Projekt: Vandtårn | EUX

Side 1

Maarten Kjær den Haan

Matematik projekt

Vandtårnet

Maarten Kjær den Haan

15OEL0201EUX

Lærer: Bent Soelberg / Torben Duus

Side 2

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 1 af 9

Indhold

Indledning .......................................................................................................................................................... 2 Opg. 1 ................................................................................................................................................................ 3 A ..................................................................................................................................................................... 3 B ..................................................................................................................................................................... 4 Opg. 2 ................................................................................................................................................................ 6 C ..................................................................................................................................................................... 6 Opg. 3 ................................................................................................................................................................ 7 D ..................................................................................................................................................................... 7

Side 3

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 2 af 9

Indledning

I dette projekt skal vi kigge på nogle vandtårne, der er illustreret på figur 1:

Figur 1: Illustration af vandtårne - parabelformet og del af cirkel

Projektet består af følgende opgaver:

• Et vandtårn er udformet som det til venstre på figur 1. Stykket AB er en ret linie, mens BC er en del af en parabel. Denne har toppunkt i B: o A: Find funktionsforskriften for parablen o B: Beregn, hvor meget vand vandtårnet kan rumme (delen mellem B og C)

• Et andet vandtårn er cylinder formet og har en diameter, der er 20% større end dets højde: o C: Angiv dette tårns dimensioner, når det skal kunne indeholde samme mængde vand som ovenstående tårn.

• Et tredje vandtårn er udformet som det til højre på figur 1. Stykket AB er en del af en cirkelbue.

o D: Beregn cirkelbuens radius, når dette tårn skal have samme indre volumen som de to ovenstående. Udover almindelig løsning af opgaven kan du som ekstra opgave bruge Newtons metode til beregningen. (Hvis du bruger denne metode skal det beskrives i metodeafsnittet)

Side 4

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 3 af 9

Opg. 1

Vandtårnet er udformet som denne figur, som jeg har valgt at rotere 90 grader, for at vi kan bruge symmetri.

A

Vi skal finde funktions forskriften for parablen

𝑦=𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Vi kender toppunktet B. Det er:

𝐵= ( 0,2) = ( ℎ,𝑘)

Når vi kender toppunktet er forskriften denne:

𝑓 ( 𝑥) =𝑎 ( 𝑥− ℎ)^{2} + 𝑘

Den går i gennem punkt C :

𝐶= ( 8,8)

Vi kan nu løse dette:

𝑓 ( 𝑥) =𝑎 ( 𝑥− 0)^{2} + 2

Punktet A findes:

𝑓 ( 8) =8
𝑎∙ ( 8 − 0)^{2} + 2=8
𝑎 ( 64) + 2=8
𝑎66=8

8

66

=𝑎

𝑎=0,121212

Hele forskriften er:

𝑓 ( 𝑥) =0,121212∙ ( 𝑥− 0)^{2} + 2

𝒇 ( 𝒙) = 𝒙^{𝟐} + 𝟐

𝟏

𝟖

Side 5

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 4 af 9

B

Beregn, hvor meget vand vandtårnet kan rumme (mellem B og C)

For at kunne beregne, hvor meget vand vandtårnet kan rumme, bruges formlen for volume bestemmelse omkring x-aksen:

𝑦= 𝑥^{2} + 2

1

8

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ ∫ 𝑦^{2} 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ ∫ ( 𝑥^{2} + 2) 𝑑𝑥

1

8

2 𝑏 𝑎

Intervallet er (-8 0)

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ ∫ ( 𝑥^{2}) + 2^{2} + 𝑥^{2} ∙ 2 ∙ 2 𝑑𝑥

1 1

8 8

2

0

−8

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ ∫ 𝑥^{4} + 4 + 𝑥^{2} 𝑑𝑥

1 1

64 2

0

−8

Vi løser nu det endelige integrat

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ [ ∙ 𝑥^{4+1} + 4𝑥+ ∙ 𝑥^{2+1}]

1 1 1 1

64 4 + 1 2 2 + 1
−8

0

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ [ 𝑥^{5} + 𝑥^{3} + 4𝑥]

1 1

320 6

−8

0

Side 6

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 5 af 9

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ (( ∙ 0^{5} + ∙ 0^{3} + 4 ∙ 0) − ( ∙ ( −8)^{5} + ∙ ( −8)^{3} + 4 ∙ ( −8)))

1 1 1 1

320 6 320 6

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ (− ∙ ( −8)^{5} − ∙ ( −8)^{3} − 4 ∙ (−8))

1 1

320 6

𝑉_{𝑥} =𝜋 ∙ ( − + 32)

( −8)^{5} ( −8)^{3}

320 6

Dette kan vi nu udregne til ét tal

𝑽_{𝒙} =𝟔𝟗𝟎,𝟑𝟏𝟑 𝒎^{𝟑}

Dette svarer til 690.313 liter vand

Side 7

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 6 af 9

Opg. 2

Vi har nu et andet vandtårn som har form for en cylinder. Den skal have en 20% større diameter end den er høj.

C

Angiv dette tårns dimensioner, når det skal kunne indeholde samme mængde vand som overståene tårn

d = 1,2h

h = d / 1,2

V = 690,313m^{3}

Formlen for Volume i en cylinder er:

𝑉= ∙ 𝑑^{2} ∙ ℎ

𝜋

4

𝑉=690,313 𝑚^{3}
𝑑=1,2 ∙ ℎ⟺ℎ=

𝑑

1,2

Vi har nu to ligninger med to ubekendte, vi indsætter det nye udtryk for højden i formlen for V og diameteren findes.

690,313= ∙ 𝑑^{2} ·

𝜋 𝑑

4 1,2

𝑉= · 𝑑^{3}

𝜋

4,8

Vi flytter nu rundt i formlen så vi finder d^3

𝑑^{3} =

𝑉· 4,8

𝜋

𝑑=

√^{3}

4,8 · 690,313

𝜋

𝒅=𝟏𝟎,𝟏𝟕𝟗𝒎

Vi kan nu også finde højden på cylinderen

ℎ= → ℎ=

𝑑 10,179

1,2 1,2

𝒉=𝟖,𝟒𝟖𝟑𝒎

Side 8

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 7 af 9

Opg. 3

Et tredje vandtårn er udformet som det til højre på figur 1. Stykket AB er en del af en cirkelbue.

D

Beregn cirkelbuens radius, når dette tårn skal have samme indre volumen som de to ovenstående. Udover almindelig løsning af opgaven kan du som ekstra opgave bruge Newtons metode til beregningen.

Vi opstiller cirklens centrumligning med censtrum i A,B

( 𝑥− 𝑎)^{2} + ( 𝑦 − 𝑏)^{2} =𝑟^{2}

Vores centrum A,B er 0,2

( 𝑥− 0)^{2} + ( 𝑦− 2)^{2} =𝑟^{2}
𝑥^{2} + ( 𝑦− 2)^{2} =𝑟^{2}

Vi prøver at isolere Y f(x)

( 𝑦 − 2)^{2} =𝑟^{2} − 𝑥^{2}

𝑦 − 2=∓ 𝑟 − 𝑥^{2}

√^{2}

𝑓 ( 𝑥) = 𝑟 − 𝑥^{2} + 2

√^{2}

Nu har vi en forskrift for vores cirkelbue, dette skal integrares

𝑉_{𝑥} =𝜋 · ∫ 𝑓 ( 𝑥)^{2} → 𝜋 · ∫ ( 𝑟 − 𝑥^{2} + 2) 𝑑𝑥

𝑟 𝑟

0 0

√^{2}

2

𝑉_{𝑥} = 𝜋 · ∫(𝑟^{2} − 𝑥^{2}) + (2^{2}) + (2 · 2 · 𝑟 − 𝑥^{2}) 𝑑𝑥

√^{2}

𝑟

0

Side 9

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 8 af 9

Vi vil nu regne udregne det inde i integralet

𝑉_{𝑥} = 𝜋 · ∫(𝑟^{2} − 𝑥^{2}) + (2^{2}) + (2 · 2 · 𝑟 − 𝑥^{2}) 𝑑𝑥

√^{2}

𝑟

0

𝑉_{𝑥,1} = 𝜋 · ∫(𝑟^{2} − 𝑥^{2}) 𝑑𝑥

𝑟

0

𝑉_{𝑥,2} = 𝜋 · ∫4 𝑑𝑥

𝑟

0

𝑉_{𝑥,3} = 𝜋 · ∫4 𝑟 − 𝑥^{2} 𝑑𝑥

√^{2}

𝑟

0

Jeg har valgt at dele integralet op da det var meget svært

Første del Vx1

𝑉_{𝑥,1} = 𝜋 · ∫(𝑟^{2} − 𝑥^{2}) 𝑑𝑥=𝜋 · [ 𝑟^{2} · 𝑥− · 𝑥^{2+1}] =𝜋 · [ 𝑥𝑟^{2} − 𝑥^{3}]

𝑟

0

1 1

2 + 1 3

0 0 𝑟 𝑟

𝑉_{𝑥,1} =𝜋 · [ 𝑥𝑟^{2} − 𝑥^{3}] =𝜋 · ( (𝑟 · 𝑟^{2} − 𝑟^{3}) − (0 · 𝑟^{2} − · 0^{3}))

1 1 1

3 3 3

0 𝑟

𝑉_{𝑥,1} =𝜋 · ( 𝑟^{3})= 𝜋𝑟^{3}

2 2

3 3

Nu kan vi regne anden del

𝑉_{𝑥,2} = 𝜋 · ∫4 𝑑𝑥= 𝜋 · [ 4𝑥]_{0}^{𝑟} = ( ( 4 · 𝑟) − ( 4 · 0)) =4𝜋𝑟

𝑟

0

Og tredje del

𝑉_{𝑥,3} = 𝜋 · ∫4 𝑟 − 𝑥^{2} 𝑑𝑥 =4𝜋 · ∫ 𝑟 − 𝑥^{2} 𝑑𝑥

√^{2} √^{2}

𝑟 𝑟

0 0

=4𝜋 · [ · 𝑟 − 𝑥^{2} + · sin^{−1} () ]

𝑥 𝑟^{2} 𝑥

2 2 𝑟

√^{2}

0 𝑟

=4𝜋 · ( · 𝑟 − 𝑟^{2} + · sin^{−1} ()) − ( · 𝑟 − 0^{2} + · sin^{−1} ())

𝑟 𝑟^{2} 𝑟 0 𝑟^{2} 0

2 2 𝑟 2 2 𝑟

√^{2} √^{2}

=4𝜋 · ( · √ 0 + · sin^{−1} ( 1)) − ( · 𝑟 + · sin^{−1} ( 0))

𝑟 𝑟^{2} 0 𝑟^{2}

2 2 2 2

√^{2}

Side 10

Maarten Kjær den Haan

Vandtårnet

Side 9 af 9

sin^{−1} ( 1) =½𝜋
sin^{−1} 0=0

=4𝜋 · ( ·) =4𝜋 · =𝜋^{2} 𝑟^{2}

𝑟^{2} 𝜋 𝜋𝑟^{2}

2 2 4

Vi kan nu plusse de 3 opdelinger tilbage igen

2

3

𝜋𝑟^{3} + 4𝜋𝑟 + 𝜋^{2} 𝑟^{2} =690,313𝑚^{3}

0= 𝜋𝑟^{3} + 4𝜋𝑟 + 𝜋^{2} 𝑟^{2} − 690,313𝑚^{3}

2

3

Jeg løser nu denne i et CAS værktøj. I forhold til R

𝑟=5,416 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟