Optimering med andengradspolynomium | Projektrapport | Plus A1 Stx

Side 1

Matematik projekt 20.9.2015

1

OPTIMERI N G VED H J Æ LP AF

ANDENGR A D S P OLYNOMIE R

Formål:

I dette projekt skal vi se nærmere på optimering ved hjælp af andengradspolynomier, hvor jeg har udarbejdet en projektrapporten, der består af 3 dele.

DEL 1: LANDMÆND

I denne opgave skal vi lave en indhegning til vores køer, der skal på græs, fordi vi forestiller os at vi er landmænd. Til dette formål har vi kun 150 meter hegn til indhegningen.

1. Først vil vi prøve at lave en rektangulær indhegning. Her vil vi finde ud af, hvor lange siderne skal være, for at køerne har det største areal. Derfor har vi lavet en matematisk model for problemet. Hvor vi kalder den ene sidelængde for x og den anden for y, og derudfra opstiller vi to ligninger, hvor x er den ene sidelængde og y er den anden:

2. Husk en tegning

3. INGEN REGNING UDEN TEGNING

Da det er et rektangel kan omkredsen findes ved at addere de fire sidelængder:

2𝑥 + 2𝑦 = 150

𝑦 = = 75 − 𝑥

150 − 2𝑥

2

Her indsætter vi så udtrykket for y i ligningen med arealet:

𝑥 ∗ (75 − 𝑥) = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙

75𝑥 − 𝑥^{2} = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙√

Da vi så har fundet en andengradsligning, kan vi finde toppunktet på følgende koordinat, for at finde det størst mulige areal i denne situation:

𝑇(,)

−𝑏 −𝑑

2 ∗ 𝑎 4 ∗ 𝑎

Da vi kun er interesseret i sidelængden udregnes x-koordinatet for at finde x’s sidelængden:

    −75
X =    = 37,5 𝑚√
 T
   2∗−1

Sidelængden y kan så findes:

Y_{T} = = 37,5 𝑚√

150 𝑚−37,5 𝑚∗2

2

Side 2

Matematik projekt 20.9.2015

2

Derved vil arealet bliver:

37,5 𝑚∗ 37,5 𝑚 = 1406,25 𝑚^2

1.4. Alternativt kan vil vi lave en rund indhegning, og derudfra undersøge hvor stort et areal en rund indhegning kunne få, hvis vi bruger hele hegnet. Her sætter vi de 150 meter ligmed formlen for omkredsen i en cirklen, og isolere d:

𝑑 ∗ 𝜋 = 𝑂𝑚𝑘𝑟𝑒𝑑𝑠 = 150 ↔^{150}_{𝜋} = 𝑑√

Derefter finder vi radiussen ved at dividere diameteren med 2: 𝑑

2 2

= 𝑟 =>^{150/𝜋} = 23,8732√

Herefter indsætter vi radiussen i formlen for udregning af et cirkels areal:

𝑟^{2} ∗ 𝜋 = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙

Tallene indsættes:

23,8732^{2} ∗ 𝜋 = 1790,49311

Derved giver det 1790,5 m^2√

2.5. Tilfældigvis ligger vores gård lige ved vandet på en helt lige kyststrækning. Vi overvejer derfor, at bruge kysten som den ene side i vores rektangulære indhegning. Vi vil derfor undersøge hvad siderne skal være for at maksimere arealet i denne situation.

Her kan forholdet mellem siderne opskrives på følgende måde, hvor y, er længden af kyststrækningen og dens

parallelle side:√

INGEN REGNING UDEN TEGNING

2𝑥 + 2𝑦 − 𝑦 = 150

2𝑥 + 𝑦 = 150

Her kan y så opskrives på følgende formel:

𝑦 = 150 − 2𝑥√

Hvorefter vi kan opskrive arealet:

𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙

⬄ her indsættes vores nye definition af y, og udtrykkes forkortes:

Side 3

Matematik projekt 20.9.2015

3

( 150 − 2𝑥) ∗ 𝑥 = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙

150 ∗ 𝑥 − 2𝑥^{2} = 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙

Da vi så har fundet en andengradsligning, kan vi finde toppunktet på følgende koordinat, for at finde det størst mulige areal i denne situation:

𝑇(,)

−𝑏 −𝑑

2 ∗ 𝑎 4 ∗ 𝑎

Da vi kun er interesseret i sidelængden udregnes x-koordinatet for at finde x’s sidelængden:

   −150 𝑚
X =      = 37,5 𝑚√
 T
    2∗−2

Sidelængden y kan så findes:

150 𝑚 − 37,5 𝑚 ∗ 2 = 75 𝑚

Og vi udregner arealet:

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 = 37,5 𝑚 ∗ 75 𝑚 = 2812,5 𝑚^2√

Så Derved vil arealet blive 2812,5 𝑚^2.

DEL 2: MIN MADKASSE FABRIK

Efter en god sæson på gården, hvor vi tjener mange penge, fordi køerne fik så meget græs, sælger vi gården og starter i stedet virksomheden MMF (Min Madkasse Fabrik). Vores første nye produkt er madkasser, som er lidt specielle, idet både låg og ender er lavet af træ. På en rejse i sommerferien har vi været i Kina, hvor vi har købt mange metalplader, der har målene , som vi vil bruge til at lave madkasserne med. Da der skal kunne ligge bananer i kassen, har vi besluttet, at kasserne skal være 30 cm lange. Vi vil gøre madkassens rumfang så stort som mulig. Derfor vil vi undersøge, hvor meget af den 40 cm brede plade, der skal bukkes op i hver side af pladen. -

Vi kender volumen af madkassen på følgende formel, hvor h er højden, b er bredden og L er længden:

𝑉 = ℎ ∗ 𝐿 ∗ 𝑏√

hvor vi kan indsætte tal, da vi ved at længden er 30, højden er h og bredden er 40-2h, hvorefter vi reducerer:

INGEN REGNING UDEN TEGNING

𝑉 = 30 ∗ ℎ ∗ (40 − 2ℎ)

⬄

𝑉 = 1200ℎ − 60ℎ^{2}

⬄

Side 4

Matematik projekt 20.9.2015

4

𝑉 = 1200ℎ − 60ℎ^{2} √

Da vi så har fundet en andengradspolynomie, kan vi finde toppunktet på følgende koordinat, for at finde det størst mulige areal i denne situation:

𝑇(,)

−𝑏 −𝑑

2 ∗ 𝑎 4 ∗ 𝑎

Da vi kun er interesseret i højden udregnes x-koordinatet for at finde h’s længde:

     −1200 𝑐𝑚
𝑥𝑇 =        = 10 𝑐𝑚√
      2∗−60

Derved vil pladen skulle bukkes 10 cm op i hver side for at madkassens rumfang vil blive så stort som mulig med dette

design.√

MEN - Dette kan vi også løse på følgende måde:

Vi kender forholdet mellem længden og højden på den måde at, hvor L er længden og h er højden:

𝐿 + 2 ∗ ℎ = 40 𝑐𝑚

Vi kan finde det størst mulige areal, ved at finde det størst mulige tværsnitsareal, hvor tværsnitsarealet på kassen kan skrives på følgende måde:

𝑇𝑣æ𝑟𝑠𝑛𝑖𝑡𝑠𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑡 = 𝐿 ∗ ℎ

Hvor længden er opskrevet på følgende måde:

𝐿 = 𝐴/ℎ

Denne definition af længden kan indskrives i den første formel:

𝐴/ℎ + 2 ∗ ℎ = 40 𝑐𝑚

hvor det kan omformes til:

𝐴/ℎ ∗ ℎ + 2 ∗ ℎ ∗ℎ = 40 𝑐𝑚 ∗ ℎ ⬄

2 ∗ ℎ^{2} = 40𝑐𝑚 ∗ ℎ ⬄

0 = 40 𝑐𝑚 ∗ ℎ − 2∗ ℎ^{2}

Her kan der bruges nulreglen:

0 = ( 40 𝑐𝑚 − 2ℎ) ∗ ℎ

ℎ = 0 𝑣 40 − 2ℎ = 0 <=> 𝑥 = 20√

Her kigger vi på nulpunktet i parablen, og ud fra x-koordinatet til toppen af parablen finder vi hvor meget den skal bukkes op. Toppunktet på parablen er midtpunktet mellem de to nulpunkter, da parablen er symmetrisk omkring

Side 5

Matematik projekt 20.9.2015

5 toppunktet. Hvor nulpunkterne er henholdsvis 0 og 20, så derfor vil toppunktet ligge lige imellem nulpunkterne, nemlig

ved x=10, og derfor vil siderne skulle bukkes 10 cm op.√ fin alternativ metode

2. Da vores testpanel på MMF ikke kan lide træpladerne i enderne, ændrer vi designet af madkasserne. Vi vil nu bukke pladerne, så både siderne og enderne er af metal. Dette kan dog kun lade sig gøre, hvis vi skærer lidt af hver af de 4 hjørner. Derfor vil vi undersøge, hvor meget skal vi bukke op, hvis kassen skal have størst muligt rumfang?

Vi kender volumen af madkassen på følgende formel, hvor h er højden, b er bredden og L er længden, og h*h*4 må

være det stykke som vi skærer af i hvert hjørne:

𝑉 = ℎ ∗ 𝐿 ∗ 𝑏√

Her kan vi opskrive en formel for længden, højden og bredden:

INGEN REGNING UDEN TEGNING

ℎø𝑗𝑑𝑒𝑛 = ℎ

𝑏𝑟𝑒𝑑𝑑𝑒𝑛 = 30 − 2ℎ

𝐿æ𝑛𝑔𝑑𝑒𝑛 = 40 − 2ℎ

Dette kan vi så indsætte i vores ligning og reducerer udtrykket:

𝑉 = ℎ ∗ (40 − 2ℎ) ∗ (30 − 2ℎ)

𝑉 = (40ℎ − 2ℎ^{2})(30 − 2ℎ)

𝑉 = 40ℎ ∗ 30 + 4ℎ^{3} − 2ℎ^{2} ∗ 30 −2ℎ^{2} ∗ 40

𝑉 = 1200ℎ + 4ℎ^{3} − 140ℎ^{2}

Her indsætter vi betingelser for ligningen da h ikke kan være mindre end 0 eller større end 15, da bredden ikke kan må være mindre end 0:

𝑉 = 1200ℎ + 4ℎ^{3} − 140ℎ^{2} 0 < ℎ < 15

Her finder vi så toppunktet på grafen i Nspire i graftegneren under

”undersøg grafen” funktionen du skal have flere detaljer på din beskrivelse af, hvordan du gør i Nspire, som også ses til højre:

Her kan vi så aflæse, at vi skal bukke 5,66 cm, for at få det størst mulige volumen, hvor vi kan udregne rumfanget:

𝑉 = 1200∗ 5,66 + 4 ∗ 5,66^{3} − 140 ∗ 5,66^{2} = 3032,3 𝑐𝑚^2

Rumfanget for kassen vil blive 3032,3 cm^2. √

3. Hvor stort et areal vi skal skære væk er givet ved formlen herunder, da dette vil være 4 kvadrater i hver hjørne af pladen, som har sidelængden h:

Side 6

Matematik projekt 20.9.2015

6

𝑎𝑓𝑠𝑘æ𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = (ℎ ∗ ℎ ∗ 4)

𝑎𝑓𝑠𝑘æ𝑟𝑖𝑛𝑔𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 = 5,66 ∗ 5,66 ∗ 4 = 128,142√

Derved er afskæringsarealet i alt 128,1 cm^2

DEL 3: DISKOTEKSEJERE

Vi sælger jeres madkasser med stor succes og vælger efter et års tid at sælge MMF for i stedet at åbne diskoteket BetaBeat. Da åbningsdagen nærmer sig, skal vi beslutte, hvor meget øllene skal koste. For at have et godt beslutningsgrundlag, får vi hjælp af en af vores venner, der har gået på handelsskolen. Han fortæller os, at afsætningsfunktionen ser ud på følgende måde:

𝐴 ( 𝑥) = 4500 − 60 ∗ 𝑥

Hvor A(x) er antallet af øl I sælger, når prisen er x kroner pr. styk. Vores handelsskolekammerat er decideret dum, så vi vil selv diskutere og forklare, hvad A(x) viser. A(x) viser antallet af øl vi sælger, som en funktion af prisen, hvor prisen

er x, heraf kan man se at for hver gang prisen stiger med 1 krone, så vil ølsalget falde med en faktor 60. √

Hvad fortæller tallet 4500? Skæring på y-akse, som må være hvor meget man sælger, hvis prisen er 0.

2. Vi vil nu lave en ny funktion O(x) ud fra A(x), som skal angive omsætningen som funktion af x ("omsætning" er det beløb, man sælger for i alt). Dette må være antallet af øl der bliver solgt, altså A(x) ganget med x:

𝑂 ( 𝑥) = 𝑥 ∗ 𝐴 ( 𝑥)

𝑂 ( 𝑥) = 𝑥 ∗ (4500− 60 ∗ 𝑥)

𝑂 ( 𝑥) = 4500𝑥 − 60 ∗ 𝑥^{2}

Hvor x er prisen pr. øl og O(x) er omsætningen

3. Omsætningsfunktionen viser ved hjælp af skitsen (se til højre). Den er meget smal, hvilket betyder at den omsætningen er størst indenfor et relativt lille interval. Den ølpris der giver det største omsætning, må være x-koordinatet til toppunktet, som beregnes på følgende måde:

     −𝑏
XtT=
    2∗𝑎

Og vi indsætter værdierne:

   −4500
x =     = 37,5
 T
   2∗−60

Og finder ud af at vi vil få den størst mulige omsætning, hvis vi sætter prisen til 37,5 kroner.

Side 7

Matematik projekt 20.9.2015

7

4. Bryggeriet vil have 14 kr. pr. øl. Derfor opskriv vi en regneforskrift for en funktion U(x), der angiver udgifterne som funktion af x. Denne regneforskrift må være antallet af øl vi sælger ganget med 14, da de koster 14 kroner pr. stk:

𝑈 ( 𝑥) = 14 ∗ 𝐴(𝑥)√

𝑈 ( 𝑥) = 14 ∗ (4500 − 60 ∗ 𝑥)

𝑈 ( 𝑥) = 63000 − 840 ∗ 𝑥√

hvor U(x) er udgifterne og x er antallet af øl der bliver solgt.

5. Derefter vil vi finde fortjenesten som funktion af x, og vi opskriver en regneforskrift F(x), hvor vi benytter O(x) og U(x), som hænger sammen på følgende måde:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑂 ( 𝑥) − 𝑈(𝑥)

𝐹 ( 𝑥) = ( 4500𝑥 −60 ∗ 𝑥^{2}) − (63000 − 840 ∗ 𝑥)

𝐹 ( 𝑥) = 5380𝑥 − 60 ∗ 𝑥^{2} − 63000

√

6. F(x) den viser Fortjenesten, som en funktion x, som er prisen. Hvor meget skal vi tage for en øl, for at tjene mest muligt er fundet ved hjælp af at finde toppunktet på Nspire, som ses til højre, hvor den nederste punkt er toppunktet, for funktionen F(x) og den øverste er toppunktet på funktionen O(x). Derfor vil det optimale være at tage

44,5 kr. pr. øl. Derved er det ikke altid en fordel at gå efter den største omsætning for at tjene flest penge, da det ikke altid vil

kunne måle sig med udgifterne pr. øl. √

God besvarelse, Husk dog tegninger og forklaringer til de opstillede ligninger. Husk også at forklare præcist, hvordan du finder maksimum i Nspire

Karakter 10