvis 2 pile ser ud til at være ækvivalente kan man, når den føres over den anden, ved brug af en parallelforskydning. Så kan man bruge en repræsentant for en vektor, ved at vælge en

pil der starter i koordinatsystemets begyndelsespunkt, altså^{v}
(0,0) og så v QP=. Så vil man

kalde for en stedvektor for punktet P. Dette illustreres ved v en tegning i højre side.

Hvis man skal finde en vektors koordinater benytter man sig bare af de koordinater der er for et given punkt, som den er stedvektor til. For at kunne se forskel på koordinaterne til punkter og til vektoren skriver man ofte vektorens koordinater oven over hinanden, således: a

v =

b ( )

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Denne er altså stedvektor til punkter,Q a b, det

( ) forklares grafisk ude i højre side. ⎛⎞

Endvidere hvis en vektor har koordinaterne.

0

0

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ kaldes den for nulvektoren den bliver betegnet med samt

0

hvis 0v ≠, kalder man vektor v for en egentlig vektor.

Pile som repræsenterer samme vektor vil havde samme længde. Det vil kaldes for længden af vektoren. For eksempel hvis vektoren betegnes, som ville længden v af vektoren betegnes v. Så af Pythagoras’ sætning får vi:

      22
v a b=+

Grafisk fortolkning:

Q

P v

,Q a b b a a

v =

b

⎜⎟

⎝⎠

≠ dette tegn betyder ikke ligmed.

I dette tilfælde altså at vektor v ikke er ligmed vektor 0

( ),Q a b b a

 22
ab+

Side 4

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

4

I et koordinatsystem, her kaldes en vektor med længden 1 for en enheds vektor. De to enhedsvektorer er:

10

01

ij ==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Disse kaldes for koordinatsystemets basisvektorer.

De ser således ud i et koordinatsystem.

Du skal vise, hvordan man regner med vektorer: addition, subtraktion og multiplikation med et tal

Når man regner med vektorer er der 3 grundlæggende regneoperationer disse er addition af to vektorer

(lægge to vektorer sammen), subtraktion af to vektorer (at trække to vektorer fra hinanden) og multiplikation af en vektor med et tal. Disse regneoperationer defineres ved brug af vektorens koordinater.

I. Addition

Når man addere to vektorer kan man benytte følgende formel hvis vi lader vektorerne hedde:

⎛⎞ a_{1}
a_{2}
⎛⎞ b_{1}
b_{2}

a =

b =

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

Så finder vi at i 1

1 j

Side 5

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

⎝⎠ 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ab_{11}
ab_{22}

1 2 1 2

1 1 2 2

⎛⎞ ab_{11} +
ab_{22} +

a b a b i a b j + = + ⋅ + + ⋅ ( ) ( )

ab + = +

a b a i a j b i b j + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

ab +=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜⎟

⎝⎠

Fortolkning, jeg afsætter a og b som stedvektorer i et koordinatsystem nu kan jeg parallelforskyde vektor b efter vektor. Et punkt Q får så koordinaterne a

( ),a b a b++

1 1 2 2 det vil sige at summen af vektorerne og er diagonalen i det tegnede a b parallelogram, det vil sige at:

GQ a b=+

Ved at lægge summen af de to vektorer får vi en regel, som hedder parallelogramreglen.

Grafisk fortolkning i højre side.

II. Eksempel på addition mellem to vektorer

Vi får givet vektorerne a og b, deres koordinater er som givet:

5

2

3

6

a =

b =

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Vi addere dem og får:

( )

1 1 2 2

,Q a b a b++

G

( )_{12}

,bb

( )_{12},aa

ab+ a b

53

26

8

8

ab + = +

ab +=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛⎞

⎜⎟

Side 6

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

6

En grafisk fortolkning af additionen:

( ) 5 3,2 6Q ++

G

( ) 3,6

( ) 5,2 ab+ a b

Desuden bliver parallelogrammet i koordinatsættet ofte kaldt for kræfternes parallelogram.

III. Subtraktion

Når man subtrahere to vektorer kan man benytte følgende formel hvis vi lader vektorerne hedde:

⎛⎞ a_{1}
a_{2}
⎛⎞ b_{1}
b_{2}

a =

b =

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

Så finder vi at:

( )

a b a b i a b j − = − ⋅ − − ⋅ ( ) ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
  11

ab_{22}

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

⎛⎞_{11}
ab_{22} −

ab

ab − = −

a b a i a j b i b j − = ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

a b a i a j b i b j − = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

ab −

ab −=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜⎟

⎝⎠

Side 7

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

7

Vi afsætter vektorerne og til at havde samme begyndelses a b

punkt. Ved at gøre det får vi vektoren ab− den har begyndelses

punkt i endepunkt og endepunkt i endepunkt b a

En grafisk fortolkning: b

Som addition har subtraktion også en modsat vektor. Den måde vi definere dette på er ved at tage udgangspunkt i regning med reelle tal. Vi ved at der for reelle tal gælder at:

12 7 12 7− = + − ( )

Og på den måde har vi lavet en subtraktion om til en addition

Hvis vektoren 1aa− = − det er så den modsatte vektor til vektor og differensen mellem

( ) a ab− defineres som vektoren ab+−

( )

IV. Eksempel på subtraktion

Vi får givet vektorerne og, deres koordinater er som givet: a b

5

2

3

6

a =

b =

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Vi subtrahere dem og får: ab− a

53

26

2

− 4

ab − = −

ab −=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Side 8

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

8

En grafisk fortolkning af subtraktionen:

G

( ) 3,6

( ) 5,2 ab− a b

V. Multiplikation med et tal.

Ved multiplikation af en vektor med et tal defineres: ta

ta =

tb

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Vi ved nu at længden af ta er ta. Retningen af vektor ta bestemmes af værdien af t, hvis t>0 vil ta være ensrettet med og omvendt hvis t<0 vil ta være modsat rettet a a

Grafisk fortolkning i højre side

VI. Regneregler for regning med vektorer

Når man laver regning med vektorer er der en række regneregler. De minder meget om de regler man benytter sig af når man regner med reelle tal.

I sætningerne lader vi,a bog c alle være vektorer og s og t lader vi være reelle tal

1) 0aa+=

3a− a

2a a−

Side 9

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

9

Vi ved at nulvektoreren er lig med 0 vil den sætning bare være lig med a

2) 0aa+ − =

( )

Vi ved fra regnereglerne at der lige så godt kunne havde stået 0aa−= og derfor vil den sætning altid

give 0

3) a b c a b c+ + = + +

( ) ( )

Da det er en positiv parentes har det ingen betydning for leddenes fortegn da de alle vil forblive positive i dette tilfælde.

4) a b b a+ = +

Det har ingen betydning for i hvilken rækkefølge leddene kommer i, da begge er positive ville udfaldet altid være det samme.

5) s t a sa ta+ = +

( )

Her bliver vektoren multipliret ind på begge led. Derfor er det det samme der står på begge side af lighedstegnet.

6) s a b sa sb+ = +

( )

Igen bliver s multipliret ind i parentesen. Bevis således:

Vi antager at vektorer hedder:

⎛⎞ a_{1}
a_{2}
⎛⎞ b_{1}
b_{2}

a =

b =

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

Side 10

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

10

Så gælder følgende:

( )^{⎛⎞_{11}}_{⎝⎠}

     sa sb
    ⎛⎞
      11
( )
     sa sb
    ⎝⎠ 22

     sa sb
( )
     sa sb
      22

( )

ab_{22} +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{11}

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
  11

ab_{22}

s a b += vi ganger s ind på alle led

s a b + = + vi deler op i 2 paranteser

s a b s s + = + vi sætter igen udenfor paren tes

ab +

s a b s +=

ab

⎜⎟

+

⎜⎟

+

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

s a b sa sb+ = +

Skalarprodukt

I. Definitionen af emnet

Hvis vi har to vektor som vi lader hedde:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
  11

ab_{22}

ab

a og b =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Så er skalarproduktet af vektoren skrevet så ledes ab• hvilket kan defineres således:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ab_{11}
ab_{22}

1 1 2 2

ab • = •

a b a b a b • = ⋅ + ⋅

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

II. Eksempel på skalarprodukt

Side 11

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

11

Hvis vi er givet vektorerne:

10 7

52 −

a og b =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Kan vi regne os frem til at skalarprodukt for dem må se således ud:

ab • = ⋅ + ⋅ − 10 7 5 2 ( )

ab • = + − = 70 10 60 ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 10 7

52 −

ab • = •

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

⇓

Vi kan også se ud fra dette at skalarproduktet er et tal og ikke en vektor

III. Regneregler for skalarproduktet

Vi finder at for skalarproduktet er der en masse regneregler, disse kan formuleres i en sætning.

Regnereglerne er:

1) a b b a• = •

Da det er lige gyldigt hvilken rækkefølge vektorerne står i gælder denne sætning

2) a b c a b a c• + = • + •

( )

Her lader man vektor a gå ind på begge led og der efter kan man addere skalarproduktet af og ab• ac•

3) ta b t a b• = •

( ) ( )

Der kommer et bevis på denne sætning længere nede der vil vise hvad der sker

           2
4) a a a•=

Her kan vi se at skalarproduktet mellem den samme vektor er bare længden af den originale vektor i anden.

Bevis på sætning 3

Side 12

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

12

Vi lader vektorerne hedde:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
  11

ab_{22}

ab

a og b =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Og selve beviset

( ) ( ) ( ) ta b ta b ta b • = +

( ) ( ) ta b t a b a b • = + her kan vi se at t er uden for parantes og inden i den er et originat skalarprodukt

( ) ta b t a b • = •

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

IV. Vinkler med skalarprodukt

Vi kan nu med de informationer vi har omkring skalarproduktet udlede nogle vigtige formler der vil vise, hvorledes at skalarproduktet kan udtrykkes ved vinklen mellem to vektorer. Vi betragter først to enhedvektorer, vektorerne og b samt betragter vi a også ’s tværvektor. Desuden vil drejningsvinklen a

ˆ a mellem de to vektorer betegnes som v i den grafiske fortolkning til højre.

Ved en definition af cosinus og sinus følger at opløsningen af ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ aa_{12} −

vektorerne b efter og tværvektor er: a

ˆ a

( ) cos sinb v a v a=+ ( ) ( ) ( )^{ˆ}
Samt ved vi at for enhver vektor gælder at 0aa•=

ˆ

Bevis i højre side.

Ved brug af disse informationer og sætningerne finder vi så frem til at:

For cosinus: a b

ˆ a

  ˆ
a a a a a a • = ⋅ − + ⋅ ( )

aa_{21}

1 2 2 1

ˆ

Så finder viat:

ˆ

aa •= 0

a og a =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Side 13

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

13

a b v a v a a • = + • ( ) cos sin ( )^{2} ( ) ( )
( )^{ˆ}

a b v •= cos ( )

Vi kan se at skalarproduktet mellem vektor a og b vil altså give vinklen v, hvis man tager cosinus til den vinkel.

Og for sinus:

                   2
ˆˆ
a b v a a v a • = • + cos sin ( ) ( )
    ( )       ( )

( )

ˆ
a b v •= sin ( )

Vi kan se at skalarproduktet mellem vektor

ˆ a og b vil altså give vinklen v, hvis man tager sinus til den vinkel.

Nu kan vi så bevise følgende:

At hvis vi lader a og b være vektorer og igen v være drejningsvinklen mellem disse to så kan vi komme frem til følgende sætninger:

1) cos v =
( )^{ab}_{ab}^{•}

og

2) sin v =
( )^{ab}^{ˆ}_{ab}^{•}

Vi kan nu se fra sætning 1 at hvis multipler længderne af vektorerne på begge sider at lighedstegnet får vi

cosa b a b v•= ( )

Vi kan nu se en lighed fra vores første definition af skalarproduktet som var:

1 1 2 2

a b a b a b• = ⋅ + ⋅

At disse to sætninger vil give det samme resultat.

Side 14

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

14

I definitionen cosa b a b v•= beviser vi også at skalarproduktet ikke afhænger at koordinater, men af

( ) længden af vektorerne, samt af vinklen mellem disse. Så hvis man drejere de to vektorer i samme vinkel i forhold til koordinat systemet, vil det ikke havde nogen indflydelse på skalarproduktet. Man siger derfor, at skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet.

Så ud fra definitionen før kan vi udlede følgende sammenhæng mellem skalarproduktets fortegn og vinklen mellem de to vektorer.

Vi lader og være vektorer og v for vinklen mellem disse a b

Sætningerne ser således ud:

1) ab •> 0

0 90 ≤ < ° v

Vi kan se at for at skalarproduktet skal være større end 0 skal vinklen v være større eller ligmed 0 og mindre end

90°

2)

ab •= 0

v =° 90

Her kan vi se at hvis vinklen v er 90 grader vil skalarproduktet være ligmed 0

3) ab •< 0

90 180 ° < ≤ ° v

Vi kan se i denne sætning, at hvis skalarproduktet skal være mindre end 0, skal vinklen v være større end 90 grader og mindre eller ligmed 180 grader.

Endvidere kan vi se i sætningen, at hvis to vektorers skalarprodukt er ligmed 0, vil de være ortogonale og kun hvis skalarproduktet er 0. Det betyder at de er vinkelret på hinanden hvilket også står i sætning 2 da 90 grader er vinkelret.

V. Eksempel med vinkler med skalarprodukt

Grafisk fortolkning:

Side 15

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

15

⎛⎞ 2

4

b =

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞ 5

1

a =

⎜⎟

⎝⎠

?v =

Skalarproduktet:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 52

14

ab • = ⋅ + ⋅ = 5 2 1 4 14

ab • = •

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

Da skalarproduktet er over 0 kan vi se at vinklen skal være større eller ligmed 0 men også være mindre end

90 grader. Kan vi dog også se ud fra tegningen.

Længderne:

      22
a = + = 5 1 26

      22
b = + = 2 4 20

Vinklen v må der udregnes således:

Side 16

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

16

a b V a b ⋅ = • cos

cos V =

14

cos V =

26 20 ⋅

V =° 52,13

ab • ab ⋅

⇓

⇓

⇓

Konklusion: Vi har fundet frem til at vinklen v må være 52.13 grader.

VI. Eksempel 2 på vinkler med skalarprodukt

Grafisk fortolkning:

?v =

( ) 3,9C

( ) 1,2A

( ) 7,4B

?w =

?u =

Her har vi ikke længderne på vektorerne eller vektorernes koordinater så dem må vi beregne først:

Side 17

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

17

Vektor

AB

       22
AB = + = 6 2 40

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 1 6 −

4 2 2 −

AB ==

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

Vektor AC

        22
AC  = + = 2 7 53

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 2 −

9 2 7 −

AC ==

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

Nu har vi to vektorer, kan vi beregne den ene vinkel ved først at tage skalarproduktet og derefter finde vinklen

Skalarprodukt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 62

27

AB AC • = ⋅ + ⋅ 6 2 2 7

AB AC •= 26

AB AC • = •

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

⇓

Vinkel V

cos V =

26

cos V =

40 53 ⋅

V =° 55,62

AB AC •

AB AC •

⇓

⇓

Vider til næste vinkel. Proceduren er den samme bare med andre vektorer

Side 18

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

18

Vektor

CB

          2
      2
CB = + − = 4 5 41 ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 3 4 −

4 9 5 −−

CB ==

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

Vektor

CA

        22
CA = − + − = ( ) ( ) 2 7 53

⎛⎞ − 2
− 7

CA AC = − =

⎜⎟

⎝⎠

⇓

Skalarprodukt

CA CB • = − ⋅ + − ⋅ − ( ) ( ) ( ) 2 4 7 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − 24
−− 75

CA CB •= 27

CA CB • = •

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

⇓

Vinkel W

cos W =

27

cos W =

53 41 ⋅

W =° 54,51

CA CB •

CA CB •

⇓

⇓

Nu da vi har 2 af de 3 vinkler behøver vi ikke at lave beregninger til den sidste, da vi ved at vinkelsummen i en trekant er 180 grader, kan vi bare trække de to andre fra 180, og så vil vi få hvad den sidste vinkel er:

Side 19

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

19

U V W = ° − − 180

U =° 69,78

⇓

VII. Formlen for vektor Projektion

Grafisk fortolkning:

Man opløser derefter i komposanter og finder frem til as er a ' projektion på b b b

a a c =+

hvor

Vi indser nu at: b

a x b=⋅

Vi kan nu udlede x og den udledning ser således ud:

a b x b • = ⋅ •^{22} da b b= b

b^{2}

a b x b c b • = ⋅ + • ()

a b x b b c b • = ⋅ • + • ⊥ ( ) 0 da c b

a a c =+
    b

a x b c = ⋅ +

ab •

x =

⇓

⇓

⇓

⇓

⇓ a b b a c

Side 20

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

20

Ud fra dette kan vi så konkludere at:

a_{b} =⋅ b
b^{2}

man beregner a's projekion på b ved: ab •

VIII. Eksempel på projektion

Grafisk fortolkning: b a c

2

3

a =

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

4

1

b =

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ skalarprodukt

24

31

ab • = ⋅ + ⋅ = 2 4 3 1 11

ab • = •

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓ længde

2

 22
4 1 17b = + =

Side 21

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

21

Vi kan derfor konkludere at:

b^{2}

4

11 ⎛⎞

17 1

44

17

11

⎝⎠ 17

ab_{b} =⋅

a_{b} =⋅

a_{b} = ⎜⎟

ab •

⇓

⎜⎟

⎝⎠

⇓

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

Vektorfunktioner

I fysik de bevægelser man beskæftiger sig med der kan man tilnærmelses vis beskrive, som bevægelser i et plan. Genstande som for eksempel en raket, dens bevægelser vil ofte ske i et lodret plan. Endvidere kan man også beskrive den bevægelse som jorden laver når der rotere rund om solen, at være tilnærmelses vis i en plan.

I. Stedvektoren

En stedvektor ()ft er en vektor, hvis koordinater er en funktion af en parameter.t Denne parameter kan man i de fleste tilfælde opfatte som tiden målt i sekunder, og det letter en del på forståelsen.

Koordinaterne til ()ft beregner man med koordinatfunktioner ( ) og ( )x t y t: xt ()

ft () =

yt ()

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Udtrykket ovenfor kaldes for en parameterfremstilling.

Når parameteren t ændrer sig, så vil spidsen af ()ft gennemløbe en kurve i koordinatsystemet, og denne kurve kaldes for banekurven.

( ) rt

Side 22

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

22

II. Hastighedvektoren

Hastighedsvektoren ()vt fremkommer ved, at man differentierer stedvektoren ()ft med hensyn til parameteren: t

v t f t ( ) ( ) =

vt () xt ′ ()

vt () ==
vt_{y} () yt ′ ()

⎛⎞_{x} ⎛⎞

′

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

Man går altså ind og differentierer hver koordinatfunktion for sig med hensyn til parameteren.

t

Hastighedsvektoren ()vt er tangentvektor til banekurven.

Man kan regne længden ud af

()vt

, denne kan man kalde for farten

()vt og gøres således:

v t v t v t=+ ( ) ( ) ( )^{22}_{xy}

III. Accelerationsvektoren

Accelerationsvektoren ()at fremkommer ved, at man differentierer hastighedsvektoren ()vt med hensyn til parameteren t:

a t v t ( ) ( ) =

a t v t ( ) ( )

at () ==
at_{y} ()
⎝⎠ vt_{y} ()

⎛⎞_{xx}

′

⎛⎞

′

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟ ′

⎝⎠

Det vil sige at hvis vi skal lave en fortolkning af accelerationsvektoren:

Accelerationsvektoren ()at beskriver, hvordan hastighedsvektoren ()vt ændrer sig. Det vil sige, at hvis

man har en hastighedsvektor_{1} ()v v t= til tidspunktet t og en anden hastighedsvektor_{2} ()v v t dt=+ til et
infinitisimalt senere tidspunkt t dt+, så vil vektorforskellen være givet ved :

21

()v v a t dt− = ⋅

Hvilket kan illustreres således:

Side 23

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

23

v_{2}

v_{1}

()a t dt⋅

Pålagte opgaver

I. Opgave 1

Der er givet to vektorer, de er givet ved:

21

− 34

a og b ==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Beregn 32ab⋅ − ⋅

Beregning i mathcad:

Fortolkning i højre side

a:= b:=

⎛^{2} ⎞ ⎛^{1} ⎞
⎜_{3−} ⎟ ⎜_{4} ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 a⋅ 2 b⋅− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛^{4} ⎞
⎜_{17−} ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞
  11

ab_{22}

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 32 ab_{11}
32 ab_{22}

⎛⎞ 32 ab_{11} −
32 ab_{21} −

32 ⋅ − ⋅ ab

32 ⋅ − ⋅

ab

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜⎟

⎝⎠

Side 24

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

24

b) Beregn vinklen mellem a og b

Skalarproduktet:

ab • = ⋅ + − ⋅ = − 2 1 3 4 10 ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 21

− 34

ab • = •

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

Vi kan se da skalarproduktet er mindre end 0 skal vinklen v være større end 90 grader og mindre eller ligmed 180 grader.

Længderne:

         2
    2
a = + − = 2 3 13 ( )

      22
b = + = 1 4 16

Nu kan vi regne vinklen ud mellem de to vektorer

a b V a b ⋅ = • cos

cos V =

− 10
cos V =

13 16 ⋅ ab • ab ⋅

⇓

⇓

Vi kan regne ud i mathcad at

Vinklen er 133.898; og det var mellem det interval den skulle være som var mellem 90 og 180 grader.

v acos:=

10−

⎜_{13 16⋅} ⎟

⎛ ⎞

⎝ ⎠

v 133.898deg=

Side 25

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

25

c) Beregn projektion af b på a a b skalarprodukt

ab • = ⋅ + − ⋅ = − 2 1 3 4 10 ( )

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 21

− 34

ab • = •

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓ længde

      2
 2
2 3 13a = + − = ( )

2 i kan derfor konkludere at:

ba_{a} =⋅_{2}

2

− 10 ⎛⎞
13 − 3

b_{a} =⋅

ab • a

⇓

⎜⎟

⎝⎠

Vi regner ud i mathcad at det må være:

Konklusion: Projektionen må være:

− 1.538

2.308

b_{a} =

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ b a

10

13

−

2

3−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:=

b =

a

⎛^{1.538−} ⎞
⎜_{2.308} ⎟

⎝ ⎠

Side 26

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

26

Opgave 2

Der er givet to vektorer, de er givet ved:

32 −

2 t

c og d ==, hvor tR∈

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Hvilket betyder at t er et reelt tal

a) Bestem t så c og d er ortogonale

Vi ved, at for at vektorerne skal være ortogonale, skal skalarproduktet være 0, så derfor kan vi sætte en ligning op der ser således ud:

0 3 2 2 t= ⋅ − + ⋅ ( )

Nu kan vi bruge mathcad til at regne ud hvad t er:

Så hvis vektorerne skal være ortogonale skal vektorernes koordinator være:

32 −

23

c og d ==

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Bestem t så c og b er parallelle

Til dette kan man benytte sig af vektordertiminanten så først vil jeg lige forklare lidt omkring denne:

Grafisk fortolkning:

⎛⎞_{1}
b_{2}

b

a b =

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞_{1}
a_{2}

a

a =

⎜⎟

⎝⎠

ˆ

0 3 2−( ) 2 t⋅+ solve t, 3→

Side 27

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

27

Sådan ser vektordertiminanten ud

( )^{ˆ}

    − ab
( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
    ab
     12

( )

( )

( )^{ab_{11}}_{ab_{22}}

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{21}

2 1 1 2

1 2 2 1

DET a b a b, =•

DET a b, =•

DET a b a b a b, = − ⋅ + ⋅

DET a b a b a b, = ⋅ − ⋅

DET a b, =

⇓

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

⇓

⇓

Nu kan vi regne opgaven ud.

Fordi vi ved at hvis vektorerne skal være parallelle skal vektordertiminanten give 0.

3

2

− 2

bestemt såc d ||

c =

d =

t

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ snedig analyse: cd ||

DET c d ( , ) 0 =

32 −

= 0

2 t

Derfor må det blive:

3t 2 2−( )− 0 solve t, −→ 1.333−=

4

3

Side 28

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

28

Derfor hvis vektorerne skal være parallelle, skal vektorerne koordinater hedde:

− 2

3

3

2 −

⎝⎠ 4

c og d ==

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Opgave 3

En vektorfunktion er givet ved parameterfremstillingen

r t t R^{−}_{−} ( ) =∈^{⎛⎞}_{⎝⎠}_{22}^{t^{2}}_{tt},
⎜⎟_{2}

1

Definitionsmængde

Når man skal bestemme definitionsmængden DM , så skal man bruge følgende regler :

a) Man må ikke dividere med 0.

b) Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal

c) Man kan kun tage logaritmen til et positivt tal.

Vi indser derfor, at

( ( ))DM r t R=

Bestem banekurvens skæringspunkter

Skæring med y-aksen

t^{2} −= 10

t^{2} = 1

xt ( ) 0 =

− 1
+ 1

t =

⎧

⎨

⎩

Det vil at altså:

Side 29

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

29

      2
yP ( ) ( ) 1 2 1 2 1 0 0,0 = ⋅ − ⋅ = =

yP ( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ − − ⋅ − = = 1 2 1 2 1 4 0,4^{2}

1

2

Det er altså punkterne hvor kurven vil skære y-aksen

Skæring med x-aksen

2 1 0 tt ( ) −=

2 2 0 tt^{2} −=

yx ( ) 0 =

tt = ∨ = − 01

Så punkterne den må skære x-aksen må altså hedde

P_{3} = 0,0

P_{4} =− 1,0

og

Og vi kan se fra en grafisk fortolkning at dette stemmer over ens

x t( ) t 1−:=

2

y t( ) 2t 2t−:=

2

0 5 10

2−

2

4 y t( ) x t( )

Side 30

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

30

Lodrette og vandrette tangenter:

Først skal vi finde Differentialkvotienten af

      2
    ⎛⎞ t
rt ( ) =
     22 tt
    ⎝⎠

⎜⎟_{2}

− 1

−

Først af ()xt

xt ´( ) 0 =

20 t =

2 t

= 0

2

t = 0

Så af yt

( )

yt ´0 ( ) =

4 2 0 t −=

42 t =

42 t

44

t = 0.5

=

Så vi kan se der er både lodret og vandret tangent da begge kan give 0

De punkter de lægger i er:

For den lodret er der:

       2
    ⎛⎞ 01 −
r ( ) ( ) 0 1,0 = = −
     20 0 − t
    ⎝⎠

⎜⎟_{2}

Så den lodrette vil lægge i 1,0−

( )

Side 31

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

31

Og den vandrette vil lægge i :

            2
     ⎛⎞
         0.5 1 −
r ( ) 0.5 0.75, 0.5 ( )
          2
     ⎜⎟
           −

( )

2 0.5 2 0.5 ( ) ( )

= = − − ⎜⎟

⎝⎠

Og på grafen vil det se nogenlunde sådan ud:

English summary:

In this report, I will try to explain some of the fundamentals behind vectors. For starters I try to explain some of the fundamental principles behind vectors. During this I will explain how one shows a vector as an arrow or a co-ordinate set. After that I will explain how you calculate with vectors, meaning addition, subtraction and multiplication with one number. Furthermore stat the coherence between the scalar product and the angle between vectors, together with the formula for projection of a vector on to a actual vector. Last I will explain vector functions including the stedvector, co-ordinate functions, the speed vector and the acceleration vector. During all the subjects am I going to show some examples, and illustrate the methods I have used. The very last thing I have done are some exorcises, that were given to me by my supervisor. It was up to me have I wanted to integrate them in to my report, therefore have I chosen, that they are the last thing.

Side 32

Fag: Matematik (SSO) Klasse: 2Q Frederiksborg Gym og HF

32

Kildeliste

Bog

1. Matematik for MF Geometri, forlaget trip

- Sider benyttet sig af :

- side fra start side 7 til midt side 10

- side 16 til 22

- side 29 til slut 31

- side 36 til 42

Illustrationer

- Alle har jeg selv tegnet i programmet Visio

Formler

- Skrevet ind i et program det hedder Mathtype 5.0b og udregninger er lavet i Mathcad 14

Underskrift

NICHLAS SCHOU ELLKILDE _____________________________________