SOP om Investering og Kalkulationsrenten i VØ og Matematik

Side 1

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 1 of 27

1. Indledning

Denne opgave vil overordnet omhandle emnet investering. Der vil blive opstillet en redegørelse for hvorledes en investerings lønsomhed kan beregnes, samt yderligere hvilke fordele og ulemper, som forekommer, ved de forskellige investeringskalkulationer. Yderligere ses der på den matematiske tilgang vedrørende annuiteterne og deres sammenhæng.

Efterfølgende sættes der fokus på ejendomsinvesteringer, samt de særlige kendetegn herved.

Således ses der først på generel investeringsteori, som derefter henledes specifikt på ejendomsinvestering.

Heri inddrages sammenhængen til kalkulationsrenten. Primært stilles fokus på hvorledes denne rente fastsættes samt hvilke faktorer der påvirker den. Yderligere ses der herunder på hvorledes investeringer påvirkes ud fra renten. Ligeledes inddrages en vurdering af den risiko, der opstår i forbindelse med en investering af denne størrelse. Efter gennemgang af det teoretiske aspekt, opstilles et fiktivt eksempel, hvorved der ses på teorien samt tilgangsmetoderne i praksis. Således bliver det muligt, at foretage beregninger i forhold til et konkret eksempel. Endeligt perspektiveres der til hvilke forhold og faktorer der yderligere vil være relevante at inddrage, når der er tale om ejendomsinvestering.

Formålet med denne opgave er, at betragte investering i en større sammenhæng, som befinder sig mere relevant for dagligdagen, og derved ikke blot omfatter produktionsudstyr, men også ejendomme i form af lejligheder m.m.

Metoderne der benyttes gennem opgaven er primært metoder benyttet i faget; virksomhedsøkonomi. Herunder kapitalværdimetoden, annuitetsmetoden, den interne rente og tilbagebetalingsmetoden. Der benyttes ligeledes metoder fra faget; matematik. Her ses der bl.a. på gældsformlen samt generel rentesregning og annuitetsregning.

Side 2

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 2 of 27

2. Investeringsteori

2.1 Defination af en investering

Investering er et vidt begreb, og opfattes forskelligt, alt efter om der er tale om erhvervsinvesteringer eller privatinvesteringer. Når der er tale om privatinvesteringer er det immaterielle investeringer, såsom aktier, forsikringer, pensionsordninger m.m., såvel som materielle investeringer f.eks. i form af en bil, et hus eller en vaskemaskine. Dette er ikke tilfældet ved erhvervsinvesteringer, her drejer det sig nemlig kun om fysiske redskaber, oftest i form af produktionsudstyr som f.eks. maskiner, bygninger osv. Generelt er en investering en pengebinding, hvor udbetalingerne og indbetalingerne forfalder så lang tid efter hinanden, at det er nødvendigt at tage hensyn til de rentemæssige fordele det investerede beløb på anden vis kunne have frembragt. Derved består en investering af en række sammenhængende udbetalinger og indbetalinger.

2.2 Kapitalværdimetoden

Kapitalværdimetoden er en af de oftest anvendte metoder til at bestemme hvorvidt en investering er rentabel eller ej. En investering er rentabel når den tilbagediskonterede sum af alle indbetalingerne er større end eller lig med den tilbagediskonterede sum af alle udbetalingerne, og derved skal kapitalværdien altså være positiv eller lig nul. Kapitalværdien er derved den samlede sum af de tilbagediskonterede ud-og indbetalinger, som udgøres af selve investeringssummen, de løbende ind- og udbetalinger og ligeledes investeringens scrapværdi. Man kan anvende kapitalværdimetoden, hvis man har fastsat kravet til hvor meget eller lidt man som minimum vil have investeringen til at forrentes med. Denne fastsatte forrentning er kalkulationsrenten, som uddybes senere i opgaven.

For at forklare kapitalværdimetoden tages der udgangspunkt i et eksempel:

En virksomhed vil investere i et produktionsanlæg. Anlæggets købspris er kr.

1.200.000. De løbende udbetalinger udgøres af forsikring, husleje, samt arbejdsløn, omkostninger til reparation og vedligeholdelse plus eludgifter, hvilket giver en samlet udgift på kr. 65.500 pr. år. De løbende indbetalinger udgøres af de omkostninger, som virksomheden sparer ved at foretage investeringen, i dette tilfælde løber de op i kr. 300.000.

Produktionsanlægget forventes at have en levetid på 8 år, hvorefter scrapværdien vil være kr.

200.000.

Side 3

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 3 of 27

Ud fra følgende oplysninger er det muligt at beregne kapitalværdien på 2 måder.

Ved første metode opstilles investeringen således at der præcist kan følges med i diverse ud-og indbetalinger:

År

Investeringssum Indtjening Nettobeta- Rente: 6 % og scrapværdi lingsstrøm

1.000 kr. 1.000 kr. 1.000 kr. Faktor

Nutidsværdi

0 -1.200.000 -1.200.000 1,00000 -1.200.000

1 | 234.500 | 234.500 | 0,94340 | 221.226
2 | 234.500 | 234.500 | 0,89000 | 208.704
3 | 234.500 | 234.500 | 0,83962 | 196.891
4 | 234.500 | 234.500 | 0,79209 | 185.746
5 | 234.500 | 234.500 | 0,74726 | 175.232
6 | 234.500 | 234.500 | 0,70496 | 165.313
7 | 234.500 | 234.500 | 0,66506 | 155.956

8 200.000 234.500 434.500 0,62741 272.611

I alt -1.000.000 1.876.000 876.000 381.679

Tabel nr. 1 Beregning gennem kapitalværdimetoden

Posten ´Investeringssum og scrapværdi´ er udgiften til købsprisen af produktionsanlægget, samt indtægten fra anlæggets scrapværdi. ´Indtjeningen´ er beregnet ud

fra virksomhedens årlige indbetalinger minus udbetalingerne (300.000 – 65.500 = 234.500).

´Nettobetalingsstrømmen´ er den samlede indtjening pr. år. Faktoren udgøres af kalkulationsrenten, som opløftes i det negative investeringsår, da man således tilbagdiskonterer og finder den fremtidige værdi. Denne faktor kan også finde gennem de virksomhedsøkonomiske rentabeller. Nutidsværdien findes ved at gange nettobetalingsstrømmen med den beregnede faktor. Herudfra ses det at investeringen er lønsom, da der fremstår en positiv kapitalværdi på kr. 381.679. Derved opnår investeringen den krævede forrentning på 6 % p.a.

Ved brug af en lidt mere matematisk løsning er det muligt at finde kapitalværdien ud fra følgende formel:

Side 4

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 4 of 27

For at finde kapitalværdien, trækkes investeringssummen, A, først fra. Derefter

er tegnet ∑, som er det græske sigma bogstav. I matematisk forstand betyder dette summen,
og kaldes ofte for summationstegn. betyder derved summen af: u + u + u + ...+ u.

0 1 2 n t svarende til indekset er et helt tal, som løber fra og med 0 til n, dette ses ved faktorerne stående ovenfor og nedenfor sigma-tegnet. Vi tager derved summen af v, de sparede t omkostninger, hvor udgifterne, u, trækkes fra, og der ganges med renten i procent, som er t opløftet i indekstallet. I sidste ende tilføres scrapværdien, som ligeledes ganges med den procentvise kalkulationsrente, hvor denne er opløftet idet negative antal investeringsår, da man således finder den tilbagediskonterede værdi.

Dette kan yderligere vises gennem et eksempel. Tal og faktorer hentet fra foregående eksempel.

Købspris A 1.200.000

Levetid, år n 8

Scrapværdi S_{8} 200.000
Sparede omkostninger v_{t} 300.000
Løbende udgifter u_{t} 65.500

Kalkulationsrenten, % i 6

Tabel nr. 2 Opstilling af tal og faktorer

Således kan tallene blot sættes ind i formlen:

K = - 1.200.000

0

+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-1}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-2}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-3}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-4}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-5}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-6}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-7}
+ (300.000 – 65.500) x (1+0,06)^{-8}
+ 200.000 x (1+0,06)^{-8}
K = 381.679

0

Tabel nr. 3 Matematisk beregning af kapitalværdi

Side 5

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 5 of 27

Her ses at man som udgangspunkt har udgiften på kr. 1.200.000, hvorefter der adderes med de samlede sparede omkostninger, hvor udgifterne er trukket fra. Derefter er der ganget med kalkulationsrenten i procent, som herefter er opløftet i det negative investeringsår.

Dette er gjort for samtlige år, og afslutningsvist er scrapværdien tilføjet, som ligeledes ganges med kalkulationsrenten opløftet i det negative år. Således fremkommer den samme kapitalværdi, da der teoretisk er tale om samme metode, blot to forskellige fremgangsmåder.

2.3 Annuitetsmetoden

Annuitetsværdien giver udtryk for de samlede ind- og udbetalinger. Gennem denne metode omregnes investeringssummen til en årlig nettoudbetaling gennem kalkulationsrenten. Derefter beregnes den årlige nettobetaling, ved at beregne forskellen mellem den årlige nettoindbetaling og årlige nettoudbetaling. Nettobetalingen viser de forventede årlige indbetalinger samt udbetalingernes gennemsnitlige værdi ved en fastsat kalkulationsrente. Således er en investering rentabel, hvis de gennemsnitlige årlige nettobetalinger er positive eller blot lig nul. Annuitetsmetoden benyttes dog kun i tilfælde af at der er tale om en investeringssum, en scrapværdi samt en fast annuitet.

Annuitetsmetoden kan demonstreres ved hjælp af et eksempel, hvor tallene er hentet fra eksemplet benytte tidligere i opgaven:

Årlig indtjening: | 234.500

Investeringssum: -1.200.000

Investeringens levetid: 8

Scrapværdi | 200.000

Kalkulationsrente: 0,06

Tabel nr. 4 Opstilling af tal og faktorer

Årlig nettoindbetaling | 234.500
Årlig nettoudbetaling | 173.036

Årlig nettobetaling 61.464

Faktor rent. 4 | 6,20979
Kapitalværdi | 381.679

Tabel nr. 5 Beregning af annuitetsmetoden

Ovenstående skemaer viser, hvorledes man beregner en investerings rentabilitet ud fra annuitetsmetoden. Første skema opstiller blot de tal og faktorer, som også blev benyttet

Side 6

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 6 of 27 i det tidligere eksempel. Det efterfølgende skema er selve beregningen, hvor man finder differencen mellem investeringens årlige nettoindbetalinger og årlige nettoudbetalinger.

Derved fremkommer den årlige nettobetaling, som giver udtryk for investeringens gennemsnitlige værdi. Nederst i skemaet med gråt er anført en faktor, som er fundet i rentabel

4, og derved tilbagediskonteringsfaktoren for en annuitet. Sammenhængen mellem rentabeller illustreres ved bilag nr. 1. Denne er derefter ganget med den årlige nettobetaling, hvorved kapitalværdien fra eksemplet under kapitalværdimetoden fremkommer. Dette er ikke alment for annuitetsmetoden, men blot en lille beregning med formål at vise sammenhængen mellem de to metoder.

2.4 Den interne rentefods metode

Den interne rente, er den rente, der ved tilbagediskontering af en investerings ind- og udbetalinger, giver en nutidsværdi på kr. 0. Således kan man beregne en investerings rentabilitet ved, at udregne den interne rente og derefter sammenligne med den marginale lånerente. Derved viser den interne rente det afkast, som den investerede kapital giver. Hvis den interne rente er højere eller lig kalkulationsrenten er investeringen lønsom, hvorimod er den lavere er investeringen ikke lønsom og bør derfor forkastes.

Den interne rente betragtes lettest gennem et eksempel. Der tages her udgangspunkt i det tidligere eksempel, hvor en virksomhed ville investere kr. 1.200.000 i et nyt produktionsanlæg, som ville indtjene virksomheden kr. 234.500 årligt og anlægget ville efter 8 år have en scrapværdi på kr. 200.000. Dette kan opstilles som følgende:

Årlig indtjening: 234.500

Investeringssum: -1.200.000

Scrapværdi 200.000

Investeringens levetid: 8

Kalkulationsrente: 6 %

Intern rente 13,0 %

Tabel nr. 7 Beregning af intern rente

Ovenstående tabel viser opstillingen af de beløb der er relevante for denne metode. Nedenfor er den interne rente beregnet til 13,0 %. Dette er gjort i et Excel regneark, men er dog også muligt på en finansiel regnemaskine, hvor det ved hjælp af formlen, RATE, er muligt at beregne denne. Heri indtastes investeringens levetid, derefter den årlige

Side 7

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 7 of 27 indtjening samt investeringssummen, som naturligvis sættes i minus, og derefter scrapværdien. Hvorefter resultatet bliver 13,0 %, hvilket ligger over kalkulationsrenten på

6 %, det er derved ensbetydende med en lønsom investering.

Det er ikke umiddelbart muligt at beregne den præcise interne rente gennem almene beregninger, da faktoren ikke kan findes gennem opslag i diverse rentabeller. Derved beregnes denne blot gennem Excel eller andre programmer der kan håndtere beregningen. Det bør dog bemærkes, at det heller ikke er umuligt, da man kan finde den interne rente ved at ændre kalkulationsrenten indtil man finder frem til nul.

2.5 Tilbagebetalingsmetoden

Tilbagebetalingsmetoden er en beregning af hvor længe det vil tage virksomheden at betale investeringen tilbage. Denne kan ikke udtrykke om hvorvidt investeringen er rentabel eller ej, men det kan dog ofte være relevant at vide, hvor lang tid det vil tage at betale investering tilbage. Metoden er dog et relevant supplement til en investeringskalkule, da den giver et overblik over investeringens likviditetsforløb. Som udgangspunkt kan man påpege, at jo kortere tilbagebetalingstiden er, jo mere fordelagtig er

           i
investeringen.

Der findes to metoder til beregning af tilbagebetalingsmetoden; den statiske metode og den dynamiske metode. Ved den statiske metode måles tilbagebetalingstiden ud fra nettobetalingsstrømmen, derved tages der ikke hensyn til renter. Tages der udgangspunkt i det tidligere eksempel, kan den statiske tilbagebetalingsmetode opstilles på følgende vis:

År Nettobetalingsstrøm

Akkumuleret

Nettobetalingsstrøm

0 -1.200.000 -1.200.000

1 | 234.500 | -965.500
2 | 234.500 | -731.000
3 | 234.500 | -496.500
4 | 234.500 | -262.000

5 | 234.500 | -27.500
6 | 234.500 | 207.000
7 | 234.500 | 441.500

8 876.000

434.500

Side 8

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 8 of 27

Ovenfor ses, nettobetalingsstrømmene for investeringen. Ud fra den akkumulerede nettobetalingsstrøm kan det konkluderes, at investeringen er afbetalt kort tid efter det 5. år.

Dette kan dog beregnes simplere og mere præcist ud fra følgende formel:

Herved fremkommer 5,12 år, som er den tid det vil tage virksomheden at betale for deres investering.

Den dynamiske metode måler tilbagebetalingstiden ud fra nettobetalingsstrømmens nutidværdi, og tager derved hensyn til renterne. Denne metode kræver fastlæggelse af en kalkulationsrente, så det er muligt at tilbagediskontere de årlige nettobetalinger. Endnu en gang tages der udgangspunkt i det tidligere eksempel, for at fremvise den dynamiske tilbagebetalingsmetode til fulde. Først findes tilbagediskonteringsfaktoren på følgende vis:

Årlig indtjening: 234.500

Investeringssum: -1.200.000

Scrapværdi 200.000

Kalkulationsrente: 6 %

Tilbagediskonteringsfaktoren = 5,39

Når tilbagediskonteringsfaktoren er fundet, i dette tilfælde afrundet til 5 %, kan der opstilles følgende tabel, hvor der gennem den virksomhedsøkonomiske rentabel 2 er fundet faktoren for tilbagediskonteringen:

År

Nettobetalings- 6 % rente Akkumuleret strøm Faktor Nutidsværdi nutidsværdi

0 -1.200.000 1,000000 -1.200.000 -1.200.000

1 | 234.500 | 0,952381 | 223.333 | -976.667
2 | 234.500 | 0,907029 | 212.698 | -763.968
3 | 234.500 | 0,863838 | 202.570 | -561.398
4 | 234.500 | 0,822702 | 192.924 | -368.475
5 | 234.500 | 0,783526 | 183.737 | -184.738

6 234.500 0,746215 174.987 -9.750

7 234.500 0,710681 166.655 156.904

8 0,676839 294.087 450.991

434.500

Side 9

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 9 of 27

Således fremgår det af ovenstående figur at investeringen er tilbagebetalt kort efter 6. år. Den længere afbetalingstid er selvfølgelig grundet i de renter, der pålægges investeringen.

2.6 Diskussion af metoderne

Efter gennemgang af metoderne er det relevant at vurdere, hvilken metode der giver det bedst vejledende billede af en given investering. Først blev kapacitetsmetoden gennemgået; en metode, som fremviser investeringen overskueligt ved at opstille dens cashflow samt nutidsværdien, og den tilbagediskonteringsrente der er benyttet til beregningen.

Således bliver investeringen sat op, så det er muligt at følge præcist hvornår investeringen medbringer udgifter og giver indtjening. Vigtigst af alt, giver denne metode klar besked på hvorvidt investeringen er rentabel eller ej.

Dernæst blev annuitetsmetoden gennemgået. Denne beregner investeringens årlige nettobetaling, som giver udtryk for investeringens gennemsnitlige værdi. Dog forholder denne metode sig relativt overfladisk til de tal og faktorer der arbejdes med, da der blot opstilles en simpel beregning.

Efterfølgende kom den interne rentefodsmetode. Denne metode benyttes dog sjældent alene til bedømmelse af en investerings rentabilitet, da den interne rente bestemmes gennem interpolation, og derved er svær at fastsætte konkret. Interpolation vil sige at danne

                                               ii
flere værdier end tidligere blandt to bekendte yderpunkter.

Har man således talrækken 2,4,6, kan denne styrkes gennem interpolation ved at tilføje 3 og 5. Derved kan man sige at den interne rentefodsmetode er et gæt, dog et meget præcist gæt, på den rente der minimum skal til for at gøre investeringen lønsom eller blot går lige op.

Endeligt blev tilbagebetalingsmetoden gennemgået. Her er det ligegyldigt hvorvidt man benytter sig af den statiske eller den dynamiske metode, da der ses bort fra de ind- og udbetalinger, der forekommer efter tilbagebetalingsperioden er udløbet. Derfor er den ikke særlig velegnet til at sammenligne alternative investeringer, hvor der ses større differencer i levetid eller deres betalingsmønstre.

Endeligt kan det bemærkes, at kapitalværdimetoden giver den bedst overskuelige vurdering af en investering. Yderligere er det gennem denne metode lettere at sammenligne alternative investeringer grundet den lettilgængelige opstilling af cashflowet.

Dog kan der ses visse fordele i, at supplere med en eller flere af de andre metoder. Det kunne f.eks. være den dynamiske tilbagebetalingsmetode, hvor man således kunne se hvor lang tid

Side 10

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 10 of 27 det ville tage at tilbagebetale investeringen. En simpel løsning herpå, ville dog være blot at tilføje akkumuleret nutidsværdi til skemaet for kapitalværdien, da man således ville samle de to metoder i et enkelt skema.

3. Annuiteter fra et matematisk synspunkt

3.1 Opsparing

Annuiteter kan betragtes på flere måder. En annuitet kan være en del af en opsparing, hvor der hver måned indsættes en fast pengesum på en opsparingskonto i banken.

Her består annuiteten af n lige store ydelser y, som betales hver termin. Summen af alle n ydelser med renter og renters rente betegnes A.

n

Tabel nr. 6 Hentet fra MAT C, s. 372

Det vides, at A kan beregnes gennem følgende formel^{iii}:

n

Da , er A en kvotientrække med n

                                              iv
a= 1+r. Summen af en kvotientrække bestemmes således:

Ud fra ovenstående sætning er leddenes sum: . Således erstatter man blot a med 1+ r:

Ved hjælp af denne formel er det muligt at beregne fremtidsværdien af en annuitet. Denne

                             v
kaldes oftest for opsparingsformlen.

3.2 Lån til finansiering

Side 11

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 11 of 27

Som beskrevet, kan annuiteter betragtes på flere måder. F.eks. ved optagelse af et banklån til finansiering af en investering. Her udgøres annuiteter af en række af rater, som afbetaling på lånet. Det er muligt at beregne nutidsværiden af samtlige ydelser, inklusiv renter

                                                     vi
og renters rente, opgjort en termin før første ydelse finder sted. Derved kan man allerede

ved optagelse af lånet, beregne sig frem til hvor meget lånet samlet vil koste. Da A beskriver n

fremtidsværdien af annuiteten, kan denne ganges med (1+r)^{-n}, da man således indsætter a og

tilbagediskonterer gennem – n og derved finder nutidsværdien. Derved bliver formlen som følgende:

Dette kan så omskrives til gældsformlen, som lyder:

Tabel nr. X Hentet fra MAT C, s. 382

Her er A svarende til nutidsværdien af de samlede ydelser inklusiv renter og

0 renters rente. y er svarende til den ydelse, som låntageren afbetaler pr. termin, som er betegnet

n. r er bankens udlånsrente. Gældsformlen kan bevises med udgangspunkt i formlen for tilbageskrivning af en kapital:

Tilbageskrivningen af en kapital skrives op

Her er formlen for A indsat n

Her er (1+r) ganget op i tælleren

– n

Her er der ganget ind i hvert led i tælleren

Her er potensregnereglen a^{n} a^{m} = a benyttet.

n + m

Side 12

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 12 of 27

Her er potensregnereglen a = a^{0} = 1

n – n

Således er det bevist, at gennem kendskab til A n

, er det muligt at finde en formel til at beregne A.

0

Side 13

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 13 of 27

4. Ejendomsinvestering

4.1 Definition af ejendomsinvestering

Når der skal erhverves en ejendom som investering er det ikke selve bygningerne, der umiddelbart har investorernes interesse. Det er derimod de indtægter, i form af leje og evt. fremtidigt salg, samt de driftsudgifter ejendommen måtte have, som vækker en investors interesse. Ved at købe en ejendom til investeringsformål, køber man derved alle fremtidige indtægter og udgifter ejendommen måtte medbringe. Investoren har således ikke normalt intentioner om at beholde ejendommen til evig tid, men planer om i fremtiden at kunne sælge den og opnå en fortjeneste på salget.

Ved ejendomsinvestering forekommer der en lidt skjult side, men som adskillige investeringsselskaber såvel som private udnytter til stor fordel. Der er nemlig visse skattemæssige fordele ved en sådan investering, men det vil ikke umiddelbart blive videre berørt i denne opgave.

Ejendomme er en dyrere form for investering, derved vil et tab på f.eks. 20 % have en langt større effekt på en virksomheds økonomi end ved en almen investering af mindre størrelse. Ligeledes bør det nævnes, at denne form for investering indeholder langt større risici, da beløbene er større samt at ejendomme og ejendomspriser let påvirkes af love og reglementer, politiske tiltag samt konjunkturen i landet.

4.2 Definition af investeringsejendomme

Først og fremmest bliver investeringsejendomme anskaffet med et eneste formål, at give afkast. Derved er det ikke ejendomme købt til egen privat bolig eller drift af egen virksomhed, da der således er tale om en anskaffelse af et aktiv, og ikke en decideret investeringsejendom. Men herefter kan en investeringsejendom udgøres af adskillige former for ejendomme; boligkomplekser, erhvervsejendomme enten til kontor eller produktion, eller en ejendom som benyttes til beboelse såvel som erhverv. Således spiller selve bygningerne alligevel ind, da det er relevant om bygningerne er eftertragtede og om det er muligt at opnå en indtjening på dem. En ældre forfalden bygning med mange vedligeholdelsesudgifter vil kræve en lavere lejesats, hvis denne ønskes udlejet. Hvorimod en moderne og for nylig renoveret bygning vil kunne indtjene en højere lejesats. Beliggenhed spiller ligeledes ind i denne sammenhæng; en bygning med dårlig beliggenhed, kan medføre mangel på lejere, som i sidste ende vil give negative nettooverskud, da der ingen lejeindtægter er, men blot

Side 14

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 14 of 27 driftsudgifter. Endvidere er der en større mængde lovgivninger, samt regler omhandlende ejendomme, som medvirker at der kan opstå større udgifter, f.eks. ved forurening, ændrede lokalplaner osv.

Derved kendetegnes en investeringsejendom af, at stort set alle omkringliggende forhold kan omregnes til fremtidige pengestrømme, disse kan dog både være positive såvel som negative. Således er en værdifuld investeringsejendom en ejendom med gode omkringliggende forhold, som vil kunne give overskud i fremtiden.

Side 15

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 15 of 27

5. Kalkulationsrenten

5.1 Beskrivelse

Tidligere i opgaven er det vist hvorledes kalkulationsrenten benyttes til beregninger, men der er dog blevet gået meget let henover denne. Kalkulationsrenten er den subjektive rente, som virksomhederne kræver som minimum til forrentning af deres investerede kapital. Derved differentierer denne rente meget, da det er vidt forskelligt hvilke forhold der influerer den, alt efter hvilken form for investering der er tale om. I tilfælde af en investering med høj risiko, såsom ejendomme, vil renten blive fastsat højere end ved mindre rutineprægede investeringer, såsom udskiftning af en maskine. Der er således en natrulig sammnhæng mellem risiko og forrentning.

Markedsrenten, også kaldet lånerenten, er et af de forhold der påvirker kalkulationsrenten. Dette opstår bl.a. i tilfælde, hvor investeringen finansieres gennem banklån. Her skal virksomheden betale en vis lånerente til banken, derfor bør kalkulationsrenten i sådanne tilfælde ikke fastsættes lavere end lånerenten. Financeries investeringen på anden vis, bør kalkulationsrenten dog ikke fastsættes lavere end renten på virksomhedens dyreste lån, da virksomheden således ville kunne betale sin gæld og blive gældfrie, i stedet for at gennemføre investeringen. I en gældsløs virksomhed, hvor investeringen finansieres alene ved egenkapital, bør renten ikke fastsættes lavere end den rente, som virksomheden opnår ved evt. at have pengene i banken eller i form af obligationer.

Denne lånerente, kaldes ligeledes markedsrenten, da den giver udtryk for den generelle rente på markedet. Markedsrenten påvirkes ud fra udbud og efterspørgsel, som det illustreres i bilag nr. 2.

Herefter tages alternativrenten til overvejelse inden fastsættelse af kalkulationsrenten. Alternativrenten er den rente, som virksomheden vil kunne opnå ved at benytte sine likvider på andet end netop lige denne investering. Det kan således være at der er flere investeringer under overvejelse, og at virksomheden er nødsaget til at vælge mellem de foreslåede investeringer grundet begrænset likviditet. Derfor bør kalkulationsrenten ved den valgte investering minimum være lige så høj, som forrentningen ved de fravalgte alternativer.

Dernæst fokuseres der på risiko samt investeringshorisonten. Som tidligere nævnt fastsættes der en højere kalkulationsrente for investeringer med høj risiko. Dette skyldes, at investeringer med høj risiko kan risikere at udfolde sig negativt såvel som positivt, derfor bør man stille højere krav til investeringens forrentning før man foretager den endelige

Side 16

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 16 of 27 beslutning om investeringens fremtid. Ligeledes spiller, som tidligere nævnt, tidshorisonten ind, når der er tale om fastsættelsen af renten. Det vil derfor sige, at jo længere tid det vil tage for investeringens nettoindbetalinger at forekomme, jo højere er risikoen, hvilket således er ensbetydende med at der bør fastsættes en højere kalkulationsrente.

Sidste forhold der bør nævnes i denne sammenhæng, er ligeledes den mest uberegnelige; nemlig inflation. Forventes der en større stigning i inflationen, ville der ligeledes forekomme en stigning i markedsrenten, hvorved der bør fastsættes en relativt høj kalkulationsrente.

5.2 Beregning

Der findes ikke en decideret formel til beregning af kalkulationsrenten, da denne bestemmes ud fra usikkerheder og forhold med svingninger uden faste benævnelser på. Den kan derved ikke fastsættes nøjagtigt, men det er dog muligt at beregne en umiddelbar

                                                                          vii
kalkulationsrente. Dette kan gøres ved at betragte WACC, weighted average cost of capital.

Denne udgøres af de omkostninger der finansieres af virksomhedens egenkapital samt de omkostninger, som er finansieret gennem fremmedkapitalen, og derved gennem gældoptagelser. Disse er vægtet efter deres indbyrdes forhold. WACC er svarende til

                            viii
afkastningskravet til egenkapitalen , og som tidligere skrevet, er kalkulationsrenten svarende

til kravet stillet til afkastet for den investerede kapital. Men da det ikke er muligt at beregne kalkulationsrenten for en investering, kan man få et fingerpeg ved at beregne kalkulationsrenten til egenkapitalen. Formlen for WACC lyder således:

Heri er E svarende til værdien af egenkapitalen og D er svarende til værdien af virksomhedens samlede gæld. Disse divideres begge med V som udregnes ved at lægge E og D sammen, da man således får virksomhedens samlede markedsværdi. R er de procentvise e omkostninger der finansieres gennem egenkapitalen, og R d er svarende til de procentvise omkostninger der finansieres ved gæld. I sidste del af formlen er , også kaldet skatteskjoldet, taget væk, dette skyldes at er svarende til den skat der skal betales,

Side 17

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 17 of 27 men da denne opgave ikke omfatter skat, er der valgt at se bort fra dette. For at illustrere, indsættes der tal i formlen:

Således bliver afkastkravet til egenkapitalen en kalkulationsrente på 5,26. Dog bør man hertil huske, at der oveni bør tillægges et risikotillæg, som må fastsættes alt efter hvilke forhold der påvirker investeringen, f.eks. inflation, investeringshorisont eller lånerenten. Oftest vil der efterfølgende en sådan beregning være vedlagt en diskussion af de relevante risici. Derved er det ikke muligt umiddelbart at fastsætte kalkulationsrenten til et præcist og nøjagtigt tal, da så mange faktorer spiller ind, men ved større bearbejdelse af en bestemt investerings omgivelser vil det være muligt at fremregne sig til at relativt fornuftigt bud.

5.3 Påvirkning på investeringen

Da diskonteringsfaktoren bl.a. findes ud fra kalkulationsrenten, og denne har en større indflydelse på hvorvidt en investering fremstår som rentabel eller ej, er en realistisk kalkulationsrente vigtig. Sættes den for højt, vil investeringen formodentligt vise sig at have en lavere kapitalværdi end beregnet. Hvorimod sættes den for lavt vil investering i værste tilfælde fremstå med en negativ kapitalværdi, selvom der reelt kunne have været tjent på den.

Når kalkulationsrenten vælges bør der ligeledes forklares hvilke tanker der ligger bag, da man således vil kunne gå tilbage og regulere renten, hvis en eller flere af disse grundlæggende forudsætninger skulle falde igennem.

Side 18

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 18 of 27

6. Risiko og usikkerhed

6.1 Følsomhedsanalyse

Gennem følsomhedsberegninger beskrives de konsekvenser der vil påvirke en investerings lønsomhed, i tilfælde af at en eller flere af de usikre forudsætninger skulle falde igennem. Følsomhedesanalysen kan beregnes for samtlige faktorer i rentabilitetsregningen, der er forbundet med en usikkerhed. Det bør dog bemærkes, at der kun kan beregnes for en faktor af gangen, hvilket i praksis begrænser metodens anvendelighed. En følsomhedsanalyse er et oplagt supplement til investeringskalkulationerne, og denne inddrages med klare fordele i beslutningsgrundlaget. For at forklare følsomhedsberegninger på bedst mulig vis, opstilles et eksempel.

FerieLiv, en større virsomhed, som udlejer feriehuse og lejligheder i europa overvejer at anskaffe sig et boligkompleks med ferielejligheder. Komplekset koster kr. 16 mio, og vil efter 6 år kunne sælges for kr. 7 mio. Komplekset indeholder 22 lejligheder, som forventes at kunne udlejes 38 uger om året med en gennemsnitlig leje på kr. 5.300 pr. uge. De variable omkostninger er fastsat til kr. 1.800 pr. uge lejlighederne er i burg. De årlige kapacitetsomkostninger forventedes at være kr. 500.000. Der er fastsat en kalkulationsrente for investeringen på 12 %.

På grundlag af ovenstående oplysninger kan der udarbejdes følgende: kr.

Omsætning (38 uger a kr. 5.300*22) 4.430.800

- Variable omkostninger (1.800 kr. a 38 uger) 68.400

Dækningsbidrag 4.362.400

- Kontante kapacitetsomkostninger 500.000

Indtjeningsbidrag 3.862.400

Side 19

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 19 of 27

Herefter benyttes rentabel 2 til at finde faktoren, og investeringskalkulationen opstilles:

År Indtjening

Investering og Nettobeta- Rente: 12%

Scrapværdi lingsstrøm Faktor Nutidsværdi

0 - - 1,00000 -

1 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,89286 | 3.448.571
2 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,79719 | 3.079.082
3 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,71178 | 2.749.179
4 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,63552 | 2.454.625
5 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,56743 | 2.191.630

6 7.000.000 3.862.400 0,50663 5.503.229

I alt -9.000.000 3.426.315

Herved ses det, at investeringen, under de givne forudsætninger, er lønsom ved at kalkulationsrente på 12 % og giver en kapitalværdi på næsten kr. 3,5 mio. Ved at benytte Excel og formlen NV, kan nutidsværdien af den årlige indtjening samt scrapværdien beregnes ved indtastning som vist:

Rente 0,12

Nper 6

Ydelse 3.862.400

Fv 7.000.000

Type 0

Nutidsværdi

Således fremkommer nutidsværdien. Hvis man trækker investeringsværdien fra denne, fremkommer beløbet; kr. 3.426.315, hvilket er den beregnede kapitalværdi.

Herefter kan der foretages følsomhedsberegninger. Disse kan f.eks. være ang.

levetid, scrapværdi, kontante kapacitetsomkostninger osv.

Side 20

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 20 of 27

I tilfælde af at levetiden kun er 4 år ser kalkulen således ud:

År Indtjening

Investering og Nettobeta- Rente: 12%

Scrapværdi lingsstrøm Faktor Nutidsværdi

0 - 1,00000 -

-

1 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,89286 | 3.448.571
2 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,79719 | 3.079.082
3 | 3.862.400 | 3.862.400 | 0,71178 | 2.749.179

4 7.000.000 3.862.400 0,63552 6.903.251

I alt -9.000.000 6.449.600 180.083

Det ses dog, at der til trods for den forkortede levetid stadig er tale om en lønsom investering, da kapitalværdien er positiv. Endnu engang findes nutidsværdien af investeringens årlige indtjening og scrapværdien:

Rente 12%

Nper 4

Ydelse 3.862.400

Fv 7.000.000

Type 0

Nutidsværdi

Trækkes investeringssummen fra den fundne nutidsværdi findes kapitalværdien, som blev beregnet i foregående skema.

Skulle ejendommen efter 6 år vise sig at være værdiløs, og man derved ikke kan opnå en scrapværdi kan kapitalværdien beregnes på følgende vis:

Nutidsværdi af årligt indtjeningsbidrag:

kr. 3.862.400 x 4,11141 (R4: N = 6 & I = 12%)

- Investeringssum

Kapitalværdi -120.090

Som det fremgår af beregningen er investering ikke længere lønsom, grundet den manglende scrapværdi.

I sidste ende kan der opstilles en samlet oversigt over de risikable forudsætninger samt deres indflydelse på investeringen:

Side 21

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 21 of 27

Kapitalværdi under de givne forudsætninger + 3.426.315

Kapitalværdi uden scrapværdi - -120.090

Kapitalværdi ved forkortet levetid til 4 år + 180.083
Kapitalværdi, hvis lejlighederne kun udlejes 20 uger pr. år + -5.069.496
Kapitalværdi ved 15 % stigning i kontante kap. Omk. + 3.597.350
Kapitalværdi, hvis de variable omk. stiger med 13 % + 3.869.147

Nu kan det konkluderes, at investeringen vil være lønsom under alle de ændrede forudsætninger, bortset fra hvis investeringen viser sig ikke at have en scrapværdi, hvilket er ensbetydende med, at investeringen ikke er endvidere følsom for ændringer, men relativt drastiske ændringer vil medføre en negativ kapitalværdi.

6.2 Kritiske værdier og nulpunktsberegninger

Ved at benytte kritiske værdier, regner man nærmest baglæns, da man starter med at fastsætte eksempelvis den mindst acceptable værdi for kapitalværdien, som typisk vil være nul. Derefter beregner man den kritiske værdi for den kritiske faktor. I visse tilfælde er det dog ikke muligt at finde den kritiske faktor, derved kan man blot prøve sig frem og se hvilken faktor der giver nul. Man kan beregne de kritiske værdier for samtlige faktorer i rentabiliteten, som er forbundet med en vis usikkerhed. Det bør dog bemærkes, at ligesom med følsomhedsberegninger, kan metoden kun benyttes for en faktor ad gangen, hvorved det blot antages at de resterende faktorer er stabile.

Der tages udgangspunkt i eksemplet med FerieLiv. Ledelsen vil nu gerne vide, hvor meget investeringen må koste for at det vil være lønsomt at gennemføre investeringen.

Dette beregnes således: kr.

Investering

Kapitalværdi 3.426.315

Nulpunkt for investeringssum

Derved må toget højst koste kr. Overstiger investeringen denne grænse går kapitalværdien i minus og investeringen er derved ikke længere lønsom. Ledelsen vil dog ligeledes gerne vide, hvor uger ejendommen minimum skal udlejes om året, for at opnå en forrentning minimum svarende til kalkulationsrenten.

Side 22

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 22 of 27

Dette opstilles i et skema som følgende: kr.

Investering

- Nutidsværdi af scrapværdi

kr. 7.000.000 x 0,506631 (R2: N = 6 & I = 12) 3.546.417

Mindstekrav til nutidsværdi af årlig indtjening

Mindstekrav til nutidsværdi omregnet til årlig indtjening:

kr. x 0,243226 (R5: N = 6 & I = 12) 3.029.035
+ Kontante kapacitetsomkostninger 500.000

Nødvendigt årligt dækningsbidrag 3.529.035

Dækningsbidrag pr. uge udlejet: kr. (5.300 *22)- kr. 1.800 114.800

Nulpunkt for antal kørte timer pr. år: kr. 3.529.035 : kr. 114.800 31

Her er det nødvendige dækningsbidrag pr. år divideret med dækningsbidraget pr. uge, da man således finder nulpunktskravet til antal udlejede uger pr. år. Det ses så nu, at ejendommen skal udlejes minimum 31 uger om året for at investeringen er rentabel. Dette mindstekrav kan ligeledes beregnes gennem en formlen, YDELSE, i Excel, der indtastes følgende:

Rente 12%

Nper 6

Nv -

Fv 7.000.000

Type 0

Nulpunkt 3.029.031

Herved fremkommer kr. 3.029.031, hvilket er det samme som det mindstekrav til nutidsværdien omregnet til årlig indtjening, der blev beregnet i beregningens første skema.

Side 23

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 23 of 27

7. Konkret eksempel på ejendomsinvestering

7.1 Forudsætninger

S.S. Invest, som er en større investeringsselskab, overvejer at investere i en beboelsesejendom. Ejendommen indeholder 132 lejligheder og koster kr. Det forudsættes at samtlige 132 lejligheder er udlejet allerede på købstidspunktet. Om 5 år er det nødvendigt at installere et nyt varmeanlæg, som vil koste kr. 230.000. Varmeanlægget skal udskiftes hvert 20. år. Ligeledes skal der om 7 år udskiftes hårde hvidevarer i samtlige lejligheder, hvilket vil beløbe sig til kr. 1.450.000. Ifølge lejekontrakten skal dette forekomme hvert 12. år. Der benyttes kr. 92,00 på m2 på vedligeholdelse årligt. Lejeindtægterne forventes at stige med 4 %, yderligere forventes driftsudgifterne at stige med 2 %. Gennem hele forløbet er udlejningsgraden fastsat til 100 %. Lejeoversigt ved købsåret findes som bilag nr. 3.

7.2 Fastsættelse af kalkulationsrenten

Som udgangspunkt beregnes WACC:

Derved fremkommer en kalkulationsrente på 6,0, men der skal dog tages hensyn til risikotillægget som bør tilføjes denne rente. Da 75 % af investeringen finansieres gennem lån, og lånerenten på et beløb af sådan størrelse ligger på ca. 6 % bør kalkulationsrenten ikke fastsættes lavere. Ved gennemgang af ejendommens historik, konkluderer S.S. Invest at ejendommen forholder sig relativt stabilt, og derved ikke i sig selv medbringer en risiko. Dog er der tale, om en længere investeringshorisont, da der ikke er fastsat hvornår ejendommen skal sælges igen, hvilket øger kalkulationsrenten med ca. 2 %. Yderligere forventes der inflation, hvilket ligeledes medfører en forøgelse af kalkulationsrenten. Den procentvise inflation for de kommende 10 år er svarende til 3 %. Det er dog ikke muligt at forudse inflationsprocenten længere ude i fremtiden, derfor forøges kalkulationsrenten med 5 % af hensyn til den fortsatte inflation, positiv som negativ. Derved fastsættes kalkulationsrenten til

13 %.

Side 24

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 24 of 27

7.3 Kapitalværdimetoden

Da kapitalværdimetoden tidligere blev bestemt som den mest præcise og overskuelige metode benyttes denne her i eksemplet. Af hensyn til investeringsformen ved ejendomme, er der ændret en smule i visse poster, men selve metodens tilgang er den samme.

Denne opstilling er grundet dens størrelse placeret som bilag nr. 4. Heri ses der dog, at investeringen under de givne forudsætning efter 50 år vil give en positiv kapitalværdi på kr.

Derved er investeringen lønsom.

7.4 Følsomhedsberegninger

Denne følsomhedsberegning er ikke umiddelbart en usikker faktor, men der er dog tale om en uforudsigelig hændelse. I løbet af 12. år opstår der vandskade i flere af opgangene. Grundet visse omstændigheder nægter forsikringsselskabet at betale, så S.S.

Invest hænger selv på regningen. Det drejer sig om 7 boligblokke, som alle skal renoveres fuldt ud. Renoveringen tager 4 måneder og der betales ikke leje under renoveringen.

Renoveringen i sig selv løber op i kr. 1.300.000 pr. opgang, hvilket samlet set svarer til kr.

9.100.000. Uheldigvis ødelægger vandskaden også varmeanlægget, som derfor skal skiftes ud før tid. Som bilag nr. 5 ligger den nye lejeoversigt, hvor der ved 7 af opgangene er trukket 4 måneders husleje fra. Grundet ubelejligheden for hele bebyggelsens beboer, tilskrives der ikke den procentvise stigning i leje for 12. år. Derved bliver årets lejeindtægt til kr. 9.264.239.

Bilag nr. 6 viser den nye udregning af kapitalværdien, som under omstændighederne er faldet til kr. 1.795.064. Men investeringen er dog stadig lønsom.

7.5 Nulpunktsberegning

Da ejendomsmægleren og den tidligere ejer forsøger at presse prisen på ejendommen mest muligt op, vil S.S. Invest gerne vide, hvor meget de højst må investere i bygningen for at det vil være lønsomt at gennemføre købet.

Kr.

Investering

Kapitalværdi

Nulpunkt for investeringssum 0

Side 25

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 25 of 27

Herved er investeringssummen tillagt den opnåede kapitalværdi efter 50 år.

Hvilket vil sige, at har S.S. Invest intentioner om at beholde ejendommen i min. 50 år, kan de investere op til kr. 0.

7.6 Beslutning

Investeringen har vist sig at være lønsom, selv udsat for vandskade, derfor vil investeringen i sig selv være attraktiv. Der skal dog tages hensyn til andre investeringsmuligheder som S.S. Invest måtte have. I tilfælde af en anden investering med en højere kapitalværdi og fortjenestemulighed, er denne at foretrække. Yderligere bør det dog påpeges, at der ikke har været omtale af salg af ejendommen igen. Herved vil S.S. Invest ligeledes kunne opnå en større fortjeneste på investeringen. Til trods for den store risiko der tages, ved investeringen af en sådan pengesum, efterlader investeringen en yderst rimelig kapitalværdi efter 50 år, nemlig på lidt over kr. 14,5 mio. Alt andet end lige er investeringen lønsom og fordelagtigt, og derved anbefales S.S. Invest hermed at gennemføre investeringen.

Side 26

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 26 of 27

8. Konklusion

Det er nu muligt, at konkludere at en investerings lønsomhed kan vurderes ud fra flere forskellige metoder. Herunder fremstår kapitalværdimetoden som den bedste metode, grundet den præcise opstilling af samtlige af de cashflows som vedrører investeringen.

Gennem matematisk tilgang til annuitetsmetoden, er det muligt at føre bevis for sammenhængen mellem en investerings annuiteter.

Det kan konkluderes at en investeringsejendom defineres som en ejendom der ikke anvendes personligt af investor, men som lejes ud i form af beboelse eller erhvervslejemål. En investeringsejendom erhverves ikke på baggrund af selve bygningen, men derimod grundet de fremtidige afkast, som ejendommen medbringer.

Det er ikke umiddelbart muligt at beregne en præcis kalkulationsrente, da der her er tale om mere eller mindre kvalificerede gætterier. Dog kan man gennem analyse af de forhold, der påvirker kalkulationsrenten, herunder bl.a. markedsrenten og inflation, tilnærme sig en yderst nøjagtig og velbegrundet rente. Det er dog vigtigt, at denne fastsættes med omhu, da en for lav kalkulationsrente kan ende ud i et underskud på investeringen og en for høj kalkulationsrente kan medfører at man går glip af mulige profitter.

Det bør yderlige bemærkes, at visse forhold ikke er nævnt i denne opgave. Heri er der bl.a. set bort fra skat, som er et relevant incitament for investorer, da det oftest er tilladt at benytte ejendommes økonomiske forhold til skattefradrag. Dette kan i sidste ende dreje sig om skattefrie kroner i større millionbeløb. Ligeledes er det relevant at betragte udviklingen på boligmarkedet. At købe og sælge på de rigtige tidspunkter er altafgørende. Her kan man tjene nemme penge, ved at holde jævnt øje med i hvilken retning boligmarkedet bevæger sig.

Ved at købe mens boligpriserne ligger lavt og sælge mens de ligger højt, kan man opnå større gevinster, og i mellemtiden mens markedet vender kan ejendommene lejes ud og derved indbringe yderligere fortjeneste. Verden bliver mindre og mindre, mens byerne bliver større.

Derved kan man med fordel erhverve sig en billig ejendom eller et stykke jord lidt uden for byen, således vil den efter nogle år befinde sig midt i byen, og prisen vil stige kraftigt. På den anden side bør man være opmærksom på efterspørgslen. I og med byen bliver større, vil efterspørgslen på landejendomme sandsynligvis stige, derved ses der ligeledes fordele i at erhverve sig ejendomme langt ude på landet. Som nævnt påvirker efterspørgslen også investeringen. Hvis der er tale om en investering med høj efterspørgsel vil det være muligt, at kræve en højere leje, og således opnå fortjeneste.

Side 27

Studieretningsprojekt Virksomhedsøkonomi & matematik

Page 27 of 27

Kildeoversigt samt slutnoter

Pedersen, Preben Kjær:

”Vurdering af investeringsejendomme”

Aktieselskabet TLK, Århus C, 1. udgave, maj 1999.

Bang, Knud Erik, Kai Hansen, Marianne Poulsen og Gitte Størup:

”Virksomhedsøkonomi HHX niveau A, 2. del”

Nørhaven Book, Skive, 1. udgave, 2007

Bregendal, Nitschky Schmidt & Verstergaard:

”HHX MAT C”

Nørhaven Book, Viborg, 2. Udgave, 1. oplag

”Hvad er investeringsteori?”

http://www.lr.dk/bygningerogmaskiner/informationsserier/altommekanisering/index_grundlae

ggende.htm

Udskrevet d. 03.12.08

“Weighted Average Cost of Capital – WACC”

http://www.investopedia.com/terms/w/wacc.asp?viewed=1

Udskrevet d. 10.12.08

”Economic Profit”

http://www.pwc.com/extweb/pwcpublications.nsf/docid/be0904af2bd4cb06003ce88

9

Udskrevet d. 10.12.08 i

Virksomhedsøkonomi HHX Niveau A, 2. del ii

www.wikipedia.dk/interpolation

iii

Bregendal, Nitschky Schmidt & Vestergaard: MAT C, s. 372 iv

Bregendal, Nitschky Schmidt & Vestergaard: MAT C, s. 370, sætning 6 v

Bregendal, Nitschky Schmidt & Vestergaard: MAT C, s. 373, Bevis vi

Bregendal, Nitschky Schmidt & Vestergaard: MAT C, s. 382, sætning 8 vii

http://www.investopedia.com/terms/w/wacc.asp?viewed=1

viii

http://www.pwc.com/extweb/pwcpublications.nsf/docid/be0904af2bd4cb06003ce889