Logistisk vækst i en epidemi | Emneopgave

Indledning

Denne opgave handler om at skønne udbredelsen af en sygdom, hvor smitten følger et logistisk forløb, da smitten vil brede sig hurtigere og hurtigere i takt med, der er flere som bliver smittet. Man antager altså en sammenhæng mellem antal smittede, S, i forhold til tiden, T, som tilfredsstiller differentialligningen Af erfaring skønner man yderligere at der i gennem hele tidsperioden vil blive smittet 1.000.000 mennesker før smitten går i stå igen.

Teori

Logistisk vækst er beskrevet med differentialligningen og væksten er ofte som funktion af tiden, t. For at finde frem til løsningsformlen kan følgende udledning gøres Multipliceres et led på begge sider Højre side forkortes lidt Derefter reduceres venstre side ud fra reglen om differensation af sammensat funktion Dette udtryk svarer til forskudt eksponentiel vækst - blot hvor a og b er byttet rundt, og hvor y erstattet med . Derfor kan differentialligningen ovenfor løses ligesom forskudt eksponentielvækst, hvor løsningen bliver Matematik A Side 3 af 8 Ovenfor bliver konstanten ad gode grunde kaldt k . Forklaring følger.

For at få y til at stå alene, kan der ganges med y og deles med på begge sider, så der kommer til at stå For at gøre højre side mere læselig, ganges med i både tælller og nævner Men da både a og b er konstanter reduceres udtrykket i nævneren En differentialligning for logistisk vækst har altså (den ikke trivielle) løsning Logistisk vækst har i modsætning til exponentielvækst et maximum. Det skyldes, at man i differentialligninen har tilføjet en grænse/dæmper, ved at multiplicere et ekstra led på differentialligningen.

Eksponentiel vækst er beskrevet med differentialligningen . Men ved logistisk er der som sagt tilføjet et led mere.

Derfor er der flere ting, som er karakteriskt ved logistisk vækst.

Logistisk vækst forekommer oftest som funktion af tid, hvor væksten vil have en løsning, der danner en kurve som vist på figur 1 - forudsat at væksten er positiv!. Som det ses flader kurven modsat ekspononentielvækst ud, når det nærmer sig maksimum (dæmpningen) Matematik A Side 4 af 8 Den indlagte dæmpning kan også illustreres Y' som funktion af Y, som viser hvordan hastigheden for udviklingen har form som et andengradspolynomie. På figur 2 ses det hvordan hastigheden pludselig aftager, og til sidst går i nul.