SSO: Vektorregning

Indledning

Denne opgave omhandler vektorer i planen. I denne opgave vil jeg forklarer begrebet vektor, jeg vil forklarer hvad en vektor er, og hvordan man regner med vektorer. Menende hvordan man kan addere og subtrahere vektorer, og hvordan man multiplicere vektorer med et tal. Jeg vil også forklare begrebet skalarprodukt, og dennes sammenhæng med vinklen mellem 2 vektorer. Jeg vil forklare arealberegning af vektorer, herunder begrebet determinant. Der ud over vil jeg forklare det skrå kast, fx en bolds kastebane, hvor jeg vil komme ind omkring begreberne elevationsvinkel, stighøjde, kastevidde og kastebevægelsens varighed. Efter det vil jeg forklarer, hvordan man kan bruge vektorfunktioner til at bestemme boldens præcise position, hastighed og acceleration på et bestemt tidspunkt. Under hele processen vil jeg prøve at illustrere og forklare metoderne.

Hvad er en vektor?

En vektor er en pil der har en bestemt retning og længde, en vektor er en repræsentant for alle pile der har præcis den retning og længde. En vektor skrives som et bogstav (eller to der så repræsentere et start- og et slutpunkt)med en pil over:  etc. til hver vektor er der et tilhørende koordinat-sæt, dette skrives over hinanden fx 󰇡 Der findes en vektor der ikke har nogen retning eller længde kaldet en nulvektor, skrives  , alle vektorer ud over denne kaldes egentlige vektorer. Indsætter man vektorer i et koordinatsystem defineres der to basisvektorer, som er enhedsvektorer. Disse to basisvektorer kaldes  og , de gør sig specielle ved hhv. at være parallel med x-aksen og y-aksen samtidig gør de sig specielle ved at være præcis 1 i længde, heraf enhedsvektor. Disse to vektorer vil derfor have koordinaterne:  󰇡 󰇢 ved hjælp af disse to kan enhver anden vektor i koordinatsystemet opløses i to vektorer i enhedsvektorernes retning som på illustrationen → Her er  opløst i  󰇢 og  󰇢 hvilket også kan skrives  

En vektors længde

Ved begrebet en vektors længde forstås den reelle længde af vektoren, det skrives som . Der kan findes mange vektorer med samme længde, men forskellige retninger, fx   længden af disse to vektorer er ens, men vektorerne er modsatrettet. Længden af en vektor beregnes via pythagoras læresætning, så: Bevis: Som eksempel kan vi bruge illustrationen til højre:

Stedvektorer/vektorer i et koordinatsystem

Et koordinatsystems nulpunkt kaldes origo (O). Når man tegner en vektor der starter i netop dette punkt, kommer begrebet stedvektor.