SSO om polynomier der approksimerer til en given funktion

Side 1

HF 2. år

HF 2. år

Matematik 27/02-2009

1

Polynomier der approksimerer til en given funktion

HF 2. år

Side 2

Matematik 27/02-2009

2

Abstract ............................................................................................................................................ 3 Indledning ........................................................................................................................................ 3 Polynomier udviklet ud fra et punkt................................................................................................. 4 Taylors formel .................................................................................................................................. 5 Lagranges polynomium .................................................................................................................... 8 Opgave 1 ........................................................................................................................................ 12 Newtons polynomium .................................................................................................................... 14 Opgave 3.………………………………………………………................................................................................16 Opgave 2.……………………………………………………….....................................................17

Konklusion ..................................................................................................................................... 20 Kildehenvisninger .......................................................................................................................... 21 Bilag 1 ............................................................................................................................................ 22 Bilag 2.……………………………………………………….........................................................23

Side 3

Matematik 27/02-2009

3

Summary

I have chosen to describe this project, the polynomials, which approximates to any given function. In this case I use three methods to find the polynomials. First by Taylor‘s formula, I demonstrate how it works in its developed point, where can find a better approximate polynomial to any given function, especially when you upgrade the degree of the polynomial. The second method, which can make a polynomial with more than one point, for instance the third degree of the polynomial needs four points, and it leads us to a

konclusion, then n+1 points will only find the n’th degree of the polynomial in the mathematical

language, and this method works both in Lagranges’s and Newton’s.

In the end I have found the naturally exponential function Euler’s number through one of the assignments. Then I use Taylor’s formula which finds a number row.

Indledning

Matematik er et spændende fag, som jeg altid har interesseret i. Jeg kan godt lide at regne, samtidig interesserer jeg meget at vide hvordan de matematisk teorier og formler, som er lavet af matematikkerne.

Og håber, at jeg kan arbejde noget bl.a. i matematisk retning i mit fremtids job. Derfor har jeg valgt i mit projekt at skrive matematikken.

In dette projekt har jeg valgt at beskæftige mig med polynomium som tilnærmer sig til en given funktion, heraf vil jeg anvende de forskellige metoder til at finde polynomium på. Først går jeg ind både af Taylors og lagranges teori, senere ved hjælp af opgaver 1 demonstrerer jeg hvordan både Taylors og Lagranges polynomium kommer til at virke. Derefter vil jeg vise en ekstra metode til at finde et polynomium, som kaldes Newtons polynomium.

Til sidst finder jeg frem til Eulers tal e den naturlige eksponentialfunktion ved hjælp af opgaver 2 og 3.

Side 4

Matematik 27/02-2009

4

Polynomier udvikler ud fra et punkt^{1}

Et polynomium f af n’ te grad, som er udviklet ud fra et punkt er givet ved

( ) ( 1)

f x x a x a x a f a x a f a ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )^{−}^{12} = − + − + + − + ⋅ − +

  nn            −
f a f a f a ( ) ( ) ''( )
           nn

nn! ( 1)! 2! −

Jeg vil nu vise at polynomiet f(x) af 3.grade, hvor x=a. Jeg differentierer f(x) 3 gange,

            32
f x b x a b x a b x a b ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − +

3 2 1 0

 '2
f x b x a b x a b ( ) 3 ( ) 2 ( ) = − + − +

3 2 1

 ''
f x b x a b ( ) 2 3 ( ) 2 = ⋅ − +
          32

 '''
f x b ( ) 2 3 =⋅
          3

Her indsætter jeg x=a ind i polynomiet f(x), og isolerer og får:

0 1 2 3

, , ,b b b b

 '' '''
f a f a ( ) ( )

             ' ''
b f a b f a b f a b b= = = ⇔ = = ( ), ( ),2 ( ) ,

0 1 2 2 3

2 2 3 ⋅

Og indsættes værdierne i f(x) fås:

0 1 2 3

, , ,b b b b

 ''' ''
f a f a ( ) ( )

3 2 '

f x x a x a f a x a f a= − + − + − + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3! 2!

Ved hjælp af denne metode kan man fortsætte op til n’te grade, men her vil jeg ikke gå i detalje end at fortælle.

Et polynomium af n’te grad kan udvikles ud fra et punkt x=a af formlen.

Her vil jeg vise hvordan vi kommer fra vores normale polynomium af 3.grad

      32
( ) 3 2 2 2g x x x x= + + −

Over for g(x) er udviklet ud fra et punkt x=1

      32
( ) 3 2 2 2g x x x x= + + −

Er udviklet ud fra punktet x=1

' 2 ' 2

 '' ''
g x g (1) 2 9 4 (1) 18(1) 4 22 = ⋅ + ⇔ = + =

g^{'''} (1) 18 =

        32
g g g (1) 3(1) 2(1) 2(1) 2 (1) 3 2 2 2 (1) 5 = + + − ⇔ = + + − ⇔ =

g x x g (1) 3 3 2 2 2 (1) 9(1) 4(1) 2 15 = ⋅ + ⋅ + ⇔ = + + =

1

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s. 7-9

Side 5

Matematik 27/02-2009

5

Indsættes de værdier i formlen fås:

gg^{''' ''} (1) (1)

3 2 '

           32
g x x x x ( ) 3( 1) 11( 1) 15( 1) 5 = − + − + − +

g x x x g x g ( ) ( 1) ( 1) (1)( 1) (1) = − + − + − +

3! 2!

Hermed ser g(x) ud ved at udvikle ud fra x=1

Taylors formel

Taylors formel er en metode til at beskrive en given funktion i nærhed af et udviklingspunkt som et approksimativt polynomium. Dette polynomium vil tilnærme sig hen imod en given funktion i udviklingspunktet som jeg vil finde. Ved denne tilnærmelse skal det forstås, at man vil prøve at finde hvilken værdi en given funktion har i nærhed af udviklingspunktet ved hjælp af beregningen. At få et polynomium i bedre beliggenhed ved en given funktion, kræver det, at man ikke går for langt væk fra udviklingspunktet, samtidige med at sætte graden op, i det fælde vil jeg sætte graden op til 3 ellers højere.

I teoretisk set vil Taylors formel af n’te grad være lig med funktionen selv, og funktionen kræver at differentieres uendelige gange. Og der vil opstå en restleddet, det er en unøjagtighed.

Grunden til at funktion bliver lavet om til et polynomium, er fordi det er nemme at udregne og undersøge, resultatet vil fortælle hvad der vil ske for en funktion af et givet punkt.

Bevis af Taylors formel^{2}

Beviset tager udgangspunkt vha. integrationen.

Jeg anvende at f er en stamfunktion af f’, så

[ ]_{a}

   b
                b
     '
1) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x f b f a= = −
  a

∫

Jeg anvende formlen for partiel integration, fås

' ' ''

f g f g f G⋅ = ⋅ − ⋅
∫∫

2

Carstensen, Jens “Numerisk metoder”, s 20-22

Side 6

Matematik 27/02-2009

6

Her er G stamfunktion til g, udtryk G=(x-b), og g=1, fås:

' ' ''

   bb                    b
2) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x x b f x x b dx ⋅ = ⋅ − − ⋅ −
  aa                     a

        ⎡⎤
∫∫      ⎣⎦

På integralet på højre side anvendes igen partiel integration og udtryk x-b er stamfunktion af,

     2
() xb−

1

2 fås:

       b
     22
( ) ( ) x b x b −−

'' '' '''

   bb
3) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x b dx f x f x dx ⋅ − = ⋅ − ⋅

22

           ⎡⎤
∫∫         ⎢⎥
 aa
           ⎣⎦

a

Indsættes 1) og 3) i 2),

             b
           22
⎡⎤    ( ) ( ) x b x b −−

' '' '''

f b f a f x x b f x f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ). ( ) )^{b}_{a} − = ⋅ − − − ⋅

22

                      b
⎡⎤
⎣⎦                   ∫

a a

⎢⎥

⎣⎦ løser den kantede parentes og får:

     22
( ) ( ) b a x b −−

' '' '''

4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). f b f a f a b a f a f x dx − = ⋅ − + ⋅ +

22

∫^{b}

a

Igen anvende partiel integration på det sidste led af 4)

2 2 3

''' ''' (4)

( ) ( ) ( ) x b x b x b − − −
f x dx f x f dx ( ) ( ) . ⋅ = ⋅ −

2 2 3!

b

 b
            ⎡⎤
∫∫          ⎢⎥
 a
            ⎣⎦

a

Indsættes i 4) og løse den kantede parentes fås

2 3 3

' '' ''' 4

( ) ( ) ( ) b a b a x b − − −
f b f a f a b a f a f a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⋅

2 3! 3!

∫^{b}

a

Ved hjælpe af denne metode kan man blive ved og efter n partiel integration får jeg

     23
( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a b x − − − −

' '' ''' ( 1) nn

f b f a f a b a f a f a f a f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = ⋅ − + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

2 3! ! ! nn nn

∫^{b}^{+}

a

 ( 1) n +
f x dx () ⋅

() bx − n!

n

∫^{b}

a

Kaldes for restleddet, som er unøjagtighed i Taylors formel. Her vil jeg vise, at restleddet kan blive så lille ved at tage graden af n så stort som muligt.

Jeg udtrykker b=x, og få en udviklet punkt af a.

2 3 ( 1) nn +

' '' ''' ( 1) nn +

( ) ( ) ( ) ( ) x a x a x a f c − − −
f x f a f a x a f a f a f a x a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ −

2! 3! ! ( 1)! nn +

Hermed er Taylors formel bevist.

Side 7

Matematik 27/02-2009

7

Nu vil jeg inddrage opg.1 at bestemme Taylors polynomiet

3T

P

Af 3. Grad for funktionen

1

( ) , 0f x x =

x

I punktet =1.

0 x

Formel for Taylors Ses:

3T

P

     23
( ) ( ) x a x a −−

' '' '''

p x p a p a x a p a p a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ⋅ − + ⋅ + ⋅

2! 3!

Jeg differentiere funktionen 3 gange, vha. af lommeregnet fås:

1

()fx =

x

' '' '''

2 3 4

1 1 2 6 −−

( ) , ( ) , ( ) , ( )p x p x p x p x = = = =

x x x x

Indsættes x=1,

' ' '' '' ''' '''

2 3 4

1 1 2 6 −−

( ) (1) 1, ( ) (1) 1, ( ) (1) 2, ( ) (1) 6p x p p x p p x p p x p = ⇔ = = ⇔ = − = ⇔ = = ⇔ = −

x x x x

Koefficienterne fås

' '' '''

26 −

p p p x p (1) 1, (1) 1, ( ) 1, (1) 1 = = − = = = = −

2 1 3 2 1 ⋅ ⋅ ⋅

Indsættes koefficienterne i formlen, dermed er Taylors polynomiet fås:

                     23
( ) 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)p x x x x= − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −

Side 8

Matematik 27/02-2009

8

Her kan jeg se, Taylors polynomium som tilnærmer af funktionen ud af punktet x=1 som vis på grafen er

grøn farve, og red farve er funktion.

Lagranges polynomium

Lagranges polynomium er anden måde til at konstruere et polynomium, der tilnærmer sig en given funktion, som for eksampel går gennem 2 punkter i planen, så vil grafen præcis for et polynomium af

højst af 1.grad, tilsvarende et polynomium af n’te grad vil have n+1 punkter i planen, med forskellige

koordinater. Hermed vil jeg kigge nærmere, om der kun findes et polynomium af n’te grad, som går

gennem n+1 punkter i planen med forskellige koordinater.

Bevis:

Her kigge vi på to polynomier^{1}^{2} Og, der har samme værdier i punkterne, dvs.

p p

x x x ,
 0, 1  n

p x p x p x p x p x p x= = = ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( )
 1 2                            nn

4

Er samme med :

( )( ),( )( ), ,( )( ) p p x p p x p p x− − −

n

(1)

3

4

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s. 27

3

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s. 27

Side 9

Matematik 27/02-2009

9

Hermed få jeg følgende sætninger:

•

Funktionen^{12} Er et polynomium af højst n’te grad, fordi Og Er det^{5}.

pp−

1 p

2 p

•

                                                   6
                                      12
Tallene          Er forskellige rødder i  (efter(1)) .

x x x ,
 0, 1  n

pp−

•

Et polynomium af n’te grad har højst n rødder^{7}.

Ved hjælp af denne demonstration kan vi konkludere, at polynomium^{12} Er den højst n’te grad, som

pp−

har rødder n+1. Derfor stemmer ens over for, at der findes kun et polynomium.

Nedunder ses en struktur af Lagranges polynomiums af 2.grad, der går gennem punkterne

0, 0 1, 1 2, 2

( ),( ),( )x y x y x y

, her ses polynomiumet ud:

8

0 2 0 1

( )( ) x x x x −− ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x − − − −
    12

0 1 2

2 0 2 1

p x y y y () = ⋅ + ⋅ + ⋅
( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x x x x x − − − − − −

Indsættes af Fås

0 1 2

,,x x x x x x= = =

0 0 1 2 0

1 0 1 2 1

2 0 1 2 2

p x y y y y ( ) 1 0 0 = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
p x y y y y ( ) 0 1 0 = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
p x y y y y ( ) 0 0 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Ved hjælp af denne metode kan man finde frem til et system for Lagranges polynomium af n’te grad der

går gennem n+1 punkter i planen:

1 2 3 n

0

0 1 0 2 0 3 0 n

0 2 3 n

⋅+ y_{1}

1 0 1 2 1 3 1 n

( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −
     013

⋅ y_{2}

2 0 2 1 2 3 2 n

0 1 2 1

( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −
p x y () = ⋅ +
( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −
( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −
( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −

( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −

( )( )( ) ( x x x x x x − − − xx − )
                         n −

n

+ ⋅ y_{n}

n n n n n 0 1 3 1 −

( )( )( ) ( ) x x x x x x x x − − − −

5

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s27

6

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s.27

7

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s27

8

Carstensen, Jens “Numerisk metoder” s.28

Side 10

Matematik 27/02-2009

10

Indsættes Osv. Fås:

0 1 2

,,x x x x x x= = =

0 0 1 1

p x y p x y p x y= = = ( ) , ( ) , , ( )
                       nn

Hermed er systemet blev fremstillet, og det kaldes for Lafranges formel.

Nu inddrager jeg igen med opg1 at bestemme et polynomium af

3L p

Af 3. Grad som tilnærmer en funktion af Ud fra punkterne

1 1 1 3 3

( ) , 0f x x = ( , ( ),(1, (1)),( , ( ),(2, (2)) f f f f

x 2 2 2 2

Indsættes punkterne I x’s pladser, og vha. voyage 200 får:

13

( ),(1),( ,),(2,)

22

1 3 2 1

( ,2),(1,1),( , ),(2, )

2 2 3 2

Indsættes værdier af punkterne i systemet fås:

3 1 3 1 1 3

( 1)( )( 2) ( )( )( 2) ( )( 1)( 2) ( )( 1)( ) x x x x x x x x x x x x − − − − − − − − − − − −

21

2 2 2 2 2 2

gx ( ) 2 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

3 3 1 3

32

( 1)( )( 2) (1 )(1 )(1 2) ( )( 1)( 2) (2 )(2 1)(2 ) − − − − − − − − − − − −

2 2 2 2

Expand de 4 ledder fås

8 52_{32}

32

2 8 28 28 8_{32}

3

( 1)( )( 2) x x x − − −

2

exp ( 2, ) 12 8 and x x x x ⋅ = − + + +

1 1 2 1

33

( 1)( )( 2) − − −

2 2 3 2

13

( )( )( 2) xxx −−−

22

exp ( 1, ) 4 16 19 6 and x x x x + ⋅ = − + −

13

(1 )(1 )(1 2) −−−

22

1

( )( 1)( 2) x x x − − −

2

exp ( , ) and x x x x ⋅ = − + − +

3 1 3 3

3 3 3 3 3

( )( 1)( 2) − − −

2 2 2 2

exp an d x x x x ( , ) 2 ⋅ = − + −

1 2 11 1_{32}

13

( )( 1)( ) x x x − − −

22

13

2 3 6 2

(2 )(2 1)(2 ) − − −

22

Sættes ligninger samme og expand, fås

Side 11

Matematik 27/02-2009

11

3 2 3 2

3 2 3 2

2 10 35 25
  32

8 52

exp ( ( ) 6 and g x x x x x x x = − + + + + − + −

33

1 1

− + − + + − + − x x x x x x x 2 , )

3 3 3 3 3 6 2

⇔ − + − + g x x x x ()

3 3 6 6

Hermed kan vi se g(x) som gule farve, der går gennem punkter og tilnærmer sig hen imod funktion af red farve, dermed kan vi se hvordan Lagranges polynomium virke.. Nu ved vi, at finde et 3,grad polynomium ved hjælp af 4 punkter. På denne måde kan man også gøre ved de andre der tilnærmer funktion ud fra punkterne.

Her vil jeg lave et bevis^{9}

Et 1.grads polynomium, der går gennem to punkter,

0 0 1 1

( , ),( , )x y x y

xx −      xx −
   1          0

p x y y () = ⋅ + ⋅_{01}

0 1 1 0

0 0 1 1

p x y p x y ( ) , ( ) ==

x x x x −−

Det er samme med lineær funktion, der udvikler ud af to punkter, og give formlen således:

9

Ove Jørgensen, Peter “Note - den rette linje som punktmængde ”

Side 12

Matematik 27/02-2009

12

()f x ax b=+ xx_{10} −

, hvor

yy_{10} −
a =

Ved at udtryk b i formlen af^{11} Fås således :

()f x y=

1 0 1 0

1 1 1

1 0 1 0

f x x b b y x () = ⋅ + ⇔ = − ⋅

y y y y −− x x x x −−

Indsættes i hel ligningen i formlen få:

1 0 1 0

1 1 1

1 0 1 0

f x x y x () = ⋅ + − ⋅

y y y y −− x x x x −−

Ved at udtryk formlen og gange

1 y med

xx−
 10

Og de 3 ledder har nu samme næverne få ligningen således:

1 0 1 0 1 0

xx_{10} −

xy xy y x y x x y x y − + − − +
  1 0

xx_{10} −

xy xy y x x y y x x y x x − − + − + − ( ) ( )
  1 0

1 0 1 0

() xx −    () xx −
  1            0

⋅ + ⋅ yy_{01}

1 0 1 0

x y y y x x x y y ( ) ( ) ( ) − − −

x y y y x x x y y ( ) ( ) ( ) − + − − −

x x x x x x − − −

x x x x −− x x x x −−

+−

⇔

Dvs formlen fås

() xx −    () xx −
 1             0

1 0 1

1 0 1 0

f x y y () = ⋅ + ⋅

x x x x −−

, det ser en lille smule forskel over for p(x), men de er ens , nu sættes de to ligninger lig med hinanden:

f(x)=p(x)

Side 13

Matematik 27/02-2009

13

x x x x −− x x x x −−
 11           00

0 1 0 1

1 1 1 1

⋅ = ⋅ ⇔ − yy_{00}

1 0 1 1 1 0

1 0 0 1

( )( ) ( )( ) x x x x x x x x − − − − −
= 0

( )( ) x x x x −−

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ y y y y
x x x x x x x x − − − −
x x x x x x x x − − − −
x x x x x x x x − − − −

Her lægges tællerne sammen, fås o, dvs. de kan ud med hinanden.

Hermed er beviset vist, at 1.grads polynomium er også en lineær funktion ved hjælp af to punkter.

Nu vil jeg tage de to tidligere polynomiers beregninger af Taylors polynomium og lagranges polynomium, som jeg viste i opg.1

                     23
( ) 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)p x x x x= − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −

2 10 35 25
  32

g x x x x− + − + ()

3 3 6 6

Og det approksimerende førstgrads polynomium t i =1 i funktion af Fås:

0 x

1

( ) , 0f x x =

x

          '
t x t x ( ) ( ) = ⇔ =

2

11 −

t '(1) 1, =−

                                    '
xx                             ( ) (1)( 1) ( ) 1( 1) ( ) 2t x t x t x x t x x= − ⇔ = − − ⇔ = − +

Dvs polynomium fås:

Eller vha Voyage 200

1

( , ,1,1) 1 1 2taylor x x x → − + = − +

x

Hermed vil jeg lave en tabel i intervallet

[ ]

0,25,2

, der kan danne en oversigt over for hvordan de tre skellige tilnærmende polynomier, der er bedst til at tilnærme sig funktion, og jeg vil lave afvigelse mellem de forskellige tilnærmende polynomier i forhold til funktion, hvor 100% er de dårligst tilnærmelse til funktion.

Ud fra tabellen kan vi se, Taylors og lagranges polynomier har en bedre beliggenhed, der tilnærmer sig

mod funktion. Taylors går gennem punkt x=1, og går langsomt væk fra funktionen igen. Lagranges har en

større udstrækning på grund af grafen går gennem flere punkter, men forsvinder igen senere. Det første

grads polynomium er den svagest, den går kun gennem punkt x=1, og har en hældning på -1.

Hermed kan vi konkludere, at et tilnærmende polynomium, der kan tilnærme sig bedre til en given funktion ved at sættes graden op, fx her ses vi både Taylors og Lagranges, det vil sige jo højere graden jo bedre vil et polynomium tilnærmer sig til en given funktion.

Side 14

Matematik 27/02-2009

14

Tabellen og grafen ses ved den følgende side

↓

f(x) er den rede graf p(x) er den grønne graf g(x) er den gule graf t(x)er den lille x f(x) p(x) afvigelse % g(x) afvigelse% t(x) afvigelse%

0.25 4 2.7344 31.64 2.9063 27.34 1.75 56.25

0.5 2 1.875 3.16 2 0 1.5 12.5

0.75 1.3333 1.3271 0.15 1.3854 1.31 1.25 2.075

1 1 1 0 1 0 1 0

1.25 0.8 0.7969 0.08 0.7813 0.47 0.75 1.25

1.5 0.6667 0.625 1.04 0.6667 0 0.5 4.17

1.75 0.5714 0.3906 4.52 0.5938 0.56 0.25 8.04

2 0.5 0 12.5 0.5 0 0 12.5

Til sidst vil jeg vise endnu en ekstra metode til at finde et polynomium som kaldes Newtons

Side 15

Matematik 27/02-2009

15 polynomium [10], som har en fælles egenskab med Lagranges polynomium, at et polynomium af n’te grad

der går gennem n+1 punkter i planen med forskellige koordinater, og det er eneste polynomium der

overhoved findes. Heri vil jeg vise hvordan denne metode komme til virke. Og vælges et polynomium af

3.grad der går gennem 4 punkter

( , ) , ( , ), ( , ), ( , )

( 2,6),( 4,9),( 3,2),( 1,4) − − − −

x y x y x y x y

Først vil jeg defineres Newtons polynomium p ved:

p x c c x x c x x x x c x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) = + − + − − + − − −
      1 2

0 1 2 1 −

+ + − − − − c x x x x x x x x ( )( )( ) ( )
      nn

Hvor Er koefficienterne

0 1 1

c c c_{n}_{−},

Her indsættes punkter ind i formlen fås:

0 1 2 3

( ) ( 2) ( 2)( 4) ( 2)( 4)( 3)p x c c x c x x c x x x= + + + + + + + + +

Nu indsættes efter tur Fås ligninger således:

2, 4, 3, 1x x x x= − = − = − = −
c_{0} = 6

0 1 1 1 1 1

c c x c x x y c c c + + + + + = ⇔ + − + + − + − + = ⇔ − − = ⇔ = ( 2) ( 2)( 4) 6 3( 3 2) ( 3 2)( 3 4) 2 6 3 2 1
 2 2

c c x c x x c x x x + + + + + + + + + = ( 2) ( 2)( 4) ( 2)( 4)( 3) 4
 3 3

6 3( 1 2) 1 ( 1 2)( 1 4) ( 1 2)( 1 4)( 1 3 + − + + ⋅ − + − + + − + − + − + c )4 c= ⇔ = −
                            3                         3

c c x y c c + + = ⇔ + − + = ⇔ = ( 2) 6 ( 4 2) 9 3

4

3

Nu indsættes koefficienter i p(x) fås:

4

p x x x x x x x= + + + + + − + + + ( ) 6 3( 2) 1( 2)( 4) ( 2)( 4)( 3)

3

Expand vha Voyage 200 får:

                                                         32
exp (6 3( 2) 1( 2)( 4) ( 2)( 4)( 3), ) 1,3 11 26 12 and x x x x x x x x x+ + + + + − + + + ⇔ − − − −

4

3

Dermed har jeg demonstreret hvordan Newtons polynomium virker, og det er det eneste polynomium som skal findes ved hjælp af 4 punkter.

10

Carstensen, Jens “Numerisk metoder”, 30-31

Side 16

Matematik 27/02-2009

16

Opg.3

Grunden til at jeg tager opg3 først, er fordi jeg vil starte med at definere hvad Eulers tal og dens egenskab er.

                            11
Den naturlige eksponentialfunktion

Vi ved at grafen går gennem punktet (0,1) for alle de eksponentialfunktioner, og nu udvælges en eksponentialfunktion som har en tangent i (0,1) og har en hældningen 1, defineres vi den eksponentialfunktion for den naturlige eksponentialfunktion, hvis tangent i (0,1) har en hældning på 1.

Nu tager vi en eksponentialfunktion

       x
f x a= ()

, hvor a er lig alle de reelle tal, hvor vi vil bestemme grundetallet a som kan erstattes af e, og vi forudsætter

'

(0) 1f =

, dvs. har en tangenthældning i punkt

(0,1) skal vær lig med 1

Og funktionen er differentiere i punkt x, som har en differenskvotienten.

f x

Når differenskvotienten for går mod 0 findes der en grænseværdi kaldes for differentialkvotienten x

11

Ove Jørgensen, Peter “Note-Den naturlige eksponentialfunktion og Eulers tal

Side 17

Matematik 27/02-2009

17

Som skrives

 '
f (0) lim =
       x → 0

f x f (0 ) (0) + Δ −

x

Vi har tidligere forudsat af

'

(0) 1f =

, vil differentialkvotienten se således ud:

 0 + x
      0
a a a −−             1

 '
f (0) lim 1 ==
       x → 0

lim 1 lim 1 = ⇔ =
 xx →→ 00

f x f (0 ) (0) + Δ −

x x xx

Løses over for ligningen mere overskuelig, skal vi x være så lille som mulig, derfor lader vi

0x →

, og ligningen ser således ud:

1 x.

a^{x} − 1

       xx
≅ ⇔ − ≅ ⋅ ⇔ − ≅ ⇔ 1 1 1 1 a x a x

  x
                x
a x a x a x ≅ + ⇔ ≅ + ⇔ ≅ + 1 1 (1 )

x

Nu udtrykker vi Ses at gøre Så lille ved lade,dvs For Fås:

1

x =
n x n →∞ 0x →

n →∞

1

1 1 1^{n}

          x
a x a x n ≅ + ⇔ ≅ + Δ = ⇔ = (1 ) 1 ,

n n x

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

I stedet for at beregne a kan vi betegne med e:

1^{n}
1, + = → ∞ en

n

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Dvs:

1^{n}

e = + ≅ lim 1 2,7182818
   n →∞

n 12

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Hermed er det vist, at e kan erstattes i stedet for grundtallet a.

Og den tilhørende eksponentialfunktion har forskriften:

       x
f x e= ()

Hermed er den naturlige eksponentialfunktion bevist.

Opg.2

Her vil jeg udnytte Taylors metode til at finde de tilnærmende polynomier til funktionen af Ud af x e

12 bilag 1.

Side 18

Matematik 27/02-2009

18

punkt x=0.

Vi fås formlen:

'' 2 ''' 7

 x               '
e f x f f x = = + + + + + + + ( ) (0) (0)

8 8 9 9 nn

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

2! 3! 4! 5! 6! 7!

f x f x f x (0) (0) (0)

8! 9! ! n f x f x f x f x f x f x

+ + + +

13

Og ses de aflede højere orden er lige med, x e

Derfor fås:

' 2 3

(0) (0) (0) 1f f f= = = =

Hermed vil jeg tage op til 9 grad og fås

fx^{1} (0) 1 =+
x^{2}
fx^{2} (0) 1 = + +

xx^{23}
fx^{3} (0) 1 = + + +

2 3 4

fx^{4} (0) 1 = + + + +

2 3 4 5

fx^{5} (0) 1 = + + + + +

2 3 4 5 6

fx^{6} (0) 1 = + + + + + +

2 3 4 5 6 7

fx^{7} (0) 1 = + + + + + + +

2 3 4 5 6 7 8

fx^{8} (0) 1 = + + + + + + + +

f (0) 1 =

12 ⋅

26

2 6 24

2 6 24 120

20

20 5040

2 6 24 120 0320 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

fx^{9} (0) 1 = + + + + + + + + +

0 x x x x x x x x

Hermed får vi se, at den kommer til at danne en formel af talfølge, og når x går mod uendelig, vil der blive til, her fås en potensrække ses således:

e^{x}

xx^{23}

 x
ex= + + + + 1

2! 3!

14

Hvis vi sættes x=-1,fås jeg en underlig alternerende række

13

Jens Carstensens Talfølger og række, s.66

14

Jens Carstensens bogen om e, s,24-25

Side 19

Matematik 27/02-2009

19

1 1 1 1

= − + − + − 11

e 2! 3! 4!

= − + − + = + + + ( ) ( )

e 2! 3! 4! 5! 3! 5! 7!

Når vi sættes summen af n de led sammen, vil det approksimere til e:

11

ne = = ⇔ = 1, 3

e 3

1 2 4 11 30

ne = = + = ⇔ = = 2, 2,727272

e 3! 5! 30 11

1 103 280

ne = = ⇔ = = 3, 2,718446

e 280 103

360

ne = = ⇔ = = 4, 2,718284

e 87

Nu vil jeg lave et interval(-2;2) i tabellen, som kan danne et bedre overblik over for 1.grad til 9.grads polynomier der tilnærmer sig funktionen af

e^{x}

. Kan ses på bilag 2.

Jeg ser, hvordan Taylors polynomium udvikler sig, jo højere grad polynomiet har. Jeg kan se ud af tabellen x i Ved 5.grad har de samme værdier, dvs. at de har de samme decimaler som

[ ]

0,25;0,25− funktionen selv. Så sker der et sammenfald i 9.grad ved x i

[ ]

1,25;1,25−

, hvor de har samme værdier med funktionen igen.

Da x i Kan jeg meget tydelig se, at de ulige grades polynomier tilnærmer bedre den negative

[ ]

2;2− side af x værdier. Tilsvarende de lige grades polynomier tilnærmer bedre hen mod den positiv af polynomier.

Jeg kan se fra de red tale fra tabellen, da x=1 har polynomium^{0} har en værdi af 2,7182818, er det

f sammen den oprindelige funktionen af

e^{x}

, ved

f_{3}

har en værdi af 2,66667, som er den del af decimaler mindre end e slev, men jeg kan aflæse fra tabellen, at efterhånden polynomiums værdi nærmere sig e, jo højere polynomium de bliver. Det er kun 0,0000003 mindre end e når polynomium er ved.

9 f

Ud fra tabellen kan vi se hvordan Taylors polynomium, der tilnærmer sig bedre til funktionen af, jo x e højere grad polynomier har. derfor vil være en stor fordel, hver gang hvis man vil finde et tilnærmelse til en given funktion ved anvendelse af Taylors metode, som er blevet vist tidligere i opgaver.

Side 20

Matematik 27/02-2009

20

Konklusion

I Dette projekt har jeg anvendt forskellige metoder til at finde et polynomium, der tilnærmer sig til en given funktion. Og I den sag har jeg redegjort hvordan Taylors formel kommer til at virke ved sit

udviklings punkt, og lagrangess polynomium af n’te grad ved hjælpe af n+1 punkter, derudover viste

jeg endnu en ekstra metode af Newtons formel til at finde et polynomium. Jeg fandt ud af, at Taylors formel er den bedste måde til at approksimere et polynomium til en given funktion, fordi det er let at flytte sit udviklings punkt hvis man vil finde en tilnærmelse, når man få viden om.

Til sidst har jeg fundet hvad Eulers tal er gennem to opgaver, først ved hjælp af definitionn af eksponentialfunktion fandt jeg den naturlige eksponentielfunktionen af x e

, hvis har en tangent i punkt

(0,1) samt en hældning 1, og fandt tallet e at lade n vokser mod uendelig. Til sidst ved hjælp af Taylors formel fandt jeg en talfølge for.

e^{x}

Side 21

Matematik 27/02-2009

21

Litteraturer liste henvisninger:

Jens Carstensen, Numeriske metoder

1.udgave, 1oplag, 1995

Forlaget Systime A/S

Jens Carstensen, Bogen om e

1.udgave, 1oplag, 1995

Forlaget Systime A/S

Jens Carstensen, Talfølger og rækker.

1.udgave, 1oplag, 1997

Forlaget Systime A/S

Lommergnen: vovoya 200.

Graf progamme: Graph http://www.topshareware.com/Graph-download-7400.htm

Peter Ove Jørgensens notater