Transportbane - Matematik projekt fra "Teknisk Matematik" på HTX

Teori

Differentialkvotient

Ordet differentialkvotient er blot et ”fint” ord for hældning. Eller hældningen i et bestemt punkt på grafen.

3-trins reglen

Måden at finde differentialkvotienten, hedder 3-trins reglen, som lyder således: Trin 1) Sekantens y-tilvækst )()( xfxxfy  Første trin er meget simpel, det er bare forskellen på y værdierne.

Trin 2) Sekantens hældning (Differenskvotienten) x

xfxxf

x y Vi ved noget om hældninger, når der er tale om lineære funktioner (rette linier) med forskriften . Hældningen for en lineær funktion er den samme uanset hvor på linien, man befinder sig. Det er sådan at vi får trin 2. Trin 3) Bestem grænseværdien

limlim

xf x

xfxxf

x y Når hældningen skal bestemmes for funktioner, der ikke har en ret linie som sin graf, er problemet, at hældningen afhænger af, hvor vi befinder os på grafen eller på kurven. Man har derfor valgt at definere hældningen ved et bestemt x - altså )(' xf - som grænseværdien af differenskvotienten for 0x , og sådan får vi vores trin 3.

baxxf )(

a

Kontinuitet & differentiabilitet

Kontinuert kaldes funktioner som man kan tegne uden at løfte blyanten fra papiret. Det modsatte kaldes så diskontinuert, hvor der spring eller huller i grafen. For at finde ud af om funktionen er kontinuert, skal følgende gælde

)(lim)(lim

af ax xf ax xf For at finde en differentialkvotient skal man kunne tegne en tangent til hvilket som helst punkt på grafen. Så hvis der er et knæk på grafen, så kan man ikke finde differentialkvotienten i dette punkt. Differentiabilitet kaldes det hvis grafen løber i bløde buer uden knæk. Dette gælder for om grafen er differentiabel:

lim

lim

xf ax xf ax

Beviser

Bevis for differentiation af sum

Sætning: Hvis f(x)=u(x)+v(x) gælder det at f’(x)=u’(x)+v’(x) Bevis: Jeg benytter 3-trinsreglen, og starter med at finde y-tilvæksten. Jeg kan så se at det f gør ved x er, at den ganger med u og lægger v(x) til:

xvxxvxuxxu

xvxuxxu

xfxxfy

Og så til trin 2 hvor jeg skal finde sekantens hældning. Jeg deler brøken op i 2, da det gør det nemmere i trin 3: x

xvxxv

x

xuxxu

x

xfxxf

x y Trin 3, her finder jeg mit f’(x). Det gør jeg ved brug af ”lim, x gående så tæt på 0 som muligt”:

Q ED

xvxu

x

xvxxv

x x

xuxxu

x x y x

lim

lim

lim

Bevis for differentiation af produkt

Sætning: Hvis …