SRO: Valgsystemer, D'Hondt'ske metode | Matematik B Samfundsfag B

Side 1

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 1 af 10

Indholdsfortegnelse

Abstract | Side 2
Indledning | Side 2

Redegørelse | Side 2-3

D’Hondts metode og Største Brøks metode Side 3

Sammenligning af fordelingsmetoder | Side 3-5
Geometrisk forklaring samt Alabamaparadokset | Side 5-6
Mandatfordeling af meningsmåling | Side 7-8
Diskussion | Side 8-9

Konklusion | Side 9

Litteraturliste Side 10

Side 2

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 2 af 10

Valgsystemer

Abstract

In this task I have worked with different kinds of electoral systems, below their advantages and disadvantages. Furthermore I have worked with two different distribution methods, as well as the problems that may arise on the way, such as the Alabama paradox. Here I have used mathematics as a explanation. Finally, I used the above knowledge to discuss the electoral systems’ democratic representatively as well as management efficiency.

Indledning

Man skulle umiddelbart tro at der måtte være én smart måde, hvorpå en mandatfordeling mellem flere partier kunne fortages, der kunne gøres brug af i hele verdenen. Dette viser sig ikke at være tilfældet. Der findes for det første forskellige valgsystem, og for det andet findes der forskellige fordelingsmetoder under disse valgsystemer. Hver at disse valgsystemer og fordelingsmetoder har sine fordele og ulemper, og jeg vil i følgende opgave, blandt andet med hjælp fra matematikken, belyse disse. Afslutningsvis vil jeg diskutere valgsystemerne med henblik på demokratisk repræ-sentativitet samt styremæssigt effektivitet.

Redegørelse af flertalsvalg i enkeltmandskredse og forholdstalsvalg

I følgende afsnit vil jeg sætte specielt fokus på to forskellige valgsystemer, samt to underordnede metoder til det ene valgsystem.

Flertalsvalg i enkeltmandskredse er en måde at fordele mandater på, der kræver at et land er op-delt i valgkredse. Eksempelvis USA, som er opdelt i stater, der hver er en valgkreds. Hvis der i en valgkreds blot stiller to kandidater op, gælder det for kandidaterne om at få over 50 % af stem-merne. Det gælder altså helt enkelt om at få flest stemmer. Dette kaldes ”first-past-the-post”, hvor de resterende stemmer vil bortfalde helt, og de der ikke vinder altså taber alt, og intet får ud af valget. Det parti der har vundet i flest stater, har så vundet det samlede valg. Et eksempel på at der kun findes én vinder i et flertalsvalg, kan være en situation med fire kandidater, kandidat A, B, C, og D. A får 34 %, B får 16 %, C får 31 %, D får 7 % og 12 % stemmer blankt. Selvom kandidat A og

Side 3

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 3 af 10

C har næsten lige mange stemmer, er det parti A der vinder valget, og de tre andre kandidater har altså intet at sige.

Forholdstalsvalg derimod er ikke helt så simpelt, men en mere præcis måde at uddele mandater på, på baggrund af befolkningens stemmer. Alle stemmer på hvert enkelt parti er af betydning.

Dog skal et parti nå over spærregrænsen, der i Danmark er på 2 %, dvs. at de skal have mindst 2 % af de samlede stemmer. Her er der ikke kun én vinder af valget, men en fordeling af mandater til de forskellige partier, afhængigt af stemmeandelen. Dette gøres der brug af i fx Danmark, hvor vi har et Folketing der består af flere forskellige politiske partier. Parlamentet afspejler dermed væl-gernes holdning godt. Der er i Folketinget 179 pladser der skal besiddes, heraf to til Færøerne og to til Grønland. 139 af mandaterne bliver fordelt ud til folketingsmedlemmer rundt omkring i lan-det. De resterende mandater er tillægsmandater. Tillægsmandaterne fordeles mellem partierne for at sikre en mere lige fordeling. Indenfor forholdsvalget findes der to metoder, der kan gøres brug af.

D’Hondts metode og Største Brøks metode

Største Brøks metoden er en måde, hvorpå man tildeler mandater ud fra et partis kvota. Ved at dividere et partis stemmer med det samlede stemmetal findes % -delen af det samlede antal stemmer. Ved at dividerer % -delen med antallet af mandater der skal være, findes partiets kvota.

Derefter tildeles antallet af mandater ud fra heltalsdelen af kvotaen. Da de ”hele” mandater er tildelt, tildeles resten af mandaterne ud til de partier med den største brøkdel, deraf navnet.

En anden måde at fordele mandaterne på, er ved hjælp af D’Hondts metode. Metoden er indført af den belgiske jurist og matematiker Victor D’Hondt i 1878. Metoden går ud på at man dividerer stemmetallet for partierne med divisionerne 1, 2, 3 osv. I Danmark bruges divisionerne 1, 4, 7 og

10, der giver de mindre partier en større chance for at få tildelt mandater, da afstanden mellem kvotienterne bliver større. Efter at have lavet divisioner på tallene tildeles mandaterne ét efter ét til de største divisioner.

Sammenligning af de to fordelingsmetoder samt forklaring af Alabamapa-radokset

Side 4

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 4 af 10

I følgende afsnit vil jeg sammenligne de to fordelingsmetoder Største Brøk og D’Hondt med et tænkt eksempel. Ud fra dette vil jeg se nærmere på eventuelle forskelle samt en forklaring af Ala-bamaparadokset med hjælp af geometri.

For at lave en sammenligning af fordelingsmetoderne, vil jeg fordele syv mandater ud til tre partier med vha. de to forskellige metoder:

Største Brøks metode:

Parti | Stemmer | % | Kvota | ”Hele mandater” | Rest | Mandater
A | 176 | 24,011 | 1,681 | 1 | 0,681 | 2
B | 309 | 42,156 | 2,951 | 2 | 0,951 | 3
C | 248 | 33,833 | 2,368 | 2 | 0,368 | 2
Samlet | 733 | 100 % | 7 | 5 | 2 | 7

D’Hondts metode:

Divisioner Mandater

Parti Stemmer 1 2 3

A 176 176^{3} 88^{7} 58,7 2
B 309 309^{1} 154,5^{4} 103^{6} 3
C 248 248^{2} 124^{5} 82,7 2

Samlet 733 7

I dette tilfælde er udfaldet ens ved de to metoder. Parti A vil få to mandater, B vil få tre og C vil ligeledes få tildelt to mandater. Dette er dog ikke altid tilfældet, og det er Alabamaparadokset et godt bevis på. I 1880 i USA opdagede man at hvis det samlede antallet af mandater blev øget vil antallet af de mandater staten Alabama fik tildelt falde. Dette synes altså ikke at hænde sammen.

Dette vil jeg illustrere med et eksempel fra materialet ”Mandatfordelingsproblemet”, hvor vi kun

har med tre partier at gøre^{1}

Parti A, B og C skal have fordelt fem mandater ved hjælp af Største Brøks metode:

1

http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html

Side 5

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 5 af 10

Parti | Stemmetal | % | Kvota | ”Hele mandater” | Rest | Mandater
A | 6 | 10,0 | 0,50 | 0 | 0,50 | 1
B | 37 | 61,7 | 3,08 | 3 | 0,08 | 3
C | 17 | 28,3 | 1,42 | 1 | 0,42 | 1
Samlet | 60 | 100 % | 5 | 4 | 1 | 5

Ændrer man derefter det samlede antal mandater der skal uddeles, til seks i stedet for de før fem, vil fordelingen af mandaterne se således ud:

Parti | Stemmetal | % | Kvota | ”Hele mandater” | Rest | Mandater
A | 6 | 10,0 | 0,60 | 0 | 0,60 | -
B | 37 | 61,7 | 3,70 | 3 | 0,70 | 4
C | 17 | 28,3 | 1,70 | 1 | 0,70 | 2
Samlet | 60 | 100 % | 5 | 4 | 2 | 6

Altså ved at sætte det samlede mandatantal op bliver parti A ”snydt” for deres ene mandat, idet rest-brøken bliver mindre, og de to sidste mandater så bliver tildelt parti B og C. Dette kan illustre-

res vha. geometri^{2}.

Geometrisk forklaring samt Alabamaparadokset

Denne teori kan kun holde skik, hvis vi har med tre partier at gøre. Hvis der er tale om situationer med fire eller flere partier, er der behov for geometri i flere dimissioner. Trekanten til højre viser en ligesidet tre-kant, hvor linjerne u, v og w svarer til højden i trekanten. De tre linjer står vinkelret på trekantens sider, og mødes i punktet P. Højden i tre-

kanten er 100 % og derfor kan det siges at u + v + w = 100 %. Derved

præsenterer de tre linjer stemmeandelen for hhv. parti A, B og C. Parti A for stemmeandelen for linjen u, parti B for linjen v og sidste for parti C stemmeandelen for linjen w. Ud fra dette skal det så gøres muligt at aflæse partiernes mandattal i trekanten ved at udregne mandattallets andel af det samlede antal mandater. Dette kan vises med et eksempel, hvor fem mandater skal fordeles mellem de tre partier.

2

http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html

Side 6

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 6 af 10

Hvis der gøres brug af Største Brøks metoden kan dette illustreres med figuren til venstre. De mulige mandatfordelinger er her vist ved de orange prikker i trekanten. Stemmefordelingen er placeret i punktet P. Stemmetalsfordelingspunktet P er placeret inde for mandatfordelingspunktet M. Hver af de grønne sekskanter er altså er mandatfordelingsområde hvor P kan ligge. I dette tilfælde ligger

P lige på kanten mellem to mandatfordelingspunkter, og det er derfor en vurderingssag hvordan mandaterne skal fordeles. Hvis vi fra den første trekant ser på linjen v, vil jeg forklare hvordan man afgører antallet af dets mandater. De orange prikker der ligger på linjen CA, ligger inde for det mandatfordelingspunkt, der giver par-ti B nul stemmer. Rykker man derimod op i næste mandatforde-lingspunk vil partiet få et mandat. Derfor, når man skal rykke tre orange prikker op for at finde det område P ligger i, vil B få tildelt tre mandater. Grunden til at det kan være en vurderingssag i den-ne situation, er at det kan diskuteres hvorvidt det er parti A eller B, der har ret til den sidste stemme, idet punktet P ligger lige på kanten mellem de to mandatfordelingspunkter. Parti C’s linje w skal rykke én orange prik ind, og får derfor et mandat, ligeledes med linjen u. Dette ser umid-delbart meget smart ud, men det er her der kan opstå problemer, hvis det samlede mandattal bliver forstørret, ligesom der skete i Alabama.

Her er det vist hvordan ”maskerne” i en situation med fem manda-ter skulle fordeles. Oven over er ”maskerne” lagt for hvordan det vil se ud med seks mandater. Med blåt er markeret nogle af de steder, hvor Alabamaparadokset vil opstå. I situationen med fem mandater vil P altså her ligge i et mandatfordelingsområde, hvor parti A vil få et mandat. Er det derimod seks mandater der skal fordeles, vil P blive rykket ud i det område der viser en forskydning, hvor P kommer ud i det mandatfordelingsområde, hvor A vil få nul stemmer. Deri ligger altså pro-blemet der umiddelbart virker meget usandsynligt, at ved at det samlede mandattal bliver større, kan et parti risikere at få tildelt færre mandater.

Side 7

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 7 af 10

Mandatfordeling af selvvalgt meningsmåling

Her vil jeg foretage en mandatfordeling på baggrund af en selvvalgt meningsmåling, vha. både Største Brøks metode samt D’Hondts metode.

Følgende meningsmåling viser, hvordan den danske befolkning vil stemme, hvis der var folketings-

valg i morgen, og er fortaget af Greens d. 04/02-11^{3}. Undersøgelsen bygger på telefonisk svar fra

1053 personer, og derved kan jeg omregne % -delen til de faktiske stemmer, der er behov for at kende i efterfølgende udregninger. Der skal ses bort fra de dobbelte søjler, det er blot det samme de viser. Der laves nu en mandatfordeling med de to forskellige metoder; Største Brøk samt D’Hondt.

Største Brøks metoden

Parti | Stemmer | % | Kvota | ”Hele mandater” | Rest | Mandater
A | 329 | 31,2 | 54,6 | 54 | 0,6 | 55
B | 59 | 5,6 | 9,8 | 9 | 0,8 | 10
C | 57 | 5,4 | 9,45 | 9 | 0,45 | 9
F | 164 | 15,6 | 27,3 | 27 | 0,3 | 27
K | 6 | 0,6 | 1,05 | 1 | 0,05 | 1
O | 130 | 12,3 | 21,525 | 21 | 0,525 | -
V | 224 | 21,3 | 37,275 | 37 | 0,275 | 37
I | 46 | 4,4 | 7,7 | 7 | 0,7 | 8
Ø | 35 | 3,3 | 5,775 | 5 | 0,775 | 6

3

http://politiken.dk/politik/meningsmaaleren/

Side 8

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 8 af 10

Øvrige 3 0,3 0,525 0 0,525 -

Samlet 1053 100 % 175 170 5 175

D’Hondts metoden

Divisioner Mandater

Parti Stemmer 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A 329 329^{1} 164,5^{3} 109,7^{7} 82,3^{8} 65,8^{11} 54,8^{16} 47^{18} 41,1 36,6 7
B 59 59^{13} 29,5 19,7 14,8 11,8 9,8 8,4 7,4 6,6 1
C 57 57^{14} 28,5 19 14,3 11,4 9,5 8,1 7,1 6,3 1
F 164 164^{4} 82^{9} 54,7^{17} 41 32,8 27,3 23,4 20,5 18,2 3

K | 6 | 6 | 3 | 2 | 1,5 | 1,2 | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | -

O 130 130^{5} 65^{12} 43,3 32,5 26 21,7 18,6 16,3 14,4 2
V 224 224^{2} 112^{6} 74,7^{10} 56^{15} 44,8^{20} 37,3 32 28 24,9 5
I 46 46^{19} 23 15,3 11,5 9,2 7,7 6,6 5,8 5,1 1

Ø | 35 | 35 | 17,5 | 11,7 | 8,8 | 7 | 5,8 | 5 | 4,4 | 3,9 | -
Øvrige | 3 | 3 | 1,5 | 1 | 0,8 | 0,6 | 0,5 | 0,4 | 0,4 | 0,3 | -

Samlet 1053 20 (175)

For at færdiggøre mandatfordelingen med D’Hondts metoden skal man lave helt op til mindst 55 divisioner, da det er det antal mandater der er det højeste der bliver tildelt, hvert fald med Største Brøks metoden. Det vil være af for stort et omfang for denne opgave, men jeg har her lavet op til ni divisioner, blot for at illustrere hvordan man arbejder med metoden. Der har jeg fordelt 20 mandater, for at vise hvordan billedet vil se ud hvis det var 20 og ikke 175 mandater der skulle fordeles.

Diskussion

Med henblik på demokratisk repræsentativitet og styringsmæssigt effektivitet vil jeg nu diskutere de forskellige valgsystemer, som jeg har arbejdet med i denne opgave.

Kort sagt kan man sige, at flertalsvalget i enkeltmandskredse er præget et en forholdsvis lille de-mokratisk repræsentativitet samt en stor styringsmæssig effektivitet. Med ”first-past-the-post” – systemet bliver resultatet sådan at kun et parti sidder på magten i et land. Det er størstedelen af landets borgere der deler holdninger med dette parti, men den resterende del får meget svært ved at skære igennem, hvis der er noget de er uenige i. Ser man igen på et land som USA med kun to store partier, republikanerne og demokraterne, er det det vindende parti, der i en fireårig peri-

Side 9

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 9 af 10 ode styrer landet. Dog med midtvejsvalg hver fjerde år, med en forskydning på to år. Valgsystemet sikrer dog at ekstremistiske partier på enten højre- eller venstrefløjen ikke får mulighed for at få indflydelse på landets magt. Effektivitetsmæssigt er flertalsvalget i enkeltmandskredse dog let og ligetil. Da det netop kun er det ene parti der har magten, er det meget ligetil at skære igennem med lovforslag, da partiet naturligvis har et flertal i parlamentet. Der er altså ikke så mange der skal overbevises om lovforslagets vigtighed og rigtighed, og hele processen er forholdsvis hurtig, da den ikke møder megen modstand. Dog opstår der sommetider den situation, at præsidentens parti taber flertallet i det ene kammer eller endog i begge, og der kan derved opstå en fastlåst po-litisk situation.

Forholdstalsvalget er groft sagt stik modsat, præget af en stor demokratisk repræsentativitet og en mindre styringsmæssig effektivitet. Vi har fx i Danmark et Folketing med hele ni forskellige partier, opdelt i regeringen og oppositionen. Befolkningen er bredt repræsenteret gennem disse forskelli-ge partier, og det er derved et meget demokratisk valgsystem. Idet at så mange partier er repræ-senteret i Folketinget kan det dog påvirke at effektiviteten mindskes. Her er altså flere partier der har noget at skulle have sagt, før en lov kan blive gennemført. Dette er dog ikke hele virkelighe-den, da stort set alle lovforslag de sidste mange år er gennemført alene ved regeringen og deres støtteparti. Det er således en længere proces at skulle gennemføre lovforslag osv., og dette kan føre til en del kompromisser der måske ikke ellers ville have fundet sted.

Konklusion

Efter at have arbejdet med overstående opgave kan jeg konkluderer, at de forskellige valgsyste-mer har hver deres styrker og svagheder. Dette gælder specielt Største Brøks metoden, der har det smuthul, kaldt Alabamaparadokset, hvor det der virker usandsynligt, kan blive en realitet.

Nemlig at ved at forøge det samlede mandattal, kan et enkelt partis mandattal falde.

Ligeledes kan det konkluderes at hvis man ønsker et samfund der er stor demokratisk repræsenta-tivt, men mindre styringsmæssigt effektivt er et valgsystem med forholdstalsvalg en god løsning.

Ønsker man derimod et samfund der er mindre demokratisk repræsentativt men mere styrings-mæssigt effektivt er et valgsystem med flertalsvalg i enkeltmandskredse et fremragende bud på dette.

Side 10

[navn fjernet] SRO - Valgsystemer 11.02.11

Mat. / Samf. – JL / TH Langkær Gym. 2.u

Side 10 af 10

Litteraturliste

Tekster:

• ”Jeffersons metode og D’Hondts metode er ækvivalente” af Erik Vestergaard fra www.matematikfysik.dk

• ”Mandatfordelinger og retfærdighed” af Erik Vestergaard fra www.matematiksider.dk

Links:

• http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html
• http://politiken.dk/politik/meningsmaaleren/
• http://valg.sum.dk/~/media/Filer-valg-dk/Valgsystemet/opgoer-FTvalg.ashx