SSO: Beregninger af pi

Indledning

Tallet π er defineret som forholdet mellem cirklens omkreds og diameter. Man har ofte brøker som tilnærmelse til π. Den mest velkendte er som Archimedes har fundet frem til. Det har senere vist sig at π er irrational og altså ikke en brøk. Det har endda vist sig at π ikke engang er rod i et polynomium med hele tal som koefficienter. Det vil sige at π er et transcendent tal.

Der findes mange forskellige måder at tilnærme π på. De stammer helt tilbage fra oldtiden og til nu. Jeg har i denne opgave udvalgt nogle bestemte metoder med et vist sammenhæng og en vis spredning i tiden. Jeg vil give et detaljeret bevis for Archimedes metode og Wallis produktfremstilling, efterfølgende omtale Ramanujans tilnærmelse til π, som er væsentlig mere effektiv end de foregående, og benytte den velkendte grænseværdi: for til at tilnærme π, da denne passer sammen med Archimedes metode. De forskellige nævnte metoders konvergenshastighed vil blive vurderet ved hjælp at regneark lavet i Excel.

Jeg vil i slutningen komme ind på π’s irrationalitet som først blev bevist af Lambert i 1761. Beviset er kompliceret så jeg har i stedet valgt Nivens bevis fra 1947. Kildehenvisninger er markeret med rødt. Eksempel – (1)

Archimedes Metode

(1) Ideen med Archimedes metode er at tilnærme π ved at beregne omkredsen af indskrevne og omskrevne n-kanter til en cirkel med radius 1. I Archimedes eksempel sætter han n=6. I cirklen forbindes alle skæringspunkterne med naboskæringspunktet. Ud fra n-kanten kan man nu konstruere en 2n-kant. Det gøres ved at tegne alle vinkelhalveringslinjer. Herefter forbindes skæringspunkter og vinkelben, nøjagtigt som den foregående n-kant.

Konstruktion af omskrevne n-kanter sker næsten efter samme princip. n=6 igen. Her tegnes tangenterne til cirklen i hvert skæringspunkt mellem et vinkelben og cirklen. Ud fra tangenterne fremkommer den omskrevne n-kant. Nu kan konstruktionen af 2n-kanten ske ud fra den foregående n-kant, nøjagtigt som før. Det klares ved at indtegne vinkelhalveringslinjerne, derefter tegnes tangenterne i skæringspunkterne mellem cirklen og vinkelben. Jeg følger ikke bogens beregningsmetode, men bruger i stedet de trigonometriske funktioner. Men ideen er den samme, nemlig at tilnærme π ved at tilnærme cirklens halve omkreds med den halve omkreds for indskrevne og omskrevne polygoner. Hvis cirklen har radius 1 vil dens halve omkreds nemlig være π. kan Excel ikke længere regne på decimalerne som ligger uden for det maximale antal.