Logistisk vækst i en epidemi | Emneopgave

Side 1

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 1 af 8

Logistisk vækst og epidemi

Indhold

Indledning .......................................................................................................................................................... 2 Teori ................................................................................................................................................................... 2 Udregning .......................................................................................................................................................... 5 Konklussion ........................................................................................................................................................ 8 Vurdering ........................................................................................................................................................... 8

Side 2

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 2 af 8

Logistisk vækst kan også være opstillet på følgende måde

𝑦^{′} =𝑎𝑦 ∗ ( 𝑀 − 𝑦) hvor 𝑀=

𝑏 𝑎

Her ser løsningsfunktionen blot lidt anderledes ud

𝑦=

𝑀

1 + 𝑘𝑒^{−𝑎𝑀𝑡}

Differensation af sammensat funktion

(kæderegel)

() = − ∗ 𝑓^{′} ( 𝑥)

1 1 𝑓 ( 𝑥)

′

( 𝑓 ( 𝑥))^{2}

Forskudt eksponentiel vækst har løsningen

𝑦^{′} =𝑏 − 𝑎𝑦

𝑦= + 𝑘∗𝑒^{−𝑎𝑡}

𝑏 𝑎

Indledning

Denne opgave handler om at skønne udbredelsen af en sygdom, hvor smitten følger et logistisk forløb, da smitten vil brede sig hurtigere og hurtigere i takt med, der er flere som bliver smittet.

Man antager altså en sammenhæng mellem antal smittede, S, i forhold til tiden, T, som tilfredsstiller differentialligningen

𝑆^{′} ( 𝑡) =𝑆 ( 𝑡) ∗ (𝑏− 𝑎∗ 𝑆 ( 𝑡)) , 𝑎>0 , 𝑏>0

Af erfaring skønner man yderligere at der i gennem hele tidsperioden vil blive smittet 1.000.000 mennesker før smitten går i stå igen.

©opyrigts 2015

All rights reserved on all figures.

Teori

Logistisk vækst er beskrevet med differentialligningen

𝑦^{′} =𝑦 ( 𝑏− 𝑎𝑦) 𝑎≠0 𝑏≠0

og væksten er ofte som funktion af tiden, t.

For at finde frem til løsningsformlen kan følgende udledning gøres

Multipliceres et led på begge sider

− ∗ 𝑦^{′} =

𝟏 −𝑦 ( 𝑏− 𝑎𝑦)
𝒚^{𝟐} 𝒚^{𝟐}

Højre side forkortes lidt

− ∗ 𝑦^{′} =

1 − ( 𝑏 − 𝑎𝑦)
𝑦^{2} 𝒚

  1       − (
       ′
−   ∗ 𝑦 =
   2
  𝑦

𝑏−𝑎𝑦) 𝒚

− ∗ 𝑦^{′} = =𝑎− 𝑏∗

1 −𝑏+ 𝑎𝑦 1
𝑦^{2} 𝑦 𝑦

Derefter reduceres venstre side ud fra reglen om differensation af sammensat funktion

() =𝑎− 𝑏∗

1^{′} 1

𝑦 𝑦

Dette udtryk svarer til forskudt eksponentiel vækst - blot hvor a og b er byttet rundt, og hvor y

erstattet med^{1}_{𝑦}. Derfor kan differentialligningen ovenfor løses ligesom forskudt

eksponentielvækst, hvor løsningen bliver

Side 3

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 3 af 8

1 𝑎 𝑦 𝑏

= + 𝑘_{1} ∗ 𝑒^{−𝑏𝑡}

Ovenfor bliver konstanten ad gode grunde kaldt k. Forklaring følger.

1

For at få y til at stå alene, kan der ganges med y og deles med^{𝑎}_{𝑏} + 𝑘_{1} ∗ 𝑒^{−𝑏𝑡} på begge sider, så der

kommer til at stå

𝒚=

𝟏 𝑎 𝑏

+ 𝑘_{1} ∗ 𝑒^{−𝑏𝑡}

For at gøre højre side mere læselig, ganges med^{𝑏}_{𝑎} i både tælller og nævner

𝑦=

𝑏 𝑎

1 + 𝑘_{1} ∗ 𝑒^{−𝑏𝑡}

𝑏 𝑎

Men da både a og b er konstanter reduceres udtrykket i nævneren

𝑘= 𝑘_{1}

𝑏 𝑎

En differentialligning for logistisk vækst har altså (den ikke trivielle) løsning

𝒚=

𝒃 𝒂

𝟏 + 𝒌𝒆^{−𝒃𝒕}

Logistisk vækst har i modsætning til exponentielvækst et maximum. Det skyldes, at man i

differentialligninen har tilføjet en grænse/dæmper, ved at multiplicere et ekstra led på

differentialligningen.

Eksponentiel vækst er beskrevet med differentialligningen 𝑦′=𝑎𝑦. Men ved logistisk er der som

sagt tilføjet et led mere.

𝑦^{′} =𝑎𝑦∗ ( 𝑴 − 𝒚), 𝑀=

𝑏 𝑎

Derfor er der flere ting, som er karakteriskt ved logistisk vækst.

Logistisk vækst forekommer oftest som funktion af tid, hvor væksten vil have en løsning, der danner en kurve som vist på figur 1 - forudsat at væksten er positiv!.

Som det ses flader kurven modsat ekspononentielvækst ud, når det nærmer sig maksimum (dæmpningen)

Figur 1) afbillede af positiv logistisk vækst

Side 4

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 4 af 8

Den indlagte dæmpning kan også illustreres Y' som funktion af Y, som viser hvordan hastigheden for udviklingen har form som et andengradspolynomie. På figur 2 ses det hvordan hastigheden pludselig aftager, og til sidst går i nul.

Når man tager et kig på den logistiske vækst, ses det også, at, hvis man ganger y ind i parantesen, fås et andengraddspolynomie som funktion af y

𝑦^{′} =𝑦 ( 𝑏− 𝑎𝑦) ⇔ 𝒚 =−𝒂𝒚^{𝟐} + 𝒃𝒚

′ og da a-leddet er negativt, vil grafen komme til at ligne en sur mund.

Samtidig kan det så siges, at når hastigheden er lig med 0, vil sælve væksten også gå i stå.

Figur 3) Sammenhæng mellem hastighed og vækst

Ud fra figur 3, kan det aflæses, hvad den maksimale vækst vil være. I differentialligningen for logisk vækst skal Y' være lig 0, for at finde det tidspunkt, hvor væksten står stille, og når y' mærke er udtrykt som et podukt, gælder at den ene part af produktet skal være lig med 0, for at y' selv bliver 0.

𝑦^{′} =𝑦∗ ( 𝑏 − 𝑎𝑦)
Så enten skal y være lig 0, eller også skal b-ay være lig 0. Ud fra figur 3 er det nemt at se, at y=0

findes ved begyndelsen af væksten. Derfor må vækstens grænse altså være når b-ay er lig med 0.

𝑔𝑟æ𝑛𝑠𝑒; 𝑏 − 𝑎𝑦=0

Figur 2) Hastigheden aftager

Side 5

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 5 af 8

Herudfra kan y isoleres, og det fremkommer at

𝒈𝒓æ𝒏𝒔𝒆; 𝒚=

𝒃 𝒂

                                                  𝑎
Det betyder at grænseværdien for en logistisk vækst svare til
                                                  𝑏

som (næsten) opnås når tiden, t, går mod uendelig.

Så en oversigt over teorien er vist på figur 4. Yderligerer illustrerer figur 4 også den positive logistiske vækst i forhold til negativ logistisk vækst.

Figur 4) En oversigt over positiv og negativ vækst

Udregning

Antal smittede mennesker i forhold til tiden vil have løsningen,

𝑆 ( 𝑡) = 𝑎>0 , 𝑏>0

𝑏 𝑎

1 + 𝑘𝑒^{−𝑏𝑡}

for at passe ind i differentialligningen for (positiv) logistisk vækst, hvor noget forøges.

Da der allerede kendes antal smittede ud fra 𝑡=0 kan disse værdier allerede sættes ind i

løsningen

20.000= =

𝑏 𝑏 𝑎 𝑎

1 + 𝑘𝑒^{0} 1 + 𝑘

Side 6

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 6 af 8

Derudover kan der også opstilles en anden ligning, når det vides, at der samlet set smittes

1.000.000 mennesker før væksten går i stå

lim 1.000.000=         ⇒ 1.000.000=
𝑡→∞

𝑏 𝑎

1 + 𝑘𝑒^{−𝑏𝑡} 𝑎

𝑏

Hvis der antages, at tiden, t, måles i uger, vil der i uge i være smittet 3920 mere. Derfor kan der

igen stilles en ligning op ud fra 𝑡=1

23.920=

𝑏 𝑎

1 + 𝑘𝑒^{−𝑏}

De tre ovenstående ligninger med tre ubekendte kan nu løses, så konstanterne, k, b og a, kan bestemmes (udregnet vha. maple).

⎩ | ⎭
⎪ | ⎪
⎪ | ⎪

⎨ 23.920= ⎬

⎪ | ⎪
⎪ | ⎪
⎧ | ⎫

20.000=

𝒃 𝒂 249

1 + 𝒌 299

𝒃 𝒂 249

1 + 𝒌𝑒^{−𝒃}
1.000.000=

𝒃 𝒂

𝒂= − ≅𝟏,𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎^{−𝟕}

ln()

1.000.000

𝒃=−ln()≅𝟎,𝟏𝟖𝟑

299

𝒌=𝟒𝟗

Dermed er den bestemte løsning til diferentialligningen

𝑆(𝑡)= ⇔ 𝑺(𝒕)=

𝟎,𝟏𝟖𝟑

𝟏,𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎^{−𝟕}
1 + 49 ∗ 𝑒^{(}^{−𝟎,𝟏𝟖𝟑𝑡} 1 + 49 ∗ 𝑒^{−0,183𝑡}

)

1.000.000

Denne funktionsforskrift vil se ud som vist på figur 5

Figur 5)

Antallet af smittede mennesker

Side 7

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 7 af 8

Hastigheden for hvor hurtigt smitten breder sig svarer til hældningskoeficienten, så for at finde den uge, hvor antallet af smittede per uge overstiger 20.000 skal differentialkoeficienten først findes (maple brugt).

lim     =lim                   ⇒ 𝑣    ( 𝑡 ) =
𝑡→0       𝑡→0

𝑑𝑆 ( 𝑡) 8.967.000∗ 𝑒^{−0,183𝑡}
𝑑𝑡 𝑑𝑡 49 ∗ 𝑒^{−0,183𝑡} + 1

𝑑()

1.000.000

1 + 49∗ 𝑒^{−0,183𝑡}
()^{2}

Herefter kan hastigheden, v, sættes til 20.000 og tiden, t, kan isoleres derfra

20.000=

8967000 ∗ 𝑒^{−0,183𝑡}
( 49 ∗ 𝑒^{−0,183𝑡} + 1)^{2}
⇔ 𝑡=10,65 ; 𝑡=31,90

Der er altså som forventet to tispunkter, hvor hastigheden er på 20.000 smittede pr. uge.

Så tidspunktet, t, hvor tiden, t, overstiger 20.000 smittede

0 pr. uge er

𝒕_{𝟎} =𝟏𝟎,𝟔𝟓

For at finde ud af, hvor hastigheden er størst, skal toppunktet på hastighedsfunktionen findes. Det kan ske ved at differentiere hastigheden og sætte differentialkoeficienten lig med 0, da hældningen i toppunktet er 0 (calculator brugt).

lim     =lim
𝑡→0       𝑡→0

𝑑𝑣 ( 𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 ()

8.967.000∗ 𝑒^{−0,183𝑡}
( 49 ∗ 𝑒^{−0,183𝑡} + 1)^{2}

⇒ 𝑣^{′} ( 𝑡) =− − =0

1.640.793,8 ∗ 𝑒^{(}^{−0,183𝑡} 160.797.793∗ (𝑒^{(}^{−0,183𝑡})^{2}

))

( 49 ∗ 𝑒^{(}^{−0,183𝑡} + 1)^{2} ( 49 ∗ 𝑒^{(}^{−0,183𝑡} + 1)^{3}

))

⇔ 𝑡=21,27

Så der hvor hastigheden er størst, er ved tidspunktet, t

1

𝒕_{𝟏} =𝟐𝟏,𝟐𝟕

Den eksakte hastighed kan blot findes ved at sætte tiden, t, til 21,27 i forskriften for hastighed.

𝒗 ( 𝒕_{𝟏}) = =𝟒𝟓.𝟕𝟒𝟕,𝟔𝟕

8.967.000∗ 𝑒^{−0,183∗21,27} 𝒔𝒎𝒊𝒕𝒕𝒆𝒅𝒆
( 49 ∗ 𝑒^{−0,183∗21,27} + 1)^{2} 𝒖𝒈𝒆

95% af det samlede antal forventede smittede er

1.000.000∗ 95%=950.000 𝑠𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑑𝑒

Figur 6) Hastigheden af væksten

Side 8

HTX - [navn fjernet] Gymnasium

[navn fjernet] 2.A Lærer: Hedinn Bjornson

Matematik A Side 8 af 8

For at finde ud af, hvornår det samlede antal af smittede er 950.000, skal antallet af smittede, S, sættes til 950.000

Tidspunktet, t, til 𝑆=950.000 kan findes enten ved at aflæse t-værdien på grafen over smittede

2 eller ved at sætte tallet ind på S's plads i funktionsforskriften og løse for tiden, t.

950.000=

1.000.000

1 + 49∗ 𝑒^{−0,183𝑡}

⇔ 1 + 49∗ 𝑒^{−0,183𝑡} =

1.000.000

950.000

⇔ 𝑒^{−0,183𝑡} =

1.000.000

950.000

− 1

49

⇔ 𝑡=

ln()

1.000.000

950.000

− 1

49

−0,183
⇔ 𝑡=37,36

Tidpunktet, t, hvor 95% af det

2 forventede antal smittede er nået er

𝒕_{𝟐} =𝟑𝟕,𝟑𝟔

Konklussion

Det er muligt ud fra de få informationer og erfaringer at opstille en funktionsforskrift passende til differentialligningen for logistisk vækst.

Med funktionsforskriften er det muligt at aflæse sig frem til hvor mange og hvor hurtigt smitten rammer befolkningen, hvoraf det blev aflæst at 95% af det forventede antal smittede er nået efter

37,36 uger.

Vurdering

Logistisk vækst er en fremragende metode til at estimere fremkomne sammenhænge, hvilket er rigtig brugbart i verdenen i dag.

Bl.a. når der i dag produceres og sælges mange produkter fra en producent, er det dejligt at vide, hvordan efterspørgslen og salget af de nye produter vil stige helt vildt i starten, når folk med tiden lærer produktet at kende, men senere ikke køber produktet længere, da alle har det, eller det ikke er atraktivt længere.

Ydermere viser sådanne logistiske sammenhænge - dannet ud fra tidligere erfaring - også hvor

lang tid en producent har til at komme frem med et nyt/andet atraktivt produkt som også sælges,

så det gode salg vil fortsætte.

Figur 7) Afæsning af S=950.000