SOP: Kapacitetsstyring og optimering af en virksomheds omsætning

Side 1

Studieretningsprojekt Skjern Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik d. 6. februar 2015

2015

STUDIERETNINGSPROJEKT

HHX 3. år

HH3A

VESTJYDSK HANDELSSKOLE | d. 6/2/2015

Virksomhedsøkonomi A og Matematik A

Vejledere:

Kapacitetsstyring

&

Optimering

Side 2

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

Abstract

Running a successful business, is mainly about earning as much money as possible. A company has various tools to take in use, to find out how they can earn as much money as possible.

These tools include capacity management and optimization. Almost any business can be limited by scarce capacity. Scarce capacity can be scarcity on working hours, machine hours or raw materials. It is in a company’s interest, to use their scarce capacity best, so they can achieve the biggest result available. In this report, the concepts of capacity management and optimization is explained. It is also explained which advantages and disadvantages it may have to expand the company’s capacity. The purpose of this report is to find the most profitable solution for the

company Have-A-Seat A/S, who suffers from scarce capacity on machine hours. The company
have-A-Seat A/S sells three kinds of products. The optimal solution for Have-A-Seat A/S is found

by optimization, using business economics. All the calculations here, are made in schemes, for it to be simple and manageable. The result of the analysis has shown that the company Have-A-

Seat A/S’ highest possible contribution margin is kr. 727,400, so forth they do not expand their

capacity. The conditions for this, is that they produce 3,900 units of the product SEAT, 7,200 units of the product ZEAT and 5,500 units of the product XEAT, and that they sell the product SEAT for the price of kr. 72 per unit, the product ZEAT for the price of kr. 61 per unit, and the product XEAT for the price of kr. 63 per unit. It is also determined by the analysis, that Have-A-

Seat A/S can expand their capacity, by renting a production machine, and buying 167 units of

the product SEAT from another supplier. By doing this, the company can achieve yet another kr.

5,846 to add to their contribution margin this year.

Side 3

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

Indholdsfortegnelse

Kap. I - Indledning ........................................................................................................................... 1 Kap. II - Redegørelse for kapacitetsstyring og optimering ............................................................. 2

2.1 - Kapacitetsstyring ............................................................................................................................... 2

2.1.1 - Knap kapacitet ........................................................................................................................... 2

2.1.2 - Ledig kapacitet ........................................................................................................................... 3

2.2 - Optimering ........................................................................................................................................ 3 Kap. III - Optimering vha. matematiske modeller ........................................................................... 4

3.1 - Optimering vha. differentiering ........................................................................................................ 4

3.2 - Optimering vha. kvadratisk programmering .................................................................................... 5

3.3 - Optimering vha. lineær programmering ........................................................................................... 5

3.4 - Optimering vha. Simplex-metoden ................................................................................................... 5

3.5 - Optimering vha. Lagrange-metoden ................................................................................................. 9

Kap. IV - Analysering af Have-A-Seat A/S’ kapacitetsstyring. ......................................................... 9

4.1 - Beregning af dækningsbidrag i alt m.v. .......................................................................................... 11

4.2 - Optimal afsætningsplan såfremt ingen begrænsninger ................................................................. 12

4.3 - Beregning af DIFB pr. maskintime m.v............................................................................................ 13

4.4 - Prioriteringsplan ............................................................................................................................. 14

4.5 - Optimal afsætningsplan såfremt begrænsninger ........................................................................... 16

Kap. V - Have-A-Seat A/S’ udvidelsesmuligheder af kapaciteten ................................................. 17

5.1 - Kapacitetsudvidelsesmuligheder .................................................................................................... 17

5.2 - Have-A-Seat A/S’ muligheder for kapacitetsudvidelse ................................................................... 19

Metode .......................................................................................................................................... 21 Konklusion ..................................................................................................................................... 22 Kildeliste ........................................................................................................................................ 23 Bilag ............................................................................................................................................... 24 Bilag 1 - Eksempel på optimering vha. differentiering ............................................................................ 24 Bilag 2 - Eksempel på optimering vha. kvadratisk programmering ........................................................ 28 Bilag 3 - Eksempel på optimering vha. lineær programmering .............................................................. 32 Bilag 4 - Udregninger til Simplex-metoden ............................................................................................. 35 Bilag 5 - Eksempel på optimering vha. Lagrange-metoden .................................................................... 39

Side 4

Studieretningsprojekt Skjern Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik d. 6. februar 2015

1 | P a g e

Kap. I - Indledning

At have en succesfuld virksomhed, handler meget om at tjene så mange penge som muligt. En virksomhed har forskellige værktøjer, de kan tage i brug for at finde ud af hvordan de kan tjene flest mulige penge. Dette er bl.a. værktøjer som kapacitetsstyring og optimering. Stort set alle virksomheder kan være begrænset af knap kapacitet. Der kan være tale om både knaphed på arbejdstimer, mulige maskintimer eller f.eks. råvarer. Det er i en virksomheds interesse at ud-nytte deres arbejdstimer, maskintimer eller råvarer bedst, for at de kan opnå det størst mulige resultat. Både virksomhedsøkonomi og matematik kan hver især benyttes til løsning af sådanne problemer. Dette vil blive vist i denne rapport.

I denne rapport vil der først blive redegjort for begreberne kapacitetsstyring og optimering.

Herunder vil forskellige former for knap kapacitet blive forklaret. I rapporten bliver det beskrevet hvilke fordele og ulemper det kan have, at udvide kapaciteten i en virksomhed. Der bliver i denne rapport også redegjort for, hvordan man optimerer en virksomheds omsætning eller dækningsbidrag ved hjælp af matematiske modeller. Der vil i den redegørende del blive forklaret, hvad det vil sige, at der er ledig kapacitet i en virksomhed, samt hvad årsagen hertil kan være.

Efterfølgende vil der være en analyse af Have-A-Seat A/S’ kapacitetsstyring, med henblik på op-

timering af produktionen. Der vil her blive brugt virksomhedsøkonomiske metoder, for at opti-meringen kan belyses. Begreber som differensbidrag pr. maskintime, afsætningsplan, prioritets-plan og variable omkostninger vil blive taget i brug i den virksomhedsøkonomiske analysedel.

Disse begreber bliver brugt til at analysere, såvel som at beskrive virksomheden Have-A-Seat

A/S’ kapacitetsstyring.

Til slut vil der blive diskuteret forskellige måder, hvorpå Have-A-Seat A/S kan udvide deres

kapacitet. Disse mulige udvidelser vil blive vurderet, og den resultatmæssige virkning af den

eventuelle mulighed, for at udvide Have-A-Seat A/S’ kapacitet, vil også blive vurderet.

Side 5

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

2 | S i d e

Kap. II - Redegørelse for kapacitetsstyring og optimering

2.1 - Kapacitetsstyring

Begrebet kapacitetsstyring hører ind under virksomhedens økonomistyring. Ved selve udtrykket forstås der styring af virksomhedens kapacitet, hvilket går ud på at udnytte virksomhedens knappe kapacitet bedst muligt. Altså består virksomhedens kapacitetsstyring i, inden for de givne salgsmæssige og finansielle rammer, at udnytte den nuværende kapacitet bedst muligt, samt at tilpasse virksomhedens fremtidige, kapacitetsmæssige rammer.

Virksomhedens kapacitet kan opdeles i intern og ekstern kapacitet, forstået på den måde at in-tern kapacitet, er den kapacitet som virksomheden selv har mulighed for at benytte, og altså er den kapacitet der kan ændres i, eller gøres noget ved. Måden hvorpå der kan ændres i den in-terne kapacitet, er ved f.eks. overarbejde, køb af flere resurser eller leje af midlertidig produkti-onsmaskine. Virksomhedens eksterne kapacitet, er det modsatte af den interne kapacitet, for-stået på den måde at det er den kapacitet virksomheden kan købe sig til hos andre. Dette kan være underleverandører, konkurrenter eller konsulenter. Måden hvorpå den eksterne kapacitet kan ændres, er altså ved at købe kapacitet udefra. [1]

2.1.1 - Knap kapacitet

Ved knap kapacitet forstås der at virksomheden ikke kan opnå de optimale aktiviteter, inden for de nuværende rammer. Rammerne kan som sagt f.eks. være mandskabstimer, resurser eller maskintimer. Når en virksomhed har med knap kapacitet at gøre, er det vigtigt at bruge den ka-pacitet der er til stede, mest optimalt, og altså til de mest lønsomme aktiviteter.

Den eller de pågældende resurser, der gør at virksomheden har knap kapacitet, kaldes også for knappe faktorer. Hvis der er tale om knap knaphed på arbejdskraft, er der tale om knaphed på mandskabstimer. Det kan f.eks. være at en virksomhed har modtaget for mange ordrer, til at kunne producere alle ordrer inden for tidsfristen. Der kan også være tale om knaphed på plads, typisk i form af lagerplads. Dette er hvis virksomheden kun har mulighed for, at benytte en hvis mængde lagerplads, til opbevaring af deres færdige produkter. Ud over dette, kan der være tale

1

Steensen, Sejr m.fl.: Erhvervsøkonomi - Niveau A, 1. udgave, Forlaget Trojka, 1997, s. 84.

Side 6

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

3 | S i d e om knaphed på råvarer. Dette er hvis en virksomhed f.eks. ikke kan få tilstrækkeligt med råvarer hjem ift. efterspørgslen af et eller flere produkter. [2]

2.1.2 - Ledig kapacitet

Ved ledig kapacitet forstås der at virksomheden ikke kan udnytte alt deres kapacitet. Altså med andre ord, er der tale om en situation hvor virksomheden råder over mere kapacitet, end deres produktion og andre lønsomme aktiviteter kræver. Dette kan være grundet at virksomheden har anskaffet sig mere kapacitet end de havde behov for, på baggrund af forventninger til det fremtidige kapacitetsbehov, hvilket er bestemt af de fremtidige aktivitetsplaner. En anden grund til at en virksomhed har ledig kapacitet, kan være hvis de bevidst har anskaffet sig et større produktionsanlæg, grundet at dette er mere lønsomt i længden.

Har en virksomhed ledig kapacitet med flere produktionsanlæg klar til brug, er det vigtigt at bruge kapacitetsstyring til at finde den optimale produktionsmaskine, da man med kapacitetsstyring får overblik over produktionsomkostningerne. Når en sådan kapacitetsplanlægning udarbejdes, tages der kun udgangspunkt i kapacitetsenhedernes offeromkostninger, hvilket også er kaldet kapacitetsenhedernes omkostninger. [3]

2.2 - Optimering

Ved begrebet optimering forstås der kort og godt, at gøre noget så stort eller så småt som muligt. Inden for virksomhedsøkonomi, kan der være tale om optimering af dækningsbidrag, hvor man vil optimere, med henblik på det størst mulige dækningsbidrag. Der kan her også være tale om at optimere en virksomheds omkostninger, med henblik på det mindst mulige omkostningsbeløb. Inden for matematik kan der være tale om at maksimere en funktion, for at finde den størst mulige værdi, denne funktion kan give. Der kan her også være tale om minimering af en funktion, for at finde denne funktions mindst mulige værdi.

Måden hvorpå man i virksomhedsøkonomi vil optimere en produktions dækningsbidrag, er ved at anvende kapacitetsstyring. Med kapacitetsstyring kan man nemt optimere dækningsbidraget, ved at kigge på hvilke produkter der giver det størst mulige differensbidrag

2

Bang, Knud Erik m.fl.: Virksomhedsøkonomi A2, 1. udgave, Forlaget Systime, 2011, s. 701

3

Steensen, Sejr m.fl.: Erhvervsøkonomi - Niveau A, 1. udgave, Forlaget Trojka, 1997, s. 85

Side 7

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

4 | S i d e pr. maskintime. Dette er dog kun relevant, hvis der er tale om en virksomhed der producerer mere end ét produkt. Måden hvorpå man i matematik vil optimere en produktions dækningsbidrag, er ved at opstille funktioner for både produktionens omkostninger og omsætning. Derefter vil man beregne en funktion for dækningsbidraget, altså overskuddet.

Dette bliver nærmere beskrevet i næste kapitel.

Kap. III - Optimering vha. matematiske modeller

I dette kapitel vil der blive forklaret hvordan optimering vha. matematiske modeller foregår.

Metoden bliver forklaret kort og godt. Denne forklaring er udarbejdet ud fra bilagene, som tilhører de enkelte optimeringsmetoder. Der forklares optimering inden for følgende emner:

- Differentiering

- Kvadratisk programmering

- Lineær programmering o Herunder ’Simplex-metoden’

- Lagrange-metoden

3.1 - Optimering vha. differentiering

Differentialregning er et vigtigt værktøj når der skal optimeres inden for økonomi. F.eks. kan differentialregning nemt benyttes til, at finde det størst mulige overskud eller omsætning, hvis altså overskuddet eller omsætningen kan beskrives med en forskrift, hvilket det i de fleste tilfælde kan. Måden der optimeres med differentiering er ved at fokusere på differentialkvotienten 𝑓′(𝑥). Denne kaldes også hældningskoefficienten for en tangent, i et bestemt punkt på grafen for en funktion. For en produktionsvirksomhed, vil det typisk være muligt at beskrive overskuddet for produktionen ved en funktion. Ved at differentiere denne funktion, og derefter sætte den lig nul og finde nulpunkter for den differentierede funktion, kan det størst mulige overskud findes. Dette skyldes at der på overskuddets graf, vil være en tangent, med en hældningskoefficient på 0 på dét punkt hvor den differentierede funktion er lig med 0. [4] Et eksempel på dét er givet på bilag 1. [5]

4

Antonius, Søren m.fl.: Matematik B, 3. udgave, Forlaget Systime, 2011, s. 72 - 73

5

Se bilag 1

Side 8

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

5 | S i d e

3.2 - Optimering vha. kvadratisk programmering

Kvadratisk programmering bruges til at optimere en produktion af to produkter. For at kunne løse et optimeringsproblem med kvadratisk programmering, opstilles der en kriteriefunktion.

Denne kriteriefunktion er af formen 𝑓(𝑥;𝑦). Der vil være nogle produktionsbegrænsninger, som også opstilles og indsættes i et koordinatsystem, hvorefter polygonområdet markeres. Der anvendes niveaukurver i koordinatsystemet, hvor pile indtegnes for at kunne se niveaukurvernes retning. Efter dette kan maksimummet af kriteriefunktionen bestemmes, ved parallelforskydning af niveaukurven mod centrum for niveaukurverne. [6] Er centrum for niveaukurverne uden for polygonområdet, findes det optimale svar, i dét hjørne der er tættest på centrummet. Et eksempel på denne optimeringsmetode er givet på bilag 2. [7]

3.3 - Optimering vha. lineær programmering

Lineær programmering bruges også til at optimere en produktion af to produkter. For at kunne løse et optimeringsproblem med lineær programmering, opstilles igen en kriteriefunktion. Selve metoden fungere på mange måder ligesom kvadratisk programmering. Forskellen er, at der ikke arbejdes i niveaukurver, men niveaulinjer.

Efter at kriteriefunktionen er opstillet, opstilles der de nødvendige produktionsbegrænsninger, og dette indtegnes i et koordinatsystem. Der anvendes altså nu niveaulinjer i koordinatsystemet, og pile indtegnes for at kunne se niveaulinjernes retning. Maksimummet for kriteriefunktionen findes nu ved, at parallelforskyde niveaulinjerne mod begrænsningerne. Den største værdi findes ofte dér hvor to begrænsninger krydser hinanden. [8] Et eksempel på denne

                              9
optimeringsmetode er givet i bilag 3.

3.4 - Optimering vha. Simplex-metoden

Princippet i Simplex-metoden er simpelt. Denne går ud på at lede efter den bedste løsning på optimeringsproblemet, blandt hjørnepunkterne i mulighedsområdet. Der startes i koordinatsy-

stemets nulpunkt, ( 𝑥;𝑦) =(0;0). Der ændres nu på én af variablerne. Altså bevæger man sig

ud langs den ene akse i koordinatsystemet, indtil et nyt hjørnepunkt mødes. Dette hjørnepunkt

6

Hansen, Hans Henrik m.fl.: Matematik A, 5. udgave, Forlaget Systime, 2007, s. 124-137 (afsnit i bogen)

7

Se bilag 2

8

Antonius, Søren m.fl.: Matematik B, 3. udgave, Forlaget Systime, 2011, s. 171-189 (afsnit i bogen)

9

Se bilag 3

Side 9

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

6 | S i d e er fundet vha. begrænsningerne. Det næste skridt i proceduren er at finde et nyt koordinatsystem, der beskriver det samme konvekse mulighedsområde, dog med det allerede fundne hjørnepunkt som nulpunkt. Denne procedure gentages indtil kriteriefunktionen ikke

længere kan forøges.^{10}

F.eks. kan en funktion med følgende udgangspunkt optimeres således:

Kriteriefunktionen har forskriften: 𝟑𝟎𝒚 + 𝟒𝟎𝒙

Kriteriefunktionen har følgende betingelser:

10𝑦+ 20𝑥≤960
𝑦 +𝑥≤80
𝑦≤70
𝑥≤40

Fire nye variable indsættes, én for hver ulighed. Disse variable kaldes slack variable, og

betegnes 𝑆_{1},𝑆_{2},𝑆_{3} 𝑜𝑔 𝑆_{4}. Meningen med disse variable, er at de skal lægges til på venstre side

af lighedstegnet for begrænsningerne. Dette gør, at de to sider bliver lige store i værdi. Altså er kriteriefunktionens betingelser indført slack variable:

10𝑦+ 20𝑥+ 𝑆_{1} =960
𝑦 +𝑥 + 𝑆_{2} =80
𝑦 +𝑆_{3} =70
𝑥+ 𝑆_{4} =40
Dette ligningssystem kan løses ved at sætte 𝑥=0 ∧ 𝑦=0. På denne måde får man slack
variablerne til at være følgende: 𝑆_{1} =960∧ 𝑆_{2} =80∧ 𝑆_{3} =70∧ 𝑆_{4} =40. Dette kan også

skrives på følgende måde:

𝑆_{1} =960− 10𝑦−20𝑥 ∧ 𝑆 =80− 𝑦− 𝑥 ∧ 𝑆_{3} =70− 𝑦 ∧ 𝑆_{4} =40− 𝑥

2

Dette punkt ( 𝑥;𝑦) =(0;0) svarer til punktet ( 𝑥;𝑦) =(0;0) på en graf, og er langt fra den

optimale løsning. Derfor skal denne løsning nu forbedres. Dette gøres ved at kigge på betingelserne for forskriften. Der kigges nu på forskriften, og da x-værdien umiddelbart har den største konstant foran sig, startes der med denne. X-værdien optimeres nu så langt som begrænsningen lader den, hvilket i dette tilfælde er lig med en værdi på 40. Dette skyldes, at

hvis x-værdien overstiger 40, vil den ikke længere opfylde den sidste betingelse 𝑥+ 𝑆 =40.
                                                                     4

10

Blomhøj, Morten m.fl.: Lineær Programmering, Forlaget FAG, 1984, s. 49-72 (afsnit i bogen) Hedegaard, Ove: Introduktion til LP og MPS, Nyt Nordisk Forlag og Arnold Busck, 1973, s. 22-31 (afsnit i bogen)

Side 10

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

7 | S i d e

Denne x-værdi indsættes nu i kriteriefunktionen, samt i de øvrige ligninger, hvor der var indført

slack variabler. Kriteriefunktion: ( 40 · 40) + 30𝑦− 40𝑆_{4}.
Ligningssystemerne såfremt 𝑥=40, ved at gå et skridt videre:
𝑆_{1} =160− 10𝑦+20 𝑆_{4}
𝑆_{2} =40− 𝑦+ 𝑆_{4}
𝑆_{3} =70− 𝑦
𝑥=40 − 𝑆_{4}
En løsning til dette ligningssystem kan være 𝑦=0 og 𝑆_{4} =0. Ved at gøre dette, fås
𝑥=40∧ 𝑆_{1} =160∧ 𝑆_{2} =40∧ 𝑆_{3} =70. Dette svarer til punktet ( 𝑥;𝑦) =(40;0) på en graf.

Altså har man ved at kigge på begrænsningerne bevæget sig fra ét hjørne, til et andet, samtidig med at kriteriefunktionen er blevet forbedret med 1600 (40 x 40). Dette er dog ikke den optimale løsning, da det ses at 𝑦 har en positiv koefficient i kriteriefunktionen. Derfor findes nu den optimale værdi for 𝑦, vha. begrænsningerne, på samme måde som gjort ved x-værdien.

Den optimale løsning for 𝑦, findes i den første begrænsning 𝑆_{1} =160− 10𝑦+20 𝑆_{4}. Her ses
det at 𝑦 ikke må overstige værdien^{160}_{10} =16. Derfor indsættes værdien 𝑦=16 i
kriteriefunktionen og i de øvrige ligninger: Kriteriefunktion: 1600 + ( 30 · 16) − 3𝑆_{1} + 20𝑆_{4}
Ligningssystemerne såfremt 𝑥=40 og 𝑦=16, ved at gå et skridt videre:

𝑦=16 − 𝑆_{1} + 2 𝑆_{4}

1

10

𝑆_{2} =24 + 𝑆_{1} − 1 𝑆_{4}

1

10

𝑆_{3} =54 + 𝑆_{1} − 2𝑆_{4}

1

10

𝑥=40 − 𝑆_{4}

En mulig løsning til dette ligningssystem ville være 𝑆 =0 og 𝑆 =0, hvilket vil give 𝑦=16,
                                            1        4

𝑥=40, 𝑆_{2} =24 og 𝑆_{3} =54. Dette vil svare til punktet ( 𝑥;𝑦) =(40;16) på en graf. Derved er

der igen sket en bevægelse fra det ene hjørne i betingelserne, til et andet. Ud over dette er kriteriefunktionen blevet forbedret med 480 (30 x 16). Dog er den endelige løsning ikke fundet,

da det ses at 𝑆_{4} nu har en positiv koefficient i kriteriefunktionen. Derfor kigges der på, hvilket

ligningsudtryk der er strengest for 𝑆
                              4

. Her ses det at det er ligningsudtryk 2 der er strengest.

Denne tillader ikke at 𝑆_{4} overstiger 24. Ved at løse den anden ligning med hensyn til 𝑆_{4}, og
derefter indsætte værdien 𝑆_{4} =24 i kriteriefunktionen og i de øvrige ligninger, fås:
Kriteriefunktion: 2560 − 𝑆_{1} − 20𝑆_{2},

Side 11

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

8 | S i d e

Ligningssystemerne såfremt 𝑥 = 40, 𝑦 = 16 og 𝑆_{4} = 24, ved at tage udgangspunkt i

ligningsudtryk 2.

𝑦=64 + 𝑆_{1} − 2𝑆_{2}

1

10

𝑆_{4} =24 + 𝑆_{1} − 1𝑆_{2}

1

10

𝑆_{3} =6 − 𝑆_{1} + 2𝑆_{2}

1

10

𝑥=16 − 𝑆_{1} + 1𝑆_{2}

1

10

Her vil en mulig løsning være 𝑆_{1} =0 og 𝑆_{2} =0. Dette giver: 𝑦=64, 𝑥 =16, 𝑆_{4} =24 og 𝑆_{3} =
6. Ved disse resultater fås punktet ( 𝑥;𝑦) =(16;64) på en graf. Altså er der endnu en gang

blevet bevæget fra ét hjørne til et andet hjørne på grafen. Der er igen blevet forbedret med 480

(24 * 20). Det ses nu, at funktionen ikke kan optimeres yderligere, da ingen af variablerne kan

antage negative værdier. Dette gælder også for slack variablerne. Altså fås den optimale løsning

ved at sætte 𝑆_{1} og 𝑆_{2} lig med 0, og der vil opnås en samlet fortjeneste på kr. 2.560. [11] [12]

For hvert skridt der tages videre fra ét hjørne til det andet, tages udgangspunkt i et nyt ligningssystem. Derfor ændrer ligningssystemerne hele tiden udtryk, da ligningssystemerne skal

                                                               1
tilpasse sig dette udgangspunkt. F.eks. findes ligningsudtrykket 𝑦=64 + 𝑆 − 2𝑆 , ved at
                                                                 1    2
                                                              10

            1
                                                                13
omskrive 𝑦 − 𝑠 + 2𝑠  =64, som er fundet vha. Simplex-tabellerne i bilag 4.
              1    2
           10

Start og Slut-tabellerne er her vist:

Starttabel

Sluttabel

11

Hedegaard, Ove: Introduktion til LP og MPS, Nyt Nordisk Forlag & Arnold Busck, 1973, s. 22-31 (afsnit i bogen)

12

https://www.youtube.com/watch?v=XK26I9eoSl8

13

Alle ligningsudtryk er udregnet på bilag 4. Se bilag 4.

Side 12

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

9 | S i d e

3.5 - Optimering vha. Lagrange-metoden

Lagrange-metoden går ud på at konstruere en ny funktion 𝐿(𝑥;𝑦) kaldet for Lagrange-funktio-nen. Selve Lagrange-metoden kan anvendes når en funktion 𝑓(𝑥;𝑦) har begrænsningen

𝑔 ( 𝑥;𝑦) =𝑐. Lagrange-funktionen skrives som følgende: 𝐿 ( 𝑥;𝑦) =𝑓 ( 𝑥;𝑦) − 𝜆 ·(𝑔 ( 𝑥;𝑦) − 𝑐).

Tegnet 𝜆 kaldes Lagrangemultiplikatoren. Dette tegn er en konstant. Efter opstilling af Langrange-funktionen skal der opstilles partielt afledte funktioner til 𝐿(𝑥;𝑦). Dette gøres på følgende måde:

𝐿^{′}_{𝑥} ( 𝑥;𝑦) =𝑓_{𝑥}^{′} ( 𝑥;𝑦) − 𝜆· 𝑔_{𝑥}^{′} (𝑥;𝑦) og 𝐿^{′}_{𝑦} ( 𝑥;𝑦) =𝑓_{𝑦}^{′} ( 𝑥;𝑦) − 𝜆· 𝑔_{𝑦}^{′} (𝑥;𝑦). Ligningerne givet ved

disse funktioner, sættes op i et ligningssystem, og løses én efter en ved at starte med at løse den første, og bruge svarene derfra til at løse nr. 2. Herefter vil disse kunne indsættes i restriktionen, og der vil kunne løses for x. Der vil være både en minimumsværdi og en maksimumsværdi givet her, ved løsning efter x-værdien. [14]

Et eksempel på løsning af et

                                15
optimeringsproblem er givet på bilag 5.

Kap. IV - Analysering af Have-A-Seat A/S’ kapacitetsstyring.
I dette kapitel vil der blive gennemgået en analyse af Have-A-Seat A/S’ kapacitetsstyring. Der vil

blive analyseret med henblik på optimering af virksomhedens produktion. Tallene og virksom-heden der er brugt til at lave disse beregninger er opdigtede. Dette skyldes at ingen virksomhed var villig til at levere disse tal, til en opgave som denne. Ved optimering af virksomhedens produktion forstås der, at finde det størst mulige dækningsbidrag for virksomhedens produktion.

Virksomheden Have-A-Seat A/S fremstiller og afsætter computerborde udelukkende på det

danske marked. Virksomheden har et relativt nyt produktionsanlæg, der kan fremstille tre

forskellige typer computerborde, nemlig SEAT, ZEAT og XEAT. Have-A-Seat A/S har planlagt
kapaciteten på produktionsanlægget til at være 1.800 timer. Det gælder for Have-A-Seat A/S, at

de kan sælge flere borde af den enkelte model, hvis de sætter prisen på bordet ned. Pris-

14

Hansen, Hans Henrik m.fl.: Matematik A, 5. udgave, Forlaget Systime, 2007, s. 146-150 (afsnit i bogen)

15

Se bilag 5

Side 13

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

10 | S i d e

/afsætningsalternativerne for de tre produkter, samt forkalkulationer for omkostninger og

produktionstid, ser således ud: (næste side)

Ud fra det øverste skema tolkes det, at der er 5 forskellige produktalternativer for produktet SEAT, 4 forskellige produktalternativer for produktet ZEAT såvel som XEAT. Det tolkes også at

hvis f.eks. produktet SEAT sælges til kr. 72 pr. stk. vil Have-A-Seat A/S afsætte 3.900 stk. af

dette produkt.

Det tolkes ud fra det nederste skema, at produktet SEAT, i alt har variable omkostninger for kr.

19 pr. produceret enhed. Disse omkostninger er fordelt ud på følgende poster: Materiale A, B og C, arbejdsløn og emballage. Henholdsvis bliver der, for produktet SEAT, brugt kr. 5,50 på materiale A, kr. 1,50 på materiale B, kr. 0,50 på materiale C, kr. 11,00 på arbejdsløn og kr. 0,50 på emballage.

Posten ’variable omkostninger pr. stk.’ kan også kaldes ’variable enhedsomkostninger’. Måden hvorpå disse er beregnet, er ved at lægge alle materialeomkostninger samt arbejdsløn og emballageomkostninger sammen. F.eks. for produktet ZEAT er de variable omkostninger pr. stk.

kr. 20,00. Dette skyldes at de ovenstående poster lagt sammen giver kr. 20,00. (6+2+1+8+3 =20)

Side 14

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

11 | S i d e

4.1 - Beregning af dækningsbidrag i alt m.v.

For at finde Have-A-Seat A/S’ størst mulige dækningsbidrag, skal hver enkelt alternativs maksi-

male dækningsbidrag findes. Dette gøres ved at opstille et skema, hvor dækningsbidrag pr. stk.

udregnes ved at trække det enkelte produktalternativs variable enhedsomkostninger fra pro-duktalternativets salgspris. Det maksimale dækningsbidrag for det enkelte alternativ findes der-efter ved at gange det enkelte produktalternativs dækningsbidrag pr. stk. med produktalternativets afsætning. Det er hér klart, at des flere produkter der bliver afsat, eller des højere dækningsbidraget pr. stk. er, des større bliver det samlede dækningsbidrag i alt.

De andre tal brugt i nedenstående skema, er hentet fra de to forrige skemaer. De enkelte pro-duktalternativer bliver beskrevet som produktets forbogstav plus et tal. F.eks. for produktet XEAT, er der produktalternativerne X 1, X 2, X 3 og X 4, med hver især forskellig pris og afsætning.

Ud fra dette skema tolkes det f.eks., at produktalternativet Z 2 har et samlet dækningsbidrag på kr. 270.000. Det tolkes derfor også, at f.eks. produktalternativet X 3 har et samlet dækningsbidrag på kr. 210.000.

Beregning af dækningsbidrag i alt m.v.:

Side 15

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

12 | S i d e

4.2 - Optimal afsætningsplan såfremt ingen begrænsninger

Såfremt at Have-A-Seat A/S ikke havde problemer med deres kapacitet, hvilket i dette tilfælde

var maskintimer, ville man ud fra dette skema kunne udarbejde et salgsmix, hvor man blot ville fokusere på det maksimale dækningsbidrag for de enkelte produktalternativer. Det gælder, at der kun kan produceres ét produktalternativ for hvert produkt.

Dette salgsmix ville se således ud:

Det ses ud fra dette skema, at det optimale salgsmix, såfremt at Have-A-Seat A/S ikke har nogen

kapacitetsbegrænsning på maskintimer, ville være en sammensætning af produktalternativerne S 5, Z 4 og X 4. Det samlede dækningsbidrag for denne produktion fremgår af skemaet, og udgør kr. 789.300.

Grunden til at produktalternativerne S 5, Z 4 og X 4 er tager ud og sat i dette nye skema over salgsmix, er at det er disse produktalternativer der har det højeste samlede dækningsbidrag i alt for de enkelte produkter. Altså har f.eks. X 4 et dækningsbidrag i alt på kr. 225.500, hvor de andre produktalternativer for produktet XEAT, kun har et dækningsbidrag i alt på henholdsvis kr. 210.000, kr. 172.000 og kr. 110.000. Altså har X 4 det højeste dækningsbidrag i alt for disse fire produktalternativer for produktet XEAT.

Dog da det vides, at Have-A-Seat A/S kun har 1.800 timer at gøre godt med, må

kapacitetsbelastningen for dette salgsmix beregnes.

Beregning af kapacitetsbelastning:

Optimalt salgsmix, såfremt ingen kapacitetsbegrænsning:

Side 16

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

13 | S i d e

Ud fra dette skema, kan det ses at virksomheden Have-A-Seat A/S skal bruge 2.167 timer på at

producere dette salgsmix. Da virksomheden kun har 1.800 timer til rådighed, er det ikke muligt

at producere dette salgsmix. Have-A-Seat A/S er derfor nødt til at optimere deres produktion

med hensyn til deres knappe kapacitet på 1.800 timer. Måden hvorpå maskintimer er beregnet, fremgår af kolonnen ’Beregning’, og er ved at gange afsætning med produktionstid i minutter divideret med 60 minutter, for at få resultatet i timer.

4.3 - Beregning af DIFB pr. maskintime m.v.

Grundet kapacitetsbegrænsningen på 1.800 timer, foretages en beregning af de enkelte produktalternativers brug af den knappe faktor, hvilket i dette tilfælde var maskintimer, samt af produktalternativernes differensbidrag pr. knappe faktor (maskintimer). Antal maskintimer beregnes, som tidligere beskrevet, ved at gange afsætningen med det enkelte produkts tidsforbrug pr. enhed. F.eks. 10 minutter pr. SEAT fremstillet. Produktionstiden pr. enhed divideres med 60, for at få antallet af maskintimer i timer i stedet for minutter. Her er det klart at jo større en afsætning, og jo længere en produktionstid pr. enhed, des større er den samlede

maskintid. Differensbidrag pr. time (DIFB/time) er beregnet ved at dividere ændring i

dækningsbidrag med ændring i forbrug af den knappe faktor, i dette tilfælde maskintimer.

DIFB/time er et tal der fortæller hvor meget indtjeningen for netop det produktalternativ er i

forhold til tidsforbruget.

Med andre ord viser dette tal hvor meget der tjenes i timen på produktion af netop dette pro-duktalternativ. Altså fås der et større dækningsbidrag jo større indtjeningen pr. time er.

Beregning af DIFB pr. maskintime m.v.:

Side 17

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

14 | S i d e

Som skemaet viser, er DIFB/time (differensbidrag pr. time) udregnet og dernæst prioriteret
efter højeste DIFB/time. Prioriteringerne indsættes nu i en prioriteringsplan hvor forbruget af

den knappe faktor kan ses.

4.4 - Prioriteringsplan

I prioritetsplanen er produktalternativerne opstillet efter højeste DIFB/time, og altså derved pri-
oritet 1 øverst, da prioritet 1 har det højeste DIFB/time, og prioritet 2 har det andet højeste
DIFB/time osv. Dette blev udregnet i forrige skema. Grunden til at dette gøres, er så det kan ses

hvor meget det enkelte produktalternativ bruger af den knappe faktor, og hvor meget af den knappe faktor der er blevet brugt i alt indtil videre, på produktion af alternativerne. Derved kan man se hvor mange af produktalternativerne der kan produceres inden kapacitetsgrænsen nås.

Prioriteringsplan:

Side 18

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

15 | S i d e

Under kolonnen ’alternativ’ ses altså dét produktalternativ med størst DIFB/time øverst, nemlig
Z 1 i dette tilfælde, da Z 1 har et DIFB/time på kr. 564. DIFB/time fremgår af kolonnen ’DIFB pr.

maskintime’. Tallene i denne kolonne er hentet fra tidligere skema, hvor dette blev beregnet.

Kolonnen ’maskintimeforbrug’ har to underkolonner. Underkolonnen ’ekstra’ viser hvor mange timer der bliver brugt på at lave produktalternativet, ift. der forrige produktalternativ. I dette tilfælde bliver der f.eks. brugt 100 timer ekstra på at producere produktalternativet Z 2, i stedet for Z 1. Altså bliver tallet i kolonnen ’ekstra’ beregnet ved at trække det gamle alternativs ma-skintimer fra det nye alternativs maskintimer. F.eks. er prioritet 2’s ekstra maskintimeforbrug

beregnet ved (500-400=100).

Den anden underkolonne ’I alt’ viser hvor mange timer der i alt er blevet brugt på at producere produktalternativerne indtil videre. Tallene for produktalternativernes maskintimeforbrug, er hentet fra tidligere skema. Grundet at Z 1 tager 400 timer at producere, og Z 2 tager yderligere

100 timer at producere, vil ’i alt’ kolonnen ud for ’Z 2 i stedet for Z 1’ være på 500 timer

(400+100=500).

Side 19

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

16 | S i d e

Da der kun er 1.800 maskintimer til rådighed for Have-A-Seat A/S, må virksomheden undlade at

medtage disse prioriteter: 11, 12 og 13, selvom disse prioriteter er lønsomme. Dette fremgår af skemaet, hvor dette er illustreret med den stiplede linje. Alle alternativer under den stiplede

linje, kan ikke produceres, da den stiplede linje indikerer Have-A-Seat A/S’

kapacitetsbegrænsning.

4.5 - Optimal afsætningsplan såfremt begrænsninger

Efter undladelse af prioriteterne 11, 12 og 13, vil det optimale salgsmix, og altså den optimale

afsætningsplan, for Have-A-Seat A/S - under hensyntagen til den begrænsede kapacitet på ma-

skintimer - være følgende:

I afsætningsplanen ovenover, er det optimale dækningsbidrag udregnet, såfremt Have-A-Seat

A/S har en kapacitetsbegrænsning på 1.800 timer. Ved at tage udgangspunkt i

prioriteringsplanen fra tidligere, ses der hvilke produktalternativer for de tre produkter der er tættest på kapacitetsgrænsen (1.800 maskintimer). I dette tilfælde er der tale om disse tre produkt-alternativer: SEAT (S 3), ZEAT (Z 3) og XEAT (X 4). For nu at udregne de andre felter, kigges der tilbage på de to første skemaer, hvorefter pris, variable enhedsomkostninger og afsætning hentes. Derefter beregnes maskintimeforbruget samt dækningsbidraget i alt.

Det der tolkes ud fra dette skema, er at Have-A-Seat A/S’ kapacitet bliver udnyttet bedst, hvis

produktet SEAT sælges til kr. 72 pr stk. med en afsætning på 3.900 stk., og produktet ZEAT sælges til kr. 61 pr stk. med en afsætning på 7.200 stk., samt at produktet XEAT sælges til kr. 63 pr stk. med en afsætning på 5.500 stk. Det tolkes ud fra afsætningsplanen, at ud fra disse salgs-betingelser vil kapaciteten blive udnyttet til fulde, eftersom disse tre produkter samlet tager

1.800 timer at producere.

Optimal afsætningsplan, såfremt begrænsningen på 1.800 timer:

Side 20

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

17 | S i d e

Det samlede dækningsbidrag for Have-A-Seat A/S’ produktion fremgår af ovenstående afsæt-

ningsplan, og udgør kr. 727.400. [16]

Den resultatmæssige virkning af denne produktion, er at

Have-A-Seat A/S’ resultat vil stige med kr. 727.400 for det pågældende år.

Kap. V - Have-A-Seat A/S’ udvidelsesmuligheder af kapaciteten
I dette kapitel vil virksomheden Have-A-Seat A/S’ udvidelsesmuligheder af deres kapacitet blive

beskrevet. Ud over at mulighederne bliver beskrevet, vil den eventuelle lønsomhed for de en-kelte udvidelsesmuligheder blive vurderet og beregnet. Til sidst vil den resultatmæssige virkning af den eventuelle udvidelse også blive vurderet.

5.1 - Kapacitetsudvidelsesmuligheder

En virksomhed har flere forskellige måder hvorpå deres kapacitet kan udvides. Hvis der fortsat er efterspørgsel på et produkt, som virksomheden producerer, efter virksomhedens kapacitets-grænse er nået, kan virksomhedens ledelse beslutte sig for at udvide kapaciteten. Dette kan gø-res på flere forskellige måder:

Ledelsen kan vælge at udvide kapaciteten ved overarbejde, køb hos underleveran-

dør/outsourcing eller forøgelse af arbejdstempoet. Her gælder det, at virksomheden vil få

større variable omkostninger pr. enhed. Fordelene ved denne udvidelsesmetode er, at det ikke er en særlig stor udvidelsesomkostning. Det er ikke en bindende udvidelsesmetode, som hvis der f.eks. blev købt et nyt produktionsanlæg. Virksomheden kan hurtigt skaffe sig af med overarbejdet eller outsourcingen, hvis det ikke længere er lønsomt.

Virksomheden kan derimod også vælge at leje sig til mere kapacitet. Dette sker ved leje eller leasing af et produktionsanlæg. Fordelene ved denne udvidelsesmetode, er at det er nemt for virksomheden at skaffe sig af med maskinen igen. Den anden fordel er, at der ingen kvalitetsproblemer ville opstå, da virksomheden selv producerer deres produkter.

Ulempen ved denne metode, er at lejeomkostningerne for et produktionsanlæg, på lang sigt vil være højere, end hvis virksomheden selv ejede maskinen.

Virksomheden kan også vælge at købe et nyt produktionsanlæg. Dette er dog en meget stor be-slutning. Her skal bl.a. beregnes om denne investering i dette nye produktionsanlæg er

16

Steensen, Sejr m.fl.: Erhvervsøkonomi - Niveau A, 1. udgave, Forlaget Trojka, 1997, s. 91-94 (afsnit i bogen)

Side 21

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

18 | S i d e rentabel. Fordelen ved denne udvidelsesmetode er, at den på lang sigt er billigere, end de forrige to udvidelsesmetoder. Ulempen ved denne udvidelsesmetode er, at det kan være en for

                                     17
omfattende løsning, ift. kapacitetsproblemet.

Når der skal besluttes hvilken udvidelsesmulighed den enkelte virksomhed skal benytte for at udvide kapaciteten, er det vigtigst at kigge på lønsomhederne for de enkelte muligheder. En ud-videlsesmulighed er lønsom, hvis merindtjeningen overstiger meromkostningerne for udvidel-sesmuligheden. Ved begrebet meromkostninger forstås der de ekstra omkostninger udvidelsen medfører. Ved begrebet merindtjening forstås der, den ekstra indtjening udvidelsen medfører.

Det beløb som merindtjeningen overstiger meromkostningerne med, er altså virksomhedens ekstra dækningsbidrag, som resultat af udvidelsen. Det klogeste at gøre, før en virksomhed udvider, ville være at beregne lønsomheden for de enkelte udvidelsesmuligheder, før der besluttes hvilken mulighed der skal benyttes.

Det blev i tidligere kapitel beskrevet, at virksomheden Have-A-Seat A/S’ optimale salgsmix ikke

kunne realiseres, da deres kapacitetsbegrænsning var i vejen. Dette er skyld i at virksomhedens dækningsbidrag bliver kr. 61.900 mindre, ifølge denne beregning:

Dækningsbidrag ved det optimale salgsmix (2.167 maskintimer): kr. 789.300

- Dækningsbidrag ved knap kapacitet (1.800 maskintimer): kr. 727.400

Mistet dækningsbidrag grundet begrænset kapacitet: kr. 61.900

Dette fald i dækningsbidrag skyldes, at prioriteringerne 11, 12 og 13 ikke kunne gennemføres, grundet begrænsningen på maskintimer. Hvis disse kunne medtages i produktionen, ville de bi-drage med følgende merindtjening: (næste side)

17

Bang, Knud Erik m.fl.: Virksomhedsøkonomi A2, 1. udgave, Forlaget Systime, 2011, s. 708-716 (afsnit i bogen)

Side 22

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

19 | S i d e

Da det vil give en samlet merindtjening på kr. 61.900, burde Have-A-Seat A/S undersøge mulig-
hederne for at udvide deres kapacitet. Mulighederne hvorpå Have-A-Seat A/S kan udvide deres

kapacitet, er beskrevet tidligere i kapitel 5.1. [18]

Hvis Have-A-Seat A/S vælger at udvide deres kapacitet med overarbejde, gælder der følgende

forudsætninger jf. industriens funktionær overenskomst, udarbejdet af HK Privat:

”Medarbejderen har ret til en overarbejdsbetaling svarende til timeløn plus 50 procents overar-bejdstillæg pr. time, de første tre timer efter normal arbejdstids ophør. Herefter er betalingen

                                             19
timeløn plus 100 procents overarbejdstillæg pr. time. ”

Det gælder for virksomheden Have-A-Seat A/S, at deres udvidelsesmuligheder skal have en

meromkostning pr. maskintime på mindre end kr. 156, såfremt at alle alternativer skal medtages. Dette skyldes at differensbidraget for det mindst lønsomme alternativ er kr. 156.

Såfremt at deres udvidelsesmuligheder har en meromkostning pr. maskintime på f.eks. kr. 160, vil det kun være lønsomt at udvide kapaciteten så meget, at prioritet 11 og 12 kan produceres.

Dette skyldes at disse to prioriteter har et DIFB/time, der er højere end kr. 160.
5.2 - Have-A-Seat A/S’ muligheder for kapacitetsudvidelse
Virksomheden Have-A-Seat A/S har tre muligheder for at udvide deres kapacitet. Disse mulighe-

der er, såvel som virksomheden og tallene brugt i det forrige kapitel, opdigtede.

1) Have-A-Seat A/S kan efter aftale med medarbejderne etablere overarbejde I op til 100

timer, mod et overtidstillæg på kr. 175 pr. maskintime.

2) Det er muligt for Have-A-Seat A/S at købe op til 1.100 stk. SEAT for kr. 46 pr. stk. hos en

anden producent.

3) Have-A-Seat A/S har muligheden for at leje et produktionsanlæg for kr. 29.000. Dette

produktionsanlæg har en kapacitet på 200 timer.

18

Se kapitel 5.1 - Kapacitetsudvidelsesmuligheder

19

http://www.hk.dk/~/media/Dokumenter/Om%20HK/Afdelinger/Hovedstaden/HK%20Service%20Hovedstaden/O
K%202014/DIFunktionrPixiok.ashx

Side 23

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

20 | S i d e

Det er virksomhedens interesse at finde ud af hvilke kapacitetsudvidelsesmuligheder der er mest lønsomme. For at finde ud af dette, skal meromkostningerne pr. maskintime beregnes.

Derefter kan de tre kapacitetsudvidelsesmuligheder sammenlignes.

Kapacitetsudvidelsesmulighedernes meromkostning pr. maskintime beregnes.

Meromkostning pr. maskintime:

1) Overarbejde: kr. 175

2) Køb hos anden producent kr. 162 ((46 - 19) x 6)

3) Leje af produktionsanlæg kr. 145 (29.000 / 200)

Beregningerne til mulighed 2 er producentens pris minus variable omkostninger pr. stk. for pro-duktet, gange med hvor mange produkter der kan produceres på en time. I dette tilfælde kan

der produceres 6 stk. på en time (60 / 10 = 6). Beregningerne til mulighed 3 er

produktionsanlæggets lejepris divideret med produktionsanlæggets kapacitet i maskintimer.

Det fremgår af beregningerne ovenfor, at leje af produktionsanlæg er den billigste kapacitetsudvidelsesmulighed. Dette er dog kun under den forudsætning, at produktionsanlægget udnyttes i alle 200 maskintimer. Det er her klart, at hvis produktionsanlægger kun blev brugt i 100 timer, så ville meromkostningen pr. maskintime i

stedet være kr. 290 (29.000 / 100).

Den næst billigste kapacitetsudvidelsesmulighed er køb hos anden producent. Da Have-A-Seat

A/S kan købe op til 1.100 stk., er der her kapacitet nok til at kunne producere prioritet 12, S 5 i

stedet for S 4, som har et ekstra maskintimeforbrug på 167 maskintimer. Dette skyldes at pro-duktet SEAT tager 10 minutter at producere, og der derfor kan produceres 6 stk. i timen (60 /

10 = 6). Altså skal der købes i alt 1.002 stk. (167 x 6 = 1.002) af produktet SEAT, hos en anden

producent.

Da Have-A-Seat A/S kan købe de 1.002 stk. af produktet SEAT hos en anden producent, og

derved få prioritet 12 medtaget, kan de 200 maskintimer fra leje af produktionsanlæg bruges på prioritet 11 og 13, der hver især har et ekstra maskintimeforbrug på 100 timer. Derfor er det i

Side 24

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

21 | S i d e dette tilfælde ikke nødvendigt at anvende overarbejde. Merindtjeningen ved kapacitetsudvidelsen kan herefter beregnes således:

Merdækningsbidrag ved at medtage prioritet 11: kr. 18.300

Merdækningsbidrag ved at medtage prioritet 12: kr. 28.000

Merdækningsbidrag ved at medtage prioritet 13: kr. 15.600

Merdækningsbidrag i alt: kr. 61.900

- Leje af produktionsanlæg: (200 x 145) kr. 29.000

- Meromkostninger ved køb hos producent: (167 x 162) kr. 27.054

Merindtjening i alt ved kapacitetsudvidelsen: kr. 5.846

Altså kan Have-A-Seat A/S opnå et merdækningsbidrag på kr. 5.846, ved at udvide deres
kapacitet som beskrevet. Der fremgår nemlig af beregningerne at Have-A-Seat A/S vil have en

merindtjening i alt, ved kapacitetsudvidelsen, på kr. 5.846. [20] Efter denne merindtjening vil

Have-A-Seat A/S’ maksimale dækningsbidrag være på kr. 733.246. (727.400 + 5.846 = 733.246).

Det er altså vurderet at lønsomheden for denne udvidelse, påvirker virksomheden Have-A-Seat

A/S til et merdækningsbidrag på kr. 5.846. Med et merdækningsbidrag på kr. 5.846, for denne
udvidelse, vil virksomheden Have-A-Seat A/S’ resultat for det pågældende år være kr. 5.846

større, end hvis de ikke havde udvidet deres kapacitet.

Metode

I denne opgave er der brugt flere forskellige virksomhedsøkonomiske metoder, såvel som matematiske metoder. I selve opgaven er der blevet brugt formelle metoder. Dette sker f.eks. i afsnitter om Simplex-metoden. Der er også brugt matematisk modellering, hvor der til at starte med er taget udgangspunkt i et problem. Dette problem ’oversættes’ til et område i matematikken, og de matematiske problemer er blevet behandlet. Denne proces skaber en matematisk konklusion, der så kan omskrives til en konklusionen der tilhører den oprindelige problemstilling. Dette er f.eks. blevet brugt til udarbejdning af bilagene. Her er der også brugt numeriske metoder.

20

Steensen, Sejr m.fl.: Erhvervsøkonomi - Niveau A, 1. udgave, Forlaget Trojka, 1997, s. 94-97 (afsnit i bogen)

Side 25

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

22 | S i d e

Der er i den virksomhedsøkonomiske analyse, anvendt den samfundsvidenskabelige metode.

Her ses der på kvantitative data, der behandles og derefter bliver fortolket. Til fortolkning anvendes den kvalitative metode. Altså er der blevet brugt både kvantitative og kvalitative metoder. Der er opstillet modeller og skemaer, til udarbejdelse af analysen. Der er også blevet

brugt økonomiske metoder, til at optimere virksomheden Have-A-Seat A/S’

kapacitetsudnyttelse i analysedelen.

Konklusion

Det er ud fra den virksomhedsøkonomiske optimeringsanalyse, at det størst mulige dækningsbi-

drag for virksomheden Have-A-Seat A/S er fundet. Virksomheden Have-A-Seat A/S’ maksimale

dækningsbidrag, før udvidelse af kapacitet, er ved en produktion af 3.900 stk. af SEAT, som sæl-ges til en markedspris på kr. 72 pr. stk., samt en produktion af 7.200 stk. af ZEAT, som sælges til en markedspris på kr. 61 pr. stk., og en produktion af 5.500 stk. af produktet XEAT, som sælges

til en markedspris på kr. 63 pr. stk. Ved denne produktion vil virksomheden Have-A-Seat A/S

opnå deres maksimale dækningsbidrag på kr. 727.400, såfremt at de ikke udvider deres kapacitet.

Det kan yderligere konkluderes, at en udvidelse af Have-A-Seat A/S’ kapacitet, som sker ved leje

af et produktionsanlæg med en kapacitet på 200 timer, samt køb af 167 stk. SEAT hos anden leverandør, vil medføre en forøgelse af det samlede dækningsbidrag på kr. 5.846. Den optimale produktions dækningsbidrag, lagt sammen med det yderligere merdækningsbidrag fra udvidel-sen, vil samlet medføre en forøgelse af det samlede dækningsbidrag, for det pågældende år, på kr. 733.246.

Side 26

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

23 | S i d e

Kildeliste

Bøger:

• Antonius, Søren m.fl.: Matematik B, 3. udgave, Forlaget Systime, 2011.

• Bang, Knud Erik m. fl.: Virksomhedsøkonomi A2, 1. udgave, Forlaget Systime, 2011.

• Blomhøj, Morten m.fl.: Lineær Programmering, Forlaget FAG, 1984

• Hansen, Hans Henrik m.fl.: Matematik A, 5. udgave, Forlaget Systime, 2007.

• Hedegaard, Ove: Introduktion til LP og MPS, Nyt Nordisk Forlag & Arnold Busck, 1973.

• Steensen, Sejr m fl.: Erhvervsøkonomi - Niveau A, 1. udgave, Forlaget Trojka, 1997.

Hjemmesider:

• http://www.hk.dk/~/media/Dokumenter/Om%20HK/Afdelinger/Hovedstaden/HK%20Se
rvice%20Hovedstaden/OK%202014/DIFunktionrPixiok.ashx

(lokaliseret d. )

Film m.m.:

• https://www.youtube.com/watch?v=XK26I9eoSl8

(lokaliseret d. )

Side 27

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

24 | S i d e

Bilag

Bilag 1 - Eksempel på optimering vha. differentiering

Dette eksempel er et opdigtet eksempel, der skal vise hvordan man vha. differentialregning opti-merer en produktion. Virksomheden samt tallene er altså opdigtede. Bilaget er udarbejdet af Rasmus Mikkelsen.

I produktionsvirksomheden BESTED kan omkostningerne ved produktionen for deres mest solgte vare KAPER beskrives med funktionen:

𝐶 ( 𝑥) =0,08𝑥^{3} − 5,5𝑥^{2} + 500𝑥+ 20000, 𝑥≥0

Det gælder for denne funktion:

𝐶(𝑥): Udtryk for produktionens omkostninger 𝑥: Antal producerede styk KAPER

Da BESTED kan afsætte hele deres produktion til prisen 1000 kr. pr. styk, kan funktionen for deres omsætning beskrives på følgende måde:

𝑅 ( 𝑥) =1000𝑥, 𝑥≥0

Det gælder for denne funkton:

𝑅(𝑥): Udtryk for produktionens omsætning 𝑥: Antal producerede styk KAPER

Da der er blevet fundet forskrifter for både omkostninger og omsætning, kan forskriften for overskuddet beregnes. Denne skal bruges til at finde det størst mulige overskud for denne produktion.

Vi ved:

𝐶 ( 𝑥) =0,08𝑥^{3} − 5,5𝑥^{2} + 500𝑥+ 20000, 𝑥≥0
𝑅 ( 𝑥) =1000𝑥, 𝑥≥0

Overskuddet er lig med 𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟, og er derved defineret som:

𝑂 ( 𝑥) =𝑅 ( 𝑥) − 𝐶(𝑥)

Bilag 1 fortsætter på næste side.

Side 28

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

25 | S i d e

Det gælder for denne funktion:

𝑂 ( 𝑥): Udtryk for produktionens overskud 𝑥: Antal producerede styk KAPER

BESTED ønsker at finde netop den produktionsstørrelse der giver det største overskud. Derfor anvendes differentialregning på funktionen for 𝑂(𝑥). Funktionen for overskuddets differential-kvotient findes.

Vi ved:

𝑂 ( 𝑥) =𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥) ⟺ Forklaring til beregninger nedenfor:
𝑂 ( 𝑥) =1000𝑥− ( 0,08𝑥^{3} − 5,5𝑥^{2} + 500𝑥+20000) ⟺ Værdierne for 𝑅 ( 𝑥) og 𝐶(𝑥) indsat.
𝑂 ( 𝑥) =1000𝑥− 0,08𝑥^{3} + 5,5𝑥^{2} − 500𝑥− 20000⟺ Parentesen er hævet.
𝑂 ( 𝑥) =500𝑥− 0,08𝑥^{3} + 5,5𝑥^{2} − 20000⟺ Udtrykket for overskud er fundet.

For at finde det størst mulige overskud, findes differentialkvotienten 𝑂′(𝑥), for 𝑂(𝑥).

                            21
Dette gøres efter følgende formel:

 ′
𝑓 ( 𝑥 ) = lim
       Δ𝑥 →0

𝑓 ( 𝑥+ Δ𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)

Δ𝑥

Med andre, lidt mere letforståelige ord:

For at finde differentialkvotienten, ganger du til at starte med alle potenser ned i tallet foran, og minusser derefter én værdi fra potensen. F.eks.:

𝑓 ( 𝑥) =4𝑥^{3} ⟹
𝑓^{′} ( 𝑥) =12𝑥^{2}

Efter at dette er gjort ved alle potenser, fjernes de enestående konstanter. F.eks.:

𝑓 ( 𝑥) =300+ 𝑥^{2} ⟹
𝑓^{′} ( 𝑥) =2𝑥

Efter dette, fjernes x foran de x-værdier der ikke har en potens. F.eks.:

𝑓 ( 𝑥) =300𝑥+ 𝑥^{2} ⟹
𝑓^{′} ( 𝑥) =300+ 2𝑥

Denne metode anvendes på udtrykket for overskuddet af produktionen for KAPER.

Bilag 1 fortsætter på næste side.

21

Antonius, Søren m.fl.: Matematik B, 3. udgave, Forlaget Systime, 2011, s. 83

Side 29

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

26 | S i d e

𝑂 ( 𝑥) =500𝑥− 0,08𝑥^{3} + 5,5𝑥^{2} − 20000⟹
𝑂^{′} ( 𝑥) =500− 0,24𝑥^{2} + 11𝑥

Ved nu at tegne det hele ind i et koordinatsystem i Graph, fås let et overblik over overskuddet.

C(x)

R(x)

O(x)

O'(x)

-0 200

20000

40000

60000

80000

100000 x y

R(x) = Omsætning

O(x) = Overskud

C(x) = Omkostninger

Det ses at 𝑅(𝑥) overskrider 𝐶(𝑥) i en periode. Denne periode er vist vha. 𝑂(𝑥).

For nu at finde det størst mulige overskud, findes nulpunkter for 𝑂′(𝑥). Disse viser nemlig hvor 𝑂(𝑥) har en vandret tangent. Ved en vandret tangent vil der oftest være et vendepunkt for gra-fen. Der beregnes med WordMat.

𝑂^{′} ( 𝑥) =500− 0,24𝑥^{2} + 11𝑥 =0 ⟹
500 − 0,24𝑥^{2} + 11𝑥 =0

⇕ The equation is solved for x by WordMat.

𝑥=−28,15688 ∨ 𝑥 =73,99021
Da begrænsningerne i starten konkluderede at 𝑥≥0, udelukkes besvarelsen 𝑥 =−28,15688.

Bilag 1 fortsætter på næste side.

Side 30

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

27 | S i d e

Det vides nu at produktionen vil have dets største overskud, ved en produktion på 73,99 stk.

afrundet 74 𝑠𝑡𝑘. Dette største overskud kan let beregnes, ved at indsætte x-værdien i udtrykket for overskuddet 𝑂(𝑥).

𝑂 ( 𝑥) =500𝑥− 0,08𝑥^{3} + 5,5𝑥^{2} − 20000⟹
𝑂 ( 74) = ( 500 · 74) − ( 0,08 · 74^{3}) + ( 5,5 · 74^{2}) − 20000=14700,08

Produktionsvirksomheden BESTED vil altså på deres produktion af KAPER have et maksimalt overskud på 14700 kroner, ved en produktion på 74 stk. såfremt at alle disse producerede va-rer bliver solgt.

Således optimeres en produktion vha. differentialregning.

Side 31

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

28 | S i d e

Bilag 2 - Eksempel på optimering vha. kvadratisk programmering

Dette eksempel er et opdigtet eksempel, der skal vise hvordan man vha. kvadratisk programme-ring optimerer en produktion. Virksomheden samt tallene er altså opdigtede. Bilaget er udarbej-det af Rasmus Mikkelsen.

En virksomhed producerer 2 forskellige produkter, nemlig produkt A og produkt B.

Det gælder for denne virksomhed, at de ikke kan producere mere end 50 stk. af produkt A, og mere end 100 stk. af produkt B. Denne virksomhed kan sælge produkt A for 100 kroner pr. stk.

og de kan sælge produkt B for 75 kroner pr. stk. Dog falder prisen for produkt A med 1,5 krone pr. produceret vare. Prisen for produkt B falder med en halv krone pr. produceret vare.

Dette omskrives til kriteriefunktion og begrænsninger.

Begrænsninger:

𝑀:0<𝑥≤50
𝑁:0<𝑦≤100

Naturlige begrænsninger:

𝑥≥0 ∧ 𝑦≥0

Disse begrænsninger indtegnes i et koordinatsystem i Graph.

Kriteriefunktionen, der angiver den samlede omsætning defineres:

Vi ved:

Pris pr. enhed af vare A: 𝑘 ( 𝑥) =100− 1,5𝑥
Pris pr. enhed af vare B: ℎ^{1}_{2} ( 𝑦) =75− 𝑦 Bilag 2 fortsætter på næste side.

M

N x<0 or y<0

-60 80 100

50

100 x y

Side 32

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

29 | S i d e

Det gælder at: Forklaring nedenunder:

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑘 ( 𝑥) · 𝑥+ ℎ ( 𝑦) · 𝑦⟹

                              1
𝑓 ( 𝑥;𝑦 ) = ( 100 − 1,5𝑥 ) · 𝑥+ (75− 𝑦) · 𝑦⟺ Udtrykkene 𝑘(𝑥) og ℎ(𝑦) indsættes
                              2

                            1
                   2           2
𝑓 ( 𝑥;𝑦 ) =100𝑥− 1,5𝑥 + 75𝑦− 𝑦  Parenteser er hævet, og kriterie-
                            2

funktion er fundet.

Niveaukurver for kriteriefunktionen kan nu bestemmes.

Niveaukurver med niveauet 𝑡 bestemmes. 𝑡 er et udtryk for den samlede omsætning.

𝑁 ( 𝑡):𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑡⟹ Kriteriefunktionen indsættes.

100𝑥− 1,5𝑥^{2} + 75𝑦− 𝑦^{2} =𝑡⟺

1

2

Da det er ønsket at der er positive heltal foran 𝑥^{2} og 𝑦^{2},
ganges ligningen igennem med −2.

−200𝑥+3𝑥^{2} − 150𝑦+ 𝑦^{2} =−2𝑡⟺ Ligningen er ganget igennem med
−2
3𝑥^{2} − 200𝑥+ 𝑦^{2} − 150𝑦=−2𝑡⟺ Udtrykkene er rykket om, for bedre

overblik

3 ( 𝑥^{2} − 66,67𝑥) + ( 𝑦^{2} − 150𝑦) =−2𝑡⟺ Ved x-leddet sættes tallet 3 uden for

parentes. Ved y-leddet sættes tallet

1 uden for parentes.

Kvadratsætningen for en toleddet størrelse anvendes.

Denne er som følgende:

𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2 · 𝑎· 𝑏= ( 𝑎+ 𝑏)^{2} Når denne anvendes, halveres

koefficienten til henholdsvis 𝑥 𝑜𝑔 𝑦 i parentesen.

3 ( 𝑥− 33,34)^{2} + ( 𝑦 − 75)^{2} =−2𝑡+ 3· ( −33,34)^{2} + ( −75)^{2} ⟺
3 ( 𝑥− 33,34)^{2} + ( 𝑦 − 75)^{2} =−2𝑡+ 8959,67⟺ Højre side af lighedstegnet er forkor-

tet. Der divideres nu med

−2𝑡+ 8959,67 på begge sider af

lighedstegnet.

3 ( 𝑥− 33,34)^{2} ( 𝑦 − 75)^{2}
−2𝑡+ 8959,67 −2𝑡+ 13125

+ =1⟺

Bilag 2 fortsætter på næste side.

Side 33

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

30 | S i d e

( 𝑥− 33,34)^{2} ( 𝑦 − 75)^{2}
(−2𝑡+ 8959,67)/3 −2𝑡+ 13125

+ =1⟺

Den første brøk forkortes med 3.

( 𝑥− 33,34)^{2} ( 𝑦− 75)^{2}
−0,66𝑡+ 2886,56 −2𝑡+ 13125

+ =1

Ud fra dette, kan det ses at niveaukurverne danner ellipser med:

Centrum i punktet ( 𝑥;𝑦) =(33,34;75)
Vandret halvakse: 𝑎= √ −0,66𝑡+2886,56
Lodret halvakse: 𝑏= √ −2𝑡 + 13125

Dette kan nu bruges til at indtegne to niveaukurver i koordinatsystemet fra før.

Der indtegnes:

𝑁(2000), dvs. 𝑡=2000
Vandret halvakse: 𝑎= √ −0,66 · 2000+ 2886,56≈39,57979
Lodret halvakse: 𝑏= √ −2 · 2000+ 13125≈95,52487

𝑁 ( 3500), dvs. 𝑡=3500
Vandret halvakse: 𝑎= √ −0,66 · 3500+ 2886,56≈24,01166
Lodret halvakse: 𝑏= √ −2 · 3500+ 13125≈78,26238

Altså fås den største omsætning ved at producere 33 stk. af vare A og 75 stk. af vare B.

Bilag 2 fortsætter på næste side.

M

N x<0 or y<0

N(2000)

N(3500)

Serie 1

-20

20

40 altså i centrum af ellipserne,

60

80

100 x y

N(3500)

N(2000)

33,34;75

Det ses, at omsætningen bliver større jo mindre halvakserne for ellipserne bliver.

Den største omsætning fås da dette er inde for de betingede område.

Side 34

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

31 | S i d e

Den største omsætning bestemmes ved at indsætte disse punkter i kriteriefunktionen.

                                      1
                          2               2
𝑓 ( 33;75 ) =100· 33 −1,5 · 33 + 75 ·75 − · 75 =4479
                                      2

Den største omsætning er altså 4479 kroner.

Enhedsprisen for de enkelte enheder kan beregnes:

Pris pr. enhed af vare A: 𝑘 ( 𝑥) =100− 1,5𝑥⟹

𝑘 ( 33,34) =100− 1,5 · 33,34≈49,99

Pris pr. enhed af vare B: ℎ^{1}_{2} ( 𝑦) =75− 𝑦⟹

ℎ ( 75) =75− · 75=37,5

1

2

Dvs. at den største omsætning fås når enhedsprisen er henholdsvis:

𝟓𝟎 kroner for vare A.

𝟑𝟕,𝟓 kroner for vare B.

Kontrol:

50 · 33,34 + 37,5 · 75=4479,5

Dette er rigtigt, da enhedsprisen gange afsætningen for begge produkter giver det samme som den største omsætning. Grunden til at der er 0,5 i forskel, er at tallet 33,34 kunne være beskrevet dybere, som f.eks. 33,333334, hvilket ville have givet et mere præcist resultat.

Således optimeres en produktion vha. kvadratisk programmering.

Side 35

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

32 | S i d e

Bilag 3 - Eksempel på optimering vha. lineær programmering

Dette eksempel er et opdigtet eksempel, der skal vise hvordan man vha. lineær programmering optimerer en produktion. Virksomheden samt tallene er altså opdigtede. Bilaget er udarbejdet af Rasmus Mikkelsen.

En virksomhed sælger to produkter, nemlig PIF og PAF. Det gælder for produkterne at det tager

5 timer at producere ét stk. af PIF, derudover tager det yderligere 3 timer at teste produktet PIF. Det tager 7 timer at producere ét stk. af PAF, og derudover tager det yderligere 1 time at teste produktet PAF. Produktet PIF har et dækningsbidrag på 1.000 kroner. Produktet PAF har et dækningsbidrag på 1.250 kroner.

Virksomheden har 500 timer at producere i, og yderligere 150 timer at teste i.

Virksomheden ønsker at finde den optimale produktion for disse to produkter.

Til at starte med defineres produkterne som x og y værdier.

𝑥: Antal stk. af PIF 𝑦: Antal stk. af PAF 𝑓 ( 𝑥;𝑦): Det samlede dækningsbidrag i kroner.

De givne informationer sættes ind i en tabel, for at betingelserne kan opskrives.

𝑥 (𝑃𝐼𝐹) 𝑦(𝑃𝐴𝐹) Maksimal kapacitet

Produktion 5 7 500 timer

Testning 3 1 150 timer

Dækningsbidrag pr.

stk. i kr.

1000 1250

Betingelserne er følgende:

Produktion: 5𝑥+ 7𝑦≤500
Testning: 3𝑥+ 1𝑦≤150
Naturlige begrænsninger: 𝑥≥0 𝑜𝑔 𝑦≥0

Betingelserne indtegnes i et polygonområde i Graph

Bilag 3 fortsætter på næste side

Side 36

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

33 | S i d e

Kriteriefunktionen der angiver det samlede dækningsbidrag bestemmes ved at indsætte dæk-

ningsbidragene for x og y i forskriften: 𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑥+ 𝑦

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =1000𝑥+ 1250𝑦

Der indtegnes nu niveaulinjer for at kunne bestemme hvor mange stk. der skal produceres og sælges af hvert af de to produkter, for at opnå det størst mulige dækningsbidrag.

Der indtegnes:

𝑁 ( 3 · 1250):𝑓 ( 𝑥;𝑦) =3 · 1250=3750⟹1000𝑥+ 1250𝑦 =3750
𝑁 ( 15000);𝑓 ( 𝑥;𝑦) =15000⟹1000𝑥+ 1250𝑦 =15000

Bilag 3 fortsætter på næste side

3x+1y>=150
5x+7y>=500

x<0 or y<0

-

-20

20

40

60

80 x y

Produktion

Testning

Side 37

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

34 | S i d e

Når niveaulinjerne forskydes i pilens retning så øges dækningsbidraget.

Det største dækningsbidrag findes hvor betingelserne for produktion og testning skærer hinan-den.

Koordinatsættet beregnes:

Produktion: 5𝑥+ 7𝑦≤500
Testning: 3𝑥+ 1𝑦≤150
5𝑥+ 7𝑦=500∧ 3𝑥+1𝑦=150

⇕ The system of equations is solved for x,y by WordMat's 'solve equation' function,

𝑥=34,375 ∧ 𝑦=46,875

Dvs. at når der produceres 34 stk. af PIF og 47 stk. af PAF, fås det størst mulige dækningsbidrag

(afrundet).

Dette største dækningsbidrag er: (tallene fra ovenstående indsat i kriteriefunktionen)

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =1000𝑥+ 1250𝑦⟹
𝑓 ( 34;47) =1000· 34+ 1250· 47=92750

Dvs. det størst mulige dækningsbidrag er kr. 92.750.

3x+1y>=150
5x+7y>=500

x<0 or y<0

1000x+1250y=3750
1000x+1250y=15000 x

-

-20

20

40

60

80 y

Produktion

Testning

Side 38

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

35 | S i d e

Bilag 4 - Udregninger til Simplex-metoden

Her anvendes SIMPLEX-tabeller. Tabellerne er designet således:

Begrænsningens nummer ses til venstre. Begrænsningens indhold ses under kolonnerne y, x,

𝑆_{1}, 𝑆_{2}, 𝑆_{3} og 𝑆_{4}. Begrænsningens grænse ses under kolonnen RHS.

Proceduren man går frem efter i en udarbejdelse af disse tabeller, er følgende: [22]

1) Kolonnen der har den største positive koefficient i kriteriefunktionen vælges. I dette til-fælde er det x.

2) Koefficienterne i den valgte kolonne divideres op i de tilsvarende koefficienter i RHS-ko-lonnen. Disse notater noteres i en kolonne kaldet RHS’.

Altså f.eks. er begrænsning 1’s RHS’ kolonne lig med 48, da 960 / 20 = 48.

3) Rækken med den laveste værdi i RHS’ søjlen vælges. I dette tilfælde er det række 4.

4) Denne række ganges igennem med en konstant, så det element, der tilhører både den i pkt. 1 valgte kolonne (x-kolonnen), og den i pkt. 3 valgte række (række 4), bliver et 1-tal.

Denne koefficient kaldes pivo-elementet. Det er ikke nødvendigt i dette tilfælde at gange igennem med konstanten, da elementet allerede er lig med et 1-tal.

22

Hedegaard, Ove: Introduktion til LP og MPS, Nyt Nordisk Forlag & Arnold Busck, 1973, s. 23-31 (afsnit i bogen)

Side 39

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

36 | S i d e

5) Rækken der blev valgt i pkt. 3 (række 4) lægges til eller trækkes fra hver af de øvrige rækker så mange gange, at koefficienterne i den valgte kolonne fra pkt. 1 (x-kolonnen) bliver lig med nuller. Her trækkes også den valgte række fra kriteriefunktionen så mange gange, at koefficienten i den pkt. 1 valgte kolonne (x-kolonnen) bliver nul.

I dette tilfælde trækkes række 4 fra række 1 tyve gange, række to trækkes fra en gang, og kriteriefunktionen 40 gange.

Ud fra skemaet ses nu ligningssystemerne for kriteriefunktionen 1600+ 30𝑦− 40𝑆_{4}, før de

blev omskrevet. F.eks. tydes der at et ligningssystem, før dets omskrivning, lyder på:

10𝑦+ 𝑆_{1} − 20𝑆_{4} =160 (Aflæst af skemaet)

Omskrivningen foregår således, for ligningssystemerne:

10𝑦+ 𝑆_{1} − 20𝑆_{4} =160⟺
𝑆_{1} =160− 10𝑦+20𝑆

4

𝑦 +𝑆_{2} − 𝑆_{4} =40⟺
𝑆_{2} =40− 𝑦+ 𝑆_{4}

𝑦 +𝑆_{3} =70⟺
𝑆_{3} =70− 𝑦

𝑥+ 𝑆_{4} =40⟺
𝑥=40 − 𝑆_{4}

6) Hvis der nu er flere positive koefficienter i kriteriefunktionen, så startes der igen fra pkt.

1. hvis ikke, er den optimale løsning fundet.

Bilag 4 fortsætter på næste side

Side 40

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

37 | S i d e

Der gentages fra pkt. 1 indtil sluttabellen er fundet:

Ved gentagelse af punkterne fås denne tabel:

Ud fra skemaet ses nu ligningssystemerne for kriteriefunktionen 2080− 3 + 20𝑆 , før de
                                                            𝑆1      4

blev omskrevet. F.eks. tydes der at et ligningssystem, før dets omskrivning, lyder på:

𝑦 + 𝑆_{1} − 2𝑆_{4} =16

1

10

Omskrivningen foregår således, for ligningssystemerne:

𝑦 + 𝑆_{1} − 2𝑆_{4} =16⟺

1

10

𝑦=16− 𝑆_{1} + 2𝑆_{4}

1

10

− 𝑆_{1} + 𝑆_{2} + 𝑆_{4} =24⟺

1

10

𝑆_{2} =24+ 𝑆_{1} − 𝑆_{4}

1

10

− 𝑆_{1} + 𝑆_{3} + 2𝑆_{4} =54⟺

1

10

𝑆_{3} =54+ 𝑆_{1} − 2𝑆_{4}

1

10

𝑥+ 𝑆_{4} =40⟺
𝑥=40 − 𝑆_{4}

Bilag 4 fortsætter på næste side

Side 41

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

38 | S i d e

Der gentages fra pkt. 1, da der stadig er flere positive værdier i kriteriefunktionen.

Ved gentagelse fås sluttabellen:

Ud fra skemaet ses nu ligningssystemerne for kriteriefunktionen 2560+ 𝑆_{1} + 20𝑆_{2}, før de blev

omskrevet. F.eks. tydes der at et ligningssystem, før dets omskrivning, lyder på:

𝑦=− 𝑆_{1} + 2𝑆_{2} =64

1

10

Omskrivningen foregår således for ligningssystemerne:

𝑦 − 𝑆_{1} + 2𝑆_{2} =64⟺

1

10

𝑦=64+ 𝑆_{1} − 2𝑆_{2}

1

10

− 𝑆_{1} + 𝑆_{2} + 𝑆_{4} =24⟺

1

10

𝑆_{4} =24+ 𝑆_{1} − 𝑆_{2}

1

10

1

10

𝑆_{1} − 2𝑆_{2} + 𝑆_{3} =6⟺

𝑆_{3} =6− 𝑆_{1} + 2𝑆_{2}

1

10

𝑥+ 𝑆_{1} − 𝑆_{2} =16⟺

1

10

𝑥=16 − 𝑆_{1} + 𝑆_{2}

1

10

Side 42

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

39 | S i d e

Bilag 5 - Eksempel på optimering vha. Lagrange-metoden

Dette eksempel er et opdigtet eksempel, der skal vise hvordan man vha. Lagrange-metoden optimerer en produktion. Bilaget er et eksempel fra bogen Matematik A, skrevet af Hans Henrik Hansen m. fl., side 148-149 Eksempel 2.

Maksimum eller minimum af 𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑥𝑦, skal findes, under restriktionen:
𝑥^{2} + 𝑦^{2} =1

Ved at tage Lagrange-algoritmen i brug fås:

𝐿 ( 𝑥;𝑦) =𝑓 ( 𝑥;𝑦) − 𝜆 · ( 𝑔 ( 𝑥;𝑦) − 𝑐) ⟹
𝐿 ( 𝑥;𝑦) =𝑥𝑦− 𝜆·(𝑥^{2} + 𝑦^{2} − 1)

De partielt afledede funktioner bliver derfor:

𝐿^{′}_{𝑥} ( 𝑥;𝑦) =𝑦− 2𝑥𝜆 ∧ 𝐿^{′}_{𝑦} ( 𝑥;𝑦) =𝑥− 2𝑦𝜆

Derved fås ligningssystemet:

𝑦 −2𝑥𝜆=0
𝑥− 2𝑦𝜆=0
𝑥^{2} + 𝑦^{2} =1

Løsningen af dette ligningssystem er:

Ligning 1:

𝑦 −2𝑥𝜆=0⟺
𝑦=2𝑥𝜆

𝜆=,𝑥≠0

𝑦

2𝑥

Dette indsættes i ligning 2:

𝑥− 2𝑦𝜆=0⟺

𝑥− 2𝑦 =0⟺

𝑦

2𝑥

2𝑥^{2} − 2𝑦^{2} =0⟺

𝑥^{2} =𝑦^{2} ⟺𝑥 =±𝑦

Side 43

Studieretningsprojekt Vestjydsk Handelsskole

HH3A Virksomhedsøkonomi og Matematik 6. februar 2015

40 | S i d e

Hvis begge fortegn bliver indsat i ligning 3, giver det:

𝑥^{2} + 𝑦^{2} =1⟺

𝑥^{2} + 𝑥^{2} =1

Dette giver følgende fire interessepunkter:

𝑥^{2} + 𝑥^{2} =1

(−;),(−;−),(;)𝑜𝑔 (;−)

√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2 √ 2

2 2 2 2 2 2 2 2

For 𝑥=0 er 𝑦=±1 dvs. punkterne (0;1) og (0;−1)
For 𝑦=0 fås punkterne (1;0) og (−1;0)

                                                               23
Der kan nu konstrueres en tabel over funktionsværdierne for de otte punkter.

x y 𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑥· 𝑦

1 0 0

-1 0 0

0 -1 0

0 1 0

−

√ 2 √ 2

2 2

−

1

2

Globalt min.

− −

√ 2 √ 2

2 2

1

2

Globalt max.

√ 2 √ 2

2 2

1

2

Globalt max.

√ 2 √ 2

2 2

−

−

1

2

Globalt min.

Sådan optimeres der vha. Lagrange metoden

23

Hansen, Hans Henrik m.fl.: Matematik A, 5. udgave, Forlaget Systime, 2007, s. 148-149, E2, (afsnit i bogen)