Et eksempel fra HF 2. år
SSO om nulpunktsbestemmelse med numeriske metoder
Se, hvordan en færdig opgave er bygget op. Brug den til at forstå form, struktur og faglige valg.
Om opgaven
Opgaven er skrevet af en elev i HF 2. år i SSO, Matematik B og fylder 25 sider. Navne og andre personoplysninger er fjernet. Brug den til at se, hvordan opgaven er bygget op, og hvilke valg eleven har truffet undervejs. Den kan ikke afleveres som din egen: teksten ligger åbent på nettet og fanges af plagiatkontrollen.
Opgavens overskrifter
- Nulpunktsbestemmelse
- Polynomier
- Nulpunktsbestemmelse af første- og andengradspolynomier
- Polynomier af højere grad
- Polynomiers division
- Bevisførelse
- p/q-reglen
- Numeriske metoder
- Bisektion
- Sekantmetoden
- Newton-Raphsons iteration
- Opgaveløsning
- Analyse og konklusion
- Bilag 24
- Litteraturliste
Uddrag fra opgaven
Abstract
To determine zeros of a function This study investigates various methods of solving the mathematical issue: How to determine zeros of a function. The aim has been to introduce the methods for increasingly more complex functions. After a general introduction to polynomial functions the method of polynomial division, also known as the Rational Zeros theorem, is introduced. An example is performed and through this the rule of p/q is introduced. Given that the possible and qualified zeros determent by this method cannot be other than rational numbers, the Rational Zeros theorem is of course insufficient in many cases. This leads to the introduction of three numerical methods: Bisection, Secant method and Newton-Raphsons iteration. The Bisection method is concluded too slowly, while the other two methods are worked with through solving a specific problem, followed by an analysis. The outcome shows that there is significant difference between the amount of iterations and the accuracy of the result. The project will sum up with the conclusion that the Newton-Raphsons method is to prefer in determining non-rational zeros.
Polynomier
En funktionstype Da projektet tager udgangspunkt i nulpunktsbestemmelse for polynomier, vil vi først definere denne type af funktioner. Det skal dog understreges at de numeriske metoder også er velfungerende for andre funktionstyper.
Definition af polynomier
Polynomier har alle det til fælles, at de beskriver sammenhængen mellem to størrelser: En afhængig og uafhængig variabel, ofte betegnet x og fx . I dette projekt vil vi veksle imellem flere skrivemåder. Polynomier opdeles i såkaldte grader, hvor den højeste potens af x i en given funktionsforskrift definerer polynomiets grad. Konstanterne, som er multipliceret på x , kaldes koefficienter. Et eventuelt sidste led kaldes blot konstantleddet, da det ikke er koblet sammen til nogen egentlig variabel (se boks). Vi vil senere se hvordan den ledende koefficient ( a og konstantleddet ( a ), vil være essentielle informationer i polynomiers division.
Således er eksempelvis funktionen et andengradspolynomium, da det kan skrives på formen . Den første form er blot et faktoriseret andengradspolynomium.
Som det fremgår af definitionen, må der findes uendelig mange egentlige polynomier. Lidt populært sagt findes der 1, 2, mange: Førstegradspolynomier, andengradspolynomier og polynomier af højere grad. Denne inddeling er et godt udgangspunkt til at betragte problemet ’at bestemme nulpunkter for polynomier’. Vi vil kort set på, hvordan vi for første- og andengradspolynomiet kan udlede en nulpunktsformel.
Uddraget er læst maskinelt fra elevens PDF, så enkelte ord kan stå forkert. Hele opgaven står herunder.