Emneopgave om harmoniske svingninger | Matematik A

Side 1

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

Emneopgave / Portfolio-opgave 10

Harmoniske Svingninger

Som navnet antyder, bruger vi de harmoniske svingninger til at beskrive forskellige former for svingninger. Dette kan eksempelvis være lydbølger, vekselspændinger eller pulsslag i en Coopers test mm.

Man siger at bevægelsen er en harmonisk svingning, hvis forskriften for f er som følger.

f(x) = a sin(bx + c) + d eller f(x) = a cos(bx + c + d
f(x)=2*sin(1x+0)+0

-

-5

5 x y

Side 2

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

Denne figur viser en harmonisk svingning, ved værdierne A = 2, B = 1, C = 0 & D = 0.

A, b, c og d er reelle tal, som kan antage forskellige værdier. En ændring i partiklens bevægelsesmønster medfører selvfølgelig en ændring i tallene a, b, c og d.

A eller amplituden som den også kaldes, bevirker størrelsen på de udsving, der er på kurven, samt kan være negativ.

B eller frekvensen som den også kaldes, bevirker hyppigheden af de udsving der er på kurven.

C eller begyndelsesfasen, bevirker et ændret udgangspunkt for svingningen, da kurven forskydes vandret, når c ændres.

En ændring af D eller faseforskydning medfører en forskydning af kurven lodret, op eller ned.

Cooperstest:

Side 3

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

På billedet ovenfor er en cooperstest. Funktionen for denne er som følger:

P(x) = a*cos(b*x)+c

P(x) er antal pulsslag pr. minut, og x er tiden målt i sekunder.

For denne kurve er konstanterne;

A = 30 B = 20 C = 150
Derfor ser forskriften for kurven således ud: p(175) = 30*cos(20*175)+150

Som det kan aflæses ud fra den lodrette og vandrette streg på kurven, kommer pulsslagene pr. minut første gang ned på 175 efter ca 2 sekunder. Dette kan vi også regne os frem til, på følgende måde.

175 = 30*cos x+150
           10

25 = 30*cos x_{10}

= cos x_{10}

Cos^{-1} ( ) / 0.59 = x_{10}

X = 1.85

π Grunden til at det er π tiendedel er, at perioden svarer til π tiendedel.

π

5 π

6

5 π

6

Side 4

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

Enhedscirklen:

Hvis man bevæger sig venstre om enhedscirklen, kaldes det en positiv omløbsretning, modsat bevæger man sig højre om enhedscirklen, kaldes det en negativt omløbsretning.

Figuren her viser at enhedscirklen, har centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt i (0,0).

Enhedscirklen skærer X- og Y-aksen i punkterne (1,0), (0,1), (-1,0) & (0,-1).

Som det kan ses på ovenstående figur, har punkterne tilsvarende π punkter. Disse π punkter kan vi bruge til at lave harmoniske svingninger af.

Cosinus svingerne svarer til x koordinaterne, mens Sinus svingningerne svarer til y koordinaterne.

π -3π

2 2 π -2π

- π 0

2π

-π 3π

2 2

Cos

Sin

Side 5

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

Sinus Svingning

Cosinus Svingning

-

-5

5 x y

Dette er både sinus og cosinus svingningerne for enhedscirklen.

Amplitude

Frekvens

Side 6

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

På figuren vises frekvens og amplitude.

f(x)=5*sin(0.5x+0)+10

-15 20

-10

-5

5

10

15

20 x y

Denne figur har ændret faseforskydning, hvilket medfører at figuren svinger rundt om 10 i stedet for 0.

Side 7

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

Figuren viser en principskitse af en sinus svingning. Denne skitse viser, som navnet også fortæller, hvordan en sinus svingning i princippet er.

På y-aksen faseforskydningen (d), og hvordan svingningen går fra faseforskydning + amplituden (a) til faseforskydning – amplituden. Dette er nødvendighed for at det skal være en harmonisk svingning.

På x-aksen vises intervallerne. De er dog ikke vist i π punkter som ovenover, men det er vist tilsvarende ved en udregning.

Denne principskitse skal følges af alle svingninger, før de kan kaldes harmoniske svingninger.

Cosinus, sinus og tanges bruges ikke kun i sammenhæng med harmoniske svingninger. Vi bruger også flittigt disse tre begreber, når vi arbejder med retvinklede trekanter.

Vi har tre grundlæggende formler, når vi snakker cosinus, sinus og tangens i sammenhæng med retvinklede trekanter.

                Hos
CosV = <-> hos = hyp * cosv <-> hyp =

                Mod
SinV = <-> mod = hyp * sinv <-> hyp =

                Mod
TanV = <-> mod = hos * tanv <-> hos =
                Hos

Med disse tre formler kan stortset alt i en retvinklet trekant beregnes, bare der enten bliver oplyst en katete og en vinkel, eller to kateter.

Her følger et par eksempler på hvordan disse formler bruges i sammenhæng med retvinklede trekanter.

Hyp CosV

Hos

Hyp

Mod

SinV

Mod

TanV

Side 8

22/04-10 Emneopgave Matematik

[navn fjernet]

[navn fjernet] & [navn fjernet]

2.B HHX Slotshaven

30º 38º

Mod

?

Hos Hos = 7

Hyp = 10

Mod = Hyp * SinV Hyp = Hos / CosV
Mod = 10 * Sin(30) Hyp = 7 / Cos(38)
Mod = 5 Hyp = 8,9

Mod

Hyp = ?

40º

Mod = 6

Hos = ?

Hyp

Hos = Mod / TanV
Hos = 6 / Tan(40)
Hos = 7,2