Kaffekopper - Matematikprojekt om Vektorfunktioner

Side 1

HTX 3. år

Udleveringsdato: 23/10/12

HTX 3. år

I følgende projekt løses Projekt 2 - Kaffekopper, fra kapitel 2, Vekt orfunk ti oner, på s. 146 i Mat A HTX, skrevet af Allan Bohnstedt et. al.

Alle endelige svar/resultater er markeret med orange.

Opgave beskrivelse

Den velkendte forlystelse, de roterende "kaffekopper", skal beskrives ved vektorfunktioner. I en forlystelsespark findes en stor drejeskive, hvorpå der er monteret nogle mindre drejeskiver, som er påmonteret selve kaffekopperne, hvor man kan sidde i (jf. figur 1).

Som nævnt ønsker man en analyse af bevægelsen af én af kopperne, symboliseret ed punktet P på figur 2. Den store drejeskives vinkelhastighed er lig: og afstanden .

Den lille drejeskives vinkelhastighed er lig: og afstanden .

Desuden vides det, at ved tidspunktet t=0, befinder punket P sig i koordinatet (6,0).

Bevægelsen analyseres i intervallet .

Følgende opgaver medfølger projektet:

a) Opstil en vektorfunktion, der beskriver banekurven for punkt P. Afbild banekurven

b) Beregn koordinaterne til punkt P når t = 3 sek.

c) Beregn de tidspunkter, t, hvor banekurven skærer koordinatsystemets akser. Angiv de tilhørende koordinater.

d) Beregn de tidspunkter, t, hvor banekuren har lodrette tangenter. Angiv de tilhørende koordinater.

e) Opstil og afbild et udtryk for farten. Bestem den maksimale fart, enten ved aflæsning eller beregning.

f) Opstil og afbild et udtryk for størrelsen af accelerationen. Bestem den maksimale acceleration, enten ved aflæsning eller beregning.

Side 2

Opgave analyse og teori

For at kunne beregne de gine opgaver, skal følgende koncepter først forstås:

VEKTORFUNKTIONER

En vektorfunktion afbildeder en partikels banebevægelse som funktion af tiden. En stedvektor til et punkt, P, på en banekurve betegnes ved følgende vektorfunktion:

Hvor x(t) og y(t) er banekurvens koordinatfunktioner.

LÆNGDEN AF EN VEKTOR

Længden af en vektor kan beregnes ved hjælp af Pythagoras' læresætning adapteret til vektorer:

LODRETTE TANGENTER

Stedvektoren til et givent punkt på en banekurve er givet ved følgende vektorfunktion:

Hvis der findes et punkt på banekurven, hvor der er en lodret tangent, vil det gælde, at tangentvektorens 1. koordinat er lig med 0. Banekurvens tangentvektor er givet som:

Koordinaterne til den lodrette tangentvektor findes ved at løse ligningen: . Dernæst indsættes den fundne t-værdi i tangentvektor-funktionen.

SKÆRING MED KOORDINATETS AKSER

Ved en skæring med x-aksen, er y(t) = 0, hvorfor vi løser denne ligning med hensyn til t, hvorefter

denne indsættes i parameterfremstillingen, hvorpå man finder det tilhørende koordinatsæt for skæringspunktet på x-aksen.

På tilsvarende måde kan man bestemme skæringen med y-aksen, blot ved at løse ligningen x(t)=0 i

stedet.

HASTIGHED

Hastigheden af en partikel i bevægelse måles op ad x-aksen. Differentierer vi stedvektoren, vil vi få et udtryk, der beskriver ændringen i sted divideret med ændringen i tid, hvilket sarer til hastighed.

Denne vektor kan beskrives ved:

FART

Farten beskrives som længden af hastighedsvektoren. Vha. formlen for længden af en vektor, kan farten beskrives ved:

ACCELERATION

Side 3

Accelerationsvektoren er hastighedsvektoren differentieret, altså den dobbelte differentierede vektor, hvilket kan udtrykkes ved:

Accelerationens størrekse kan beskrives som længden af accelerationsektoren og igen vha. ormlen for længden af en vektor, kan accelerationen beskrives ved:

CARDIOIDE

En cardioide er en hjerteformet banekure, som fremkommer af to sammensatte cirkelbevægelser.

Grafens betegnelse skyldes dens hjerteformede facon. Har man to ens tandhjul, hor den ene er fastgjort, og det andet kører rundt om det faste tandhjul, og de begge har en radius r, vil man kunne beskrive banekurven for et punkt, P, på den roterende cirkel.

Hvis vi har en vektor, CP:

Når cirklen har roteret én omgang, har dens centrum roteret en halv omgang i forhold til det andet tandhjuls centrum, O. Stedvektoren til C bliver derfor lig:

Vektorfunktionen for den sammensatte bevægelse kan beskrives som:

Dokumentation og verifikation

I en forlystelsespark findes en stor drejeskive, hvorpå er monteret nogle mindre drejeskiver, som er påmonteret "kaffekopper" man kan sidde i (se figur 1).

Side 4

Man ønsker en analyse af bevægelsen af en af kopperne, symboliseret ved punkt P på figur 2. Den store drejeskives vinkelhastighed, og afstanden .

Den lille drejeskives vinkelhastighed og afstanden .

Til tidspunktet t=0 er P=(6,0).

Bevægelsen analyseres i intervallet .

Opgave a

Opstil en vektorfunktion der beskriver banekurvens for punkt P. Afbild banekurven.

Det vides, at x og y værdierne for vektoren OC kan beskrives ved vektorens radius (4 m) multipliceret med hhv. cosinus til vinklen og sinus til vinklen:

Det vides, at vinkelhastigheden svarer til 1 omgang pr. sekund, hvilket betyder at den bevæger sig fra 0 til i én omgang, og samtidig bevæger tiden t sig også i det interval. Vinklen v og tiden t følger derfor hinanden, hvorfor de kan sættes lig hinanden. x og y koordinaterne for vektoren OC vil derfor være lig:

Det samme kan siges om bevægelsen af punktet P, bortset fra at den drejeskives radius er lig 2 m og at dens vinkelhastighed ligger på 2 omgange pr. sekund, hvorfor vektoren CP's x og y værdier vil være lig:

For at bestemme vektorfunktionen for banekurven af punktet P, skal vi lægge de to kendte vektorer sammen, dvs. OC og CP for at få vektoren OP:

Additionen af disse to vektorer er lig:

Kurven afbildes således, hvor det ses, at banekurven er en cardioide.

Side 5

(3.1.2)(3.1.2)

(3.1.3)(3.1.3)

(3.1.1)(3.1.1)

(3.1.4)(3.1.4)

Om ovenstående vektorfunktion kan anses som valide kan vurderes ved at indsætte forskellige passende værdier for tiden t, dvs. , og derved se om de derved udregnede koordinatsæt overhoved befinder sig på banekurven:

Disse koordinater befinder sig alle sammen på banekurven, hvorfor vektorfunktionen kan anses som værende valid.

Opgave b

Beregn koordinaterne til punkt P når t = 3 sek.

Værdien for tiden t indsættes i vektorfunktionen fra opgave a, og koordinaterne udregnes:

Side 6

(3.2.1)(3.2.1)

(3.3.2)(3.3.2)

(3.2.2)(3.2.2)

(3.3.1)(3.3.1)

Dette result kan vurderes ved, at vi ved at t=3 ligger tæt på rent talmæssigt, hvorfor deres

koordinater også burde ligge tæt op ad hinanden. Vi indsætter derfor i vektorfunktionen for OP for at bestemme koordinaterne:

De to koordinatsæt ligger gevaldig tæt på hinanden, hvorfor de kan anses som værende valide.

Opgave c

Beregn de tidspunkter, t, hvor banekurven skærer koordinatsystemets akser. Angiv de tilhørernde koordinater.

Skæringspunkter med x-aksen

For at bestemme cardioidens skæring med x-aksen, må vi sætte y-koordinatets funktion lig 0.

Dernæst isoleres tiden t.

solve for t

Vi indsætter de to fundne t-værdier i x-koordinatets funktion (x(t)):

Dvs. vi har et skæringspunkt på x-aksen med koordinaterne (6,0), og:

Vi har samtidig et skæringspunkt med x-aksen med koordinaterne (-2,0).

Skæringspunkter med y-aksen

For at bestemme cardioidens skæring med y-aksen, må vi sætte x-koordinatets funktion lig 0.

Dernæst isoleres tiden t.

solve for t

Vi indsætter de to fundne t-værdier i y-koordinatets funktion (y(t)):

Side 7

(3.3.3)(3.3.3)

(3.3.5)(3.3.5)

(3.3.4)(3.3.4)

(3.3.6)(3.3.6) at 5 digits

Vi har derfor ét skæringspunkt med y-aksen med koordinaterne (0, 5.0848), og: at 5 digits

Denne sidste værdi kan ikke bruges, da resultatet giver et imaginært tal, hvilket er et komplekst tal, hvis kvadrat er lig med eller mindre end 0. Men da det forrige skæringspunkts koordinat,

5.0848, var resultatet af en kvadratrod, giver denne to resultater; ét positivt og ét negativt, hvorfor vi i virkeligheden har to skæringspunkter med y-aksen, der har følgende koordinater:

Resultatet kan vurderes grafisk ved at indsætte de fundne koordinater for skæringspunkterne, og plotte dem på grafen for banekurven:

Side 8

(3.4.1)(3.4.1)

(3.4.3)(3.4.3)

(3.4.2)(3.4.2)

Opgave d

Beregn de tidspunkter, t, hvor banekurven har lodrette tangenter. Angiv de tilhørende koordinater.

Tangentvektoren til banekurven ser således ud:

De lodrette tangenter for banekurven findes ved at sætte .

OP(t) differentieres: x'(t) sættes lig 0: solve for t

Disse fire værdier for t indsættes i funktionen for vektoren OP(t), således at de pågældende koordinater, hvor der er lodrette tangenter, kan bestemmes:

Side 9

(3.4.4)(3.4.4) at 5 digits at 5 digits

Dvs. ved tidspunkterne , er der hhv. fire lodrette tangenter, hvis koordinater er

Resultatet kan valideres ved at optegne punkterne hvor de tilhørende tangenter i banekurven skal ligge, for derved at kunne se, at de passer:

Opgave e

Opstil og afbild et udtryk for farten. Bestem den maksimale fart enten ved aflæsning eller beregning.

Først differentieres vektoren OP:

Side 10

(3.5.1)(3.5.1)

8 (3.5.3)(3.5.3)

(3.5.2)(3.5.2)

(3.4.4)(3.4.4)

Farten kan udtrykkes ved hjælp af følgende formel:

Denne afbildes ved følgende:

Ud fra ovenstående banekurve kan det aflæses, at den maksimale hastighed er lig 8 ved x=0.

Dette kan også beregnes ved at indsætte t=0 i udtrykket for farten:

For at sikre præcisionen af resultatet, kan vi udregne samme hastighed ved hjælp af Maples optimeringsfunktion, hvor den beregner hastigheden ud fra det givne differentierede udtryk samt den tilhørende t-værdi: maximize

Side 11

(3.6.1)(3.6.1)

(3.4.4)(3.4.4)

(3.6.2)(3.6.2)

Opgave f

Opstil og afbild et udtryk for størrelsen af accelerationen. Bestem den maksimale acceleration, enten ved aflæsning eller beregning.

Accelerationen for en banekurve kan udtrykkes ved følgende formel:

Udtrykket for vektorfunktionen OP skal derfor differentieres to gange:

Denne plottes grafisk:

Ved denne banekurven kan vi aflæse den maksimale acceleration til at være -12 ved y=0. Dette
kan også beregnes ved at sætte t=0 i funktionen for accelerationsvektoren:

Side 12

(3.6.3)(3.6.3)

(3.6.4)(3.6.4)

(3.4.4)(3.4.4)

Da accelerationen er en absolut værdi, dvs. længden fra punktet 0 til det pågældende punkt, vil værdien være positiv, altså vil den maksimale acceleration være lig 12, selvom den aflæses som

-12.

Konklusion

Ud fra ovenstående opgaver kan det konkluderes, at alle opgaver er besvaret på korrekt vis, da der er

en tilhørende verifikation/validering for hver opgave, der tilnærmelsesvis påviser de forskellige

resultater ved hver opgave.

Herved har jeg kunne bruge min viden om vektorfunktioner. Det er nu klart hvordan vektorfunktioner kan bruges i realiteten og virkelige situationer, da følgende projekt har været baseret på en virkelighedsnær opgave.