Transportbane - Matematik projekt fra "Teknisk Matematik" på HTX

Side 1

Transportbane

Projektet tilhører emnet differentialregning, der handler meget om funktioner, og hældninger i bestemte punkter, på bestemte grafer. I mit teori vil jeg komme nærmere ind omkring hvad differentialregning er, hvad differentialkvotienten er, og hvordan man udregner den. Så vil jeg komme ind omkring hvad differentiabilitet og kontinuitet er. Så vil jeg vise nogle beviser omkring differentiation af produkt, sum og heltal pontens funktion. Opgaven i sig selv består af 2 dele, i den første del, skal man bestemme forskriften for den parabel, der laver en glidende overgang ind i selve transportbanen. I anden del skal man udregne på hvilke strækninger at transportbanen skal forstærkes.

HTX 3. år

Side 2

2

Indhold

Teori ............................................................................................................................................................ 3 Differentialkvotient: ................................................................................................................................. 3

3-trins reglen ........................................................................................................................................... 3 Kontinuitet & differentiabilitet ................................................................................................................. 4 Beviser......................................................................................................................................................... 4 Bevis for differentiation af sum ................................................................................................................ 4 Bevis for differentiation af produkt .......................................................................................................... 5 Differentielkvotienten af en heltalspotensfunktion .................................................................................. 6 Løsningsmodel ............................................................................................................................................. 6 Opgave a) ................................................................................................................................................ 6 Opgave b) ................................................................................................................................................ 7 Beregninger ................................................................................................................................................. 7 Opgave a) ................................................................................................................................................ 7 Opgave b) ................................................................................................................................................ 8 Vurdering .................................................................................................................................................... 8 Opgave a) ................................................................................................................................................ 8 Opgave b) ................................................................................................................................................ 9 Perspektivering ............................................................................................................................................ 9 Konklusion ................................................................................................................................................... 9

Side 3

3

Teori

Differentialkvotient:

Ordet differentialkvotient er blot et ”fint” ord for hældning. Eller hældningen i et bestemt punkt på grafen.

3-trins reglen

Måden at finde differentialkvotienten, hedder 3-trins reglen, som lyder således:

Trin 1)

Sekantens y-tilvækst

)()( xfxxfy −Δ+=Δ

Første trin er meget simpel, det er bare forskellen på y værdierne.

Trin 2)

Sekantens hældning (Differenskvotienten)

Δ x Δ x

Δ )()( y −Δ+ xfxxf
=

Vi ved noget om hældninger, når der er tale om lineære funktioner (rette linier) med forskriften

baxxf +=)(. Hældningen for en lineær funktion a

er den samme uanset hvor på linien, man befinder sig. Det er sådan at vi får trin 2.

Trin 3)

Bestem grænseværdien

= = xf)('

Δ y xfxxf)()(

        −Δ+
limlim
       Δ x
 xx →Δ→Δ 00

Δ x

Når hældningen skal bestemmes for funktioner, der ikke har en ret linie som sin graf, er problemet, at hældningen afhænger af, hvor vi befinder os på grafen eller på kurven. Man har derfor valgt at definere hældningen ved et bestemt x - altså)(' xf - som grænseværdien af differenskvotienten for 0→Δx, og sådan får vi vores trin 3.

Side 4

4

Kontinuitet & differentiabilitet

Kontinuert kaldes funktioner som man kan tegne uden at løfte blyanten fra papiret.

Det modsatte kaldes så diskontinuert, hvor der spring eller huller i grafen.

For at finde ud af om funktionen er kontinuert, skal følgende gælde

= = af)(

⎛ xf ⎞ ⎛ xf)(lim)(lim ⎞

→ ax^{1} → ax^{+−}

⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠

For at finde en differentialkvotient skal man kunne tegne en tangent til hvilket som helst punkt på grafen.

Så hvis der er et knæk på grafen, så kan man ikke finde differentialkvotienten i dette punkt.

Differentiabilitet kaldes det hvis grafen løber i bløde buer uden knæk.

Dette gælder for om grafen er differentiabel:

xf)(' = xf)('

⎛ lim ⎞ ⎛ lim ⎞

→ ax → ax^{+−}^{11}

⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠

Beviser

Bevis for differentiation af sum

Sætning:

Hvis f(x)=u(x)+v(x) gælder det at f’(x)=u’(x)+v’(x)

Bevis:

Jeg benytter 3-trinsreglen, og starter med at finde y-tilvæksten.

Jeg kan så se at det f gør ved x er, at den ganger med u og lægger v(x) til:

−Δ++−Δ+= xvxxvxuxxu)()()()(

−−Δ+= xvxuxxu)()()(

−Δ+=Δ xfxxfy)()(

)1

Og så til trin 2 hvor jeg skal finde sekantens hældning.

Jeg deler brøken op i 2, da det gør det nemmere i trin 3:

Δ x Δ x

−Δ+ xuxxu −Δ+ xvxxv)()()()(

Δ x Δ x

Δ y −Δ+ xfxxf)()(

= +

=

)2

Side 5

5

Trin 3, her finder jeg mit f’(x). Det gør jeg ved brug af ”lim, x gående så tæt på 0 som muligt”:

Q ED

+= xvxu)(')('

x → 0 Δ x x → 0 Δ x x → 0 Δ x

⎛ ⎞ Δ y ⎛ ⎞ −Δ+ xuxxu)()( ⎛ ⎞ −Δ+ xvxxv)()(

lim lim lim

)3

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Bevis for differentiation af produkt

Sætning:

Hvis)()()( xvxuxf ⋅= og)(xu og)(xv er differentiable, da gælder at:)()(')(')()(' xvxuxvxuxf ⋅+⋅=

Bevis:

Vi anvender 3- trins reglen på vores funktion.

Trin 1.:

( ) ( ) ⋅−+Δ⋅+Δ= xvxuxxvxxu)()(

−+Δ=Δ xfxxfy)()(

Som et lille trick trækker vi nu

( ) ( ) xxvxxu +Δ⋅+Δ

og lægger det til igen.

( ) ( ) +Δ⋅+⋅−+Δ⋅−+Δ⋅+Δ=Δ xxvxuxvxuxxvxuxxvxxuy)()()()()()(

( ) ( )( ) ( ) −+Δ+−+Δ+Δ=Δ xvxxvxuxuxxuxxvy)()()()(

⇓ parentesenudenfors ætter)(

Trin 2:

( ) ( )( ) ( ) −+Δ+−+Δ+Δ xvxxvxuxuxxuxxv)()()()(

Δ x

Δ x Δ x

Δ y −+Δ xfxxf)()(

=

=

Vi splitter nu brøken op, så er den er nemmere at arbejde med i trin 3.

( ) xxv

Δ )()( y  ( )( ) ( ) −+Δ xuxxu )( −+Δ xvxxv
      +Δ=           + xu )(

Δ x Δ x Δ x

Trin 3:

  ⎛
lim ( ) +Δ= xxv
x →Δ 0
  ⎝

( )( ) ( ) −+Δ xuxxu )( −+Δ xvxxv )()(
          + xu )(
                        ⎟

⎠

⎞

⎜

Δ x Δ x

Δ x Δ x

Δ y −+Δ xfxxf)()(

lim   =
 x →Δ 0

Side 6

6

Nu da vi ved at = xu)(' og = xv)(' så får vi at:

−+Δ xuxxu)()(( −+Δ xvxxv)()((

Δ x Δ x

xf =      ( )       ⋅+⋅= xvxuxuxv )(')()('lim)('
   x →Δ

QED

Δ x

Δ y

0

Differentielkvotienten af en heltalspotensfunktion

Sætning:

                                  n                             n − 1
Funktioner hvor der indgår potens:   ∈= ,)( Nnxxf differentieres som )(' = nxxf

Bevis:

Dette bevis er et induktionsbevis, sætningen vi har ovenover den kan man bevise for n=1 og for et vilkårligt

n, på den måde gælder beviset for alle n.

Basisskridtet: =⇒= xfxxf 1)(')( dette kommer fra 3-trins reglen som jeg har bevist tidligere i

1 opgaven

                                           n
Induktionsskridtet: Antag sætningen gælder for xxf =)(

         + 1 nn
Vi regner så på ( ) ( ) = xxx ''

( ) += 1^{n} bevisters ætningenatsigevilhvilketxn

   nn
+= xnx '

⋅+=.1 lenproduktregvhaxxnx

− 1 nn

Løsningsmodel

Opgave a)

Jeg ved at for at beregne forskriften for en parabel, så skal jeg bruge 3 oplysninger. Jeg kan ud fra de oplysninger jeg får givet i opgaven , finde 4 oplysninger, men jeg skal kun bruge 3. Når jeg har mine 3 oplysninger, så stiller jeg 3 ligninger med 3 ubekendte op ud fra mine oplysninger, og solver op lommeregneren, så får jeg mit a,b og c, og så sætter jeg dem ind i min forskrift for en andengrads polynomium , og får mig g(x).

Side 7

7

Opgave b)

Jeg ved at den skal forstærkes på de strækninger hvor vinkel er mellem 0 og 45 grader. Det er det samme som en hældning mellem 0 og 1. Derfor vil jeg finde mit h’(x) og derefter sætte hældningen til henholdsvis

1 og 0. Herud af får jeg 4 x’er, dertil vil jeg så finde mine y’er. Så har jeg 4 punkter, og kan derfra se på hvilke strækninger banen skal forstærkes.

Beregninger

Opgave a)

For at finde vores forskrift for vores parabel skal vi bruge 3 oplysninger

hy +−== 00*09,00*002,0)0(

x_{2} = 0

P_{2})0,0(

fy −=−= 1)2(

x_{1} −= 2

P_{1} −−)1,2(

23

2

1

2)(' += bxxg

xxxh +−= 118,0006,0)('

= gh)0(')0('

2

Nu når vi har de 3 oplysninger, så kan vi opstille 3 ligninger med 3 ubekendte

   2
25,0)( += xxxg

SOLVER

0**210*18,00*006,0 +=+− ba

0*0*0 ++= cba

2*)2(*1 +−+−=− cba

2

2

2

)3

)2

)1

Figur 1 Tegnet i programmet GRAPHMATICA

Side 8

8

Opgave b)

Vinkel mellem 0° og 45° er lig med en hældning mellem 0 og 1.

xxxh +−= 118,0006,0)(''

   23
09,0002,0)( +−= xxxxh

2

Vi sætter hældningen til 0 og 1 for at finde mellem hvilke x’er at hældningen er mellem 0° og 45°.

xx +−= 118,0006,01

xx +−= 118,0006,00

2

2

Ud af disse 2 ligninger får vi 4 x’er

x_{4} = 30

x_{3} = 64,22

x_{2} = 36,7

x_{1} = 0

Nu vil jeg finde mine y’er til mine x’er, ved at sætte dem h(x).

y_{4} =+−= 33030*09,030*002,0

y_{3} −=+−= 28,064,2264,22*09,064,22*002,0

y_{2} =+−= 28,336,736,7*09,036,7*002,0

y_{1} =+−= 000*09,00*002,0

23

23

23

23

P (0,0) P (7,36;3,28) P (22,64;-0,28) P (30,3)

1 2 3 4

Transportbanen skal derfor forstærkes fra:

P (0,0) 🡪 P (7,36;3,28) og P (22,64;-0,28)🡪 P (30,3)

1 2 3 4

Vurdering

Opgave a)

Jeg vurdere min opgave a, ved at tegne mit resultat ind på GRAPHMATICA.

Her kan jeg se at min parabel rigtig nok skærer min linie f(x) i punktet (-2,-1), og at den går gennem

(0,0), og at den har samme hældning som h(x), i punktet (0,0).

Side 9

9

Opgave b)

Jeg vurdere min opgave b, ved at tegne min funktion h(x) ind i GRAPHMATICA.

Her kan jeg se hvor banen skal forstærkes. Fra P

1 2 3 4

🡪P

Og fra P

🡪P

. Og det kan man se at det passer meget godt, med de punkter jeg fik udregnet i opgaven.

Perspektivering

Jeg synes det vil smart at perspektivere til vores cykel projekt som vi lavede i 1.g, der brugte vi også meget med funktioner, bl.a. til at designe vores egen cykel.

Vi havde også en opsamlingsopgave i uge 35 2009, hvor vi også regnede med funktioner, fx med at finde toppunkter og rødder.

Konklusion

Projektet tilhører emnet differentialregning, der handler meget om funktioner, og hældninger i bestemte punkter, på bestemte grafer. I mit teori vil jeg komme nærmere ind omkring hvad differentialregning er, hvad differentialkvotienten er, og hvordan man udregner den. Så vil jeg komme ind omkring hvad differentiabilitet og kontinuitet er. Så vil jeg vise nogle beviser omkring differentiation af produkt, sum og heltal pontens funktion. Opgaven i sig selv består af 2 dele, i den første del, skal man bestemme forskriften for den parabel, der laver en glidende overgang ind i selve transportbanen. I anden del skal man udregne på hvilke strækninger at transportbanen skal forstærkes.