Tidevand og diger - Matematikprojekt fra "Teknisk Matematik" på HTX

Side 1

X

2.A | HTX

HTX 2. år

LEBÆLT

Matematik

Diger og tidevand

Side 2

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 2 af 17

Navnet på projektet:

Diger og Tidevand

Rapport udarbejdet af:

2.HTX

Lærerens navn:

Skolens navn:

HTX Lillebælt, Teknikkervej 2, 7000 Fredericia

Dato for aflevering af rapporten og forfatterens underskrift:

12. april 2011

Underskrift:

X

Side 3

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 3 af 17

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse .............................................................................................................................. 3 Indledning ............................................................................................................................................ 4 Projektoplægget ................................................................................................................................... 4 Projektet ........................................................................................................................................... 4 Opgave A ............................................................................................................................................. 6 Problemanalyse ................................................................................................................................ 6 Beregninger ...................................................................................................................................... 7 Opgave B.............................................................................................................................................. 8 Problemanalyse ................................................................................................................................ 8 Beregninger ...................................................................................................................................... 8 Opgave C.............................................................................................................................................. 9 Problemanalyse og løsning ............................................................................................................ 10 Opgave D ........................................................................................................................................... 10 Problemanalyse og løsning ............................................................................................................ 10 Opgave E ............................................................................................................................................ 13 Problemanalyse og løsning ............................................................................................................ 13 Opgave F ............................................................................................................................................ 14 Problemanalyse .............................................................................................................................. 14 Beregninger .................................................................................................................................... 14 Opgave G ........................................................................................................................................... 15 Problemanalyse og løsning ............................................................................................................ 16 Vurdering af løsning .......................................................................................................................... 17 Konklusion ......................................................................................................................................... 17

Side 4

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 4 af 17

Indledning

Diger er en måde at holde tidevand ude. Tidevand er et problem overalt i verden, hvor man har geo-grafisk lavtliggende arealer. I bl.a. Holland ligger omkring 38 % af ligger under vandets overflade,

heraf er ca. 20 % holdt tørt ved opdæmning o. lign^{1}. Hollands areal (40.844km^{2}) er en smule mindre
end Danmarks (ca. 43.000km^{2}), men samtidig bor der omkring tre gange så mange mennesker,

hvilket gør Holland til et af de mest tætbefolkede lande. Derfor er mange mennesker afhængige af at holde naturens kræfter ude, hvis de vil bevare det nuværende areal af landet.

Projektoplægget

Projektet

I et område med tidevand skal der anlægges et dige med et tværsnit som vist skitseret på følgende figur(alle mål er i meter)

Ovenstående figur og opgaven til og med 2 spørgsmål er taget fra

Madsen, Preben Teknisk Matematik Erhvervsskolernes forlag(3udgave 1.oplag 2005)

Skitsen kan suppleres med følgende oplysninger

• Strækningen AB er en ret linje.

• Strækningen BC er formet som en del af en parabel.

• Strækningen CD er en ret linje og vandret.

• Strækningen DE er en ret linje.

• Der skal være en ”glat” overgang mellem den rette linje AB og parabeldelen BC.

1

http://www.leksikon.org/art.php?n=2915

Side 5

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 5 af 17

Opgave A

Idet x-aksen symboliserer bundlinjen skal du bestemme hvor høj vandstanden må være, før havet løber over diget.

Opgave B

Diget skal have en længde på 100 meter, og du kan regne med at endefladerne er parallelle og lod-rette. Du skal bestemme rumfanget af den materialemængde, der medgår til bygning af diget.

Opgave C

Vandstanden varierer meget, og der er i tidsrummet kl. 00.00 til 13.00 med en times interval foreta-get følgende målinger af vandstanden over bundlinjen:

2,22m – 2,76m – 3,50m – 4,16m – 4,72m – 5,02m – 4,90m – 4,58m – 3,98m – 3,10m – 2,36m –

2,02m – 2,06m – 2,22m

Opgave D

Du skal bestemme en forskrift for den funktion, der tilnærmelsesvis kan tilfredsstille målingerne.

Opgave E

Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme tidspunkterne for henholdsvis højvande og lav-vande.

Opgave F

Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme det tidsinterval, hvor vandet henholdsvis løber over og trækker sig tilbage fra digetoppen.

Opgave G

Hastigheden hvormed vanddybden ændre sig varierer hele tiden. Du skal med udgangspunkt i for-skriften bestemme de tidspunkter hvor hastighedsændringen af vanddybden er størst.

Side 6

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 6 af 17

Opgave A

Problemanalyse

Idet x-aksen symboliserer bundlinjen skal du bestemme hvor høj vandstanden må være, før havet løber over diget, hvilket er det, som vi søger at finde i denne opgave.

Noget der karakteriserer et toppunkt er at dens tangent har hældningen 0. Vi ved fra differentialreg-ning at tangentens hældning også kaldes differentialkvotienten. For at finde denne skal man kende funktionsforskriften. Den generelle formel for en 2.gradspolynomium skrives:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥+ 𝑐

Ud fra opgaveoplægget har vi en række informationer, som vi til højre kan se danner en retvinklet trekant, så vi ved alm. Trigonometriske beregninger i dette tilfælde tangens. Dette kan så skrives

        ∆𝑦
som 𝛼 =   = tan (26,6°). Da vi samtidig for af vide at overgangen mellem den lineære funktion
        ∆𝑥

og parablen er glidende, kan vi så finde både punktet B’s koordinater og hældningen i dette punkt.

Nu har vi så 2 ligninger, som kan beskrive noget om parablen, men da der er 3 ubekendte skal vi kende en information mere. Derfor kigger vi på den anden side af diget, hvor vi ved samme metode kan finde C’s koordinatsæt. Dermed får vi 3 ligninger med 3 ubekendte, som kan løses i matrix. Og dermed får vi vores funktionsforskrift.

Nu kan vi så differentierer denne og sætte differentialkvotienten til at være 0 og dermed finde mak-simalhøjden af diget.

Side 7

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 7 af 17

Beregninger

Først vil jeg kigge på den rette linje AB. Jeg starter med at finde funktionens hældning

Da jeg kan se A ligger i 0,0 er skæringspunktet for funktionen ligegyldig. Jeg får så funktio-nen til:. Jeg indsætter så x-værdien 8 og kan dermed beregne y og få punktet

B's koordinater.

Altså ligger punktet B i punktet (8;4)

Hvis vi kigger på parablen har jeg så punktet B og hældningen i punktet, da jeg ved at over-gangen mellem AB og BC er glidende. Jeg vil så finde punktet C og dermed kan jeg opstille parablens funktionsforskrift.

Jeg finder hældningen for DE og E's x-værdi

Jeg kan så finde skæringspunktet med y-aksen

DE's funktionsforskrift lyder så: f x( ) x− 20+:=

Og jeg kan finde D ved så at sætte 17 ind som x.

Da CD er en vandret linje skal jeg så bare trække 3 fra x-værdien og får dermed at C ligger i punktet (14,3). Jeg får desuden CD's funktionsforskrift til:

Jeg ved det er en parabel og jeg finder derfor differentialkvotienten. Denne sætter jeg til at væ-re lig 0, da jeg dermed kan finde det sted hvor parablens hældning er 0 og dermed hvor højt diget er.

Dette indsætter jeg i mit oprindelige funktionsudtryk for parablen

Altså gælder det at vandstanden skal være større end ca. 4,6m for at løbe over diget.

a tan 26.6deg( ) 0.5=:=

AB

f ( ) x 0.5 x:=

1 y 0.5 8⋅ beregn y, 4.0→

a tan 135deg( ) 1−=:=

DE

8 6+ 3+ 3+ 20=

0 1− 20⋅ b+ beregn b, 20→

4

y 1− 17⋅ 20+ beregn y, 3→

f x( ) 3:=

3

3 a 14 ⋅ b 14⋅+ c+

2

4 a 8 ⋅ b 8⋅+ c+

2 0.111− 2.28 7.11−( )→

0.5 2a 8⋅ b+

⎛ | ⎞
⎜ | ⎟

⎜ ⎟_{cifre 3,}

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

beregn a, b, c,

f x( ) 0.111− x 2.28x+ 7.11−:=

2

2

f x( ) f x( ) 0.222− x⋅ 2.28+→:=

2´ 2 x d d f x( ) 0 10.3→

2´ beregn x, cifre 3,

f 10.3( ) 4.598=

2

Side 8

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 8 af 17

Opgave B

Du skal bestemme rumfanget af den materialemængde, der medgår til bygning af diget.

Problemanalyse

Jeg er blevet givet den information at diget er 100m langt og er parallelt i enderne. Altså skal jeg blot finde tværsnitsarealet af kurven og gange med de 100m for at finde volumen af det materiale diget skal bygges i.

For at finde dette tværsnitsareal anvender jeg det bestemte integral:

Areal= ∫_{𝑎}^{𝑏} 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

Det bestemte integral kan dermed finde arealet indenfor et bestemt interval på eksempelvis en graf.

Figuren til højre viser meget godt princippet. Vi har en funktion og arealet under kurven indenfor intervallet [a,b] kan findes ved den ovenstående formel.

Derfor er det eneste relevante i forhold til opgaven at vi husker at der er tale om en sammensat funktion af 4 forskellige funktioner, som derved danner et tværsnit af diget. Ved at tage det bestem-te integral af hver af disse indenfor det interval, som tilhører vil vi ved at lægge dem sammen kunne finde et samlet tværsnitsareal. Dette kan også skrives ved formlen:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑖 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙

𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

Beregninger

Jeg starter lige med at opsumerer hvad vi fandt ud af i opgave 1 mht. den sammensatte funktion, som digets tværsnitsareal består af.

Længde Funktionstype Funktionsforskrift

AB Lineær f (x)=0,5x

1

                                             2
BC           Parabel               f (x)=-0,111x +2,28x-7,11

2

CD Lineær f (x)=3

3

DE Lineær f_{4} (x)=-x+20

g x( ) f:= x( ) 0 x≤ 8≤if

1

f x( ) 8 x≤ 14≤if

2

f x( ) 14 x≤ 17≤if

3

f x( ) 17 x≤ 20≤if

4

Side 9

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 9 af 17

Opgave C

Vandstanden varierer meget, og der er i tidsrummet kl. 00.00 til 13.00 med en times interval foreta-get følgende målinger af vandstan-den over bundlinjen:

2,22m – 2,76m – 3,50m – 4,16m –^{10}

4,72m – 5,02m – 4,90m – 4,58m –

3,98m – 3,10m – 2,36m – 2,02m – 2,06m – 2,22m

Til højre ses grafen over den sammensatte funktion. Som det kan ses ligner det meget godt den fra opgaveoplægget.

Da jeg allerede har opstillet alle 4 funktioner, kan jeg inte-grerer dem ved deres bestem-te intervaller.

Da jeg har en digelængde på 100m, ganger jeg mit resultat med 100m.

Altså er den samlede volumen af det materiale hvorved digets skal bygges, skal være på ca.

5474m.

3

5 g x( ) x

A x( ) xf d x( ) xf d+ x( ) xf d+ x( ) xf d+ 54.736 m ⋅→:=

tværsnit 1 2 3 4

⎜_{0} ⎟

⎛_{⌠}^{8} ⎞
⎜_{⎮} ⎟_{1⋅ m}
⎝^{⌡} ⎠

8 14 17

14 17 20

⌠ | ⌠ | ⌠
⎮ | ⎮ | ⎮
⌡ | ⌡ | ⌡

2 2

V A 100⋅ m:= V 5473.6 m ⋅=

dige tværsnit dige

3

Side 10

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 10 af 17

Problemanalyse og løsning

Tid (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Vandstand (m) 2,22 2,76 3,5 4,16 4,72 5,02 4,9 4,58 3,98 3,1 2,36 2,02 2,06 2,22

Med den data, der er blevet opgivet, er det muligt at der er tale om en 3.gradspolynomium, men da vi samtidig har fået oplyst at der er tale om tidevand, hvilket vare uendeligt, må vi kunne konklude-rer at der i stedet er tale om en trigonometrisk funktion. En trigonometrisk funktion kan både være en cosinus- eller sinuskurve. I vores tilfælde er der tale om en sinusfunktion.

Opgave D

Du skal bestemme en forskrift for den funktion, der tilnærmelsesvis kan tilfredsstille målingerne.

Problemanalyse og løsning

Den generelle sinusfunktion kan opstilles: 𝑦 = 𝑎∙sin ( 𝜔∙𝑡+ 𝜑) + 𝑘.

𝑎 = 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒: Udfald i forhold til x-aksen

2,22 2,22

2,76

3 3,5

4,16

4,72

5,02

4,9

4,58

3,98

3,1

2,36

2,02

2,06

0

1

2

4

5

6

2 14

Vandstand (m)

Tid (timer)

Side 11

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 11 af 17

𝜔 = 𝑉𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑒𝑛: Denne bestemmer antallet af svingninger pr tidsperiode.

𝜑 = 𝐹𝑎𝑠𝑒𝑓𝑜𝑟𝑠𝑘𝑦𝑑𝑒𝑟: Faseforskydning i x-aksens retning.

𝑘 =

𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡: Fungerer som faseforskyder i y-askens retning.

0 2 4 6

4−

2−

2

4

3 sin x( ) x

0 2 4 6

4−

2−

2

4

2 sin x( ) x

0 2 4 6 0 2 4 6

1− 1−

0.5− 0.5−

0.5 0.5

1 1 sin 2x( ) sin 3x( ) x x

0 2 4 6 0 2 4 6

1− 1−

0.5− 0.5−

0.5 0.5

1 1 sin 2x 3+( ) sin 2x 6+( ) x x

Side 12

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 12 af 17

Ved at indsætte de punkter i grafregner TI83, kan jeg lave sinusre-gresion. Dette krævede lidt øvelse, men en guide [2] på nettet hjalp mig.

Ved at omdøbe de 4 konstanter til henholdsvis; a, b, c og d.

Så med afrunding får jeg følgende funktion:

𝑓 ( 𝑡) = 1,54 ∙sin ( 0,49 ∙𝑡−1) + 3,5

Så får jeg en kurve som vist på billedet til højre.

Det er vigtigt at gøre sig den antagelse at kurven går videre i det uendelige. Billedet er begrænset i intervallet [0;45].

2

http://uvmat.dk/jr/mathpub/svingningskonstanter.htm

0 2 4 6

1−

0.5− 0.5

0.5 1.5

1 2 sin x( ) sin x( ) 1+ x x

0 2 4 6

1

0 20 40 60 80 100

1

2

3

4

5 f x( ) x

f x ( ) 1.54 sin 0.49 x⋅ 1−( )⋅ 3.5+:=

Side 13

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 13 af 17

Opgave E

Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme tidspunkterne for henholdsvis højvande og lav-vande.

Problemanalyse og løsning

I følgende opgave har jeg erstattet t med x, da mathcad har defineret t allerede.

Altså er der højvande ca. kl. 05.15 og lavvande ca. kl. 11.39.

Desuden kan det være relevant at finde vandets maksmiale højde.

f ( ) 1.54 sin 0.49 x⋅ 1−( )⋅ 3.5+:= x

f ´ x( ) f x( ) 0.7546 cos 0.49 x⋅ 1−( )⋅→:=

x d d rod f´ x( ) x, 0, 13, ( ) →

⎛^{2841} ⎞
⎜_{2363} ⎟

⎝ ⎠

0 5 10

1

2

3

4

5

6 f x( )

5794 x

0.2465 60⋅ min 14.79 min⋅= ⋅ min 39.476 min⋅=
0.79 60⋅ sek 47.4 sek= 0.476 60⋅ sek 28.56sek=

f 5.2465( ) m⋅ 5.04 m=

Side 14

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 14 af 17

Opgave F

Du skal med udgangspunkt i forskriften bestemme det tidsinterval, hvor vandet henholdsvis løber over og trækker sig tilbage fra digetoppen.

Problemanalyse

Vi har ved tidligere opgaver allerede fundet den maksimale højde for diget. Desuden ved vi at der kun er tale om en tidevandsperiode. Ved at tegne en graf hvorved der indlægges grænsen, kan vi se nogenlunde hvordan mønstret ser ud for en eventuel oversvømmelse. Desuden kan man ved ganske enkelt at sætte den højde på diget, som afsættes på y-aksen, lig med funktionen isolerer x og finde det tidsinterval hvorved diget oversvømmes.

Beregninger

Ved grafen og udregning kan vi så konkluderer at vandet løber over diget ca. i tidsintervallet: kl.

03.40 – kl. 06.50.

f ( ) 1.54 sin 0.49 x⋅ 1−( )⋅ 3.5+:= x

4.598 1.54 sin 0.49 x ( )⋅ 3.5+ beregn ⋅ 1− x, →

⎛^{0653} ⎞
⎜_{503} ⎟

⎝ ⎠

0 5 10

1

2

3

4

5

6

4.598 f x( ) x

0.6607 60⋅ min 39.642 min⋅= ⋅ min 49.94 min⋅=

0.642 60⋅ sek 38.52sek= 0.94 60⋅ sek 56.4 sek=

Side 15

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 15 af 17

Opgave G

Hastigheden hvormed vanddybden ændre sig varierer hele tiden. Du skal med udgangspunkt i for-skriften bestemme de tidspunkter hvor hastighedsændringen af vanddybden er størst.

Side 16

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 16 af 17

Problemanalyse og løsning

Med den antagelse at det stadig kun er indenfor første periode, er der to tidspunkter, hvor accelera-tionen er højest: kl. 02.24 og kl. 08.27.

Ved at differentiere vores funktion 2 gange får vi en acceleration

Strækning

Hastighed

Acceleration

Da der er tale om en acceleration er det irelevant med minimum og maksimum, da det er en stør-relse og ikke en retning. Jeg sætter accelerationens funktion til at være 0.

Hvis man ser på grafen vil man se at der hvor accelerationen (den grønne) er lig 0, er det samme sted hvor hastigheden (den blå) er højest. Det vil sige i disse punkter har vi den søgte tid.

f ( ) 1.54 sin 0.49 x⋅ 1−( )⋅ 3.5+:= x

f ´ x( ) f x( ) 0.7546 cos 0.49 x⋅ 1−( )⋅→:=

x d d

f´´ x( ) f´ x( ) 0.369754− sin 0.49 x⋅ 1−( )⋅→:=

x d d rod f´´ x( ) x, 0, 13, ( ) →

⎛^{2449} ⎞
⎜_{3234} ⎟

⎝ ⎠

0 5 10

2−

2

4

6 f x( ) f´ x( ) f´´ x( )

22 x

0.4081 60⋅ min 24.486min= 0.4522 60⋅ min 27.132min=
0.486 60⋅ sek 29.16sek= 0.132 60 ⋅ sek 7.92 sek=

Side 17

[MATEMATIK – DIGER OG TIDEVAND] X

Side 17 af 17

Vurdering af løsning

Generelt er mine svar i opgaven 100 % realistiske sammenlignet med virkeligheden. Det er utroligt nemt at forholde sig til hvordan dette kan bruges praktisk, da det bl.a. er sådan noget som dette der tages højde for når man beregner på sådan noget.

Da opgaverne er opstillede meget forudbestemt i forhold til en fremgangsmåde vil jeg mene at mine løsningsmetoder er de bedst mulige, hvilket også er grunden til at der ikke er flere løsningsmåder.

Konklusion

Ud fra de beregninger og antagelser, som er blevet gjort i denne rapport angående opførelse af en dæmning har jeg fundet frem til følgende:

A. Digets maksimale højde findes i parablens toppunkt og er ca. 4,6m. Over bundlinjen.

B. For at opbygge dette dige vil det kræve en materialemængde svarende til et volumen på ca.

5474m^{3}.

C. Den matematiske funktion, som kan beskrive sammenhængen mellem vandstanden er ud fra dataet et tredjegradspolynomium, men da vi ved at det er tidevand, som fortsætter i det uen-delige er der tale om en trigonometrisk funktion og i dette tilfælde en sinusfunktion.

D. Den funktionsforskrift, som tilnærmelsesvist passer i forhold til målingerne hedder: 𝑓 ( 𝑡) =
1,54 ∙sin ( 0,49 ∙𝑡−1) + 3,5

E. Der vil forekomme højvande ca. kl. 05.15 og lavvande ca. kl. 11.39.

F. Vandet løber over diget ca. i tidsintervallet: kl. 03.40 – kl. 06.50. Desuden er det ret relevant at hvis de ønsker at undgå oversvømmelser skal de øge digets højde til ca. 5,04m.

G. Hastighedsændringen er størst ved tidspunkterne: kl. 02.24 og kl. 08.27.