Approksimation af irrationelle funktioner og Taylors formel | Matematik A

Side 1

HHX 3. år

HH3e Matematik

Approksimationer af irrationelle funktioner

Større Skriftlig opgave på Viborg Handelsskole

HHX 3. år

Februar 2007

Indholdsfortegnelse

Indledning ............................................................................................................................................ 1 Historien om Taylor ............................................................................................................................. 1 Redegørelse for approksimerende polynomier .................................................................................... 2 Beskrivelse af Taylors formel .............................................................................................................. 3 Bevis for Taylors formel ...................................................................................................................... 6 Bevis for restleddet ............................................................................................................................ 10 Taylor udvikling af sin(x) .................................................................................................................. 14 Konklusion ......................................................................................................................................... 19 Kildefortegnelse ................................................................................................................................. 20

Side 2

HH3e Matematik

1

Indledning

Denne opgave har hovedemnet approksimation af irrationelle funktioner, herunder har jeg valgt at koncentrere mig om Taylors formel. Jeg vil i opgaven komme kort ind på den grundlæggende historie omkring Taylors formel og hvilke ting der lå til grund for dens udvikling. Jeg vil fortrinsvis forklare hvad der forstås ved approksimerende polynomier med henblik på Taylors formel, jeg vil derefter forklare hvilke elementer Taylors formel består af og hvilke funktioner de har. Derefter vil jeg føre et bevis for Taylors formel og afslutningsvis benytte formlen til at lave en tilnærmelse af funktionen sin(x).

Historien om Taylor

Brook Taylor var en britisk matematiker som blev født 18. August 1685 i Edmonton, Middlesex, England og døde den 29. december 1731 i London. Taylor blev født ind i en rig og dannet familie, hvilket gav ham gode muligheder for at udforske hans musiske og kunstneriske interesser, som senere udspandt sig i en matematisk karriere, med inspiration fra hans tidligere interesser. Taylor blev undervist hjemme indtil han i 1701 blev optaget på, St. John's College, Cambridge hvor han i

1709 fik en bachelor og i 1714 en doktorgrad i jura. Men det er ikke bekendt at Taylor nogensinde har arbejdet som advokat.

Taylors store værk er den berømte Taylors formel som blev offentliggjort i 1714 i hans bog

”Taylors Methodus Incrementorum Directa et Inversa”^{1}, som betyder, direkte og indirekte metoder

for tilvækst.

For at forstå hvad der ligger til grund for Taylors teori, skal man forstå den samtid, hvori han udviklede sine teorier. I 1700 tallet var der stor fokus på naturvidenskabens beskrivelse af naturen ved hjælp af matematiske beregninger og forklaringer. Taylor og flere andre matematikere kom også med deres bud på problematikken. Taylor diskuterede blandt andet med Newton, Leibniz, Kepler, og Bernoulli som også var store matematikere dengang. Et eksempel derpå var, at Taylor udførte et bevis for Keplers anden lov om planeters bevægelser [2]. Taylor udgav fra 1712 til 1724

1

http://www.answers.com/topic/brook-taylor

2

http://www.kb.dk/udstillinger/astroweb/verdensbilleder/keplerlaws.html

Side 3

HH3e Matematik

2

13 artikler om emner så forskellige som; magnetisme, termometre og bevægelser i væsker [3]. Taylor har selv sagt, at han fik sin inspiration til Taylors formel ud fra en diskussion på et kaffehus, hvor han snakkede med matematikeren Machin. Machin kommenterede på brugen af, hvordan Newtons formler blev brugt til at løse Keplers problemer omkring beskrivelse af planeters bevægelser i solsystemet og hvordan Dr. Halley havde opfundet metoder til beregning af rødder og polynomier.

Dette gav Taylor ideen til, hvordan man approksimerer en funktion, men han var ikke den eneste der forsøgte dette. Flere matematikere, deriblandt Newton og Kepler, var samtidigt med Taylor inde på noget af det samme.

Taylor offentliggjorde sin formel allerede i 1714, men vigtigheden af den blev først anerkendt i

1772 da Lagrange gjorde Taylors formel til det fundamentale element i differentialregning.

Taylor viste med udgivelsen af sine resultater en ny gren af matematikken. [4]

Redegørelse for approksimerende polynomier

Hvis man slår approksimativ op i Nudansk ordbog [5] bliver ordet beskrevet således. ”Omtrentlig, man kan ikke give en nøjagtig men en approksimativ datering”. Hvilket også kan skrives som en tilnærmelse. Hvis man approksimerer en funktion vil det sige, at man tilnærmer funktionen. Ved en tilnærmelse forstås, at man ved hjælp af beregninger forsøger at finde en substitut til en given funktion, som ligger så nær den oprindelige funktion, at man kan bruge værdierne fra substitutten i stedet for værdierne fra den oprindelige funktion. Grunden til at man i mange tilfælde vælger at approksimere en funktion er, at det kan være meget omfattende at udregne en funktionsværdi. Tag for eksempel funktionen cos(2). Det vil være meget omfattende at finde frem til dens værdi, i stedet

kan man erstatte funktionen med et Taylor polynomium P_{n})2( og dermed opnå en meget lettere
beregning. At finde P_{n})2( gøres ved at sætte 2 ind på x´s plads i en Taylor-række, hvilket gør at

man får banale regnestykker. En af ulemperne ved at bruge værdier fra en Taylor-række i stedet for den oprindelige funktion er, at der altid vil være en unøjagtighed når man tilnærmer sig en funktion.

Denne unøjagtighed bliver man nødt til at tage højde for, ved at man laver en tilnærmelse der er så præcis at unøjagtigheden bliver så lille, at den praktisk talt ikke har nogen indflydelse på resultatet.

3

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

4

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html

5

Politikens Nu Dansk ordbog 1. udgave 1999 ISBN: 7-6

Side 4

HH3e Matematik

3

Et eksempel på brugen af approksimerende polynomier i praksis er for eksempel en i lommeregner eller en computer. Når en computer skal beregne en værdi ud fra en irrationel funktion bruger den også approksimerende polynomier. Det er ikke det letteste, men det er den eneste måde man kan gøre det på. Alternativet ville være at lægge en tabel ind på computeren med alle tallene, men problemet er, at man ikke i forvejen ved hvilke værdier man skulle bruge. Det vil sige at der er uendeligt mange værdier og tabellen vil derfor komme til at fylde uendeligt meget. Det er derfor meget lettere, mere tidsbesparende, mere pladsbesparende og hurtigere at få computeren til at lave en tilnærmelse af den givne funktion inden for et givet interval med en vis acceptabel unøjagtighed.

Således bliver approksimerende polynomier blandt andet brugt i praksis.

Beskrivelse af Taylors formel

Taylors formel er givet ved

fxf)0()( ⋅+= f ′)0( ⋅+ f ′′)0( ⋅+ f ′′′)0( f^{4}.........)0( f^{n})0( +⋅++⋅+ ⋅ f^{n}^{+})(
!1!2!3!4 n! n +)!1(

)1(

)1(

x x x x^{432} x^{n} x^{n}^{+}

θ

Taylors formel består af to dele. Den første del som tilnærmer sig en given funktion og den sidste del som er restledet. Restleddet er et udtryk for den unøjagtighed der opstår, når man tilnærmer en funktion. Jeg vil nu se nærmere på den første del.

Hvis man ser på det første led

)0(f

, er det et udtryk for funktionen

)(xf i forhold til nul, hvilket er bestemmende for det udviklingspunkt, hvorfra man vil lave sin tilnærmelse. Udviklingspunktet er det sted på x-aksen hvor man vil lave sin tilnærmelse. Hvis jeg bruger 0 som udviklingspunkt

betyder det at mit Taylor polynomium vil tage udgangspunkt i x = 0 og derfor tilnærme sig)(xf

omkring nul. Hvis man bruger eksemplet sin(x) vil kurven, afhængig af, hvor mange led man

medtager, starte i x = 0 og udvikle sig mod ∞±. At bruge 0 som udviklingspunkt er kun en god

idé, hvis den værdi man skal beregne også ligger omkring nul. Jo tættere udviklingspunktet ligger op af den ønskede funktionsværdi, des bedre bliver tilnærmelsen. Det vil altså sige, at hvis man skal finde en værdi til en funktion og skal bruge værdien

)100(P er det en god idé at bruge et udviklingspunkt omkring 100, da man dermed kan nøjes med kun at medtage et mindre antal led i forhold til at bruge udviklingspunktet 0. Bruger man 0 som udviklingspunkt skal man medtage mange led for at få et Taylor polynomium, der strækker sig helt ud til 100. Udviklingspunktet går

Side 5

HH3e Matematik

4 igen i alle led af Taylors formel, hvilket de gør fordi alle led naturligvis skal udvikle sig omkring samme punkt. I denne opgave vil jeg kun bruge 0 som udviklingspunkt.

Det første led i Taylors formel

)0(f

, er en konstant og vil derfor kun have et punkt tilfælles med

den funktion man approksimerer. I mit tilfælde hvor jeg senere skal approksimere)sin()( xxf =
bliver 0)( =xf og har derfor ikke nogen relevans.

Det næste led i Taylors formel

)0(

!1 f x

′

⋅ er en førstegradsligning, hvilket betyder at ledet bliver en

tangent som tangerer)(xf i 0=x. Det betyder at den kun tilnærmer sig)(xf i et meget lille

interval omkring 0 og giver derfor en meget dårlig tilnærmelse, hvis man for eksempel skal bruge værdier længere ude af x-aksen.

Det tredje led ⋅ f ′′)0( er en andengradsligning, hvilket betyder at det bliver en parabel. Parablen

!2

x^{2}

tilnærmer sig også)(xf omkring 0 men gør det bedre i et større interval end tangenten gjorde.

Tangenten havde kun et lille interval med en lille unøjagtighed indenfor, f.eks. [ ] 01,0;01.0− hvor
parablen har et interval på f.eks. [ ] 1,0;1.0− med samme unøjagtighed.

Det fjerde led ⋅ f ′′′)0( er en tredjegradsligning, hvilket betyder at den tilnærmer sig en anelse

!3

x^{3}

bedre end det foregående led. Ud fra beskrivelsen af de første fire led kan man konkludere at jo flere led man medtager des bedre bliver tilnærmelsen. Summerer man alle leddene vil man ende med et polynomium som tilnærmer sig)(xf.)(xP bliver en substitut for)(xf indenfor et givet interval.

Jeg vil nu se nærmere på anden del af Taylors formel.

Restleddet er givet ved:

R_{n} = ⋅ f^{n}^{+})(
n +)!1(

)1(

)1( θ

x^{n}^{+}

Restledet er som beskrevet, den unøjagtighed der opstår når man prøver at sætte en næsten identisk funktion i stedet for en anden. Når man approksimerer en funktion vil man aldrig kunne få

Side 6

HH3e Matematik

5 substitutten til at stemme hundrede procent overens med den oprindelige funktion og der vil derfor

altid opstå en difference)()( xPxfR −=. Denne difference er lig med den unøjagtighed der opstår

og er derfor en vigtig faktor, da det er den der viser, hvor præcis en approksimation man har lavet.

Derfor er det meget vigtigt at kunne udregne restleddet for at kunne kontollere om ens tilnærmelse opfylder de krav man har opsat omkring nøjagtighed. Restledet ændres i takt med, hvor mange led man medtager i sin Taylor-række. For eksempel hvis man har en Taylor-række af 10´ende orden vil

resteleddet lyde R_{n} ⋅= f^{11})(. Tegnet teta)( er et tal mellem to grænser, som jeg definerer

!11

x^{11}

θ θ senere i mit bevis. Pointen hermed er, at teta aldrig kan blive større end den øvre grænse, så afhængig af, hvad den øvre grænse er, varierer teta fra Taylor-række til Taylor-række. Der kan også være andre grænser der kan spille ind. I mit eksempel sidst i opgaven regner jeg med Sin(x). Jeg

ved at Sin(x) aldrig kan blive større end 1 og jeg kan derfor uden videre sætte f^{11} = 1)(.

θ

Når man skal beregne en Taylor-række, har man på forhånd valgt et interval man vil arbejde indenfor.

I dette interval laver man en Taylor udvikling med en ønsket nøjagtighed.

Når man beregner et restled beregner man ikke den eksakte fejl for et givet punkt, men den maksimale fejl inden for et givet interval. Det vil altså sige at hvis man arbejder i intervallet [ ],0 π

Beregner man restledet for hvilket for sin(x) vil se sådan ud R_{n} =⋅=

π

!11

11 π

Det betyder at en Taylor udvikling af 10. orden i intervallet

[ ] π

,0 minimum vil være på 2 decimalers nøjagtighed, det kan man se ud fra antallet af nuller efter kommaet, altså differencen mellem)()( xPogxf, som i dette tilfælde stemmer overens ned til og med anden decimal. Den unøjagtighed der er beregnet er altså den maksimale unøjagtighed i intervallet [ ],0. Beregner man π værdier tættere på nul, f. eks inde ved

4 π vil nøjagtigheden være mere præcis, hvilket også hurtigt

kan vises ud fra endnu en beregning af restleddet R_{n} = =⋅ 18,01

!11

4

⎛ ⎞^{11}

⎜ ⎟

⎝ ⎠ π

Hermed er Taylors formel forklaret og jeg vil nu komme med et bevis på Taylors formel med restled.

Side 7

HH3e Matematik

6

Bevis for Taylors formel

Beviset tager udgangspunkt i Integrationsprøven

∫^{′}

=)()( tfdttf

∫^{b}

−= aFbFdttf )()()(

a

Hvilket kan omskrives til:

∫^{′}

   b
=−     dttfafbf )()()(
  a

Vi indsætter nu nedre grænse til a = 0 og øvre grænse til b = x
∫^{′}

   x
=−    )()0()( dttffxf
  0

Jeg laver nu en substitution der hedder

uxt −=

Ved differentiation fås

1−=

du dt

Hvilket kan omskrives til.

dudt ⋅−= 1

Da jeg nu har substitueret med hensyn til u, skal der udregnes nye integrationsgrænser da de ovenstående grænser ikke længere er gældende da de var af hensyn til t.

Nedre Grænse xuuxt =⇔−=⇔=→ 00
Øvre Grænse 0=⇔−=⇔=→ uuxxxt

Side 8

HH3e Matematik

7

dudt ⋅−= 1 Indsættes samt de nye grænser for t.

   0
=−          −⋅− )1()()0()( duuxffxf
  x

∫^{′}

Herefter vender jeg grænserne, hvilket medfører at der sker en fortegnsændring

Da:

∫^{b}

−= aFbFdttf )()()(

a

−+−⇔−=))()(()()()( bFaFbFaFdttf
∫^{a}

b

Hvilket derfor giver.

Nu har jeg fået et integral som skal løses ved hjælp af partiel integration. Hvilket jeg gør på følgende måde, ud fra denne formel.

[ ] ′ dttftGtftGdttgtf )()()()()()(

∫∫^{b}^{⋅−⋅=⋅}

a a b a b

[ ] ⋅=− ′ ′′ −⋅−)1()()()0()( duuxfuuxfufxf
∫^{x}^{⋅−−}

x

0

0

Grunden til at ′)(tf = ′′ uxf)1()( −⋅− er fordi ′)( uxf − er en sammensat funktion og skal derfor

differentieres efter reglen for sammensatte funktioner som lyder: ′ ⋅ ′)())(( tgtgf

Jeg udregner nu første led, som opstod da jeg differentierede, indenfor intervallet [ ] x,0 hvilket jeg gør ud fra følgende formel.

⋅−−=− ′ ⎜ ⋅−−=− ′ − ⎟)(1)(1)(1)0()( duuxfduuxfduuxffxf

 xxx
  ⋅= ′ −
∫∫∫

⎝ ⎠

⎛ ⎞

000

′ = ′′ uxftf −⋅−)1()()(

= ′ − uxftf)()(
)( = utG

tg = 1)(

′ −)(1 duuxf
∫^{x}^{⋅}

0

Side 9

HH3e Matematik

8

∫^{b}

−= aFbFdttf )()()(

a

∫^{x}^{⋅+}

∫^{x}^{⋅+−}
⋅=− ′ ′′ −)()0()0()( duuxfufxfxf

⋅=− ′ ⋅−− ′ ′′ −)())0(0())(()0()( duuxfuxfxxfxfxf

0

0

Jeg har nu udregnet det første led og har dermed fået et nyt udtryk, hvilket også er det første led i en Taylor-række. Jeg vil nu igen, på tilsvarende måde som i det ovenstående, udregne integralet og det tilhørende led, med hensyn til grænserne [ ] x,0

1_{2}

0

2

)( = utG

)( = utg

⋅ ′ ′′ −)()0( duuxfufx
∫^{x}^{⋅+}

⋅=− ′)0()0()( ⋅+ ′′)0( ′′′ −)( duuxfufxfxfxf

⋅=− ′ ()0()0()( ⋅+ ′′ ())( ⋅⋅−− ′′))0(0_{0}^{x} ⋅⋅+− ′′′ −)( duuxfuxfxxfxfxfxf

⋅=− ′)0()0()( ⋅+ ′′ −)( ⋅− ′′′ −⋅−)1()( duuxfuuxfufxfxf

∫^{x}^{22}^{⋅+}

⎢_{⎣}^{⎡}_{2}^{1_{2}} ⎥_{⎦}^{⎤^{x}}_{0} ∫^{x}^{1_{2}}_{2}

2 2^{0}

1 1

∫_{2}^{1}

2 2

1 1

222

0

Jeg har nu udregnet det andet led og har fået endnu et udtryk, hvilket er det andet led i en Taylor-rækken. Jeg vil nu sidste gang, på tilsvarende måde som i det ovenstående, udregne integralet og det tilhørende led, med hensyn til grænserne [ ] x,0

1_{3}

    2
)( = utg

                   x
⋅ ′ )0(    ⋅+ ′′ )0(    ⋅⋅+ ′′′ − )( duuxfufxfx
                   0

22

3

)( = utG uxftf −⋅−=)1()()(

∫_{2}^{1}

2

1

′′′′ uxtf −⋅−=)1()()(

= ′′ − uxftf)()(

= ′′′ − uxftf)()(

4

′

Side 10

HH3e Matematik

9

∫^{x}

∫^{x}

⎢_{⎣}^{⎡}^{(}_{3}^{1} ∫_{3}^{1} ⎥_{⎦}^{⎤}

⎢_{⎣}^{⎡}_{3}^{1} ⎥_{⎦}^{⎤^{x}}_{0} ∫^{x}_{3}^{1}

⋅=− ′)0()0()( ⋅+ ′′)0( ⋅+ ′′′)0( −⋅⋅+)( duuxfufxfxfxfxf

⋅=− ′)0()0()( ⋅+ ′′)0( + ⋅ ′′′)0( + −⋅⋅)( duuxfufxfxfxfxf
2 ⋅ 32 ⋅ 32^{0}

⋅=− ′)0()0()( ⋅+ ′′)0( ⋅⋅+ ′′′ −− ())( ′′′))0(0_{0}^{x} −⋅⋅+−⋅)( duuxfuxfxxfxfxfxfxf

⎢ | ⎥
⎢ | ⎥
⎣ | ⎦
⎡ | ⎤

⋅=− ′)0()0()( ⋅+ ′′)0( ⋅+ ′′′ −)( duuxfuuxfufxfxfxf −⋅−⋅−)1()(

0

4332

4332

43432

0

32 43

2 6 6

1 1 1

1 1 1

2 2 3

1 1 1

2 2

1 1

Man kan nu omskrive udtrykket

∫^{x}

fxf)0()( ⋅=− f ′)0( ⋅+ f ′′)0( ⋅+ ′′′)0( −⋅⋅+)( duuxfuf

x x x^{32} 1

0

43

!1!2!3 6

Herved ses at jeg for hver gang jeg integrere opnår endnu et led, plus et nyt integral. Det vil altså sige at jeg vil kunne integrere n gange og stadig få et ny led og et nyt integral, derved kan udtrykket omskrives således at ved n gange partiel integration fås udtrykket:

∫^{x}

+ −⋅)( duuxfu
⋅⋅⋅.....4321 n^{0}

fxf)0()( ⋅=− f ′)0( + ⋅ f ′′)0( + ⋅ f ′′′)0( + f^{4}.........)0( ++⋅ ⋅ f^{n})0(

1 ⋅ 21 ⋅⋅ 321 ⋅⋅⋅ 4321 ⋅⋅⋅....4321 n

nn +)1(

x x x x^{432} x^{n}

1

Udtrykket omskrives yderligere til:

∫^{x}

fxf)0()( ⋅+= f ′)0( ⋅+ f ′′)0( ⋅+ f ′′′)0( f.........)0( f)0( −⋅+⋅++⋅+)( duuxfu

nnn +)1(4

x x x x^{432} x^{n} 1
!1!2!3!4 n! n!^{0}

Herved er den første del af Taylors formel bevist. Jeg vil nu fortsætte og lave beviset for den del af Taylors formel som er udtryk for den unøjagtighed der opstår, når man tilnærmer sig en funktion,

nemlig det integral som jeg før omtalte altid vil være der, nemlig restleddet R_{n}

Side 11

HH3e Matematik

10

Bevis for restleddet

Restledet er givet ved_{n} xR)( −⋅=)( duuxfu, hvilket jeg nu vil bevise og omskrive så jeg
∫^{x}

nn +)1(
n!^{0}

1 får et brugbart udtryk til beregning af restleddet.

Jeg starter omskrivningen ved at lave en substitution:

⋅= dvxdu

= x

dv du

⋅= vxu

Da jeg nu har substitueret med hensyn til v, skal der udregnes nye integrationsgrænser da de ovenstående grænser ikke længere er gældende da de var af hensyn til u.

Nedre Grænse 000 =⇔⋅=⇔=→ vvxu
Øvre Grænse 1=⇔⋅=⇔=→ vvxxxu

dvxdu ⋅= indsættes samt de nye grænser for v

∫^{1}

∫^{1}

∫^{1}

R_{n} −⋅=))1(( dvvxfv

R_{n} −⋅⋅⋅=))1(( dvvxfvxx

R_{n})()( ⋅⋅⋅−⋅⋅= dvxvxxfvx

nn +)1(

x^{n}^{+}

nnn +)1(

nn +)1(

0

)1(

n!^{0}

n!^{0}

n!

1

1

Jeg indfører nu betegnelsen −= vxfvF))1(()(.1 for [ ] 1,0∈v

n +)1(

Hvorved jeg får:

∫^{1}^{n}^{⋅=}

x^{n}^{+}

0

)1(

R_{n})( dvvFv

n!

Jeg indfører nu betegnelsen_{n})(.2 dvvFvI
∫^{1}^{n}^{⋅=}

0

Hvorved jeg får:

R ⋅=      I      .3
 n         n

n!

)1(

x^{n}^{+}

Side 12

HH3e Matematik

11

For en kontinuerlig funktion f i intervallet [ ] ba, vil der være ét maksimum og ét minimum. Det medfører at, hvis g er minimum for F og G er maksimum for F indenfor intervallet

[ ] 1,0 må der gælde følgende:

GvFg ≤≤ )(

Grafen afspejler ovenstående fremstilling. Jeg vil nu gange igennem med v^{n} og da [ ] 1,0∈v sker der

ingen ændring af ulighedstegnene.

⋅≤⋅≤⋅ )( GvvFvgv

nnn

Jeg integrerer nu alle tre led men udregner kun det første og det sidste.

Side 13

HH3e Matematik

12

n + 1 n + 1 n + 1 n + 1

1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1

⋅ Gv ⋅= ⋅ 1 G ⋅− ⋅ 0^{nnnn}^{+++}^{11} G ⋅=

)( ⋅⋅ dvvFv

n + 1 n + 1 n + 1 n + 1

1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1

⋅^{1} gv ⋅= ⋅ 1 g ⋅− ⋅ 0^{nnnn}^{+++}^{11} g ⋅=

)(

∫^{1} ⎢_{⎣}^{⎡}^{GdvvG}^{⋅=⋅⋅} ⎥_{⎦}^{⎤^{1}}_{0}

1

0

∫^{1}^{n}

0

∫^{1} ⎢_{⎣}^{⎡}^{gdvvg}^{⋅=⋅⋅} ⎥_{⎦}^{⎤^{1}}_{0}

0

 1
  nnn
     ⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅ dvGvdvvFvdvgv
∫∫∫

0 0 0

1 1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n + 1 n + 1

1 1

)( da:2 dvvFvI

n + 1 n + 1

1 1

g ⋅)( GdvvFv ⋅≤⋅⋅≤

∫^{1}^{n}^{⋅=}

0

∫^{1}^{n}

0

g ⋅ GI ⋅≤≤

ulighedenjegfår n n

Derefter ganger jeg igennem med 1+n for at få grænserne g og G til at stå alene

≤+⋅≤ )1( GnIg)1( +⋅ nI er et tal mellem g og G

n n

Side 14

HH3e Matematik

13

Ud fra grafen ses at der findes et [ ] 1,0∈ derfor bliver)1()( +⋅= nIF

ξ n ξ

jeg vender nu tilbage til R_{n} (3) igen og vi får derfor.

R_{n} I_{n} =⋅=)1( In_{n} =+⋅ ⋅ F)(
n nn +)1(!! n +)!1(

)1()1()1( ξ

x^{n} x^{n} x^{n}^{+++}

Jeg indsætter nu i)(vF (1) og indsætter F)( i R_{n}

ξ ξ

−= vxfvF))1(()(

n +)1(

xfF −=))1(()(

n +)1(

ξξ

R_{n} = xf −⋅))1((
n +)!1(

n +)1(

)1( ξ

x^{n}^{+}

Når ligger i intervallet [ ] 1,0 må intervallet for = −x)1( ligge mellem

ξ θ ξ

xx 00)11( =→⋅=− og

θ

1)01( xxx =→⋅=−

θ

Dermed er intervallet for [ ] x,0∈ θ

Ud fra ovenstående er restleddet bevist:

R_{n} = ⋅ f^{n}^{+})(
n +)!1(

)1(

)1( θ

x^{n}^{+}

Dermed også Taylors formel:

fxf)0()( ⋅+= f ′)0( ⋅+ f ′′)0( ⋅+ f ′′′)0( f^{4}.........)0( f^{n})0( +⋅++⋅+ ⋅ f^{n}^{+})(
!1!2!3!4 n! n +)!1(

)1(

)1(

x x x x^{432} x^{n} x^{n}^{+}

θ

Side 15

HH3e Matematik

14

Taylor udvikling af sin(x)

Jeg vil nu benytte Taylors formel med restled til at lave en Taylor udvikling af funktionen

f(x)=Sin(x) med 0 som udviklingspunkt. Jeg vil lave approksimationen så præcis at nøjagtigheden i

intervallet,0 minimum bliver på 10 decimaler. Jeg vil udregne Taylor-rækken led for led og

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

2 π samtidigt beregne medfølgende restled indtil jeg opnår den ønskede nøjagtighed. Jeg vil derudover grafisk vise samtlige led som jeg medtager sidst i eksemplet.

                                                                          n
Taylors formel er givet ved:  fxP ⋅++ )0()( ⋅+= f ′ )0( ⋅+ f ′′ )0( ⋅+ f ′′′ .........)0( f )0(
                        n

!1!2!3 n!

x x x^{32} x^{n}

                     n + )1(
                    x
Taylors restled er givet ved: R =    ∈⋅ [ ] ,0)( xforf
                  n
                     n + )1(

n +)1(

θθ

Jeg starter med at udregne de første 2 led i Taylor-rækken ved at finde)0(f og ′)0(f

Grunden til jeg starter med at medtage de første to led er fordi det første led = )0()( fxP
                                                              n

bliver nul og derfor ikke har relevans.

f ′ = 1)0(

′ = Cosf)0()0(

′ = xCosxf)()(

f = 0)0(

= Sinf)0()0(

= xSinxf)()(

Derefter indsætter jeg 0)0( =f og f ′ 1)0( = i de første 2 led

!1

xP)( =

xP 0)( ⋅+= 1

!1

fxP)0()( ⋅+= f ′)0(

!1

1

1 x x x n

Side 16

HH3e Matematik

15

Jeg har nu beregnet_{1} xP)( og vil nu beregne den unøjagtighed der er ved kun at lave en tilnærmelse

af kun et led

Vurdering af nøjagtigheden ved_{1} xP)(
[ ] 0,0 xatgældedermåxDa ≤≤∈

θθ

Derfor bliver den størst mulige unøjagtighed i intervallet,0

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

2 π

Da cos(x) ikke kan antage værdier på over 1 indsætter jeg øvre grænse 1 hvilket betyder at

1))cos(( =−

θ

R_{1} −= 75.0

!3

2

R_{1} =))cos(( ≤−⋅))cos(( ≤−⋅ ⋅ 1

!3!3!3

− x^{3} 2 2

⎛ − ⎞^{3}
R_{1} =

⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞^{33}

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π π θ π θ

Nu er første led i min Taylor-række beregnet med tilhørende restled og det ses straks at unøjagtigheden er relativ stor. Restledet er et udtryk for den unøjagtighed der opstår når man tilnærmer en funktion. Dermed kan man sige at hvis man observere en uendelig Taylor-række vil

0)()( ∞→→→ nogRnårxfxP Hvilket betyder at jo flere led man medtager i ens Taylor-

nn række des mere nøjagtig bliver ens tilnærmelse. Derfor kan jeg hurtigt bestemme, at der skal medtages flere led for at opnå den ønskede nøjagtighed. Da jeg i ovenstående har givet et eksempel

på beregning af      RogxP )( vil jeg ikke vise beregningerne til de næste led da de er analog med
                      nn

ovenstående. Jeg vil i stedet opstille de resterende led så det giver et større overblik.

Jeg vil nu fortsætte min Taylor-række, hvilket jeg gør ved gentagne gange differentiation af)(xf

Side 17

HH3e Matematik

16

 88
fxf  =→= 0)0()sin()0(

 77
fxf    −=→−= 1)0()cos()0(

 66
fxf  =→−= 0)0()sin()0(

 55
fxf  =→= 1)0()cos()0(

 44
fxf  =→= 0)0()sin()0(

′′′ →−= ff ′′′ −= 1)0()0cos()0(

′′ →−= fxxf ′′ = 0)0()sin()(

′ →= fxxf ′ = 1)0()cos()(

Det ses at der er et mønster i værdierne for^{n})(xf hvilket betyder, at jeg ikke vil lave flere

differentiationer. Årsagen til der fremkommer dette mønster er værdierne på cos(x) kurven og sin(x)

kurven. Cos(0) og Sin(0) kan kun antage henholdsvis 01 og± hvilket gentager sig selv efter én

periode, altså en tur omkring enhedscirklen. Det vil altså sige at mønstret er 1,0,-1,0 osv. En anden iagttagelse er at alle hele differentiationer bliver lig nul, hvilket medfører at Taylor-rækken kun består af ulige potenser, da alle lige led bliver ganget med nul og derfor ikke har nogen værdi.

)( xxP R_{15} ⋅=−+−+−+−= 1

!17!15!13!11!9!7!5!3

)( xxP R_{13} =+−+−+−= ⋅ 1

!15!13!11!9!7!5!3

)( xxP R_{11} =−+−+−= ⋅ 1

!13!11!9!7!5!3

)( xxP R_{9} =+−+−= ⋅ 1

!11!9!7!5!3

)( xxP R_{7} ⋅=−+−= 1

!9!7!5!3

)( xxP R_{5} =+−= ⋅ 1

!7!5!3

)( xxP R_{3} ⋅=−= 1

!5!3

 53                     17
xxxxxxx                x

15

xxxxxx − x^{15}

13

 119753                            13
xxxxx                           − x

11

 9753                                  11
xxxx                                 − x

9

 753                                      9
xxx                                      x

7

xx^{53} − x^{7}

5

x^{3} x^{5}

3

Nedenunder udregner jeg restleddenes værdi med =x, afrundet til 10 decimaler.

2 π

Side 18

HH3e Matematik

17

Jeg vil gerne kunne sammenligne restleddet med en eksakt Taylor-række, så jeg får et udtryk for

forholdet mellem       RogxP )( for et vist punkt. Derfor sidestiller jeg ovenstående restled med
                        nn

Taylor-rækken P_{n} () hvilket gøres ved indsættelse af på x’s plads i hvert led af Taylor-rækken.

2 2 π π

Beregner man sin() på sin lommeregner får man sin( = 1), hvilket min Taylor udvikling også

2 2 π π gerne skulle ende med.

P ⋅_{n} () −= + − +........... ++ f^{n})0(

2 2!3!5!7!9 n!

2 2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞^{9753} ⎛ ⎞^{n}

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ πππππ ππ

( RP_{1515} == 00000.1)

2

( RP_{1313} −== 00007.1)

2

( RP_{1111} == 99437.0)

2

( RP_{99} −== 35426.1)

2

( RP_{77} == 31014.0)

2

( RP_{55} −== 48555.1)

2

( RP_{33} == 22293.0)

2

( RP_{11} −== 63268.1)

2 π π π π π π π π

Side 19

HH3e Matematik

18

Af grafen og Taylor-rækken med tilhørende restled ses det tydeligt, at jo flere led der bliver regnet med, desto mere nøjagtig bliver min tilnærmelse. Det ses også klart, at jeg blev nødt til at lave min Taylor-række af 15. orden for at opnå den ønskede nøjagtighed. Det vil altså sige at, hvis man laver en Taylor udvikling med sin(x) med nul som udviklingspunkt og min. 15 led vil nøjagtigheden i intervallet,0 være på min. 10 decimaler, hvilket altså svarer til nøjagtigheden for en TI-84

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

2 π lommeregner.

Side 20

HH3e Matematik

19

Konklusion

Jeg har i min større skriftlige opgave arbejdet med Taylor-polynomier, som kort sagt går ud på, at tilnærme en funktion ved hjælp af en række polynomier. Jeg har i opgaven lagt vægt på, med mine egne ord, at forklare hvad der forstås ved Taylors formel og approksimerende polynomier. Jeg har forklaret hvilke ideer og processer der ligger bag Taylors formel og jeg har fået forklaret hvorfor approksimerende polynomier er sådan en vigtig del af matematikken. Under mit eksempel med sin(x) har jeg vist, at man ikke behøver at udvikle Taylor-rækken i en særlig høj grad for at få en meget præcis tilnærmelse.

Det har været en spændende og meget krævende opgave. Jeg er blevet udfordret, da jeg har måttet ty til universitets litteratur, for at kunne løse opgaven

Side 21

HH3e Matematik

20

Kildefortegnelse

Bøger

1. Politikens Nu Dansk ordbog 1. udgave 1999 ISBN: 7-6

2. Kristensen og Rindung : Matematik 2, 2. udgave. G.E.C. Gads forlag 1965

3. Edwards and Penney : Calculus and analytic geometry.

4. Elbrønd Jensen, Helge.Matematisk analyse 1 4. udgave Lyngby, Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet 2000.

Internettet

1. http://www.krellinst.org/UCES/archive/resources/taylor_series/ (07-02-06)
2. http://www.answers.com/topic/brook-taylor (07-02-06)
3. http://www.kb.dk/udstillinger/astroweb/verdensbilleder/keplerlaws.html (07-02-06)
4. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html (07-02-06)
5. http://www.answers.com/topic/taylor-s-theorem (07-02-06)
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Taylors_theorem (07-02-06)