STX Matematik B 15. August 2012 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne, er at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Mange af opgaverne løses med WordMat. Hent den gratis tilføjelse til Word her. (Obs. Virker kun med Windows-computere)

Tip: Genvej til at indsætte ligning (Alt + M). Se flere smarte genveje under ”Hjælp” -> Genveje i

WordMat

Opgave 7 a)

Den årlige længde forøgelse af en ørred der er 10 cm lang, bestemmes ved at indsætte x = 10 i ligningen.

𝑦 = −10 + 21,8 = 11,8

Den årlige længdeforøgelse af en ørred der er 10 cm lang, er altså 11,8 cm.

b)

Ligningen 𝑦 = 0 løses for 𝑥 med WordMat - Løs ligning(er)

0 = −𝑥 + 21,8

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 21,8

Når 𝑦 = 0 er 𝑥 = 21,8.

Da 𝑦 er den årlige længdeforøgelse, betyder 𝑦 = 0 at fiskens længde ikke længere øges. 21,8 cm er altså

den maksimale længde for den givne type ørred.

Side 2

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 8 a)

Af figuren og forklaringen fremgår det at længden af kuglestødet er afstanden fra ( 0,0) til parablens højre skæring med førsteaksen.

Skæringerne med førsteaksen bestemmes ved at løse ligningen f(x) = 0.

f(x) defineres først med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = −0,05𝑥^{2} + 0,8𝑥 + 2,3

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −2,488088 ∨ 𝑥 = 18,48809

Længden af kuglestødet er altså ca. 18,5 meter.

b)

Kuglens maksimale højde over jorden er funktionens y-værdi i toppunktet. Da grafen for f er en parabel, kan y-værdien for toppunktet bestemmes med formlen (formel 37)

𝑦_{𝑚𝑎𝑘𝑠} = = = 5,5

−(𝑏^{2} − 4𝑎𝑐) −(0,8^{2} − 4 ⋅ −0,05 ⋅ 2,3)
4𝑎 4 ⋅ −0,05

Kuglens maksimale højde over jorden er altså 5,5 meter.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 9 a)

Det oplyses at funktionen 𝑉 er af typen 𝑉 ( 𝑥) = 𝑏 ⋅ 𝑥^{𝑎}. Der er altså tale om en potensfunktion. En forskrift

for 𝑉 bestemmes ved hjælp af potensregression. Først opskrives data i Excel. Derefter trækker vi tabellen

over i Word, hvor vi bruger WordMat til at lave regressionen med. (Markér tabel -> Statistik/sands. ->

Regression -> Potens)

Højde(cm) 5 10 15 20 25 30

Rumfang (cm^3) 20 157 530 1256 2453 4239

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9999949

𝑦 = 0,1615871 · 𝑥^{2,990535}

En forskrift for 𝑉 er altså givet ved

𝑉 ( 𝑥) = 0,1615871 · 𝑥^{2,990535}

b)

Højden af en karaffel der skal kunne rumme 2000 cm^{3} bestemmes ved at løse ligningen 𝑉 ( 𝑥) = 2000.

Funktionen defineres i WordMat og ligningen løses for x.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑉 ( 𝑥) = 0,1615871 · 𝑥^{2,990535}

𝑉 ( 𝑥) = 2000

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 23,36283

Højden af en karaffel der skal kunne rumme 2000 cm^{3} er altså ca. 23,4 cm.

c)

Når højden øges med 10% øges rumfanget med (Brøken beregnes med WordMat)

𝑉 ( 1,1 ⋅ 𝑥)

𝑉 ( 𝑥)

− 1 = 0,3297998

Hvis højden øges med 10 %, øges rumfanget altså med knap 33 %.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 4

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 10 a)

Funktionen 𝐶 defineres med WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝐶 ( 𝑡) =

900000 ⋅ 1,031^{𝑡}
𝑡 + 38

Den afledede evalueres i 72 vha. WordMat (Beregn)

𝐶^{′} ( 72) = 1580,025

År 2022 er 72 år efter 1950. 𝐶^{′} ( 72) angiver således at den gennemsnitlige CO_{2} udledning per person i år

2022 ifølge modellen vokser med en hastighed på 1580 kilogram per år.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 11 a)

Lad 𝑝 beregne sandsynligheden for at barnet ryger, når forældrene ryger, og lad 𝑝 betegne
    𝑓𝑟                                                              𝑓𝑟𝑖

sandsynligheden for at barnet ryger, når forældrene ikke ryger. Nulhypotesen, at børns rygevaner er uafhængige af forældres rygevaner, kan da så formuleres som

𝐻_{0}:𝑝_{𝑓𝑟} = 𝑝_{𝑓𝑟𝑖}

Da der er tale om en test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier, løses opgaven ved hjælp af

                                                       2
funktionen Chi-i-anden test i WordMat. (Statistik/sands. -> Test -> χ -test) hvor signifikansniveauet sættes

til 5.

χ²-test

Observationer I alt Forventede I alt

35 33 68 28,78832 39,21168 68

23 46 69 29,21168 39,78832 69

I alt 58 79 137 58 79 137

P-værdi: 3,17% Der er en sammenhæng

Signifikans niveau: 5%

Frihedsgrader: 1

Q-værdi: 4,614946

1,3402989 0,9840169 1,3208742 0,9697558

Kritisk Q-værdi: 3,841459

Da p-værdien er under 5 % forkaster vi 𝐻_{0}. Der er altså fundet en sammenhæng mellem forældres og børns

rygevaner, der er statistisk signifikant på 5 % niveau.

Side 6

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 12 a)

Vi kender to sider og en vinkel i trekanten og kan derfor bestemme de øvrige sider og vinkler. Opgaven løses med trekantværktøjet i WordMat.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 60°, BC = 2,7, BA = 2,4

A B = 43,02328°
A = 76,97672°
C = 60°

AC = 1,890833
BC = 2,7
BA = 2,4

A B = 16,97672°
A = 103,0233°
C = 60°

AC = 0,8091673
BC = 2,7
BA = 2,4

Informationerne giver anledning til to løsninger.

Men da siden 𝐴𝐵 er kortere end siden 𝐵𝐶 må vinkelen ∠𝐵𝐴𝐶 være spids. Der haves altså at

∠𝐵𝐴𝐶 ≈ 77,0° b)

Det antages at jernstangen er monteret vandret på muren, som står lodret på jorden. Linien fra 𝐶 mod liniestykket 𝐵𝐸 forlænges til 𝐵𝐸. Skæringspunktet kaldes 𝐻. Se figuren.

B BC C

BA AC

B BC C

BA AC

Side 7

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Det ses at | 𝐵𝐸 | = | 𝐵𝐻 | + | 𝐻𝐸 | = | 𝐵𝐻 | + 0,7

For at beregne |BH| kigger vi på trekanten BCH.

Vinkel C i trekanten BCH kan beregnes som

∠𝐵𝐶𝐻 = 90° − 60° = 30°

Vi kender nu en side og en vinkel i den retvinklede trekant og de øvrige sider kan bestemmes med Trekant-værktøjet i WordMat.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: H = 90°, C = 30°, BC = 2,7

B H = 90°
B = 60°
C = 30°

BC = 2,7
HC = 2,338269
HB = 1,35

Længden af BH er dermed 1,35, og vi kan finde længden af BE.

𝐵𝐸 = 1,35 + 0,7 = 2,05

Højden af indgangen til skuret er dermed 2,05 meter.

H HC C

HB BC

Side 8

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 13 a)

Funktionen f defineres i WordMat

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) = −𝑥^{3} + 3𝑥^{2} + 𝑥 + 4

Grafen for 𝑓 har en tangent med hældningskoefficienten 4 netop når 𝑓^{′} ( 𝑥) = 4. Ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 4 løses

for 𝑥 med WordMat - Løs ligning(er)

𝑓^{′} ( 𝑥) = 4

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 1

Da ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥) = 4 har netop én løsning har grafen for 𝑓 netop én tangent 𝑡 med

hældningskoefficienten 4.

                                                         ′
Førstekoordinaten til røringspunktet er netop den fundne løsning til 𝑓 ( 𝑥 ) = 4, nemlig 𝑥 = 1.

Side 9

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

Opgave 14 a)

Vi betragter først den ene trekant i enden af hulen. Da denne trekant er retvinklet kan vi ved hjælp af Pythagoras’ læresætning, jf. formel 21,få at

90^{2} = ℎ^{2} + 𝑥^{2}

Dermed kan ℎ udtrykkes ved 𝑥

ℎ = 90^{2} − 𝑥^{2}

√

Arealet af endefladen er (for formel for trekants areal, se side 22 i formelsamling), hvor udtrykket for h indsættes.

𝐴 = ⋅ ℎ ⋅ 2𝑥 = 𝑥ℎ = 𝑥 90^{2} − 𝑥^{2}

1

2

√

Rumfanget af hulen er produktet af arealet af endefladen og længden af hulen.

200 ⋅ 𝐴 = 200𝑥 90^{2} − 𝑥^{2}

√

Rumfanget er altså

𝑅 ( 𝑥) = 200𝑥 90^{2} − 𝑥^{2}

√

b)

For at bestemme den værdi af 𝑥 der gør rumfanget af hulen størst muligt i intervallet 0 < 𝑥 < 90 defineres volumenfunktionen på med WordMat.

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑅 ( 𝑥) = 200 ⋅ 𝑥 ⋅ 90^{2} − 𝑥^{2}

√

For at bestemme ekstremaer løses ligningen

𝑅^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −45 · √ 2 ∨ 𝑥 = 45 · √ 2

Da 0 < 𝑥 < 90 bortkaster vi den negative løsning. Vi undersøger nu om 𝑥 = 45 · √ 2 er et maksimum ved

at beregne R’ på hver side af punktet.

𝑅^{′} ( 45) = 2000 · 3 ≈ 10392,3

3

2

𝑅^{′} ( 45 ⋅ 1,5) = −3401,68

Vi har dermed at R er voksende i intervallet [ 0; 0,45 · √ 2]

Side 10

Skriftlig matematik STX B stx122-MAT/B-

og aftagende i intervallet [ 45 · √ 2; 90]

Den værdi af 𝑥 for hvilken volumen er størst er altså 45 √ 2.