Sejlads matematik projekt - Opgave fra "Teknisk Matematik"

Side 1

EUCVEST

Projekt - Sejlads

Matematik A – HTS Esbjerg

Vejleder:

HTX 2. år

2.a

Side 2

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 1 af 11

Sejlads

Indhold

Sejlads ................................................................................................................................................................................ 1 Sejltiden i mellem A og B ................................................................................................................................................ 1 Problemformulering .................................................................................................................................................... 1 Problemanalyse og løsningsforslag ............................................................................................................................ 2 Dokumentation ........................................................................................................................................................... 3 Skibets position efter 2 timer .......................................................................................................................................... 4 Problemformulering .................................................................................................................................................... 4 Problemanalyse og løsningsforslag ............................................................................................................................ 4 Dokumentation ........................................................................................................................................................... 5 Vurdering .................................................................................................................................................................... 5 Sejltiden i mellem D og B ................................................................................................................................................ 5 Problemformulering .................................................................................................................................................... 5 Problemanalyse og løsningsforslag ............................................................................................................................ 5 Dokumentation ........................................................................................................................................................... 6 Sejltiden i mellem D og C ............................................................................................................................................... 7 Problemformulering .................................................................................................................................................... 7 Problemanalyse og løsningsforslag ............................................................................................................................ 8 Dokumentation ........................................................................................................................................................... 9 Sejltiden i mellem A og B

Problemformulering

Et fragtskib er i en position A som vist på kortet på figur 15.17 Fragtskibet er i stand til at sejle med en fart på 8 knob,

men på grund af strøm og vind, må der regnes med en påvirkning på skibet i den viste retning på 3 meter/sekund.

Side 3

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 2 af 11

Fragtskibet sejler mod havne byen B, og afstanden mellem A og B er 54 sømil. Endvidere er afstanden mellem A og havnebyen C 45 sømil, og afstanden mellem havnebyerne B og C er 25 sømil.

Jeg skal finde sejltiden mellem A og B ud fra de givne forudsætninger.

Problemanalyse og løsningsforslag

Først vil jeg omregne både knob og sømil til mere ”kendte” enheder, som fx km og km/t. Enheder der stemmer mere

overens med hinanden og som er nemmere at regne med.

1 Knob = 1,852 km/t
1 sømil = 1,851 km

Strækningen finder jeg ved hjælp af ligningen 𝑠ø𝑚𝑖𝑙∗ 𝑘𝑚 𝑠ø𝑚𝑖𝑙

Så vil jeg finde hastigheden ved hjælp af ligningen 𝑘𝑛𝑜𝑏∗ 𝑘𝑚/𝑡 𝑘𝑛𝑜𝑏

Så har jeg fundet ud af hvor lang tid det tager at sejle strækningen.

Men man bliver også nødt til at tage højde for vindens påvirkning. Vinden påvirker skibet med 3 meter pr. sekund i en

retning af 30° mod nordvest. Jeg kender skibets fart, og det omregner jeg fra km/t til m/s, så sidderne har samme

                                                                                 2
benævnelse. Det gør jeg ved først at gange km/t med 1000 for er få det i m/t og derefter dividere jeg det med 60 for er

få det i m/s.

Nu har jeg den samme enhed, både på vindens påvirkning og på skibets hastighed.

72

30

54 sømil

25 sømil

45 sømil

Vindretningen 3 m/s

Skibet har en fart på 18 knob

A

B

C

72

30 fart unden vind

Vindretningen 3 m/s

Fart når der tages højde f or v indpåv irkning

A

B

Side 4

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 3 af 11

Nu har jeg en trekant 2 sider og en vinkel. Derfor bruger jeg sinus relation til at finde de andre vinklen til vindens retning

(B) og bagefter trækker jeg vinkel B og vinkel A fra 180° for at få den sidste vinkel. Nu har jeg alle tre vinkel og kan igen bruge sinus relation til at finde skibets fart som er den øverste side i trekanten.

𝑎 𝑏 𝑐 sin (𝐴) sin (𝐵) sin (𝐶)

= =

Nu har jeg skibets hastighed i m/s, det regner jeg tilbage til km/t da det er en rimelig langstrækning og at det ikke er

vigtigt at vide hvor mange sekunder det tager at sejle den. Det er mere brugbart at få tallet i timer og evt. i minutter.

For at finde sejltiden dividere jeg strækningen i km med fart i km/t. Det giver mig tiden i timer.

Hvis jeg får et komma tal, vil jeg omregne det bag kommaet til minutter ved at dividere det med 100 og gange det med

60.

Dokumentation

1 Knob = 1,852 km/t
1 sømil = 1,851 km

Stækningen er

54 𝑠ø𝑚𝑖𝑙∗1,851 =99,954 𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠ø𝑚𝑖𝑙

Skibets fart er

18 𝑘𝑛𝑜𝑏∗1,852 𝑝𝑟.𝑘𝑛𝑜𝑏=33,336

𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑡 𝑡

Uden nogen vindpåvirkning vil sejltiden altså være

99,954𝑘𝑚

33,336 𝑘𝑚 𝑡

=2,998 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

Omregnet fra km/t til m/s er det

33,336∗1000 𝑚

60^{2} 𝑠

=9,26

Vinkel B i mellem skibets fart uden vindpåvirkning og skibets fart med vindpåvirkning er 𝑎 𝑏 sin ( 𝐴) sin ( 𝐵)

=

𝑠𝑖𝑛^{−1} () = 𝐵

𝑏∗sin ( 𝐴) 𝑎

𝑠𝑖𝑛^{−1} () =18,48°

3∗sin ( 102°)

9,26

Restvinkel er

180°−102°−18,48°=59,52°

Farten med vindpåvirkning er 𝑎∗sin ( 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑣𝑖𝑛𝑘𝑙𝑒𝑛) sin ( 𝐴)

=𝑠𝑘𝑖𝑏𝑒𝑡𝑠 𝑓𝑎𝑟𝑡

Side 5

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 4 af 11

9,26 ∗sin ( 59,52°) 𝑘𝑚 𝑡 sin ( 102°) 𝑠

=8,159

𝑚

8,159∗1000 𝑘𝑚

60^{2} 𝑡

=29,372

Skibet sejler altså ikke nær så hurtigt pga. vindens påvirkning på skibets fart.

Den rigtige sejltid for skibet er altså

99,954𝑘𝑚

29,372 𝑘𝑚 𝑡

=3,4 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

0,4 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟= ∗60=24 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

4

100

Sejltiden for skibet er altså 3 timer 24 minutter

Skibets position efter 2 timer

Problemformulering

Jeg skal bestemme fragtskibets position efter 2 timers sejlads

Problemanalyse og løsningsforslag

Jeg kender længden af strækningen 99,954 km og jeg ved hvor lang tid det tager at sejle den 3,4 timer

Jeg finder ud af hvor langt man kan komme på en timer 𝑠𝑡𝑟æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑖 𝑘𝑚 𝑡𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑖 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

=𝑘𝑚 𝑝å 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑚𝑒

Side 6

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 5 af 11

Så ganger jeg det med to for at få strækningen efter to timer

Dokumentation

På en time kan skibet sejle

99,954

3,4

∗2=58,796 𝑘𝑚

Skibets position er altså 58,796 km henne af strækningen AB.

Vurdering

Hvis man vil finde skibets præcise position på tegningen kunne man have sat den ind i et koordinatsystem hvor A er placeret i 0.

Jeg kan finde hældningen på linjen ved at tage det 72° og trække det fra 90°. Så ville jeg bruge cosinus til at finde x-værdien, nu når jeg har hældningsvinklen og den rette linjes længde (58,796 km).

cos ( 18°) =

𝑥𝑣æ𝑟𝑑𝑖𝑒𝑛

58,796 𝑘𝑚

cos ( 18°) ∗58,796 𝑘𝑚=55,918

Og y-værdien finder jeg ved at burge sinus

sin ( 18°) =

𝑦𝑣æ𝑟𝑑𝑖𝑒𝑛

58,796 𝑘𝑚

sin ( 18°) ∗58,796 𝑘𝑚=18,169

Hvis man skal bruge skibets præcise position efter 2 timers sejlads, er det med koordinaterne (55,918;18,169) hvis punktet A er placeret i (0;0).

Jeg har valgt bare at finde strækningen af ruten efter 2 timers sejlads og angive positionen som 58,796 km henne af ruten, da det klart er det nemmeste og hurtigste. Hvis jeg så senere forbrug for positionen i et koordinat system, ville jeg så kunne udregne det der.

Sejltiden i mellem D og B

Problemformulering

Fra positionen D kan der regnes med følgende ændring: Vind- og strømforholdene er blevet forværret, og der kan nu

regnes med 5 m/s, men retningen er den samme som før.

Jeg skal bestemme sejltiden fra position D til B på baggrund af de nye forudsætninger.

Problemanalyse og løsningsforslag

Side 7

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 6 af 11

Jeg bruger det samme princip som i opgave 1a. Skibets fart er stadig 18 knob, altså 9,26 m/s. Jeg bruger sinusrelation til

at finde vinklen (B) i mellem farten uden vindpåvirkning og farten med vindpåvirkning.

𝑎 𝑏 𝑐 sin (𝐴) sin (𝐵) sin (𝐶)

= =

Så finder jeg den resterende vinkel ved at trække vinkel A og vinkel B fra 180°. Jeg bruger igen sinusrelation til at finde farten når der tages højde for vindpåvirkningen.

Jeg regner farten fra m/s om til km/t og dividerer det med strækningen BD.

Strækningen BD finder jeg ved at tage strækningen AD (som jeg fandt i forrige opgave) og trækker den fra afstanden

AB.

Hvis jeg får et komma tal omregner jeg igen til minutter.

Dokumentation

Strækningen AB er 99,954 km

Strækningen AD er 58,796 km

Skibets fart er stadig 18 knob 9,26 m/s

Vinklen B er 𝑑 𝑏 sin ( 𝐷) sin ( 𝐵)

=

30

Vindretningen 3 m/s 72

72

30

Vindretningen 5 m/s

58,796 km

99,954 km

A

B

D

30

72

Vindretningen 5 m/s

farten uden v indpåvirkning farten med vindpåv irkning

B

D

Side 8

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 7 af 11

𝑠𝑖𝑛^{−1} () =𝐵

𝑏∗sin ( 𝐷) 𝑑

𝑠𝑖𝑛^{−1} ()=31,87°

5 ∗sin ( 102°) 𝑚 𝑠

9,26 𝑚 𝑠

Den resterende vinkel er

180°−102°−31,87°=46,13°

Farten, hvor der er taget højde for vindmodstanden, er 𝑑 𝑓𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛 sin ( 𝐷) sin ( 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑛𝑒𝑑 𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙)

=

𝑑∗sin (𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙) sin ( 𝐷)

=𝑓𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛

9,26∗sin ( 46,13°) 𝑚 sin ( 102°) 𝑠

=6,825

6,825∗1000 𝑘𝑚

60^{2} 𝑡

=24,27

Strækningen er DB er

99,954 𝑘𝑚−58,796 𝑘𝑚=41,158 𝑘𝑚

Sejltiden for strækningen DB er

41,158 𝑘𝑚

24,27 𝑘𝑚 𝑡

=1,70 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

Omregnet til timer og minutter er det

0,7∗1000

60^{2}

=42 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

Sejltiden er 1 time og 42 minutter

Sejltiden i mellem D og C

Problemformulering

Da vejrudsigten lover endnu dårligere forhold, overvejes der, om det kan betale sig at sejle til havnebyen C, da afstanden til C er nærmere.

Jeg skal bestemme sejltiden fra position D til C.

Side 9

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 8 af 11

Problemanalyse og løsningsforslag

Først kan jeg finde ud af hvor stor afstanden fra D til C er. I trekanten BCD har jeg fået oplyst siden BC og jeg har regnet mig frem til længden af DB i en tidligere opgave.

BC = 25 sømil
DB = 41,158 km

For at kunne finde CD skal jeg finde minimum én af vinklerne. Vinkelen B er den samme både i trekanten ABC og i trekanten BCD. I trekanten har jeg alle siderne og jeg kan derfor, med cosinusrelation, finde alle vinklerne i trekanten.

Jeg behøver og kun vinkel B.

𝐵=𝑐𝑜𝑠^{−1} ()

𝑎^{2} +𝑐^{2} −𝑏^{2}

2𝑎𝑏

Når jeg har fundet vinklen B, bruger jeg igen cosinusrelation til at finde strækningen CD.

𝑏= √ 𝑎^{2} +𝑐^{2} −2𝑎𝑐∗cos (𝐵)

Når jeg så har strækningen, skal jeg finde ud af hvor stor vindpåvirkningen er. Det gør jeg ved at finde vinklen D imellem siderne b og c. Vinklen D finder jeg også med cosinusrelation, jeg kender jo alle 3 sider.

𝐷=𝑐𝑜𝑠^{−1} ()

𝑏^{2} +𝑐^{2} −𝑑^{2}

2𝑏𝑐

Vinklen D ligger jeg til de 102° der før var vindpåvirkningen, da vinden stadig samme retning.

Når jeg både har vindens hastighed, der stadig er 5 m/s, vindes retning i forhold til den retning skibet sejler og skibets
fart, 9,26 m/s, kan jeg finde skibets hastighed.

30

Vindretningen 3 m/s 72

30

72

54 sømil

Vindretningen 5 m/s

25 sømil

45 sømil

A

B

C

D

Side 10

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 9 af 11

Jeg bruger, ligesom i de tidligere opgaver, sinusrelation til at finde vinklen til skibets fart.

𝑑 𝑐 sin ( 𝐷) sin ( 𝐶)

=

𝐶=𝑠𝑖𝑛^{−1} ()

𝑐∗sin ( 𝐷) 𝑑

Så trækker jeg vinklen C og vinklen D fra 180° for at finde vinklen til skibets fart.

Når jeg har fundet vinklen til skibets fart, bruger jeg sinusrelation til at finde skibet fart.

𝑠𝑘𝑖𝑏𝑒𝑡𝑠 𝑓𝑎𝑟𝑡=

𝑑∗sin (𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑙 𝑠𝑘𝑖𝑏𝑒𝑡𝑠 𝑓𝑎𝑟𝑡) sin (𝐷)

Så omregner jeg skibets fart fra m/s til km/s og dividerer strækningen DC med farten for at finde sejltiden i timer. Hvis

sejltiden er 1,696 timer eller der over er det ikke hurtigere at sejle til havne byen C.

Dokumentation

BC = 25 sømil
DB = 41,158 km
BC i km = 46,275 km

Vinklen B

Når jeg finder vinklen B har jeg alle siderne i sømil da det er de benævnelser de er opgivet i og at benævnelserne ikke har nogen betydning, bare de er ens.

𝐵=𝑐𝑜𝑠^{−1} ()

25^{2} +54^{2} −45^{2}

2∗25∗54

𝐵=55,84°

Strækningen CD (b)

𝑏= √ 𝑑^{2} +𝑐^{2} −2𝑑𝑐∗cos (𝐵)
√ 46,275^{2} +41,158^{2} −2∗46,275∗41,158∗cos ( 55,84°) =40,854 𝑘𝑚

102

Vindretningen 5 m/s

25 sømil

41,158 km

Skibets fart

9,26 m/s

C

B

D

Side 11

Matematik A 10. november 2010

HTX – Esbjerg Sejlads – projekt Side 10 af 11

Vinklen D, der skal ligges til grade værdien ved den tidligere vindpåvirkning.

𝑐𝑜𝑠^{−1} () =68,70°

40,854^{2} +41,158^{2} −46,275^{2}

2∗40,854∗41,158

Vinden blæser altså (102°+68,7°) 170,7° mod nordvest.

Vinklen C

𝑠𝑖𝑛^{−1} ()=4,99°

5∗sin (170,7°

9,26

Vinklen til skibets fart

180°−107,7°−4,99°=4,31°

Skibets fart

9,26∗sin ( 4,31°) 𝑚 sin ( 170,7°) 𝑠

=4,306
4,306∗60^{2} 𝑘𝑚

1000 𝑡

=15,502

Sejltiden vil altså være 𝑠𝑡𝑟æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝐷𝐶 𝑖 𝑘𝑚 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑖 𝑘𝑚 𝑡

=𝑠𝑒𝑗𝑙𝑡𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑖 𝑡

40,85 𝑘𝑚

15,502 𝑘𝑚 𝑡

=2,635 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

Det er altså ikke hurtigere at tage den korte vej, da den ikke er ret meget kortere og at der samtidig er næsten stik mod vind.

170,7

Vindretningen 5 m/s

46,275 km

41,158 km

Skibets fart

9,26 m/s

C

B

D