SSO om ellipsen

Side 1

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 1 af

33

Indhold

OPGAVEFORMULERING 3

SUMMARY 4

INDLEDNING 5

KEGLESNITTENES HISTORIE 6

KEGLESNITTENE 7

HYPERBLEN OG PARABLEN 8

ELLIPSEN 9

ELLIPSEN SOM GEOMETRISK STED 9

ELLIPSENS SYMMETRIFORHOLD OG EXCENTRICITET 12

ELLIPSENS LIGNING 14

ELLIPSENS SUMEGENSKAB 16

DEN PARALLELFORSKUDTE ELLIPSES LIGNING 18

EKSEMPEL PÅ BEREGNING MED ELLIPSENS LIGNING 18

EKSEMPEL PÅ BEREGNING MED DEN PARALLELFORSKUDTE ELLIPSES LIGNING 19

ELLIPSENS PARAMETERFREMSTILLING 20

EKSEMPEL PÅ BEREGNING MED ELLIPSENS PARAMETERFREMSTILLING 21

ELLIPSENS TANGENTER 22

ÆKVIVALENSEN MELLEM ELLIPSENS ANALYTISKE OG GEOMETRISKE EGENSKABER 25

LØSNING AF OPGAVE 1 26

LØSNING AF OPGAVE 2 29

KONKLUSION 30

Side 2

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 2 af

33

KILDEFORTEGNELSE 31

BILAG 1 32

BILAG 2 33

Side 3

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 3 af

33

Opgaveformulering

• Gør rede for ellipsens egenskaber belyst ved både analytiske og geometriske fremstillinger.

• Redegør for ækvivalensen mellem disse. Du kan f.eks. tage udgangspunkt i opgave 1.

• Gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum.

• Løs opgave 1 og 2.

Side 4

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 4 af

33

Summary

In this paper I will enlighten the subject of the ellipse through both analytical, as well as geometrical representations.

First I will shortly introduce the history of the conic sections and present the hyperbola and the parabola, before I will move on to working intensely with the ellipse.

I will describe different methods of how to construct and describe an ellipsis.

I will go through the equation of an ellipsis which has a random centre. I will then show that an ellipsis can be described through a parametric representation as well as I will show the tangents of the ellipse.

Some of these formulas I will demonstrate through numerical examples.

Side 5

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 5 af

33

Indledning

I denne opgave ønsker jeg at behandle ellipsen og dennes egenskaber ved både analytiske og geometriske fremstillinger. Derudover vil jeg gøre rede for ækvivalensen mellem disse.

Jeg vil kort introducere keglesnittenes historie og herefter, kort, præsentere snittene hyperblen og parablen for herefter at arbejde indgående med ellipsen.

Jeg vil beskrive forskellige metoder, hvorpå man kan konstruere og beskrive en ellipse. Derefter vil jeg gennemgå ligningen for en ellipse med vilkårligt centrum, vise at en ellipse kan beskrives ved en parameterfremstilling og gennemgå ellipsens tangenter. Til nogle af beviserne, vil jeg give et kort regne eksempel.

Hvert bevis vil være markeret med en fodnote, der angiver kilden, der har været brugt som forudsætning for gennemgangen af de enkelte beviser.

I opgaven vil jeg undervejs benytte mig af figurer, der skal hjælpe i argumentationerne for de enkelte observationer.

Side 6

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 6 af

33

Keglesnittenes historie^{1}

Keglesnittene har gennem tiden været brugt af mange matematikere. Helt tilbage i oldtiden studerede græske filosoffer og matematikere keglesnittenes egenskaber.

Ellipsen er den ene type af de såkaldte keglesnit. De andre to typer af keglesnit er parablen og hyperblen.

Oprindelsen af teorien bag keglesnittene kendes ikke med sikkerhed, men man mener, at den kan have noget at gøre med problemet med ”Terningens fordobling”, der var et af de klassiske problemer i antikken: at konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning.

Det var først i 1800-tallet, at det endeligt blev bevist, at en sådan konstruktion ikke er mulig, blot med daværende tegneredskaber.

I det femte århundrede f.v.t. reducerede Hippokrates problemet med at fordoble en terning med sidelængde a til at finde to mellemproportionaler, nemlig x og y, mellem længderne a og 2a. I moderne sprogbrug svarer det til, at løse alle følgende tre ligninger:

Disse ligninger repræsenterer i de første to tilfælde parabler og en hyperbel i det sidste tilfælde.

Menaechmus (4. århunderede f.v.t.) studerede kurverne, som tilfredsstiller hver af disse ligninger og han var den første, der fandt ud af, at ellipser, parabler og hyperbler kunne fremkomme som snit i en kegle.

Dette løste dog ikke fuldt ud problemet med ”Terningens fordobling”. Det vigtigste i denne sammenhæng er dog, at terninge-problemet gav anledning til at studere keglesnit.

Keglesnittene dukker op i mange sammenhænge i naturvidenskaben. Som et af de mest bemærkelsesværdige eksempler kan det nævnes, at fysikeren Kopernikus fremførte, med udgangspunkt i observationer, en påstand om, at solen var centrum i solsystemet. Med udgangspunkt i denne teori begyndte Kepler at observere, planeterne yderligere med henblik på at karakterisere bevægelser omkring solen.

Arbejdet mundede ud i, at han konkluderede, at planeterne bevægede sig i elliptiske baner omkring solen.

Keglesnittet ellipsen viste sig således at være et centralt begreb i hele den moderne verdensanskuelse.

Fortsatte observationer har senere vist at banerne passede perfekt med ellipsers karakteristika, hvilket har ført til, at vi den dag i dag anser keglesnittet ellipsen som værende en naturlig del af vort solsystems sammenhæng.

1

Inspiration fra http://www.matematiksider.dk/ellipser.html og V.L. Hansen ”temaer fra geometrien”

Side 7

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 7 af

33

Keglesnittene^{2}

Som sagt kaldes de tre keglesnit henholdsvis parabel, hyperbel og ellipse. Jeg vil herunder kort gennemgå, hvordan disse fremkommer ved plane snit i en kegle.

Vi skal forestille os et punkt T og en cirkel i et plan. Hvis T forbindes med alle punkterne, der ligger på cirklen vil der fremkomme en kegle med toppunktet T. Hver af linjestykkerne mellem T og cirklens punkter kaldes frembringere og betegnes som en linje l. Linjen mellem toppunktet og cirklens centrum kaldes keglens akse, og vinklen mellem denne akse og keglens frembringere, kaldes den halve åbningsvinkel og betegnes v a

, som det ses på figur 1 [3].

Hvis vi forlænger den rette linje l og lader den rotere 360˚ omkring keglens akse og lader den skære punktet T og cirklen, vil vi få en dobbelt rotationskegle, som ses på figur 2 [3].

T v a v a

T l l

C

Figur 1

Figur 2

Man kan i disse kegler lave tre forskellige plane snit med en plan α, hvor v angiver skæringsvinklen mellem den skærende plan og den dobbelte rotationskegles akse. De fremkomne keglesnits karakter afhænger af, hvor stor v er i forhold til v a

. Til de følgende definitioner betragter vi en dobbelt rotationskegle, hvor planen α ikke går gennem keglens toppunkt T:

Ved v < v kaldes snitkurven for en hyperbel a

Ved v = v kaldes snitkurven for en parabel

a

Ved v > v kaldes snitkurven for en ellipse a

2

Inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 246-250

3

Figurer er tegnet med inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 246

Side 8

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 8 af

33

Hyperblen og parablen

Hyperblen fremkommer når en plan skærer en rotationskegle, og vinklen v mellem planen α og keglens akse er mindre end v åbningsvinklen v. Dette ses illustreret herunder af figur 3 [4].

a v a v v a

Figur 3

Parabelen fremkommer, når en plan α snitter keglen, hvor vinklen mellem keglens akse og planen er det samme som den halve åbningsvinkel,

                                4
dvs. v = v . Dette er illustreret af figur 4 .

a

Figur 4

Da det er ellipsesnittet jeg har valgt arbejde indgående med, vil jeg ikke komme yderligere ind på hyperblens og parablens forskellige egenskaber.

4

Figurer tegnet med inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 248

Side 9

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 9 af

33

Ellipsen^{5}

Ellipsen fremkommer, når en plan skærer en kegle og vinkelen på keglens akse, er større end den halve åbningsvinkel v. på denne måde vil snittet kun falde i keglens frembringere modsat de andre snit, hvor a

                                       6
også keglens grundflade snittes. Dette af figur 5 :

Som beskrevet skærer planen kun keglen langs frembringerene, og vi ser derpå formen af en ellipse. v α

Hvis skæringsvinkelen er på 90˚, vil snitplanen være en cirkel. v a

Figur 5

Ellipsen som geometrisk sted

Vi ved nu, at en ellipse er skæringskurven mellem en rotationskegle og en plan α. På figur 6 (se bilag) ser vi keglen, ellipsen og to kugler, der begge tangerer keglen langs en cirkel i hver af kuglerne (man kunne f.eks. forestille sig en lille bold, der placeres i et kræmmerhus, og på den måde vil tangere denne kegle) og planen. De to cirkler, der viser hvor kuglerne rører keglen, kaldes

C og C. Halvdelen af afstanden mellem C og C, målt langs keglen, kaldes a^{7}.

o n o n

Punkterne, hvor hver af kuglerne berører snitplanen, kaldes brændpunkter og kaldes i dette tilfælde henholdsvis E og F. Vi udvælger nu et tilfældigt punkt P, der ligger på ellipsen og trækker nu linjestykkerne PE og PF, også kaldet brændstråler. Linjen, der går gennem keglens toppunkt T og punktet P, skærer C o n og C i to punkter, nemlig O og N.

Fra rumgeometrien ved vi, at samtlige tangentstykker til en kugle fra et punkt uden for kuglen er lige lange, da alle tangenterne vil røre kuglen i punkter, der tilsammen giver en cirkel, som det ses på figur 7.

P

Det ses her, at afstanden fra punktet P til røringspunket med kuglen

P afhænger af længden |PC| og af radius på cirklen. Da disse er konstante P r r vil |PP r r

| være konstant uanset hvor P

, ligger på denne cirkel, der r altså illustrerer, hvor linjen |PP | tangerer kuglen. C r

Figur 7

5

Disse betragtninger har udgangspunkt i ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 252-262

6

Figurer tegnet med inspiration fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 248

7

Definition af tallet a.

Side 10

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 10 af

33

Det må derfor gælde at:

|PN| = |PE|

og ligeledes gælder det at:

|PO| = |PF|

Den samlede afstand af de to brændstråler kan dermed findes:

|PN| + |PO | = |PE| + |PF|

Og da PN og PO ligger i forlængelse af hinanden, må det gælde at:

|PE| + |PF | = |ON| = 2a (ifølge definitionen af tallet a, som tidligere nævnt.)

Denne længde afhænger altså ikke, af hvilket punkt på ellipsen man vælger, men kun af afstanden mellem kuglerne, som afhænger af ellipsens omfang og grad af sammenpresning, dvs.

excentricitet, (der behandles senere). Brændstrålernes samlede længde for en vilkårlig ellipse er

herefter konstant. Denne konstant betegnes 2a dvs. |PE| + |PF | = 2a

Da P er vilkårligt valgt, er det nu vist at ethvert punkt på ellipsen tilfredsstiller denne ligning.

Da dette kun gælder, hvis punktet P ligger på ellipsen, vil jeg nu vise hvad der sker, hvis punktet ikke ligger på ellipsen. Hvis punktet ligger inden i, eller udenfor ellipsen, vil summen af

brændstrålernes længder være |PE| + |PF |≠2a, som det ses i det følgende;

Hvis punktet ligger inden for ellipsen, har vi følgende situation, hvor P er et punkt inden for ellipsen, og hvor Q er et punkt på ellipsen.

Vi ved, at enhver side i en trekant er kortere en summen af de to andre sider, derfor kan vi ifølge

figur 8^{8} skrive at:
|PQ| + |QF |>|PF|

Jeg udnytter nu, at Q ligger på ellipsen, og lægger |EP| Q til på begge sider af ligningen og får: P

|EP| + |PQ| + |QF |>|PF| + |EP| E F

Jeg ved, ifølge figur 8, at: |EP| og |PQ| tilsammen er det samme som |EQ| og erstatter derfor de eksisterende faktorer |EP| og |PQ| på venstre side, og får: Figur 8

8

Figurer tegnet fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 253

Side 11

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 11 af

33

|EQ| + |QF |>|PF| + |EP|

-Dette ses tydeligt på figuren og vi kan deraf konkludere, at:

|PF| + |EP| < 2a

Hvis punktet derimod ligger uden for ellipsen, har vi følgende situation, hvor P er punktet uden for ellipsen, og Q er skæring mellem |EQ| og ellipsen. Q er altså stadig et punkt på ellipsen.

På samme måde finder vi at |PF| + |EP| > 2a: P

Q

                   7
Vi kan igen ifølge figur 9

udnytte, at vi ved, at:

|PQ| + |PF |>|QF| E F

Jeg udnytter igen, at Q ligger på ellipsen, og lægger |EQ| til på begge sider af ligningen:

Figur 9

|EQ| + |PQ | + |PF |>|QF| + |EQ|

Som det ses af figur 9, er |EQ| og |PQ| det samme som |EP| og jeg erstatter dem derfor i ligningen med |EP| og får:

|EP| + |PF |>|QF| + |EQ|

-Dette ses tillige på figur 9 og jeg kan heraf skrive, at:

|EP| + |PF |> 2a

Det er nu bevist, at hvis P er et punkt, der ikke ligger på ellipsen, er |EP| + |PF |≠ 2a. Det er heraf
belyst, at et punkt P netop ligger på ellipsen hvis den opfylder at, |EP| + |PF |= 2a. Hvis ikke, ville

ligningen i så fald være forskelligt fra 2a.

Altså er en ellipse det geometriske sted for de punkter i planen, for hvilke summen af afstandene til de givne brændpunkter har summen 2a.

Med denne viden har vi nu en forudsætning for, at kunne konstruere en ellipse.

Man vælger blot de to brændpunkter og fastgør en snor, der er længere end afstanden mellem de valgte brændpunkter. Man kan på denne måde tegne en ellipse ved at lade en blyant udspændes i snoren og herefter føre den omkring brændpunkterne. Når dette er gjort, er en ellipse tegnet. Se bilag 1, figur 10

Side 12

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 12 af

33

Ellipsens symmetriforhold og excentricitet^{9}

Ellipsen er symmetrisk, både omkring stor- og lilleaksen, som det ses af figur 11. De punkter på ellipsen, der ligger på symmetriaksen gennem brændpunkterne, kaldes S og R.

(se figur 12^{10}) Da |RE| og |RF| = 2a og |RF| = |SE|, må det
gælde, at |SR| = 2a . (Der skal her gøres opmærksom på, at både

|SR| og tallet 2a udgør ellipsens storakse) halvdelen af storaksen betegnes Figur 11 da a. Tilsvarende kaldes |LK| ellipsens lilleakse og halvdelen af denne betegnes b.

L

S R

E O F

K

Figur 12

                                                                        | EF |
Forholdet mellem aksernes længde kaldes ellipsens excentricitet, e, og er givet ved: 𝑒=
                                                                         2𝑎

Da 2a > |EF|, for en ellipse, hvor et punkt P ligger inden i ellipsen, må det gælde at: 0 ≤ e < 1

Dvs. at jo mere excentriciteten nærmer sig 1, jo mere fladtrykt vil ellipsen blive. Hvorimod en excentricitet, der nærmer sig 0, vil efterhånden give en mere cirkelrund ellipse.

Hvis excentriciteten er 0, vil ellipsens brændpunkter være sammenfaldende og ellipsen vil da være en cirkel med radius a. stor- og lilleakse vil i dette tilfælde også være ens.

Ve dat tage udgangspunkt i ΔOLF på figur 12, kan sammenhængen mellem a, b og e bestemmes:

Vi ved, at:

𝑒= ⇔ | EF | =2ea

| EF |

2𝑎

Da linjestykket EF er det dobbelte af linjestykket OF, ved vi så, at: | OF | =ea

9

Der er i beviserne taget udgangspunkt i ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 254

10

Tegnet efter ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s. 254

Side 13

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 13 af

33

Dette kan også beskrives:

      1      1
|EO|= |EF| = 2ea = 1ea = ea
      2      2

Fra tidligere ved vi at | PE | + | PF | =2a, og derfor er | LF | =a. Derfor kan vi også bestemme at
| OL | =b. Da der fremkommer en retvinklet trekant, kan jeg nu bruge Pythagoras’ læresætning og

får, at:

𝑏^{2} + ( 𝑒𝑎)^{2} =𝑎^{2}

b isoleres:

𝑏^{2} =𝑎^{2} − 𝑒^{2} 𝑎^{2} ⇔ 𝑏^{2} =𝑎^{2} ( 1 − 𝑒^{2}) ⇔ 𝑏=𝑎√1 − 𝑒^{2}

Hvis ellipsens halvakser, a og b, kendes, kan e udregnes ved hjælp af ovenstående formel og omskrivning:

                                                              2
                        𝑏            𝑏             𝑏         𝑏
                                 2          2
           2         2
𝑏=𝑎√1 − 𝑒   ⇔  √ 1 − 𝑒 = ⇔ 1 − 𝑒  =(  ) ⇔ 𝑒   =1 −   ⇔ 𝑒=  √
                                                    2         2
                        𝑎            𝑎             𝑎         𝑎

2 2

.

Side 14

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 14 af

33

Ellipsens ligning^{11}

Jeg ønsker nu at finde ellipsens ligning, og benytter mig derfor af et koordinatsystem, som vist i figur 13 [12] hvori ellipsen er anbragt. Der indføres fire toppunkter til ellipsen, nemlig A A, der ligger

1 2 på x-aksen og udgør ellipsens storakse og B

1 2

B

, der ligger på y-aksen og udgør ellipsens lilleakse, som har længden 2b. Centrum for ellipsen er da O. P(x,y) er et tilfældigt punkt på ellipsen. Da

afstanden | EF | = 2ae må det gælde at:

| OE | = | OF | = ae Derfor har punkterne E og F koordinaterne:

E = (-ae,0) og F = (ae,0)

Da A ligger på ellipsen, må der gælde at:

1

| A_{1} E | + | A_{1} F | = 2a

Der er det samme som:

| A_{1} A_{2} | = 2a

Hvilket også ses af figuren.

Figur 13

11

Bevisgangen for ellipsens ligning tager udgangspunkt i ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s.256 - 257 og inspiration fra ”Matematik 3 for højt niveau”, Carstensen & Frandsen

12

Inspiration fra ”Matematik 3 for højt niveau”, Carstensen & Frandsen s. 196

Side 15

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 15 af

33

Excentriciteten, er som sagt, forholdet mellem afstanden mellem de to brændpunkter E og F og længden af storaksen, dvs. |A A |.

1 2

                                 | 𝐸𝐹 | | 𝐸𝐹 |
Excentriciteten, e, er da givet ved: 𝑒= = da vi ovenfor fandt ud af, at | A A | = 2a
                                                                   1 2
                                | 𝐴 𝐴 | 2𝑎
                                 1 2

Derfor vil afstanden | EF | altid være positiv, på samme måde som | A_{1} A_{2} |. Heraf kan vi se, at e>0 og
derfor vil det for | EF | altid gælde at, e<1, da | EF | altid vil være mindre end | A_{1} A_{2} |.

Da B, set på figuren, ligger på ellipsen, må det gælde at:

1

| EB_{1} | + | FB_{1} | =2𝑎

Og da | EB_{1} | = | FB_{1} | må det gælde at:

| EB_{1} | = | FB_{1} | =𝑎

            | 𝐸𝐹 |
Vi ved, at 𝑒= og dermed også, at | EF | =2ae
            2𝑎

Afstanden fra ellipsens centrum O(0,0) til F må være^{1}_{2} | EF | hvilket vil sige at:

       1
| 𝑂𝐹 | = | EF | = ae
       2

Derudover ses det af figuren, at | OB_{1} | = | OB_{2} | =𝑏

Vi tager nu udgangspunkt i ΔOB

1

F. Da trekanten er retvinklet kan vi bruge Pythagoras’ sætning til at omskrive:

| 𝐹𝐵_{1} |^{2} = | 𝑂𝐵_{1} |^{2} + | 𝑂𝐹 |^{2}

Udtrykkene, der tidligere er fundet indsættes i dette udtryk og vi får:

a^{2} = b^{2} + (ae)^{2}

a^{2} = b^{2} + a^{2} e^{2}

b^{2} = a^{2} – a^{2} e^{2}

a^{2} sættes som det næste udenfor parentes:

b^{2} = a^{2} (1- e^{2})

𝑏^{2}
𝑎^{2}

=1 − 𝑒^{2} (Dette udtryk skal bruges senere i beviset.)

Side 16

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 16 af

33

Ellipsens sumegenskab

Vi fandt tidligere ud af, at P(x,y) er et tilfældigt punkt på ellipsen og at punkterne E og F måtte have koordinaterne:

E = (-ae,0) og F = (ae,0)

                                      13
Vi finder nu, vha. punkt-punkt-afstandsformlen at:

| 𝑃𝐸 |^{2} =(𝑥+ 𝑎𝑒)^{2} + 𝑦^{2} og | 𝑃𝐹 |^{2} =(𝑥− 𝑎𝑒)^{2} + 𝑦^{2}

Næste skridt er nu, at trække | 𝑃𝐹 |^{2} fra | 𝑃𝐸 |^{2}:

| 𝑃𝐸 |^{2} − | 𝑃𝐹 |^{2} =(𝑥+ 𝑎𝑒)^{2} + 𝑦^{2} − ((𝑥− 𝑎𝑒)^{2} + 𝑦^{2})

| 𝑃𝐸 |^{2} − | 𝑃𝐹 |^{2} =(𝑥+ 𝑎𝑒)^{2} + 𝑦^{2} − (𝑥− 𝑎𝑒)^{2} − 𝑦^{2}

| 𝑃𝐸 |^{2} − | 𝑃𝐹 |^{2} =𝑥^{2} + 𝑎^{2} 𝑒^{2} + 2𝑥𝑎𝑒− 𝑥^{2} − 𝑎^{2} 𝑒^{2} + 2𝑥𝑎𝑒

| 𝑃𝐸 |^{2} − | 𝑃𝐹 |^{2} =4𝑥𝑎𝑒

Dette udtryk kan omskrives til:

(| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 |)(| 𝑃𝐸 | + | 𝑃𝐹 |) =4𝑎𝑥𝑒

Da vi ved at P er et punkt på ellispen og at:

| 𝑃𝐸 | + | 𝑃𝐹 | =2𝑎

Får vi, hvis dette indsættes i ligningen (| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 |)(| 𝑃𝐸 | + | 𝑃𝐹 |) =4𝑎𝑥𝑒 at:

(| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 |) 2𝑎=4𝑎𝑥𝑒 ⇔ =

(| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 |) 2𝑎 4𝑎𝑥𝑒

2𝑎 2𝑎

| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 | =2𝑥𝑒

Først lægges de to sætninger, | 𝑃𝐸 | + | 𝑃𝐹 | =2𝑎 og | 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 | =2𝑥𝑒, sammen og derefter

trækkes de fra hinanden:

| 𝑃𝐸 | + | 𝑃𝐹 | + | 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 | =2𝑎+ 2𝑒𝑥

2 | 𝑃𝐸 | =2𝑎+ 2𝑥𝑒

13

| 𝐴𝐵 | = √ ( 𝑏_{1} − 𝑎_{1})^{2} + ( 𝑏_{2} − 𝑎_{2})^{2}

Side 17

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 17 af

33

2 | 𝑃𝐸 | 2𝑎+ 2𝑥𝑒

2 2

=

| 𝑃𝐸 | =𝑎+ 𝑒𝑥 (Dette udtryk bruges tillige senere i beviset.)

Udtrykkende trækkes nu fra hinanden og vi får:

| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 | − ( | 𝑃𝐸 | + | 𝑃𝐹 |)=2𝑒𝑥 − 2𝑎

| 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 | − | 𝑃𝐸 | − | 𝑃𝐹 | =2𝑒𝑥− 2𝑎

−2 | 𝑃𝐹 | 2𝑒𝑥 − 2𝑎
−2 −2

=

| 𝑃𝐹 | =𝑎− 𝑒𝑥

Udtrykket | 𝑃𝐸 | =𝑎+ 𝑒𝑥 indsættes i formlen | 𝑃𝐸 |^{2} =(𝑥+ 𝑎𝑒)^{2} + 𝑦^{2} og der kan derved

foretages følgende omskrivninger:

(a+ex)^{2} = (x+ea)^{2} + y^{2}

a^{2} + e^{2} x^{2} + 2xea = x^{2} + e^{2} a^{2} + 2xea + y^{2}

a^{2} + e^{2} x^{2} = x^{2} + e^{2} a^{2} + y^{2}

y^{2} = a^{2} - e^{2} a^{2} – x^{2} + e^{2} x^{2}

y^{2} = a^{2} (1-e^{2}) – x^{2} (1-e^{2})

y^{2} = (a^{2} x^{2}) (1-e^{2})

                             2
                            𝑏
                                     2
Formlen for ellipsens excentricitet =1 − 𝑒 , indsættes, og der fås nu, at:
                             2
                            𝑎

𝑦^{2} =(𝑎^{2} − 𝑥^{2})

𝑏^{2}
𝑎^{2}

𝑦^{2} =

( 𝑎^{2} − 𝑥^{2}) 𝑏^{2}
𝑎^{2}

𝑦^{2} (𝑎^{2} − 𝑥^{2})𝑏^{2}
𝑏^{2} 𝑎^{2} 𝑏^{2}

=

Side 18

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 18 af

33

𝑦^{2} 𝑎^{2} − 𝑥^{2}
𝑏^{2} 𝑎^{2}

=

𝑦^{2} 𝑥^{2}
𝑏^{2} 𝑎^{2}

=1 −

1= +

𝑥^{2} 𝑦^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

. . Der er nu fundet en generel ligning for ellipser med centrum (0,0) med storakse

2a og lilleakse 2b hvilket vi ønskede at finde.

Den parallelforskudte ellipses ligning

Parallelforskydes ellipsen med ovenstående ligning, så denne får centrum i (p,q), får man ligningen:

(𝑥− 𝑝)^{2} (𝑦 − 𝑞)^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Eksempel på beregning med ellipsens ligning

Vi kan forestille os en ellipse med centrum i (0,0) og halvakserne a = 8 og b = 5. Ellipsens ligning vil

da se ud som følgende:

𝑥^{2} 𝑦^{2} 𝑥^{2} 𝑦^{2}
8^{2} 5^{2} 64 25

+ = + =1

Ligningen fremstiller en ellipse, der ”ligger ned”, den har altså sine brændpunkter på x-aksen.

Excentriciteten kan beregnes til:

𝑒= 1 − = 1 − = 1 − = =

√ √ √ √

𝑏^{2} 5^{2} 25 64 − 25 √ 39
𝑎^{2} 8^{2} 64 64 8

Brændpunkterne vil da være:

𝑎𝑒=𝑏

𝑎 𝑏

E = ( √ 39 ,0 ) og F = ( - √ 39 , 0 )

Side 19

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 19 af

33

Eksempel på beregning med den parallelforskudte ellipses ligning

Jeg vil herunder beregne excentriciteten og brændpunkternes koordinater for en ellipse med

centrum, O(2,-3) og halvakserne a = 5 og b = 4. Ligningen for en sådan ellipse vil være:

(𝑥− 2)^{2} (𝑦 + 3)^{2}
5^{2} 4^{2}

+ =1

Excentriciteten beregnes vha. formlen:

𝑒= 1 − = 1 − = =

√ √ √

𝑏^{2} 4^{2} 25 − 16 3
𝑎^{2} 5^{2} 25 5

Denne ellipse vi så have brændpunkter i:

                       3
E = ( 0 + p , ea + q) = ( 0 + 2 , 5 – 3 ) = ( 2 , 0 )
                       5

                        −3
F = ( 0 + p , -ea + q ) = ( 0 + 2 , 5 – 3 ) = ( 2 , -6)
                         5

Side 20

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 20 af

33

Ellipsens parameterfremstilling^{14}

Jeg vil nu vise, hvordan ellipsen kan beskrives ved hjælp af en parameterfremstilling. Vi kender ellipsens ligning:

1= +

𝑥^{2} 𝑦^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

Vi ved, ifølge potensreglerne, at denne ligning kan omskrives til:

() + () =1

𝑥^{2} 𝑦^{2}

𝑎 𝑏

Vi ved også, ifølge grundrelationen for enhedscirklen, at:

cos^{2} (v) + sin^{2} (v) = 1 for 0˚ ≤ v < 360˚

                    𝑥
Det er her, at punktet P(
                    𝑎

 𝑦
,
 𝑏

) ligger på enhedscirklen. Det fremgår af ellipsens ligning, at et punkt

                                𝑥
ligger på ellipsen, netop hvis punktet P(
                                𝑎

 𝑦
,
 𝑏

) ligger på enhedscirklen. Dette er tilfældet, hvis der findes et tal t Є [ 0;2π [ , sådan at:

 𝑥 𝑦
                                    𝑥    𝑎 cos(𝑣)
( , )=(cos(𝑣),sin(𝑣)) og dermed at: ( )=(      )
                                    𝑦     𝑏 sin(𝑣)
 𝑎 𝑏

For en ellipse med centrum i P(p,q) kan parameterfremstillingen, lige som ellipsens ligning, parallelforskydes så vi får:

() = () + (), 𝑡Є [ 0;2 [

𝑥 𝑝 𝑎cos(𝑣) 𝑦 𝑞 𝑏 sin(𝑣)

Ellipsens parameterfremstilling er hermed bevist og dermed også, at en ellipse kan beskrives ved en parameterfremstilling.

14

Inspiration fra ”Matematik 3 for højt niveau”, Carstensen & Frandsen og ”Temaer fra geometrien”, V.L. Hansen

Side 21

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 21 af

33

Eksempel på beregning med ellipsens parameterfremstilling

                            2         2
En ellipse er givet ved ligningen: 9x + 18x + 4y – 27 = 0

Denne ligning omskrives til:

9𝑥^{2} + 18𝑥+4𝑦^{2} − 27=0

( 3𝑥+ 3)^{2} − 9 + ( 2𝑦)^{2} − 27=0

3^{2} ( 𝑥 + 1)^{2} + 2^{2} ( 𝑦)^{2} =3^{2} 2^{2}

(𝑥+ 1)^{2} (𝑦)^{2}
2^{2} 3^{2}

+ =1

Parameterfremstillingen for denne ellipse er da:

()=() + ()

𝑥 −1 2cos(𝑣)

𝑦 0 3sin(𝑣)

Side 22

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 22 af

33

Ellipsens tangenter^{15}

Jeg ønsker nu at se på ellipsens tangenter. Vi har en ellipse med ligningen, som vi kender fra tidligere:

1= +

𝑥^{2} 𝑦^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

Vi skal nu kigge på en ellipse med brændpunkterne E og F i et koordinatsystem, hvor punktet P (x,y) ligger på ellipsen. Jeg vil nu forsøge at finde frem til en ligning for tangenten til ellipsen i

0 0 0 punktet P.

0

Figur 14

Tangenterne til ellipsen, i toppunkterne A

1 2

(-a, 0) og A

(a, 0) er, som det ses på figur 14 [16] lodrette, og må derfor have ligningerne:

Tangent i A: x = -a

1

Tangent i A: x = a

2

Jeg vil nu prøve at finde en generel ligning for tangenterne der, tangerer ellipsen i y ≠ 0.

0

Her vil det gælde, at y i ellipsens ligning kan skrives som funktionen f(x) dvs. y = f(x). I punktet

P (x,y) vil der gælde følgende for tangenten:

0 0 0

15

Bevisførelse fra ”Temaer fra geometrien”, V.L. Hansen

16

Tegnet fra ”Temaer fra geometrien”, V.L. Hansen s. 20

Side 23

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 23 af

33

y = f ´(x)(x – x) + y ⇔ y – y = f ´(x)(x – x)

0 0 0 0

Punktet P (x, f(x)) må, ligesom P (x,y) , ligge på ellipsen ifølge ovenstående. Og da punktet

0 0 0 0 0 0

P(x,f(x)) på samme måde ligger på ellipsen, må det gælde at:

𝑥^{2} 𝑓(𝑥)^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Hvis dette udtryk differentieres, altså:

( +) =1

𝑥^{2} 𝑓 ( 𝑥)^{2}^{,}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

Får vi følgende:

2𝑥 𝑓´ ( 𝑥) ∙ 𝑓 ( 𝑥) + 𝑓 ( 𝑥) ∙ 𝑓´(𝑥)
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =0

2𝑥 2𝑓 ( 𝑥) ∙ 𝑓´ ( 𝑥)

𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =0

Da vi havde, at P (x, f(x)) lå på ellipsen og at f(x) = y, har vi at:

0 0 0 0 0

2𝑥_{0} 2𝑦_{0} ∙ 𝑓´ ( 𝑥_{0})
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =0

𝑓´ ( 𝑥_{0}) =− =−

2𝑥_{0} 𝑏^{2} 𝑥_{0} 𝑏^{2}
𝑎^{2} 2𝑦_{0} 𝑎^{2} 𝑦_{0}

Hvis dette indsættes i y – y

0

, som der tidligere blev fundet, kan vi finde ligningen for ligningen for tangenten, på følgende måde:

𝑦− 𝑦_{0} =− ( 𝑥− 𝑥_{0})

𝑥_{0} 𝑏^{2}
𝑎^{2} 𝑦_{0}

Dette omskrives til:

𝑦− 𝑦_{0} 𝑥_{0} ( 𝑥− 𝑥_{0})

()

𝑏^{2} 𝑎^{2}
𝑦_{0}

=−

Side 24

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 24 af

33

𝑥_{0} ( 𝑥− 𝑥_{0}) 𝑦_{0} (𝑦− 𝑦_{0})
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =0

𝑥_{0} 𝑥− (𝑥_{0})^{2} 𝑦_{0} 𝑦 − (𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =0

𝑥_{0} 𝑥 (𝑥_{0})^{2} 𝑦_{0} 𝑦 (𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑏^{2}

− + − =0

𝑥_{0} 𝑥 𝑦_{0} 𝑦 (𝑥_{0})^{2} (𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2} 𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ = +

Da punktet P (x,y) ligger på ellipsen, og derfor opfylder at:

0 0 0

(𝑥_{0})^{2} (𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Vil det derfor også gælde, at en tangent til ellipsen i punket P (x,y) kan beskrives:

0 0 0

𝑥_{0} 𝑥 𝑦_{0} 𝑦
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Side 25

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 25 af

33

Ækvivalensen mellem ellipsens analytiske og geometriske egenskaber

Ækvivalensen (af ækvi- og valens, egl. 'af samme værdi') betyder, at være af samme værdi. I formel logisk henseende siges to udsagn at være ækvivalente, hvis begge er sande, eller begge er falske. [17] Ligheden er, at det i bund og grund er det samme som vist tidligere i opgaven, når jeg har bevist ellipsens forskellige egenskaber: altså en formel, ved hjælp af geometriske illustrationer. Denne måde hvorpå man beviser en egenskab, er altså to veje, hvorpå man når frem til samme resultat.

Eksempel:

1) F.eks. hvis excentriciteten forstørres eller mindskes, vil ellipsen i et koordinatsystem blive henholdsvis mere flad eller mere cirkulær. Jo mere excentriciteten nærmer sig 0, des mere sammenfaldende vil ellipsens brændpunkter være. Men om det er sagt på den ene måde eller vist på den anden måde, giver os det samme resultat.

2) Eller, hvis f.eks. storaksen a, på en ellipse i et koordinatsystem forstørres eller mindskes,

eksempelvis fra a=3 til a=7 eller omvendt, vil ellipsen, rent geometrisk, blive længere eller

kortere. Men igen er det et og samme resultat man får, uanset hvilken måde man

beskriver/viser det på: altså, at ellipsen forandres.

Set i et større perspektiv kan man sige, at hvis excentriciteten er henholdsvis mindre en 1, lig med

1 eller større end 1, vil man geometrisk set, i et koordinatsystem, have vist: e < 1 : ellipse

e = 1 : parabel

e > 1 : hyperbel

17

http://www.denstoredanske.dk/Livsstil,_sport_og_fritid/Filosofi/Logik/%C3%A6kvivalens

Side 26

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 26 af

33

Løsning af opgave 1

                             2    2
                            𝑥    𝑦
Givet er en ellipse med ligningen + =1
                            169  25

a) Vis, at ellipsen også kan angives ved {P||PE|+|PF|=26}, hvor E og F er to faste punkter i

koordinatsystemet. Beregn E og F’s koordinater

Her vises, at ellipsen også kan angives ved: {P||PE|+|PF|=26}

Givet er:

=+ 1

 2
513

yx^{2}

2

2

             2
Herfra isoleres y og der fås:

25 25_{222}

169 169

25)169( xxy −=−=

Og der beregnes ved hjælp af punkt-formlen:

     2222
)12()12( yxyxPFPE +−+++=+

          2222
24 yxxyxxPFPE ++−++++=+

25 25_{2222}

169 169

2514424 xxxxxxPFPE −++−+−+++=+ 2524144

144 144_{22}

169 169

24 xxxxPFPE +−+++=+

⎛ ⎛ 12 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 12 ⎞ ⎞^{22}

13 13

=+ xxPFPE ⎜ + ⎟ 1313 −+ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞

=+ xxPFPE 1313 −++

13 13

26=+ PFPE

Beregning af E og F:

Ellipsen er det geometriske sted for de punkter, hvorfra summen af afstandene til to faste punkter er konstant. De to faste punkter er ellipsens brændpunkter, som vi kalder E og F. Den konstante afstandssum er det dobbelte af ellipsens halve storakse a.

Af ellipsens ligning ser vi, at den halve storakse er a = √169 = 13 ( da a^{2} = 169 )
Og, at den halve lilleakse er b = √25 = 5 ( da b^{2} = 25)

Side 27

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 27 af

33

Ellipsen er placeret med storaksen på x-aksen, med brændpunkterne symmetrisk fordelt omkring

x=0. Et af brændpunkterne er da vinkelspids i en retvinklet trekant med ellipsens lilleakse som den

ene katete, og med dens storakse som hypotenuse.

Den anden katete har da længden √(13^{2} – 5^{2}) = 12

Hvilket vil sige, at:

E = (-12, 0) og F = (12, 0)

                                                           2
                                                          𝑏
                                                                   2
Dette kunne dog også være beregnet på følgende måde, hvor formlen: =1 − 𝑒 , hvor 0<e<1,
                                                           2
                                                          𝑎

benyttes:

25

169

=1 − 𝑒^{2}

𝑒^{2} isoleres og vi får:

𝑒^{2} =1 −

25

169

Jeg går derefter videre og isolerer e:

𝑒= = = = () =

√ √ √

169 − 25 144 12^{2} 12^{2} 12
169 169 13^{2} 13 13

√

Brændpunkterne vil da være:

E(-ae,0) og F(ae,0)

Dvs.

𝑎𝑒=13 ∙ =12

12

13

E(-12,0) og F(12,0)

Side 28

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 28 af

33

                                        12
b) Vis at ellipsen også kan angives ved: {P| |PE|= 𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝑙 ) } hvor E er et fast punkt og l er
                                        13

en bestemt linje. Angiv ligningen for l og koordinaterne for E.

Tidligere i opgaven er E’s koordinater beregnet til (-12,0)

Og ligningen for linjestykket PE(l) beregnes ved hjælp af punkt-formlen:

25_{2222}

169

25)12()12( xxyxPE −++=++=

25_{22}

169

2514424 xxxPE −+++=

++= xxPE 16924

169

144_{2}

+= 13 13 +=+= xxxxPE =+⋅= lPdist⋅),(

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 12 ⎞^{2} 12 12 ⎛ 169 ⎞ 12 169 12

13 13 13 12 13 12 13 når:

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ 169 ⎞

),( xPldist −−=

12

er x: −=−=l 14

12 12

169 1

Side 29

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 29 af

33

Løsning af opgave 2

                                                              2     2
Bestem centrum, halvakser og excentricitet for ellipsen givet ved ligningen: x -6x+9y +18y-18=0

Ved at omskrives ligningen: x^{2} -6x+9y^{2} +18y-18=0, får jeg:

=++−− yyx 18)2(99)3(

22

=−++−− yx 18)1)1((99)3(

22

=−++−− yx 189)1(99)3(

22

++=++− yx 9918)1(9)3(

22

=++− yx 36)1(9)3(

22

y =++ 1)1(

36 36

     2
x − )3( 9

2

y =++ 1)1(
6^{2} 4

    2
x − )3( 1

2

+ = 1
6^{2} 2^{2}

   2       2
− yx )3( + )1(

Resultaterne er da:

centrum C = (3,-1)
halve storakse a=6
halve lilleakse b=2

Heraf ses det, at ellipsen er parallelforskudt og at den ”ligger ned” (se figur 15, bilag 2)

                                                2
For at beregne excentriciteten benyttes formlen: 1 e −=
                                          2

b^{2}

a

a^{2}

b^{2}

 2
e −= 1

a^{2} 36 36

− ba^{22} − 436 32
e^{2} = = =

36

32

=e
e = 0,942809

Side 30

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 30 af

33

Konklusion

Jeg har nu fået gennemgået keglesnittene med fokus på ellipsen og jeg har redegjort for ellipsens egenskaber, både ved hjælp af analytiske og geometriske fremstillinger.

Jeg har også beskrevet og konstrueret ellipsen på forskellige måder, hvilket har resulteret i en definition af ellipsens ligning, der beskriver denne som geometrisk sted. Herudover har jeg gjort mig nogle overvejelser omkring ækvivalensen mellem ellipsens analytiske og geometriske fremstillinger og regnet opgave 1 og 2 for derved at kunne belyse ellipsens problemstilling i praksis.

Side 31

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 31 af

33

Kildefortegnelse

Thomas Hebsgaard & Hans Sloth, Matematik for 1-årigt A-niveau, 1. udgave, 1. oplag. 1999 Jens Carstensen & Jesper Frandsen, Matematik 3 for højt niveau, 1990

Vagn Lundsgaard Hansen & Matematiklærerforeningen, TEMAER FRA GEOMETRIEN, 1992

Vestergaards matematiksider: http://www.matematiksider.dk/ellipser.html

Side 32

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 32 af

33

Bilag 1

Figur 6

18

18

Figur tegnet fra ”Matematik for 1-årigt A-niveau”, T. Hebsgaard & H. Sloth s.252

Figur 10

Side 33

SSO – Matematik A

[navn fjernet], kursistnr.: [fjernet]

Vejleder: Birgitte Carstens

Side 33 af

33

Bilag 2

Figur 15