STX Matematik B 24. maj 2011 | Med hjælpemidler

Side 1

2stx111-MAT/B-

1

Vejledende besvarelse

STX Matematik B – 24. maj 2011

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stx/hf B fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Det ”pæne” gangetegn ⋅ fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med WordMat, men ser ikke så pænt ud.

Opgave 7 a)

Kvartilsættet aflæses ud fra sumkurven (formel 100). Der indtegnes vandrette linjer for 25 %, 50 % og 75 % på y-aksen og deres respektive skæringspunkter med sumkurven (rød) er projiceret vinkelret ned på x-aksen og kvartilsættet aflæst.

Nedre kvartil aflæses til 57

Medianen aflæses til 66

Øvre kvartil aflæses til 80

Side 2

2stx111-MAT/B-

2

Kvartilsættet for pointfordelingen er således aflæst til: (57; 66; 80) b)

For at bestemme hvor mange procent af eleverne, der fik over 65 point indtegnes en lodret linje ved 65 point. Dennes skæringspunkt med sumkurven er projiceret vinkelret ind på y-aksen, og værdien aflæses til

45%.

Dvs. at 45 % fik færre eller lig med 65 point.

Dette betyder at

100 % − 45%= 55 %

af eleverne fik flere end 65 point.

Side 3

2stx111-MAT/B-

3

Opgave 8 a)

Da der er tale om en potensmodel, bestemmes a og b ved en potensregression: x (mm) 75 125 200 250 300 350 400 y (kWh/år) 5186 3848 2487 2229 2093 1989 1923

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9722733
𝑦 = 74418,47 · 𝑥^{−0,6231993}

Demed har vi 𝑎 = −0,6232 afrundet til 4 decimaler og 𝑏 = 74418,5 afrundet til en decimal.

b)

Vi indsætter y = 1700 i ovenstående forskrift og løser ligningen for x.

1700= 74418,47 · 𝑥^{−0,6231993}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 430,0892

Dermed er isolationstykkelsen, der bringer den årlige varmeafgivelse ned på 1700 kWh 430 mm, når der afrundes til et helt tal.

Side 4

2stx111-MAT/B-

4

Opgave 9 a)

Kaldes antallet af elever, der tog en studentereksamen på stx for y og kaldes x antallet af år efter 2004 kan følgende lineære model beskrive udviklingen i antallet af elever, der tog en studentereksamen på stx i perioden

𝑦 = 850𝑥 + 16259

Her beskriver 𝑎 = 850 den årlige tilvækst og 𝑏 = 16259 startværdien, altså antallet af elever i 2004.

b)

2008 er 2008− 2004 = 4 år efter 2004. =4 indsættes i ovenstående model og beregnes med WordMat:
𝑦 = 850 ⋅ 4 + 16259 = 19659

Ifølge modellen var der altså i 9 elever, der tog en studentereksamen på stx.

c)

Årstallet for hvornår antallet af elever, der tager en studentereksamen på stx, er oppe på 25000 kan

bestemmes ved at indsætte 𝑦 = 25000 i ovenstående ligning og løse denne for x:

25000= 850𝑥+ 16259

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = ≈ 10,28353

8741

850

Efter 10,3 år, hvilket rundes op til 11 år, da det kun giver mening at tale om hele år i denne model, altså i

2015 er antallet af elever, der tager en studentereksamen på stx oppe på 25000.

Side 5

2stx111-MAT/B-

5

Opgave 10 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: F = 90° , EC = 34 , FC = 12

E F = 90°
E = 20,66732°
C = 69,33268°

EC = 34
FC = 12
FE = 31,81195

Dermed har vi at vinkel C er 69,3° afrundet til en decimal.

b)

Da trekant CEF og GDF er ensvinklede er vinkel D lig med vinkel E.

Fra opgave a) har vi beregnet vinkel E. Vi har nu information nok til at beregne regne de ukendte sider i trekant GDF.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: D = 20.66732° , F = 90° , DG = 26

D = 20,66732°
G = 69,33268°
F = 90°

GF = 9,176472
DF = 24,32678
DG = 26

Dermed er længden af FG beregnet til 9,2 afrundet til en decimal.

Længden af EG kan bestemmes som:

D DF F

G

DG GF

F FC C

FE EC

Side 6

2stx111-MAT/B-

6

| 𝐸𝐺 | = | 𝐸𝐹 | − | 𝐹𝐺 |

FG er beregnet i a) og vi har dermed:

| 𝐸𝐺 | = | 𝐸𝐹 | − | 𝐹𝐺 | = 31,81195 − 9,176472= 22,635478

Dermed er længden af EG beregnet til 22,6 afrundet til en decimal.

Side 7

2stx111-MAT/B-

7

Opgave 11 a) f defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{4} + 2𝑥^{3} − 11𝑥^{2} − 12𝑥 + 36

Ligningen løses:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 2

Dvs. ligningen har to løsninger givet ved 𝑥 = 3 eller 𝑥 = 2.

b)

En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)) kan bestemmes ved følgende formel (formel 70)

𝑦 = 𝑓^{′} ( 1)( 𝑥 − 1) + 𝑓(1)

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦 = 40 − 24 · 𝑥

c)

For at undersøge monotoniforholdene for f bestemmes først nulpunkter for f’. Dette gøres ved at løse ligningen:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = −0,5 ∨ 𝑥 = 2

Vi udregner nu fortegnet af f’ på begge sider af alle nulpunkter ved hjælp af WordMat.

𝑓^{′} ( −4) = −84

𝑓^{′} ( −2) = 24

𝑓^{′} ( 0) = −12

𝑓 ( 3) = 36

Da fʹ er negativ til venstre og positiv til højre for 𝑥 = −3 og 𝑥 = 2, er der tale om lokale minima i disse

punkter.

Da f’ er positiv til venstre og negativ til højre for 𝑥 = −0,5, er der tale om et lokalt maksimum i dette punkt.

Vi kan dermed konkludere:

Side 8

2stx111-MAT/B-

8

f er voksende i intervallerne [−3;−0,5] og [2;∞[

f er aftagende i intervallerne ] − ∞; −3] og [−0,5; 2]

f har lokalt minimum for 𝑥 = −3 og 𝑥 = 2

f har lokalt maksimum for 𝑥 = −0,5

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

2stx111-MAT/B-

9

Opgave 12 a)

For at bestemme facadens bredde beregnes grafens skæringer med x-aksen. Da f er en andengradsfunktion, skal vi altså finde rødderne for polynomiet.

Funktionen defineres:

𝑓 ( 𝑥) ≔ − 𝑥^{2} + 45

1

20

Vi løser ligningen:

𝑓 ( 𝑥) = 0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = −30 ∨ 𝑥 = 30

Facadens bredde bestemmes som afstanden mellem rødderne:

30 − ( −30) = 60

Facadebredden er dermed 60 meter.

Facadens højde findes som den største værdi f antager.

Da f er et andengradspolynomium kan dette beregnes som y-koordinaten til parablens toppunkt.

y-koordinaten for en parabels toppunkt er givet ved (formel 37)

𝑇_{𝑦} = = = 45

− ( 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐)

4𝑎

−(0^{2} − 4 ⋅ (−) ⋅ 45)

1

20

4(−)

1

20

Facadens højde er dermed beregnet til 45 meter.

Alternativt løsningsforslag 1

Alternativt kunne man argumentere for at f(x) er symmetrisk omkring y-aksen, og at højden, derfor kan aflæses som værdien af c-koefficienten.

Dette gøres ved at vise at f(x)=f(-x)

Alternativt løsningsforslag 2

Man kunne også lave en ekstremumsundersøgelse (f’(x)=0), have fundet den x-værdi hvor f antager sit

maksimum og så beregne f i dette punkt.

Side 10

2stx111-MAT/B-

10 b)

Facadens areal kan bestemmes som arealet af den punktmængde, der afgrænses af x-aksen og grafen for f.

Arealet af denne punktmængde kan bestemmes som (formel 96)

𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 1800

30

−30
Facadens areal er dermed 1800 𝑚^{2}.

Tip: Husk enheden i angivelse af facit. Er der enheder i opgaveteksten, skal resultatet også have enheder.