Afladning af kondensator - Matematikprojekt på HTX

Side 1

Projekt 2

“Afladning af kondensator”

(s. 154-155 i “htx MAT B2”)

Matematik ABC, LINIE

v/ XXX Lærerens navn XXX

XXX Skolens navn XXX

HTX 2. år

99. fantasivember 2034

Side 2

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

2 | S i d e

Indholdsfortegnelse

Indledning ......................................................................................................................................... 4 Problemformulering ......................................................................................................................... 4 Opgavebesvarelser ........................................................................................................................... 4 Opgave 1 ....................................................................................................................................... 4 Teori .......................................................................................................................................... 4 Løsning ..................................................................................................................................... 5 Opgave 2 ....................................................................................................................................... 5 Teori .......................................................................................................................................... 6 Løsning ..................................................................................................................................... 6 Kontrol ...................................................................................................................................... 7 Opgave 3 ....................................................................................................................................... 7 Teori .......................................................................................................................................... 7 Løsning ..................................................................................................................................... 8 Kontrol ...................................................................................................................................... 9 Opgave 4 ..................................................................................................................................... 10 Teori ........................................................................................................................................ 10 Løsning ................................................................................................................................... 10 Kontrol .................................................................................................................................... 10 Opgave 5 ...................................................................................................................................... 11 Teori ......................................................................................................................................... 11 Løsning ................................................................................................................................... 12 Kontrol .................................................................................................................................... 12 Opgave 6...................................................................................................................................... 13 Teori ......................................................................................................................................... 13 Løsning .................................................................................................................................... 13 Kontrol ..................................................................................................................................... 13 Opgave 7 ..................................................................................................................................... 14

Side 3

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

3 | S i d e

Teori ........................................................................................................................................ 14 Løsning ................................................................................................................................... 14 Kontrol .....................................................................................................................................15 Opgave 8 ......................................................................................................................................15 Teori .........................................................................................................................................15 Løsning ................................................................................................................................... 16 Kontrol .................................................................................................................................... 16 Konklusion ....................................................................................................................................... 17 Bemærkninger ............................................................................. Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

Programmer brugt ........................................................................................................................... 17 Opgavesæt .................................................................................. Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

Side 4

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

4 | S i d e

Indledning

“I dette projekt skal der udføres beregninger på en kondensator i et elektrisk kredsløb.

En kondensator oplades med et batteri. (omskrifteren i stilling 1). Herved “fyldes” kondensatoren med elektrisk energi. Med omskifteren i stilling 2 aflades kondensatoren (hurtigt) over modstanden R. I stedet for en modstand kan det f.eks. være en blitz i et kamera.”

Som opgaveteksten beskriver, vil jeg i denne opgave, forsøge at sætte mig ind i, hvordan elektronikken i en kondensator fungerer. Jeg vil begi mig ud i, at bestæmme hvordan afladningsfasen ser ud, og hvordan spændingen og tiden hænger sammen.

Problemformulering

Baseret på opgaverne i projektet, vil mit hoved problem være:

• Kan man, ved hjælp af nogle enkelte parametere, bestæmme afladningsfasens

graf/kurve, og opstille en funktionsforskrift for denne?

Videre vil jeg forsøge at finde ud af, om man grafisk kan aflæse de beregnede resultater, ved at bruge et hjælpeprogram som Graph.

Opgavebesvarelser

Opgave 1

• Afbild punkterne i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem hvor tiden afsættes på den vandrette akse (x-aksen). Spændingen afsættes på den lodrette akse.

Teori

Side 5

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

5 | S i d e

I opgaven får vi oplyst, en række værdier, der svarer til spændingen ved en givet tid:

Tid (ms) Spænding (V)

0 | 24
1,5 | 14,56
4 | 6,33
7 | 2,33

Løsning

Afsætter man disse otte værdier i en enkeltlogaritmisk koordinatsystem i

Graph, får man fire punkter

𝑁 = ( 0 ,24)
𝑂 =(1,5 ,14,56)
𝑃 = ( 4 ,6,33)
𝑄 = ( 7 ,2,33)

Opgave 2

• Hvilken type funktion er der tale om?

a) Ret linie

b) Potens-funktion

c) Eksponentiel udvikling

Side 6

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

6 | S i d e

Teori

Formelen for en ret linie:

𝑓 ( 𝑥) =𝑎𝑥 + 𝑏

Formelen for en potens-funktion:

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{𝑎}

Formelen for en eksponentiel udvikling:

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥}

Løsning

Da værdien for spændingen [ 𝑉] falde med ulige mængder, afhængig af hvor meget tiden [ 𝑚𝑠] stiger, kan vi konkludere med, at der er en eksponentiel udvikling. Da den også er aftagende i

positiv 𝑥-retning, kan vi konkludere med, at 𝑎 >0 ∧ 𝑎 ≠0.

𝑆𝑣𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑡𝑠å 𝑏,𝑒𝑛 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

Side 7

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

7 | S i d e

Kontrol

For enklest at kunne kontrollere, om grafen er eksponentiel, indsætter jeg punkterne i et ikke-logaritmisk koordinatsystem, med to tendenslinjer.

Én liniær linie og én eksponentiel linie.

(Den røde linien er lineær, og den blå er eksponentiel.)

Da den eksponentielle, blå linie, skærer i gennem alle fire punkter, kan man konkludere med, at funktionen er eksponentiel.

Opgave 3

• Opstil en funktionsforskrift for spændingen som funktion af tiden, t. Afbild funktionen i samme koordinatsystem som punkterne.

Teori

For at kunne opstille en funktionsforskrift, må man have fat i en begyndelsesværdi 𝑏 og en

fremskrivningsfaktor 𝑎. Vi ved et grafen går gennem punkterne 𝑃 = ( 𝑥_{1},𝑦_{1}) = ( 4 ,6,33) og

Side 8

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

8 | S i d e

𝑄 = ( 𝑥_{2},𝑦_{2}) = ( 7 ,2,33), og kan dermed udlede begyndelsesværdien og fremskrivningsfaktoren,

og opstille en funktionsforskrift som følger:

Formelen for en funktionsforskrift:

𝑦 =𝑓 ( 𝑥) =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥}

Med enhederne givet i opgaven, lyder funktionsforskriften:

𝑈 [ 𝑉]_{𝑡} =𝑏 [ 𝑉] ∙ 𝑎^{𝑡}

Jeg vil udlede 𝑎, ved at bruge formelen:

𝑦_{1} =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥_{1}} ∧ 𝑦_{2} =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥_{2}} ⇔ 𝑏 = ∧ 𝑏 = ⇔

𝑦_{1} 𝑦_{2}
𝑎^{𝑥_{1}} 𝑎^{𝑥_{2}}
𝑦_{1} 𝑦_{2} 𝑎^{𝑥_{2}} 𝑦_{2} 𝑦_{2}
𝑎^{𝑥_{1}} 𝑎^{𝑥_{2}} 𝑎^{𝑥_{1}} 𝑦_{1} 𝑦_{1}

= ⇔ = ⇔ 𝑎^{𝑥_{2}} = ⇔

−𝑥_{1}

𝑎 = ()^{2^{−𝑥}}

𝑦_{2}^{𝑥} 1
𝑦_{1}

1

Og udlede 𝑏 med formelen:

𝑏 =
     𝑥
      1

𝑦_{1}

𝑎

Løsning

Jeg begynder med, at udlede 𝑎, ved at indsætte værdierne for 𝑥 og 𝑦 i funktionsforskrifterne:

𝑦_{1} =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥_{1}} ⇒6,33=𝑏 ∙ 𝑎^{4}

𝑦_{2} =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥_{2}} ⇒2,33=𝑏 ∙ 𝑎^{7}

Så isolerer jeg 𝑏 i bægge formler:

𝑏 = ∧ 𝑏 =

6,33 2,33

𝑎^{4} 𝑎^{7}

Og ved at bruge reglerne for brøkregning, kan man isolere 𝑎 fra potensen:

6,33 2,33 𝑎^{7} 2,33 2,33 2,33^{7−4}
𝑎^{4} 𝑎^{7} 𝑎^{4} 6,33 6,33 6,33

= ⇒ = ⇒ 𝑎^{7−4} = ⇒𝑎 = ()

1

Side 9

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

9 | S i d e

⇓

𝑎 =0,7166669942≈0,717

Vi kan nu udregne 𝑏, ved at sætte den ind i formelen:

𝑏 = =23,99573711≈24 [ 𝑉]

6,33

0,7166669942^{4}

Funktionsforskriften lyder så:

𝑈_{𝑡} =24 [ 𝑉] ∙ 0,717^{𝑡}

Sætter vi denne funktion in i Graph, får vi denne grafen:

Kontrol

Selv om vi kan udlede værdien af 𝑏 ved at aflæse tallene i tabellen fra opgaven, kan den kontrolleres, ved at indsætte 𝑎 i den første formel:

6,33=𝑏 ∙ 𝑎^{4} ⇒𝑏 = =23,99573711≈24 [ 𝑉]

6,33

0,7166669942^{4}

Side 10

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

10 | S i d e

Dette er en bekræftigelse i, at værdien for 𝑎, er korrekt.

Vi kan kontrollere funktionsformelen, ved at indsætte værdien for 𝑥 = ( 4 ) og 𝑥 = ( 7 ) :
                                                       1         2

𝑓 ( 4) =24 ∙ 0,717^{4} =6,342899998≈6,34 [ 𝑉]

og

𝑓 ( 7) =24 ∙ 0,717^{7} =2,338004439≈2,34 [ 𝑉]

Da dette giver os et resultat, der er meget tæt på facit for bægge 𝑦-værdier, ser vi at funktionen er tilnærmet korrekt.

Selve afbildningen af funktionen i Graph, er også en god kontrol i sig selv. Her kan man aflæse, at funktionens graf går i gennem alle de fire punkter.

Opgave 4

• Hvor stor er kondensatorspændingen efter 5 ms?

Teori

Funktionsforskriften vi udledede i opgave 3:

𝑈_{𝑡} =24 [ 𝑉] ∙ 0,717^{𝑡}

Løsning

For it finde kondensatorspændingen, indsætter vi tiden i funktionen vi udledede i opgave 3.

𝑈_{5}_{[}_{𝑚𝑠} =24 [ 𝑉] ∙ 0,717^{5} =4,547859299≈4,548 [ 𝑉]

]

Kontrol

Den bedste måde, at kontrollere dette resultat på, er at aflæse det i grafen vi lavede i opgave 3:

Side 11

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

11 | S i d e

Her kan vi aflæse, at dersom 𝑥-værdien, der repræsenterer tiden 𝑡, er 5[ms], vil 𝑓 ( 𝑥) ∨ 𝑦, der repræsenterer spændingen, være 4,5479[V].

Da vi ved, at denne værdi, efter udregningen skulle være 4,548[V], kan vi konkludere med, at udregningen var korrekt.

Opgave 5

• Hvor lang tid går der fra afladningen påbegyndes til spændingen er faldet til 9 volt?

Teori

Funktionsforskriften vi udledede i opgave 3:

𝑈_{𝑡} =24 [ 𝑉] ∙ 0,717^{𝑡}

Logaritmiske regneregler:

Side 12

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

12 | S i d e

log ( 𝑎^{𝑛}) =𝑛 ∙ log𝑎

log =log𝑎 − log𝑏

𝑎 𝑏

Løsning

For at finde tiden, hvor kondensatorspændingen er faldet til 9V, indsætter vi spændingen i funktionsforskriften vi udledede i opgave 3:

𝑈_{𝑡} =24 [ 𝑉] ∙ 0,717^{𝑡} ⇒9 [ 𝑉] =24 [ 𝑉] ∙ 0,717^{𝑡}

log9=log24 ∙ 𝑡 ∙ log0,717⇒ log9 − log24=𝑡 ∙ log0,717 ⇒

log9 − log24 𝑡 ∙ log0,717 log9 − log24

log0,717 log0,717 log0,717

= ⇒ 𝑡 = =2,948271338≈2,95 [ 𝑉]

Kontrol

Den bedste måde, at kontrollere dette resultat på, er at aflæse det i grafen vi lavede i opgave 3:

Side 13

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

13 | S i d e

Her kan vi aflæse, at dersom 𝑦-værdien, der repræsenterer spændingen 𝑉, er 9, vil 𝑥, der repræsenterer tiden, være 2,95[ms]. Ud fra dette, kan vi konkludere, at udregningen er korrekt.

Opgave 6

• Beregn funktionens halveringskonstant, 𝑻_{𝟐}.

𝟏

Teori

Halveringskonstanten:

𝑓 ( 𝑥 + 𝑇) = 𝑓 ( 𝑥) ⇔

1

2

1

2

𝑏 ∙ 𝑎^{2} = 𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥} ⇔ = ⇔

𝑥+𝑇_{1}
1 𝑏 ∙ 𝑎^{2}

2 𝑏 𝑏 𝑥+𝑇 1

1

2

𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥}

𝑎 = 𝑎^{𝑥} ⇔ ( 𝑥 + 𝑇) ∙ log𝑎 =log( ∙ 𝑎^{𝑥}) ⇔

𝑥+𝑇_{1}

2

1 1

2 2

1

2

𝑥 ∙ log𝑎 + 𝑇 ∙ log𝑎 =log + 𝑥 ∙ log𝑎 ⇔ = ⇔

1

2

1

2 𝑥 ∙ log𝑎 𝑥 ∙ log𝑎

𝑥 ∙ log𝑎 + 𝑇 ∙ log𝑎
2^{1} 2

log + 𝑥 ∙ log𝑎

1

𝑇 ∙ log𝑎 =log ⇔ 𝑇 = = =

1 1

2 2

1 log1 − log2 −log2

2 log𝑎 log𝑎 log𝑎 log

1

2

𝑇 =

1

2

−log2

log𝑎

Løsning

𝑇 = =2,083528769≈2,08 [ 𝑚𝑠]

1

2

−log2

log0,717

Kontrol

Side 14

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

14 | S i d e

Se løsning i opgave 7, da dette er den bedste måde, at kontrollere vores resultat på.

Opgave 7

• Vis grafisk hvordan 𝑻_{𝟐} findes.

𝟏

Teori

Når man skal finde halveringskonstanten i et koordinatsystem, opsøger man en tilfældig værdi på 𝑦-aksen, og aflæser den tilhørende 𝑥-værdi. Derefter opsøger man den halve af den tidligere fundne 𝑦-værdi, og aflæser igen dennes 𝑥-værdi. Halveringskonstanten er da forskellen mellem disse værdier.

Løsning

Her har jeg valgt at bruge 𝑦-værdierne:

𝑦_{1} =7[𝑉]

og

𝑦_{2} =3,5[𝑉]

Som man kan aflæse i koordinatsystemerne, er de tilhørende 𝑥-værdier:

𝑥_{1} =3,7037≈3,704 [ 𝑚𝑠]

og

𝑥_{2} =5,7872≈5,788 [ 𝑚𝑠]

For at finde halveringskonstanten, bruger jeg formelen:

𝑇 =𝑥_{2} − 𝑥_{1} =5,788 − 3,704=

1

2

2,084 [ 𝑚𝑠]

Side 15

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

15 | S i d e

Kontrol

Se løsning i opgave 6, da dette er en den bedste måde at kontrollere vores resultat på.

Opgave 8

• Afladningen af kondensatoren kan også beskrives ved funktionen:

            𝒕
           −
            𝝉
𝒗 ( 𝒕 ) =𝑲 ∙ ℮ . Her er 𝒗 spændingen, 𝑲 er spændingen til tiden 𝒕 =𝟎. 𝝉

(tau) er en såkaldt tidskonstant, der afhænger af modstanden 𝑹 og kondensatoren 𝑪.

• Beregn værdien af tidskonstanten 𝝉.

Teori

Funktionsformel #2:

𝑣 ( 𝑡) = 𝐾 ∙ ℮^{−}^{𝜏}

𝑡

Side 16

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

16 | S i d e

Isolering af 𝜏 (tau):

𝑣 ( 𝑡) = 𝐾 ∙℮^{−}^{𝜏} ⇒ =℮^{−} ⇒

𝑡 𝑡 𝑣 ( 𝑡)

𝐾 𝜏

ln () =− ∙ ln ( ℮) ⇒

𝑣 ( 𝑡) 𝑡

𝐾 𝜏

𝜏 ∙ ln () =𝜏 ∙ ⇒

𝑣 ( 𝑡) −𝑡 ∙ ln℮

𝐾 𝜏

𝜏 =

−𝑡 ∙ ln℮ ln() 𝑣 ( 𝑡)

𝐾

Den naturlige logaritme ( ℮):

℮=2,7182818284

Regneregler for den naturlige logaritme ( 𝑙𝑛):

ln𝑎^{𝑛} =𝑛 ∙ ln𝑎

Spændingen til tiden 𝑡 =0 [ 𝑚𝑠]:

𝐾 =24 [ 𝑉]

Løsning

For at finde tidskonstanten 𝜏, bruger indsætter vi vores tal i formelen over. Jeg har valgt at bruge

𝑡 =7 og 𝑣 ( 𝑡) =2,33, men alle fire værdisæt kan bruges:

𝜏 = = =3,004291845≈3

−7 ∙ ln2,7182818284 −7

ln()

2,33

24

−2,33

Kontrol

For at kontrollere denne udregning, sætter jeg værdien 𝜏 =3, ind i funktionsformel #2. Ud i fra
vores udregning, skal 𝑣 ( 𝑡) =2,33.

𝑣 ( 𝑡) = 𝐾 ∙ ℮^{−}^{𝜏} ⇒24 ∙ 2,7182818284^{−}^{3} =2,327327229≈2,33 [ 𝑉]

𝑡 7

Dette viser os, at vores udregning er korrekt.

Side 17

Projekt 2 – Matematik ABC HTX 99. fantasivember, 2034

17 | S i d e

Konklusion

Ved at bruge regneregler for, og formler fra logaritmiske funktioner, enkeltlogaritmisk koordinatsystem, eksponentiel udvikling og sammenhængen mellem titalslogaritmen og den naturlige logaritme, har man mulighed for, at besvare samtlige af projektets opgaver.

Man kan blandt andet bestæmme hvilken funktion, der passer til kondensatorens afladningsfase, samt bestæmme spændingen ved en givet tid, og vica versa. Endvidere kan man udlede en række konstanter, som 𝜏 (tau), begyndelsesværdien og fremskrivningsfaktoren.

Tager man et program som Graph i brug, kan man danne sig et visuelt overblik over, hvordan afladninsfasen fungerer, samt kontrollere vores beregninger, i de forskellige opgaver.

Programmer brugt

❖ Graph v. 4.3.384

Brugt til at kontrollere mine udregninger, samt besvarelse i opgave 1 og 3.