SOP om Optimering og Kvadratisk Programmering i VØ og Matematik

Side 1

Optimering

Side 2

Opgaveformulering

Redegør for begrebet kapacitetsstyring. Kom herunder ind på forskellige former for knap kapacitet.

Med udgangspunkt i bilag 1 analyseres den valgte virksomheds kapacitetsstyring med henblik på optimering af produktionen. Besvarelsen skal bygge på en modellering af produktionsforholdende i den valgte virksomhed og relevante matematiske modeller.

Diskuter forskellige muligheder for at udvide kapaciteten, og vurder i virksomhedseksemplet lønsomheden af en evt. udvidelse, herunder den resultatmæssige virkning.

Opgaven forventes at have et omfang på ca. 15 sider.

Side 3

Abstract

It is in all firms' interest to exploit their scarce capacity in the most profitable way as possible. It will increase the contribution margin and with that the earnings. The purpose for this project is to show and prove some methods in mathematics and business economics in order find the most profitable

solution for a random company with scarce capacity. In this case, it is about the company Ergonom A/S

which produces and sells two different office chairs on two different markets. On the market where RAMO is, there is monopolistic competition where the price is determined by the linear price sales curve. On the market where GIRA is, the priced is determined by the market price. In business economics, all the calculations are made in schemes in simple and clear ways. In mathematics, quadratic programming and Lagrange are used in order to find the most profitable solution. The

analysis has shown that for the company Ergonom A/S, the highest contribution margin is kr.

5,300,000 within their capacity. The conditions for this are that they produce 12,000 of the office chair RAMO and 20,000 of the office chair GIRA, and that they sell RAMO for the price of kr. 525 and GIRA for the price of kr. 225.

Side 4

Indhold

Indledning ......................................................................................................................................................................................... 1

1. Redegørelse for kapacitetsstyring ...................................................................................................................................... 2

1.1 Knap kapacitet ..................................................................................................................................................................... 2

1.1.1 Optimering af knap kapacitet ............................................................................................................................... 2

1.1.2 Udvidelse af kapaciteten ......................................................................................................................................... 3

1.2 Ledig kapacitet .................................................................................................................................................................... 3

2. Virksomhedsøkonomisk optimering ................................................................................................................................. 4

2.1 Differensbidrag pr. maskintime og prioritering .................................................................................................... 4

2.2 Prioritetsplan ....................................................................................................................................................................... 5

2.3 Afsætningsplan ................................................................................................................................................................... 6

2.4 Udvidelse af kapaciteten ................................................................................................................................................. 6

2.4.1 Ny prioritering ............................................................................................................................................................ 6

2.4.2 Ny afsætningsplan ..................................................................................................................................................... 7

3. Matematisk optimering ........................................................................................................................................................... 7

3.1 Kvadratisk programmering ........................................................................................................................................... 7

3.1.1 Metode ........................................................................................................................................................................... 8

3.1.2 Kriteriefunktion ......................................................................................................................................................... 8

3.1.3 Produktionsbegrænsninger .................................................................................................................................. 9

3.1.4 Niveaukurver ............................................................................................................................................................ 10

3.1.5 Optimering – metode 1......................................................................................................................................... 11

3.1.6 Optimering – metode 2......................................................................................................................................... 13

3.2 Lagrange ............................................................................................................................................................................. 14

3.2.1 Metode ........................................................................................................................................................................ 14

3.2.2 Anvendelse af Lagrange ....................................................................................................................................... 15

4. Diskussion ................................................................................................................................................................................. 16

5. Konklusion ................................................................................................................................................................................ 18 Litteraturliste ................................................................................................................................................................................ 19 Bilag 1

Side 5

Studieretningsprojekt 26. november 2010

1

Indledning

Mere eller mindre alle virksomheder kan være begrænset af knap kapacitet. Der kan f.eks. være knaphed på råvarer eller maskintimer. Derfor er det i alle virksomheders interesse at udnytte den knappe kapacitet bedst muligt, så det største resultat opnås. En typisk problemstilling inden for økonomien er at nå et mål inden for nogle kapacitetsmæssige restriktioner. Målet kan f.eks. være, at der med en given mængde ressourcer skal produceres mest muligt, eller at der skal produceres en given mængde af en vare med mindst mulige omkostninger. Til løsning af dette er der nogle virksomhedsøkonomiske samt matematiske modeller og metoder, som jeg i opgaven vil gøre brug af.

I min redegørelse vil jeg forklare om begrebet kapacitetsstyring. Jeg vil herunder komme ind på forskellige former for knap kapacitet, og hvad det vil sige at optimere denne. Jeg vil ligeledes komme ind på forskellige muligheder for udvidelse af kapaciteten, og hvilke ulemper og fordele det kan have.

Til sidst vil jeg forklare hvad det vil sige, at en virksomhed har ledig kapacitet, og hvad årsagen hertil kan være.

I min analyse vil jeg med udgangspunkt i bilag 1 analysere den valgte virksomheds kapacitetsstyring med henblik på optimering af produktionen. Jeg vil i analysen inddrage virksomhedsøkonomiske såvel som matematiske metoder til belysning af optimeringen. Formålet med analysen er at optimere produktionen således, at det størst mulige dækningsbidrag opnås. I den virksomhedsøkonomiske analyse vil jeg ved hjælp af skemaer udregne differensbidrag pr. maskintime, og derefter udarbejde prioritetsplaner og afsætningsplaner for at finde frem til den optimale løsning for virksomheden. Jeg vil her også komme ind på udvidelse af kapaciteten ved tilvækst i de variable omkostninger og udregne, hvor mange maskintimer det evt. er lønsomt at udvide med. I den matematiske analyse vil jeg forklare og påvise, hvordan man med kvadratisk programmering og Lagrange kan finde frem til den optimale løsning. Jeg vil her inddrage forskellige metoder til løsning af problemet.

I min diskussion vil jeg diskutere muligheder for udvidelse af kapaciteten. Jeg vil komme med forslag til de forskellige muligheder virksomheden har for at udvide, og hvilke fordele og ulemper de medfører. Jeg vil også diskutere den resultatmæssige virkning af udvidelsen i maskintimer, som jeg i min virksomhedsøkonomiske analyse vil finde frem til.

Side 6

Studieretningsprojekt 26. november 2010

2

1. Redegørelse for kapacitetsstyring

Ved kapacitetsstyring forstås den bedst mulige udnyttelse af den knappe kapacitet. At en virksomhed har knap kapacitet vil sige, at den kun har begrænsede ressourcer eller kapacitet til rådighed i forhold til kundernes efterspørgsel. Med andre ord vil det sige, at en virksomhed ikke kan gennemføre de optimale aktiviteter inden for deres nuværende kapacitet. Kapacitetsstyring har derfor til opagave at udnytte den knappe kapacitet bedst muligt, så virksomhedens aktivitetsplaner kan gennemføres inden for deres kapacitetsmæssige rammer, og så det størst mulige dækningsbidrag samtidig opnås.

Kapaciteten kan opdeles i intern og ekstern kapacitet. Den interne kapacitet er den kapacitet, som virksomheden selv råder over, og som der kan ændres i. Der kan f.eks. være overtid, flerholdsskift og leje af yderligere kapacitet. Den eksterne kapacitet er derimod den kapacitet, som virksomheden har mulighed for at købe sig til hos andre såsom underleverandører eller konsulenter. Den eksterne

kapacitet kan ændres ved at købe mere eller mindre ved en underleverandør.^{1}

1.1 Knap kapacitet

Alle former for kapacitet kan være begrænset med knaphed. Der kan f.eks. være knaphed på, hvor mange enheder et produktionsanlæg kan producere eller hvor mange maskintimer, der kan produceres i. Der kan være knaphed på arbejdskraft, som bl.a. omfatter mangel på specialister eller specielle uddannelser, eller det kan være salgsareal som knap faktor. Der kan også være knaphed på fysisk plads i form af lagre, da virksomheder kun råder over en bestemt mængde lagerplads til opbevaring af f.eks. færdigvareprodukter. Der kan ligeledes være knaphed på råvarer, hvis en virksomhed f.eks. ikke kan få tilstrækkeligt nok råvarer hjem i forhold til efterspørgslen af et produkt.

1.1.1 Optimering af knap kapacitet

Når en virksomhed optimerer deres produktionsanlæg efter knap kapaciteten, skal produktionen tilrettelægges således, at det størst mulige resultat og dækningsbidrag opnås. Det vil altså sige, at de på ingen andre måder kan opnå et bedre resultat inden for deres kapacitetsmæssige rammer. Den knappe faktor skal anvendes til de mest lønsomme alternativer, så aktivitetsplanerne skal derfor analyseres med henblik på at opnå det bedste resultat i forhold til den knappe kapacitetsfaktor. Alternativerne bliver vurderet efter største differensbidrag pr. maskintime, og den mest lønsomme løsning kan dermed vælges.

1

Taktisk kapacitetsstyring. Steensen, Sejr m.fl.: Virksomhedsøkonomi Niveau A. 1. udg. Trojka, 2005. Bind 1, side

341-342. (Afsnit i bog)

Side 7

Studieretningsprojekt 26. november 2010

3

1.1.2 Udvidelse af kapaciteten

Hvis der fortsat er efterspørgsel på et produkt efter en virksomheds kapacitetsgrænse et nået, kan ledelsen vælge at udvide kapaciteten. Dette kan ske på tre måder:

• Udvidelse ved tilvækst i de variable omkostninger:

Her indgår overarbejde eller køb hos en underleverandør/outsourcing. Fordelene ved denne

løsning er, at det er en reversibel omkostning. Med andre ord betyder det, at virksomheden hurtig kan frigøre sig fra omkostningen, hvis det ikke længere er lønsomt. Ulempen er, at det er en kortsigtet løsning, hvilket kun forskyder det reelle problem.

• Udvidelse ved tilvækst i kontante kapacitetsomkostninger:

Dette omhandler leje/leasing af f.eks. et produktionsanlæg. Udgiften til denne maskine er fast

og er derfor uafhængig af, hvor mange enheder der produceres på anlægget. Fordelen ved denne løsning er, at virksomheden stadig selv producerer deres produkter, hvorved samme kvalitet opnås. Ligeledes kan lejekontrakten med rimelig varsel opsiges, hvis der skulle være brug for udskiftning af anlægget. Ulempen ved denne løsning er, at omkostningerne til leje af maskinen på lang sigt vil være højere, end hvis virksomheden selv ejede den.

• Køb af et nyt produktionsanlæg:

Ved køb af et nyt produktionsanlæg skal virksomhedens ledelse tage stilling til en del flere faktorer som ved de foregående to løsninger. Her skal bl.a. udarbejdes beregninger af, om den pågældende investering er rentabel. Fordelen ved denne løsning er, at det på lang sigt er billigere end at leje en maskine eller etablere overarbejde. Ulempen ved denne løsning er, at den kan være for omfattende i forhold til det aktuelle problem.

I overvejelserne af udvidelsen af kapaciteten er det vigtigste, at løsningen er lønsom. Dette er den, hvis merindtjeningen overstiger de meromkostninger, som udvidelsen medfører. Ved merindtjening forstås den ekstra indtjening, man opnår ved udvidelsen, og ved meromkostning forstås den ekstra omkostning, udvidelsen medfører. Differencen mellem de to tal er altså virksomhedens ekstra

dækningsbidrag, som udvidelsen medfører.^{2}

1.2 Ledig kapacitet^{3}

I forhold til knap kapacitet er ledig kapacitet, hvor virksomheden ikke kan udnytte sin kapacitet fuld ud. Virksomheden råder altså over mere kapacitet, end de lønsomme aktiviteter kræver. Årsagen

2 -3

Knap kapacitet/Ledig kapacitet. Steensen, Sejr m.fl.: Virksomhedsøkonomi Niveau A. 1. udg. Trojka, 2005.
Bind 1, side 346-360/342-346. (Afsnit i bog)

Side 8

Studieretningsprojekt 26. november 2010

4 dertil kan være, at virksomheden forventer større kapacitetsbehov i fremtiden og derfor har anskaffet sig kapacitet ud fra deres forventninger. En anden årsag kan være, at da virksomheden investerede i et produktionsanlæg, var et stort anlæg med større kapacitet end virksomhedens behov, mere lønsomt, end et mindre anlæg som passede virksomhedens behov. En tredje årsag kan være faldende efterspørgsel, så de planlagte aktiviteter ikke kan gennemføres.

Hvis en virksomhed har ledig kapacitet og samtidig råder over flere produktionsanlæg, er kapacitetsstyringens opgave at producere virksomhedens produkter på den maskine med lavest mulige omkostninger. I disse overvejelser indgår kun kapacitetsenhedernes omkostninger, også kaldes offeromkostninger, og ikke virksomhedens kapacitetsomkostninger til drift og vedligeholdelse, da disse alligevel skal afholdes. I offeromkostningerne indgår især variable omkostninger til materiale og arbejdsløn, men også omkostninger til f.eks. klargøring af maskinen eller forskelle i strømforbruget indgår deri.

2. Virksomhedsøkonomisk optimering

Inden for virksomhedsøkonomi kan det størst mulige dækningsbidrag beregnes. Som udgangspunkt opstilles forskellige alternativer med forskellige priser og afsætning for et givet produkt. Derefter beregnes der for hvert alternativ enten dækningsbidrag, markedsføringsbidrag eller indtjeningsbidrag. Ligeledes skal forbruget af den knappe tidsfaktor beregnes samt differensbidraget pr. time af den knappe faktor. Derefter prioriteres alternativerne således, at de alternativer med størst differensbidrag pr. enhed af den knappe faktor anvendes til de mest lønsomme aktiviteter.

2.1 Differensbidrag pr. maskintime og prioritering

I virksomheden Ergonom A/S er det maskintimer, der er den knappe faktor. Nedenstående skema

viser de to kontorstole RAMO og GIRA.

Side 9

Studieretningsprojekt 26. november 2010

5

Som skemaet på foregående side viser, er DIFB/time (differensbidrag pr. time) udregnet og prioriteret
efter højeste DIFB/time. Som det ses af skemaet, er der seks alternativer for RAMO og ét alternativ for

GIRA. Dette skyldes, at produktet RAMO befinder sig på et marked med monopolistisk konkurrence, hvorved prisen er givet ved den lineære aftagende prisafsætningskurve. Dvs. jo højere pris, desto mindre afsætning og omvendt. Produktet GIRA befinder sig derimod på et marked med fuldkommen konkurrence, hvor prisen er givet ved markedsprisen, som i dette tilfælde er kr. 225. De variable enhedsomkostninger (VE) forløber proportionalt med kr. 250 for RAMO og kr. 125 for GIRA. Når dækningsbidrag pr. stk. skal beregnes, minusses de variable omkostninger med salgsprisen. Her er det tydeligt, at jo højere salgspris desto højere dækningsbidrag grundet de variable omkostninger er konstante. Når det samlede dækningsbidrag skal beregnes, ganges dækningsbidrag pr. stk. med afsætningen. Maskintid udregnes ved at gange afsætningen med det enkelte produkts tidsforbrug pr.

enhed. I dette tilfælde de 30 minutter for RAMO og 15 minutter for GIRA divideret med 60. Her er det klart, at jo flere der skal produceres, jo længere tid er den samlede maskintid. Til sidst udregnes

DIFB/time. Dette gøres ved at dividere ændring i dækningsbidrag med ændring i forbruget af den

knappe faktor. Tallet der fremkommer fortæller, hvor meget indtjeningen for det pågældende alternativ er i forhold til tidsforbruget. Jo større indtjening pr. time er altså lig med større dækningsbidrag.

2.2 Prioritetsplan

I prioritetsplanen er alternativerne opstillet efter største DIFB/time. Formålet er at se, hvor meget af

den knappe kapacitetsfaktor der er forbrugt efter hver prioritet, og dermed finde ud af, hvor mange prioriteter man kan nå inden for kapacitetsgrænsen. Under alternativ vises det pågældende alternativ

med størst DIFB/time øverst, som i dette tilfælde er R1 med DIFB/time på kr. 650. Ekstra maskintid

viser ændringen i maskintimer og udregnes alternativ2 minus alternativ1. I dette tilfælde betyder det, at produktionstiden for R2, som er på 4.500 timer skal minusses med produktionstiden for R1, som er

3.500 timer. Ændringen i maskintimer bliver derfor 1.000 timer. Det er her vigtigt, at forskellige

Side 10

Studieretningsprojekt 26. november 2010

6 produkter holdes adskilte i ekstra maskintid. I dette tilfælde skal maskintimer for RAMO og GIRA altså ikke blandes sammen. Maskintid i alt viser akkumulerede maskintimer, som simpelt udregnes ved at plusse ekstra maskintid til maskintid i alt. Når skemaet er færdigudarbejdet, kan kapacitetsgrænsen indsættes. Her skal den indsættes ved prioritet fire, da der her i alt er brugt 11.000 maskintimer, hvilket er præcis hvad virksomheden har til rådighed.

2.3 Afsætningsplan

I afsætningsplanen udregnes det optimale dækningsbidrag. Man tager udgangspunkt i prioritetsplanen og ser, hvilket alternativ for produkterne der er tættest på kapacitetsgrænsen. I dette tilfælde er det for RAMO R3 og for GIRA G1. Derefter tages der udgangspunkt i første skema, hvor man finder salgspris, afsætning, tidsforbrug og dækningsbidrag for de alternativer som ligger tættest på kapacitetsgrænsen. Som det ses af afsætningsskemaet, bliver maskintiden udnyttet bedst muligt, hvis RAMO sælges til en pris på kr. 525 og med en afsætning på 12.000 stk., og GIRA bliver solgt til den allerede fastlagte pris på kr. 225 med en afsætnings på 20.000 stk. Dette vil udnytte den knappe kapacitet bedst muligt give størst mulig dækningsbidrag på kr. 5.300.000.

2.4 Udvidelse af kapaciteten

Ergonom A/S har mulighed for at udvide deres kapacitet med 4.500 timer årligt. Skifteholdstillægget

vil udgøre kr. 180 pr. maskintime.

2.4.1 Ny prioritering

For at vurdere om det kan være lønsomt at udvide kapaciteten i form af overarbejde, skal DIFB/time

sammenlignes med tillægget, som en ekstra overarbejdstime koster. I dette tilfælde er det kr. 180. Det

Side 11

Studieretningsprojekt 26. november 2010

7

vil altså sige, at så længe DIFB/time er højere end tillægget, er det lønsomt at udvide. Som det ses af

den nye prioritering på foregående side, er det kun lønsomt at udvide kapaciteten med 2.000 timer, da

dette alternativ er det sidste, der har et DIFB/time på over kr. 180. Kapacitetsgrænsen er altså nu ved
prioritering fem. Kommer vi under kapacitetsgrænsen er DIFB/time under kr. 180, og virksomheden

vil derfor miste penge på alternativer derunder.

2.4.2 Ny afsætningsplan

Fremgangsmåden i den nye afsætningsplan er den samme som i den første. Først findes det alternativ for hvert produkt, som er tættest på kapacitetsgrænsen i den foregående prioriteringsplan. Da der kun er ét alternativ for GIRA, er det selvfølgelig det samme, men for RAMO er det nu alternativ R4, som ligger tættest på kapacitetsgrænsen. Igen indsættes salgspris, afsætning, tidsforbrug og dækningsbidrag. I den nye afsætningsplan skal man huske at minusse de ekstra omkostninger for overarbejde. Dette er 2.000 timer ganget med kr. 180, hvilket giver en omkostning på i alt kr. 360.000, som skal minusses dækningsbidraget. Det vil altså sige, at med udvidelsen er det optimale nu er en afsætning på 16.000 stk. af RAMO med en pris på kr. 485 og en afsætning på 20.000 stk. af GIRA med en pris på kr. 225. Dette vil udnytte den knappe kapacitet bedst muligt og give størst mulig dækningsbidrag på kr. 5.400.000.

3. Matematisk optimering

I matematikkens verden findes der også metoder til beregning af størst mulig dækningsbidrag. I det følgende vil jeg komme ind under kvadratisk programmering samt Lagrange.

3.1 Kvadratisk programmering

Når man anvender kvadratisk programmering til prisdifferentiering indenfor virksomhedsøkonomi, optræder kriteriefunktionen i kvadratisk form. Der kan skelnes mellem to tilfælde af markedsformer:

• Fuldkommen konkurrence, hvor prisen er givet ved markedsprisen. Denne markedsform er karakteriseret ved, at mange mindre virksomheder alle afsætter et ensartet produkt, og hvor der ikke forekommer præferencer blandt kunderne.

Side 12

Studieretningsprojekt 26. november 2010

8

• Monopolistisk konkurrence, hvor prisafsætningskurven falder lineært. Denne markedsform er karakteriseret ved, at der på markedet er mange udbydere der sælger et produkt til dækning af samme behov, men hvor der forekommer præferencer.

Kriteriefunktionerne afhænger af disse markedsformer:

• Lineær: fuldkommen konkurrence på de to markeder.

• Parabel: fuldkommen konkurrence på det ene marked og monopolistisk konkurrence på det andet marked.

• Cirkel eller ellipse: monopolistisk konkurrence på begge markeder.

3.1.1 Metode

1. Variablerne x og y defineres og opstilles i kriteriefunktionen 𝑓(𝑥,𝑦).

2. Produktionsbegrænsningerne opstilles og indsættes i et koordinatsystem, hvorefter polygonområdet markeres.

3. Niveaukurver bestemmes og indsættes i koordinatsystemet. Der indtegnes pile for at vise niveaukurvernes retning.

4. Maksimum bestemmes ved parallelforskydning af niveaukurven.

3.1.2 Kriteriefunktion

Ergonomen A/S fremstiller og sælger to vidt forskellige kontorstole. Den ene, GIRA, har fast pris på kr.

225, og den anden, RAMO, følger den lineære aftagende prisafsætningskurve. Det kan nu konkluderes, at vi både befinder os på et marked med fuldkommen konkurrence samt et marked med monopolistisk konkurrence. Vores kriteriefunktion bliver dermed en parabel.

For det kommende år er opstillet følgende afsætningsmuligheder for RAMO:

Ved brug af to-punkts-formlen kan den lineære funktion for

RAMO findes ved hjælp af to sæt (x;y) koordinater fra skemaet:

           555−575
𝑦 − 575 = (       ) ( 𝑥 − 7000 ) ⇔ har indsat tallene
          9000−7000

           −20
𝑦 − 575 = (   ) ( 𝑥 − 7000 ) ⇔ har minusset
          2000

𝑦 − 575 = −0,01 ( 𝑥 − 7000) ⇔ har divideret

𝑦 − 575 = −0,01𝑥 + 70 ⇔ har ganget -0,01 ind i parentesen

Side 13

Studieretningsprojekt 26. november 2010

9

𝑦 = −0,01𝑥 + 645 ⇔ har isoleret y

𝑟(𝑥) = −0,01𝑥 + 645 har kaldt funktionen r(x)

Afsætningsfunktionen for RAMO er hermed bestemt, hvor x er afsætningen i stk., og r(x) er prisen pr.

stk.

Produktet GIRA sælges på et marked med fuldkommen konkurrence til en pris på kr. 225.

Afsætningsfunktionen er dermed givet ved: 𝑔(𝑦) = 225

Funktionen for omsætningen kan da, når x = antal enheder RAMO og y = enheder GIRA, bestemmes

som:

𝑜 ( 𝑥, 𝑦) = ( −0,01𝑥 + 645) 𝑥 + 225𝑦 ⇔ har sammensat r(x) og g(y)

𝑜 ( 𝑥, 𝑦) = −0,01𝑥^{2} + 645𝑥 + 225𝑦 har ganget x ind i parentes

De variable enhedsomkostninger for RAMO er kr. 250 og kr. 125 for GIRA. Vi ved, at dækningsbidrag er lig med omsætning minus omkostninger. Funktionen for dækningsbidraget kan da bestemmes:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = −0,01𝑥^{2} + 645𝑥 + 225𝑦 − (250𝑥 + 125𝑦) ⇔ har tilføjet omkostningerne

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = −0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100𝑦 har reduceret

3.1.3 Produktionsbegrænsninger

Der er årligt en kapacitet på 11.000 maskintimer. Produktionstiden for RAMO er 30 minutter pr. stk., og for GIRA er den 15 minutter pr. stk. Desuden er der på GIRA en begrænsning på 20.000 stk.

Virksomheden kan nu underlægges følgende produktionsbetingelser:

1

2

    1
𝑥 +  𝑦 ≤ 11.000 ⇔ har opstillet begrænsningen
    4

1

4

            1
𝑦 ≤ 11.000 − 𝑥 ⇔ har minusset ½ x på hver side
            2

𝑦 ≤ 44.000− 2𝑥 har ganget 4 i hvert led

𝑦 ≤ 20.000 GIRA har begrænsning på 20.000 stk.

Hermed er begrænsningsfunktionerne bestemt. Ligeledes forekommer der at 𝑥 ≥ 0 og 𝑦 ≥ 0, da

produktionen ikke kan være negativ.

Side 14

Studieretningsprojekt 26. november 2010

10

3.1.4 Niveaukurver

Niveaukurver for funktionen kan tegnes ud fra:

𝑁 ( 𝑡) = 𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑡

−0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100𝑦 = 𝑡 ⇔ har sat DB funktionen lig t

−0,01𝑥^{2} + 395𝑥 − 𝑡 = −100𝑦 ⇔ har byttet rundt på t og 100y

0,01𝑥^{2} − 395𝑥 + 𝑡 = 100𝑦 ⇔ har ændret fortegn

                      𝑡
           2
𝑦 = 0,0001𝑥 − 3,95𝑥 +   har isoleret y
                     100

Niveaukurver kan nu bestemmes:

                                  4.000.000
                       2
𝑁 ( 4.000.000 ) :𝑦 = 0,0001𝑥 − 3,95𝑥 +   ⇔ har indsat t = 4.000.000
                                    100

𝑦 = 0,0001𝑥^{2} − 3,95𝑥 + 40.000 har divideret

                             4.150.000
                 2
𝑁 ( 4.150.000 ) :𝑦 = 𝑥 − 642,5𝑥 +   ⇔ har indsat t = 4.150.000
                               100

𝑦 = 𝑥^{2} − 642,5𝑥 + 130.000 har divideret

                             4.300.000
                 2
𝑁 ( 4.300.000 ) :𝑦 = 𝑥 − 642,5𝑥 +   ⇔ har indsat t = 4.300.000
                               100

𝑦 = 𝑥^{2} − 642,5𝑥 + 43.000 har divideret

Side 15

Studieretningsprojekt 26. november 2010

11

3.1.5 Optimering – metode 1

Som det ses af grafen på foregående side, vokser funktionen jo længere den kommer op. De to lodrette pile på tegningen viser, at når t stiger bevæges niveaukurverne i pilens retning. Vi ønsker derfor at maksimere f inden for polygonområdet. Dette gøres ved at finde det punkt, hvor N(t) tangerer linien

𝑦 = 44.000− 2𝑥. Vi indsætter 𝑦 = 44.000 − 2𝑥 i udtrykket for N(t):

𝑁 ( 𝑡):−0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100𝑦 = 𝑡 ⇔ udtryk for N(t)

−0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100(44.000 − 2𝑥) = 𝑡 ⇔ har indsat 𝑦 = 44.000 − 2𝑥 i N(t)

−0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 4.400.000 − 200𝑥 = 𝑡 ⇔ har ganget 100 ind i parentesen

−0,01𝑥^{2} + 195𝑥 + 4.400.000 = 𝑡 ⇔ har reduceret x

0,01𝑥^{2} + 195𝑥 + 4.400.000 − 𝑡 = 0 har flyttet t over på den anden side

For at N(t) præcis skal tangere linien, må andengradsligningen kun have én løsning, hvilket betyder at

d = 0. Vi indsætter nu 𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 = 0:

𝑑 = 195^{2} − 4 ( −0,01)( 4.400.000− 𝑡) = 0 ⇔

195^{2} + 0.04 ( 4.400.000− 𝑡) = 0 ⇔ har ganget -4 ind i parentes

38.025 + 0.04 ( 4.400.000− 𝑡) = 0 ⇔ har udregnet 195

2

38.025 + 176.000 −0,04𝑡 = 0 ⇔ har ganget 0,04 ind i parentes

38.025 + 176.000 = 0,04𝑡 ⇔ har flyttet t over på den anden side

950.625 + 4.400.000 = 𝑡 ⇔ har ganget op

𝑡 = 5.350.625 har reduceret

Udregner ny niveaukurve med t = 5.350.625:

                                  5.350.625
                       2
𝑁 ( 5.350.625 ) :𝑦 = 0,0001𝑥 − 3,95𝑥 +   ⇔ har indsat t = 5.350.625
                                    100

𝑦 = 0,0001𝑥^{2} − 3,95𝑥 + 53.506 har divideret

Side 16

Studieretningsprojekt 26. november 2010

12

Det kan hermed konkluderes, at det størst mulige dækningsbidrag er kr. 5.350.625, men som ovenstående graf viser, ligger niveaukurven uden for polygonområdet og er dermed umulig at realisere inden for virksomhedens kapacitetsmæssige rammer. Derfor opnås det størst mulige dækningsbidrag hvor de to kapacitetsgrænser mødes, da dette er det sidste punkt parablen vil tangere når den forskydes. For at udregne punktet sættes de to begrænsninger lig hinanden:

44.000 − 2𝑥 = 20.000 ⇔ begrænsningerne sættes lig hinanden

24.000 = 2𝑥 ⇔ har reduceret og isoleret 2x

𝑥 = 12.000 har isoleret x

For at beregne, hvor mange enheder af y der skal produceres, indsættes 12.000 i ligningen

44.000 − 2𝑥.

𝑦 = 44.000− 2 ∗ 12000 ⇔ har indsat x

𝑦 = 20.000 har udregnet

Side 17

Studieretningsprojekt 26. november 2010

13

For at beregne størst muligt dækningsbidrag og samtidig værdien af t, indsættes x og y værdierne i funktionen for dækningsbidraget 𝑓(𝑥,𝑦):

𝑓 ( 12.000;20.000) = −0,01 ∗ 12.000^{2} + 395 ∗ 12.000 + 100∗ 20.000 = 5.300.000

Udregning af ny niveaukurve, som viser størst mulig dækningsbidrag:

                                  5.300.000
                       2
𝑁 ( 5.300.000 ) :𝑦 = 0,0001𝑥 − 3,95𝑥 +   ⇔ har indsat t = 5.300.000
                                    100

𝑦 = 0,0001𝑥^{2} − 3,95𝑥 + 53.500 har divideret

På nedenstående graf ses parablen skære i punktet (12.000;20.000). Dette er det sidste punkt den vil skære inden den bevæger sig udover polygonområdet og dermed virksomhedens kapacitetsgrænse.

Det mest optimale for virksomheden er derfor at producere 12.000 enheder af RAMO og 20.000 enheder af GIRA, da dette vil give størst mulig dækningsbidrag på kr. 5.300.000.

3.1.6 Optimering – metode 2

Maksimum kan også bestemmes ved hjælp af differentialregning. Dette gøres ved at sætte den begrænsning, som parablen sidst skærer inden den bevæger sig ud over polygonområdet, ind i stedet for y i funktionen for dækningsbidraget. Dermed er der ikke længere tale om en funktion i to variable.

Denne funktions skal derefter differentieres, sættes lig 0 og løses. Vi har:

𝑓(𝑥,𝑦) − 0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100𝑦 funktion for dækningsbidrag

𝑦 = 44.000− 2𝑥 begrænsning som skal indsættes i 𝑓(𝑥,𝑦)

Side 18

Studieretningsprojekt 26. november 2010

14

𝑓 ( 𝑥) = −0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100 ( 44.000 − 2𝑥) ⇔ y er erstattet med begrænsningen

𝑓 ( 𝑥) = −0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 4.400.000 + 200𝑥 ⇔ har ganget 100 ind i parentes

𝑓 ( 𝑥) = −0,01𝑥^{2} + 195𝑥 + 4.400.000 har reduceret

Funktionen skal nu differentieres og sættes lig 0:

𝑓^{′} ( 𝑥) = −0,02𝑥 + 195 har differentieret

−0,02𝑥 + 195 = 0 ⇔ har sat 𝑓 (𝑥) lig 0

′

−0,02𝑥 = −195 ⇔ har flyttet 195 over på modsatte side

𝑥 = 9.750 har ganget -50 på hver side

For at finde værdien af y sættes 9.750 ind i begrænsningsfunktionen i stedet for x:

𝑦 = 44.000− 2 ∗ 9.750

𝑦 = 24.500

Dermed er det med differentiering bevist, at det optimale punkt ligger i (9.750;24.500), men som tidligere nævnt ligger dette punkt uden for polygonområdet og er dermed umulig at realisere inden for virksomhedens kapacitetsmæssige rammer. Derfor er det optimale punkt, hvor de to begrænsninger mødes, da dette er det sidste punkt parablen skærer, inden den bevæger sig ud over polygonområdet.

Jeg henviser derfor til metode 1, hvor min udregning viser, at skæringspunktet og dermed det optimale punkt ligger i (12.000;20.000).

3.2 Lagrange^{3}

En anden metode til løsning af optimeringsproblemer med begrænsninger inden for matematikkens verden er Lagrange.

3.2.1 Metode

Metoden benyttes, når vi har funktionen 𝑓(𝑥,𝑦) under begrænsningen 𝑔 ( 𝑥,𝑦) = 𝑐. Herefter
konstrueres en Lagrange-funktion, 𝐿(𝑥,𝑦), som skrives 𝐿 ( 𝑥, 𝑦) = 𝑓 ( 𝑥,𝑦) − 𝜆 ∗ (𝑔 ( 𝑥,𝑦) − 𝑐), hvor 𝜆 er

en konstant, som kaldes Lagrangemultiplikator. Herefter skal vi finde de partielle afledede til 𝐿(𝑥,𝑦): 𝛿𝐿 𝛿𝑓 𝛿𝑔 𝛿𝑥 𝛿𝑥 𝛿𝑥

= − 𝜆 ∗

3

Lagrange-metoden. Bregendal, Peter m.fl.: I: Matematik A. 4. udg. Systime, 2003. Bind 1, side 136-139. (Afsnit i bog)

Side 19

Studieretningsprojekt 26. november 2010

15 og 𝛿𝐿 𝛿𝑓 𝛿𝑔 𝛿𝑦 𝛿𝑦 𝛿𝑦

= − 𝜆 ∗

Derefter sættes ligningerne lig 0 samt 𝑔(𝑥,𝑦) lig c og udregnes.

3.2.2 Anvendelse af Lagrange

Lagrange kan nu anvendes til at finde frem til det punkt, hvor virksomheden opnår størst dækningsbidrag. Vores funktion for dækningsbidraget samt begrænsning er på forhånd bestemt fra afsnittet om kvadratisk programmering.

Dækningsbidrag: 𝑓 ( 𝑥,𝑦) = −0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100𝑦

                     1   1
Begrænsning: 𝑔 ( 𝑥,𝑦 ) = 𝑥 + 𝑦 = 11.000
                     2   4

𝑔 ( 𝑥,𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 = 44.000 har ganget med 4 i alle led

Lagrange funktionen kan nu bestemmes:

𝐿 ( 𝑥,𝑦) = −0,01𝑥^{2} + 395𝑥 + 100𝑦 − 𝜆 ( 2𝑥 + 𝑦 − 44.000)

Herefter skal de partielle afledede til henholdsvis x og y findes: 𝛿𝐿 𝛿𝑦

= 100− 𝜆

𝛿𝐿 𝛿𝑥

= −0,02𝑥 + 395 − 2𝜆

Ligningssystemet bliver da:

( 1) 100 − 𝜆 = 0

( 2) − 0,02𝑥 + 395 − 2𝜆 = 0

( 3) 2𝑥 + 𝑦 = 44.000

Ligningssystemet skal nu løses. Ligning 1 giver:

𝜆 = 100 har minusset 100 på hver side af lighedstegnet

og ændret fortegn

Side 20

Studieretningsprojekt 26. november 2010

16

Dette indsættes nu i ligning 2 så vi får:

−0,02𝑥 + 395 − 2 ( 100) = 0 har erstattet 𝜆 med 100

−0,02𝑥 + 395 − 200 = 0 har ganget -2 ind i parentes

−0,02𝑥 = −195 har reduceret og isoleret x

𝑥 = 9.750 har ganget -50 på hver side

Vi indsætter nu 9.750 i ligning 3:

2 ( 9.750) + 𝑦 = 44.000 har erstattet x med 9.750

19.500 + 𝑦 = 44.000 har ganget 2 ind i parentes

𝑦 = 24.500 har isoleret y

Hermed er det igen bevist at det optimale punkt ligger i (9.750;24.500), men da dette ligger uden for polygonområdet, er det optimale punkt derfor, hvor de to begrænsninger skærer hinanden. Derfor henviser jeg igen til metode 1 i afsnittet om kvadratisk programmering, hvor jeg beviser at skæringen ligger i punktet (12.000;20:000).

4. Diskussion

Ergonom A/S har forskellige muligheder for udvidelse af deres kapacitet. De kan bl.a. vælge at udvide

ved tilvækst i de variable omkostninger. Heri indgår overarbejde, outsourcing eller køb hos underleverandør. Outsourcing vil sige at de flytter deres produktion til udlandet, hvor arbejdskraften er billigere. Dette er en langsigtet god løsning, da de vil spare en masse penge på lønomkostninger.

Ulempen er dog, at de medarbejdere som før stod i produktionen nu skal fyres, hvilket er en situation,

der vil skabe usikkerhed og konflikter i virksomheden. Ergonom A/S kan også vælge køb hos

underleverandør, hvilket også har sine fordele og ulemper. Fordelen er, at de kan frigøre sig fuldstændig fra den produktion, som den anden virksomhed står for. Med andre ord kan de fokusere på deres egen produktion eller en helt tredje ting, samtidig med at de har en stor produktion. Ulempen ved denne løsning er dog, at den på lang sigt vil være dyr, og det i stedet ville være mere lønsomt at

investere i et nyt produktionsanlæg. En anden stor ulempe er, at Ergonom A/S ikke selv står for

kvalitetstest af de produkter, som den anden virksomhed producerer. Dermed kan de produkter være

af ringere kvalitet, end dem som Ergonom A/S selv fremstiller. Dette kan skabe utilfredse kunder som i
værste fald kan betyde mistede kunder. Ergonom A/S kan også vælge at udvide ved hjælp af

Side 21

Studieretningsprojekt 26. november 2010

17 overarbejde. De har indgået aftale med medarbejderne om skifteholdsarbejde med op til 4.500 timer årligt. Skifteholdstillæget vil udgøre kr. 180 pr. maskintime. I min virksomhedsøkonomiske analyse fandt jeg frem til, at det mest lønsomme er at udvide kapaciteten med 2.000 timer, hvilket vil forøge dækningsbidraget fra kr. 5.300.000 til 5.400.000. Altså en stigning på kr. 100.000. Denne løsning er god på kort sigt, men hvis det f.eks. strækker sig over 10 år, vil det måske være mere lønsomt at investere i et nyt produktionsanlæg. Selvom investeringen er dyr, vil det betyde, at de fremover vil have flere maskintimer til rådighed. Dermed kan de producere meget mere til langt lavere priser, som på sigt vil betyde større indtjening.

En anden løsning Ergonom A/S kan vælge, er at udvide kapaciteten i de kontante

kapacitetsomkostninger. Heri indgår leje af produktionsanlæg. Fordelen ved denne løsning er at de selv står for produktionen og dermed selv kan styre kvaliteten af deres produkter. Da det er en fast omkostning, er den også uafhængig af, hvor mange enheder der bliver produceret på anlægget.

Ligeledes er det en fordel at have lejet anlægget, hvis den f.eks. bliver forældet i form af lovændringer

til f.eks. miljøkrav. Hvis dette skulle ske, kan kontrakten hurtigt opsiges, og Ergonom A/S står derfor
ikke inde med en dyr aktiv som er forældet. Dog er Ergonom A/S ikke særlig udsat for dette problem,

da der ikke stilles særlige krav til kontorstole. Ulempen ved denne løsning er igen at det kan være dyrt på lang sigt, og det i stedet igen kan være en fordel at købe anlægget.

Den sidste løsning Ergonom A/S kan vælge er at udvide ved at køb af nyt produktionsanlæg. Da denne

løsning er en del mere omfattende end de andre, skal der bl.a. laves analyser om den pågældende investering er rentabel, og der skal fastsættes en kalkulationsrente, som er det afkast virksomheden som minimum kræver af investeringen. Denne løsning er en langsigtet god løsning, da anlægget er et engangsbeløb med efterfølgende små udgifter til drift og vedligeholdelse. Derfor vil den i sidste ende være billigere end de andre løsninger, men er til gengæld mere omfattende, og måske for omfattende til nogle udvidelser.

Side 22

Studieretningsprojekt 26. november 2010

18

5. Konklusion

Ud fra de virksomhedsøkonomiske samt matematiske optimeringsanalyser er det største dækningsbidrag på kr. 5.300.000 ved en produktion af 12.000 stk. af RAMO, som sælges til en markedspris på kr. 525, og 20.000 stk. af GIRA, som sælges til en markedspris på kr. 225. I den virksomhedsøkonomiske analyse kan det yderligere konkluderes, at en udvidelse af kapaciteten på

2.000 overarbejdstimer vil forøge dækningsbidraget med kr. 100.000.

Side 23

Studieretningsprojekt 26. november 2010

19

Litteraturliste

Bøger:

Steensen, Sejr m.fl.:. Bind 1. 1. udg. Trojka, 2005.

Virksomhedsøkonomi Niveau A

Steensen, Sejr m.fl.:. Bind 2. 1. udg. Trojka, 2005.

Virksomhedsøkonomi Niveau A

Kristensen, Gustav:. 4. udg. Systime, 1995.

Matematik for økonomer

Malchow-Møller, Nikolaj og Jens Jakob Nordvig-Rasmussen:. 1. udg. Gyldendal,

Matematik og økonomi

2001.

Bregendal, Peter m.fl.:. 1. udg. Systime, 2007.

Mat A hhx

Bregendal, Peter m.fl.: 4. udg. Systime, 2003.

Matematik A.

Hjemmesider:

http://www.jyttemelin.dk/Kvadratisk%20programmering.doc, besøgt 10/10/2010

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Operationsana
lyse_og_matematisk_programmering/kvadratisk_programmering, besøgt 11/10/2010