Et eksempel fra STX 3.g
SSO: Eulers tal
Brug materialet til at undersøge opbygning, metode og faglige valg.
Lær af eksemplet på 15 minutter
Læs med de tre spørgsmål herunder, og skriv et kort svar på hvert, gerne med et sidetal. Så har du noget konkret at tage med over i din egen opgave.
- 4 min
Find problemformuleringen. Er den et spørgsmål, man kan nå at svare på inden for opgavens sider?
- 4 min
Find afsnittet om metode og kilder. Hvilke kilder bruger opgaven, og siger den noget om, hvor pålidelige de er?
- 4 min
Find et afsnit, der diskuterer eller vurderer i stedet for at redegøre. Hvad gør det anderledes?
- 3 min
Din egen opgave: Sæt en streg under de afsnit i din egen SSO, der diskuterer. Er der mindst ét?
Skal du selv skrive SSO? Metoden står her: SSO i matematik
Om opgaven
Ophavet er ikke dokumenteret for denne post. Katalogoplysninger: STX 3.g, Større skriftlig opgave (SSO) A, Matematik A, 19 sider. Brug materialet til at se, hvordan teksten er bygget op, og hvilke faglige valg der er truffet.
Læs, hvilke metoder matematik giver dig, og hvad du kan skrive en stor opgave om: Matematik i gymnasiet.
Dokumentets overskrifter
- 1.0 Indledning
- 2.0 Leonhard Euler historie og ℮’s oprindelse
- 2.1 Eulers baggrund
- 2.2 ℮’s oprindelse
- 2.3 Eulers incitamenter til at arbejde med ℮
- 2.4 Konklusion på Eulers opdagelse af ℮
- 3.0 Eksponentialrækken
- 3.1 Udledning af eksponentialrækken
- 3.2 Beregning af ℮ vha. eksponentialrækken
- 4.0 Rækkeudviklinger
- 5.0 Kædebrøker
- 6.0 Oversum og undersum
- 6.1 Oversum
- 6.2 Undersum
- 6.3 Fortsat udregning med oversum og undersum
- 6.4 Beregning af ℮ vha. oversum og undersum
- 7.0 Vurdering af beregning af ℮ vha. forskellige metoder
- 8.0 Konklusion
- 9.0 Litteraturliste
Uddrag fra materialet
1.0 Indledning
Jeg vil i denne opgave beskæftige mig med tallet ℮, som er en af de vigtigste konstanter i matematikkens verden sammen med π.
Mit mål med opgaven er at finde frem til en forståelse for hvorfor Euler indførte ℮ i matematikken. Til det vil jeg give en kort gennemgang af hans liv i væsentlige punkter og vise hvordan ℮ er blevet til gennem en udvikling, for mange før Euler var på sporet af ℮. Desuden vil jeg vise forskellige metoder til beregning af ℮, bl.a. eksponentialrækken, som jeg også vil bevise, kædebrøker og oversum og undersumsmetoden.
Til slut vil jeg vurdere de forskellige metoder og give mit bud på den metode der giver den bedste tilnærmelse til ℮.
For at give en meget kort og præcis definition af ℮, kan man tage en ikke særligt dybdegående fra et leksikon: ”grundtallet for den naturlige logaritmefunktion, dvs. ln(℮)=1. Tallet ℮ er irrationalt.” [ Gyldendals leksikon, under eksponentialfunktion ] ℮ er altså irrationalt, hvilket vil sige at ℮ ikke kan skrives som brøk med hele tal i tælleren og nævneren. Desuden er ℮ transcendent, og det betyder at ℮ ikke kan være rod i et polynomium, hvor koefficienterne er hele. Dette viste Charles Hermite i 1873. [ Carstensen: Bogen om ℮ s.76 ]
2.0 Leonhard Euler historie og ℮’s oprindelse
2.1 Eulers baggrund
Leonhard Euler () blev født i Basel i Schweiz og var søn af Paul Euler – en matematisk interesseret præst. Paul havde taget forelæsninger hos Jakob Bernoulli – manden der beregnede ℮ til at have en værdi mellem 2 og 3.
Euler var et geni og allerede som 14-årig kom han på universitetet, hvor han fik forelæsninger af Johann Bernoulli. Dette var ikke udfordring nok for Euler, så han fik råd af Johann Bernoulli om mere indviklet matematik og fik mulighed for vejledning. [ Andersen bind 2, s.143f ] Euler var altså ikke bare et geni, men han fik også de optimale muligheder for at udvikle sig. Han var omgivet af de bedste folk på området og man kunne formode at interessen omkring ℮ blev styrket når man tænker på at det var Johann Bernoulli’s bror – Jakob Bernoulli – der beregnede ℮ til at have en værdi mellem 2 og 3 (i 1683).
Uddraget er læst maskinelt fra dokumentet, så enkelte ord kan stå forkert. Hele dokumentet står herunder.
Materialet
Fuld skærmOpgaven åbner, når du ruller ned til den.