STX Matematik A NET 2016 24. maj - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

1

STX Matematik A (Netadgang)

24. maj 2016

Delprøven med formelsamling

1stx161-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Udtrykket reduceres (𝐼):

( 𝑝 − 𝑞)^{2} + 2𝑝 · ( 1 + 𝑞) − 𝑝^{2}
=𝑝^{2} + 𝑞^{2} − 2𝑝𝑞+ 2𝑝 + 2𝑝𝑞− 𝑝^{2}
=𝑞^{2} + 2𝑝

(𝐼): Her anvendes en kvadratsætning:

( 𝑝 − 𝑞)^{2} =𝑝^{2} + 𝑞^{2} − 2𝑝𝑞

Opgave 2 a)

Arealet af det parallelogram, som udspændes af to vektorer, kan bestemmes som den numeriske værdi af determinanten for disse vektorer:

𝐴= | det ( 𝑎⃗,𝑏)|

⎯ ⃗

=| | | |

2 6

3 8

= | 2 · 8 − 3 · 6 |
= | 16 − 18 |
= | −2 |

Side 2

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

2

=2

Parallelogrammets areal er 2.

b)

Linjens ligning kan bestemmes vha. en normalvektor 𝑛 ⎯ ⃗ =() for linjen og et punkt 𝑃(𝑥_{0},𝑦_{0}) på linjen.

𝑎 𝑏

Ligningen skrives som:

𝑎· ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏· ( 𝑦 − 𝑦_{0}) =0

En normalvektor kan bestemmes som tværvektoren til 𝑎⃗, som er retningsvektor for linjen. Dvs.:

𝑛 ⎯ ⃗ =𝑟̂ =𝑎̂ =()

−3

2

Punktet 𝑃(1,5) ligger på linjen. Ligningen bliver så:

−3 · ( 𝑥− 1) + 2 · ( 𝑦 − 5) =0

−3𝑥+ 3 + 2𝑦 − 10=0

−3𝑥+ 2𝑦 − 7=0

Linjen 𝑙 kan således beskrives ved ligningen −3𝑥 + 2𝑦− 7=0.

Opgave 3 a)

Et andengradspolynomium på den generelle form kan skrives som:

𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Vores polynomium er givet ved:

𝑃 ( 𝑥) =3𝑥^{2} − 6𝑥+ 10

𝑥-koordinaten til toppunktet for den parabel, som er grafen for andengradspolynomiet, kan så bestemmes som:

𝑥=−

𝑏

2𝑎

=−

−6
2 · 3
=1

Side 3

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

3

𝑦-koordinaten bestemmes ved indsættelse af 𝑥=1:

𝑦=𝑃 ( 1) =3 · 1^{2} − 6 · 1 + 10
=3 − 6 + 10
=7

Koordinatsættet til parablens toppunkt er 𝑇(1,7).

Opgave 4 a)

Da den årlige stigning er en fast procentdel, opstiller vi en eksponentiel model på formen:

𝑦=𝑏 ·𝑎^{𝑥}

Hvor: 𝑦 angiver det årlige antal solgte biler 𝑥 angiver antal år efter 2015

𝑏 angiver værdien af 𝑦, når 𝑥=0 (dvs. i år 2015). Det vil sige, at 𝑏=1523

𝑎 er fremskrivningsfaktoren og fortæller noget om den årlige vækstrate 𝑟, idet:

𝑎=1 + 𝑟
=1 + 4%
=1 + 0,04
=1,04

Den endelige model bliver så:

𝑦=1523 · 1,04^{𝑥}

Opgave 5 a)

Monotoniforholdene kan bestemmes ved at undersøge fortegnsvariationen for 𝑓′(𝑥).

Funktionen opskrives og differentieres (𝐼):

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} − 3𝑥^{2} − 9𝑥 + 4

𝑓^{′} ( 𝑥) =3𝑥^{2} − 3 · 2𝑥− 9

Side 4

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

4

=3𝑥^{2} − 6𝑥− 9

Vi bestemmer nulpunkter for 𝑓′ ved at løse 𝑓^{′} ( 𝑥) =0. Det vil sige:

3𝑥^{2} − 6𝑥 − 9=0

⇕

𝑥^{2} − 2𝑥− 3=0

                                                                          2
                                                                     −𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐
                                     2
Vi har nu en andengradsligning på formen 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =0, som har løsningen 𝑥= :
                                                                         2𝑎

Det vil sige:

𝑥=

− ( −2) ± √ ( −2)^{2} − 4 · 1 · (−3)
2 · 1
=

2 ± √ 4 + 12

2

=

2 ± √ 16

2

=

2 ± 4

2

Ligningen har altså to løsninger:

𝑥_{1} = =3

2 + 4

2

𝑥_{2} = =−1

2 − 4

2

Grafen for 𝑓′ er en parabel med benene opad, da forskriften for 𝑓′ er et andengradspolynomium

( 𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐), hvor 𝑎>0. Det vil sige, at 𝑓′ er negativ i intervallet mellem nulpunkterne og positiv i

de to omkringliggende intervaller (𝐼𝐼). Det vil sige (𝐼𝐼𝐼):

𝑓 er voksende i intervallerne ] − ∞,−1] og [3,∞[

𝑓 er aftagende i intervallet [−1,3]

(𝐼):

Regneregler

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

Side 5

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

5

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0 𝑥 1

(𝐼𝐼): Hvis du har svært ved at forestille dig dette, så prøv at tegne grafen for en tilfældig parabel med to nulpunkter og benene opad. Du kunne selvfølgelig også undersøge fortegnet for 𝑓′ på begge sider af begge nulpunkter, men da du ikke må anvende lommeregner, kan du spare tid og slippe for evt. regnefejl ved dette ræsonnement. Herunder vises grafen for 𝑓′(𝑥):

(𝐼𝐼𝐼): Hvis det er svært at overskue monotoniforholdene uden noget grafisk at forholde sig til, kan du tegne en monotonilinje for din egen skyld. Det er dog ikke noget krav.

En monotonilinje for 𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} − 3𝑥^{2} − 9𝑥+ 4 er tegnet herunder:

Side 6

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

6

Opgave 6 a)

Vi opskriver forskrifterne og bestemmer de to funktionsværdier:

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3}

𝑔 ( 𝑥) =, 𝑥>0

16 𝑥

𝑓 ( 2) =2^{3} =8

𝑔 ( 2) = =8

16

2

I første kvadrant er 𝑥≥0 og 𝑦≥0. Ved hovedregning bestemmes en række yderligere funktionsværdier

for hver af de to funktioner. Sideløbende indtegnes punkter, og til sidst skitseres graferne ved at forbinde punkterne med en glat kurve:

Side 7

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

7

(𝐼) :

Herunder vises de yderligere udregninger, som er foretaget. Det er ikke nødvendigt at vise udregningerne, når blot du nævner, at du anvender hovedregning:

𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3}

𝑓 ( 0) =0^{3} =0

𝑓 ( 1) =1^{3} =1

𝑓 ( 3) =3^{3} =27

𝑔 ( 𝑥) =, 𝑥>0

16 𝑥

                                              1
𝑔 er ikke defineret i 𝑥=0, så vi starter i stedet med 𝑥=
                                              2

𝑔()= =16 · 2=32

1 16

2

1

2

𝑔 ( 1) = =16

16

1

𝑔 ( 4) = =4

16

4

𝑔 ( 8) = =2

16

8

𝑔 ( 16) = =1

16

16

𝑔 ( 32) = =

16 1

32 2

Opgave 7 a)

Funktionen opskrives og integreres (𝐼), hvorved vi finder en generel forskrift for alle stamfunktioner til 𝑓:

𝑓 ( 𝑥) =4𝑥^{3} + 6 · 𝑒^{3𝑥} + 7

Så:

Side 8

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

8

𝐹 ( 𝑥) =∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

=4 · 𝑥^{4} + 6 · · 𝑒^{3𝑥} + 7𝑥+ 𝑘

1 1

4 3

=𝑥^{4} + 7𝑥 +2 · 𝑒^{3𝑥} + 𝑘

Da stamfunktionens graf går gennem punktet 𝑃(0,8), har vi, at 𝐹 ( 0) =8. Vi løser så:

8=0^{4} + 7 · 0 + 2 · 𝑒^{3·0} + 𝑘

⇕

8=2 + 𝑘

⇕

𝑘=6

Forskriften bliver så: 𝐹 ( 𝑥) =𝑥^{4} + 7𝑥+ 2 · 𝑒^{3𝑥} + 6

(𝐼):

Funktion Stamfunktion

𝑒^{𝑘·𝑥} · 𝑒^{𝑘·𝑥}

1 𝑘

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Regneregler for integration

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Opgave 8 a)

Vi tæller det samlede antal patienter:

Side 9

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

9

𝑛=1 + 4 + 3 + 7 + 5 + 8 + 2
=30

Der er altså foretaget 30 observationer, hvilket er et lige tal. Medianen kan så bestemmes som gennemsnittet af observation nr. 15 og observation nr. 16, idet observationerne ordnes fra mindst til størst.

Vi tæller os igennem observationerne og finder, at:

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛=

7 + 8

2

=

15

2

=7,5

Der er nu 15 observationer på hver side af medianen. Nedre kvartil bestemmes da som observation nr. 8:

𝑛𝑒𝑑𝑟𝑒 𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙=6

Øvre kvartil bestemmes tilsvarende som værdien af observation nr. 23:

ø𝑣𝑟𝑒 𝑘𝑣𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙=9

Kvartilsættet kan da skrives som (6;7,5;9)

Til tegning af boksplottet skal vi desuden bruge værdien af største og mindste observation. Disse aflæses:

𝑂𝑏𝑠_{𝑚𝑖𝑛} =4

𝑂𝑏𝑠_{𝑚𝑎𝑥} =10

Vi tegner et boksplot:

Opgave 9 a)

OBS: I regning af opgaverne anvendes for nemheds skyld notationen 𝐴𝐵 i stedet for | 𝐴𝐵 | om sidelængder.

Side 10

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

10

Længden af siden 𝐴𝐶 bestemmes vha. Pythagoras:

𝐴𝐶^{2} =𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2}

⇕

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2}

√
= 6 + 8^{2}

√^{2}
= √ 36 + 64
= √ 100
=10

Det vil sige, at | 𝐴𝐶 | =10

Arealet af trekant 𝐴𝐶𝐷 er lig med halvdelen af rektanglets areal:

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = · 6 · 8

1

2

=24

Arealet af trekant 𝐴𝐶𝐷 kan også beregnes med 𝐴𝐶 som grundlinje og 𝐷𝐸 som højde. Det vil sige:

𝑇_{𝐴𝐶𝐷} = · 𝐷𝐸· 𝐴𝐶

1

2

Vi får så:

24= · 𝐷𝐸· 10

1

2

⇕

𝐷𝐸=

24 · 2

10

=

48

10

=

24

5

                     24
Vi konkluderer, at | 𝐷𝐸 | = .
                      5

Opgave 10 a)

Et andengradspolynomium på formen 𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐 kan faktoropløses til formen 𝑦=𝑎 ( 𝑥− 𝑟_{1}) (𝑥 −
𝑟_{2}), hvor 𝑟_{1} og 𝑟_{2} er rødderne. Polynomiet kan altså skrives som:

Side 11

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

11

𝑦=𝑎(𝑥− 0)(𝑥− 𝑘)
=𝑎𝑥· (𝑥− 𝑘)
=𝑎𝑥^{2} − 𝑎𝑘𝑥

Polynomiet er nu på formen 𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Vi ser så, at 𝑎=𝑎, 𝑏=−𝑎· 𝑘 og 𝑐=0

Tangenten til grafen for et andengradspolynomium 𝑓 i punktet 𝑃 ( 0,𝑓 ( 0)) har hældningen 𝑏.

Vi får desuden at vide, at denne hældning er 𝑘. Det vil sige, at 𝑏=𝑘. Vi fandt før, at 𝑏=−𝑎· 𝑘, så der må

gælde, at:

−𝑎· 𝑘=𝑘

⇕

𝑎=−1

Vi kan nu opskrive en forskrift for 𝑓, hvori 𝑘 indgår som en parameter:

𝑓 ( 𝑥) =−𝑥^{2} + 𝑘𝑥

b)

Andenkoordinaten til toppunktet for grafen for et andengradspolynomium på formen 𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

kan bestemmes som:

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} =− =−

𝑑 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

4𝑎 4𝑎

Hvor:

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} =𝑘

𝑏=𝑘

𝑎=−1

𝑐=0

Det vil sige:

𝑘=−

𝑘^{2} − 4 · ( −1) · 0
4 · (−1)

⇕

𝑘=

𝑘^{2}

4

Side 12

Matematik A STX (Netadgang) – Skriftlig eksamen – 24. Maj 2016

12

⇕

4𝑘=𝑘^{2}

⇕

4=𝑘

Vi konkluderer, at 𝑘=4