SSO om ellipsen

Indledning

I denne opgave ønsker jeg at behandle ellipsen og dennes egenskaber ved både analytiske og geometriske fremstillinger. Derudover vil jeg gøre rede for ækvivalensen mellem disse. Jeg vil kort introducere keglesnittenes historie og herefter, kort, præsentere snittene hyperblen og parablen for herefter at arbejde indgående med ellipsen. Jeg vil beskrive forskellige metoder, hvorpå man kan konstruere og beskrive en ellipse. Derefter vil jeg gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum, vise at en ellipse kan beskrives ved en parameterfremstilling og gennemgå ellipsens tangenter. Til nogle af beviserne, vil jeg give et kort regne eksempel.

Hvert bevis vil være markeret med en fodnote, der angiver kilden, der har været brugt som forudsætning for gennemgangen af de enkelte beviser. I opgaven vil jeg undervejs benytte mig af figurer, der skal hjælpe i argumentationerne for de enkelte observationer.

Side 6 af

Keglesnittenes historie

Keglesnittene har gennem tiden været brugt af mange matematikere. Helt tilbage i oldtiden studerede græske filosoffer og matematikere keglesnittenes egenskaber. Ellipsen er den ene type af de såkaldte keglesnit. De andre to typer af keglesnit er parablen og hyperblen. Oprindelsen af teorien bag keglesnittene kendes ikke med sikkerhed, men man mener, at den kan have noget at gøre med problemet med ”Terningens fordobling”, der var et af de klassiske problemer i antikken: at konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning. Det var først i 1800-tallet, at det endeligt blev bevist, at en sådan konstruktion ikke er mulig, blot med daværende tegneredskaber.

I det femte århundrede f.v.t. reducerede Hippokrates problemet med at fordoble en terning med sidelængde a til at finde to mellemproportionaler, nemlig x og y, mellem længderne a og 2a. I moderne sprogbrug svarer det til, at løse alle følgende tre ligninger: Disse ligninger repræsenterer i de første to tilfælde parabler og en hyperbel i det sidste tilfælde. Menaechmus (4. århunderede f.v.t.) studerede kurverne, som tilfredsstiller hver af disse ligninger og han var den første, der fandt ud af, at ellipser, parabler og hyperbler kunne fremkomme som snit i en kegle. Dette løste dog ikke fuldt ud problemet med ”Terningens fordobling”. Det vigtigste i denne sammenhæng er dog, at terninge-problemet gav anledning til at studere keglesnit. Keglesnittene dukker op i mange sammenhænge i naturvidenskaben. Som et af de mest bemærkelsesværdige eksempler kan det nævnes, at fysikeren Kopernikus fremførte, med udgangspunkt i observationer, en påstand om, at solen var centrum i solsystemet.