Hjerting Kirke - Teknisk Matematik Opgaver

Side 1

Melek Korkmaz 1.V

Projekt i matematik 1.G
Hjerting Kirke

Vejleder: X

Skole: Københavns Teknisk Gymnasium

Fag: Matematik A

Side 2

Opgaveformulering

Hjerting Kirke er en kirke med en spændende arkitektur og udsmykning. Den blev bygget i 1992 i byen Hjerting, som ligger ca. 10 km nord for Esbjerg. Kirken er tegnet af arkitekten Alan Havsteen- Mikkelsen, og en del af den indvendige udsmykning, bl.a. alteret er foretaget af Robert Jacobsen.

Projektet består af fire spørgsmål.

Opgave a går ud på at bestemme det samlede gulvareal i kirken. Den samlede gulvareal bestemmes ved hjælp af målene fra figur 15.2.

Opgave b går ud på at bestemme arealet af murværket på nordgavlen (de farvede dele.) Arealet af murværket bestemmes ved hjælp af målene fra figur 15.3.

Opgave c går ud på at bestemme længden af stængerne a, b og c. længden af stængerne bestemmes ved hjælp af målene fra figur 15.3

Opgave d går ud på at bestemme hvor mange m^{3} beton der

medgår til stødning af tårnet. Mængden af beton bestemmes ved hjælp af målene fra figur 15.4.

Kommentar [h1]: Fin introduktion

Side 3

Opgave a (kirkens gulvareal)

Opgaven går ud på at bestemme det samlede gulvareal i kirken.

Som vi kan se på figuren 15.2, består kirkens gulvareal af flere forskellige geometriske figurer som cirkeludsnit og afskåret hjørner.

For at beregne den samlede gulvarealet har vi delt figuren.

har jeg tegnet hjælpelinjer, hvor vi får 3 flader, 2 cirkelafsnit og 4 retvinklet trekanter.

Opgave a gik ud på at beregne den samlede gulvarealet i kirken.

Hertil er der en skitse med angivne mål.

Side 4

Overvejelser

Til at starte med overvejede vi at:

- Beregne det samlede areal den røde firkant

- Beregn arealet af de to cirkelafsnitteter

- Læg det samlede areal af de to cirkelafsnitteter sammen med arealet af den røde firkant

- Beregne det samlede arealet af de fire røde retvinklet trekanter

- Træk arealet af trekanterne fra arealet af firkanten Den anden overvejelse

- Beregn arealet af den store firkant

- Beregn arealet af den lille firkant og gang det med to, da firkanterne er symmetriske.

- Beregn arealet af trekanten og gang det med 4, da der er fire symmetriske trekanter.

- Beregn arealet af cirkelafsnit 1

- Beregn arealet af cirkelafsnit 2

- Læg af arealet af firkanterne, trekanterne og cirkelafsnitterne sammen.

Valg af løsningsforslag

Vi har valgt den anden løsningsmetode, fordi vi mener at løsningsmetode 2 er mere overskuelige._{lidt?}

Kommentar [h2]: Fint

Kommentar [h3]: Kunne I uddybe det

Side 5

Beregninger

Rektangel 1

Arealet af rektangelet er:

Side a: 3,20m + 19,20m + 3,20m = 25,6m

Side b: 12,8m

25,6m ∗ 12,8m= 327,68m^{2}

Rektangel 2 og 3

De to farvede rektangler er symmetriske, det vil sige at beregning af det ene rektangel samtidig er giver arealet af det anden rektangel.

Arealet af de to farvede rektangler:

19,20m ∗ 3,20m ∗2= 122,88m^{2}

Trekant 1, 2, 3 og 4

Da alle fire trekanter er symmetriske beregner vi den ene og ganger med 4, for at beregne det samlede areal af alle fire trekanter siger vi:

½ ∗ 3,20m ∗ 3,20m ∗ 4 = 20,48m^{2}

Cirkelafsnit 1

For at bestemme arealet af cirkelafsnittet bruger

                 2
                𝑟   𝜋∗𝑣
vi formlen: Areal= (   − sin𝑣), men da vi
                 2  180°

ikke har fået opgivet vinkel v starter vi først med at beregne vinkel ved hjælp af cosinusrelationen:

        2
       𝑏
cos𝐴 =

+ 𝑐^{2} − 𝑎^{2}

2∗𝑏∗𝑐

Side 6

Vi har sidelængderne a, b og c, dem sætter vi ind i

                   2
               10,73
formlen: cosc =                = 0,59976 →
           1

+ 10,73^{2} − 9,60^{2}

2∗10,73∗10,73

cosc_{1}^{(}^{−1} = ( 0,59976) = 53,15°

)

Nu kan vi udregne arealet af cirkelafsnittet, da vi har udregnet vinkel v. Vi indsætter vinkel v ind i formlen for

           2                   2
          𝑟  𝜋∗𝑣            10,73 𝜋∗53,15°
                                                           2
cirkelafsnit: (  − sin𝑣) →      (       − sin53,15) = 7,34m
          2  180°                  180°

2

Cirkelafsnit 2

For at bestemme arealet af det andet cirkeludsnit

                           2
                          𝑟   𝜋∗𝑣
bruger vi igen formlen: Areal= ( − sin𝑣),
                           2  180°

men først udregner vi vinkel vi ved hjælp af

                        2  2  2
                       𝑏 + 𝑐 − 𝑎
cosinusrelationen: cos𝐴 =
                         2∗𝑏∗𝑐

Vi har sidelængden a, b og c, dem sætter vi ind i

                   2
                4,82
formlen: cosc =(             )= −0,1157→
           2

+ 4,82^{2} − 7,20^{2}

2∗ 4,82𝑚∗4,82𝑚

cosc_{2}^{(}^{−1} = ( −0,1157) =96,64°

)

Vi sætter vinkel v ind i forlen for cirkelafsnit:

𝑟^{2}

2 2

                  2
  𝜋∗𝑣          4,82  𝜋∗ 96,64°
                                                2
(    − sin𝑣) →     (       − sin(96,64))= 8,05m
  180°                180°

Den samlede gulvareal:

Areal: rektangel_{1} + rektangel + trekant + cirkelasnit_{1} +

2 og 3 1,2,3 og 4

cirkelafsnit :
          2

327,68m^{2} + 122,88m^{2} + 20,48m^{2} + 7,34m^{2} + 8,05m^{2} =486,43m^{2}

Kommentar [h4]: Fint

Kommentar [h5]: Fornemt.

En klar og præcis fremstilling af den tankegang, som ligger bag jeres besvarelse.

Side 7

Opgave b (arealet af murværket på nordgavlen)

Opgave b går ud på at bestemme arealet af murværket på nordgavlen (de farvede dele).

Arealet af felt 1

Vi starter med at finde arealet af det røde felt ved at sige:

A = a ∗ b → 12,8m ∗ 3,6m= 46,08m^{2}

Arealet af felt 2 (og 3)

Derefter beregner vi det andet felt, men først deler vi feltet op, så vi får en firekant og en retvinklet trekant.

Vi skal beregne firkantet, men vi kender kun den ene side af firkanten, den anden side beregner vi ved hjælp af pythagoras

lærersætning der sige: a^{2} + b^{2} = c^{2} eller √ a^{2} + b^{2} =c →
√ 3,2^{2} + 3,2^{2} = 4,53

Side 8

Nu har vi begge siderne af firkanten så vi siger 3,6m ∗ 4,53m = 16,3m^{2}

Derefter beregner vi den anden del af feltet altså den retvinklede

trekant ved at sige: ½ ∗ 4,53m ∗ (4,8m − 3,6m) = 2,718m^{2}

Det samlede areal af felt 2 er:

arealet_{firkanten} + arealet_{trekanten}

Altså er arealet: 16,3m^{2} + 2,718m^{2} =19,018m^{2}

Arealet af felt 3

Felt 3 er symmetrisk med felt 2, altså har begge felter det samme

mål og det samme areal. Så arealet af felt 3 er 19,018m^{2}.

Nordgavlens samlede areal:

Det samlede areal er summen af felt 1, felt 2 og felt 3.

Altså er arealet:

46,08m^{2} + 19,018m^{2} + 19,018m^{2} =84,116m^{2}

Side 9

Opgave c (længden af stængerne a, b og c)

Længden af stang a

For at beregne stangen a tegner vi først hjælpestreger så vi får en retvinklet trekant. Hypotenusen af trekanten er længden af stang a, og vi kan beregne

hypotenusen/stang a ved hjælp af pythagoras

lærersætning.

Vi havde tidligere beregnet den ene katete til 4,53m

(se opgave b).

Den anden katete er så (4,8m − 3,6m =) 1,2m

Da vi har begge kateter kan vi beregne hypotenusen efter pythagoras lærersætning:

√
4,53^{2} + 1,2^{2} =4,69m^{2}

Kommentar [h6]: Pythagoras

Side 10

Længden af stang b

For at beregne stang b starter vi med at tegne hjælpestreger, hvor vi for en retvinklet trekant 1.

Trekant 1 har kateten 3,2m og kateten 10,8m – 3,6m=7,2m

Vi bruger igen pythagoras lærersætning for at finde hypotenusen, og vi siger:

3,2^{2} + 7,2^{2} = √ 3,2^{2} + 7,2^{2} =7,88m

Trekant har kateten 7,88m og kateten^{12,8}_{2} =6,4m

Vi finder hypotenusen som samtidig er længden af stang b ved hjælp af pythagoras lærersætning:

7,88^{2} + 6,4^{2} = √ 7,88^{2} + 6,4^{2} =10,15 m

Længden af stang c

For at finde længden af stang c gøre vi det på den samme metode som vi gjorde for at finde stang a og stang b. Vi tegner først hjælpestreger så vi får en retvinklet trekant.

Hypotenusen af trekanten er længden af

stang c, og vi beregner hypotenusen /stang

c ved hjælp af pythagoras lærersætning.

                          12,8
Den ene katete af trekanten er: + 3,2= 9,6 m
                           2

Den anden katete af trekanten er: 10,8m – 4,8m = 6m

Da vi har begge kateter, kan vi beregne hypotenusen/længden af stang c ved hjælp af

pythagoras lærersætning:

√ 9,6^{2} + 6^{2} =11,32m

Kommentar [h7]: Rigtigt men måske I lige kunne argumentere for hvorfor det ikke er 4.8 i trækker fra de 10.8

Kommentar [h8]: Fint

Kommentar [h9]: Nydeligt

Kommentar [h10]: Nydeligt. Marker gerne resultaterne på en eller anden måde enten med to streger under eller med fed skrift eller noget helt tredje.

Side 11

Opgave d (kirketårnet)

Opgave d går ud på at bestemme hvor mange m^{3} beton, der medgår til støbning af tårnet. Vi får vide at

støbningen starter i kote 10,00 og slutter foroven i kote 21.00. Altså skal vi bestemme rumfanget af det

blåtfarvede områder med en højde på 11meter, da 21,00m - 10,00m = 11m. Som det fremgår bestå

kirketårnet af symmetriske cirkeludsnit. Kommentar [h11]: Fint

Side 12

Beregninger:

Cirkeludsnit 1

Vi ønsker at finde vinklen for hele cirklen. Til at starte med deler vi cirklen så vi har en halvcirkel med 180°og en cirkeludsnit med ubekendt vinkel.

For at beregne vinkelen for cirkeludsnittet tegner vi to symmetriske retvinklet trekanter, da trekanten er ligebenet.

Vinklen for den retvinklede trekant:

sin^{−1} =60,41°

1

1,15

Vinkelen for cirkeludsnittet må så være

180 − 60,41 ∗ 2= 59,18 °

Den samlede vinkel for cirkeludsnittet:

180° + 59,18 °=239,18° Kommentar [h12]: Fint

Arealet for cirkeludsnittet uden det grå felt:

π ∗ r^{2} ∗ v ∗ 239,18°

360° 360°

        2
  π∗1,15m
                       2
=              = 2,759m

Arealet for cirkeludsnittet med det grå felt:

π ∗ r^{2} ∗ v π ∗ 1,3m^{2} ∗ 239,18°

360° 360°

= =3,526m^{2}

Arealet af det grå felt:

3,526m^{2} − 2,759m^{2} =0,76m^{2}

Side 13

Cirkel 2

Vi tegner hjælpestreger så vi får et cirkeludsnit.

Vi finder vinklen for cirkeludsnittet ved at sige:

sin𝑣 =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛

sin^{−1} =23,19°

3,41

8,66

Arealet af cirkel 2 uden det grå felt:

𝜋 ∗ 8,66^{2} ∗ 23,19°

360°

=15,17m^{2}

Arealet af cirkel 2 med det grå felt:

𝜋 ∗ 8,81^{2} ∗ 23,19°

360°

=15,699m^{2}

Arealet af det grå felt:

15,699m − 15,17m^{2} =0,529 m^{2} Kommentar [h13]: Korrekt

2

Mængden af beton i alt:

2 ∗ 0,529 m + 2 ∗ 0,76m^{2} =2,578m^{2}

2

Da tårnet er 21,00m - 10,00m = 11m høj ganger vi med 11:

2,578m^{2} ∗ 11m= 28,358m^{3}

28,358m^{3} Kommentar [h14]: Flot.

Side 14

Konklusion

Ud fra beredningerne kan vi konkludere at kirken har et gulvareal på 486,43m^{2} og murværket nordgavlen
har en samlet areal på 84,116m^{2}.

Ved beregningerne kom vi frem til at:

- stang a har en længde på 4,69m^{2}

- stang b har en længde på 10,15 m

- stang c har en længde på 11,32m.

Der er blevet brugt 28,358m^{3} beton til kirkens tårn. Kommentar [h15]: Rigtig godt.

En meget grundig og gennemarbejdet besvarelse. Super flot!

12