STX Matematik A NET 2016 27. maj - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

1

STX Matematik A (Netadgang)

27. maj 2016

Delprøven med formelsamling

2stx161-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Hvis og kun hvis vektorerne er ortogonale, vil deres skalarprodukt være lig med 0. Det vil sige:

() · () = 0

5 𝑡

−2 4

⇕

5 · 𝑡 + ( −2) · 4 = 0

⇕

5𝑡−8 = 0

⇕

𝑡 =

8

5

                  5
Vi konkluderer, at 𝑡 = er den eneste værdi af 𝑡, så 𝑎⃗ og 𝑏 er ortogonale.
                  8

⎯ ⃗

Opgave 2 a)

Udtrykket reduceres (𝐼):

Side 2

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

2

𝑎^{2} + 2(𝑏 + 𝑎)(𝑏− 𝑎)
= 𝑎^{2} + 2 · (𝑏^{2} − 𝑎^{2})
= 𝑎^{2} + 2𝑏^{2} − 2𝑎^{2}
= 2𝑏^{2} − 𝑎^{2}

(𝐼): Her anvendes en kvadratsætning:

( 𝑎+ 𝑏)( 𝑎 − 𝑏) = 𝑎^{2} − 𝑏^{2}

Opgave 3 a)

Da den samlede pris stiger fra et fast udgangspunkt med en konstant værdi for hver ekstra sten, anvender

vi en lineær model på formen 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, hvor:

𝑓 ( 𝑥) angiver den samlede pris i kr. som funktion af 𝑥 𝑥 angiver antallet af sten, der leveres

𝑏 angiver 𝑓(0) (dvs. prisen for en levering uden sten). Det vil sige, at 𝑏 = 350

𝑎 er hældningskoefficienten og kan tolkes som funktionstilvæksten, når 𝑥 vokser med 1. Det vil sige, at

𝑎 = 2,75.

Den endelige model opstilles:

𝑓 ( 𝑥) = 2,75𝑥+ 350

Opgave 4 a)

En cirkel med centrum i 𝐶 ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) og radius 𝑟 kan beskrives ved ligningen:

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} + ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2} = 𝑟^{2}

Cirklens ligning søges omskrevet vha. kvadratsætninger (𝐼):

𝑥^{2} + 6𝑥 +𝑦^{2} − 4𝑦 = 12

⇕

( 𝑥+ 3)^{2} − 3^{2} + ( 𝑦 − 2)^{2} − 2^{2} = 12

Side 3

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

3

⇕

( 𝑥+ 3)^{2} + ( 𝑦 − 2)^{2} = 12 + 3^{2} + 2^{2}

⇕

( 𝑥+ 3)^{2} + ( 𝑦 − 2)^{2} = 12 + 9 + 4

⇕

( 𝑥+ 3)^{2} + ( 𝑦 − 2)^{2} = 25

⇕

( 𝑥+ 3)^{2} + ( 𝑦− 2)^{2} = 5^{2}

Ved hjælp af den generelle ligning for en cirkel, kan vi nu udlede, at cirklen har centrum i 𝐶(−3,2) og radius
𝑟 = 5.

(𝐼): Her anvendes to kvadratsætninger:

( 𝑎+ 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏 ⇔ 𝑎^{2} + 2𝑎𝑏 = ( 𝑎+ 𝑏)^{2} − 𝑏^{2}

( 𝑎− 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 ⇔ 𝑎^{2} − 2𝑎𝑏 = ( 𝑎− 𝑏)^{2} − 𝑏^{2}

Opgave 5 a)

Der inddeles i intervaller fra 150 cm med en intervallængde på 10 cm. Vi skal have alle målinger med, så det samlede observationsinterval bliver:

]150;210]

Ved 150 cm har vi altså en kumuleret frekvens på 0%, og ved 210 cm har vi en kumuleret frekvens på 100%.

Kvartilsættet giver yderligere tre punkter. Vi har nu 5 punkter, som tegnes i 1. kvadrant af et koordinatsystem med kumulerede frekvenser opad 𝑦-aksen og højden i cm henad 𝑥-aksen. Punkterne forbindes med rette linjer, hvorved vi får en grov sumkurve:

Side 4

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

4

Opgave 6 a)

Funktionen opskrives og differentieres (𝐼):

𝑓 ( 𝑥) = ( 𝑥− 1) · 𝑒^{𝑥}

𝑓^{′} ( 𝑥) = 1 · 𝑒^{𝑥} + ( 𝑥− 1) · 𝑒^{𝑥}
= 𝑒^{𝑥} + 𝑥· 𝑒^{𝑥} − 𝑒^{𝑥}
= 𝑥· 𝑒^{𝑥}

Vi konkluderer, at 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑥· 𝑒^{𝑥}

(𝐼):

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥)· 𝑔′(𝑥)

Side 5

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

5

Funktion Afledt funktion

𝑒^{𝑥} 𝑒

𝑥 𝑘 0 𝑥 1 b)

Monotoniforholdene for 𝑓 bestemmes ved at undersøge fortegnsvariationen for 𝑓′. 𝑓′ er negativ i intervaller, hvor 𝑓 er aftagende og positiv i intervaller, hvor 𝑓 er voksende.

Nulpunkter for 𝑓′ bestemmes ved at løse 𝑓^{′} ( 𝑥) = 0:

0 = 𝑥· 𝑒^{𝑥}

Vha. nulreglen (𝐼) får vi to mulige løsninger:

𝑥 = 0 ∨ 𝑒^{𝑥} = 0

                                     𝑥
Der findes intet reelt tal 𝑥, som opfylder, at 𝑒 = 0. Vi har altså kun et nulpunkt. Dette findes i 𝑥 = 0.

Fortegnet for 𝑓′(𝑥) undersøges på begge sider af nulpunktet:

𝑓^{′} ( −1) = −1 · 𝑒^{−1} = − < 0

1 𝑒

𝑓^{′} ( 1) = 1 · 𝑒^{1} =𝑒 > 0

Vi konkluderer følgende (𝐼𝐼):

𝑓 er aftagende i intervallet ] − ∞,0]

𝑓 er voksende i intervallet [0,∞]

(𝐼):

Hvis og kun hvis et produkt af to eller flere faktorer er lig med 0, så er mindst én af faktorerne lig med 0.

Dette kan for to faktorer 𝑎 og 𝑏 udtrykkes som:

𝑎· 𝑏 = 0 ⇔ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0

(𝐼𝐼):

Hvis du har svært ved at overskue monotoniforholdene uden noget grafisk at forholde dig til, kan du også tegne en monotonilinje, men det er ikke et krav.

Side 6

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

6

Herunder er en monotonilinje tegnet for 𝑓 ( 𝑥) = ( 𝑥− 1) · 𝑒^{𝑥}

Opgave 7 a)

Vinkelsummen i en trekant er 180°, og da trekant BDE er retvinklet, er vinkel 𝐵 og 𝐸 komplementære

(tilsammen lig med 90). Det samme gælder for vinkel 𝐵 og vinkel 𝐴 i den retvinklede trekant ABC, hvorfor der må gælde, at vinkel 𝐴 er lig med vinkel 𝐸. Dvs.:

𝐴 = 𝐸

𝐵 = 𝐵

𝐶 = 𝐷

De to trekanter er altså ensvinklede, hvorfor der gælder, at:

𝐴𝐶 𝐵𝐶

𝐷𝐸 𝐵𝐷

=

⇕

𝐴𝐶 = · 𝐷𝐸

𝐵𝐶

𝐵𝐷

Hvor 𝐴𝐶 og 𝐵𝐷 er ukendte sider, mens vi har, at:

𝐶𝐸 = 5
𝐵𝐸 = 5
𝐵𝐶 = 𝐶𝐸+ 𝐵𝐸 = 5 + 5 = 10
𝐷𝐸 = 3

𝐵𝐷 kan bestemmes vha. Pythagoras:

𝐵𝐷^{2} + 𝐷𝐸^{2} = 𝐵𝐸^{2}

⇕

𝐵𝐷 = 𝐵𝐸^{2} − 𝐷𝐸^{2}

√

Side 7

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

7

= 5 − 3^{2}

√^{2}
= √25 − 9
= √ 16
= 4

Vi får så:

𝐴𝐶 = · 𝐷𝐸

𝐵𝐶

𝐵𝐷

= · 3

10

4

=

30

4

=

15

2

                     15
Vi konkluderer, at | 𝐴𝐶 | = .
                      2

Opgave 8 a)

Funktionen opskrives og integreres (𝐼), hvorved vi bestemmer en generel forskrift for alle stamfunktioner til 𝑓:

𝑓 ( 𝑥) = + 2𝑥^{3}, 𝑥 > 0

2 𝑥

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

= 2 · ln ( 𝑥) + 2 · 𝑥^{4} + 𝑘

1

4

= 2 · ln ( 𝑥) + 𝑥^{4} + 𝑘

1

2

Grafen for 𝐹 går gennem punktet 𝑃(1,9), så 𝐹 ( 1) = 9. Vi løser så:

9 = 2 · ln ( 1) + · 1^{4} + 𝑘

1

2

⇕

9 = + 𝑘

1

2

⇕

Side 8

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

8

𝑘 = 9 −

1

2

= −

18 1

2 2

=

17

2

Vi konkluderer, at forskriften for den stamfunktion til 𝑓, hvis graf går gennem punktet 𝑃(1,9), er givet ved:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{4} + 2 · ln ( 𝑥) +, 𝑥 > 0

1 17

2 2

(𝐼):

Regneregler for integration

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 9 a)

ℎ er den eneste af de fire funktioner, som er defineret i 𝑥 = 0. 𝐵 har et punkt i 𝑥 = 0, så 𝐵 er grafen for ℎ.

Af de tre tilbageværende funktioner, er 𝑓 den eneste, som er voksende i hele definitionsmængden. Af de tre tilbageværende grafer, er det kun 𝐶, der viser en funktion, som er voksende i det viste interval. 𝐶 er grafen for 𝑓.

                                           1          1
Vi har nu to grafer, 𝐴 og 𝐷, og to funktioner: 𝑘 ( 𝑥 ) = og 𝑔 ( 𝑥 ) =
                                            2
                                           𝑥          𝑥

For alle værdier af 𝑥, som er større end 1 (graferne vil skære i 𝑥 = 1, da 1^{2} = 1), vil grafen for 𝑘 ligge under

grafen for 𝑔. Vi ser at graf 𝐴 ligger under graf 𝐷 for alle 𝑥 til højre for skæringspunktet mellem de to grafer.

𝐴 er grafen for 𝑘, og 𝐷 er grafen for 𝑔.

Side 9

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

9

Opgave 10 a)

En ligning for tangenten til grafen for en funktion 𝑓 i et punkt 𝑃 ( 𝑥_{0},𝑓 ( 𝑥_{0})) kan bestemmes som:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Hvor 𝑥_{0} = 0 (punktet 𝐴 ligger på andenaksen) og 𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥^{3} − 4𝑥^{2} − 3𝑥+ 8

Det vil sige:

𝑓 ( 0) = 2 · 0^{3} − 4 · 0^{2} − 3 · 0 + 8
= 8

Funktionen differentieres (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2 · 3𝑥^{2} − 4 · 2𝑥− 3
= 6𝑥^{2} − 8𝑥 − 3

Så:

𝑓^{′} ( 0) = 0^{2} − 8 · 0 − 3
= −3

Vi indsætter tallene i formlen:

𝑦 = −3 · ( 𝑥− 0) + 8
= −3𝑥+ 8

Tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝐴 kan beskrives ved ligningen 𝑦 = −3𝑥 + 8. Linjen 𝑙 med ligningen
𝑦 = −3𝑥 + 8 er således tangent til grafen for 𝑓 i punktet 𝐴.

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥)· 𝑔′(𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

Side 10

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

10 b)

I skæringspunktet vil 𝑥- og 𝑦-værdierne være de samme for linjen og funktionen 𝑓. Det vil sige:

−3𝑥+ 8 = 2𝑥^{3} − 4𝑥^{2} − 3𝑥 + 8

⇕

0 = 2𝑥^{3} − 4𝑥^{2}

⇕

0 = 𝑥^{2} · ( 2𝑥− 4)

Her kan vi vha. nulreglen (𝐼) se, at én løsning er 𝑥^{2} = 0 ⇔ 𝑥 = 0. Denne kendte vi i forvejen, så vi

bestemmer nu den anden løsning:

2𝑥− 4 = 0

⇕

𝑥 =

4

2

= 2

Førstekoordinaten til punktet 𝐵 er 𝑥 = 2.

(I): Hvis og kun hvis et produkt af to eller flere faktorer er lig med 0, så er mindst én af faktorerne lig med

0. Dette kan for to faktorer a og b udtrykkes som:

a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0