Approksimation af irrationelle funktioner og Taylors formel | Matematik A

Indledning

Denne opgave har hovedemnet approksimation af irrationelle funktioner, herunder har jeg valgt at koncentrere mig om Taylors formel. Jeg vil i opgaven komme kort ind på den grundlæggende historie omkring Taylors formel og hvilke ting der lå til grund for dens udvikling. Jeg vil fortrinsvis forklare hvad der forstås ved approksimerende polynomier med henblik på Taylors formel, jeg vil derefter forklare hvilke elementer Taylors formel består af og hvilke funktioner de har. Derefter vil jeg føre et bevis for Taylors formel og afslutningsvis benytte formlen til at lave en tilnærmelse af funktionen sin(x).

Historien om Taylor

Brook Taylor var en britisk matematiker som blev født 18. August 1685 i Edmonton, Middlesex, England og døde den 29. december 1731 i London. Taylor blev født ind i en rig og dannet familie, hvilket gav ham gode muligheder for at udforske hans musiske og kunstneriske interesser, som senere udspandt sig i en matematisk karriere, med inspiration fra hans tidligere interesser. Taylor blev undervist hjemme indtil han i 1701 blev optaget på, St. John's College, Cambridge hvor han i 1709 fik en bachelor og i 1714 en doktorgrad i jura. Men det er ikke bekendt at Taylor nogensinde har arbejdet som advokat.

Taylors store værk er den berømte Taylors formel som blev offentliggjort i 1714 i hans bog ”Taylors Methodus Incrementorum Directa et Inversa” , som betyder, direkte og indirekte metoder for tilvækst.

For at forstå hvad der ligger til grund for Taylors teori, skal man forstå den samtid, hvori han udviklede sine teorier. I 1700 tallet var der stor fokus på naturvidenskabens beskrivelse af naturen ved hjælp af matematiske beregninger og forklaringer. Taylor og flere andre matematikere kom også med deres bud på problematikken. Taylor diskuterede blandt andet med Newton, Leibniz, Kepler, og Bernoulli som også var store matematikere dengang. Et eksempel derpå var, at Taylor udførte et bevis for Keplers anden lov om planeters bevægelser . Taylor udgav fra 1712 til 1724 13 artikler om emner så forskellige som; magnetisme, termometre og bevægelser i væsker . Taylor har selv sagt, at han fik sin inspiration til Taylors formel ud fra en diskussion på et kaffehus, hvor han snakkede med matematikeren Machin. Machin kommenterede på brugen af, hvordan Newtons formler blev brugt til at løse Keplers problemer omkring beskrivelse af planeters bevægelser i solsystemet og hvordan Dr. Halley havde opfundet metoder til beregning af rødder og polynomier.

Dette gav Taylor ideen til, …