SSO om "Det Komplekse Talsystem"

Den komplekse talplan

Ligesom reelle tal kan skrives på en tallinje, kan komplekse tal skrives i et koordinatsystem, hvilket virker logisk, idet definitionen af de komplekse tal bygger på regning med reelle talpar . Vi opfatter det komplekse tal som punktet i et koordinatsystem med koordinaterne

, hvor

ligger på x-aksen, også kaldet den reelle akse, og ligger på y-aksen, som vi kalder den imaginære akse. Vi kalder tallet et reelt tal, og tallet et rent imaginært tal. Ved et komplekst tal skrevet på formen findes på x-aksen, den reelle akse, og på y-aksen, den imaginære akse. Dette skriver vi som: Det er også værd at bemærke at et komplekst tal, z og dets konjugerede tal w ligger symmetrisk omkring den reelle akse, idet de to komplekse tal har tilknyttet punkterne henholdsvis

og

Med videre regning af komplekse tal, især argument og modulus, vil det være hensigtsmæssigt at tegne en pil fra 0 til , som vi kalder stedvektoren til a. Ved hjælp af stedvektorer kan addition af komplekse tal vises geometrisk, nemlig som normal vektoraddition i planen. Summen eller differensen mellem to komplekse tal, er lig summen eller differensen mellem stedvektorerne til de samme to tal.

På figur 1 i bilag 1 er der indtegnet forskellige komplekse tal, samt deres stedvektorer.

Regneregler for de komplekse tal

Før man redegør for regnereglerne for de komplekse tal, er det væsentligt at vise at man opfatter C som et tallegeme.

Ligesom Z er en udvidelse af N, Q er en udvidelse af Z og R er en udvidelse af Q, indføres C som en udvidelse af R. Derfor tager vi udgangspunkt i de reelle tal når vi definerer de komplekse tal, ved at erstatte udtrykket , idet udtrykket er ukendt, og udefinerbart inden for R. Hvis man ser på Bombellis udregninger får vi at: Med dette kan vi konkludere at addition og multiplikation af udtryk af formen får resultatet af samme form, hvorfor vi kan konkludere, at ved talpar er addition og multiplikation bestemt ved: Denne talmængde kaldes ”de komplekse tal” og betegnes med C . Dermed har vi vist at C opfattes som tallegeme, og det betegnes nu Førnævnte udtryk , skrives i moderne matematik på en anden måde. Lader vi det rent imaginære tal (0,1) få betegnelsen

og

Lader vi fås og dermed og får at det komplekse tal z kan skrives på formen Ydermere findes udtrykket , z’s konjugerede …