Saltopløsning i vandbeholdere

Side 1

Saltopløsning i vandbeholdere

Formål

Formålet med denne rapport er at fortage beregninger på nogle saltopløsninger i 3 beholdere. Disse beregninger fortages ved hjælp af differentialligninger.

Forudsætninger

De 3 beholdere er hver på 1000 liter og indeholder 500 liter vand med 25 kg opløst salt hver.

Teori

Ved en differentialligning forstås en ligning hvori en eller flere afledede af en funktion y = f(x)
indgår. Hvis den højest forekommende afledede funktion er f^{(n)} (x), kaldes ligningen en n-te ordens

differentialligning.

Enhver funktion der passer i ligningen kaldes en løsning til differentialligningen, og dens graf kaldes en løsningskurve eller en integralkurve.

Mængden af samtlige løsninger kaldes den fuldstændige løsning.

Hvis man har en differentialligning_{dx}^{dy} og et punkt ( ) yx, kan man finde en ligning for tangenten i

punktet til den løsningskurve til differentialligningen.

Når man taler om differentialligninger, har man en række sætninger man bruger, til denne opgave skal vi bruge de første 3 af disse:

Sætning 1

Denne sætning kladdes separation af de variable.

Lad h være kontinuert i intervallet I, og lad g være kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J. Det gælder så, at

y = f(x) er løsning til ( ) ( ) ⇔= xhxg

dx dy

y = f(x) er løsning til = dxxhdy ( )

1
( ) yg

∫∫

Side 2

Bevis:

( ) ( ) ⋅= xhyg ( ) xH er stamfunktion til ( ) xh, dvs. ′ ( ) ( ) xhxH =

dx dy

                         1
( ) yG er stamfunktion til , dvs. ′ ( ) yG =
               ( )       ( ) yg

yg

1

Det gælder i området hvor ( )_{( )}^{1} xh og kan defineres.

yg

Stamfunktionerne til funktionerne ovenover skal findes.

′ ( )( ) ( ) = ′ xfxfG_{xfg} ⋅^{1}

( )( )

′ ( )( ) ( ) − ′ xHxfG = 0

       ′
( )( ) ( )( ) − xHxfG = 0

( )( ) ( ) =− kxHxfG
( )( ) ( ) += kxHxfG

Dermed må det være bevist at^{1} ( ) kan omskrives til ( ) ( ) kxHyG +=

( )

∫ ∫_{yg}^{= dxxhdy}

Sætning 2

Den fuldstændige læsning til differentialligningen.

⋅= yk eller ′ ( ) ( ) xfkxf ⋅=,

dx dy hvor k er en reel konstant, er givet ved

( ) ∈⋅= , Rxecxf

kx

Bevis:

c = konstant

( ) ( ) ( ) =⋅= xfyxhyg
′ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) xfgxfgxhxf ≠⋅= 0

( )( ) xfg

⋅ ′ ( ) ( ) = xhxf

( )( ) xfg

⋅ ′ ( ) ( ) xhxf =− 0

1

1 dx dy

  kx
⋅= ecy

  k
±=⋅±= eceey

kx k_{2}

    + kkx
     2
= ey

y

ln      += kkxy
           2

ykdxdy ≠= 0
∫^{1}

Side 3

Sætning 3

Den fuldstændige løsning til differentialligningen.

+= bay eller^{'} bxafxf += )()(,

dx dy hvor a og b er reelle tal og a ikke er 0, er giver ved

y ⋅+−= ec^{ax}, Rx∈

a b

Bevis: denne differentialligning vises ved hjælp af substitution.

= ep^{+}^{kax}

a pa ap

+ bay

ln += kaxp

ln += kxp

+= kxdp

+=⋅ kxdp

∫∫^{1}^{dxdy}

=

∫_{1}^{11}

∫^{11}

1

  1
=  dpdy
  a

= a

+= bayp

dy dp

 ax
     b
ecy −⋅=
     a

 axk
     b
eey −⋅±=
     a

a

  + kax
      b
ey  −±=
      a

a

+ kax

    + kax
±=+ ebay

ep^{+}^{kax} ∧±=

−±= beay

1

1 a

bayp +=

=± ce

k

1

Side 4

Udregninger

Beholder A

Indstrømning af vand: 2^{l} /

min

Udstrømning af vand: 2^{l} /

min

y = saltindholdet i kg

−=⋅−= 004,02 y

dy y dt 500 volumen saltkg

l_{ud} ⋅=

dt dy

Da der hele tiden kommer nyt saltfrit vand ind og strømmer saltholdigt vand ud, vil salt koncentrationen blive mindre og mindre.

     − 004,0 t
( ) ⋅= ectf

  kktky
±=⋅±=±= eceeey

+− kt

y y

= ey^{004,0}

004,0ln +−= kty

004,0 dtdy

∫ ∫^{1}^{=}^{kdtdy}

−+− 004,0004,0

∫ ∫^{1}^{−=}

( )_{⋅−}_{0004,0} ⇒= 250f

c = 25

ec 25 ⇒=⋅

     − 004,0 t
( ) = 25 etf

004,0−= y

dt dy

0 240 300

5

10

15

20

25

30

25e

0.004− x( )⋅

x

Side 5

Saltindhold = 20 kg:
( ) ⇒= 20tf_{e^{004,0}}_{−}

Saltindhold = 10 kg:
( ) ⇒=10tf_{e^{004,0}}_{−}

Saltindhold efter 4 timer

( ) ef == kg 57,925240

t minutter 024 timer4 ⇒==
⋅− 240004,0

Beholder B

Indstrømning af vand: 2^{l} / + 0,020^{kg salt} / = 0,040^{kg/min}

min l

Udstrømning af vand: 2^{l} /

min

t = = min 79,55
− 004,0

ln_{25}^{20}

     20
t =− ln004,0
     25

= 2025

 − 004,0
       20
e     =
       25

t t

t = = min 07,229
− 004,0

ln^{10}_{25}

     10
t =− ln004,0
     25

= 1025

 − 004,0
       10
e     =
       25

t t

Side 6

04,0004,0 +−= y

dt dy

l ⋅+⋅=              lind salt
                     indud

dt dy volumen saltkg

   004,0 +− 04,0
ecy    −⋅=
         − 004,0

004,0 −− 004,0 004,0 −− 004,0

1 1 1

004,0 +− 04,0

   004,0  04,0
ey     −±=
         − 004,0

− 004,0

1

ey^{004,0} −±=− 04,0004,0

        004,0 +− kt
04,0004,0 ±=+− ey

+− kt

+− kt

 kktk
eceey ⇒=−±⋅=

kt

      04,0
            − 004,0 t
( ) −=     ⋅+ ectf
    −

        − 004,0 t
( ) 10 ⋅+= ectf

004,0

( )   ⇒= 250f
       ⋅− 0004,0

c =−= 151025

ec 2510 ⇒=⋅+

        − 004,0 t
( )  += 1510 etf

Saltindhold = 20 kg:
( ) ⇒= 20tf t_{=+}

( ) 04,0004,02020,0004,0 +−=⋅+−= yy

dt dy

t = = min 37,101
− 004,0

ln_{15}^{10}

    10
t =− ln004,0
    15

e^{−}^{004,0_{201510}}

 − 004,0
        −
e     =
        15

1020 t

04,0004,0^{+−}^{kt} =+− ey^{004,0}

004,0 y +−− 04,0004,0

y 04,0004,0 −+− 004,0

y +− 04,0004,0

+ bay

004,004,0004,0ln +−=+− kxy

04,0004,0ln +=+− kxy

+= kxdp

+=⋅ kxdp

= dtdy

dtdy

− 004,0

∫ ∫^{1}^{=}

∫

∫

   1                 dp
                                 dp
∫ ∫                  dy         004,0

1

1 1

1 1

yp +−= 04,0004,0

          1
004,0 ⇒−=
         −

600

5

10

15

20

25

30

10 15e^{0.004− x⋅} +

x

Side 7

Saltindhold = 10 kg:
( ) ⇒=10tf t_{=+}

Saltkoncentrationen falder aldrig under de 10 kg.

Saltindhold efter 4 timer

( ) ef =+= kg 74,0

t minutter 024 timer4 ⇒==
⋅− 240004,0

Beholder C

Indstrømning af vand: 2^{l} /

min

Udstrømning af vand: 1^{l} /

min

= −= ⋅ y
500 + 500 + tt

− y − 1

dt dy

( ) ( ) ⋅= thyg

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞

500 + t

y −⋅=

dt dy dt dy

     0
t =− ln004,0
     15

 − 004,0
        −
e     =
        15

1010

e^{−}^{004,0_{101510}}

t

Side 8

1
( ) yg

= ( )

500 + t

cy ⋅=

  1
cy ⋅=
  p

   1
cy ⋅=
   ln p
  e

  − ln p
⋅= ecy

  − ln pk
⋅= eey

= ey^{ln}^{+−}

lnln +−= kpy

∫^{dty}

dt

500 + t

∫ ∫^{1}^{dy}^{−=}

∫∫^{dtthdy}

kp

        1
ln   −=
        p

y

1

1

( ) ⇒= 250f

c =⋅= 25

c ⋅ 25 ⇒= 20
500 + t

1

   12500
( ) tf =
   500

+ t

Vand + salt = 1000 l. vand:
( ) ⇒= kg 250f V = 500 l.

   12500
( ) 1f = kg 24,95 ⇒= V = 501 l.
      + 1500

      12500
( ) 500f = kg 12,5 ⇒= V = 1000 l.
       + 500500

tV +=500

t =−= min 00

V = 1000

50 1000

5

10

15

25

30

12500

500 x+ x

Side 9

Saltindhold efter 500 min:

       12500
f ( ) 500 = =   kg ,512

+ 500500

V = 1000

t = 500

                                                    l
På dette tidspunkt øges mængden af vand der forlader karet, til 2 / .

min

Saltindhold efter yderligere 4 timer:

V = 1000 l.

′_{1000} −=⋅− yyy 002,0

2

( ) ⋅= ectf^{002,0−}^{y}
( )_{⋅−}_{0002,0} ⇒= 5,120f

c = 5,12

ec 5,12 ⇒=⋅

       − 002,0 t
( ) 5,12 ⋅= etf

Vi skal nu finde hvornår saltindholdet er på 0,1 kg, så først finder vi der nuværende saltindhold:

Saltindhold efter 4 timer

( ) ef =⋅= kg 573,75,12240

t minutter 024 timer4 ⇒==
⋅− 240002,0

Nu finder vi så hvor lang tid der går inden saltindhold er 0,1 kg

( ) ⇒= kg 1,0tf

t_{−} == min157,2414

      1,0
t =− ln002,0
      5,12

e^{−}^{002,0} =⋅ 1,05,12

002,0

ln^{1,0}_{5,12}

 − 002,0 1,0
e     =
         5,12

t t

min 571,2914min 005min 715,2414 =+

Dette kan så omregnes til: timer48,569 eller ca. 2,5 døgn.