SSO: Eulers tal

1.0 Indledning

Jeg vil i denne opgave beskæftige mig med tallet ℮, som er en af de vigtigste konstanter i matematikkens verden sammen med π.

Mit mål med opgaven er at finde frem til en forståelse for hvorfor Euler indførte ℮ i matematikken. Til det vil jeg give en kort gennemgang af hans liv i væsentlige punkter og vise hvordan ℮ er blevet til gennem en udvikling, for mange før Euler var på sporet af ℮. Desuden vil jeg vise forskellige metoder til beregning af ℮, bl.a. eksponentialrækken, som jeg også vil bevise, kædebrøker og oversum og undersumsmetoden.

Til slut vil jeg vurdere de forskellige metoder og give mit bud på den metode der giver den bedste tilnærmelse til ℮.

For at give en meget kort og præcis definition af ℮, kan man tage en ikke særligt dybdegående fra et leksikon: ”grundtallet for den naturlige logaritmefunktion, dvs. ln(℮)=1. Tallet ℮ er irrationalt.” [ Gyldendals leksikon, under eksponentialfunktion ] ℮ er altså irrationalt, hvilket vil sige at ℮ ikke kan skrives som brøk med hele tal i tælleren og nævneren. Desuden er ℮ transcendent, og det betyder at ℮ ikke kan være rod i et polynomium, hvor koefficienterne er hele. Dette viste Charles Hermite i 1873. [ Carstensen: Bogen om ℮ s.76 ]

2.0 Leonhard Euler historie og ℮’s oprindelse

2.1 Eulers baggrund

Leonhard Euler () blev født i Basel i Schweiz og var søn af Paul Euler – en matematisk interesseret præst. Paul havde taget forelæsninger hos Jakob Bernoulli – manden der beregnede ℮ til at have en værdi mellem 2 og 3.

Euler var et geni og allerede som 14-årig kom han på universitetet, hvor han fik forelæsninger af Johann Bernoulli. Dette var ikke udfordring nok for Euler, så han fik råd af Johann Bernoulli om mere indviklet matematik og fik mulighed for vejledning. [ Andersen bind 2, s.143f ] Euler var altså ikke bare et geni, men han fik også de optimale muligheder for at udvikle sig. Han var omgivet af de bedste folk på området og man kunne formode at interessen omkring ℮ blev styrket når man tænker på at det var Johann Bernoulli’s bror – Jakob Bernoulli – der beregnede ℮ til at have en værdi mellem 2 og 3 (i 1683).