SOP: Den specielle relativitetsteori & navigation

Side 1

Erhvervsgymnasiet Grindsted

Højere Teknisk Gymnasium

Klasse 336

Matematik A & Fysik A

27-11-2014

Mad͏s Emil Engmarksgaard

Studieretningsprojekt

- Den specielle relativitetsteori og navigation

Mads Emil Engmarksgaard

͏

Side 2

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ II

Abstract

This paper will with a background of non Euclidean mathematics describe the modern naviga-tion system called GPS and the impact Einsteinʼs special theory of relativity has on it. The mathematical background explains spherical coordinates, and deducts the laws of cosines to calculate distances on a sphere. It then takes a look at the physical background for the GPS system, where a method of triangulation is explained. A prerequisite for the GPS system to work is to know the speed of light and that it is constant, therefor a experimental exercise de-termines the speed of light, by looking at time difference of two signals that have travelled different distances. To better understand the implications the special theory of relativity has on the GPS system, the concept of time dilation is accounted for. Based on my previous as-sumptions, the error measurement when looking at the special theory of relativity is calculat-ed. These calculations show that the special theory of relativity is very important for the accu-racy of the GPS system.

͏

Side 3

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ III

Indholdsforte͏gn͏e͏ls͏e

ABSTRACT ͏II

1 ͏INDLED͏N͏IN͏G͏ ͏1

2 ͏SFÆRISK GEOMETRI ͏2

3 ͏SFÆRISKE KOORDINAT͏ER ͏4

3.1 ͏KARTESISKE KOORDINATER TIL SFÆRISKE KOORDINATER ͏4

3.2 ͏SFÆRISKE KOORDINATER TIL KARTESISKE KOORDINATER͏ ͏5

3.3 ͏EKSEMPEL PÅ OMREGNING FRA KARTESISKE TIL SFÆRISKE KOORDINATER ͏5

3.4 ͏COSINUSRELATIONERNE FOR SFÆRISK TRIGONOMETRI ͏5

3.5 ͏SINUSRELATIO͏N͏ER͏N͏E͏ FO͏R͏ SFÆRISK TRIGONOMETRI ͏7

3.6 ͏AFSTANDS BEREGNINGER PÅ JORDEN ͏8

4 ͏SATELLIT BASERET NAVIGA͏TIO͏N͏ ͏10

4.1 ͏TRIANGULERING ͏11

4.2 ͏HVAD ER KLOKKEN? ͏12

4.3 ͏ÅRSAGER TIL USIKKERHEDER ͏12

4.4 ͏GPS MODTAGERENS KOORDINATER ͏12

5 ͏EKSPERIMENTEL MÅLING AF LYSETS HASTIGHED ͏14

5.1 ͏FORSØGETS ANTAGELER OG OPSTILLING ͏14

5.2 ͏VURDERING AF BEREGNING ͏17

6 ͏DEN SPECIELLE RELATIVITETS TEORI ͏18

6.1 ͏TANKEEKSPERIMENT ͏18

6.2 ͏TIDSFORLÆN͏G͏E͏LS͏E T͏E͏O͏RE͏TISK UDLEDNING ͏19

6.3 ͏TIDSFORKOR͏T͏N͏IN͏G͏S B͏E͏TY͏DNING FOR GPS ͏22

7 ͏RELATIVITETSTEORIENS KONSEKVENSER FOR GPS ͏24

8 ͏KILEKRITIK ͏27

9 ͏KONKLUSION ͏28

10 ͏LITTERATURLISTE ͏29

10.1 ͏BØGER ͏29

10.2 ͏INTERNET ͏29

10.3 ͏VIDEO ͏30

10.4 ͏ILLUSTRATIONSLISTE ͏30

Side 4

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ IV

10.5 ͏BAGGRUNDSVIDEN ͏30

10.5.1 ͏INTERNET ͏30

10.5.2 ͏BØGER ͏30

11 ͏BILAG ͏

11.1 ͏BILAG A ͏

11.2 ͏BILAG B ͏

11.3 ͏BILAG C ͏

11.4 ͏BILAG D ͏

Side 5

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 1

1 Ind͏le͏dn͏in͏g͏

Man kan dårligt forstille sig at Albert Einstein, kunne forudse hvor stor betydning hans relati-vitetsteori, ville få for samfundet. Det havde Charles Holland Duell heller ikke. Han var kom-missær på det amerikanske patent kontor, og udtalte i 1902:

”Everything that can be invented has been invented." [1]

Dette var tre år før den specielle relativitetsteori blev fremsat af Einstein. Einstein revolutio-nerede måden, hvorpå vi tænker om tid om rum, hvilket har ført til utallige opfindelser og nye videnskabelige idéer. I 1970ʼerne begyndte amerikanerne at udvikle GPS. Dengang kun til mi-litær brug. GPS er en kæmpe ingeniørmæssig bedrift, der blandt andet bygger på rel͏a͏t͏ivitets-teorien, som må tages hensyn til.

GPS er et stort teknologisk skridt fra at navigere ud fra stjerner og med søkort og sekstanter.

Hvis man har en GPS modtager ved man i dag altid hvor man er, og man kan altid komme der hen hvor man gerne vil. GPS har bundet den nu globaliseret verden sammen.

En forudsætning for GPS er kendskab til geometri på kugleskaller. For at kunne beregne af-stande på en kugleskal, skal man for eksempel kunne hæve trigonometri op fra det flade styk-ke papir og bruge det på en krum overflade.

Satellitbaseret navigation er en kæmpe teknologisk bedrift, som bygger på mange års arbejde med både sfærisk matematik og relativitet i fysik. Disse emner vil i det følgende blive uddybet nærmere, for at opnå en bedre forståelse af deres ͏in͏dflydelse på denne teknologi.

͏

1

Wikipedia (2014) om: Charles Holland Duell: http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Holland_Duell [25-11-2014]

Side 6

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 2

2 Sfærisk geome͏tri

Når man først stifter kendskab til matematik lære man hurtigt at der ikke findes noget, som hedder en ˮtokantˮ og at en trekant altid har en vinkel sum på 180°. Disse antagelser stammer helt tilbage fra det antikke Grækenland. Euklid var den første til at samle datidens matemati-ske tanker i 13 bøger kaldet Elementerne. Værket er det måske vigtigste matematiske værk i historien. Bogen indeholder kun meget få tal, hvor det var nødvendigt, og er uden eksempler.

Dog opstiller han nogle helt centrale postulater for geometri, der helt op til det 19. århundre-de dannede grundlaget for alt matematik [2]. Inden for geometrien formulere Euklid 5 postula-ter, det mest interessante for dette projekt er det af hans 5. Der findes fl͏ere ͏versioner af po-stulatet der ses her på det som optræder i A History of Mathematimatics (2009):

”That, if a straight line intersecting two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two lines, if produced indefi-nitely, meet on that side on which the angles sum to less than two right an-

    3
gles.”

Postulatet siger samtidig at med en ret linje og et punkt, er der en og kun én ret linje som går igennem dette punkt, der er parallel med den første linje. Postlatet ovenfor betyder at med to linjer, der ikke er parallelle begge skæres af en tredje linje, vil linjerne på den side af den tred-je linje hvor vinkelsummen ͏𝛼͏+͏𝛽͏ er mindre en 180° på et tidspunkt skære hinanden i ét punkt. På den side hvor vinkelsummer er større end 180° vil de aldrig mødes. Se Figur 2.1.

Figur 2.1 – Parallelpostulatet af Euklid

Postulatet siger samtidigt, at med en ret linje og et punkt er der én, og kun én, ret linje, som går igennem dette punkt, og er parallel med den første linje.

I det 19. århundrede blev det opdaget, at Euklids postulater ikke gælder på kugleskaller. På grund af Euklids store indflydelse på matematikken, er dette nye område kendt som ikke-euklidisks geometri. Dette er sfærisk geometri – altså geometri på kugleskaller.

2

Bergamini, David. (1967). Matematik. Lademanns͏. s͏. 4͏6͏

3

Katz, J. Victor. (2009). A History of Mathematimatics (3. udg.). Pearson. s. 53

Side 7

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 3

I sfærisk geometri arbejder man ikke med linjer men storcirkler, en cirkel så stor som cirklens diameter, og som ˮkredserˮ om centrum (cirklens plan skærer centrum). Parallelpostulatet bryder her sammen, da storcirkler altid skærer hinanden i to punkter. Desuden er trekanters vinkelsummer afgjort af trekantens areal, dermed kan vinkelsummen i en sfærisk trekant væ-re 180° til 540°.

͏

Side 8

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 4

3 Sfæriske koordinater

Sfæriske koordinater bruges til at beskrive punkter i rummet, men især på kugleskaller. Gene-relt kan man beskrive koordinater i rummet ved: (𝑥,͏𝑦,͏𝑧,͏), men for sfæriske koordinater bru-

                             4
ger man koordinatsættet: [𝜌,͏𝜙,͏𝜃] . Det ses på Figur 3.1, hvordan et punkt i rummet kan be-

skrives med sfæriske koordinater. Fordelen ved sfæriske koordinater er, at punkter på land-jorden kan udtrykkes med sfæriske koordinater med kendskab til længde- og breddegrad for punktet, da jordens radius er (næsten) konstant. Punktets koordinater fås i dag fra GPSʼer.

Figur 3.1 - Et punkt i rummet bekrevet ved sfæriske koordinater.

Når der arbejdes med kugleskaller kaldes 𝜌, som beskriver afstanden fra origo til punktet, ofte 𝑟͏. Vinklen fra den positive z-akse til punktet kaldes 𝜙. Vinklen fra den positive x-akse og til punktet er 𝜃. Dette gøres nemmest ved at projektere punktet ned i 𝑥,͏𝑦 planet [5].

Med udgangspunkt i ovenstående definitioner af 𝜌,͏𝜙 og 𝜃, ses det, at 𝜌͏∈͏[0;͏∞[ , da rummet

kan være uendeligt stort, 𝜙͏∈͏[0;͏180°], da 𝜃͏∈͏[0;͏360°].

3.1 Kartesiske koordinater til sfæriske koordinater

For at beregne 𝜌, bruges Pythagoras læresætning. 𝑟^{2} =͏𝑥^{2} +͏𝑦^{2} +͏𝑧^{2}. De stiplede blå linjer på

Figur 3.1 danner en retvinklet trekant med stykket 𝜌 som hypotenusen. Det nederste stykke 𝑟,

der ligger i 𝑥,͏𝑦 planet, kan ͏desuden beskrives som: 𝑟^{2} =͏𝑥^{2} +͏𝑦^{2} ⇔͏𝑎͏=͏𝑥^{2} +͏𝑦^{2}. Afstanden

fra 𝑥,͏𝑦 planet til punktet 𝑃 er således 𝑧:

𝜌^{2} =͏𝑟^{2} +͏𝑧^{2} =͏𝑥 +͏𝑦^{2} +͏𝑧^{2} =͏𝑥^{2} +͏𝑦^{2} +͏𝑧^{2}

2

2 𝜌 kan findes ved:

4

Adams, Robert A.; Essex, Christopher. (2010). Caluculus, a complete course (7. udg.). Pearson. s. 598

5

Adams, Robert A.; Essex, Christopher: Caluculus, a complete course. s. 598

Side 9

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 5

𝝆͏=͏𝒙^{𝟐} +͏𝒚^{𝟐} +͏𝒙^{𝟐}

For at bestemme 𝜙͏, ͏kan ͏man på͏ Fig͏ur 3.1 indlægge en retvinklet trekant med z-aksen, som den ene katete og stykket 𝜌 som hypotenusen. Vinklen mellem disse stykker beskrives såle-des:

𝐜𝐨𝐬͏ 𝝓͏=

𝒛 𝝆

Eller med 𝑟 som katete mellem hypotenusen 𝜌 og den anden katete 𝑧:

𝐭𝐚𝐧͏𝝓͏=

𝒓 𝒛 𝜃 kan på samme vis beskrives, ved at se på trekanten i 𝑦,͏𝑥 planet:

𝐭𝐚𝐧͏𝜽͏=

𝒚 𝒙

3.2 Sfæriske koordinater til kartesiske koordinater

Sfæriske koordinater kan også omskrives til kartesiske koordinater. Ved samme fremgangs-måde som før kan man med kendskab til retvinklede trekanter udlede at [6]:

𝒙͏=͏𝝆͏·͏𝐬𝐢͏𝐧͏𝝓͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝜽
𝒚͏=͏𝝆͏·͏𝐬𝐢͏𝐧͏𝝓͏·͏𝐬𝐢𝐧͏𝜽
𝒛͏=͏𝝆͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝝓

Da dette bygger på samme teoretiske grundlag som det forrige, vil dette ikke blive uddybet nærmere.

3.3 Eksempel på omregning fra kartesiske til sfæriske koordinater

Punktet 𝑃 er givet som (2,4,6), de sfæriske koordinater bestemmes:

𝜌͏=͏𝑥^{2} +͏𝑦^{2} +͏𝑥^{2} =͏2^{2} +͏4^{2} +͏6^{2} =͏7,48

𝜙͏=͏𝑐𝑜𝑠^{−1} =͏𝑐𝑜𝑠^{−1} =͏36,7°

𝑧 6 𝜌 7,48

𝜃͏=͏𝑡𝑎𝑛^{−1} =͏𝑡𝑎𝑛^{−1} =͏63,4°

𝑦 4 𝑥 2

Det ses at afstanden fra punktet ͏t͏il origo er 7,48 længdeenheder, samt at vinklen mellem den positive z-akse er 36,7°, og vinklen fra den positive x-akse er 63,4°.

3.4 Cosinusrelationerne for sfærisk trigonometri

Ligesom cosinusrelationerne gælder for euklidisk trigonometri, gælder der også nogle sam-menhænge for vilkårlige trekanters sidelængder og tilhørende vinkler på kugleskaller. Disse er forskellige fra dem, der kendes fra euklidisk trigonometri, og vil her blive udledt.

6

Adams, Robert A.; Essex, Christopher: Caluculus, a complete course. s. 598

Side 10

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 6

På Figur 3.2 ses punkterne 𝐴,͏𝐵 og 𝐶, som ligger på kug-leskallens overflade, der har radius 𝑟. Punkterne er pla-ceret således, at 𝐶 er sammenfaldende med nordpolen. 𝐴 er placeret vinkelret (lige over) x-aksen, og 𝐵 er placeret tilfældigt. Mellem disse punkter er trekantens sider 𝑎,͏𝑏 og 𝑐, som ses på figuren. Stykkerne 𝑎,͏𝑏 og 𝑐͏ er også vink-ler - vinklerne mellem stedvektorerne hvis disse indlæg-ges for hvert punkt Aʼs og Bʼs sfæriske koordinater er således:

𝐴:͏[𝑟;͏𝑏;͏0°]

𝐵:͏[𝑟;͏𝑎;͏𝐶]

Figur 3.2 - Punkterne A,B og C danner en sfærisk trekant

𝐶 udtrykker her vinklen mellem 𝑏, der ligger vinkelret på x-aksen, og 𝑎. Med allerede kendte formler kan de sfæriske koordinater omregnes til kartesisk:

𝐴:͏𝑟͏·͏sin͏𝑏͏·͏cos͏0°͏;͏𝑟͏·͏sin͏𝑏͏·͏sin͏0°͏;͏𝑟͏·͏cos͏𝑏͏=͏𝑟͏·͏sin͏𝑏͏;͏0;͏𝑟͏·͏cos͏𝑏͏
𝐵:͏𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏cos͏𝐶͏;͏𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝐶͏;͏𝑟͏·͏cos͏𝑎͏=

Stedvektorerne til 𝐴 og B opstilles let:

𝑂𝐴͏= 0

𝑟͏·͏sin͏𝑏 𝑟͏·͏cos͏𝑏

𝑂𝐵͏= 𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝐶

𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏cos͏𝐶 𝑟͏·͏cos͏𝑎

Vinklen mellem 𝑂𝐴 og 𝑂𝐵 kan findes med formlen for vinklen mellem vektorer:

𝑎͏·͏𝑏͏=͏cos͏𝑣͏·͏𝑎͏·͏𝑏͏

Som tidligere nævnt, er vinklen mellem 𝑂𝐴 og 𝑂𝐵 præcis 𝑐 derfor, desuden er vektorernes længder 𝑟, da punkterne ligger på kugleskal͏lens overflade:

                2
𝑂𝐴͏·͏𝑂𝐵͏=͏cos͏𝑐͏·͏𝑟

Hvis de to vektorer prikkes fås det at:

𝑂𝐴͏·͏𝑂𝐵͏= 0 · 𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝐶

𝑟͏·͏sin͏𝑏 𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏cos͏𝐶 𝑟͏·͏cos͏𝑏 𝑟͏·͏cos͏𝑎

=͏𝑟͏·͏sin͏𝑏͏·͏𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏cos͏𝐶͏+͏0͏·͏𝑟͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝐶͏+͏𝑟͏·͏cos͏𝑏͏·͏𝑟͏·͏cos͏𝑎

   2                   2
=͏𝑟 sin͏𝑏͏·͏sin͏𝑎͏·͏cos͏𝐶͏+͏𝑟 ·͏cos͏𝑏͏·͏cos͏𝑎

Side 11

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 7

Hvis de to udtryk for skalarproduktet sættes lig hinanden, og der divideres med 𝑟^{2} på begge

sidder, fås det:

𝐜𝐨𝐬͏𝒄͏=͏𝐜𝐨𝐬͏𝒂͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝒃͏+͏𝐬𝐢𝐧͏𝒂͏·͏𝐬𝐢𝐧͏𝒃͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝑪
QED^{7}

Det samme kan gøres for siderne 𝑎 og 𝑏, således vil resultatet være:

𝐜𝐨𝐬͏𝒃͏=͏𝐜𝐨𝐬͏𝒂͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝒄͏+͏𝐬𝐢𝐧͏𝒂͏·͏𝐬𝐢𝐧͏𝒄͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝑩
𝐜𝐨𝐬͏𝒂͏=͏𝐜𝐨𝐬͏𝒃͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝒄͏+͏𝐬𝐢𝐧͏𝒃͏·͏𝐬𝐢𝐧͏𝒄͏·͏𝐜𝐨𝐬͏𝑨

3.5 Sinusrelationerne for sfærisk trigonometri

Med udgangspunkt i cosinusrelationerne vil sinusrelationerne blive udledt. Der bliver ikke gjort nogen matematiske antagelser. Grundrelationen vil blive benyttet, men derud over er sinusrelationen blot en omskrivning af cosinusrelationen.

cos͏𝑐͏=͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏+͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏cos͏𝐶

Der flyttes om på leddene:

−͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏cos͏𝐶͏=͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏−͏cos͏𝑐

Begge sider sættes i anden:

                  2                     2
−͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏cos͏𝐶 =͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏−͏cos͏𝑐

⇕

sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} ·͏cos͏𝐶^{2} =͏cos͏𝑎^{2} ·͏cos͏𝑏^{2} +͏cos͏𝑐^{2} −͏2͏·͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏·͏cos͏𝑐

Grundrelationen^{8}: ͏cos͏𝑥^{2} +͏sin͏𝑥^{2} =͏1͏⇔͏cos͏𝑥^{2} =͏1͏−͏sin͏𝑥^{2} benyttes til at omskrive

ovenstående udtryk:

sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} ·͏1͏−͏sin͏𝐶^{2} =

            2            2             2
=͏(1͏−͏sin͏𝑎 )͏·͏(1͏−͏sin͏𝑏 )͏+͏(1͏−͏sin͏𝑐 )͏−͏2͏·͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏·͏cos͏𝑐

Parenteserne ophæves:

sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} −͏sin͏𝐶^{2} ·͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2}
=͏1͏−͏sin͏𝑏^{2} −͏sin͏𝑎^{2} +͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} +͏1͏−͏sin͏𝑐^{2} −͏2͏·͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏

·͏cos͏𝑐

Udstykket reduceres:

7

Lisbeth Fajstrup og Dorthe Nielsen, Aalborg Universitet (2004) om: Sfærisk Geometri:

http://people.math.aau.dk/~fajstrup/UNDERVISNING/GYMNASIE/KORTPROJEKTIONER/Sfaerisk_Geometri_10

09.doc [15-11-2014]

8

Matematik Fessor om: Grundrelationen: https://www.matematikfessor.dk/lessons/grundrelationen-169 [22-

11-2014]

Side 12

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 8

−͏sin͏𝐶^{2} ·͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} =͏2͏−͏sin͏𝑏^{2} −͏sin͏𝑎^{2} −͏sin͏𝑐^{2} −͏2͏·͏cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏·͏cos͏𝑐

Hvis man følger denne procedure, med cosinusrelationerne indeholdende 𝐴 og 𝐵, vil man en-de ud med at have den samme højre side af udtrykket ovenfor. Dette vil ikke blive gennemgå-et, men det fås at:

−͏sin͏𝐶^{2} ·͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} =͏−͏sin͏𝐵^{2} ·͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑐^{2} =͏−͏sin͏𝐴^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} ·͏sin͏𝑐^{2}

Der ganges med −1:

sin͏𝐶^{2} ·͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} =͏sin͏𝐵^{2} ·͏sin͏𝑎^{2} ·͏sin͏𝑐^{2} =͏sin͏𝐴^{2} ·͏sin͏𝑏^{2} ·͏sin͏𝑐^{2}

Det er tilladt at tage kvadratroden til ovenstående udtryk. Da de målte vinkler altid vil være imellem 0°;͏180°, vil sinusværdierne altid være positive:

sin͏𝐶͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏=͏sin͏𝐵͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑐͏=͏sin͏𝐴͏·͏sin͏𝑏͏·͏sin͏𝑐

Nu skal udtrykket bare omrangeres, således det ligner det normale: sin͏𝐶͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏 sin͏𝐵͏·͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑐 sin͏𝐴͏·͏sin͏𝑏͏·͏sin͏𝑐 sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏sin͏𝑐 sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏sin͏𝑐 sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏sin͏𝑐

= =

𝐬𝐢𝐧͏𝑪 𝐬𝐢𝐧͏𝑩 𝐬𝐢𝐧͏𝑨 𝐬𝐢𝐧͏𝒄 𝐬𝐢𝐧͏𝒃 𝐬𝐢𝐧͏𝒂

= =
QED^{9}

3.6 Afstands beregninger på jorden

Der er mange måder og formler at beregne afstanden mellem to punkter på kugleskaller. Her vil der blive taget udgangspunkt i de antagelser, som blev gjort under bestemmelsen af cosi-nusrelationerne. Hvis vinklen mellem to punkter 𝑐 bestemmes i radianer, kan afstanden fin-des ved produktet af vinklen og jordens radius. Med u͏dga͏ngspunkt i cosinusrelationerne kan en mere generel omskrivning fortages.

Hvis et fly skulle flyve direkte fra Billu͏nd til New Zealand, ville den flyve langs en storcirkel

(Bilag A). Billund Lufthavn (A) har koordinaterne: (55,74°;͏ 9,15°), Air New Zealand Link (B)

har koordinaterne ͏−42,71°;͏170,98°͏. Jordens radius er ca. 6371 km^{10}, dette varierer dog, da

jorden ikke er en perfekt sfære. De sfæriske koordinater bliver da:

9

Lisbeth͏ F͏ajs͏tru͏p͏ o͏g͏ D͏or͏th͏e N͏ie͏ls͏en: Sfærisk Geometri

10

Wikipedia (2014) om: Earth radius: http://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius [22-11-2014]

Side 13

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 9

𝐴͏=͏6371;͏90°͏−͏55,74°;͏9,15°͏=͏6371;͏34,26°;͏9,15°͏
𝐵͏=͏6371;͏90°͏−͏−42,71°͏;͏170,98°͏=͏[6371;͏132,71°͏;͏170,98°]

Hvis disse punkter indlægges i Figur 3.2, som hhv. 𝐴 og B, kendes nu 𝑎 og 𝑏. Da punktet 𝐶 er sammenfaldende med nordpolen, er vinklen 𝐶:

𝐶͏=͏170,98°͏−͏9,15°͏=͏161.83°

Med cosinusrelationerne kan 𝑐 b͏eregnes som:

𝑐͏=͏𝑐𝑜𝑠^{−1} cos͏𝑎͏·͏cos͏𝑏͏+͏sin͏𝑎͏·͏sin͏𝑏͏·͏cos͏𝐶͏

⇕

𝑐͏=͏𝑐𝑜𝑠^{−1} cos͏34,26°͏·͏cos͏132,71°͏+͏sin͏34,26°͏·͏sin͏132,71°͏·͏cos͏161,83°͏=͏2,836

Afstanden bliver således:

𝑑͏=͏2,836͏·͏6371 𝑘𝑚͏=͏18,068 𝑘𝑚

Hvilket stemmer overens med data fra Google Maps (Se Bilag A). Det ses af denne udregning at afstand 𝑑, mellem på sfæriske punkter, kan findes ved:

𝒅͏=͏𝐜𝐨𝐬^{−𝟏} (𝐜𝐨𝐬͏𝝓_{𝟏} ·͏𝐜𝐨𝐬͏𝝓_{𝟐} +͏𝐬𝐢𝐧͏𝝓_{𝟏} ·͏𝐬𝐢𝐧͏𝝓_{𝟐} ·͏𝐜𝐨𝐬͏∆𝜽)

͏

Side 14

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 10

4 Satellit baseret navigation

Satellitbaseret navigation har ganske enkelt revolutioneret, hvordan vi lever og bruger mo-derne teknologi. Ikke nok med at vi bruger det til at finde rundt, så kan vi igennem appʼs på vores telefoner, bruge det på løbeturen, når vi bestiller en taxa eller når vi vil fortælle verden hvor vi er. Det bruges også videnskabeligt til at analysere jordskælv ell͏er t͏il bygningsarbejde.

Oprindeligt er GPS dog tiltænkt militære formål.

GPS (Global Positionen System), er udarbejdet og vedligeholdt af det amerikanske militær, US Air Force, oprindeligt til brug under den kolde krig under navet NAVSAT [11]. Fra maj 2000 blev der lukket så meget op for GPS, at det kunne bruges privat. [12]

Der findes i dag andre alternati-ver til GPS under fællesbetegnelsen ˮGlobal Navigation Satellite System (GNSS)ˮ. Endnu er det dog kun amerikanerne og russerne, som har fuldt funktionsdygtige systemer, men europæer-ne arbejder på et system kaldt ˮGalileoˮ. Kineserne arbejder også på et globalt system [13]. Siden vi i dag stadig bruger GPS, er det dette system jeg her kigger på.

GPS er et system bestående af 24 satellitter (plus 3 som backup), hvor mindst 4 altid er synli-ge for GPS modtageren 14. Disse tons tunge satellit͏t͏er drøner 20200 km over jordens overfla-

de med en hastighed på ca. 14.000^{𝑘𝑚}_{𝑡} 15, hvilket gør, at en hel omgang tager 11 timer og 58

minutter. Satellitterne kredser om jorden i 6 baner med fire satellitter i hver. Banerne hælder med 60° i forhold til hinanden.

En GPS satellit udsender konstant et signal med lysets hastighed, der informerer om, hvilken satellit den er, hvor den og de andre satellitter er samt det præcise tidspunkt for signalet. Det-te signal sendes på forskellige frekvensbånd [16].

͏

11

Wikipedia (2014) om: Satellite navigation: http://en.wikipedia.org/wiki/Satellite_navigation [24-11-2014]

12

BBC news (2000) om: Satellite navigation accuracy boosted:

http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/733292.stm [24-11-2014]

13

Jensen, Anna B.O, DTU͏ (͏2͏0͏1͏0͏)͏ o͏m: GPS og Galileo: http://www.kvant.dk/upload/kv-2010-3/kv-2010-3-AJ-

GPS.pdf [24-11-2014]

14

HowStuffWorks om: How GPS Receivers Work: http://electronics.howstuffworks.com/gadgets/travel/gps.htm

[24-11-2014]

15

U.S. Government information om: the Global Positioning System (GP͏S): http://www.gps.gov/systems/gps/space/

[26-11-2014]

16

Wikipedia (2014) om: Global Positioning System: http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System [24-

11-2014]

Side 15

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 11

4.1 Triangulering

En GPS modtager bruger signalet fra satellitten til at se, hvor lang tid signalet har undervejs, dette kan gøres fordi lysets hastighed er konstant. Når man har produktet af lysfarten på

ca. 300 000^{𝑘𝑚}_{𝑠} og tiden, signalet har været undervejs, kender

man afstanden i længdeenheder til satellitten. Med udgangs-punkt i Figur 4.1, kan denne afstand være vist ved den røde cirkel. Men man kan befinde sig, hvilket som helst sted på cirklen. Ved at hæve antallet af modtagne signaler (satellitter) til tre, kan man i planet bestemme ens positioner.

Dette er dog kun gældende i to dimensioner. Teorien er ikke meget forskellig for en rummelig, tre dimensional verden. Eksemplet før er nemt at visualisere - ved at kende afstanden til tre satellitter kan man, ved at tegne cirkler finde hvor man er. Men i virkeligheden udsender satellitten signalet i alle retninger (tre dimensionalt), der ved får man en række sfærer (se Figur 4.2). Hvis man ved man er 10.000 km fra en satellit kan man reelt set være over alt på overfalden af en imaginær sfære med en radius af 10.000 km til satellitten. Har man to signaler, skære sfærerne hinanden i en cirkel, modtageren kan ikke beslutte hvor man er på denne cirkel. Ved hjælp af et signal til, kan med af de afstande der er beregnet (på begrund af signalets information om tid), konkludere, at man må befinde sig et af to mulige steder i rummet. Det ene punkt vil være på jordens overflade, og det andet på vil ikke, ved at lade jorden være den fjerde sfære kan man bestemme sin position, med en GPS modtager. [17] I virkeligheden bruges ofte flere signaler, op ti, der ved bliver positionen mere nøjagtig [18].

17

Perimeter Institute (2011) om: How does GPS work?

https://www.youtube.com/watch?v=_vfzAL5L29Y&index=14&list=WL&spfreload=10&channel=ElectricalRiggs

[24-11-2014]

18

HowStuffWorks: How GPS Receivers Work

Figur 4.2 - Sate͏llitter i rummet

Figur 4.1 - Hvordan GPS beregner ens location

Side 16

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 12

4.2 Hvad er klokken?

For at GPS modtageren kan beregne sin egen position, er der to, den skal vide: hvor satellitten er, og hvor lang tid, det har taget for signalet at nå frem, da dette fortæller om afstanden mel-lem de to. De 24 satellitter bevæger sig i 6 forskellige baner, hvor én omgang om Jorden tager ca. 12 timer. Satellitternes positioner er meget forudsigelige, men den amerikanske hær har j Jordstationer, der konstant korrigerer for eventu͏el͏le fejl i satellittens position [19]. Således ved satellitten altid, hvor den er. Satellitten har også et atomur installeret. Men det har GPS mod-tageren ikke, og det kan derfor virke underligt, hvordan GPS modtageren kan beregne sin po-sition så nøjagtigt, når det er en forudsætning for, at tidsforskellen er præcis ned til et nano-sekund.

Når GPS modtageren først beregner sin position, bruger den sit eget ur. Den sammenholder så de signaler, den får ind og beregner sin position. Til den position ͏k͏an der kun være ét tids-punkt, hvor signalerne blev udsendt, nu kan GPS modtageren stille sit ur og foretage den samme beregning som før – nu med forhøjet nøjagtighed. På den måde er GPS modtagerens ur et (næsten) lige så nøjagtigt ur som GPS satellitterne atomure til 50.000-100.000 dollars.

4.3 Årsager til usikkerheder

Der er flere årsager til, at en GPS modtager kun kan beregne sin position med en vis nøjagtig-hed. Blandt andet er Einsteins relativitetsteori vigtig for, at GPS fungerer, men dette vil der blive set på i et senere afsnit. Systemet antager, at signalet bevæger sig med en konstant ha-stighed, men det er ikke helt sandt. Når signalet bevæger sig igennem troposfæren og specielt igennem ionosfæren, udbreder signalet sig en anelse langsommere. Da hastighedsforkyndel-sen varierer meget, er det svært at tage højde for den. Signalet kan også bl͏ive reflekteret på bygninger. [20] Faktisk er det signal, som bruges af almindelige GPS modtager, savgere end til signal, der bruges til militær brug. Militærets signal er kodet, og ligger på andre frekvens bånd. Dette er et stort område for GPS og de nye systemer som Galileo [21], men det er et områ-des, der ikke vil blive arbejdet videre med her.

4.4 GPS modtagerens koordinater

Når en GPS modtager beregner sin position, gør den det i kraft af længdegrad og breddegrad, der giver et koordinatsæt samt højden fra jordoverfladen. Modtagerens koordinater

                                                            𝑖 𝑖  𝑖
𝑥  ,͏𝑦 og 𝑧 beregnes, som forklaret ud fra satellitternes position ͏𝑥 ,͏𝑦 ,͏𝑧 , samt de hen-
 𝑚  𝑚     𝑚

holdsvise afstande 𝑟^{𝑖} til satellitterne. Dette angives ved:
𝑟_{𝑛} =͏𝑥_{𝑚} −͏𝑥_{𝑛}^{2} +͏𝑦_{𝑚} −͏𝑦_{𝑛}^{2} +͏𝑧_{𝑚} −͏𝑧_{𝑛}^{2}

19

Wikipedia: Satellite navigation

20

HowStuffWorks: How GPS Receivers Work

21

Grimes, Jogn G., US Gov (2007) om GPS PPS performance standard: http://www.gps.gov/technical/ps/2007-

PPS-performance-standard.pdf [27-11-2014]

Side 17

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 13

hvor 𝑛 er nummer satellit. Udtrykket tager dog ikke højde for urfejlen ∆𝑇_{𝑚},i GPS modtageren,

således:

              2           2           2
𝑟 =͏𝑥    −͏𝑥    +͏𝑦  −͏𝑦   +͏𝑧   −͏𝑧   +͏𝑐͏·͏∆𝑇
 𝑛          𝑛      𝑚    𝑛      𝑚    𝑛        𝑚

𝑚

Det er denne ligning GPS modtagerne løser med hensyn til ͏𝑥_{𝑚},͏𝑦_{𝑚},͏𝑧_{𝑚} og ∆𝑇_{𝑚}. Derfor er det

nødvendigt med mindst 4 satellitter (4 ligninger). [22]

͏

22

Jensen, Anna B.O, DTU: GPS og Galileo

Side 18

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 14

5 Eksperimentel måling af lysets hastighed

5.1 Forsøgets antageler og opstilling

Der er lavet et eksperimentelt forsøg, der havde til formål at bestemme lysets hastighed. Ved

lys forstås her al elektromagnetisk stråling. Det vides at lysets hastighed 𝑐͏=͏299 792 485^{𝑚}_{𝑠}^{23}.

                                                                       ∆𝑠
Lysets hastig er absolut og vil være 𝑐 i alle tilfælde. Desuden kender vi formlen 𝑣͏= fra al-
                                                                       ∆𝑡

mindelig mekanik. Derfor er det muligt at bestemme lysets hastighed, ved at måle tidsforskel-len på to lyssignaler, som er udsendt på samme tid, men som skal tilbagelægge forskellige af-stande.

En funktionsgenerator giver en He-Ne laser et savtakket bølgesignal, hvilket gør aflæsningen af afstanden mellem bølgetoppene nemmere. Ved at sætte et gitter foran laseren, bliver laser-strålen spredt, således at et signal kan opsamles af en fotocelle tæt ved laseren. Et andet signal kan ved hjælp af spejle tilbagelægge en større afstand, hvorefter den opsamles af en fotocelle.

Et oscilloskop, der er tilsluttet fotocellerne, kan bruges til at mål tidsforskellen på de to signa-ler. Heraf kan lysets hastighed bestemmes.

Udover ovennævnte apparatur, skal der foran hver fotocelle og spejlet bruges en samlelinse, for at undgå at signalet spredes, hvilket mindsker intensiteten og besværliggør aflæsning af det savtakkede signals toppunktet. Alt apparatur placeres sikkert på jorden med diverse sta-tiver. Opstillingen af forsøget kan ses på Figur 5.1.

Figur 5.1 - Forsøgsopstilling

23

Den store danske (2014), om: lyshastighed͏e͏n:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Mål_og_vægt/lyshastigheden [17-15-2014]

Side 19

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 15

Forsøget blev udført i kælderen på Grindsted Gymnasium (se Figur 5.2) og blev opstillet såle-

des, at 𝑥_{1} og 𝑥_{2} var lige lange. Der blev, for at tage hensyn til elektronik forsinkelser, lavet må-

linger ved forskellige afstande til fotocelle B. Desuden blev der lavet flere dataserier, for at kunne finde et mere sikkert gennemsnit.

Da der blev benyttet et PC-oscilloskop, kunne data behandles digitalt. Databehandlingen va͏r ͏en besværlig proces, da funktionsgeneratoren hav-de givet signalet et savtakket udseende, og der kunne derfor ikke laves en regression over punktserien. Det var heller ikke muligt at lave en polynomisk regression. Data blev indsat elektro-nisk i et koordinatsystem (se Bilag D), hvorved toppunktet af signalet kunne bestemmes manu-elt. Toppunktet blev bestemt ud fra, at det er lo-kalt maksimum samt at det er symmetrisk place-ret i forhold til de lokale minima. Selvom meget støj blev elimineret ved finjustering, kunne det ikke undgås, at der var støj i signalet, og dette besværliggjorde aflæsningen. Det estimeres at

aflæsningen kan indeholde fejl til ±0,15 𝑢𝑠, hvil-

ket kan betyde afvigelser på helt op til 25%. Nog-le signaler er påvirket af støj fra enten laser eller funktionsgenerator. Dette betyder endnu højere mulige afvigelser. På Figur 5.3 ses det, hvordan data blev aflæst, og hvordan støj besværliggør aflæsningen. Se Bilag C for flere grafer påvirket at meget støj, fra før forsøget blev finjusteret.

Figur 5.2 - Forsøgsopstilling i kælderen, funktionsge-nerator og oscilloskop er bag kamret.

Side 20

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 16

Figur 5.3 - Databehandling af forsøgsdata, støj besværliggøre aflæsningen.

Da afstanden i x-værdi mellem toppunkterne fra de to måleserier (fotoceller) udtrykker tids-forsinkelsen, kunne lysets hastighed bestemmes ved:

𝑣͏=

∆𝑠

∆𝑡

Desuden kunne afvigelsen fra lysets reelle ͏ha͏stighed findes ved:

𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑣𝑖𝑠𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒͏= ·͏100%

𝑣͏−͏𝑐 𝑐

I Tabel 5.1 er alle målinger og udregninger anført (alle målinger kan ses i Bilag B).

Måling Beregnet ha- Afvigelse fra nr.: stighed, 𝒗 𝒄

Afstand, ∆𝒔 Tidsforskel, ∆𝒕

𝟏 141,4 𝑚 0,54 𝑢𝑠 262 971 917 −12%

𝑚 𝑠

𝟐 141,4 𝑚 0,75 𝑢𝑠 188 357 533 −37%

𝑚 𝑠

𝟑 121,4 𝑚 0,45 𝑢𝑠 267 165 492 −11%

𝑚 𝑠

𝟒 121,4 𝑚 0,46 𝑢𝑠 266 578 832 −11%

𝑚 𝑠

𝟓 121,4 𝑚 0,36 𝑢𝑠 314 589 271 5% 𝑚 𝑠

𝟔 101,4 𝑚 0,57 𝑢𝑠 292 134 831 −2,5%

𝑚 𝑠

Side 21

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 17

𝟕 101,4 𝑚 0,32 𝑢𝑠 310 281 517 3% 𝑚 𝑠

𝟖 101,4 𝑚 0,33 𝑢𝑠 307 272 727 2% 𝑚 𝑠

Gns. 276 169 015 −8%

𝑚 𝑠

Tabel 5.1

5.2 Vurdering af beregning

Den gennemsnittelige afvigelse er altså −8%, hvilket giver at lysets hastighed er målt til
276 169 015^{𝑚}_{𝑠}. Dette er meget acceptabelt. Den store usikkerhed ved aflæsning af data, grun-

det støj på signalet samt eventuelle elektroniske forsinkelser, er højest sandsynlig skyld i denne afvigelse. Det bør dog nævnes, at lyset bevæger sig langsommere i luft og gennem glas-linserne end i vakuum, men dette giver kun en afvigelse på 0,03%, hvilket er irrelevant.

Det tager os mennesker en rum tid at tilbagelægge 141 meter. Det er derfor svært at forholde sig til, at lyset kan tilbagelægge denne afstand på omkring 0,4 milliontedele sekund. Det un-derstreger kun, hvor stor en teknologisk bedrift GPS er. ͏

Side 22

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 18

6 Den specielle relativitets teori

Albert Einstein (1879-1955) fremsatte i 1905 en banebrydende ny teori, der i dag er kendt som den specielle relativitets teori. Einstein var drevet af at finde en universel lov for fysik-ken. Dette lykkedes ham aldrig rigtigt, men han var på rette vej, med hans almene relativitets-teori. Denne teori er dog noget mere kompliceret, men forklarer blandt andet hvordan tyng-defelter krummer rumtid. Her vil der kun blive fokuseret på den specielle relativitetsteori.

Einstein er den måske mest kendte videnskabsmand nogensinde – på nær måske Newton.

Hans teorier har haft en kæmpe betydning for verden. I hælene på hans teorier, fulgte en vi-denskabelig revolution, der omfatter computeren og kvantemekanikken. Einsteins relativi-tetsteori er en af de bedst bekræftede love i fysikken. Den specielle relativitetsteori erstatter den opfattelse af tid og rum, som Newton gav os i 1687 [24], og bruger Maxwells lininger til at komme til nye erkendelser om tid og rum [25].

Relativitetsteorien tager egentlig udgangspunkt i, at der er noget, som ikke er relativt, nemlig lysets hastighed. Einstein udnytter, ligesom GPS, at lysets hastighed er konstant. At 𝑐 er kon-stant er det ene af de to postulater relativitetsteorien bygger på. Det andet siger, at de samme fysiske love må gælde for to systemer i jævn bevægelse. Med dette som udgangspunkt omde-finerer Einstein, hvad vi tænker om tid. Idet han siger, at der ikke findes absolut tid, men at vi kan bevæge os med forskellige hastigheder i den 4. tidsdimension, som vi kan i de tre andre dimensioner. Det skal senere vise sig, at hvor hurtigt vi bevæger os i tid, afhænger af hvor hur-

tigt vi bevæger og i rum^{26}.

6.1 Tankeeksperiment

Einstein brugte gerne tankeeksempler til at illustrere hans tanker. Følgende er min version af et kendt tankeeksperiment: Einsteins togeksperiment. Tankeeksperimentet beskriver begre-bet ʼegen tidʼ og ʼsamtidighedʼ.

Vi forestiller os et tog, som kører meget hurtigt (se Figur 6.1). Et lyn slår ned i hver ende af toget og rammer tog og togskinner, lige som det kører forbi Anders. For Anders, der står stille, så det ud som at lynene slog ned samtidig, og da han opmåler afstanden til der, hvor lynene slog ned, kan han se, at han stod lige midt for nedslagene. Med den viden vi har om lys, er det derfor ikke mærkeligt at Anders så lysglimtene på samme tid.

24

Wikipedia (2014) om: Philosoph͏iæ͏ Naturalis Princip͏ia Mathematica͏:

http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophiæ_Naturalis_Principia_Mathematica [25-11-2014]

25

Wikipedia (2014) om: speciel relativitetsteori: http://da.wikipedia.org/wiki/Speciel_relativitetsteori [25-11-

2014]

26

Holck, Per; Kraaer, Jens; Merci Lund, Birgitte. (2007). Orbit A, htx (1. udg.) SYSTIME.

Side 23

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 19

Hvad Anders ikke ved, er, at Bente sidder i det kørende tog. Hun passerer Anders i det øjeblik, han ser lysglimtene, således ser hun dem også. Hun befinder sig i et tog, som kører med kon-stant hastighed. Da toget har bevæget sig fra da lynet slog ned, sidder hun tættere på bagen-den. Bente er klar over at lysets udbredelses ha͏st͏ighed er 𝑐, og da hun er tættere på bagenden, vil hun argumentere for, at lynet først slog ned i forenden og siden bagenden, således passer det med, at hun så lysglimtet samtidigt.

Figur 6.1 - To lyn rammer toget, både Anders og Bente observere dette, men fra forskellige perspektiver Men hvem har så ret? Anders siger, de slog ned samtidigt. Det er det han kan se, men Bente kan se, at lynet må have slået ned foran først. Relativitetsteorien siger at:

ˮTo begivenheder (to lynnedslag) som er samtidige for én iagttager, behøver ikke være det for en anden iagttager. Tid er altså en relativ størrelse.” [27]

Det viser sig desuden, at det ikke kun er tiden for begivenheden, de ikke kan blive enige om.

Heller ikke længden af toget kan de blive enige om. Den specielle relativitetsteori beskæftiger sig med to fænomener: tidsforlængelse og længdeforkortelse. Længdeforkortelse vil ikke blive uddybet nærmere, da det ikke har nogen betydninger for GPS-navigation.

6.2 Tidsforlængelse teoretisk udledning

I det følgende vil tidsforlængelse blive udledt teoretisk. Udledningen bygger på den konse-kvens af relativitetsteorien, at et ur i bevægelse går relativt langsomt i forhold til et stillestå-ende ur. Udledningen bygger på idéen om et lysur, hvori lyset bevæger sig med farten 𝑐.

27

Holck, Per; Kraaer, Jens; Merci Lund, Birgitte, Orbit A. s. 301

Side 24

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 20

Figur 6.2 - Lysur, til venstre i hvile, til højre i bevægelse.

Idéen med lysuret er, at en lyskilde bevæger sig frem og tilbage mellem de to spejle (mærke-ret sort). På Figur 6.2 ses et stillestående lysur til͏ ͏venstre. Tiden, det tager for lyssignalet at bevæge sig fra det nederst spejl til det øverste og tilbage igen, kan udtrykkes ved almindelig mekanik:

𝑡͏=

𝑠 𝑣

Mere nøjagtigt for lysuret, som er 𝐿͏ høj:

𝑇_{0} =

2𝐿 𝑐

Hvis det samme system sættes i bevægelse med hastigheden 𝑣, således at systemet bevæger sig 2𝑠͏ til͏ højre, er sammenhængen mellem afsta͏nden, systemet har bevæget sig, farten og p͏e-rioden:

2𝑠͏=͏𝑣͏·͏𝑇

Hvilket er bestemt ud fra at:

𝑠͏=͏𝑣͏·͏𝑡

Signalet bevæger sig langs den røde linje til højre på Figur 6.2. Den røde linje ℎ er hypotenu-sen til den ligebenet trekant med højden L og grundlinjen 2s. Således er sammenhængen mel-lem den afstand, lyset tilbagelægger 2ℎ til perioden og lysets fart:

2ℎ͏=͏𝑐͏·͏𝑇

Hvis Pythagoras bruges til at beskrive den retvinklede trekant (med grundlinjen s):

𝑎^{2} +͏𝑏^{2} =͏𝑐^{2}

For denne specifikke trekant:

𝑠^{2} +͏𝐿^{2} =͏ℎ^{2}

Det kan dog skrives anderledes, ved at ta͏g͏e udgangspunkt i de ovenstående antagelser:

Side 25

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 21

2𝑠͏=͏𝑣͏·͏𝑇͏⇔͏𝑠͏=

𝑣𝑇

2

2ℎ͏=͏𝑐͏·͏𝑇͏⇔͏ℎ͏=

𝑐𝑇

2

𝑇_{0} = ⇔͏𝐿͏=

2𝐿 𝑇_{0} 𝑐

𝑐 2

Altså:

𝑣𝑇^{2} 𝑇_{0} 𝑐^{2} 𝑐𝑇^{2}

2 2 2

+ =

Således gøres der rede for at sammenhængen mellem 𝑇͏ og ͏𝑣,͏𝑐 og 𝑇_{𝑜} er som følger:
𝑇͏=͏𝑇_{0}

1

1͏−
     2

𝑣^{2}

𝑐

Der tages udgangspunkt i:

𝑣𝑇^{2} 𝑇_{0} 𝑐^{2} 𝑐𝑇^{2}

2 2 2

+ =

Parenteserne ophæves:

𝑣^{2} 𝑇^{2} 𝑇_{0}^{2} 𝑐^{2} 𝑐^{2} 𝑇^{2}

4 4 4

+ =

Der ganges med 4:

𝑣^{2} 𝑇^{2} +͏𝑇_{0}^{2} 𝑐^{2} =͏𝑐^{2} 𝑇^{2}

Herefter samles 𝑇ʼerne på den ene side:

𝑇_{0}^{2} 𝑐^{2} =͏𝑐^{2} 𝑇^{2} −͏𝑣^{2} 𝑇^{2}
Der divideres med 𝑐^{2}:

𝑇_{0}^{2} =

𝑐^{2} 𝑇^{2} −͏𝑣^{2} 𝑇^{2}
𝑐^{2}

⇕

𝑇_{0}^{2} =͏𝑇^{2} − ·͏𝑇^{2}

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝑇 sættes uden for en parentes:

𝑇_{0}^{2} =͏𝑇^{2} − ·͏1͏

𝑣^{2}
𝑐^{2}

Udtrykket i parentesen deles på begge sider:

Side 26

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 22

𝑇_{0}^{2}

−   ·͏1
   2

𝑣^{2}

𝑐

=͏𝑇^{2}

⇕

𝑇^{2} =͏𝑇_{0}^{2}

1

1͏−
     2

𝑣^{2}

𝑐

Kvadratroden tages til begge sider:

𝑻͏=͏𝑻_{𝟎}

𝟏

𝟏͏−
     𝟐

𝒗^{𝟐}

𝒄

QED^{28}
Dette beskriver sammenhængen mellem perioden på et ur i hvile (𝑇_{0}) og et ur i bevægelse

(𝑇). Det kan heraf ses, at alt afhængig af farten, går uret i bevægelse langsommere end et ur i

hvile. Hvis 𝑣 er meget tæt på 𝑐 (𝑣 kan aldrig være lig 𝑐, da dette i henholdt til 𝐸͏=͏𝑚𝑐^{2} vil kræ-
ve en uendelig stor energi) er brøken^{𝟏}_{𝟐} meget stor. En periode for lysuret vil således være

   𝒗
𝟏−
    𝟐
   𝒄

meget lang, derfor bevæger tiden sig langsom.

Brøken, der relaterer 𝑇 og 𝑇_{0}, er et mål for, hvor meget langsommere tiden går for et ur i be-

vægelse. Denne faktor kaldes 𝛾 (ˮgammaˮ):

𝑇͏=͏𝑇_{0} 𝛾

hvor:

𝛾͏=

1

1͏−
    2

𝑣^{2}

𝑐

Denne udledning bygger på et hypotetisk lysur, men tidsforlængelsen, som den er beskrevet ovenfor, er alment gældende for objekter i bevægelse. Tidsforlængelse skal ses relativt i for-hold til at være i hvile.

6.3 Tidsforkortnings betydning for GPS

Det er netop blevet udledt, at tidsforl͏æ͏ngelsen 𝑇 afhænger af hastighed. Det blev i afsnit 4

nævnt, at en satellit bevæger sig med 14.000^{𝑘𝑚}_{𝑡}. Der vil i næste afsnit blive gjort beregninger

af tidsforlængelsen og dens betydning for GPS nøjagtighed. Her konkluderes det blot, at dette er en høj nok fart til at have radikal betydning for GPS systemet. De atomure, som er installe-ret i satellitterne, er indstillet sål͏edes,͏ at de tager højde for den specielle relativitetsteori, og

28

Uggerhøj, Ulrik I., Institut for Fysik og Astronomi, Århus universitet, lysuret i den specielle relativitetsteori.

Side 27

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 23 går lige så hurtigt som et almindeligt atomur på jorden [29]. Hvis man tog en satellit ned på Jor-den, ville dens ur således gå hurtigere på grund af den specielle relativitetsteori. Men samlet set ville satellittens ur gå langsommere på grund af almen relativitetsteori. Dette vil dog ikke blive forklaret yderligere. Tidsforlængelsen har ikke betydning for GPS modtageren, da den hele tiden stiller sit eget ur efter satellitten, og en modtager sjældent vil bevæge sig hurtigere

end 130^{𝑘𝑚}_{𝑡}, hvilket ikke har nogen målbar betydning i forhold til andre usikkerhedsfaktorer.

͏

29

Perimeter Institute om: How does GPS work?

Side 28

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 24

7 Relativitetsteoriens konsekve͏nse͏r for G͏PS͏

Som det før er nævnt, er det vigtigt at man tager højde for relativitetsteoriens konsekvenser i forhold til tidsforlængelse, hvis man skal have et GPS system, som giver nøjagtige resultater.

Ved at benytte de to postulater, den͏ specielle relativitetsteori bygger på, blev der i afsnittet ovenfor udledt et udtryk for tidsforlængelse. Hvis man vil se på den tidsforskel ∆𝑡, der er mel-

lem to identiske atomure, ét på Jorden med tiden 𝑇_{0} og ét i en satellit i kredsløb om Jorden

med tiden 𝑇, kan man opstille udtrykket:

∆𝑡͏=͏𝑇_{𝑜} −͏𝑇

Eller med det relativistiske udtryk for 𝑇:

∆𝑡͏=͏𝑇_{𝑜} −͏𝑇_{0} ·͏𝛾

⇕

∆𝑡͏=͏𝑇_{0} 1͏−͏𝛾͏

Præcisionsusikkerheden 𝑠 er et produkt mellem tidsforskellen og lysets hastighed:

𝑠͏=͏∆𝑡͏·͏𝑐

⇕

𝑠͏=͏𝑇_{0} 1͏−͏𝛾͏·͏𝑐

Denne præcisionsusikkerhed eller fejlafstand må være afhængig af tid, da tiden på grund af

speciel relativitetsteori går langsommere, så ∆𝑡 stiger med tiden. Således bliver 𝑇 den uaf-
                                                                     0

hængige variabel:

𝒔͏𝑻_{𝟎} =͏𝑻_{𝟎} 𝟏͏−͏𝜸͏·͏𝒄

For at kunne vurdere denne fejlafstand ͏sk͏al konstanten 𝛾 bestemmes, men først den ha-stighed satellitten bevæger sig ved. Det antages a͏t͏ satellitten foretager jævncirkelbevægelse i et centralt tyngdefelt. Afstanden fra satellitten til Jordens massemidtpunkt er tilnærmelses-tvist:

𝑟͏=͏6371 𝑘𝑚͏+͏20200 𝑘𝑚͏=͏26571͏·͏10^{3} 𝑚

At en satellit bruger 11 timer og 58 minutter på en omgang, i sekunder:

𝑇͏=͏(11͏·͏60͏·͏60)𝑠͏+͏58͏·͏60͏𝑠͏=͏43080𝑠

Side 29

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 25

Satellittens hastighed beregnes:

𝑣͏= = =͏3875

                   3
2𝜋𝑟   2𝜋͏·͏26571͏·͏10 𝑚      𝑚

𝑇 43080𝑠 𝑠

Herudfra kan 𝛾 bestemmes:

𝛾͏= = =

1 1 8

1͏−
     2

𝑣^{2}

𝑐 𝑠

1͏−

3875

𝑚^{2}

8

𝑚^{2}

𝑠

9

∆𝑡 beregnes:

∆𝑡͏=͏86400𝑠͏·͏1͏− =͏−7.217 µ𝑠

8

9

På en dag går atom uret altså forkert med −7 µ𝑠. Dette stemmer overens med data fra Perime-

ter Institute [30]. Det bør dog noteres at generel relativitetsteori har en større indflydelse, som

gør, at uret går +45 µ𝑠 hurtigere end et tilsvarende ur på jorden.

Præcisionsusikkerheden 𝑠,͏ som afhængig variabel͏ af tiden 𝑇
                                                   0

, kan således også udtrykkes som:

𝑠͏𝑇_{0} =͏𝑇_{0} 1͏− ·͏8

8 𝑚

9 𝑠

Efter et døgn (24͏·͏60͏·͏60)͏=͏86400𝑠 er afstandsforskydningen:

𝑠͏=͏86400𝑠͏·͏1͏− ·͏8 =͏−2164 𝑚

8 𝑚

9 𝑠

Efter blot et døgn, hvor der ikke er taget højde for specielrelativitetsteori, er GPS systemet upræcis med over 2 km. Det er altså allerede nu ganske ubrugeligt.

Nogle GPS modtagere oplyser ens koordinater direkte med en præcisionsusikkerhed på

2164 𝑚 beregnes det nu hvor meget ens position ville afvige i længde- breddegrader.

Først skal jordens omkredskendes:

𝑂͏=͏2𝜋͏·͏6371 𝑘𝑚͏=͏40030 𝑘𝑚

30

Perimeter Institute om: How does GPS work?

Side 30

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 26

Jorden er inddelt i 360 længdegrader og 180 breddegrader. Det første koordinat, som angiver, hvor langt nord eller syd man er (breddegrader), vil blive upræcist med:

180°͏·͏2164 𝑚

40030͏·͏10^{3} 𝑚

=͏0,0097°

Øst/vest koordinatet (længdegrader) upræcist med:

360°͏·͏2164 𝑚

40030͏·͏10^{3} 𝑚

=͏0,0195°

Hvis der ikke tages højde for relativitetsteorien, får man altså alene efter én dag, en afvigelse i bredde- og længdegrad på (0,0097° ;͏0,0195°). Disse afvigelser i længde- og breddegrader kan

også udtrykkes ved 𝑠͏𝑇_{0}:

𝑏𝑟𝑒𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟:

180°͏·͏𝑠͏(𝑇 )
        0

40030͏·͏10^{3} 𝑚

𝑙æ𝑛𝑔𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑒𝑟:

360°͏·͏𝑠͏(𝑇 )
        0

40030͏·͏10^{3} 𝑚

Det bliver af disse udregninger klart, a͏t͏ det er vigtigt, at korrigere for den specielle relativi-tetsteori. Hvis der ikke korrigeres, bliver GPS decideret ubrugeligt.

͏

Side 31

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 27

8 Kilekritik

Det er forsøgt at bruge så mange forskellige kilder som muligt. Ikke alle kilder er brugt direk-te, men danner baggrund for min viden om et emne. Websteder som Wikipedia og YouTube er et godt sted at begynde sin informationssøgning, men de bør eftertjekkes for deres trovær-dighed. Wikipedia er først og fremmet brugt som et oplagsværk for citater eller udgivelsesår på bøger. Fakta som nemt verificeres. Hjemmesider, der har økonomisk fordel af visse stand-punkter, er undgået, hvorimod informationssøgningen er spredt godt ud over forskellige kil-der, der således kunne holdes op mod hinanden. Hele tiden er afsenderens troværdighed vur-deret. Hvor det kunne ses, at kilden havde forbindelser t͏il͏ højere uddannelsesinstitutioner, blev troværdigheden vurderet høj. Dette er gældende for eksempelvis de benyttede bøger. Et andet mål for kildens troværdighed er opsætning og generel grundighed. Eksempelvis er hjemmesiden HowStuffWorks.com en anerkendt, populærvidenskabelig hjemmeside. Generelt vurderer jeg Wikipedias troværdighed høj, fordi den dynamisk og konstant er tilrettet for fejl.

Ofte er påstande også understøttet af eksterne henvisninger. Brugen af Wikipedia er dog for-søgt begrænset for at sprede informationsøgningen.

͏

Side 32

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 28

9 Konklusion

Navigation er blevet gjort meget nemmer med GPS. GPS er bassalt set let at forstå, når man kender til sfærisk geometri og triangulering, men det er ikke helt gjort med det. Først og fremmest må man kende lysets fart, som i et forsøg i forbindelse med denne rapport blev be-

stemt med en afvigelse på kun −8%. Både GPS og specielrelativitets teori bygger på at lysets

fart er konstant. En GPS modtager beregner sin position ved at sammen holde signaler fra fire eller flere satellitter, men tager man ikke højde for den specielle relativitets teori fu͏ngere ͏sy-stemet ikke. Speciel relativitets fortæller at tiden går relativt langsommere for objekter i be-vægelse. Tidsforkortelsen er ganske afgørende for hvorvidt GPS systemet kan være nøjagtigt.

Som beregninger viser er afvigelserne for positions bestemmelse, ganske høje hvis der blandt andre fejl kilder ikke tage højde for speciel relativitets teori. Selv om speciel relativitets teori er en ny teori, i forhold til Newtons mekanik, har den allerede ændret verden radikalt. Kun fremtiden kan vise hvad den næste store videnskabelige opdagelse bliver.

͏

Side 33

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 29

10 Litteraturliste

10.1 Bøger

Katz, J. Victor. (2009). A History of Mathematimatics (3. udg.). Pearson. s. 50-53, 833-845 Adams, Robert A.; Essex, Christopher. (2010). Caluculus, a complete course (7. udg.). Pearson.

Bergamini, David. (1967). Matematik. Lademanns. s. 46

Holck, Per; Kraaer, Jens; Merci Lund, Birgit͏te. (2007). Orbit A, htx (1. udg.) SYSTIME. s. 298-

314

10.2 Internet

Den store danske (2014), om: lyshastigheden:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Mål͏_og_væ͏gt͏/l͏yshastigheden

[17-15-2014]

Lisbeth Fajstrup og Dorthe Nielsen, Aalborg Universitet (2004) om: Sfærisk Geometri:

http://people.math.aau.dk/~fajstrup/UNDERVISNING/GYMNASIE/KORTPROJEKTIONER/S

faerisk_Geometri_1009.doc [15-11-2014]

Matematik Fessor om: Grundrelationen:

https://www.matematikfessor.dk/lessons/grundrelationen-169 [22-11-2014]
Wikipedia (2014) om: Earth radius: http://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius [22-11-2014]
Wikipedia (2014) om: Satellite navigation: http://en.wikipedia.org/wiki/Satellite_navigation

[24-11-2014]

BBC news (2000) om: Satellite navigation accuracy boosted:

http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/733292.stm [24-11-2014]
Jensen, Anna B.O, DTU (2010) om: GPS og Galileo: http://www.kvant.dk/upload/kv-2010-3/kv-

2010-3-AJ-GPS.pdf [24-11-2014]

HowStuffWorks om: How GPS Receivers Work:

http://electronics.howstuffworks.com/gadgets/travel/gps.htm [24-11-2014]

Wikipedia (2014) om: Global Positioning System:

http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System [24-11-2014]

Wikipedia (2014) om: Speciel relativitetsteori:

http://da.wikipedia.org/wiki/Speciel_relativitetsteori [25-11-2014]

Wikipedia (2014) om: Philosophiæ Naturalis Principia: Mathematica:

http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophiæ_Naturalis_Principia_Mathematica [25-11-2014]

Grimes, Jogn G., US Gov (2007) om GPS PPS performance standard:

http://www.gps.gov/technical/ps/2007-PPS-performance-standard.pdf [27-11-2014]

Side 34

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏

HTx 336

͏ ͏ ͏ 30

10.3 Video

Perimeter Institute (2011) om: How does GPS work?

https://www.youtube.com/watch?v=_vfzAL5L29Y&index=14&list=WL&spfreload=10&chan
nel=ElectricalRiggs [24-11-2014]

10.4 Illustrationsliste

Hvor intet er nævnt tilhøre illustrationerne Mads Emil Engma͏rksgaard.

Forside: http://www.gps.gov/multimedia/images/constellation.jpg
Figur 2.1: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Parallel_postulate_en.svg

Figur 3.1: Adams, Robert A.; Essex, Christopher. (2010). Caluculus, a complete course (7. udg.).

Pearson. s. 598.

Figur 3.2: http://people.math.aau.dk/~fajstrup/UNDERVISNING/GYMNASIE/KORTPROJEKTI
ONER/Sfaerisk_Geometri_1009.doc
Figur 4.1:http://www.physics.org/article-questions.asp?id=55
Figur 4.2: http://gauss.gge.unb.cagpsworld/EarlyInnovationColumns/Innov.1991.07-08.pdf

Figur 6.1:Holck, Per; Kraaer, Jens; Merci Lund, Birg͏itte. (2007). Orbit A, htx (1. udg.) SYSTIME.

s. 299

Figur 6.2: http://rpec.co.uk/rpec_new/pages/pics/einstein7.jpg

10.5 Baggrundsviden

10.5.1 Internet

Den store danske (2009) om: Sfærisk geometri:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Ele
mentær_rumgeometri_og_projektionstegning/sfærisk_geometri [15-11-2014]

Wikipedia (2013) om: Kartesisk koordinatsystem:

http://da.wikipedia.org/wiki/Kartesisk_koordinatsystem [15-11-2014]

Frividen om: Sfæriske Koordinater:

http://www.frividen.dk/default.aspx?catid=1c615c66-d4af-4002-a68b-
63139cbefb73&TABID=67

Rummet om: Satellitnavigation:

http://www.rummet.dk/rumfart/satellitter/satellitnavigation [23-11-2014]

Physica.org om: How does GPS work?:

http://www.physics.org/article-questions.asp?id=55

10.5.2 Bøger

Davis, Philip J.; Hersh, Reuben Hersh. (1998). The Mathematical Experience (1. udg.). Mariner Books.

Side 35

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏Bilag

HTx 336

͏ ͏ ͏

11 Bilag

11.1 Bilag A

Side 36

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏Bilag

HTx 336

͏ ͏ ͏

11.2 Bilag B

Ved 141,4 m.

Ved 121,4 m.

Side 37

Bilag

0.1V    0.1V    2us
1
2

0.1V    0.1V    2us
2
1

Side 38

Bilag

0.1V    0.1V    2us
2
1

Ved 101,4 m

0.1V    0.1V    2us
1
2

Side 39

Bilag

0.1V    0.1V    2us
1
2

0.1V    0.1V    2us
2
1

Side 40

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏Bilag

HTx 336

͏ ͏ ͏

11.3 Bilag C

Disse grafer er påvirket at meget støj. Den blågraf er signalet for den fotocelle hvor lyset hav-de været på den korte tur. Sidenhen vidste det sig a͏t͏ for ringe lysintensiteten var skyld i disse afvigelser.

͏

Side 41

Mads Emil Engmarksgaard ͏ ͏Bilag

HTx 336

͏ ͏ ͏

11.4 Bilag D

Toppunkterne bestemmes manuelt i Graph