Silo - Besvarelse af projekt fra bogen Teknisk Matematik

Side 1

[Skriv tekst] [Skriv tekst] [Skriv tekst]

1

Silo
Matematikrapport

Lavet af [navn fjernet] 1.kde

2008

Nathalie

HTX 1. år

Side 2

27. maj 2008 [SILO]

2

Indhold

Formål .................................................................................................................................................. 3 Teori ..................................................................................................................................................... 3 Kuglekalot ........................................................................................................................................ 3 Cylinder ............................................................................................................................................ 3 Keglestub ......................................................................................................................................... 3 Retvinklede trekanter ....................................................................................................................... 4 Cirkel ................................................................................................................................................ 4 Metode ................................................................................................................................................. 4 Opgaver ................................................................................................................................................ 6 Opgave a) ......................................................................................................................................... 6 Opgave b) ......................................................................................................................................... 7 Opgave c) ......................................................................................................................................... 9 Diskussion og vurdering .................................................................................................................... 11 Konklusion ......................................................................................................................................... 11 Perspektivering................................................................................................................................... 11

Side 3

27. maj 2008 [SILO]

3

Formål

At bestemme siloens rumfang og overfladeareal. Derudover skal jeg bestemme længden af en hjørnestiver samt en tværstiver.

Teori

Kuglekalot

Volumen af en kuglekalot:

𝑉 = ∙ ℎ(3 ∙ 𝑎^{2} + ℎ^{2})

π

6

Arealet af en kuglekalot:

A = π(𝑎^{2} ∙ ℎ^{2})

Cylinder

Volumen af en cylinder:

V = π ∙ 𝑟^{2} ∙ ℎ

Arealet af en cylinder:

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ ℎ

Keglestub

Volumen af en keglestub:

𝑉 = ∙ ℎ(𝑅^{2} + 𝑟^{2} + 𝑅 ∙ 𝑟)

π

3

Arealet af en keglestub:

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑠(𝑅 +𝑟)

Side 4

27. maj 2008 [SILO]

4

Retvinklede trekanter

Den retvinklede trekant er en af de vigtigste trekanter i mange konstruktioner heriblandt også

Hjerting kirke.

Hypotenusen er den længste side i trekanten og de to resterende kaldes for kateter. I retvinklede trekanter gælder det at kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater.

Denne formulering kaldes for Pythagoras’ læresætning og bruges flittigt i denne rapport.

Pythagoras’ læresætning:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Dette kan bevises på følgende måde:

Arealet af det indskrevne kvadrat kan udtrykkes på følgende måde: Areal = c^{2}

Man kunne også sige at arealet af det indskrevne kvadrat er arealet af det omskrevne kvadrat minus de fire retvinklede trekanter:

(a+b)^{2} – 4 ·½ · a · b
a^{2} + b^{2} + 2ab – 2ab
a^{2} + b^{2}

Nu kan vi så sammenflette de to udtryk, da de jo er lig med hinanden så formlen kommer til at se sådan ud:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Cirkel

Når jeg skal finde korden i en cirkel, bruges følgende formel:

𝑘 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛()

𝑣

2

Metode

Side 5

27. maj 2008 [SILO]

5

I opgave a) vil jeg bruge følgende teorier:

- Volumen af kuglekalot:

- Volumen af cylinder

- Volumen af keglestub

Jeg finder voluminerne en efter en og lægger dem til sidst sammen for at finde den samlede volumen.

I opgave b) vil jeg bruge følgende teorier:

- Areal af kuglekalot

- Areal af cylinder

- Areal af keglestub

- Pythagoras’ læresætning

Jeg vil finde arealerne en efter en, men når det kommer til keglestubben er jeg nødt til først at finde s, hvilket jeg bruger Pythagoras’ læresætning til. Først herefter kan jeg finde arealet af keglestubben. Når de alle er fundet lægger jeg dem sammen for at finde det samlede areal..

I opgave c) vil jeg bruge følgende teori:

- Pythagoras’ læresætning

- Formel til at finde en korde

Jeg starter med at finde hjørnestiveren, ved at dele stativet op i to trekanter. En stor trekant i bunden samt en mindre trekant i hjørnet, hvor hypotenusen udgør hjørnestiveren.

Jeg vil finde korden i cirklen øverst i stativet og forlænge den, således at jeg får en retvinklet trekant, hvor hypotenusen udgør tværstiveren. Jeg vil så anvende Pythagoras’ læresætning til at finde den.

Side 6

27. maj 2008 [SILO]

6

Opgaver

Opgave a)

Bestem siloens rumfang (se fig. 15.5)

Jeg starter med at finde arealet af kuglekalotten. Til dette bruger jeg følgende formel:

𝑉 = ∙ ℎ(3 ∙ 𝑎^{2} + ℎ^{2})

π

6

Jeg indsætter:

𝑉 = ∙ 0,4(3 ∙ 1,05^{2} + 0,4^{2})

π

6

𝑉 = 0,73 𝑚^{3}

Herefter finder jeg arealet af cylinderen. Til dette bruger jeg følgende formel:

V = π ∙ 𝑟^{2} ∙ ℎ

Jeg indsætter:

V = π ∙ 1,05∙ 2,2

V = 7,62 m^{3}

Til sidst finder jeg rumfanget af keglestubben. Til dette bruger jeg formlen:

𝑉 = ∙ ℎ(𝑅^{2} + 𝑟^{2} + 𝑅 ∙ 𝑟)

π

3

Jeg indsætter:

𝑉 = ∙ 0,75(1,05^{2} + 0,25^{2} + 1,05 ∙0,25)

π

3

𝑉 = 1,12 𝑚^{3}

Jeg er nu klar til at finde det samlede rumfang:

0,73 𝑚^{3} + 7,62 m^{3} + 1,12 𝑚^{3}

9,47 m^{3}

Side 7

27. maj 2008 [SILO]

7

Opgave b)

Bestem hvor meget plade der skal bruges når siloen fremstilles uden bund. Jeg skal altså finde arealet af siloen.

Jeg starter med at finde arealet af kuglekalotten.

Til dette bruger jeg følgende formel:

A = π(𝑎^{2} ∙ ℎ^{2})

Jeg indsætter:

A = π(1,05^{2} ∙ 0,4^{2})

A = 3,97 m^{2}

Herefter finder jeg arealet af cylinderen. Til dette bruger jeg følgende formel:

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ ℎ

Jeg indsætter:

𝐴 = 𝜋 ∙ 2,1 ∙ 2,2

𝐴 = 14,51 𝑚^{2}

Til sidst finder jeg arealet af keglestubben. Til dette bruger jeg følgende formel:

𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑠(𝑅 +𝑟)

Men før jeg kan komme videre bliver jeg nødt til at finde s, hvilket jeg bruger Pythagoras’s læresætning til:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Jeg indsætter:

√ 0,75^{2} + 0,8^{2} = c

1,18 = c = s

Side 8

27. maj 2008 [SILO]

8

Nu er jeg klar til at indsætte i den oprindelige formel:

𝐴 = 𝜋 ∙ 1,18(1,05 + 0,25)

𝐴 = 4,82 𝑚^{2}

Nu kan jeg finde det samlede areal:

3,97 m^{2} + 14,51 𝑚^{2} + 4,82 𝑚^{2}

23,3 m^{2}

Side 9

27. maj 2008 [SILO]

9

Opgave c)

At bestemme længden af en hjørnestiver og en tværstiver.

Jeg vil starte med at finde længden af en hjørnestiver. Først vil jeg finde hypotenusen i den grønne trekant, hvilket jeg bruger Pythagoras’ læresætning til:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Jeg indsætter:

√^{2}
2 + 2^{2} = c

2,83 𝑚 = c

For at finde b i den blå trekant kan jeg trække radius af cirklen øverst fra halvdelen af hypotenusen i den grønne trekant:

b = 1,415 – 0,75

b = 0,67

Nu kan jeg bruge Pythagoras’ læresætning til at finde c i den blå trekant, da jeg ved at højden (a) er to og jeg ovenover har fundet b:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Jeg indsætter:

√ 2^{2} + 0,67^{2} = c

2,11 𝑚 = c

hjørnestiver tværstiver

2

Side 10

27. maj 2008 [SILO]

10

Nu kan jeg finde længden af tværstiveren, ved først og fremmest at finde korden i cirklen. Hvis man ser denne oppefra kan man se at vinklen er 90°, da cirklen er delt op i 4 lige store stykker og vinkelsummen i en cirkel er som bekendt 360°.

Jeg bruger formlen for korden:

𝑘 = 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛()

𝑣

2

   𝟏,𝟓
r =  = 0,75 m
   𝟐

v = 90°

Jeg indsætter nu i formlen:

𝑘 = 2 ∙ 0,75∙ 𝑠𝑖𝑛()

90°

2

k = 1,06

Afstand fra korden og ud til kanten af stativet:

2 − 1,06

2

= 0,47 𝑚

Hjørnestiveren er som før blevet beregnet til at være 2,11 m.

Jeg vil nu finde a, den manglende side i den grønne trekant. Jeg kunne bruge Pythagoras, men der

er en hurtigere måde. Jeg kan nemlig sige at a = b = 0,47. Dette skyldes at korden ville sidde

samme sted og altså have ligeså langt ud til kanten.

Nu er jeg klar til at finde hypotenusen i den orange trekant ved hjælp af Pythagoras:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Jeg indsætter:

√ 0,47^{2} + 2^{2} = c

2,05 𝑚 = c

Side 11

27. maj 2008 [SILO]

11

Nu laver jeg én stor trekant, hvor tværstiveren fungerer som hypotenusen

a = hypotenusen fra forrige udregning = 2,05 m
b = korde + 0,47 = 1,06 + 0,47 = 1,53 m

Nu kan jeg ved hjælp af Pythagoras finde længden af c, dvs. tværstiveren.

𝑎^{2} + 𝑏^{2} = 𝑐^{2}

Jeg indsætter:

√ 2,05^{2} + 1,53^{2} = c

2,56 𝑚 = c

Diskussion og vurdering

Jeg synes, at det var svært at finde andre løsningsmetoder, da det er en relativt simpel opgave.

Man kunne sikkert have fundet en anden måde at finde længden af hjørnestiverne og tværstiverne. Man kunne have delt den op på anden vis og brugt sin(v) samt cosinusrelationen, men jeg synes min løsning var den simpleste, så derfor valgte jeg den.

Resultaterne virker desuden meget realistiske.

Konklusion

Den samlede volumen af siloen: 9,47 m^{3}

Det samlede areal af siloen: 23,3 m^{2}

Længden af en hjørnestiver: 2,11 m

Længden af en tværstiver: 2,56 m

Perspektivering

For landmænd er det selvfølgelig praktisk at vide hvor meget korn der kan være i siloen, eller bygge en, så man ved hvor meget materiale der skal bruges. Derudover er stort set alle de formler jeg har brugt nyttige i mange situationer. Fx hvis du skal have malet, vide hvor meget materiale du skal bruge osv. Der er nærmest ingen grænser.